Sai lam khi tinh tich phan

<span class='text_page_counter'>(1)</span>www.VNMATH.com. Vấn đề1: Sai lầm khi tính tích phân. 1. Đổi biến số nhưng không đổi cận.  4. VD1: tÝnh tÝch ph©n I   1  x 2 dx 0. Gi¶i: Lời giải sai: đặt x  sin t suy ra dx=costdt . . . 4. 4. 0. 0. 1  cos 2t  1 dt   2 8 4 0 4. I   1  sin 2 t .cos t.dt   cos 2 t.dt  . Lời giải đúng: ĐÆt x = sint suy ra dx=costdt x  0  t  0      x  4  t  arc sin 4 arcsin. I. .  4. arcsin. 1  sin t .cos t.dt  2. 0. .  4. arcsin. cos t.dt  2. 0.  1   1  arcsin  sin  2 arcsin  2 4 4  4. 2. Khi đổi biến không tính vi phân 1. dx (2 x  1)5 0. VD2: tÝnh I  . Gi¶i:. Lêi gi¶i sai: đặt t = 2x + 1 x  1  t  3  x  0  t  1 3. I  1. dt t 4 3 1 1  20      4  1  5 t 4 1 43  81. Lời giải đúng: đặt t= 2x+1 suy ra dt= 2dx x  1  t  3  x  0  t  1 3 dt t 4 3 1 1  10 I  5     4  1  2t 8 1 83  81 1.  0.  4. 1  cos 2t dt 2.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> www.VNMATH.com. 3. TÝnh nguyªn hµm sai, hiÓu sai b¶n chÊt c«ng thøc 2. VD1: TÝnh I   x.e x dx 0. Gi¶i: * lêi gi¶i sai: u  x u '  1  đặt  x x v '  e v  e 2 x 2  I   xe    e x dx  e 2  1 0 0 *Lời giải đúng: u  x du  dx  đặt   x x dv  e v  e 2 x 2  I   xe    e x dx  e 2  1 0 0. Vấn đề 2: sai lầm khi chứng minh đẳng thức tích phân 2. vÝ dô 1: cho n  N. ; CMR I .  sin  sin x  nx  dx  0 0. * Lêi gi¶i sai: xÐt f(x)=sin(sinx+nx) trªn  0; 2  ta cã: f(x) lµ hµm liªn tôc trªn  0; 2  vµ f(-x) = sin(sin(-x)-nx) = - f(x) vËy f(x) lµ hµm lÎ  I=0 *Nguyên nhân sai lầm: Học sinh hiểu sai định lý. “ Nếu hàm số f(x) là hàm lẻ,liên tục trên a. [-a;a] th×.  f  x  dx =0”. a. * Lời giải đúng: Đặt x    y 2. I . .  sin  sin x  nx  dx   sin  sin y  ny  n  dx =  1 . 0.  n.  sin  ny  sin y  dx. . Mặt khác ta có: g(y)=sin(ny-siny) xác định trên   ,   là hàm liên tục va g(-y)=sin(-ny-sin(-y))=-sin(ny-siny)=-g(y)  g(y) lµ hµm lÎ. VËy th× I=0 VÝ dô 2: cho hµm sè f liªn tôc trªn  0,   . H·y so s¸nh . . I   xf  sin x  dx vµ. J   f  sin x  dx. 0. 0. *Lêi gi¶i sai: u  x du  dx TÝch ph©n tõng phÇn:   dv  f  sin x  dx v   f  cos x   I   xf  cos x .  0. .   f  cos x  dx 0.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> www.VNMATH.com . Do f liªn tôc /[0;  ]  f  cos    f  0   0  I   f  cos x  dx (1) 0. . . f  sin x  dx (2) 2 0 Tõ (1) vµ (2) ta cã I  J * Nguyªn nh©n sai lÇm: Häc sinh kh«ng hiÓu vÒ hµm liªn tôc, tÝch ph©n vµ vi ph©n. * Lời giải đúng: §Æt x    t ta cã:. Mµ J . . 0. . . 0. 0. I   xf  sin x  dx      t  f  sin   t   dt    f  sin x  dx   xf  sin x  dx . 0. .  2 I    f  sin x  dx  I  0. . . 2 0. f  sin x  dx. VËy ta cã I=J vÝ dô 3: Cho hµm. sè f liªn tôc trªn [a,b]. CMR tån t¹i Ýt nhÊt 1 ®iÓm C   a, b  sao cho:. c. b. a. c.   f  x   f  c dx    f  c   f  x  dx * Lêi gi¶i sai. Do f liªn tôc trªn [a,b]  f(x)-f(c)/ [a,c] b»ng f(x)-f(c) trªn [b,c] vËy ta cã: c. c. b. a. b. c.   f  x   f  c  dx    f  x   f  c  dx    f  c   f  x  dx * Nguyªn nh©n sai lÇm: Kh«ng hiÓu vÒ hµm liªn tôc lªn tÝnh tÝch ph©n sai. * Lời giải đúng: áp dụng định lí về giá trị trung bình của tích phân   ít nhất một điểm C   a, b  sao cho: b.  a. b. f  x  dx  f  c  b  a    f  c  dx a. b. c. b.    f  x   f  c   dx    f  x   f  c   dx    f  x   f  c   dx  0 a. Hay ta cã:. a. c. c. b. a. c.   f  x   f  c dx    f  c   f  x  dx (§PCM).. Vấn đề: Sai lầm khi tính diện tích hình phẳng bằng tích ph©n I. KiÕn thøc chung. - Cho hàm số y  f  x  khả tích trên  a; b  . Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi: ox, b. y = f(x) , x = a, x = b lµ : S   f  x  dx a. II. Những sai lầm thường gặp 1. Sö dông sai c«ng thøc.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> www.VNMATH.com  y  9  x2 VD1: tÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi   y  0; x  1; x  4 Lêi gi¶i sai: DiÖn tÝch h×nh ph¼ng lµ: 4 1 4  S   (9  x 2 )dx   9 x  x3   7 3 1  1 Sai lÇm: ¸p dông sai c«ng thøctÝnh diÖn tÝch Lời giải đúng: DiÖn tÝch h×nh ph¼ng lµ:. y 9. 3. S   9  x 2 dx 1 3. 4. 1. 3.   (9  x 2 )dx    x 2  9 dx 1  3 1 38   4 65   9 x  x3    x3  9 x   9  3 1 3 3  3 2. o. 2. Xác định không chính xác hình cần tính giới hạn  y  0; y  1 VD: tÝnh diÖn tÝch h×nh giíi h¹n bëi:  2  y  x  1; x  0 Lêi gi¶i sai: y 2  x  1  y   x  1 y  0  x 1 y 1 x  2 VËy diÖn tÝch h×nh ph¼ng cÇn t×m lµ: 2 3 2 2 2 S   x  1dx   x  1 2  1 3 3 1 Sai lầm: xác định sai hình cần tính diện tích do không vẽ đường giới hạn Lời giải đúng: VÏ h×nh giíi h¹n: VËy diÖn tÝch h×nh giíi h¹n lµ: S  S1  S 2 víi : S1  12  1. . . 2 3  2 2 1  S 2   1  x  1 dx   x   x  1 2   3  1 3 1 4  S 3. 3. Xác định sai hình cần tính giới hạn. VD: T×m diÖn tÝch h×nh giíi h¹n bëi:. 1. 3. 4. x.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> www.VNMATH.com   y  x2  2x  1  2  y  x  6x  9  x  3 ; x  5  2 2 Lêi gi¶i sai: C1  C2   2;1.  C1   C2 . y. 1. 2. 3. x. VËy diÖn tÝch cña h×nh giíi h¹n lµ: 5. 2. S.   x  1 dx  2. 3. 2. 2.   x  3. 2. dx. 2. 2 5 1 1 3 3  x  1 3   x  3 2 3 2 2 3 1 1   1 1 7         3 24   24 3  12 Sai lầm: Xác định sai hình cần tính giới hạn Lời giải đúng: C1  C2   2;1 DiÖn tÝch h×nh giíi h¹n lµ: S  S1  S 2 . y=(x-1)2. y=(x-3)2. 1 2.   x  3   x  1. S1 . 2. 3. 2.  dx . 2. 2. 2. . 2   4 x  8 dx   2 x  8 x  3. 3. 2 5. 2.   x  1   x  3. S2 . 2. 5. . 2. 2. 2.  2. 1 2.  dx . 2   4 x  8 dx  (2 x  8 x) 2. VËy S =. 3. 5. 21 2 2. 1 1  1 2 2. Vấn đề: Dự kiến sai lầm khi tính thể tích khối tròn xoay bằng tích phân.. I, c«ng thøc:. x.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> www.VNMATH.com b   y  f  x   Vox f 2  x  dx    y  0  0 Cho h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi   b x  a Voy  2 xf x dx 0   x  b     x  f  y   x1  d  x  g  y   x2  Voy    x12  x22 dx NÕu h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi  c c  y  d  f  y  .g  y   0 . II, Một số sai lầm thường gặp: 1. Sử dụng công thức bỏ giá trị tuyệt đối:. TÝnh thÓ tÝch h×nh xuyÕn g©y bëi h×nh trßn x 2   y  b   a 2 quanh trôc 0x. * Lêi gi¶i sai: 2 Phương trình đường tròn (C): x 2   y  b   a 2 có thể viết 2. vÝ dô 1:.  y  b. 2.  y  b  a2  x2 a x   y  b  a2  x2  2. 2.  0  a  b  quay y.  C1   x  a  C2 . VËy thÓ tÝch cña h×nh xuyÕn lµ: a 2 2   Vox     b  a 2  x 2  b  a 2  x 2  dx  2 a 2b  a  * Sai lầm: mặc dù kết quả đúng nhưng sai công thức thể tích:.  . . x. . b. b. Vox     y12  y22  dx mµ Vox    y12  y22 dx . a. a.  a. * Lời giải đúng: Vox  . b  a2  x2. a.   2.  b  a2  x2. . 2. dx  2 a 2b. 2. Sö dông nhÇm Voy.  y  x2  vÝ dô: TÝnh Voy cña h×nh  x  1 x  2  2. * Lêi gi¶i sai: Voy    x 4 dx   1. x5 2 31  5 1 5 b. * Sai lÇm: §· sö dông c«ng thøc Voy    y 2 dx ®©y lµ c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch Vox. Vëy a. lêi gi¶i bÞ sai. * Lời giải đúng. 2. Voy  2  x.x 2 dx  1. 15 2. 1. 2.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>