Bài tập Giải tích 2 (TS.Nguyễn Văn Quang) năm học 2020-2021 – UET

<span class='text_page_counter'>(1)</span>BÀI TẬP GIẢI TÍCH II: HÀM NHIỀU BIẾN Giới hạn, liên tục. Phép tính vi phân. Tích phân bội. Tích phân đường. Tích phân mặt. Phương trình vi phân TS. Nguyễn Văn Quang E-mail: Mobile: 0915.598.495 Chương 1. Giới hạn, liên tục Bài 1. Tìm giới hạn của hàm số: A. Tính các giới hạn: 1 1. f ( x, y )  y.cos khi ( x, y )  (0,0) . yx 2. f ( x, y )   x 2  y 2 .  ( x y ). khi ( x, y )  ( , ) .. sin  xy  khi ( x, y )  (0,3) . x (1  x 2  y 2 )(1  cos y) 4. f ( x, y )  khi ( x, y )  (0,0) . y2. 3. f ( x, y ) . 2. 5. f ( x, y)  1  xy  x2  xy khi ( x, y )  (0, 2) .. . 6. f ( x, y )  cos x  y 2. 2. . . 1 x2  y 2. khi ( x, y )  (0,0) .. x2  y 2  6  x2  y 2. 7. f ( x, y ) . khi ( x, y )  (, ) . x 4  y 4  2(1  x 2 y 2 )  x 2  y 2 B. Chứng minh các hàm số sau không tồn tại giới hạn: x2  y 2 1. f ( x, y )  2 khi ( x, y )  (0,0) . x  y2 xy 2 2. f ( x, y )  2 khi ( x, y )  (0,0) . x  y4 x  y  x2  y 2 3. f ( x, y)  khi ( x, y )  (0,0) . x y 6. 1. 4. f ( x, y)  1  xy  x2  y2 khi ( x, y )  (0,0) . 5. f ( x, y ) . ( x  y )cos( x  y ) khi ( x, y )  (0,0) . sin( x  y ). TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> x sin y  y sin x khi ( x, y )  (0,0) . x2  y 2 xy 7. f ( x, y )  khi ( x, y )  ( ,0) . 1 xy ln x  e y 8. f ( x, y )  khi ( x, y )  (0,0) . x2  y 2 C. Tính các giới hạn: 1 1. f ( x, y )   x  y  .sin khi ( x, y )  (0,0) . xy 1 1 2. f ( x, y )   x  y  .sin sin khi ( x, y )  (0,0) . x y. 6. f ( x, y ) . . . x2.  xy  3. f ( x, y )   2 khi ( x, y )  ( , ) . 2  x y  x3  y 3 4. f ( x, y )  2 khi ( x, y )  (0,0) . x  y2. 5. f ( x, y )  6. f ( x, y ) . sin  x3  y 3  x2  y 2. khi ( x, y )  (0,0) .. xy 2  x 2  y 2 . 1  cos  x 2  y 2 . khi ( x, y )  (0,0) .. x y khi ( x, y )  ( , ) . x  xy  y 2 x 2 y  xy 2 8. f ( x, y)  2 khi ( x, y )  (0,0) . x  xy  y 2. 7. f ( x, y ) . 2. 9. f ( x, y )  x 2 ln  x 2  y 2  khi ( x, y )  (0,0) . 10. f ( x, y )   x 2  y 2 . x2 y 2. khi ( x, y )  (0,0) .. 11. f ( x, y )   x 2  y 2   e  ( x  y ) khi ( x, y )  ( , ) . Bài 2. Xét tính liên tục của hàm số: 1   x sin x  y khi ( x, y )  (0,0) 1. f ( x, y )   x y  khi ( x, y )  (0,0) 0  x2 y  2. f ( x, y )   x 4  y 2 0 . khi ( x, y )  (0,0) khi ( x, y )  (0,0). tại (0,0).. trên R2 ..

