SÁNG KIẾN “PHÂN TÍCH đa THỨC THÀNH NHÂN tử NHẰM NÂNG CAO NĂNG lực GIẢI TOÁN CHO học SINH”

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
BT
GV
HS
SBT
SGK
THCS

Bài tập
Giáo viên
Học sinh
Sách bài tập
Sách giáo khoa
Trung học cơ sở


MỤC LỤC
Trang
CHƯƠNG I. TỔNG QUAN
CHƯƠNG II. MÔ TẢ SÁNG KIẾN
I.
NÊU VẤN ĐỀ CỦA SÁNG KIẾN
II. GIẢI PHÁP ĐỂ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN
1) Phương phát đặt nhân tử chung
2) Phương pháp dùng hằng đẳng thức
3) Phương pháp nhóm các hạng tử
4) Phối hợp các phương pháp thông thường
5) Phương pháp tách hạng tử
6) Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử
7) Phương pháp đặt ẩn phụ
8) Phương pháp sử dụng nghiệm hạ bậc của đa thức

9) Phương pháp xét giá trị riêng
10) Phương pháp hệ số bất định
II. KẾT QUẢ VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG, NHÂN RỘNG
IV. GIẢI PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN
CHƯƠNG III. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT

1
3
3
4
4
6
8
9
11
12
14
16
17
18
19
20
21


CHƯƠNG I. TỔNG QUAN
1. Cơ sở lí luận
Tốn học là một môn khoa học cơ bản, là nền tảng cho các mơn khoa học
khác, có ứng dụng trong hầu hết trong các lĩnh vực của cuộc sống, toán học giữ
vai trò quan trọng trong mọi bậc học. Làm thế nào để học được tốn, học giỏi

tốn đó là vấn đề đặt ra mà không phải lúc nào cũng giải quyết được một cách dễ
dàng. Với cương vị là một GV tốn, tơi nhận thấy cần phải đầu tư suy nghĩ hơn
nữa để tìm ra phương pháp tốt nhất phù hợp với từng đơn vị kiến thức, giúp các
em tiếp thu kiến thức một cách chủ động, nhẹ nhàng có hiệu quả.
Chương trình tốn THCS rất đa dạng và phong phú, bởi vậy việc đề ra một
phương pháp dạy học phù hợp với tất cả các dạng bài là điều khó có thể thực hiện
được. Với mỗi dạng bài lên lớp có một phương pháp tối ưu nhất, phương pháp
này thì phù hợp với kiểu bài này nhưng lại không thực sự phù hợp với kiểu bài
khác. Do đó mỗi GV cần cố gắng trau dồi nghiệp vụ sư phạm của mình để hướng
dẫn học sinh lĩnh hội tri thức, kỹ năng, phương pháp nhằm đáp ứng yêu cầu ngày
càng cao của xã hội.
Vấn đề phân tích đa thức thành nhân tử tuy chỉ được đề cập đến trong
chương trình đại số 8 với thời gian không nhiều song đây lại là một công cụ hết
sức hữu hiệu để cho học sinh khối 8 nói riêng và học sinh khối 8 trở lên nói
chung giải quyết được các loại bài tập như "Tìm giá trị của biểu thức, rút gọn,
chứng minh hoặc giải phương trình, bất phương trình ..."
Do vậy để củng cố và giúp các em tiến bộ hơn trong phần kiến thức này tơi
chọn đề tài “Hình thành và rèn luyện kĩ năng phân tích đa thức thành nhân
tử” cho sáng kiến của mình.
2. Phương pháp tiếp cận tạo ra sáng kiến
Thông qua giảng dạy, tiến hành đúc rút kinh nghiệm và áp dụng trực tiếp vào
các lớp HS
1


3. Mục tiêu
- Cung cấp kiến thức cho học sinh về các phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử (đặc biệt là một số phương pháp không đề cập trong
SGK)
- Rèn luyện thành thạo kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho HS

2


CHƯƠNG II. MÔ TẢ SÁNG KIẾN
I.

NÊU VẤN ĐỀ CỦA SÁNG KIẾN
1. Phân tích đánh giá thực trạng của vấn đề
Có rất nhiều các phương pháp khác nhau để phục vụ cho mục đích “Phân

tích đa thức thành nhân tử” song qua thực tế giảng dạy tôi thấy rằng không phải
bất kỳ HS nào cũng nắm được và biết vận dụng thành thạo các phương pháp đó
vào việc giải các bài tập cụ thể. Một bộ phận HS mất kiến thức căn bản ở các lớp
dưới, nhất là chưa chủ động học ngay từ đầu chương trình lớp 8
2. Một số tồn tại, hạn chế
Tồn tại nhiều học sinh yếu trong tính tốn, kỹ năng quan sát nhận xét, biến
đổi và thực hành giải toán.
Tài liệu toán học, sách tham khảo, sách nâng cao ở thư viện nhà trường cịn
ít về số lượng, thiếu về chủng loại. Đa số HS ít có điều kiện tiếp xúc với các loại
sách tham khảo chất lượng tốt. Kinh tế gia đình nhiều HS cịn nghèo, không trang
bị đầy đủ các dụng cụ học tập cần thiết cho việc học tập mơn tốn của HS như:
máy tính bỏ túi…
Khi triển khai chương trình dạy học phát triển năng lực thì thơng qua việc
đọc thơng tin SGK, học sinh sẽ rèn luyện tính làm việc độc lập, tự nghiên cứu có
hiệu quả. Tuy nhiên HS do chưa biết cách tự học nên lĩnh hội không đầy đủ kiến
thức dẫn đến còn "hổng kiến thức" gây chán nản, bỏ học...
3. Nguyên nhân của những tồn tại, hạn chế
Nguyên nhân cơ bản theo tôi là:
- HS không chịu học lí thuyết cơ bản, khơng nắm vững các hằng đẳng thức.

