Bài giảng Giải tích 2 – Chương 5 – Tích phân đường (TS.Nguyễn Văn Quang) năm học 2020-2021 – UET

<span class='text_page_counter'>(1)</span>1. Tích phân đường loại 1 2. Tích phân đường loại 2. TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Định nghĩa.  A2        M2   A1 M1   A0. 23-Mar-21. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN.  An Mn   An1   . 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Định nghĩa Xét hàm f  f ( x, y ) xác định trên đường cong C. Chia C một cách tùy ý ra n đường cong nhỏ bởi các điểm A0 , A1,..., An .. Độ dài tương ứng L1, L2 ,..., Ln . Trên mỗi cung Ai 1 Ai lấy tuỳ ý một điểm M i ( xi , yi ). n. Lập tổng Riemann: I n   f ( M i )  Li i 1. I  lim I n , không phụ thuộc cách chia C, và cách lấy điểm Mi n. I   f ( x, y )dl C. được gọi là tích phân đường loại một của f = f(x,y) trên cung C. 23-Mar-21. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Tính chất 1) Hàm f(x,y) liên tục trên cung C thì khả tích trên C. 2) L(C )   dl. 3)    fdl   fdl. C. C. 4)  ( f  g )dl   fdl   gdl C. C. C. C. 5) Tích phân đường loại một không phụ thuộc chiều lấy tích phân trên C. 6) Nếu C được chia làm hai cung C1 và C2 rời nhau:.  fdl   fdl   fdl C. C1. C2. 7) ( x, y )  C , f ( x, y )  g ( x, y )   fdl   gdl C. C. 8) Định lý giá trị trung bình: Nếu f(x,y) liên tục trên cung trơn C có độ dài L. Khi đó tồn tại điểm M0 thuộc cung C, sao cho:.  fdl  f ( M 0 )  L C 23-Mar-21. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Cách tính f  f ( x, y ) xác định trên đường cong C có phương trình: y  y ( x), a  x  b.. Chia C một cách tùy ý ra n đường cong nhỏ bởi các điểm A0 , A1,..., An . Độ dài tương ứng L1, L2 ,..., Ln .. Li  Ai 1 Ai  ( xi  xi 1 ) 2  ( yi  yi 1 ) 2  (xi ) 2  (yi ) 2. 23-Mar-21. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Cách tính Theo công thức Lagrange (Định lý giá trị trung bình) đối với y(x) trong đoạn [xi–1, xi], ta tìm được một giá trị 𝑥𝑖∗ ∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ] sao cho:. y ( xi )  y ( xi 1 )  y( xi* )  ( xi  xi 1 )  yi  y( xi* )  xi  Li  (xi ) 2  (yi ) 2  (xi )   y( x )  xi  2. * i. 2. 2. 2.  1   y( x )   (xi )  1   y( x )   xi * i. 23-Mar-21. 2. * i. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. (do xi  0) 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Cách tính Sau khi thực hiện phép chia đường cong C, khi đó:. Trên mỗi cung Ai 1 Ai lấy một điểm M i ( xi* , y ( xi* )). n. Lập tổng Riemann: I n   f ( M i )  Li i 1 n.  f i 1. * * ( xi , y ( xi )) . 1. 2 *  y( xi )   .  xi. Do đó:. 2 n  * * * I  lim I n  I   f ( x, y )dl  lim   f ( xi , y ( xi ))  1   y( xi )   xi  n n  i 1 C . b.   f ( x, y ( x))  1   y( x)   dx 2. a 23-Mar-21. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Cách tính Cung C cho bởi phương trình: y  y ( x ) ,. a xb. b.  f ( x, y )dl   f ( x, y ( x))  1   y( x)   dx C. 2. a. Tương tự, cung C cho bởi phương trình: x  x( y ) , d. c yd.  f ( x, y )dl   f ( x( y ), y )  1   x( y )   dy C. 23-Mar-21. 2. c. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Cách tính Cung C cho bởi phương trình tham số: x  x(t ) , y  y (t ) , t1  t  t2. Khi đó:.  x(t )   y(t ) 2. y(t ) 2 y( x)  ; dx  x(t )dt ; 1   y( x)   x(t ) t2.  f ( x, y )dl   f ( x(t ), y (t ))  C. 23-Mar-21. 2. x(t ).  x(t )    y(t )  2. 2.  dt. t1. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Cách tính Cung C cho trong hệ tọa độ cực: r  r ( ) , 1     2 Khi đó, phương trình tham số của cung C: x  r ( ) cos  , y  r ( )sin .   