Tài liệu Chương 1: Giới thiệu về tín hiệu và hệ thống pdf

CHƯƠNG 1
GIỚI THIỆU VỀ TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG
Nội dung
1.1 Phân loại tín hiệu
1.2 Các mô hình và phép tính tín hiệu
1.3 Phân loại hệ thống
1.4 Mô hình hệ thống: Mô tả quan hệ ngõ vào – ngõ ra hệ thống
Tài liệu tham khảo:
B.P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998
Chương trình bày một số đặc tính cơ bản của tín hiệu, đồng thời giới thiệu các ý
niệm cơ bản chính và giải thích định tính phương thức hoạt động của hệ thống, tạo cơ sở
cho phần còn lại của tài liệu.
Tín hiệu
Tín hiệu là tập các thông tin hay dữ liệu, Thí dụ tín hiệu trong điện thoại hay truyền
hình, doanh số bán của một công ty, hay chỉ số giá chứng khoán hàng ngày (thí dụ chỉ số
Dow Jones). Các thí dụ trên cho thấy tín hiệu là hàm theo biến thời gian độc lập, tuy không
phải lúc nào cũng đúng. Thí dụ điện tích được phân bố trong một vật thì tín hiệu là điện
tích lại phụ thuộc nhiều vào yếu tố không gian, không phải là thời gian. Tài liệu này quan
tâm chủ yếu đến các tín hiệu phụ thuộc theo thời gian. Tuy nhiên, phương thức này còn áp
dụng được cho các dạng biến độc lập khác.

Hệ thống
Hệ thống xử lý các tín hiệu, nhằm thay đổi hay lấy thêm thông tin từ tín hiệu. Thí
dụ, người lính phòng không cần thông tín từ mục tiêu di động của đối phương mà radar
của mình đang theo bám. Thông qua xử lý đúng tín hiệu radar (ngõ vào), anh ta có thể ước
lượng được vị trí sắp tới của mục tiêu. Như thế, hệ thống là một thực thể (entity) nhằm xử
lý tập các tín hiệu (ngõ vào) để tạo một tập tín hiệu khác (ngõ ra). Hệ thống có thể được
tạo lập từ các thiết bị vật lý, như các hệ thống điện, hệ thống cơ, hay thủy lực (phần cứng),
hay có thể là một thuật toán để tính toán ngõ ra khi có tín hiệu ngõ vào (phần mềm).
1.1 Kích thước của tín hiệu (đo lường tín hiệu)
Kích thước của một thực thể là con số nhằm chỉ thị độ lớn hay cường độ của thực

thể này. Nói chung, biên độ tín hiệu thay đổi theo thời gian. Như thế, làm cách nào để đo
lường một tín hiệu tồn tại trong một khoảng thời gian với biên độ có thay đổi dùng chỉ một
con số nhằm chỉ thị kích thước hay cường độ của tín hiệu? Đo lường này không chỉ xem
xét về tín hiệu biên độ, mà còn xem xét đến thời gian tồn tại. Thí dụ nếu ta có ý định chỉ
dùng một số V để đo kích thước của con người, ta không chỉ xem xét vòng ngực mà còn
phải xem thêm về chiều cao. Nếu ta dùng giả thiết là hình dạng con người là một hình khối
tròn có bán kính r (thay đổi theo chiều cao h) thì đo lường hợp lý kích thước của người có
chiều cao H là thể tích V, cho theo công thức:
∫
=
H
dhhrV
0
2
)(
π
Năng lượng tín hiệu
Từ đó, tiếp tục xem xét vùng điện tích của tín hiệu f(t) như phép đo kích thước, do
phần này không chỉ dùng biên độ, mà còn quan tâm đến thời gian tồn tại của tín hiệu. Tuy
nhiên, phương pháp này có thể cho kết quả đo lường sai khi f(t) là tín hiệu lớn, tạo các
vùng diện tích có giá trị dương và giá trị âm, có khả năng triệt tiêu nhau, làm cho phép đo
có giá trị nhỏ hơn giá trị thực. Vấn đề này được hiệu chỉnh bằng cách định nghĩa kích
thước của tín hiệu là vùng điện tích của f
2
(t), là vùng điện tích luôn có giá trị dương. Gọi
đo lường này là năng lượng tín hiệu E
f
, được định nghĩa (cho tín hiệu thực) là:

∫

+∞
∞−
=
dttfE
f
)(
2
(1.1)
Khi f(t) là tín hiệu phức, ta có công thức tổng quát:

∫
+∞
∞−
=
dttfE
f
2
)(
(1.2)
Tuy còn có thể đo lường tín hiệu bằng nhiều cách khác, thí dụ như vùng điện tích
của
)(tf
, nhưng phép đo năng lượng với khả năng biểu diễn dạng toán học, còn có ý
nghĩa chỉ thị năng lượng của tín hiệu (sẻ được minh họa ở phần sau).

Công suất tín hiệu
Năng lượng tín hiệu cần hữu hạn để đo lường được kích thước tín hiệu, Điều kiện
cần để năng lượng hữu hạn là biên độ tín hiệu
0
→

khi
∞→
t
(xem hình 1.1a), nếu
không tích phân trong phương trình (1.1) sẽ không hội tụ.
Trong một số trường hợp, thí dụ khi biên độ của f(t) không
0
→
khi
∞→
t
,
(hình 1.1b), thì năng lượng tín hiệu là vô hạn. Trường hợp này, cần đo kích thước tín hiệu
theo trị trung bình theo thời gian của năng lượng, nếu tồn tại. Đo lường này gọi là công
suất của tín hiệu.
Định nghĩa công suất P
f
của tín hiệu f(t) là:

∫
−
∞→
=
2/
2/
2
)(
1
lim
T

T
T
f
dttf
T
P

(1.3)


Khi f(t) là tín hiệu phức, ta có công thức tổng quát:

∫
−
∞→
=
2/
2/
2
)(
1
lim
T
T
T
f
dttf
T
P

(1.4)
Ta thấy là công suất tín hiệu P
f
là trung bình theo thời gian của bình phương biên
độ tín hiệu, tức là trị bình phương trung bình của f(t). Hơn nữa, căn bình phương của P
f
là
trị rms (root mean square) của f(t).
Trung bình của tín hiệu trong khoãng thời gian dài vô hạn tồn tại nếu tín hiệu là
tuần hoàn hay statistical regularity. Khi không thỏa điều kiện này thì có thể không tồn tại
trị trung bình. Thí dụ, tín hiệu hàm dốc f(t) = t tăng vô hạn khi
∞→
t
, như thế không tồn
tại công suất cũng như năng lượng của tín hiệu này.
Nhận xét
Năng lượng tín hiệu được định nghĩa từ phương trình (1.1) và (1.2) không chỉ thị
năng lượng thực của tín hiệu do năng lượng tín hiệu không chỉ phụ thuộc vào tín hiệu mà
còn phụ thuộc vào tải của tín hiệu. Năng lượng này có thể được biểu diễn như năng lượng
tiêu tán (dissipated) của một tải chuẩn hóa với giá trị 1 ohm khi áp điện áp f(t) vào hai đầu
trở (hay khi cho dòng f(t) qua trở 1 ohm này). Trường hợp này đo lường “năng lượng” chỉ
thị khả năng của năng lượng chứ không là năng lượng thực. Như thế, các ý niệm về bảo
toàn năng lượng không dùng được cho ý niệm “năng lượng tín hiệu” này. Lý luận tương tự
cho trường hợp “công suất tín hiệu” theo định nghĩa (1.3) và (1.4). Các đo lường này
không chỉ thị thích hợp cho kích thước tín hiệu, là ý niệm hữu ích trong nhiều ứng dụng.
Thí dụ, ta xấp xỉ tín hiệu f(t) bằng tín hiệu g(t), sai số xấp xỉ là e(t) = f(t) –g(t). Năng lượng
(hay công suất) của e(t) là chỉ thị thích hợp tính đúng của phép xấp xỉ, nhằm cung cấp cho
ta một đo lường định lượng nhằm xác định tính khớp của phép xấp xỉ. trong hệ thống
thông tin, khi truyền qua kênh truyền, tín hiệu tin tức bị sai lệch do tín hiệu không mong
muốn (nhiễu). Chất lượng tín hiệu thu được được đánh giá thông qua kích thước tương đối

của tín hiệu mong muốn và tín hiệu không mong muốn (nhiễu). Trường hợp này, tỉ số giữa
công suất tín hiệu mang tin tức và công suất nhiễu (tỉ số tín hiệu trên nhiễu) là chỉ thị tốt để
đánh giá chất lượng tín hiệu thu được.
Đơn vị đo năng lượng và công suất:
Phương trình (1.1) và (1.2) chưa có thứ nguyên đúng, do ta không dùng ý niệm
năng lượng theo nghĩa qui ước, mà chỉ dùng chỉ thị kích thước tín hiệu. Tương tự cho
trường hợp công suất ở (1.3) và (1.4). Trường hợp này, đơn vị của năng lượng và công
suất được định nghĩa theo bản chất của tín hiệu f(t). Nếu f(t) là tín hiệu điện áp, thì năng
lượng E
f
có thứ nguyên là V
2
s (vôn bình phương-giây) và công suất P
f
có thứ nguyên là V
2
(vôn bình phương). Khi f(t) là tín hiệu dòng điện, thì năng lượng E
f
có thứ nguyên là A
2
s
(vôn bình phương-giây) và công suất P
f
có thứ nguyên là A
2
(ampe bình phương).
■ Thí dụ 1.1:
Xác định đo lường thích hợp cho các tín hiệu trong hình 1.2
Trong hình 1.2a, biên độ tín hiệu
0

→
khi
∞→
t
, vậy đo lường thích hợp cho tín
hiệu là năng lượng E
f
, cho bởi:
8444)2()(
0
1 0
22
=+=+==
∫ ∫∫
−
∞
−
∞
∞−
dtedtdttfE
t
f

Trong hình 1.2b, biên độ tín hiệu không
0
→
khi
∞→
t
. Đồng thời, tín hiệu là

tuần hoàn nên tồn tại công suất. Dùng công thức (1.3) xác định công suất. Đơn giản hóa
phép tính do quan sát thấy tín hiệu tuần hoàn lập lại mỗi chu kỳ 2 giây (trong trường hợp
này). Vậy:

3
1
)(
2
1
)(
2
1
1
1
2
1
1
2
∫∫
−−
===
dtttdttfP
f
Nhắc lại: công suất tín hiệu chính là bình phương của trị rms. Do đó, trị rms của tín hiệu là
3/1
.■
■ Thí dụ 1.2:
Xác định công suất và trị rms của:
(a)
)cos()(

0
θω
+=
tCtf
, (b)
)cos()cos()(
222111
θωθω
+++=
tCtCtf

)(
21
ωω
≠
,
(c)
tj
Detf
0
)(
ω
=
.
(a) Tín hiệu tuần hoàn, chu kỳ
00
/2
ωπ
=
T

. Đo lường thích hợp là công suất. Tín hiệu
tuần hoàn, nên công suất là trung bình của năng lượng trong một chu kỳ
00
/2
ωπ
=
T
. Tuy nhiên, để minh họa, ta giải theo cách lấy trung bình trong khoảng
thời gian vô hạn, phương trình (1.3).

∫ ∫
− −
∞→∞→
++=+=
2/
2/
2/
2/
0
2
0
22
)]22cos(1[
2
lim)(cos
1
lim
T
T
T

T
TT
f
dtt
T
C
dttC
T
P
θωθω

∫ ∫
− −
∞→∞→
++=
2/
2/
2/
2/
0
22
)22cos(
2
lim
2
lim
T
T
T
T

TT
dtt
T
C
dt
T
C
θω
Thừa số đầu tiên của vế phải là
2/
2
C
. Hơn nữa, thừa số thứ hai triệt tiêu do tích phân
trong thừa số này là phần diện tích của tín hiệu sin trong khoãng thời gian rất lớn T và
∞→
T
. Phần diện tích này bằng với phần diện tích của một bán kỳ do phần diện tích
dương và âm của tín hiệu sin triệt tiêu nhau. Thừa số thứ hai là phần diện tích này nhân với
TC 2/
2
với
∞→T
. Rõ ràng, thừa số này là zêrô, và:
2
2
C
P
f
=
(1.5a)

(b) Trong chương 4, ta chứng minh được là tổng hai sin có thể là tuần hoàn hay không
tuần hoàn, điều này tùy thuộc vào tỉ số
21
/
ωω
là hữu tỉ hay không, Do đó, chưa
xác định được chu kỳ của tín hiệu này. Như thế, xác định công suất dùng phép lấy
trung bình của năng lượng trong T giây, với
∞→T
. Vậy:

∫
−
∞→
+++=
2/
2/
2
222111
)]cos()cos([
1
lim
T
T
T
f
dttCtC
T
P
θωθω

∫∫
−
∞→
−
∞→
++++=
2/
2/
22
22
2
2/
2/
11
22
1
)(cos[
1
lim)(cos[
1
lim
T
T
T
T
T
T
tC
T

tC
T
θωθω


dttt
T
CC
T
T
T
)cos()cos(
2
lim
22
2/
2/
11
21
θωθω
++=
∫
−
∞→
Tích phân thứ nhất và thứ hai của vế phải là các công suất của hai tín hiệu sin, có giá trị là
2/
2
1
C
và

2/
2
2
C
như tính toán ở phần (a). Tương tự trong phần (a), ta thấy thừa số thứ ba
triệt tiêu, sau cùng:

22
2
2
2
1
CC
P
f
+=
(1.5b)
Và giá trị rms là
2/)(
2
2
2
1
CC
+
.
Có thể mở rộng kết quả này để tính tổng nhiều tín hiệu sin có tần số khác nhau.
Như thế, nếu