Khơng chịu khó suy nghĩ để triển khai theo cả hai chiều thuận và đảo. Chính vì
điều đó đã làm ảnh hưởng khơng ít đến khả năng biến đổi của HS trong khi làm
bài tập.
- Thời gian học một tiết trên lớp hạn chế (45’) nên những đối tượng HS
trung bình và yếu chưa thể hình dung và có đủ thời gian để tư duy.
3


- Tiết luyện tập cịn ít nên giáo viên chưa đủ thời gian để kiểm tra tất cả các
đối tượng HS, kiểm tra việc vận dụng lí thuyết của HS trong q trình giải bài
tập.
- Vì lí do thời gian mà giáo viên không đủ điều kiện để đưa ra thêm các
phương pháp khác vì vậy sự tư duy trong các em còn hạn chế.
- Do một bộ phận HS chây lười trong học tập, ỷ lại, trông chờ vào kết quả
người khác, chưa lỗ lực tự học, tự rèn, ý thức học tập yếu kém.
- Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo, nên
khi gặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải thích hợp,
khơng biết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương pháp
nào là phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt nhất.
4. Phân tích, đánh giá và chỉ ra tính cấp thiết cần tạo ra sáng kiến.
Tôi nhận thấy mảng kiến thức “Phân tích đa thức thành nhân tử” là công cụ đắc
lực giúp cho các em học sinh đặc biệt là học sinh khối THCS giải các bài tập nhanh
chóng, thuận lợi. Vì vậy cần thiết phải hệ thống kiến thức về các phương pháp phân
tích đa thức thành nhân tử, các chú ý trong từng phần, từng phương pháp để tránh
mắc phải những sai lầm. Nội dung được trình bày hầu hết nằm trong sách giáo khoa
và được nâng cao dần thơng qua đó học sinh vừa được phát huy trí tuệ, vừa thấy rõ
vai trị to lớn của mảng kiến thức này vào việc giải các bài tập có liên quan.
II.

GIẢI PHÁP ĐỂ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN

Trong phần này tôi sẽ đưa ra những phương pháp cơ bản để phục vụ giải bài tập
dạng “Phân tích đa thức thành nhân tử” và cứ sau phần lí thuyết tổng qt là các bài
tập có tính chất minh hoạ. Từ đó giúp học sinh có khả năng vận dụng và phát triển khả
năng giải tốn cũng như có một tư duy khoa học để tìm lời giải cho bài toán.
1) Phương phát đặt nhân tử chung
Ta thường làm như sau:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số (ƯCLN của các hệ số).
- Tìm nhân tử chung của các biến (mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất).
4


Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D).
 Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử ta cần đổi dấu các hạng tử.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử. (BT-39c-SGK-tr19)
Giáo viên gợi ý:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 14, 21, 28 trong các hạng tử trên ?
(Học sinh trả lời là: 7, vì ƯCLN(14, 21, 28 ) = 7 )
- Tìm nhân tử chung của các biến x2 y, xy2, x2y2 ? (HS trả lời là xy )
- Nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức đã cho là 7xy.
Giải: 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy
= 7xy.(2x – 3y + 4xy)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử. (BT-39e -SGK-tr19)
Giáo viên gợi ý:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 10 và 8 ? (Học sinh trả lời là: 2)
- Tìm nhân tử chung của x(x – y) và y(y – x) ?
- Hãy thực hiện đổi dấu tích 10x(x – y) hoặc tích – 8y(y – x) để có nhân tử
chung (y – x) hoặc (x – y)?
Cách 1: Đổi dấu tích – 8y(y – x) = 8y(x – y)
Cách 2: Đổi dấu tích 10x(x – y) = –10x(y – x) (Học sinh tự giải )

Giải:

10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y)
= 2(x – y).5x + 2(x – y).4y
= 2(x – y)(5x + 4y)

Có thể tổng qt thành hai loại tốn như sau:
* Loại 1: Nếu đa thức đã cho có dạng: AB + AC + AD. Ta có thể áp dụng tính
chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng để đưa về phương trình tích
A(B + C + D).
* Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a, 2x(x + 1) + 2(x + 1) = 2(x + 1)(x + 1) = 2(x + 1).
5


b, 9xy + 15xy - 21xy = 3xy(3xy + 5x - 7y).
* Loại 2: Nếu đa thức đã cho chưa có sẵn dạng AB + AC + AD. Ta phải tìm
cách đưa đa thức đó về dạng cơ bản theo trình tự sau:
+ Bước 1: Phát hiện nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức đã cho
bằng các kiến thức đã học.
+ Bước 2: Phân tích các hạng tử của đa thức thành tích của nhân tử chung
với một nhân tử khác.
+ Bước 3: Áp dụng luật phân phối của phép nhân với phép cộng để viết thành tích.
* Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
4x(x - 2y) + 8y(2y - x) = 4x(x - 2y) - 4.2y(x - 2y)
= 4(x - 2y)(x - 2y)
= 4(x - 2y).
2) Phương pháp dùng hằng đẳng thức
- Khi áp dụng phương pháp này có thể làm theo các bước sau:
+ Bước 1: Phát hiện và quy về dạng hằng đẳng thức đáng nhớ.

+ Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức để viết thành tích hoặc luỹ thừa.
+ Nhắc lại 7 hằng đẳng thức đáng nhớ:
1) (A + B) = A + 2AB + B.
2) (A - B) = A - 2AB + B.
3) A - B = (A - B)(A + B).
4) (A + B) = A + 3AB + 3 AB + B.
5) (A - B) = A - 3AB + 3 AB - B.
6) A + B = (A + B)(A - AB + B).
7) A - B = (A - B)(A + AB + B).
Với A và B là các biểu thức tuỳ ý.
Ví dụ 4: Phân tích (x + y)2 – (x – y)2 thành nhân tử. (BT- 28a-SBT-tr6)
Gợi ý: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào ? (HS: có dạng A2 – B2 )
Lời giải sai: (x + y)2 – (x – y)2 = (x + y – x – y)(x + y + x – y) (thiếu dấu ngoặc)
= 0.(2x) = 0 (kết quả sai)
Sai lầm của học sinh ở đây là: Thực hiện thiếu dấu ngoặc
6


Lời giải đúng:

(x + y)2 – (x – y)2 = [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)]
= (x + y – x + y)(x + y + x – y)
= 2y.2x = 4xy

Các sai lầm học sinh dễ mắc phải:
- Áp dụng sai quy tắc dấu ngoặc.
- Phép biến đổi, kĩ năng nhận dạng hằng đẳng thức cịn kém.
 Khai thác bài tốn: Đối với học sinh khá giỏi, giáo viên có thể cho các em
làm bài tập dưới dạng phức tạp hơn.
* Nếu thay mũ “2” bởi mũ “3” ta có bài tốn

Phân tích (x + y)3 – (x – y)3 thành nhân tử (BT-44b-SGK-tr20)
* Đặt x + y = a, x – y = b, thay mũ “3” bởi mũ “6” ta có bài tốn
Phân tích a6 – b6 thành nhân tử

(BT-26c-SBT-tr6)

a6 – b6 = ( a 3 ) − ( b3 ) = (a3 – b3 )( a3 + b3 )
2

2

Ví dụ 5: Phân tích a6 – b6 thành nhân tử

(BT-26c-SBT-tr6)

Giải: a6 – b6 = ( a 3 ) − ( b3 ) = (a3 – b3 )( a3 + b3 )
2

2

= (a – b)(a2 + ab + b2)(a + b)(a2 – ab + b2)
+ Chú ý: Khi dạy về phương pháp này đối với học sinh khá giỏi nên cho làm
quen thêm một số hằng đẳng thức mới như:
1) (A + B + C) = A + B + C + 2AB + 2AC + 2BC.
2) (A - B - C) = A + B + C - 2AB - 2AC + 2BC.
3) (A + B + C) = A + B + C + 3(A + B)(A + C)(B + C).
4) A - B = (A - B)(A + AB + AB + ... + AB + AB + B).
5) (A + B) = A + CAB + CAB + ... + Cnn −1 AB + B.
Giáo viên củng cố cho học sinh: Các hằng đẳng thức đáng nhớ, kĩ năng
nhận dạng hằng đẳng thức qua bài toán, dựa vào các hạng tử, số mũ của các hạng

tử mà sử dụng hằng đẳng thức cho thích hợp.
3) Phương pháp nhóm các hạng tử
- Khi áp dụng phương pháp này cần làm theo các bước sau:

7


+ Bước 1: Phát hiện các hạng tử có nhân tử chung cho mỗi nhóm hoặc dạng
của các hằng đẳng thức.
+ Bước 2: Phát hiện tiếp trong các hạng tử mới đó có hạng tử nào đó có chứa
nhân tử chung hoặc dạng hằng đẳng thức, kết hợp thành một nhóm hoặc dùng
hằng đẳng thức.
Thơng thường ta dựa vào các mối quan hệ sau:
- Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tử trong bài toán.
- Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn:
+ Mỗi nhóm đều phân tích được.
+ Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì q trình phân
tích thành nhân tử phải tiếp tục thực hiện được nữa.
+/ Nhóm nhằm xuất hiện nhân tử chung
Ví dụ 7: Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử. (Bài tập 47a-SGK-tr22)
Cách 1: Nhóm (x2 – xy) và (x – y)
Cách 2: Nhóm (x2 + x) và (– xy – y )
Lời giải sai:

x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)
= x(x – y) + (x – y)
= (x – y)(x + 0)

(kết quả dấu sai vì bỏ sót số 1)