<span class='text_page_counter'>(3)</span>   x21y 2  khi xy  0 3. f ( x, y )  e trên R2 . 0 khi xy  0  x3  xy 2 khi x 2  y 2  0  2 2 4. f ( x, y )   x  y tại (0,0). a khi x 2  y 2  0 . TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Chương 2. Phép tính vi phân Bài 1. Tính các đạo hàm riêng của hàm số:. . . 1. f ( x, y )  ln x  x 2  y 2 . 2. f ( x, y)  x y . 2. 3. f ( x, y)  ecos. 2. x  xy. .. 4. f ( x, y )  arctan  x  y 2  .. 5. f ( x, y )  ln  x 2  y  tại (1,0). Bài 2. Tính các đạo hàm riêng của hàm số tại (0,0):  x3  2 y 3 khi ( x, y )  (0,0)  1. f ( x, y )   x 2  y 2 . 0 khi ( x, y )  (0,0)   e x y khi ( x, y )  (0,0)  2. f ( x, y )   x  y . 0 khi ( x, y )  (0,0)   xy khi ( x, y )  (0,0)  3. f ( x, y )   x 2  y 2 . 0 khi ( x, y )  (0,0)  Bài 3. Xét tính khả vi của hàm số sau tại (0,0):. 2. f ( x, y)  3 xy. 1. f ( x, y)  ( x  y)  x 2  y 2 1  2 2  x  y  sin x 2  y 2 4. f ( x, y )   0 .  x21y 2  5. f ( x, y )  e 0. khi khi. khi. 3. f ( x, y)  3 x3  y 3. x2  y 2  0 .. khi. x2  y 2  0. x2  y 2  0 . x2  y 2  0.  xy khi x 2  y 2  0  2 2 6. Cho hàm số f ( x, y )   x  y .  khi x 2  y 2  0 0 a. Chứng minh rằng hàm f ( x, y ) liên tục tại điểm (0,0). b. Chứng minh rằng hàm f ( x, y ) không khả vi tại điểm (0,0). Bài 4. Tìm vi phân toàn phần của hàm số: xy x 1. f ( x, y )  2. f ( x, y )  arcsin 3. f ( x, y )  ln  x  y 2  x  3y y.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>  u  ; u  xy  xy. u uv  e ; u  x 2 y  2 x ; v  ye xy v Bài 5. Sử dụng vi phân toàn phần để tính gần đúng giá trị: 1.01 1. ln 3 1.03  4 0.981 2. arctan 3. 1.023  1.973 0.99 4. f  arctan. . 4.. . 5. f . . 98  3 123. . 3. 5. ln. . 3. . 1.03  4 0.96  1. Bài 6. Tính đạo hàm, đạo hàm riêng của hàm ẩn z ( x, y ) xác định từ phương trình: 1. xe y  ye x  e xy  0 . 2. x  y  z  e z . 3. xe x  y 2e y  ze z  0 tại điểm (0,0). 4. xe y  yz  ze xy  0 tại điểm (1,1).  x2  y 2 khi ( x, y )  (0,0)  xy  2 Bài 7. Cho hàm số f ( x, y )   . x  y2  0 khi ( x, y )  (0,0)  Tính đạo hàm riêng f xy (0,0) và f yx (0,0) . Bài 8. Tính đạo hàm riêng cấp hai của hàm số:. . 1. f ( x, y )  ln x  x  y 2. . 2. f ( x, y)  x3.ln  x  y . 3. f ( x, y)  x 4  y 4  xy 3. 5. xyz  x 2  y 2  2 z  3 ;. 4. f ( x, y)  e x .ln y  sin y.ln x. 6. e x y  z  x  2 y  3z  1; zxy  0,0 , biết z  0,0   0 Bài 9. Tính vi phân cấp hai của hàm số:. 2 z xy. 1. f ( x, y)  x4  3xy 2  y3 2. f ( x, y, z )  x 2  y 2  z 2 , chứng minh d 2 f  0 3. f ( x, y, z)  x2  y 2  3z 3  xy  3xz tại điểm M(1,1,1), tìm ma trận của dạng toàn phương d 2 f (M ) với các biến dx, dy , dz . 4. f  f  3 x  4 y , xy  e y . 5. f  f  2 x  y . 6. f  f (u )  u 3  sin u ; u  2 xy  e x 7. Tính d 2 z (1,1) biết z  z ( x, y ) là hàm ẩn xác định từ phương trình: x3  2 y 3  z 3  3xyz  2 y  3  0 ; z (1,1)  2 . Bài 10. Khai triển Maclaurin hàm số đến cấp ba: 1. f ( x, y)  e x sin y 2. f ( x, y )  ln(1  x  y ) 3. f ( x, y)  sin( x2  y) Bài 11. Chứng minh rằng: 1. y.zx  x.zy  0 với z  f ( x2  y 2 ) và f (t ) là hàm khả vi.. ( xy ) 2 . x y 3. zxx  zyy  0 với z  ln( x2  y 2 ) . 2. x.zxx  y.zxy  2.zx  0 với z .

