Bai tap ve phan thuc dai so

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Bài 1 :. BÀI TẬP VỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Thực hiện phép tính. x2  yz y2  zx z2  xy A   (x  y)(x  z) (y  z)(y  x) (z  x)(z  y) 1. x2 y2 z2 B   (x  y)(x  z) (y  z)(y  x) (z  x)(z  y) 2.. Bài 2 : Cho x + y + z = 0 và x, y, z khác 0. Tính : x2 y2 z2 A 2   x  y2  z2 y2  z 2  x2 z2  x2  y2 1. 1 1 1 B 2  2  2 2 2 2 2 x y  z y z  x z  x2  y2 2. x2 y2 z2 x y z S     1 yz z  x xy Bài 3 : Cho y  z z  x x  y . Tính A. x y xy. B. y z yz. C. z x zx. A. x y 1 xy. B. y z 1 yz. C. z x 1 zx. Bài 4 : Cho ; ; Chứng minh rằng : (1 + A)(1 + B)(1 + C) = (1 – A)(1 – B)(1 – C) Bài 5 : Cho ; ; Chứng minh rằng : A + B + C = A . B . C. Bài 6 : Tìm giá trị lớn nhất của phân thức : Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức :. A. B. 5 x  6x  10 2. 8 x  2x  5 2. x y z y z  x z  x y   x y z Bài 8 : Cho x, y, z khác 0 và . y z x  A  1   1   1  x y z  Tính :  x2  3x 3   1 6x  P  3  2  3   : 2 2  x  3x  9x  27 x  9   x  3 x  3x  9x  27  Bài 9 : Cho biểu thức. 1. Rút gọn P Bài 1 : 1.. A. x =. 2. 2. Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên Đáp án Thực hiện phép tính. x2  yz y2  zx z2  xy   (x  y)(x  z) (y  z)(y  x) (z  x)(z  y).  yz.   y  z  y. 2.  xz  x  z   z 2  xy  x  y . . ( x  y )( y  z )( x  z ). . .

<span class='text_page_counter'>(2)</span> x. 2.  yz.   y  z  y.  xy  xy  xz  x  z   z 2  xy  x  y . . . . ( x  y )( y  z )( x  z ). =. x . 2. x . 2. . 2.  yz.   y  z  y  y  x  x  z   x  y  z   x  z    z. 2. .  xy  x  y . ( x  y )( y  z )( x  z )  yz.   y  z    y  x   yx  yz    y  z   x. 2.  xz  z 2  xy  x  y .  . . ( x  y )( y  z )( x  z ).  y  z   x2 . yz  x 2  xz   x  y  z 2  xy  yx  yz. . . . ( x  y )( y  z )( x  z )  z  y  z  x  y  z  x  y  y  z  y  z  x  y  z  z 0    0 ( x  y )( y  z )( x  z ) ( x  y )( y  z )( x  z ) ( x  y )( y  z )( x  z ). 2.. B. x2 y2 z2  x 2 ( y  z )  y 2 ( z  x)  z 2 ( x  y )    (x  y)(x  z) (y  z)(y  x) (z  x)(z  y) ( x  y )( y  z )( z  x). .  . . x 2 z  y 2 z  xy 2  x 2 y  ( z 2 x  z 2 y )  x 2 y  x 2 z  y 2 z  xy 2  z 2 x  z 2 y )   ( x  y )( y  z )( z  x) ( x  y )( y  z )( z  x) 2 z  x  y   x  y   xy  x  y   z 2 ( x  y )  x  y   zx  zy  xy  z    ( x  y )( y  z )( z  x) ( x  y )( y  z )( z  x) . z 2   zx  xy    x  y   z  y  z   x  y  z    x  y   y  z   z  x    1 ( x  y )( y  z )( z  x ) ( x  y )( y  z )( z  x) ( x  y )( y  z )( z  x).  x  y    zy . . Bài 2 : Cho x + y + z = 0 và x, y, z khác 0. Tính : 1.. A. x2 y2 z2   x2  y2  z2 y2  z 2  x2 z2  x2  y2. x   y  z   ) Từ x + y + z = 0  ) 2 2 2 Nên x  y  z 2 yz .. x 2  y 2  z 2  2 yz. 2 2 2 2 2 2 Tương tự : y  z  x 2 xz ; z  x  y 2 xy. Suy ra :. A. x2 y2 z2 x2 y2 z2 x3  y3  z 3       x2  y2  z 2 y2  z2  x2 z2  x2  y2 2 yz 2 xz 2 xy 2 xyz. ) Mặt khác : Từ x + y + z = 0  ) x 3   y 3  z 3  3 y 2 z  3 yz 2 . x   y  z   ) ). x    y  z   3. x 3  y 3  z 3  3 yz  y  z   3 yz   x  3xyz. (2) 3xyz 3  2 xyz 2 Thay (2) vào (1). Ta có : A = 2.. B. (1). 3. 1 1 1  2  2 2 2 2 2 x y  z y z  x z  x2  y2 2. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Tương tự: x  y  z  2 xy ; y  z  x  2 yz ; x  z  y  2 xz (*) 1  1  1   x  y  z B    0 2 xy 2 yz 2 xz 2 xyz Thay (*) vào B. Ta có :.