Sai lầm của học sinh là: Bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung
(HS cho rằng ở ngoặc thứ hai khi đặt nhân tử chung (x – y) thì cịn lại là số 0)
Lời giải đúng: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)
= x(x – y) + 1.(x – y) = (x – y)(x + 1)
+/ Nhóm nhằm xuất hiện hằng đẳng thức
Ví dụ 9: Phân tích đa thức x2 – 2x + 1 – 4y2 thành nhân tử.
Giải: x2 – 2x + 1 – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – (2y)2
= (x – 1)2 – (2y)2
= (x – 1 – 2y)(x – 1 + 2y)
+/ Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên
Ví dụ 10: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử.
8


Lời giải sai: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y )

(đặt dấu sai)

= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên)
= (x – 2y)(x + 2y – 2)

(kết quả dấu sai)

Sai lầm của học sinh là:
Nhóm x2 – 2x – 4y2 – 4y
= (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai ở ngoặc thứ hai)
Lời giải đúng: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) + (– 2x – 4y )
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y)
= (x + 2y)(x – 2y – 2)
Qua các ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh:

Cách nhóm các hạng tử và đặt dấu trừ “ – ” hoặc dấu cộng “ + ” ở trước
dấu ngoặc, phải kiểm tra lại cách đặt dấu khi thực hiện nhóm.
Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sự sai dấu, vì vậy học sinh cần
chú ý cách nhóm và kiểm tra lại kết quả sau khi nhóm. Sau khi phân tích đa thức
thành nhân tử ở mỗi nhóm q trình phân tích thành nhân tử khơng thực hiện
được nữa, thì cách nhóm đó đã sai, phải thực hiện lại.
4) Phối hợp các phương pháp thông thường
Là sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các phương pháp nhóm nhiều hạng tử,
đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức. Vì vậy học sinh cần nhận xét bài toán
một cách cụ thể, mối quan hệ của các hạng tử và tìm hướng giải thích hợp.
Ta thường xét từng phương pháp: Đặt nhân tử chung
Dùng hằng đẳng thức
Nhóm nhiều hạng tử
Ví dụ 11: Phân tích đa thức x4 – 9x3 + x2 – 9x thành nhân tử. (BT- ?2 -SGK-tr22)
Gợi ý phân tích: Xét từng phương pháp:

Đặt nhân tử chung
Dùng hằng đẳng thức
Nhóm nhiều hạng tử

Các sai lầm học sinh thường mắc phải
Lời giải chưa hoàn chỉnh:
9


a) x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9)

(phân tích chưa triệt để)

b) x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3 ) + (x2 – 9x)

= x3(x – 9) + x(x – 9 )
= (x – 9)(x3 + x ) (phân tích chưa triệt để)
Lời giải đúng:

x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9)
= x[(x3 – 9x2 ) + (x – 9)]
= x[x2 (x – 9) + 1.(x – 9)]
= x(x – 9)(x2 + 1)

Ví dụ 12: Phân tích đa thức A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử.
(Bài tập 57- SBT-tr 9 toán 8 tập 1)
Trong ví dụ này có nhiều cách giải, học sinh cần phải linh hoạt lựa chọn
cách giải phù hợp nhất, gọn nhất.
Áp dụng hằng đẳng thức: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B)
Suy ra hệ quả sau: A3 + B3 = (A + B)3 – 3AB(A + B).
Giải:
A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 = [(x + y) + z]3 – x3 – y3 – z3
= (x + y)3 + z3 + 3z(x + y)(x + y + z) – x3 – y3 – z3
= [(x + y)3 – x3 – y3 ] + 3z(x + y)(x + y + z)
= 3xy(x + y) + 3(x + y)(xz + yz + z2 )
= 3(x + y)( xy + xz + yz + z2)
= 3(x + y)(y + z)(x + z)
 Khai thác bài toán:
1) Chứng minh rằng A chia hết cho 6 với mọi x, y, z nguyên.
2) Cho x + y + z = 0. Chứng minh x3 + y3 + z3 = 3xyz (Bài 38-SBT-tr7)
+ Hướng dẫn: Dùng x3 + y3 = (x + y)3 –3xy(x + y)
và x + y + z = 0 ⇔ x + y = – z
3) Phân tích x3 + y3 + z3 – 3xyz thành nhân tử (Bài 28c)-SBT-tr6)
+ Hướng dẫn: Dùng x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y)

10


Trong chương trình sách giáo khoa Tốn 8 hiện hành chỉ giới thiệu ba
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đó là: Đặt nhân tử chung, dùng
hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử. Tuy nhiên trong phần bài tập lại có những
bài khơng thể áp dụng ngay ba phương pháp trên để giải, (Chẳng hạn như bài tập
53, 57 sgk/tr 24-25). Sách giáo khoa có gợi ý cách “ tách ” một hạng tử thành hai
hạng tử khác hoặc “ thêm và bớt cùng một hạng tử ” thích hợp rồi áp dụng các
phương pháp trên để giải. Xin giới thiệu thêm về phương pháp này, để học sinh
vận dụng rộng rãi trong thực hành giải toán.
5) Phương pháp tách hạng tử
Khi gặp những đa thức khơng có thừa số chung và khơng có bất kỳ dạng
hằng đẳng thức nào (mặc dù đã sử dụng đến phương pháp nhóm) khi đó ta phải
tìm cách tách một vài hạng tử nào đó để trở thành đa thức có nhiều hạng tử hơn,
với mục đích tách để trở thành đa thức xuất hiện các hạng tử có nhân tử chung
hoặc các dạng hằng đẳng thức để nhóm sau đó đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng
đẳng thức để phân tích.
Ví dụ 13: Phân tích đa thức f(x) = 3x2 – 8x + 4 thành nhân tử.
Gợi ý ba cách phân tích: (chú ý có nhiều cách phân tích)
Giải: Cách 1 (tách hạng tử : 3x2)