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 2 x 4. zxx .zyy   zxy   0 với z  y  f   và f (t ) có đạo hàm cấp hai.  y Bài 12. Tìm hàm z  z ( x, y ) thỏa mãn: 1. zx  2  4 ye xy , zy  3  4 xe xy ; z (0,1)  0 .. 2. zx  x 2  2 xy 2  3, zy  y 2  2 x 2 y  3 . 3. zxx  12 x2 y  2, zy  x 4  30 xy5 ; z (0,0)  1, z (1,1)  2 . Bài 13. 1. Tìm đạo hàm theo hướng vecto v  (3, 4) của hàm số f ( x, y)  x 2  y 2 tại điểm M (1,1) . 2. Tìm đạo hàm của hàm số u  x2  3 yz  4 tại điểm M (1, 2, 1) theo hướng của vecto tạo với các trục tọa độ những góc nhọn bằng nhau. x2 y 2  a b  3. Tìm đạo hàm của hàm số z  1  2  2 tại điểm M  ,  theo hướng pháp a b  2 2 x2 y 2 tuyến trong của đường Ellip: 2  2  1,( a  0, b  0) tại điểm M. a b 4. Cho hàm số u  ln  xyz  , M (1, 2, 3) . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của đạo hàm theo hướng của hàm u tại M. 5. Tìm đạo hàm của hàm số z  x2  xy  y 2 tại điểm M(1,1) theo hướng v hợp với hướng dương của trục Ox một góc  . Theo hướng nào thì đạo hàm này có giá trị lớn nhất, bé nhất, bằng 0. 6. Cho hàm số f ( x, y)  x 2  sin  xy  ; M (1,0) . Tìm hướng mà đạo hàm của hàm số f theo hướng đó tại M có giá trị bằng 1. Bài 14. Tìm cực trị của hàm số:. x.  y2 . 2. 1. f ( x, y)  x2  y 2  3xy. 2. f ( x, y )  4 . 3. f ( x, y)  x 2  y 2  xy  2x  y. 4. f ( x, y )  y x  y 2  x  6 y. 5. f ( x, y)  ( x 2  y 2 ).e( x. 6. f ( x, y)  ( x  1)2  2 y 2. 2.  y2 ). 7. f ( x, y)  x 2  xy  y 2  2x  y. 3. 2. 8. f ( x, y )  xy.ln  x 2  y 2 . 9. f ( x, y)  x 4  y 4  x 2  2xy  y 2 11. f ( x, y)  x2 ( x  1)  y3 Bài 15. Tìm cực trị có điều kiện của hàm số: 1. f ( x, y )  x  2 y ; x 2  y 2  5. 10. f ( x, y)  ( x  y)2  ( x  y)3 12. f ( x, y)  x4  y 4  2( x  y)2. 3. f ( x, y )  x  y ; x 2  y 2  1. 4. f ( x, y )  xy ; x  y  1. 2. f ( x, y )  x 2  y 2 ; x  y  1. 5. f ( x, y)  x 2 y  4  x  y  ; x  y  6 Bài 16. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong miền tương ứng: 1. f ( x, y )  x 2  y 2  12 x  16 y ; x 2  y 2  25 . 2. f ( x, y )  x 2  y 2  xy  x  y ; x  0, y  0, x  y  3 ..