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> x2 y2 z2 x y z S     1 yz z  x xy Bài 3 : Cho y  z z  x x  y . Tính x y z   1 Từ y  z z  x x  y . Nhân 2 vế cho x + y + z . Ta có : x y z     x  y  z  yz zx xy .  x  y  z . x y z   x  y  z    x  y  z    x  y  z  x  y  z yz zx x y x y  z y  x  z z  x  y x2 y2 z2      x  y  z yz zx zx x y x y  yz x2 y2 z2 x2 y2 z2 x y  z x  y  z  S    0 zx xy yz zx x y  yz x y y z z x A B C xy yz zx Bài 4 : Cho ; ;. Chứng minh rằng : (1 + A)(1 + B)(1 + C) = (1 – A)(1 – B)(1 – C) 2x x  y  1  A 1  x  y  2 x 1 A  x  y x  y hay x y xy Từ 2y 2z 1 B  1 C  yz ; zx Tương tự : A.  Nên (1 + A)(1 + B)(1 + C). 2 x 2 y 2 z 8 xyz   x  y  y  z   z  x  x  y  y  z   z  x. 1 A  Chứng minh tương tự: . 2y 2z 2x ;1  B  ;1  C  xy yz xz. 2 y 2 z 2 x 8 xyz   x  y  y  z   z  x  x  y  y  z   z  x. Nên (1 – A)(1 – B)(1 – C) Vậy (1 + A)(1 + B)(1 + C) = (1 – A)(1 – B)(1 – C) A. x y 1 xy. B. y z 1 yz. C. z x 1 zx. A. x y 1 xy. B. y z 1 yz. C. z x 1 zx. Bài 5 : Cho ; ; Chứng minh rằng : A + B + C = A . B . C Bài 5 : Cho ; ; Chứng minh rằng : A + B + C = A . B . C. x y y z z x   Ta có : A + B + C = 1  xy 1  yz 1  xz  x  y   1  yz   1  xz   y  z   1  xy   1  xz   z  x   1  xy   1  yz     1  xy   1  yz   1  xz   1  xy   1  yz   1  xz   1  xy   1  yz   1  xz . =.  x  y   1  yz   1  xz   y  x  x  z   1  xy   1  xz   z  x   1  xy   1  yz    1  xy   1  yz   1  xz  1  xy   1  yz   1  xz     1  xy   1  yz   1  xz  =  x  y   1  yz   1  xz   x  y   1  xy   1  xz   x  z   1  xy   1  xz   x  z   1  xy   1  yz     1  xy   1  yz   1  xz   1  xy   1  yz   1  xz   1  xy   1  yz   1  xz   1  xy   1  yz   1  xz   =.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>  x  y   1  xz    1  yz    1  xy    x  z   1  xy    1  xz    1  yz     1  xy   1  yz   1  xz   1  xy   1  yz   1  xz   x  y   1  xz   yz  xy    x  z   1  xy   xz  yz    1  xy   1  yz   1  xz   1  xy   1  yz   1  xz   x  y   1  xz   z  x  y  z  x   1  xy   x  y  z  x  y   z  x   y  1  xz   z  1  xy       1  xy   1  yz   1  xz   1  xy   1  yz   1  xz   1  xy   1  yz   1  xz   x  y  z  x  y  z   1  xy   1  yz   1  xz  = A B C . A. Bài 6 : Tìm giá trị lớn nhất của phân thức : A. 5 x  6x  10 2. 5 5 5  2  x  6 x  10 x  6 x  9  1  x  3 2  1 2. 5 5 Max 5 2 2 x  3 1  x  6 x  10 Suy ra : Max = khi x - 3 = 0  x 3 8 B 2 x  2x  5 Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức : 8 8 8 B 2 Min   2 2 x  2x  5  x  1  4 4 Min khi x - 1 = 0  x 1 x y z y z  x z  x y   x y z Bài 8 : Cho x, y, z khác 0 và . y z x  A  1   1   1  x y z  Tính : x y z y z x z x y yz xz xy    1 1  1  x y z x y z Từ y  z x  z x  y 2 x  y  z     2 x y z xyz Suy ra : x  y 2 z ; y  z 2 x ; x  z 2 y y  z  x  x  y y  z x  z 2z 2x 2 y  A  1    1    1         8 x  y  z x y z x y z  Ta có:  x2  3x 3   1 6x  P  3  2  3   : 2 2 x  3x  9x  27 x  9   x  3 x  3x  9x  27   Bài 9 : Cho biểu thức. 1. Rút gọn P 2. Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên  x2  3x 3   1 6x  P  3  2  3   : 2 2  x  3x  9x  27 x  9   x  3 x  3x  9x  27  1.   x  x  3 3   1 6x  2  2 :  2   x  x  3  9  x  3 x  9   x  3 x  x  3  9  x  3      . ĐKXĐ : x 3. 2  x2  6x  9 3   1 x  9 6x  x x  3    2  2  2 :  : x  9  x  3   x 2  9 x 2  9  x  3  x  9 x  9   x 2  9  x  3. . . . . . . . . . .