3x2 – 8x + 4 = 4x2 – 8x + 4 – x2
= (2x – 2)2 – x2
= (2x – 2 – x)( 2x – 2 + x)
= (x – 2)(3x – 2)

Cách 2 (tách hạng tử : – 8x)

3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4

= 3x(x – 2) – 2(x – 2)
= (x – 2)(3x – 2)

Cách 3 (tách hạng tử : 4)

3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 12 – 8x + 16
= 3(x2 – 22 ) – 8(x – 2)
= 3(x – 2)(x + 2) – 8(x – 2)
= (x – 2)(3x + 6 – 8)
= (x – 2)(3x – 2)
11


Nhận xét: Từ ví dụ trên, ta thấy việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử nhằm:
- Làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương. (cách 1)
- Làm xuất hiện các hệ số ở mỗi hạng tử tỷ lệ với nhau, nhờ đó làm xuất
hiện nhân tử chung x – 2 . (cách 2)
- Làm xuất hiện hằng đẳng thức và nhân tử chung. (cách 3)
Vì vậy, việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác là nhằm làm xuất hiện
các phương pháp đã học như: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm
nhiều hạng tử là việc làm hết sức cần đối với học sinh trong giải toán.
 Khai thác cách giải: Tách hạng tử: – 8x

(Cách 2)

Nhận xét: Trong đa thức 3x2 – 6x – 2x + 4 ta thấy hệ số ở các số hạng là:
3, – 6, –2, 4 tỷ lệ nhau

−6 4
=

hay (– 6).( – 2)= 3.4 và (– 6) + ( – 2)= – 8
3 −2

Khai thác: Trong đa thức 3x2 – 8x + 4 đặt a = 3, b = – 8, c = 4
Tính tích a.c và phân tích a.c = b1.b2 sao cho b1 + b2 = b
(ac = b1.b2 = 3.4 = (– 6).( – 2) = 12; b1 + b2 = b = (– 6) + ( – 2)= – 8)
Tổng quát: Để phân tích đa thức dạng ax2 + bx + c thành nhân tử, ta tách hạng
tử bx thành b1x + b2x sao cho b1b2 = ac
Trong thực hành ta làm như sau:
Bước 1: Tìm tích ac.
Bước 2: Phân tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách
Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.
Lưu ý: Đối với đa thức f(x) có bậc từ ba trở lên, để làm xuất hiện các hệ
số tỉ lệ, tuỳ theo đặc điểm của các hệ số mà ta có cách tách riêng cho phù
hợp nhằm để vận dụng phương pháp nhóm hoặc dùng hằng đẳng thức hoặc
đặt nhân tử chung.
6) Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử
Được sử dụng khi trong đa thức đã có dáng dấp một hằng đẳng thức
nhưng cịn khuyết một hạng tử ở vị trí nào đó của một hằng đẳng thức gợi cho ta
phải thêm vào hạng tử đó để xuất hiện dạng của một hằng đẳng thức nhưng đồng

12


thời phải bớt đi chính hạng tử đó để đa thức đã cho không hề thay đổi, phương
pháp này được dựa vào tính chất.
A + B = A + B + C - C.
Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử nhằm sử dụng phương pháp
nhóm để xuất hiện dạng đặt nhân tử chung hoặc dạng hằng đẳng thức.
Ví dụ 17: Phân tích đa thức x4 + x2 + 1 thành nhân tử.

Ta phân tích: - Tách x2 thành 2x2 – x2 : (làm xuất hiện hằng đẳng thức)
Ta có x4 + x2 + 1 = x4 + 2x2 + 1 – x2 = (x4 + 2x2 + 1) – x2
- Thêm x và bớt x: (làm xuất hiện hằng đẳng thức và đặt nhân tử chung)
Ta có x4 + x2 + 1 = x4 – x + x2 + x + 1 = (x4 – x) + (x2 + x + 1)
Giải: x4 + x2 + 1 = x4 – x + x2 + x + 1
= (x4 – x) + (x2 + x + 1)
= x(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)
 Chú ý: Các đa thức có dạng x4 + x2 + 1, x5 + x + 1, x5 + x4 + 1, x7 + x5 + 1,….;
tổng quát những đa thức dạng x3m+2 + x3n+1 + 1 hoặc x3 – 1, x6 – 1 đều có chứa
nhân tử:

x2 + x + 1.

