Dai so 11 chuong 5

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Đại số 11. Traàn Só Tuøng. CHÖÔNG V đạo hàm. 1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm  Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0  (a; b): f '(x0 )  lim. f(x)  f(x 0 ). x x 0. x  x0. (x = x – x0, y = f(x0 + x) – f(x0)  Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại diểm đó. 2. Ý nghĩa của đạo hàm  YÙ nghóa hình hoïc: + f (x0) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại + Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại. y x 0 x lim. =. M  x0 ;f(x0 ) . M  x 0 ;f(x 0 ) . .. laø:. y. – y0 = f (x0).(x – x0)  YÙ nghóa vaät lí: + Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t) tại thời ñieåm t0 laø v(t0) = s(t0). + Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q(t) tại thời điểm t0 là I(t0) = Q(t0). 3. Qui tắc tính đạo hàm  (C)' = 0 (x) = 1 (xn) = n.xn–1 1  x  2 x.   (u  v) = u  v.  nN  n 1   . (uv) = uv + vu.  u  uv  vu     v v2 (v  0)  1  v    2  v v. (ku) = ku  Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu u = g(x) có đạo hàm tại x là ux và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là yu thì hàm số hợp y = f(g(x) có đạo hàm tại x là: yx yu.ux 4. Đạo hàm của hàm số lượng giác sin x 1 x 0 x ; lim. . sin u(x) 1 lim u(x) 0 x  x 0 u(x) (với x x0 ) lim.  (sinx) = cosx.  tan x    1. 2. 5. Vi phaân. cos x. (cosx) = – sinx.  cot x   . 1 sin2 x. Trang 58.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Đại số 11. Traàn Só Tuøng  f(x 0  x) f(x 0 )  f (x 0 ).x.  dy df(x) f (x).x 6. Đạo hàm cấp cao  .  f ''(x)  f '(x)  f '''(x)  f ''(x)  f (n) (x)  f (n  1) (x) ; ; (n  N, n  4). YÙ nghóa cô hoïc: Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời. ñieåm t0 laø a(t0) = f(t0).. VẤN ĐỀ 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 bằng định nghĩa ta thực hiện các bước: B1: Giả sử x là số gia của đối số tại x0. Tính y = f(x0 + x) – f(x0). y B2: Tính x 0 x . lim. Bài 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra: y  f(x) 2x 2  x  2 taïi x 0 1 b) y  f(x)  3  2x taïi x = –3 0 2x  1 y f(x)  x  1 taïi x0 = 2. a) c).  taïi x0 = 6. d) y f(x) sin x. y f(x)  3 x taïi x = 1 0. e) f) Baøi 2:. y f(x) . x2  x  1 x 1 taïi x0 = 0. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau:. a). f(x)  x 2  3x  1. 3 b) f(x) x  2x. d). c) f(x)  x  1, (x   1) f(x) . 1 2x  3. e) f(x) sin x. f). f(x) . 1 cos x. VẤN ĐỀ 2: Tính đạo hàm bằng công thức Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) bằng công thức ta sử dụng các qui tắc tính đạo hàm. Chú ý qui tắc tính đạo hàm của hàm số hợp. Baøi 1:. Tính đạo hàm của các hàm số sau:. Trang 59.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Traàn Só Tuøng. Đại số 11 y 2x 4 . a). 1 3 x 2 x  5 3. y. b). 3 x. 2. . 2 x  x x. 3. 3 2 c) y (x  2)(1  x ) 2 2 2 2 d) y (x  1)(x  4)(x  9) e) y (x  3x)(2  x). f). y. .  1  x 1   1  x . . y. g) h). y. 3 2x  1. 2x  1 1  3x. 1  x  x2 y 1  x  x2 i). k). y. l) Baøi 2:. x2  3x  3 x 1. y. 2x2  4x  1 x 3. m).  2x  1  y    x 1  c) y. d) y. 3. (x  1)2 (x  1)3. 1 2  f) y  3  2x. (x2  2x  5)2. 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau: y  2x2  5x  2. a) 3 3 b) y  x  x  2. c) y  x  x y (x  2) x 2  3. d) y. e) y. 4x  1 2. x 2. f). y. 4  x2 x. x3 x 1. 3 h) y  (x  2). Baøi 4:. x2  2x  3. y (x2  x  1)4. 2 5 b) y (1  2x ). g). 2x2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:. a). e) Baøi 3:. y.   i) y  1  1  2x Tính đạo hàm của các hàm số sau:. Trang 60. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Đại số 11. Traàn Só Tuøng  sin x  y    1  cos x . a) b) y  x.cos x. 2. 3 c) y sin (2x  1). d) y  cot 2x 2 e) y sin 2  x. f) y  sin x  2x. 2 1 y  tan 2x  tan3 2x  tan 5 2x 3 5 g) 2 3 h) y  2sin 4x  3cos 5x 2 3 i) y (2  sin 2x). k). y sin  cos2 x tan2 x .  x 1 y  cos2    x  1   l). Baøi 5:. Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng: (sin n x.cos nx)'  n sin n  1 x.cos(n  1)x. a) n. (sin x.sin nx)'  n.sin. n 1. b). x.sin(n  1)x. n n 1 n n 1 c) (cos x.sin nx)' n.cos x.cos(n  1)x d) (cos x.cosnx)'  n.cos x.sin(n  1)x. VẤN ĐỀ 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) 1. Phöông trình tieáp tuyeán taïi ñieåm M(x0, y0)  (C) laø: y  y 0  f '(x 0 )(x  x 0 ) 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc k:. (*). + Gọi x0 là hoành độ của tiếp điểm. Ta có: f (x 0 ) k (ý nghĩa hình học của đạo hàm) + Giaûi phöông trình treân tìm x0, roài tìm y 0  f(x 0 ). + Viết phương trình tiếp tuyến theo công thức (*) 3. Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết (d) đi qua điểm A(x1, y1) cho trước: + Gọi (x0 , y0) là tiếp điểm (với y0 = f(x0)). + Phöông trình tieáp tuyeán (d): y  y 0  f '(x 0 )(x  x 0 ) (d) qua A (x1 , y1 )  y1  y 0  f '(x 0 ) (x1  x 0 ) (1) + Giải phương trình (1) với ẩn là x0, rồi tìm y 0 f(x 0 ) và f '(x 0 ). + Từ đó viết phương trình (d) theo công thức (*). 4. Nhắc lại: Cho (): y = ax + b. Khi đó: (d)  ()  k d a. + Baøi 1:. +. (d)  ()  k d . 1 a. 2 Cho hàm số (C): y  f(x) x  2x  3. Viết phương trình tiếp với (C):. a) Tại điểm có hoành độ x0 = 1. b) Song song với đường thẳng 4x – 2y + 5 = 0. c) Vuông góc với đường thẳng x + 4y = 0. d) Vuông góc với đường phân giác thứ nhất của góc hợp bởi các trục tọa độ. Trang 61.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Traàn Só Tuøng. Đại số 11 y f(x) . 2  x  x2 x 1 (C).. Baøi 2: Cho haøm soá a) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm M(2; 4). b) Vieát phöông trình ttieáp tuyeán cuûa (C) bieát tieáp tuyeán coù heä soá goùc k = 1. y f(x) . 3x  1 1  x (C).. Baøi 3: Cho haøm soá a) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm A(2; –7). b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành. c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. 1 y  x  100 2 d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với d: .. 0.. e) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với : 2x + 2y – 5 = 3. 2. Baøi 4: Cho haøm soá (C): y x  3x . a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm I(1, –2). b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ thị (C) không đi qua I. 2 Bài 5: Cho hàm số (C): y  1  x  x . Tìm phương trình tiếp tuyến với (C):. 1 . a) Tại điểm có hoành độ x0 = 2. b) Song song với đường thẳng x + 2y = 0.. VẤN ĐỀ 4: Tính đạo hàm cấp cao (n). n 1 /. 1. Để tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, ... ta dùng công thức: y  (y ) . 2. Để tính đạo hàm cấp n:  Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, ... từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n.  Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng. Baøi 1: Cho haøm soá f(x) 3(x  1)cos x .   f ''(), f ''   ,f ''(1)  2 b) Tính. a) Tính f '(x),f ''(x) Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số đến cấp được chỉ ra:. y. x 3 , y'' x4. a) y cos x, y'''. 4 3 2 b) y 5x  2x  5x  4x  7, y ''. c). 2 d) y  2x  x , y''. e) y xsin x, y''. f) y x tan x, y''. 2 3 g) y (x  1) ,y ''. 6 3 (4) h) y x  4x  4, y. Bài 3: Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng:  1    1 x  a) . (n). ( 1)n n!  n.   (sin x)(n) sin  x   n 1 2  (1  x)  b). Trang 62. 1 y , y(5) 1 x i).  n.  (cos x)(n)  cos  x   2   c).

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Đại số 11. Traàn Só Tuøng. Bài 4: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau: a). y. 1 x 2. y. b). 1 2. x  3x  2. c). y. x 2. x 1. 1 x y 1 x d). 2 4 4 e) y sin x f) y sin x  cos x Bài 5: Chứng minh các hệ thức sau với các hàm số được chỉ ra:.  y  2x  x2  3 b)  y y'' 1 0  x 3 y   x4 2y2 (y  1)y''. y xsin x  a) xy'' 2(y' sin x)  xy 0 y x tan x  2 2 2 c) x y'' 2(x  y )(1  y) 0. d). sin u(x) VẤN ĐỀ 5: Tính giới hạn dạng x x0 u(x) lim. Ta sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi và sử dụng công thức lim. x x 0. sin u(x) 1 lim u(x) 0 x x0 u(x) (với ). Bài 1: Tính các giới hạn sau: sin3x lim a) x 0 sin 2x. 1  sin x  cos x lim e) x 0 1  sin x  cos x. b). lim. x 0. lim. 1  cos x x2. c). tan 2x lim f) x  0 sin 5x. g). 1  sin x.  x  2.    x 2 . 2.   lim   x  tan x  2  x 2. cos x  sin x  cos2x x lim. d). 4.   sin  x   6  lim  3 x  cos x 6 2 h). VẤN ĐỀ 6: Các bài toán khác Bài 1: Giải phương trình f '(x) 0 với: a) f(x) 3cos x  4sin x  5x 2 c) f(x) sin x  2 cosx. b) f(x) cos x  3 s ón  2x  1 d). f(x) sin x . cos 4x cos6x  4 6. 3  x 2 e) f) f(x) sin3x  3 cos3x  3(cos x  Bài 2: Giải phương trình f '(x) g(x) với: f(x) sin 4 3x f(x) sin3 2x   a) g(x) sin 6x b) g(x) 4 cos2x  5sin 4x  2 x  f(x) 4x cos 2 2 2 x  f(x) 2x cos   2 g(x) 8cos x  3  2xsin x g(x) x  x 2 sin x 2 c) d)  f '(x)  g'(x) Baøi 3: Giaûi baát phöông trình với: f(x) 1  sin(  x)  2 cos. Trang 63. 3 sin x).

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Traàn Só Tuøng. Đại số 11 3. 2. a) f(x) x  x  2, g(x) 3x  x  2 b). f(x) 2x3  x2  3, g(x) x3 . x2  2. 3. 2 f(x)  , g(x) x  x3 x c). Bài 4: Xác định m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x  R: a) b). f '(x)  0 với f(x)  f '(x)  0 với f(x) . mx3  3x 2  mx  5 3. mx3 mx2   (m  1)x  15 3 2. Trang 64.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>