∑

∞
=
+=
1
)cos()(
n
nnn
tCtf
θω
Với các tần số
n
ω
không giống nhau, thì

∑
∞
=
=
1
2
2
1
n
nf
CP
(1.5c)
(c) Khi tín hiệu là phức, dùng phương trình (1.4) để tính công suất:

∫
−

∞→
=
2/
2/
2
0
1
lim
T
T
tj
T
f
dtDe
T
P
ω

Do
1
0
=
tj
e
ω
nên
2
2
0
DDe

tj
=
ω
, và

2
DP
f
=
(1.5d)
Trị rms là
D
. ■
Nhận xét:
Phần (b) đã chứng minh được là công suất của tổng hai tín hiệu sin thì bằng tổng
công suất các tín hiệu sin. Nhận thấy là công suất của
)()(
21
tftf
+
là
21
ff
PP
+
. Điều
không may là kết quả này không phải luôn luôn đúng, mà chỉ đúng trong một số trường
hợp (trực giao) sẽ được trình bày trong phần 3.1-3.

∆

Bài tập E 1.1
Chứng tõ năng lượng của các tín hiệu trong hình 1.3a, b, c và d lần lượt là 4, 1, 4/3,
và 4/3. Nhận thấy khi nhân đôi tín hiệu thì năng lượng tăng gấp 4, và khi dời tín hiệu theo
thời gian không ảnh hưởng đến năng lượng. Chứng minh là công suất của tín hiệu trong
hình 1.3e là 0,4323. Tìm trị rms của tín hiệu trong hình 1.3e?
∇

∆
Bài tập E 1.2
Làm lại thí dụ 1.2a để tìm công suất tín hiệu sin
)cos(
0
θω
+
tC
bằng cách lấy
trung bình năng lượng tín hiệu trong một chu kỳ
00
/2
ωπ
=
T
(thay vì lấy trung bình trong
khoãng thời gian vô hạn). Chứng tõ là công suất của tín hiệu hằng
0
)( Ctf
=
là
2
0

C
và trị
rms là
0
C
.
∇
∆
Bài tập E 1.3
Chứng tõ khi
21
ωω
=
, thì công suất của
)cos()cos()(
222111
θωθω
+++=
tCtCtf
là
2/)]cos(2[
212121
θθ
−++
CCCC
, không
bằng giá trị
2/)(
2
2

2
1
CC
+
.
∇
1.2 Phân loại tín hiệu
Có nhiều lớp tín hiệu, trong tài liệu này ta chỉ quan tâm đến các lớp tín hiệu sau:
1. Tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc theo thời gian
2. Tín hiệu analog và tín hiệu số
3. Tín hiệu tuần hoàn và tín hiệu không tuần hoàn
4. Tín hiệu năng lượng và tín hiệu công suất
5. Tín hiệu xác định và tín hiệu ngẫu nhiên
1.2-1 Tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc theo thời gian
Tín hiệu xác định với mọi giá trị của thời t (hình 1.4a) được gọi là tín hiệu liên tục
theo thời gian, và tín hiệu chỉ xác định với các giá trị thời gian rời rạc (hình 1.4b) là tín
hiệu rời rạc theo thời gian. Ngõ ra của máy điện thoại và máy ghi hình là tín hiệu liên tục
theo thời gian (ngày nay, điều này là chưa đúng?!!), trong khi giá trị GNP theo quí, giá trị
bán hàng của công ty, và chỉ số chứng khoán từng ngày là các tín hiệu rời rạc.
1.2-2 Tín hiệu analog và tín hiệu số
Ý niệm về tín hiệu liên tục theo thời gian thường bị hiểu lầm là tín hiệu analog. Hai
ý niệm này khác nhau, tương tự như ý niệm giữa tín hiệu rời rạc và tín hiệu số. Tín hiệu có
biên độ với biên độ có thể có giá trị bất kỳ trong tầm liên tục thi được gọi là tín hiệu
analog. Điều đó có nghĩa là biên độ tín hiệu analog có thể có vô hạn giá trị. Tín hiệu số, thì
biên độ chỉ có thể có số hữu hạn các giá trị. Tín hiệu dùng trong máy tính số là tín hiệu số
do chỉ có hai giá trị biên độ (tín hiệu nhị phân). Tín hiệu số có thể có M giá trị là tín hiệu
bậc M, trong đó nhị phân (M=2) là một trường hợp đặc biêt. Cụm từ liên tục theo thời
gian và rời rạc theo thời gian cho thấy bản chất của tín hiệu theo trục thời gian (trục
ngang). Cụm từ analog và số, thì lại cho thấy bản chất của tín hiệu theo trục biên độ (trục
dọc). Hình 1.5 vẽ tín hiệu analog rời rạc theo thời gian. Tín hiệu analog có thể chuyển

thành tín hiệu số (qua bộ chuyển đổi ADC) qua quá trình lượng tử hóa (làm tròn giá tri)
như giải thích ở phần 5.1-3.

1.2-3 Tín hiệu tuần hoàn và tín hiệu không tuần hoàn
Tín hiệu f(t) là tuần hoàn khi có một số hằng số dương T
0

)()(
0
Ttftf
+=
với mọi giá trị t (1.6)
Trị bé nhất của T
0
thỏa điều kiện tuần hoàn (1.6) là chu kỳ của f(t). Các tín hiệu
trong hình 1.2b và 1.3e là tín hiệu tuần hoàn có chu kỳ lần lượt là 2 và 1, Tín hiệu không
tuần hoàn là tín hiệu không có chu kỳ. Các tín hiệu trong hình 1.2a, 1.3a. 1.3b, 1.3c và 1.3d
đều là tín hiệu không tuần hoàn.
Từ định nghĩa, tín hiệu tuần hoàn f(t) không thay đổi khi dời một chu kỳ theo thời
gian. Do đó, tín hiệu tuần hoàn phải bắt đầu từ
−∞=
t
, nếu không, giả sử khi bắt đầu từ
0
=
t
, thì tín hiệu dời theo thời gian một chu kỳ
)(
0
Ttf

