De thi chon hoc sinh gioi Toan 9 Phu Tho

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GD& ĐT THANH BA TRƯỜNG THCS ĐẠI AN ĐỀ CHÍNH THỨC. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2012 - 2013 MÔN: TOÁN - LỚP 9. Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề. Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức 1   2x  x  1 2x x  x  x   1 A      : 1 x x  1 x x  1 x  a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của A khi x 17  12 2. 1 x  0; x  ; x 1 4 Với. c) So sánh A với A . Bài 2: (4,0 điểm). a) Cho x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x3 + y3 b) Chứng minh rằng: Biểu thức Bài 3: (4,0 điểm). B  1  20082 . 20082 2008  20092 2009 có giá trị là một số tự nhiên.. x 2  3x  2  x  3  x  2  x 2  2x  3 a) Giải phương trình b) Cho 3 số thỏa mãn điều kiện:. x2+2y+1 = y2+2z+1 = z2+2x+1 = 0 Hãy tính giá trị của biểu thức: A = x2012 + y2012 + z2012 Bài 4.(7,0 điểm) Cho tam gi¸c ABC cã AB = c; AC = b; BC = a, ph©n gi¸c AD a) Chøng minh hÖ thøc AD2 = AB.AC – BD.DC b) Tính độ dài phân giác AD?. Bài 5: (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau: 1 1 1 1 A    ............  1 2 2 3 3 4 2009  2010. ----- Hết -----.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN LỚP 9 Bài 1 (4 điểm) a) Rút gọn biểu thức (2 điểm). 1   2x  x  1 2x x  x  x   1  1  A      x  0;x  ;x 1   :  1 x 4 x  1 x x   1 x   x 2x  x  1  x  1  x  2x  2 x  x  1   :  x 1 x  1 x 1 x 1 x 1 x  x     x x 1 2 x  1  2 x  1  x 1 2 x  1   :   x x1 1  x 1 x 1 x 1 x  x     1  2 x1  x  :  2 x  1     1  x 1  x  x x x  1    . . . . . .     .   . . . . 2 x1 x. . x. . . .          . x. 1  x  1 . x x. . 1 . x x x. 1. : 2 x1 :. x1 1. . . x  x  x 1. 1. :. .  1  x   1 . x1. x x. . 0.5. . . . 0.5 0.25 0.25.  0.5. b) Tính giá trị của A khi x 17  12 2 (1 điểm). Tính. . x 17  12 2  3  2 2. . . . 2. 2. . x. 3  2 2  3 2 2 5 3  2 2   5. 1  3  2 2  17  12 2 15  10 A  3 2 2 3 2 2 c) So sánh A với A (1 điểm).. 2 3  2 2. 0.5. 3 2 2. 1 A. x x 1  x 1 x x Biến đổi 1 1 x 2 x  0;x  ;x 1 x 4 Chứng minh được với mọi 1  A x  1 1  A  1  A  1  0  A A  1  0 x. .  A. 0.5. . 0.25 0.25. 0.5. A 0 A  A. Bài 2 (4 điểm) a) Ta có M = x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) = x2 - xy + y2 ( vì x + y = 1). 0.25.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> x2 y 2 x2 y2 1 2 x y 2    xy   (x  y2 )  (  ) 2 2 2 2 2 2 2 M= 1  ( x2  y 2 ) Suy ra M 2 Mặt khác : x + y =1  x2 + y2 +2xy = 1  2(x2 + y2) – (x – y )2 = 1  2(x2 + y2) 1 1  Do đó : x2 + y2 2 1 Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi x = y = 2 1 1 1 1 1  ( x2  y 2 )     Ta có M 2 và x2 + y2 2  M 2 2 4 1 1 1  Vậy M 4 , nên giá trị nhỏ nhất của biểu thức M bằng 4 khi x = y = 2. 20082 2008 B  1  2008   20092 2009 có giá trị là một số tự nhiên ). b) Biểu thức 20082 2008 20082 2008 2 B  1  20082    1  2008  2.1.2008     2 2 2009 2009 2009 2009 . Ta có :. 0.5 0.25. 0.5. 0.25 0.25. 2. 2. 2008 20082 2008 2008  2008    2009   2.2009.     2009    2 2009 2009 2009 2009  2009 .  2008 2008 2008 2008  2009   2009   2009 2009 2009 2009 2009 . 2. 0.75 0.75 0.5. Vậy B có giá trị là một số tự nhiên. Bài 3 (4điểm) Giải phương trình. x 2  3x  2  x  3  x  2  x 2  2x  3. a). .  x  1  x  2   x  3   x  1  x  2  0. x 2 .  x  1  x  3  1.  x  3 0  x 2  x  2 0  x  1  x  3 0 Điều kiện .  1  . . x 2. . x 1 1. . . x 1 1  x 2 . x 3. . 0.5 0.25. . x  1  1 0.  x  1  1 0  x  1 1 x  3 0     x 2  x  2  x  3  x  2  x  3 0. . x = 2 thoả mãn điều kiện xác định. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. b).Ta có x2+2y+1 = 0 (1); y2+2z+1 = 0 (2). 0.25 0.5 0.5.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> z2+2x+1 = 0 (3). 0.25. Cộng từng vế của (1),(2),(3) ta có (x2+2x+1) +( y2+2y+1) + (z2+2z+1) = 0 2. 2. 0.5. 2.  ( x  1)  ( y  1)  ( z  1) 0  x  1 0    y  1   x  y  z  1  z  1 0 . 0.75. Vậy: A = x2012 + y2012 + z2012 = (-1)2012+(-1)2012+(-1)2012 = 3 Bài 4 (7 điểm) Vẽ đờng tròn tâm O ngoại tiếp Δ ABC Gäi E lµ giao ®iÓm cña AD vµ (O) a) Ta cã : Δ ABD ~ Δ CED (g –g) BD AD = ⇒ ⇒ AD.ED = BD.CD ED CD ⇒ AD(AE – AD) = BD.CD (1) ⇒ AD2 = AD.AE – BD.CD L¹i cã: Δ ABD ~ Δ AEC (g –g) AB AD = ⇒ ⇒ AB.AC = AD.AE (2) AE AC Tõ (1) vµ (2) suy ra: AD2 = AB.AC – BD.DC b) V× AD lµ ph©n gi¸c ⇒. DB BA = DC CA. 0.5 A. 0.5 0.5. C B. D E. 1 0.5 0.5 0.5 1. 0.5. DB DC DB+ DC a = =¿ = c b c+ b b+ c ac ab vµ DC = ⇒ DB = b+c b+c 2 b+ c ¿ ¿ 2 ⇒ AD = bc 2 a bc ¿. ⇒. 0.5 0.5. 1 Bài 5 (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau: 1 1 1 1 A    ............  1 2 2 3 3 4 2009  2010 1 1  1 Ta có: 1  2 1  2 3. 2 1 2   21 2 1 2 3 2 3   3 2 3 1. 2.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 1 3 4 3 4   4 3 3 4 = 4 3 1 Tương tự ta có 1 1 1 1 A    ............  1 2 2 3 3 4 2009  2010 = 2  1 3 . 2 4. 3  ...  2010 . 2009. 0.5. (. =  1  2010  2010  1. Chú ý: . Nếu thí sinh làm bài bằng cách khác đúng thì vẫn cho điểm tương đương.. 0.25 0.25.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>