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 3. f ( x, y )  x 2  2 xy  4 x  8 y ; 0  x  1, 0  y  2 . 4. f ( x, y )  x 2  y 2  12 x  16 y ; x 2  y 2  25 . 5. f ( x, y )  1  x  2 y; x  0, y  0, x  y  1 . 6. f ( x, y )  x 2  y 2 ; x 2  y 2  1. 7. f ( x, y)  x2  y 2 ; x2  y 2  4 . 8. f ( x, y )  e ( x  y ) (2 x 2  3 y 2 ) ; x 2  y 2  4 . Bài 17. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong: 1. y3  4 xy  5 y  x3  12  0 tại điểm M(2,1). 2. 2. 2. x  ( x  y)  e x  y 3  0 tại điểm M(0,1). 3. x  2t 2 , y  3t , z  et 1 tại điểm M(2,3,1). Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện tại M. 4. x2  y 2  1, y  x  z tại điểm M(1,0,-1). Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện tại M. 5. x2  y 2  10, y 2  z 2  25 tại điểm M(1,3,4). Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện tại M. 6. 2 x2  3 y 2  z 2  47, x2  2 y 2  z tại điểm M(-2,1,6). Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện tại M. Bài 18. Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong: 1. x2  3 y 2  2 z 2  0 tại điểm M (1,1, 2) . 2. xy  z  0 tại điểm M (1,1,1) . 3. x2  4 y 2  2 z 2  6 tại điểm M (2, 2,3) . 4. z  2 x2  4 y 2 tại điểm M (2,1,12) . 2. TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Chương 3. Tích phân bội Bài 1. Đổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân sau: 1.. 2. 4. 2. 2. Bài 2. Tính các tích phân sau: 1..   cos. 2. x  sin 2 y  dxdy, D là miền: 0  x . D. 2..   x.  4. ,0  y .  4. ..  y  dxdy , D là miền giới hạn bởi các đường: y  x2 , x  y 2 ..   y. 2.  3 dxdy , D là miền giới hạn bởi các đường: y 2  9 x  9, y 2  9  3x .. 2.  1 dxdy , D là miền giới hạn bởi các đường: y 2  4 x  4, y 2  4  2 x .. D. 5.. 0. 2. D. 4.. 1.  ln  x  y  dxdy, D là miền giới hạn bởi các đường: x  1, y  1, y  x  1. D. 3.. 2y. 2.  dy  f  x, y  dx.  dx  f  x, y  dy x. 3.   y D. 6..  x  y dxdy, D là miền:. x  1, y  1 .. D. 7.   x  y   x  y  3. D. 8.. 2. dxdy, D là miền giới hạn bởi:. x  y  1, x  y  1, x  y  3, x  y  1 .. . f  x, y  dxdy, D là miền giới hạn bởi Ellip:. D. 1. f  x, y   9..   x. x2 y 2  a 2 b2. . czdz ,. x2 y2   1 và a2 b2.  c  const, a  0, b  0  .. 0.  y 2  1 dxdy, D là miền giới hạn bởi đường: x2  y 2  x  0 .. 2. D. 10.. . x 2  y 2 dxdy, D là miền giới hạn bởi:. D. a. Các đường: x2  y 2  a 2 , x2  y 2  4a 2 , b. Đường hoa hồng bốn cánh: r  a sin 2 , 11.. .  a  0 .  a  0 .. 4  x 2  y 2 dxdy, D là miền: x2  y 2  2 x, y  0 .. D. 12..   x  2 y  1 dxdy, D. 13..  ln  x. 2. D là miền: x2  y 2  2 x, x2  y 2  2 y ..  y 2  dxdy, D là miền giới hạn bởi các đường: x2  y 2  e2 , x2  y 2  e4 .. D. 14.. . 1. D. 15..   x D. 2. x2 y2 x2 y 2   1.  dxdy, D là miền giới hạn bởi Ellip: 16 9 16 9.  y 2  dxdy, D là miền giới hạn bởi các đường:.