x( )    y( )   r 2 ( )   r ( )  2. 2. 2. 2.  f ( x, y )dl   f  r ( ) cos  , r ( )sin    r ( )   r ( )   d C. 23-Mar-21. 2. 2. 1. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Định nghĩa Tương tự , ta có định nghĩa tích phân đường trong không gian. f  f ( x, y, z ) xác định trên đường cong C trong không gian.. C cho bởi phương trình tham số:.  x  x(t )   y  y (t ),  z  z (t ) . t1  t  t2. I   f ( x, y, z )dl C. t2.  f ( x, y, z )dl   f ( x(t ), y (t ), z (t ))  C 23-Mar-21.  x(t )    y(t )    z (t )  2. 2. 2.  dt. t1 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Ví dụ 2 x Tính I   x3dl , trong đó C là cung parabol y  , 0  x  3 2 C. b. I   f ( x, y ( x))  1   y( x)   dx 2. a 3.   x. 3. 1   y( x)  dx 2. 0. 3.   x 0 23-Mar-21. 3. 58 1  x dx  15 2. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Ví dụ Tính I   2 xdl , trong đó C = C1 U C2 , với C1: y = x2, từ (0,0) đến (1,1) và C. C2 là đường thẳng từ (1,1) đến (1,2). 1. I   2 xdl   2 xdl   2 xdl   2 x  1   y( x)   dx  C. C1. C2. 2. 0 2.   2.1. 1   x( y )   dy 2. 1. 1. 2.   2 x  1  4 x  dx   2 1  1   0  0 23-Mar-21. 2. 1. 2. 5 5 1  dy  2 6. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 13.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Tính I   (2  x 2 y )dl , với C là nửa trên đường tròn x 2  y 2  1 C b. Có thể dùng công thức I   f ( x, y ( x))  1   y( x)   dx 2. a. nhưng việc tính toán phức tạp. Viết phương trình tham số cung C. Đặt: x  r cos t ; y  r sin t Vì x 2  y 2  1, nên r = 1..  x  cos t ; 0t  Phương trình tham số của nửa trên đường tròn:   y  sin t . . 2 I   (2  cos t  sin t )  x(t )    y(t )  dt   (2  cos t  sin t ) dt  2  3 0 0 23-Mar-21. 2. 2. 2. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 2. 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Tính I   xy 4dl , với C là nửa bên phải đường tròn x 2  y 2  16; x  0. C. Viết phương trình tham số cung C..  x  r cos t Đặt   y  r sin t Vì x 2  y 2  16 , nên r  4  x  4  cos t   ;  t  Phương trình tham số của C:  2 2  y  4  sin t  /2.  /2. 2 6 I   4cos t  4 sin t ( 4sin t )  (4cos t ) dt  4  cos t  sin tdt   4 5  /2  /2 23-Mar-21. 4. 4. 2. 2. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 6. 4. 15.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Tính I   ( x 2  y 2 )dl , với C là nửa đường tròn x 2  y 2  2 x; x  1. C. Viết phương trình tham số cung C..  x  r cos t Đặt   y  r sin t Vì x 2  y 2  2 x , nên r  2cos t Phương trình tham số của C:  x  2cos t  cos t  1  cos 2t   ; - t   4 4  y  2cos t  sin t  sin 2t  /4. I   (2  2cos 2t ) ( 2sin 2t ) 2  (2cos 2t ) 2 dt  4  2  /4. 23-Mar-21. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 16.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Tính I   2 xdl , với C là giao của 2 mặt: x 2  y 2  4 ; x  z  4. C.  x  r cos t  Đặt:  y  r sin t  z  4  r cos t . Vì x 2  y 2  4, nên r  2. Phương trình tham số của C:  x  2cos t  ; 0  t  2  y  2sin t  z  4  2cos t  2. I   4cos t  (2sin t ) 2  (2cos t ) 2  (2sin t ) 2 dt  0. 0 23-Mar-21. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 17.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Tính I   ( x  y )dl , với C là đường tròn: x 2  y 2  z 2  4; y  x. C. Đường tròn 𝐶 = 𝐶1 ∪ 𝐶2 . Trong đó, 𝐶1 là nửa đường tròn nằm ở phần nửa mặt cầu bên phải. Tham số đường cong 𝐶1 qua hệ tọa độ cầu.. 1   sin t x  y  r  Đặt  2  z  r  cos t  Vì x 2  y 2  z 2  4, y  x , nên r  2 Phương trình tham số của 𝐶1 :  x  y  2 sin t ; 0t    z  2cos t . I1   2 2 sin t  2cos 2 t  2cos 2 t  4(  sin t ) 2 dt  8 2 0 23-Mar-21. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 18.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Tính I   ( x  y )dl , với C là đường tròn: x 2  y 2  z 2  4; y  x. C. 𝐶2 là nửa đường tròn nằm ở phần nửa mặt cầu bên trái. Tham số đường cong 𝐶2 qua hệ tọa độ cầu.. 1   sin t x  y  r  Đặt  2  z  r  cos t  Vì x 2  y 2  z 2  4, y  x , nên r  2 Phương trình tham số của 𝐶2 :  x  y   2 sin t ; 0t    z  2cos t . I 2    2 2 sin t  2cos 2 t  2cos 2 t  4(  sin t ) 2 dt  8 2.  I  I1  I 2  0. 0 23-Mar-21. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 19.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> 2 2 2 Tính I   x 2 dl , với C là đường tròn: x  y  z  4; x  y  z  0. C. Viết phương trình tham số đường tròn C (qua hệ tọa độ trụ) phức tạp. Nhận xét: do đường tròn C đối xứng qua gốc O, hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn nên:. I   x 2dl   y 2dl   z 2dl C. C. . C. . 4 1 2 2 2  I   x  y  z dl   dl 3C 3C. 4   độ dài đường tròn C (chu vi đường tròn R=2 ). 3 4 16   4  3 3 23-Mar-21. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 20.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> Tính I   ( x  z )dl , với C là đường x  3cos t , y  3sin t , z  t , 0  t  4 . C. Ta có phương trình mặt trụ: x 2  y 2  9. Với 0  t  4 thì đường cong C là đường cong nằm trên mặt trụ. 4. I   (3cos t  t )   x(t )    y(t )    z (t )  dt 2. 2. 2. 0. 4. I   (3cos t  t ) 10dt  8 2 10 0 23-Mar-21. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 21.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> Bài toán Tính công của lực biến đổi trên đường cong: Cho một chất điểm M di chuyển dọc theo một cung phẳng 𝐴𝐵 từ điểm A đến điểm B dưới tác dụng của lực: 𝐹 𝑀 = 𝑃 𝑀 . 𝑖 + 𝑄 𝑀 . 𝑗 , 𝑀 ∈ 𝐴𝐵. Hãy tính công W của lực đó sinh ra.. 23-Mar-21. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 22.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> Bài toán Chia cung 𝐴𝐵 một cách tùy ý ra n đường cung nhỏ bởi các điểm chia:. A0 ( x0 , y0 ), A1 ( x1, y1 ),..., An ( xn , yn ). Khi đó: Ai 1 Ai  xi  i  yi  j Lấy M i ( xi , yi )  Ai 1 Ai .. Cung Ai 1 Ai nhỏ, nên có thể coi nó xấp xỉ dây cung Ai 1 Ai và F ( M i ) không đổi (về chiều và độ lớn) trên cung đó. Do đó, công của lực sinh ra khi chất điểm di chuyển từ 𝐴𝑖−1 đến 𝐴𝑖 theo cung Ai 1 Ai sẽ xấp xỉ là: F ( M i )  Ai 1 Ai  P ( M i )  xi  Q ( M i )  yi 23-Mar-21. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 23.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> Bài toán Vậy công W của lực sinh ra sẽ xấp xỉ với: n. W    P ( xi , yi )  xi  Q ( xi , yi )  yi  i 1. Do đó, giới hạn của tổng trên khi 𝑛 → ∞ chính là công của lực: n. W= lim   P ( xi , yi )  xi  Q ( xi , yi )  yi  n i 1. 23-Mar-21. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 24.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> Định nghĩa P  P ( x, y ), Q  Q ( x, y ) xác định trên đường cong C có hướng.. Chia C một cách tùy ý ra n đường cong nhỏ bởi các điểm:. A0 ( x0 , y0 ), A1 ( x1, y1 ),..., An ( xn , yn ). Trên mỗi cung Ai 1 Ai lấy tuỳ ý một điểm M i ( xi , yi ) ; Ai 1 Ai  xi  i  yi  j n. Lập tổng Riemann: I n    P ( M i )  ( xi  xi 1 )  Q ( M i )  ( yi  yi 1 )  i 1. I  lim I n , không phụ thuộc cách chia C, và cách lấy điểm Mi n. I   P ( x, y )dx  Q ( x, y )dy C. được gọi là tích phân đường loại hai của P(x,y) và Q(x,y) trên cung C. 23-Mar-21. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 25.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> Tính chất 1) Tích phân đường loại hai phụ thuộc chiều lấy tích phân trên C:.  Pdx  Qdy    Pdx  Qdy AB. BA. 2) Nếu C được chia làm hai cung C1 và C2 rời nhau:.  Pdx  Qdy   Pdx  Qdy   Pdx  Qdy C. 23-Mar-21. C1. C2. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 26.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> Cách tính tích phân đường loại hai: 1) C: x = x(t), y = y(t), t = a ứng với điểm đầu, t = b: điểm cuối cung.  P ( x, y )dx  Q ( x, y )dy   P ( x, y )dx   Q ( x, y )dy C. C. C. Chia [a,b] thành n đoạn: a  t0  t1  t2  xi  xi  xi 1  x (ti )  x (ti 1 ). .  tn  b. ñònh lyù Lagrange. . . x(ti* )  ti. Chọn điểm trung gian Mi x (ti* ), y (ti* ) , khi đó: n. * * P ( x , y ) dx  lim P ( x ( t ), y ( t   i i ))  xi n i 1. C n.  P ( x , y )dx  lim  P. C. n i 1. . x (ti* ), y (ti* ). .  x (ti* )  ti. b.   P  x (t ), y (t )   x (t )  dt a. b.  P ( x, y )dx  Q ( x, y )dy    P  x(t ), y (t )   x(t )  Q  x (t ), y (t )   y (t )  dt. C. 23-Mar-21. a. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 27.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> Cách tính Các hàm 𝑃(𝑥, 𝑦) và 𝑄(𝑥, 𝑦) liên tục trên tập mở D chứa cung trơn C. 2) C: y = y(x), x = x1 là hoành độ điểm đầu, x = x2: điểm cuối cung. x2.  P ( x, y )dx  Q ( x, y )dy    P ( x, y ( x))  Q ( x, y ( x))  y ( x)  dx C. x1. 3) C: x = x(y), y = y1 là tung độ điểm đầu, y = y2: điểm cuối cung. y2.  P ( x, y )dx  Q ( x, y )dy    P ( x( y ), y )  x( y )  Q ( x( y ), y )  dy C 23-Mar-21. y1 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 28.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> Tích phân đường loại 2 trong không gian Các hàm P(x,y,z), Q(x,y,z) và R(x,y,z) liên tục trên tập mở D chứa cung trơn AB. n.  Pdx  Qdy  Rdz  lim   P ( Mi )xi  Q( Mi )yi  R ( Mi )zi  n i 1. AB. Cung AB có phương trình tham số: x  x (t ), y  y (t ), z  z(t ); a  t  b  Pdx  Qdy  Rdz . AB. b.    P ( x (t ), y (t ), z(t ))  x (t )dt  Q( x (t ), y (t ), z(t ))  y(t )dt  R ( x (t ), y (t ), z(t ))  z(t )dt  a. b.    P  x(t )  Q  y(t )  R  z(t )  dt a. 23-Mar-21. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 29.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> Tích phân đường loại 2 trong không gian Giả sử: 𝐅(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐢 + 𝑄 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐣 + 𝑅 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐤 là một trường vector xác định trên cung AB. Nếu cung AB được cho bởi phương trình vector:. r ( t )  x ( t ) i  y ( t ) j  z( t ) k Tích phân đường của F trên cung AB là (công của lực F sinh ra khi di chuyển một vật trên đường cong AB):.  F  dr   F(r(t ))  r '(t )dt. AB 23-Mar-21. AB. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 30.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> Ví dụ Tính I   ( x 2  3 y )dx  2 ydy , trong đó C là biên tam giác OAB C. với O(0,0); A(1,1); B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ.. I     C. OA. AB. BO. Phương trình OA: y = x. B. Hoành độ điểm đầu: x = 0. A. Hoành độ điểm cuối: x = 1 1. I1     ( x 2  3 x )dx  2 xdx OA. 0 1. I1     ( x 2  5 x )dx  OA. 23-Mar-21. 0. O. 17 6 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 31.