+
sẽ bắt đầu từ
0
Tt
−=
và
)(
0
Ttf
+
sẽ không giống tín hiệu
)(tf
. Như thế một tín hiệu tuần hoàn phải bắt đầu tại
−∞=
t
và liên tục không dừng, như vẽ ở hình 1.6
Một đặc tính quan trọng của tín hiệu tuần hoàn f(t) là f(t) có thể được tạo ra từ cách
mở rộng tuần hoàn (periodic extension) một đoạn bất kỳ của f(t) với thời khoảng T
0
(chu
kỳ). Từ đó, ta có thể tạo f(t) từ bất kỳ đoạn nào của f(t) với thời khoảng một chu kỳ bằng
cách đặt đoạn này và tái tạo tín hiệu. Hình 1.7 vẽ tín hiệu tuần hoàn f(t) với chu kỳ T
0
= 6.
Phần tô đen trong hình 1.7a cho thấy một đoạn của tín hiệu f(t) bắt đầu tại
1
−=
t
và
có thời khoảng một chu kỳ (6 giây). Đoạn này, khi lặp lại không dừng theo các hướng, tạo

ra tín hiệu tuần hoàn f(t). Độc giả có thể kiểm nghiệm lại là có thể tạo với bất kỳ đoạn nào
của f(t) , thời điểm nào với thời khoảng là một chu kỳ.
Tín hiệu bắt đầu từ
−∞=
t
và tiếp tục không dừng được gọi là tín hiệu không
dừng (everlasting signals). Như thế, tín hiệu không dừng tồn tại suốt trong khoãng
∞<<∞−
t
. Các tín hiệu trong hình 1.1b và 1.2b là thí dụ về tín hiệu không dừng. Rõ ràng
là từ định nghĩa thì tín hiệu tuần hoàn là tín hiệu không dừng.
Tín hiệu không bắt đầu trước khi t = 0, được gọi là tín hiệu nhân quả. Tức là, f(t)
là tín hiệu nhân quả nếu:


0)(
=
tf
khi
0
<
t
(1.7)
Các tín hiệu trong hình 1.3a, b, c cùng các hình 1.9a và 1.9b là các tín hiệu nhân
quả. Tín hiệu khởi đầu trước t = 0 được gọi là tín hiệu không nhân quả; tuy nhiên tín hiệu
không nhân quả trong hình 1.1 và 1.2 là tín hiệu dừng. Một tín hiệu có giá trị zêrô với mọi
0
≥
t
được gọi là tín hiệu phản nhân quả (anticausal signal).

Nhận xét:
Rõ ràng là trong thực tế, ta không tạo ra được tín hiệu không dừng thực. Như thế
tại sao ta lại bận tâm đến chúng như thế? Các chương kế cho thấy một số tín hiệu (bao gồm
cả các tín hiệu không dừng sin) tuy không tạo ra được trong thực tế nhưng lại rất hữu ích
khi nghiên cứu về tín hiệu và hệ thống.
1.2-4 Tín hiệu năng lượng và tín hiệu công suất.
Tín hiệu có năng lượng hữu hạn gọi là tín hiệu năng lượng, và tín hiệu có công
suất hữu hạn và khác không thì được gọi là tín hiệu công suất. Các tín hiệu trong hình
1.2a và 1.2b lần lượt là các tín hiệu năng lượng và tín hiêu công suất. Nhận thấy công suất
chính là trung bình theo thời gian của năng lượng. Khi lấy trung bình trong khoảng thời
gian vô hạn, tín hiệu có năng lượng hữu hạn sẽ có công suất bằng không, và tín hiệu có
công suất hữu hạn sẽ có năng lượng là vô hạn. Từ đó, một tín hiệu thì không thể vừa là tín
hiệu công suất vừa là tín hiệu năng lượng. Nếu đã là tín hiệu công suất thì không thể là tín
hiệu năng lượng và ngược lại. Trường hợp tín hiệu hàm dốc là một thí dụ.
Nhận xét:
Mọi tín hiệu thực tế đều có năng lượng hữu hạn nên là tín hiệu năng lượng. Một tín
hiệu công suất thì cần phải có độ rộng vô cùng; công suất của chúng, tức là năng lượng
trung bình trong thời khoảng lớn vô hạn, sẽ không tiến về giới hạn (khác không). Rõ ràng
là không thể tạo ra được tín hiệu công suất thực trong thực tế do tín hiệu này có độ rộng vô
hạn và năng lượng vô hạn.
Đồng thời, do các tín hiệu tuần hoàn có vùng diện tích của
2
)(tf
trong một chu
kỳ là hữu hạn, nên là tín hiệu công suất; tuy nhiên, không phải mọi tín hiệu công suất đều
là tín hiệu tuần hoàn.

∆
Bài tập E 1.4
Chứng minh là hàm mủ không dừng

at
e
−
không thể là tín hiệu năng lượng hay tín
hiệu công suất với mọi giá trị thực của a. Tuy nhiên, khi a là số phức, thì tín hiệu này lại là
tín hiệu công suất có công suất
1
=
f
P
, bất chấp giá trị của a.
∇
1.2-5 Tín hiệu xác định và tín hiệu ngẫu nhiên.
Một tín hiệu là tín hiệu xác định khi biết được hoàn toàn mô tả vật lý của tín hiệu,
dạng mô tả toán học hay dạng đồ thị. Một tín hiệu mà giá trị không thể dự báo được một
cách chính xác nhưng chỉ biết được các thừa số về mô tả thống kê, như trị trung bình, trung
bình bình phương, thì được gọi là tín hiệu ngẫu nhiên. Giáo trình này chưa nghiên cứu về
các tín hiệu dạng này.
1.3 Một số phép tính lên tín hiệu
Phần này trình bày ba phép tính hữu ích cho tín hiệu: phép dời, phép tỉ lệ, và phép đảo.
Do biến độc lập của tín hiệu là biến thời gian, nên các phép tính ở đây là: phép dời theo
thời gian, phép tỉ lệ theo thời gian, và phép đảo theo thời gian (phép gấp). Tuy nhiên,
phương pháp này còn dùng được cho biến độc lập dạng khác (thí dụ biến tần số hay biến
cự ly).
1.3-1 Phép dời theo thời gian.
Xét tín hiệu f(t) trong (Hình 1.8a) và tín hiệu dời T giây theo thời gian (Hình 1.8b)
được gọi là
)(t
φ
. Thay đổi của f(t) tại thời điểm t cũng là thay đổi của

)(t
φ
tại thời
điểm t+T. Vậy:

)()( tfTt
=+
φ
(1.8)
Và
)()( Ttft
−=
φ
(1.9)
Do đó, khi dời tín hiệu một khoảng T, ta thay t bằng t – T. Vậy f(t – T) biểu diễn tín hiệu
f(t) được dời một khoảng T giây. Nếu T > 0, ta có phép dời phải (phép trễ: delay). Nếu T <
0, ta có phép dời trái (phép sớm: advanced). Do đó, f(t – 2) là phép làm trễ f(t) 2 giây (dời
phải 2 giây) và f(t + 2) là phép làm sớm f(t) 2 giây (dời trái 2 giây).
■ Thí dụ 1.3:
Hàm mủ
t
etf
2
)(
−
=
vẽ ở hình 1.9a đã được là trễ 1 giây. Vẽ tìm mô tả toán học
của hàm này. Làm lại bài tập khi f(t) được làm sớm 1 giây.
Hàm f(t) có mô tả toán học như sau:




<
≥
=
−
00
0
)(
2
t
te
tf
t
(1.10)
Gọi
)(tf
d
là hàm f(t) được làm trễ (dời phải) một giây như hình 1.9b. Hàm này là
f( t - 1); mô tả toán học có được từ f(t) bằng cách thay t bằng t – 1 vào (1.10). Vậy:



<<−
≥≥−
=
−−
1010
101
)(

)1(2
thayt
thayte
tf
t
d
(1.11)
Gọi
)(tf
a
là hàm f(t) được làm sớm (dời trái) một giây như hình 1.9c. Hàm này là
f(t+1); mô tả toán học có được từ f(t) bằng cách thay t bằng t+1 vào (1.10). Vậy:




−<<+
−≥≥+
=
+−
1010
101
)(
)1(2
thayt
thayte
tf
t
a
(1.12) ■

∆
Bài tập E 1.5
Viết mô tả toán học của tín hiệu
)(
3
tf
của hình 1.3c. Tín hiệu này được làm trễ đi
2 giây. Vẽ tín hiệu trễ. Chứng minh tín hiệu trễ
)(tf
d
có thể mô tả toán học thành
)2(2)(
−=
ttf
d
với
32
≤≤
t
, và bằng 0 trong các trường hợp khác. Làm lại khi tín hiệu
được làm sớm 1 giây. Chứng minh tín hiệu sớm
)(tf
a
có thể mô tả toán học thành
)2(2)(
+=
ttf
a
với
01

≤≤−
t
, và bằng 0 trong các trường hợp khác.
∇
1.3.2 Phép tỉ lệ theo thời gian.
Tỉ lệ là phép nén hay giãn tín hiệu theo thời gian. Xét tín hiệu f(t) trong hình 1.10a.
Tín hiệu
)(t
φ
trong hình 1.10b là f(t) nén theo thời gian với tỉ lệ 2. Như thế, thay đổi của
f(t) tại thời điểm t cũng xuất hiện trong
)(t
φ
tại thời điểm t/2, nên
)()(
2
tf
t
=
φ
(1.13)
Và
)2()( tft
=
φ
(1.14)
Do
0)(
=
tf

tại thời điểm
1
Tt
=
và
2
T
, ta cần có
0)(
=
t
φ
tại
2/
1
Tt
=
và
2/
2
T
như hình 1.10b. Nếu tín hiệu f(t) được ghi vào băng từ và phát lại với tốc độ hai lần
tốc độ lúc ghi, ta sẽ có f(2t). Thông thường, nếu f(t) được nén theo thời gian theo tỉ lệ a (
1
>
a
), tín hiệu
)(t
φ
được cho bởi:

)()( atft
=
φ
(1.15)
Tương tự, khi tín hiệu f(t) được giãn ra theo thời gian với tỉ lệ a (a>1) thì

)()(
a
t
ft
=
φ
(1.16)
Hình 1.10c vẽ
)(
2
t
f
, với f(t) giãn theo thời gian với tỉ lệ 2. Trong phép tỉ lệ theo
thời gian, tại gốc t = 0, f(t)= f(at)= f(0).
Tóm lại, khi tỉ lệ tín hiệu theo thời gian với tỉ lệ a, ta thay t bằng at. Nếu a >1,
phép tỉ lệ này là phép nén theo thời gian, nếu a<1, thì phép tỉ lệ này là phép giãn theo thời
gian.
■ Thí dụ 1.4:
Hình 1.11a vẽ tín hiệu f(t). Vẽ và viết mô tả toán học tín hiệu sau khi nén theo thời
gian với tỉ lệ 3. Làm lại khi tín hiệu được làm giãn theo tỉ lệ 2.
Tín hiệu f(t) có thể được mô tả theo






<≤
<≤−
=
−
otherwise
te
t
tf
t
0
302
05,12
)(
2/
(1.17)
Hình 1.11b vẽ
)(tf
c
, là tín hiệu f(t) được nén theo thời gian với tỉ lệ 3, nên mô tả
toán học là f(3t), có được bằng cách thay t bằng 3t trong vế phải của phương trình 1.17






<≤<≤

<≤−<≤−
==
−
otherwise
thayte
thayt
tftf
t
c
0
103302
05,0035,12
)3()(
2/3
(1.18a)
Nhận thấy là tại thời điểm t = -1,5 và 3 của f(t) tương ứng với t = -0,5 và 1 của tín
hiệu nén f(3t).
Hình 1.11c vẽ
)(tf
e
, là tín hiệu f(t) được giãn theo thời gian với tỉ lệ 2; nên có mô
tả toán học là
)2/(tf
, thay t bằng t/2 trong f(t). Vậy







<≤<≤
<≤−<≤−
==
−
otherwise
thayte
thayt
tftf
t
e
0
6032/02
0302/5,12
)2/()(
4/
(1.18b)
Nhận thấy là tại thời điểm t = -1,5 và 3 của f(t) tương ứng với t = - 3 và 6 của tín
hiệu giãn f(t/2). ■
∆
Bài tập E 1.6
Chứng tõ khi nén tín hiệu sin với tỉ lệ n (n > 1) ta có tín hiệu sin với cùng biên độ
và pha, nhưng có tần số tăng n lần. Tương tự, khi giãn tín hiệu sin với tỉ lệ n (n > 1) ta có
tín hiệu sin với cùng biên độ và pha, nhưng có tần số giảm n lần. Minh họa bằng cách vẽ
tín hiệu sin 2t và các tín hiệu có từ tín hiệu này lần lượt được nén với tỉ lệ 3 và giãn với tỉ
lệ 2.
∇
1.3.3 Phép đảo theo thời gian.
Xét tín hiệu
)(tf
vẽ ở hình 1.12a. Xem

)(tf
là một khung đồng cứng, có khớp
nối theo trục dọc. Để thực hiện đảo
)(tf
theo thời gian, ta xoay khung 180
0
theo trục
dọc. Phép đảo theo thời gian hay còn gọi là phép gấp [phản chiếu của
)(tf
theo trục
dọc], tạo tín hiệu
)(t
φ
(hình 1.12b). Nhận xét thấy các thay đổi trong hình 1.12a tại thời
điểm t cũng là thay đổi ở hình 1.12b tại thời điểm - t. Vậy:


)()( tft
=−
φ
Vậy, khi thực hiện phép đảo theo thời gian, ta thay t bằng - t . Như thế, phép đảo
tín hiệu
)(tf
cho tin hiệu
)( tf
−
. Do đó, tín hiệu phản ảnh của
)(tf
theo trục dọc và
)( tf

−
. Nhắc lại là tín hiệu phản ảnh của
)(tf
theo trục tung là -
)(tf
.
■ Thí dụ 1.5:
Xét tín hiệu
)(tf
vẽ ở hình 1.13a, vẽ
)( tf
−
là tín hiệu đảo của
)(tf
.
Giá trị của
)(tf
tại các thời điểm – 1 và – 5 được ánh xạ thành các thành điểm 1 và 5 của
)( tf
−
. Do
2/
)(
t
etf
=
, nên
2/
)(
t

etf
−
=−
. Tín hiệu
)( tf
−
được mô tả ở hình 1.13b.
Có thể mô tả
)(tf
và
)( tf
−
theo:




−≥−
=
otherwise
te
tf
t
0
51
)(
2/
Tín hiệu đảo theo thời gian
)( tf
−

có được bằng cách thay t bằng – t trong
)(tf
là




<≤−>−≥−
=
−
otherwise
thayte
tf
t
0
5151
)(
2/
■
1.3.4 Tổ hợp các phép tính.
Một số phép tính phức tạp cần thực hiện đồng thời nhiều phép tính vừa nêu. Trong
đó,
)( batf
−
đòi hỏi thực hiện cả ba phép tính, và được thực hiện theo hai cách:
1. Dời
)(tf
một đoạn b để có
)( btf
−

, thực hiện phép tỉ lệ a với tín hiệu
)( btf
−
(tức là thay t bằng at) để có
)( batf
−
.
2. Thực hiện tỉ lệ a theo thời gian
)(tf
, để có
)(atf
. Dời tiếp
)(atf
theo
a
b

(tức là thay
t
bằng
( )
abt /
−
để có
)]/([ abtaf
−
tức là
)( batf
−
.