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 16..   x. y  2 x, y  3x, x 2  y 2  1, x  0 .. 2.  y 2  dxdy , D là miền giới hạn bởi: x2  y 2  2x, x2  y 2  4x, y  x .. D. Bài 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 1. x  4 y  y 2 , x  y  6 3. r  a cos  , r  b cos  ,. b  a  0. 5. Các đường tròn: r  1, r . 1 2. y  2 x , y   x, y  4 2 4. r  a sin 2 ,  a  0 . 2 cos  (phần nằm ngoài đường tròn r  1 ). 3. 6. y  x , y  2 x , x  8 . 7. y  0 và một nhịp của đường Cycloid x  a  t  sin t  , y  a  t  cos t  , Bài 4. Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi: 1. y  x2 , z  0, z  5, y  3x. 2. z  2 x2  y 2  1, x  y  2, x  0, y  0, z  0. 3. z  4  x 2  y 2 , z  0 ; x 2  y 2  2 ..  a  0,0  t  2  .. 4. x2  y 2  z 2  4a2 , x2  y 2  2ay  0, a  0 . 5. y  x, y  2 x, x  1, z  x 2  y 2 , z  x 2  2 y 2 , nằm trong góc phần tám thứ nhất. 6. x 2  y 2  z  1, y  x, y  3x, z  0, nằm trong góc phần tám thứ nhất. 7. z  x2  y 2 , z  x 2  2 y 2 , y  x, y  2x, x  1. 8. x2  y 2  a2 , x2  z 2  a2 , nằm trong góc phần tám thứ nhất. 9. x2  y 2  z 2  2z, x2  y 2  z 2 , z  0. 10. z  16  x2 ,4 x  y  16 và các mặt phẳng tọa độ. 11. x 2  z  4  0, y  x , y  2 x , z  0. 12. 2 z  x 2  y 2 , z  x 2  y 2 . 13. y  x2 , z  0, z  y  4. 14. z  2  x 2  y 2 , z  x 2  y 2 . 15. x2  y 2  z 2  2, x  y 2  z 2 . 16. z  x  y, z  x 2  y 2 , nằm trong góc phần tám thứ nhất. 17. 2 y  x2  z 2 , x2  y 2  z 2  3. 18. z  x2  y 2 , z  0, x2  y 2  x, x 2  y 2  2x. Bài 5. Xác định tọa độ trọng tâm của bản phẳng đồng chất giới hạn bởi các đường: x2 y 2 x y 2 2   1,   1 1. y  4 x  4, y  2 x  4 2. 25 9 5 3 3. y  2 x  x2 , y  0.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Bài 6. Tính các tích phân: 1.. 1.  zdxdydz , V là miền xác định bởi: 0  x  4 , x  y  2 x,0  z . 1  x2  y 2 .. V. 2..  z. x 2  y 2 dxdydz , V giới hạn bởi các mặt: x2  y 2  2 x, z  0, z  a,  a  0 .. V. 3..  z. x 2  y 2 dxdydz , V giới hạn bởi các mặt: z  0; z  a 2  x 2  y 2 .. V. x2  y 2 z 2  2 1. 4.  z x  y dxdydz , V là nửa trên của khối Elipxôit: a2 c V 2. 5..  z. 2. x 2  y 2 dxdydz , V giới hạn bởi các mặt: x 2  y 2  1, z  0, z  a,. V. 6..  ydxdydz , V giới hạn bởi các mặt:. y  h, y  x 2  z 2 ,.  h  0 .. V. Bài 7. Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi: 1. x 2  y 2  z 2  2 z, z  x 2  y 2 . x2 y 2 z 2    1 ,  h  z  h,  0  h  c  . a 2 b2 c2 3. x  y  z  3 ; x  2 y  z  1 ; x  4 y  z  2 .. 2.. 4. x2  y 2  2ax, x2  y 2  2ay và mặt z  0, z  a  0 . 5. x 2  y 2  z  1, y  x, y  3x, z  0 nằm trong góc phần tám thứ nhất. 6. x 2  y 2  z 2  a 2 ;  x 2  y 2   a 2  x 2  y 2  , 2.  a  0 .. Bài 8. Xác định tọa độ trọng tâm của vật thể giới hạn bởi các mặt: 1. x  y  1, z  x2  y 2 , x  0, y  0 . 2. x2  y 2  2az, x 2  y 2  z 2  3a 2 ,  z  0, a  0  ..  a  0 ..