<span class='text_page_counter'>(32)</span> Phương trình AB: y = 2 – x B. Hoành độ điểm đầu: x = 1. A. Hoành độ điểm cuối: x = 0 0. 11 I 2     ( x  3(2  x ))dx  2  (2  x )  (1)dx   6 AB 1 2. Phương trình BO: x = 0 Tung độ điểm cuối: y = 0. I  I1  I 2  I 3  23-Mar-21. O. Tung độ điểm đầu: y = 2 0. I 3     (02  3y )  0  dy  2  y  dy  4 BO. 2. 17 11   4  3 6 6 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 32.

<span class='text_page_counter'>(33)</span> Tính I   ydx  xdy , trong đó C là cung x 2  y 2  2 x, từ O(0,0) C. đến A(1,1), chiều kim đồng hồ..  x  r cos t Sử dụng tọa độ cực   y  r sin t x 2  y 2  2 x  r  2cos t Phương trình tham số cung C:   x  2cos t  cos t  1  cos 2t   y  2cos t  sin t  sin 2t    t1  ; t2  2 4 . . .  /4. I   sin 2t  (2sin 2t )  (1  cos 2t )  (2cos 2t )  dt  1  /2. 23-Mar-21. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 33.

<span class='text_page_counter'>(34)</span> Tính I   ydx  zdy  xdz với C là đường cong có phương trình tham số: C. x  a cos t, y  a sin t, z  bt,0  t  2 theo hướng tăng dần của biến t.. 2. I   a sin t  (a sin tdt )  bt  (a cos tdt )  a cos t  (bdt ) 0 2. . . I    a 2 sin 2 t  abt cos t  ab cos t dt   a 2 0. 23-Mar-21. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 34.

<span class='text_page_counter'>(35)</span> I   ( y  z )dx  ( z  x)dy  ( x  y )dz với C là giao của mặt: x 2  y 2  z2  4, C. y  x  tan  ;0     , ngược chiều kim đồng hồ nhìn theo hướng trục Ox. Từ phương trình của đường cong C, ta có: x 2  x 2 tan 2   z2  4 x2 z2   1 2 4cos  4. Tham số đường cong C qua hệ tọa độ trụ: x  2cos   cos t ; y  2sin   cos t ; z  2sin t 2. (0  t  2 ). I    (2sin  cos t  2sin t )( 2cos  sin t )  (2sin t  2cos  cos t)(-2sin  sin t )  dt 0.      (2cos   cos t  2sin   cos t )  (2cos t )  dt  8 2 sin     4  0 2. 23-Mar-21. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 35.

<span class='text_page_counter'>(36)</span> Công thức Green C là biên của miền D. Chiều dương qui ước trên C là chiều mà đi theo chiều này ta thấy miền D ở phía bên tay trái. Miền D được gọi là miền đơn liên nếu nó bị giới hạn bởi một đường. cong kín. Ngược lại D được gọi là miền đa liên nếu nó bị giới hạn bởi nhiều đường cong kín. Trong đa số trường hợp, chiều dương qui ước là ngược chiều kim đồng hồ. Trong trường hợp tổng quát điều này không đúng. 23-Mar-21. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 36.

<span class='text_page_counter'>(37)</span> Công thức Green. Miền đơn liên. 23-Mar-21. Miền đa liên. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 37.