Thí dụ, tín hiệu
)62(
−
tf
có thể được thực hiện theo hai cách: (a) trước hết, làm trễ
)(tf
đi 6 để có
)6(
−
tf
, rồi thực hiện phép nén theo tỉ lệ 2 (thay t bằng 2t) để có
)62(
−
tf
; (b) đầu tiên, nén
)(tf
theo tỉ lệ 2 để có
)2( tf
, rồi làm trễ đi 3 (thay t bằng
t – 3) để có
)62(
−
tf
.
1.4 Một số tín hiệu hữu ích
Các hàm bước, hàm xung, và hàm mủ rất hữu dụng trong lĩnh vực tín hiệu và hệ
thống. Chúng không chỉ biểu diễn tín hiệu, mà còn giúp đơn giản hóa quá trình khảo sát tín
hiệu và hệ thống.
1. Hàm bước đơn vị u(t)
Ta đã biết là tín hiệu nhân quả (causal) là tín hiệu bắt đầu từ

0
=
t
. Các tín hiệu
này có thể được mô tả một cách thích hợp theo hàm bước đơn vị
)(tu
như vẽ ở hình
1.14a và được định nghĩa là:



<
≥
=
00
01
)(
t
t
tu
(1.20)
Nếu muốn tín hiệu bắt đầu từ
0
=
t
(có giá trị là 0 khi
0
=
t
) thì chỉ cần nhân tín

hiệu này với
)(tu
. Thí dụ, tín hiệu
at
e
−
là tín hiệu không dừng bắt đầu từ
−∞=
t
. Dạng
nhân quả của tín hiệu này, vẽ ở hình 1.14b, là dạng
)(tue
at
−
.
Tín hiệu bước đơn vị còn rất hữu ích khi đặc trưng hàm với nhiều dạng mô tả toán
học khác nhau trong các thời khoảng khác nhau. Thí dụ các hàm được vẽ ở hình 1.11. Các
hàm này có nhiều mô tả toán học tại các thời khoảng khác nhau, như vẽ ở hình 1.17, 1.18a,
và 1.18b. Các mô tả này thường dài dòng và không thích hợp cho phép xử lý toán học. Khi
dùng hàm bước đơn vị, ta có thể mô tả các hàm này thành một biểu thức xác định với mọi
t.
Thí dụ, xét xung vuông vẽ ở hình 1.15a, do tín hiệu xung vuông
)(tf
có thể viết
thành tổng của hai hàm bước đơn vị dời theo thời gian như hình 1.15b. Hàm bước đơn vị
)(tu
, làm trễ T giây là
)( Ttt
−
. Theo hình 1.15b, thì:

)4()2()(
−−−=
tututf
■ Thí dụ 1.6:
Mô tả tín hiệu hình 1.16a
Tín hiệu hình 1.16 có thể được chia thành hai thành phần
)(
1
tf
và
)(
2
tf
, lần
lượt vẽ ở hình 1.16b và 1.16c. Hình 1.16b cho thấy
)(
1
tf
là hàm dốc t nhân với tín hiệu
cổng
)2()(
−−
tutu
. Vậy:

)]2()([)(
1
−−=
tututtf

Hình 1.16c cho thấy
)(
2
tf
là tích của hàm có độ dốc - 2, có giá trị là
ct
+−
2
. Hàm dốc
qua gốc 0 khi
0
=
t
, nên
6
=
c
, là
)3(2
−−
t
, với xung cổng là
)3()2(
−−−
tutu
. Vậy:

)]3()2()[3(2)(
2

−−−−−=
tututtf

Và

)()()(
21
tftftf
+=

)]3()2()[3(2)]2()([
−−−−−−−=
tututtutut

)3()3(2)2()2(3)(
−−+−−−=
tuttutttu
■
■ Thí dụ 1.7:
Biểu diễn tín hiệu trong hình 1.11a dùng một biểu thức xác định với mọi t.
Trong khoảng từ -1,5 đến 0, tín hiệu là hằng số 2, và từ 0 đến 3, có giá trị là
2/
2
t
e
−
.
Vậy:

)]3()([2)]()5,1([2)(

2/
−−+−+=
−
tutuetututf
t


)3(2)()1(2)5,1(2
2/2/
−−−−+=
−−
tuetuetu
tt
So sánh biểu thức này với trường hợp phương trình 1.17 ■
∆
Bài tập E 1.7
Chứng tõ là các tín hiệu mô tả trong hình 1.17a và 1.17b có thể biểu diễn lần lượt
theo
)( tu
−
và
)( tue
at
−
−
.
∇
∆
Bài tập E 1.8
Chứng tõ là các tín hiệu mô tả trong hình 1.18 có thể mô tả thành:

)4()2()2()1()1()(
−−−−−−−=
tututtuttf
.
∇
2. Hàm xung đơn vị
)(t
δ
Xung đơn vị là một trong những hàm rất quan trọng để nghiên cứu về tín hiệu và hệ
thống, được P.A.M Dirac định nghĩa theo:

0)(
=
t
δ

0
≠
t

∫
∞
∞−
=
1)( dtt
δ
(1.21)
Có thể xem xung đơn vị là một xung vuông rất cao, có độ rộng rất hẹp và diện tích là
đơn vị, vẽ ở hình 1.19b. Độ rộng xung rất hẹp và là

0
→
ε
với độ cao là
ε
/1
. Do đó, có
thể xem xung đơn vị như xung vuông có độ rộng cực kỳ bé, cao độ cực kỳ lớn và tổng diện
tích xung luôn là đơn vị. Vậy
0)(
=
t
δ
tại mọi
0
≠
t
và vô cùng lớn tại
0
=
t
, được vẽ ở
hình 1.19a.
Các dạng xung khác, như xung dạng mủ, xung tam giác hay dạng hàm Gauss cũng có
thể được dùng xấp xỉ hàm xung. Đặc tính quan trọng của xung đơn vị không nằm ở hình
dạng xung, mà do độ rộng xung tiến về không trong khi diện tích được giữ không đổi. Thí
dụ, trường hợp xung hàm mủ
)(tue
t
α