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Chương 4: Tích phân đường Bài 1. Tính tích phân: I.   x  y  dx   x  y  2. 2. dy , OAB là đường gấp khúc với O  0;0  , A  2;2  , B  4;0  ,. OAB. theo chiều ngược chiều kim đồng hồ. Bài 2. Tính tích phân: I    y 2  xy  dx   xy  x 2  dy , AB. x2 y 2 1. AB là cung nhỏ của Ellip: 2  2  1, a  0, b  0 , từ A( a,0) đến B (0, b) . a b  1 1  2. AB là cung nhỏ của đường tròn: x 2  y 2  1, từ A  ;  đến B  0;1 .  2 2 Bài 3. Tính tích phân (theo chiều ngược chiều kim đồng hồ): 2 I    2 x5  3 y 2  sin 2 x  dx   x  y   sin 2 y  dy ,   L. 1. L là biên của tam giác ABC với A 1;1 , B  2;2 , C 1;5  . 2. L là biên của tam giác ABC với A 1;1 , B  2;3 , C 5;1  . 3. L là biên của miền giới hạn bởi đường: x 2  y 2  2 x . 4. L là biên của miền giới hạn bởi đường: x 2  y 2  2 x  2 y . 5. L là biên của miền giới hạn bởi các đường: y  x 2 , y  2  x . x2 y 2   1. 6. L là biên của miền giới hạn bởi đường: 25 9 Bài 4. Tính tích phân: 3 3 3 dx , AB là cung nhỏ của đường tròn: x2  y 2  9 , từ A  ; 1. I   2 2  đến x 4 AB y 2 2  B  0,3 .. . . 3 3 3 dx 2 2 A x  y  9 AB là cung nhỏ của đường tròn: , từ ,  ;  đến  x4 y3 2 2  AB  3 3  B ; .  2 2 Bài 5.  mx  y  dx   nx  y  dy , với AB là đường không đi qua O(0,0). 1. Cho I   x2  y 2 AB Tìm m, n để tích phân I không phụ thuộc vào đường AB.  y2 y y y y  2. Tính I   1  2 cos  dx   sin  cos  dy , với AB là đường không cắt x x x x x  AB  trục Oy, từ A 1,   đến B  2,   .. 2. I .