<span class='text_page_counter'>(38)</span> Công thức Green D là miền (đơn liên hoặc đa liên) đóng, giới nội trong mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦 với biên C (kín) liên tục, trơn từng khúc. 𝑃(𝑥, 𝑦), 𝑄(𝑥, 𝑦) và các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục trên miền D..  Q P   dxdy  P ( x , y )dx  Q( x , y )dy      y  C D  x Dấu + nếu chiều lấy tích phân trùng chiều dương qui ước (đi theo chiều lấy tích phân, miền D nằm ở bên tay trái). Điều kiện để sử dụng công thức Green: 1) C là cung kín. 2) P(x,y), Q(x,y) và các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục trên miền D có biên C. 23-Mar-21. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 38.

<span class='text_page_counter'>(39)</span> Tính I   ( x 2  3 y )dx  2 ydy , trong đó C là biên tam giác OAB C. với O(0,0); A(1,1); B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ. Cung C kín. P ( x , y )  x 2  3y ; Q ( x , y )  2 y. B. A. P(x,y), Q(x,y) và các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục trên miền D có biên C..  Q P  2 I   ( x  3y )dx  2 ydy      dxdy  y  C D  x 1. 2 x. 0. x. O.    0  3 dxdy   dx  (3)dy  3 D. 23-Mar-21. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 39.

<span class='text_page_counter'>(40)</span> Tính I   ( x  y )2 dx  ( x  y ) 2 dy , trong đó C nửa trên đường tròn: C. x 2  y 2  2 x cùng chiều kim đồng hồ.. Cung C không kín.. I        I1  I 2 C. C  AO. AO.  Q P  I1        dxdy  y  D  x C  AO  /2. 2cos . 0. 0.     2( x  y )  2( x  y )  dxdy    d  4r cos   r  dr  2 D. 0. 8 I 2   ( x  0) dx  ( x  0) 0dx   3 2 2. 2. 8 I  I1  I 2  2  3. Có thể giải bằng cách viết phương trình tham số cung C. 23-Mar-21. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 40.

<span class='text_page_counter'>(41)</span> ( x  y )dx  ( x  y )dy Tính I   , trong đó C đường tròn: 2 2 x y C x 2  y 2  4 ngược chiều kim đồng hồ.. Cách 1: Cung C kín, nhưng P, Q và các ĐHR cấp 1 không liên tục trên D, không sử dụng công thức Green được !!! Viết phương trình tham số cung C:.  x  2cos t   y  2sin t. t1  0; t2  2. (2cos t  2sin t )  ( 2sin t ) dt  (2cos t  2sin t)  2cos tdt I   2 4 0 2. 23-Mar-21. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 41.

<span class='text_page_counter'>(42)</span> Cách 2: Tích phân trên đường tròn: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4, nên thay vào mẫu số ta có:. ( x  y )dx  ( x  y )dy I 4 C Có thể sử dụng công thức Green trong trường hợp này.. 1 I   ( x  y )dx  ( x  y )dy 4C 1 2   (1  1)dxdy    SD  2 4 x 2  y 2 4 4 23-Mar-21. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 42.

<span class='text_page_counter'>(43)</span> Ví dụ Tính I   (4  y )dx  xdy , trong đó C là cung Cicloid: C. x  2(t  sin t ), y  2(1  cos t ),0  t  2 (cùng chiều kim đồng hồ).. Cung C không kín. 2. I    4  2(1  cos t )   2(1  cos t ) dt  2(t  sin t )(2sin t ) dt 0. 2. I   4t sin tdt  8 0. 23-Mar-21. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 43.

<span class='text_page_counter'>(44)</span> Ví dụ Tính I   e.  x2  y 2.  cos 2 xydx  sin 2 xydy  , trong đó C là đường tròn:. C. x 2  y 2  4 , ngược chiều kim đồng hồ.. P ( x, y )  e.  x2  y 2. cos(2 xy ) ; Q ( x, y )  e.  x2  y 2. sin(2 xy ). P  x2  y2  2e  y cos(2 xy)  x sin(2 xy) y. Q  x2  y2  2e  y cos(2 xy)  x sin(2 xy) x  Q P  I     dxdy  0  y  x 2  y 2  4  x 23-Mar-21. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 44.

<span class='text_page_counter'>(45)</span>  ydx  xdy Tính I   , trong đó C là đường cong kín tùy ý, 2 2 x y C không đi qua gốc O, ngược chiều kim đồng hồ.. Trường hợp 1: C không bao quanh gốc O. Sử dụng công thức Green. y P( x, y)  2 x  y2 P 1 2y2  2  2 2 2 2 y x  y x y. . . . . x Q( x , y )  2 x  y2 Q 1 2x2  2  2 x x  y x2  y2 23-Mar-21. 2.  Q P   I     dxdy  0  y  D  x TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 45.

<span class='text_page_counter'>(46)</span> Trường hợp 2: C bao quanh gốc 0. Không sử dụng công thức Green được vì P, Q và các ĐHR cấp 1 không liên tục trên miền D, có biên là C. Kẻ thêm đường tròn C1 có bán kính a đủ nhỏ để C1 nằm lọt trong C, chọn chiều kim đồng hồ.. I        I1  I 2 C. C C1. C1. I1  . C C1.  Q P   dxdy  0 =     y  D  x. Green. Tính tích phân I2 trên cung tròn: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑎2. Phương trình tham số của cung C1: x  a cos t, y  a sin t, t1  2 , t2  0. a cos t  a cos t  dt  a sin t  a sin t  dt I2    2 2 a 2 0. 23-Mar-21. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN.  I  I1  I 2  2 46.

<span class='text_page_counter'>(47)</span> Tích phân không phụ thuộc đường lấy tích phân Định lý: (không phát biểu cho miền đa liên) Giả sử tồn tại miền mở đơn liên D chứa cung AB, sao cho P(x,y), Q(x,y) và các ĐHR cấp 1 của chúng liên tục trong D. Các mệnh đề sau tương đương: Q P  , ( x , y )  D 1. x y 2. Tích phân I   Pdx  Qdy không phụ thuộc đường cong (trơn từng khúc) AB. nối điểm A, B nằm trong D. 3. Tồn tại hàm U(x,y) trên D là vi phân toàn phần của Pdx + Qdy, tức là:. dU ( x, y)  Pdx  Qdy 4. Tích phân trên mọi đường cong kín C, trơn từng khúc trong D bằng 0:. I   Pdx  Qdy  0 C. 23-Mar-21. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 47.

<span class='text_page_counter'>(48)</span> Tích phân không phụ thuộc đường lấy tích phân  Q P   Tích phân không phụ thuộc đường đi    x  y   I        I1  I 2 AB. AC. B. CB. I1   P ( x, y)dx  Q( x , y )dy. x  xB. AC xB. y A , yB.   P ( x , y A )dx  Q( x , y A )  0dx xA. A. I 2   P ( x , y )dx  Q( x , y )dy. y  yA x A , xB. C. CB yB.   P ( x A , y )  0dy  Q( x B , y )dy yA. 23-Mar-21. xB. yB. xA. yA.  I   P ( x , y A )dx   Q( x B , y )dy. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 48.

<span class='text_page_counter'>(49)</span> (2,3). Tính I   ydx  xdy ( 1,2). Q P   1 suy ra, tích phân không phụ thuộc đường đi. x y B(2,3). Cách 1:. A(1, 2)  2. 3. 1. 2. C. I       2dx   2dy  8 AC. CB. Cách 2: Tồn tại hàm U(x,y) là vi phân toàn phần của Pdx + Qdy U x  P ( x , y ) tìm được hàm U ( x , y )  xy  C   U y  Q( x , y ) (2,3) (2,3) I   ydx  xdy  U ( x, y ) ( 1,2)  U (2,3)  U (1, 2)  8 ( 1,2). 23-Mar-21. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 49.

<span class='text_page_counter'>(50)</span> (6,8). Tính I  . xdx  ydy. (1,0). x2  y 2. , với đường cong không bao quanh gốc tọa độ.. Q P  suy ra, tích phân không phụ thuộc đường đi. x y Tồn tại hàm U(x,y) là vi phân toàn phần của Pdx + Qdy.   U x  P ( x , y )    U   Q( x , y )   y . x x2  y2 y x2  y2. (1). (1)  U ( x , y )   P ( x , y )dx  g( y ) U ( x, y) . (2). x 2  y 2  g( y ). (2)  g( y )  0  g( y )  C.  U ( x, y)  x 2  y 2  C. I. (6,8)  U ( x, y ) (1,0). 23-Mar-21.  U (6,8)  U (1,0)  9 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 50.