α
−
vẽ ở hình 1.20a càng trở nên cao và hẹp dần khi
α tăng. Tại giới hạn
∞→
α
, cao độ của xung
∞→
, và độ rộng
0
→
. Trong khi đó, phần
diện tích của xung đơn vị luôn là đơn vị, bất chấp giá trị của
α
do:


∫
∞
∞−
−
=
1dte
t
α
α
(1.22)
Tương tự cho các xung trong hình 1.20b và 1.20c.
Từ phương trình (1.21), cho thấy hàm
0)(

=
tk
δ
với mọi
0
≠
t
, và có điện tích là
k. Vậy
)(tk
δ
là hàm xung có diện tích là k (khác với xung đơn vị, có diện tích là 1).
Phép nhân hàm với xung đơn vị
Xét trường hợp nhân hàm
)(t
φ
(liên tục tại t = 0) với hàm
)(t
δ
. Do xung chỉ tồn
tại tại t = 0, và giá trị của
)(t
φ
tại
0
=
t
là
)0(
φ

, ta có:

)()0()()( ttt
δφδφ
=
(1.23a)
Tương tự, nếu nhân
)(t
φ
với xung
)( Tt
−
δ
, (xung tại vị trí t = T), thì

)()()()( TtTTtt
−=−
δφδφ
(1.23b)
Cho thấy là
)(t
φ
là liên tục tại
Tt
=
.
Đặc tính lấy mẫu của hàm xung đơn vị
Tử phương trình (1.23a):

)0()()0()()(

φδφδφ
==
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
dttdttt

(1.24a)
Cho thấy là
)(t
φ
liên tục tại t = 0. Điều này có nghĩa là vùng diện tích của tích một
hàm với xung đơn vị
)(t
δ
thì bằng với giá trị hàm này tại thời điểm tồn tại của xung đơn
vị. Đặc tính này rất quan trọng và hữu dụng, và được gọi là đặc tính lấy mẫu hay đặc tính
sàng lọc (sifting) của xung đơn vị.
Từ phương trình (1.23b):

∫
∞
∞−
=−
)()()( TdtTtt
φδφ
(1.24b)
Phương trình (1,24b) là một dạng khác của đặc tính lấy mẫu hay đặc tính sàng lọc.

Trong trường hợp phương trình (1.24b) thì xung
)( Tt
−
δ
tồn tại ở
Tt
=
. Như vậy, diện
tích do
)()( Ttt
−
δφ
là
)(T
φ
, giá trị của
)(t
φ
tại thời điểm mà xung tồn tại (tại
Tt
=
)
với giả sử là hàm là liên tục tại thời điểm tồn tại của xung.
Xung đơn vị là hàm tổng quát
Định nghĩa toán học chưa chặt chẻ của xung đơn vị trong phương trình (1.21), tạo
ra nhiều khó khăn lớn. Đầu tiên, hàm xung chưa được định nghĩa là hàm độc nhất: thí dụ,
ta chứng minh được là
)()( tt
δδ


+
cũng thỏa được phương trình (1.21)*. Hơn nữa,
)(t
δ

cũng chưa thực sự là một hàm theo nghĩa thông thường. Một hàm thường được đặc trưng
bởi các giá trị của nó theo mọi giá trị thời gian. Hàm xung thì triệt tiêu với mọi giá trị, trừ
giá trị
0
=
t
. Khó khăn này được giải quyết bằng cách định nghĩa hàm xung là một hàm
tổng quát thay vì là hàm bình thường. Một hàm tổng quát được định nghĩa từ ảnh hưởng
của mình lên các hàm khác chưa không từ giá trị theo mỗi thời điểm.
Từ đó, hàm xung được định nghĩa từ đặc tính lấy mẫu [phương trình (1.24)]. Ta chưa
nói hàm xung là gì hay nó ra sao, mà định nghĩa hàm xung theo ảnh hưởng của nó lên hàm
thử
)(t
φ
. Ta định nghĩa hàm xung đơn vị là hàm có phần diện tích của tích số gữa hàm
với
)(t
φ
bằng với giá trị của hàm
)(t
φ
tại thời điểm tồn tại của xung đơn vị, với giả sử
là hàm
)(t
φ

liên tục tại thời điểm tồn tại xung đơn vị. Theo hướng này thì cả hai phương
trình (1.24a) và (1.24b) đều chưa định nghĩa được hàm xung. Nên nhớ rằng đặc tính lấy
mẫu [phương trình (1.24)] là hệ quả của định nghĩa truyền thống (Dirac) về xung [phương
trình (1.21)]. Ngược lại, đặc tính lấy mẫu [phương trình (1.24)] định nghĩa hàm xung theo
hướng hàm tổng quát.
Tiếp đến, ta giới thiệu ứng dụng quan trọng của hàm tổng quát để định nghĩa hàm
xung. Do hàm bước đơn vị
)(tu
không liên tục tại
0
=
t
, nên không tồn tại đạo hàm
dtdu /
không tồn tại tại
0
=
t
theo nghĩa thông thường. Ta sẽ chứng minh là các đạo hàm
này tồn tại theo nghĩa tổng quát, và thực ra, đó chính là hàm
)(t
δ
. Để chứng minh, ta ước
lượng tích phân của
( )
)(/ tdtdu
φ
với cách lấy tích phân từng phần:

dtttuttudtt

dt
du
)()()()()(
φφφ

∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
−=
(1.25)

)0()()()(0)(
0
φφφφφ
=−∞=−−∞=
∞
∞
∞−
∫
tdtt

(1.26)
Điều này chứng tõ là
dtdu /
thỏa đặc tính lấy mẫu của
)(t

δ
. Như thế, theo nghĩa
tổng quát thì xung
)(t
δ
được định nghĩa theo:
)(t
dt
du
δ
=
(1.27)
Vậy:

∫
∞−
=
t
tud )()(
ττδ
(1.28)
Kết quả này còn có thê tìm được dùng phương pháp đồ thị từ hình 1.19b. Ta thấy là
phần diện tích từ
∞−
đến t trong dạng giới hạn của
)(t
trong hình 1.19b là zêrô nếu
0
<
t

và bằng đơn vị nếu
0
≥
t
.
Vậy:

∫
∞−



=
≥
<
=
t
tu
t
t
d )(
01
00
)(
ττδ
(1.29)
∆
Bài tập E 1.9
Chứng tõ là:
(a)

)(3)()3(
3
ttt
δδ
=+
(b)
)()(][sin(
2
2
ttt
δδ
π
−=−
(c)
)()(
2
tte
t
δδ
=
−
(d)
)1(
5
1
)1(
9
1
2
2

−=−
+
+
ωδωδ
ω
ω

Hướng dẫn: Dùng phương trình (1.23) .
∇
∆
Bài tập E 1.10
Chứng tõ là:
(a)
∫
∞
∞−
−
=
1)( dtet
tj
ω
δ
(b)
∫
∞
∞−
=