Ví dụ 19: Phân tích đa thức x4 + 4 thành nhân tử. (Bài tập 57d)-SGK-tr 25)
Gợi ý: Thêm 4x2 và bớt 4x2 : (làm xuất hiện hằng đẳng thức)
Giải: x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2
= (x2 + 2 – 2x)( x2 + 2 + 2x)
 Khai thác bài tốn:
* Thay “4” thành “ 64y4 ”, ta có bài toán: x4 + 64y4
Hướng dẫn giải:
Thêm 16x2y2 và bớt 16x2y2 : (làm xuất hiện hằng đẳng thức)
x4 + 64y4 = (x4 + 16x2y2 + 64y4 ) – 16x2y2
= (x2 + 8y2)2 – (4xy)2 = (x2 + 8y2 – 4xy)(x2 + 8y2 + 4xy
13


7) Phương pháp đăt ẩn phụ
Bằng phương pháp đặt ẩn phụ (hay phương pháp đổi biến) ta có thể đưa
một đa thức với ẩn số cồng kềnh, phức tạp về một đa thức có biến mới, mà đa

thức này sẽ dễ dàng phân tích được thành nhân tử. Sau đây là một số bài toán
dùng phương pháp đặt ẩn phụ.
* Chú ý: Sau khi phân tích đến bước cuối cùng phải thay trở lại biến ban đầu.
Ví dụ 21: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x2 + x) + 4(x2 + x) - 12
Giải: Đặt : y = x2 + x , đa thức đã cho trở thành :
A = y2 + 4y – 12
= y2 – 2y + 6y – 12
= y(y – 2) + 6(y – 2)
= (y – 2)(y + 6) (1)
Thay : y = x2 + x vào (1) ta được :
A = (x2 + x – 2)(x2 + x – 6)
= (x – 1)(x + 2)(x2 + x – 6)
Ví dụ 23: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x12 – 3x6 + 1
Giải: B = x12 – 3x6 + 1
Đặt y = x6 (y ≥ 0 )
Đa thức đã cho trở thành :
B = y2 – 3y + 1
= y2 – 2y + 1 – y
= (y – 1)2 – y

(*)

Thay : y = x6 vào (*) được :
B = (x6 – 1)2 – x6
= (x6 – 1 – x3)(x6 − 1 + x3)
Nhận xét: Từ lời giải bài tốn trên ta có thể giải bài tốn tổng qt sau : phân tích
đa thức sau thành nhân tử:
A = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + m

Nếu a + d = b + c . Ta biến đổi A thành:
14


A = [(x + a)(x + d)][(x + b)(x + c)] + m (1)
Bằng cách biến đổi tương tự, ta đưa đa thức (1) về đa thức bậc hai và từ đó
phân tích được đa thức A thành tích các nhân tử.
Ví dụ 26: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1
Giải: Giả sử x ≠ 0 , ta viết đa thức dưới dạng :
A = x2 [(x2 +
Đặt y = x -

1
) + 6( x x2

1
) + 7]
x

1
1
thì x2 + 2 = y2 + 2
x
x

Do đó : A = x2(y2 + 2 + 6y + 7)
= x2( y + 3)2
= (xy + 3x) 2
Thay y = x -

1
, ta được
x

1


A =  x( x − ) + 3x
x



2

= (x2 + 3x – 1)2
Dạng phân tích này cũng đúng với x = 0
Nhận xét:
Từ lời giải bài tập này, ta có thể giải bài tập tổng qt sau: Phân tích đa
thức sau thành nhân tử:
A = a0x2n + a1x2n – 1 +…….+ an – 1xn + 1 +anxn + an – 1xn – 1 + …..+ a1x + a0
Bằng cách đưa xn làm nhân tử của A, hay:
A = xn (a0xn + a1xn – 1 + …….+ an – 1x + an +
Sau đó đặt y = x +

a n −1
a
a
+…..+ n1−1 + 0n )
x

x
x

1
ta sẽ phân tích được A thành nhân tử một cách dễ dàng
x

như bài tập trên.
Ví dụ 27: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x2 + 2xy + y2 – x – y - 12
Giải: Ta có: A = x2 + 2xy + y2 – x – y – 12
= (x + y)2 – (x + y) – 12
- Đặt X = x + y, đa thức trên trở thành:
A = X2 – X – 12
= X2 - 16 – X + 4
15


= (X + 4)(X - 4) - (X - 4)
= (X - 4)(X + 4 - 1)
= (X - 4)(X + 3) (1)
- Thay X = x + y vào (1) ta được:
A = (x + y – 4)( x + y + 3)
8) Phương pháp sử dụng nghiệm hạ bậc của đa thức:
Phương pháp này được sử dụng khi phân tích đa thức bậc cao một biến và
có thể nhẩm được nghiệm của nó.
Nếu a là một nghiệm của đa thức f(x) thì có sự phân tích f(x) = (x – a).g(x) , g(x)
là một đa thức. Để tìm g(x), ta chia f(x) cho (x – a). Sau đó lại phân tích tiếp g(x).
Sau đây là một số ví dụ cụ thể:
Ví dụ 30: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

f(x) = x5 + 6x4 + 13x3 + 14x2 + 12x + 8
Giải:
Dễ thấy: f(-2) = (-2)5 + 6(-2)4 + 13(-2)3 + 14(-2)2 + 12(-2) + 8 = 0
Nên chia f(x) cho (x + 2), ta được:
f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) = (x + 2).g(x)
Dễ thấy: g(x) = x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 có g(-2) = 0
Nên chia g(x) cho (x + 2), ta được:
g(x) = (x + 2)(x3 + 2x2 + x + 2)
Đặt h(x) = x3 + 2x2 + x + 2. Ta có: h(-2) = 0
Nên chia h(x) cho(x + 2), được: h(x) = (x + 2)(x2 + 1)
Vậy: f(x) = (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x2 + 1)
= (x + 2)3(x2 + 1)
Khi thực hiện phép chia f(x), g(x), h(x) cho (x + 2), ta có thể sử dụng sơ đồ
Hoocne để thực hiện phép chia được nhanh hơn.
Ví dụ chia f(x) cho (x + 2) như sau:
-2