<span class='text_page_counter'>(51)</span> xdx  ydy Tính I   theo đường cong AB tùy ý từ A(1,0) đến B(2,0): 2 2 AB x  y a) Không bao quanh gốc tọa độ. b) Bao quanh gốc tọa độ.. a). Q P  , tích phân I không phụ thuộc đường đi từ A đến B. x y 2 dx. Nên ta tính tích phân theo trục hoành: I  . 1. b). x.  ln x. 2 1.  ln 2. Q P  , tích phân I không phụ thuộc đường đi từ A đến B. x y. Tuy nhiên I không thể tính như câu a (theo đường thẳng từ A đến B theo trục hoành), vì không tồn tại miền đơn liên D nào chứa đường thẳng AB và đường cong kín bao quanh gốc O để cho P, Q và các ĐHR cấp 1 liên tục trên D. 23-Mar-21. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 51.

<span class='text_page_counter'>(52)</span> Cách 1: Tính theo các đoạn thẳng: AC, CD, DE, EF, FB. trong đó: A(1,0), C(1,1), D(-1,1), E(-1,-1), F(2,-1), B(2,0). Cách 2: Tìm hàm U(x,y) là vi phân toàn phần của P(x,y)dx+Q(x,y)dy x   U x  P ( x , y )  x 2  y 2 (1)   y U   Q( x , y )  (2) y 2 2  x y. ln( x 2  y 2 )  U ( x, y)  C 2. (1)  U ( x , y )   P ( x , y )dx  g( y ). ln( x 2  y 2 ) U ( x, y)   g( y ) 2 (2)  g( y )  0  g( y )  C. ln 4  ln1  U (2,0)  U (1,0)   ln 2 2 Cách 3: Bổ sung thêm đoạn thẳng từ B đến A, đưa vào đường tròn (đủ nhỏ) bao (2,0). I  U ( x, y ) (1,0). quanh gốc O. Sử dụng công thức Green đối với miền đa liên này. 23-Mar-21. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 52.

<span class='text_page_counter'>(53)</span> I   (2 ye xy  e x cos y )dx  (2 xe xy  e x sin y )dy C. a) Tìm hằng số  để tích phân I không phụ thuộc đường đi.. b) Với  ở câu a), tính I biết C là cung tùy ý nối A (0, ) và B (1,0).. a) Điều kiện cần để tích phân không phụ thuộc đường đi: Q P  x y xy. xy. x.  2e  2 xye   e. xy. xy. x. sin y  2e  2 xye  e. sin y.  1 Đây cũng là điều kiện đủ vì với mọi cung C luôn tìm được miền đơn liên D chứa cung C sao cho P, Q và các ĐHR cấp 1 liên tục trên miền D. 23-Mar-21. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 53.

<span class='text_page_counter'>(54)</span> b) Với   1 ta có tích phân: (1,0). I   (2 ye xy  e x cos y )dx  (2 xe xy  e x sin y )dy (0, ).  A(0,  ) x0. Chú ý: tích phân I không phụ thuộc đường đi.. O. I   AO. y1   , y2  0. B(1,0). OB. 0. 1. . 0. y0. x. I    sin ydy   e dx. x1  1, x2  0. I  e 1 23-Mar-21. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 54.

<span class='text_page_counter'>(55)</span> Tích phân không phụ thuộc đường lấy tích phân a) Cho P( x, y )  y, Q( x, y )  2 x  ye y . Tìm hàm h(y) thỏa h(1) = 1 sao cho tích phân I   h( y ) P ( x, y )dx  h( y )Q( x, y )dy không phụ thuộc đường đi. C. b) Với h(y) ở câu a), tính I biết C là phần đường cong có phương trình: 4 x 2  9 y 2  36 , ngược kim đồng hồ từ A(3,0) đến B(0,2).. a) Điều kiện cần để tích phân không phụ thuộc đường đi:. Q P  x y 23-Mar-21. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN. 55.

<span class='text_page_counter'>(56)</span>