−
0
4
cos)2( dt
t
t
π
δ
(c)
∫
∞
∞−
−−−−
=−
)2(2)(2
)2(
xtx
edtte
δ

Hướng dẫn: Trong phần c, cần nhớ là
)(t
δ
tồn tại tại
0
=
x

. Như thế
)2( t
−
δ
tồn tại tại
02
=−
t
, tức là
2
=
t
.
∇
3. Hàm mủ e
st
Tín hiệu hàm mủ e
st
là một trong những tín hiệu quan trọng nhất trong lĩnh vực tín hiệu
và hệ thống, với s thường là số phức:

ωσ
js
+=
Vậy
)(cos
)(
tjteeese
ttjttjst
ωω

σωσωσ
+===
+
(1.30a)
Gọi
ωσ
js
−=
*
(lượng liên hợp), thì

)(cos
)(
*
tjteeese
ttjttjts
ωω
σωσωσ
−===
−−
(1.30b)
Và

)(
2
1
cos
*
tsstt
eete

+=
ω
σ
(1.30c)
So sánh phương trình này với công thức Euler, ta thấy
st
e
là dạng tổng quát của
tj
e
ω
,
trong đó biến thời gian
ω
j
là biến từ của biến tổng quát phức
ωσ
js
+=
. Do đó, biến s là
biến tần số. Phương trình (1.30) cho thấy hàm
st
e
bao hàm rất nhiều lớp hàm, như sau:
(minh họa ở hình 1.21)
1 Hằng số
t
kek
0
=

)0(
=
s
2 Hàm mủ đơn điệu
t
e
α

),0(
σω
==
s
3 Hàm
t
ω
cos

),0(
ωσ
js
±==
4 Hàm
te
t
ω
α
cos

)(

ωσ
js
+=
Tần số phức thường được biểu diễn trong mặt phẳng tần số phức (mặt phẳng s) như
hình 1.22. Trục ngang là trục thực (trục
σ
) còn trục dọc là trục ảo (trục
ω
j
). Trị tuyệt
đối của phần ảo của s là
ω
(tần số radian), chỉ thị tần số dao động của
st
e
; phần thực
của σ (tần số neper) cho thông tin về tốc độ tăng hay giảm của biên độ
st
e
.
Khi tín hiệu có tần số phức nằm trên trục thực (trục σ, với ω = 0) thì tần số dao động là
zêrô và tín hiệu tăng hay giảm đơn điệu theo dạng hàm mủ (hình 1.21a).
Khi tín hiệu có tần số nằm trên trục ảo (trục
ω
j
, với σ = 0), thì
1
=
st
e

và tín hiệu có
dạng hàm sin truyền thống với biên độ không đổi (hình 1.21b).
Trường hợp
0
=
s
(
)0(
==
ωσ
thì tín hiệu là tín hiệu hằng (dc) do
1
0
=
t
e
.
Tín hiệu vẽ ở hình 1.21c và 1.21d có σ và ω đều khác không; tần số s có dạng phức và
không nằm trên các trục.
Tín hiệu trong hình 1.21c giảm theo hàm mủ, có σ âm và nằm bên trái trục ảo.
Ngược lại, tin hiệu hình 1.21d tăng theo dạng mủ, với σ dương và nằm bên phải trục
ảo.
Vậy, mặt phẳng s (hình 1.21) có thể được phân thành hai phần: nửa mặt phẳng trái
(LHP) tương ứng với tín hiệu giảm theo dạng mủ và nửa mặt phẳng phải (RHP) tương ứng
với tín hiệu tăng theo dạng mủ. Trục ảo phân cách hai vùng này và tương ứng với các tín
hiệu có biên độ không đổi.
Thí dụ, tín hiệu sin tăng theo dạng mủ
)5cos(
2
θ

+
te
t
có thể xem là tổng của hai hàm
mủ
tj
e
)52(
+
và
tj
e
)52(
−
với các tần số phức lần lượt là (2 + j5) và (2 – j5) và nằm bên
phải mặt phẳng phức.
Tín hiệu sin giảm theo dạng mủ
)5cos(
2
θ
+
−
te
t
có thể xem là tổng của hai hàm mủ
tj
e
)52(
+−
và

tj
e
)52(
−−
với các tần số phức lần lượt là (- 2 + j5) và (- 2 – j5) và nằm bên
phải mặt phẳng phức.
Tín hiệu sin với biên độ không đổi
)5cos(
θ
+
t
có thể xem là tổng của hai hàm mủ
tj
e
5
và
tj
e
5
−
với các tần số phức lần lượt là
5j
±
và nằm trên trục phức.
Ta thấy là hàm mủ đơn điệu
t
e
2
±
là tín hiệu sin tổng quát với tần số phức là

2
±
.
1.5 Các hàm đối xứng chẵn và đối xứng lẻ.
Hàm
)(tf
e
được gọi là hàm chẵn theo t nếu

)()( tftf
ee
−=
(1.31)
Hàm
)(tf
o
được gọi là hàm lẻ theo t nếu

)()( tftf
oo
−−=
(1.32)
Hàm chẵn có cùng giá trị tại các thời điểm t và –t, tức là đối xứng qua trục dọc, như vẽ
ở hình 1.23a. Mặt khác, Hàm lẻ có giá trị ngược dấu nhau tại các tại thời điểm t và –t, còn
gọi là phản đối xứng theo trục dọc, như vẽ ở hình 1.23b.

3.1 Các đặc tính của hàm đối xứng chẵn và đối xứng lẻ.
Hàm chẵn và hàm lẻ có các đặc tính sau:
hàm chẵn x hàm lẻ = hàm lẻ
hàm lẻ x hàm lẻ = hàm chẵn

hàm chẵn x hàm chẵn = hàm chẵn
Có thể chứng minh các đặc tính này từ định nghĩa hàm chẵn và hàm lẻ [(phương trình
(1.31) và (1.32)].
Diện tích
Do
)(tf
e
đối xứng theo trục dọc, theo hình 1.23a thì

∫ ∫
−
=
a
a
a
ee
dttfdttf
0
)(2)(

(1.33a)
Và theo hình 1.23b thì

∫
−
=
a
a
o
dttf 0)(

(1.33b)
Chứng minh: dùng các định nghĩa trong các phương trình (1.31) và (1.32) và xem như
bài tập.
3.2 Thành phần chẵn và thành phần lẻ của tín hiệu.
Tín hiệu
)(tf
có thể biểu diễn thành tổng hai thành phần chẵn và lẻ, do:
)]()([)]()([)(
2
1
2
1
tftftftftf −−+−+=

(1.34)
= thành phần chẵn + thành phần lẻ
Tử định nghĩa của phương trình (1.31) và (1.32), ta thấy thừa số thứ nhất của vế
phải là hàm chẵn và thừa số thứ hai là hàm lẻ
Xét hàm
)()( tuetf
at
−
=
, phân tích thành phần chẵn
)(tf
e
và lẻ
)(tf
o
, ta

có: