Tài liệu Tính chất của vectơ doc

§Ò c¬ng S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Lª ThÞ Thanh Hoa
……………………………………………………………………………………………………......
A. PHẦN MỞ ĐẦU.
I. Lý do thực hiện đề tài.
1. Cơ sở lý luận.
Bất đẳng thức là một trong những phần rất quan trọng trong chương trình toán
phổ thông. Nó có mặt trong tất cả các bộ môn Số học, Hình học, Đại số, Lượng giác
và Giải tích. Các bài toán về bất đẳng thức tỏ ra có sức hấp dẫn mạnh mẽ từ tính độc
đáo của các phương pháp giải chúng. Chính vì thế, bất đẳng thức là chuyên đề được
mọi người quan tâm đến rất nhiều.
Tuy nhiên, việc giải quyết một bài toán về chứng minh bất đẳng thức không hề
đơn giản, yêu cầu không chỉ nắm vững các kiến thức cơ bản, mà còn phải biết vận
dụng linh hoạt, sáng tạo các phương pháp đã học kết hợp với kỹ năng biến đổi, suy
luận, dự đoán,…
2. Cơ sở thực tiễn.
Khi học toán, học sinh thường thấy “sợ” khi nhắc đến bất đẳng thức, cho rằng bất
đẳng thức là một phần rất khó không thể giải được. Nguyên nhân là học sinh không
biết cách lựa chọn phương pháp thích hợp để giải.Vì vậy một bài toán đơn giản cũng
trở nên “ vô cùng khó” đối với các em.
Với mong muốn đóng góp vào việc nâng cao chất lượng dạy và học về bất đẳng
thức, đem lại cho học sinh cách nhìn mới về bất đẳng thức, tôi nghiên cứu đề tài:
“Sử dụng vectơ trong chứng minh bất đẳng thức”.
II. Phương pháp nghiên cứu.
1. Phương pháp nghiên cứu lý luận.
2. Phương pháp điều tra thực tiễn .
3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
4. Phương pháp thống kê.
III. Đối tượng nghiên cứu.
Các bài toán chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng tính chất của vectơ.
IV. Tài liệu tham khảo.
1. Sách giáo khoa toán THPT.

2. Sách bài tập toán THPT.
3. Sách 500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức của Giáo sư Phan Huy Khải.
4. Báo toán học và tuổi trẻ.
V. Ứng dụng.
Dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong việc dạy và học về
bất đẳng thức.
2
§Ò c¬ng S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Lª ThÞ Thanh Hoa
……………………………………………………………………………………………………......
B. PHẦN NỘI DUNG.
I. Nhắc lại các tính chất của vectơ.
1. Tính chất 1:
0)(
2
2
≥=
aa
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
0
=
a
2. Tính chất 2:
baba
+≥+
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a
và
b

cùng chiều.
3. Tính chất 3:
baba ..
≤
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a
và
b
cùng phương.
II. Sử dụng các tính chất của vectơ để chứng minh bất đẳng thức.
1. Sử dụng tính chất 1.
Ví dụ 1.
Cho tam giác ABC, chứng minh rằng: cos2A + cos2B + cos2C
2
3
−≥
.
Giải:
Gọi O, R lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Ta có:
0)2cos2cos2(cos23
0)...(2)(
22
222
2
≥+++⇔
≥+++++=++
CBARR
OAOCOCOBOBOAOCOBOAOCOBOA

Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 2 .
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
6cosA.cosB.cosC
≤
cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C (1).
Giải:
Nếu tam giác ABC là tam giác tù (có một góc tù) thì (1) hiển nhiên đúng vì khi
đó vế trái âm, còn vế phải dương.
Nếu tam giác ABC không phải là tam giác tù thì trên mặt phẳng ta đặt các vectơ
OPONOM ,,
sao cho:
3
§Ò c¬ng S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Lª ThÞ Thanh Hoa
……………………………………………………………………………………………………......