1
1

6
4

13
5

14
4

12

4

Vậy f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4)
Chia x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 cho (x + 2) như sau:
16

8
0


1
1

-2

4
2

5
1

4
2

4
0

Vậy x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 = (x + 2)(x3 + 2x2 + x + 2)
Chia x3 + 2x2 + x + 2 cho (x + 2) như sau :
1

2
-2
1
0
3
2
2
Vậy x + 2x + x + 2 = (x + 2)(x + 1)

1
1

2
0

Vậy h(x) = (x + 2)3(x2 + 1)
9) Phương pháp xét giá trị riêng
Đây là một phương pháp khó, nhưng nếu áp dụng nó một cách linh hoạt thì có
thể phân tích một đa thức thành nhân tử rất nhanh. Trong phương pháp này ta xác
định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ
thể để xác định thừa số còn lại.
Sau đây là một số ví dụ:
Ví dụ 32: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y)
Giải: Thử thay x bởi y thì P = y2(y – z) + y2(z – y) = 0
Như vậy P chứa thừa số x – y
Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P khơng đổi (ta
nói đa thức P có thể hốn vị vịng quanh x → y → z → x . Do đó nếu P chứa thừa số
x – y thì cũng chứa thừa số y – z, z – x . Vậy P có dạng:
k(x – y)(y – z)(z – x)

Ta thấy k phải là hằng số, vì P có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z,
cịn các tích (x – y)(y – z)(z – x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z.
Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) đúng
với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2; y
= 1; z = 0 (*), ta được:
4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2)
2 = -2k
k = -1
Vậy P = -1(x – y)(y – z)(z – x)
17


= (x – y)(y – z)(x – z)
Chú ý: (*) các giá trị của x, y, z có thể chọn tuỳ ý chỉ cần chúng đôi một khác
nhau để (x – y)(y – z)(z – x) ≠ 0.
10) Phương pháp hệ số bất định
Phương pháp này dựa vào định nghĩa hai đa thức bằng nhau, ta có thể tính được
các hệ số của sự biểu diễn đòi hỏi bằng cách giải một hệ phương trình sơ cấp.
Sau đây là một số ví dụ :
Ví dụ 35: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
M = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3
Giải: Biểu diễn đa thức dưới dạng :
x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)
x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = x4 + (a+c )x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
Đồng nhất hai đa thức, ta được hệ điều kiện:
a + c = −6
ac + b + d = 12


ad + bc = −14

bd = 3

Xét bd = 3 với b, d ∈ Z , b ∈ {1;3 } với b = 3; d = 1
Hệ điều kiện trở thành :
a + c = −6

ac = 8
a + 3c = −14


Suy ra 2c = - 14 + 6 = - 8, Do đó c = - 4 , a = -2
Vậy M = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3
= (x2 – 2x + 3)(x2 – 4x + 1)
Ví dụ 36: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10
Giải: Biểu diễn đa thức dưới dạng :
A = ( ax + by + c )( dx + ey + g )
= adx2 + aexy + agx + bdxy + bey2 + bgy + cdx + cey + cg
= adx2 + ( ae + bd )xy + ( ag + cd )x + bey2 + ( bg + ce )y + cg
18


= 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10
Đồng nhất hai đa thức, ta được hệ điều kiện :
ad = 3
ae +bd = 22


ag +cd =11


be = 7
bg +ce = 37

cg =10


⇒

a =3


b =1


c =5


d =1


e =7

g =2


Vậy A = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10
= ( 3x + y + 5 )( x + 7y + 2 )
III. KẾT QUẢ VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG, NHÂN RỘNG
Qua việc viết chuyên đề này bản thân tơi nhận thấy mảng kiến thức “Phân
tích đa thức thành nhân tử” là công cụ đắc lực giúp cho các em học sinh đặc biệt là

học sinh khối THCS giải các bài tập nhanh chóng, thuận lợi. Trong q trình viết tơi
đã hệ thống các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, các chú ý trong từng
phần, từng phương pháp để tránh mắc phải những sai lầm. Nội dung được trình bày
hầu hết nằm trong sách giáo khoa và được nâng cao dần thông qua đó học sinh vừa
được phát huy trí tuệ, vừa thấy rõ vai trò to lớn của mảng kiến thức này vào việc giải
các bài tập có liên quan.
1. Kết quả
Kết quả áp dụng kĩ năng này đã góp phần nâng cao chất lượng học tập
của bộ môn đối với học sinh đại trà.
Cụ thể kết quả kiểm tra về dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử
được thống kê qua các giai đoạn ở học sinh lớp 8 (8A, 8D, 8E, 8G) năm học
2019– 2020 như sau:
a) Chưa áp dụng giải pháp
Kết quả kiểm tra khảo sát chất lượng:
Tổng số
HS
167

Trung bình trở lên
Số lượng
Tỉ lệ (%)
76
45,50%

19


* Nhận xét: Đa số HS chưa nắm được kỹ năng phân tích bài tốn, các hằng
đẳng thức đáng nhớ, quy tắc dấu, quy tắc dấu ngoặc, cách trình bày bài giải còn
chưa logic.

b) Áp dụng giải pháp
Lần 1:
Tổng số
HS
167

Trung bình trở lên
Số lượng
Tỉ lệ (%)
105
61,76%

* Nhận xét: HS đã hệ thống, nắm được kiến thức cơ bản về các hằng đẳng thức
đáng nhớ, quy tắc dấu, quy tắc dấu ngoặc vận dụng khá tốt các phương pháp phân
tích đa thức thành nhân tử trong giải toán, biết nhận xét đánh giá bài tốn trong
các trường hợp, trình bày khá hợp lý.
Lần 2:
Tổng số
HS
167

Trung bình trở lên
Số lượng
Tỉ lệ (%)
155
92,81%

* Nhận xét: HS nắm vững chắc các kiến thức về phân tích đa thức thành
nhân tử, vận dụng thành thạo kỹ năng biến đổi, phân tích, biết dựa vào các bài
tốn đã biết cách giải trước đó, linh hoạt biến đổi và vận dụng hằng đẳng thức và

đã trình bày bài giải hợp lý hơn có hệ thống và logic, chỉ cịn một số ít HS q
yếu, kém chưa thực hiện tốt.
HS tích cực tìm hiểu kĩ phương pháp giải, phân loại từng dạng toán, chủ
động lĩnh hội kiến thức, có kĩ năng giải nhanh các bài tốn có dạng tương tự, đặt
ra nhiều vấn đề mới, nhiều bài toán mới.
IV. GIẢI PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN
- Sáng kiến trên là tài liệu tham khảo tốt cho các GV toán trong trường quan tâm
đến vấn đề này
- Có thể áp dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã trình bày
trong sáng kiến vào giảng dạy chính khóa cũng như phụ đạo học sinh yếu, bồi
dưỡng học sinh giỏi.

20


CHƯƠNG III. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
1. Kết luận
Qua nghiên cứu thực nghiệm chuyên đề bản thân tôi thấy kết quả học tập
của các HS được nâng lên rõ rệt cả về chất lượng lẫn kĩ năng giải tốn. Tơi thấy
đây là việc làm thiết thực và quan trọng để nâng cao chất lượng học tập toàn diện
cho các em. HS phát huy được tính tích cực chủ động sáng tạo trong học tập. Hệ
thống bài tập GV đưa ra đảm bảo từ dễ đến khó để HS tư duy một cách hệ thống.
Cuối cùng GV phải hiểu được tâm lí HS để chuyển tải kiến thức cho hợp lí, vừa
sức tránh sự gị bó áp đặt với học sinh.
Trên đây là một số bài toán và một số kinh nghiệm trong giảng dạy góp
phần bồi dưỡng kiến thức tốn học cho các em HS. Để có dược những kinh
nghiệm đó phần lớn là do sự học hỏi đúc rút từ các bạn đồng nghiệp và cũng là
yêu cầu cấp thiết của HS. Tuy nhiên trong quá trình nghiên cứu, sưu tầm và trình
bày khơng tránh khỏi nhiều hạn chế rất mong sự đóng góp của các đồng nghiệp.
Tơi xin chân thành cảm ơn!

2. Kiến nghị đề xuất
- Tăng thêm thời gian bồi dưỡng cho học sinh giỏi mơn Tốn 8 vì thời gian
một tuần 1 buổi khơng đủ thời gian để thực hiện cơng tác bồi dưỡng.
- Nếu có thể khi chọn lọc từ đầu vào chúng ta nên chọn ra hai lớp: Chuyên
về các môn tự nhiên và một lớp chuyên về các môn xã hội.

21


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.

Bộ Giáo dục và Đào tạo, "Một số vấn đề về đổi mới phương pháp dạy

học ở trường THCS mơn Tốn", NXB Giáo dục, 2004.
2. Bộ Giáo dục và Đào tạo, "Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục ở
trường THCS mơn Tốn", NXB Giáo dục, 2007.
3. Bộ Giáo dục và Đào tạo, "Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho giáo
viên chu kì III (2004-2007)", NXB Giáo dục, 2007.
4. Bùi Văn Tuyên, "Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 8", NXB
Giáo dục, 2004.
5. Nguyễn Hữu Thảo, "Sách Thiết kế bài giảng Toán 8", NXB Hà Nội, 2003.
6. Nguyễn Văn Trang (Chủ biên), "Vở Bài tập Toán 8", NXB Giáo dục, 2003.
7. Nguyễn Vĩnh Cận, "Toán nâng cao Đại số 8", NXB Đại học Sư phạm, 2004.
8. Phan Đức Chính, Tơn Thân, "Sách giáo khoa Tốn 8", NXB Giáo dục, 2004.
9. Phan Đức Chính, Tơn Thân, "Sách giáo viên Tốn 8", NXB Giáo dục, 2004.
10. Tơn Thân (chủ biên), "Sách Bài tập Tốn 8", NXB Giáo dục, 2004.
11. Vũ Dương Thụy, "Luyện giải và ôn tập Toán 8", NXB giáo dục, 2004.