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Bài 6. Tính tích phân: 1. I   y 2 dx  x 2 dy , L là nửa trên của Ellip: L. x2 y 2   1; a  0, b  0 , hướng của L a2 b2. ngược chiều kim đồng hồ. 2 2. I    2 x 2  2 y 2  cos 2 x  dx  ( x  y ) 2  e y  dy , L là nửa trên của Ellip:   L. 2. x y2   1; a  0, b  0 , hướng của L ngược chiều kim đồng hồ. a2 b2 3. I    2 x 2  5sin 3 x  dx   5 1  y 3  4 x  dy , với L: x2  y 2  2 x  3 y , hướng của L   L. ngược chiều kim đồng hồ. 4. I    x 3 cos5 x  x 2  dx  7 x  e 2 y sin 3 y  dy , với L là biên của miền D giới hạn L. bởi: y  3x 2  1, y  7  3x , hướng của L ngược chiều kim đồng hồ. 5. I    xy  x  y  sin 3 x  dx   xy  x  y  2 y  dy , với L: x 2  y 2  2 x  2 y , L. hướng của L ngược chiều kim đồng hồ.  y 6. I    4 y  e 2 x cos x  dx  7 x  3 sin 2  dy , với L là đường gấp khúc nối: A(7, 4) , 4  L B (2,1) , C (9,1) , D (9, 4) hướng của L từ A đến D.. TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Chương 5: Tích phân mặt Bài 1. Tính diện tích mặt cong: 1. Tính diện tích của phần mặt nón: z 2  x2  y 2 , z  0 nằm ở trong mặt trụ: x2  y 2  1 . x2 y 2  ,  a  0, b  0  nằm trong mặt trụ: a b 2 x y2   1. a2 b2 3. Tính diện tích của phần mặt cầu: x2  y 2  z 2  a2 nằm trong mặt trụ:. 2. Tính diện tích của phần mặt: z . x. 2.  y 2   a2  x2  y 2  , 2.  a  0 .. 4. Tính diện tích phần mặt: z  x2  y 2 nằm trong mặt trụ x2  y 2  4 , ở góc phần 8 thứ nhất. Bài 2. Tính tích phân: x y z 4y  1.   2 x   z  dS trong đó S là mặt:    1 ; x  0, y  0, z  0 . 2 3 4 3  S  2..  x. y 2  4dS trong đó S là phần mặt: y 2  4 z  16 giới hạn bởi: x  0, x  1, z  0 .. S. 3..  ( x  2 z )dS , với S là phần mặt phẳng:. x  y  z  1 ; x  0, y  0, z  0 .. S. 4..  zdS , với S là phần mặt cầu:. x2  y 2  z 2  4 nằm trên hình nón: z  x 2  y 2 .. S. 5..  ( x  y )dS , với S là phần mặt nón:. z  x 2  y 2 nằm trong hình trụ: x2  y 2  2x .. S. z  0 2 2 2 x  y  4 , với S là phần mặt trụ: nằm giữa 2 mặt phẳng: . x dS  S z 1  y  1 7.  ydS , với S là phần mặt nón: z  x 2  y 2 giới hạn bởi:  .  y  1  1  x 2 S. 6.. 8..  zdS , với S là phần mặt nón:. z  x 2  y 2 nằm dưới mặt phẳng: z  2 .. S. 9..  x S. 10.. 2. x dS , với S là phần mặt cầu: x2  y 2  z 2  4; x  0, y  0, z  0 . 2 y.  xdS , với S là phần mặt trụ: x. 2.  y 2  1 nằm giữa 2 mặt phẳng: z  0, z  4 .. 2.  z 2  1 phía trong mặt nón: z  x 2  y 2 .. S. 11..  zdS , với S là phần mặt trụ: x S.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Bài 3. Tính tích phân: 1.  xyzdxdy , phía dương của S là phía ngoài của mặt cầu xác định bởi: S. x 2  y 2  z 2  1; x  0, y  0 . 2.. S x. 2. y 2 zdxdy , phía dương của S là phía ngoài của mặt cầu xác định bởi:. x 2  y 2  z 2  4 ; x  0, y  0, z  0 . 3.. S xdydz  dzdx  xz dxdy , phía dương của S là phía ngoài của mặt cầu xác định 2. bởi: x 2  y 2  z 2  1; x  0, y  0, z  0 . 