=
=

=
COP
BON
AOM
cos
cos
cos
và







−=
−=
−=
BOMOP
AOPON
CONOM
ˆ
),(
ˆ
),(
ˆ
),(
π
π
π

Áp dụng tính chất (1), ta có:
0)(
2
≥++ OPONOM
0.2.2.2
222
≥+++++⇔ MOOPOPNOONMOOPONOM
0)cos.cos.coscos.cos.coscos.cos.(cos2coscoscos
222
≥++−++⇔ CBACBACBACBA
⇔
Điều phải chứng minh.
2. Sử dụng tính chất 2.
Ta thường sử dụng phương pháp này khi gặp các bài toán chứng minh bất đẳng
thức có chứa tổng của các căn bậc hai mà biểu thức trong dấu căn bậc hai có thể đưa
về tổng của các bình phương.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:

1
2
++ aa
+
1
2
+− aa
≥
2 (1) với mọi a thuộc R.
Giải: (1)
⇔
22

)
2
3
()
2
1
( ++a
+
22
)
2
3
()
2
1
( +− a
≥
2
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy đặt:
)
2
3
;
2
1
( += au

; )
2
3

;
2
1
( av −=

Áp dụng tính chất 2, ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 2. Chứng minh rằng :
22
yxyx ++
+
22
zyzy ++
+
22
xzxz ++
)(3 zyx ++≥
với x,y,z > 0.
Giải: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy ta đặt:
);
2
3
;
2
( y
y
xu +=

);
2
3

;
2
( z
z
yv +=

);
2
3
;
2
( x
x
zw +=

Từ tính chất
wvuwvu

++≥++
ta có đpcm.
Theo cáh này ta có thể chứng minh rất nhanh được các bài toán sau đây:
4
§Ò c¬ng S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Lª ThÞ Thanh Hoa
……………………………………………………………………………………………………......
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi x ta có:
175sin22sin24sin2
22
≥+−++ xxx
Ví dụ 4: Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = abc.
Chứng minh rằng:

ab
ab
22
2+
+
bc
bc
22
2+
+
ca
ca
22
2+
3≥
Ví dụ 5: . . .
3. Sử dụng tính chất 3.
Ví dụ 1. CMR với mọi a, b, c, d ta có bất đẳng thức:
))((
2222
dbcacdab ++≤+
(3)
Giải: Đặt
),( cau =

;
),( dbv =

.

Áp dụng tính chất 3 ta có ngay đpcm.
Ví dụ 2. Giả sử





=++
=++
16
3
22
22
zyzy
yxyx
có nghiệm.
CMR: xy + yz + zx
8
≤

Giải:
Đặt )
2
3
;
2
( x
x
yu +=


, )
2
;
2
3
(
z
yzv +=

Áp dụng tính chất (3) suy ra đpcm.
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC. Điểm M thuộc mp(ABC). Chứng minh:
m
a
.MA + m
b
.MB + m
c
.MC
2
1
≥
(a
2
+ b
2
+ c
2
).
Giải: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
Ta có

2
... GAMGGAMAGAMAGA +=≥
Tương tự
2
.. GBMGGBMBGB +≥

2
. GCMGGCMCGC +≥
222222
)(... GCGBGAGCGBGAGCGBGAMGMCGCMBGBMAGA ++=+++++≥++⇒
5
§Ò c¬ng S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Lª ThÞ Thanh Hoa
……………………………………………………………………………………………………......
⇔
m
a
.MA + m
b
.MB + m
c
.MC
2
1
≥
(a
2
+ b
2
+ c
2

)(Đpcm)
4. Sử dụng tính chất của vectơ đơn vị.
Ví dụ 1: Xét ví dụ 1 ở phần 1, ta có thể chứng minh bất đẳng thức bằng cách
khác như sau.:
Trên mặt phẳng ta dựng các vectơ
OPONOM ,,
thoả mãn:







=
=
=
1
1
1
OP
ON
OM
và








=
=
=
BOMOP
AOPON
CONOM
ˆ
2),(
ˆ
2),(
ˆ
2),(
Áp dụng tính chất (1), ta có:
0)(
2
≥++ OPONOM
0)
ˆ
2cos(2)
ˆ
2cos(2)
ˆ
2cos(2111 ≥+++++⇔ BAC
2
3
2cos2cos2cos −≥++⇔ CBA
(đpcm).
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC và các số thực x, y, z. Chứng minh rằng:
)(

2
1
2cos2cos2cos
222
zyxCxyBxzAyz ++−≥++

Giải : Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm O, bán kính bằng 1.
Ta có )2cos2cos2cos(2)()(
2222
AyzBxzCxyzyxOCzOByOAx +++++=++
0≥

Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 3.Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

4cos32cos2cos3 ≤++ CBA
Giải: Gọi
321
;; eee

theo thứ tự là vectơ đơn vị của các cạnh BC, CA, AB.
Ta có:
(2134)32(
2
321
−++=++ eee

)cos32cos2cos3 CBA ++
0
≥

=> 4cos32cos2cos3 ≤++ CBA (Đpcm).
Theo cách này ta có thể chứng minh các bài toán sau:
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
6