4.. S x. 2. yz 2 dxdz , phía dương của S là phía ngoài của mặt cầu xác định bởi:. x 2  y 2  z 2  9 ; x  0, y  0, z  0 . 5.  (2 x  y 2 )dydz  (3z  x 2 )dxdy , với S là phần của mặt: z  x 2  y 2 nằm trong S. hình trụ: x 2  y 2  1 , phía dưới là phía dương nhìn từ hướng dương của Oz. 6..  xdydz , với S. là phần của mặt: z  x 2  y 2 , z  6 ; phía dưới là phía dương nhìn. S. từ hướng dương của Oz. 7. I   ( x  2 y)dydz  ( y  z )dzdx  (2 x  z )dxdy , với S là phần mặt nón: S. z  x  y 2 nằm trong hình trụ x2  y 2  4 , phía dưới là phía dương, nhìn từ hướng dương của Oz. 8. I   ( x  z )dxdy , với S là biên của vật thể được giới hạn bởi các mặt: z  x2  y 2 , 2. S. z  4 , phía ngoài là phía dương. 9. I   ( x  2 y )dydz  ( y  2 z )dzdx  ( z  2 x)dxdy , với S là phần mặt nón: S. z  x  y 2 bị cắt bởi mặt phẳng z  2 , phía dưới là phía dương, nhìn từ hướng dương của Oz. 10. I   xdydz  ydzdx  ( z 2  1)dxdy , với S là nửa trên mặt cầu: x 2  y 2  z 2  2 x 2. S. (phần z  0 ), phía trong là phía dương. 11. I   xdydz  ydzdx  ( z  1)dxdy , với S là phần mặt: z  x 2  y 2 nằm dưới mặt S. phẳng x  z  2 , phía dưới là phía dương, nhìn từ hướng dương Oz. 12. I   ( x  z )dydz  2 ydzdx  z 2dxdy , với S là phần mặt trụ: x2  y 2  4 nằm giữa S. hai mặt phẳng z  0, z  1, phía ngoài là phía dương..

<span class='text_page_counter'>(15)</span> 13. I   ( z  x  2)dxdy , với S là phần mặt cầu: x2  y 2  z 2  1 nằm ở góc phần 8 S. thứ nhất, phía trong là phía dương. 14. I   ( x  2 y )dydz  ( y  2 z )dzdx  z 2dxdy , với S là phần mặt cầu: S. x  y  z 2  4 nằm trên mặt nón: z  x 2  y 2 (nhìn từ hướng dương của Oz), 2. 2. phía ngoài mặt cầu là phía dương.. TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Chương 6: Phương trình vi phân Bài 1. Giải phương trình vi phân cấp 1:  x x 1. y cos dx   y  x cos  dy  0 y y . 2. y . 2x  3y  2 x y2. 3. 1  x 2  y  y  arctan x. 4.  x 2  1 y  xy  xy 2. y  4 x2 y5 5x x y  3 y3 7. 2  x 2x. 6. x . 5. y . 3. . . 2. . 5. 2.  dy  0. 11.  2 x3  xy 2  dx   2 y 3  x 2 y  dy  0 13. e y dx   xe y  2 y  dy  0. . 3y2 2 x2 12. ydx   x  x 2 y  dy  0. 10. y . 14. xdx   2 x  y  dy  0. . 15.  x  y  1 dx   x  y  3 dy  0. 16.. 17.  3x 2  y 2  y   y 2  x 2  xy  0. 18. xy  y ln. 2xy x  y2 21. e 2 x 1  y 2  dx  1  e x  dy  0. 19. y . . 8. 4 xy 2  y dx  4 x 2 y  x dy  0. 9.  y  5  dx  y  3xy 5  y 2. x   x2 y y. 2. Bài 2. Giải phương trình vi phân cấp 2: 1 1. y  4 y  4 y  sin 2 x 5 1 3. y  y  sin x 1 5. y  y  cos x 7. y  5 y  2e 5 x. . x 2  y 2  y dx  xdy  0 , x  0. y x y y 20. y  e x  x 2 22. y dx   2 xy  3 dy  0 2. y  y  (12  5 x)e x ex 4. y  y  x e 1. 6. y  3 y  1  3 x 2x 8. y  2 y  xe. 9. y  4 y  e 4 x. 10. y  y  cos3x. 11. y  2 y  e2 x. 12. y  2 y  9  4 x. 13. y  y  3cos 2 x . 9 x sin 2 x 4. 15. y  2y  2y  e x sin x 17. y  4 y  4 y  sin x cos 2 x. 14. y  y  x cos x 16. y  y  2y  x  e x 18. y  y  xe x  3e x.

<span class='text_page_counter'>(17)</span>