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 2.  x  3 x 3  2 : 2 x  9  x  9   x  3 P. . x  3 x2  9 x  3   x2  9 x  3 x  3. x 3 x  36 6  1  Z x  3  U  6   1; 2; 3; 6 x 3 x 3 x 3 thì. 2.  x   2;1;0;  3;4;5;6;9 x   2;1;0;  3;4;5;6;9 Vậy P  Z thì. BÀI TẬP VỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Bµi 1: a) Cho 3 sè x,y,z. Tháa m·n x.y.z = 1. TÝnh biÓu thøc 1 1 1 M= + + 1+ x + xy 1+ y+ yz 1+ z+ zx b) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác 1 1 1 1 1 1 Chøng minh r»ng: + + + + a+b − c b+c −a c+ a −b a b c a) V× xyz = 1 nªn x 0, y 0, z 0 1 z z = = 1+ x + xy z (1+ x+ xy ) z +xz +1 1 xz xz = = 1+ y + yz (1+ y+ yz)xz xz +1+ z z xz 1  M= + + =1 z + xz+1 xz +1+ z 1+ z + xz b) a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên a+b-c > 0; b+c-a > 0; c+a-b > 0 1 1 4 áp dụng bất đẳng thức víi x,y > 0. Ta cã: + ≥ x y x+ y 1 1 4 2 1 1 2 1 1 2 ; + ≥ = ; + ≥ + ≥ a+b − c b+c −a 2 b b b+c − a c+ a −b c c+ a −b a+b − c a Cộng từng vế 3 bất đẳng thức rồi chia cho 3 ta đợc điều phải chứng minh. Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi a = b = c. 1 1 1   2 2 2 c2  a 2 - b2 a 2  b 2 - c2 Bµi 2: Cho A = b  c - a Rót gän biÓu thøc A, biÕt a + b + c = 0. Ta cã: a + b + c = 0  b + c = - a. B×nh ph¬ng hai vÕ ta cã : (b + c)2 = a2  b2 + 2bc + c2 = a2  b2 + c2 - a2 = -2bc T¬ng tù, ta cã: c2 + a2 - b2 = -2ca a2 + b2 - c2 = -2ab. 1 1 1 -(a+b+c) = =0  A = 2bc 2ca 2ab 2abc (v× a + b + c = 0) -. VËy A= 0. Bµi 3: a. T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh:. x 2 + x +1 x 2+ x +2 7 + = x 2 + x+ 2 x 2+ x +3 6.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> x2  x 1 x2  x  2 7  1   1  2 2 2 x x2 x  x 3 6 1 1 5 1 1 1 1  2  2   2  2   x  x  2 x  x 3 6 x  x 2 x  x 3 2 3 . Suy ra : x = 0 ; x = -1. x2 víi x  0 1+ x 4 1 Giải: Vì B> 0 nên nếu B đạt giá trị lớn nhất thì B đạt giá trị nhỏ nhất.. b. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: B =. 1 x4 1 1 1 1 1  2  x 2  2 2 x 2  2  min 2 x 2  2  x 1 x x x B x Ta cã : B khi 1 1 x 2  2  x 1 x VËy Max B = 2 khi. Bµi 4: Cho a,b, c, lµ c¸c sè d¬ng. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 1 1 1 + + ). a b c a a b b c c a b a c b c Ta cã: P = 1 + + + +1+ + + +1=3+ + + + + + b c a c a b b a c a c b x y MÆt kh¸c + ≥ 2 víi mäi x, y d¬ng.  P  3+2+2+2 =9 y x. P= (a+ b+ c) (. ( )( )( ). VËy P min = 9 khi a=b=c. Bµi 5: Cho hai sè x, y tho· m·n ®iÒu kiÖn 3x + y = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc. A = 3x2 + y2. Ta cã: 3x + y = 1  y 1  3x 1 1 A = 3x2 + (1-3x)2 = 12(x- 4 )2 + 4 1 1 1 VËy Amin = 4 khi x = 4 ; y = 4. 1 A≥ 4. Bµi 6 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña biÓu thøc A. 27  12 x x2  9 2. 2 2 x2  6 27  12 x x  12 x  36  x  9 A 2   2  1  1 x 9 x2  9 x 9. .  . A đạt giá trị nhỏ nhất là -1.   x  6. . 2. 0. hay x = 6. 2 4 x 2  36  4 x 2  12 x  9  2 x  3 27  12 x  4  4 2 x2  9 x2  9 A = x 9 . 3 2  2 x  3 0  x  2 A đạt GTLN là 4 khi. .  . .

<span class='text_page_counter'>(7)</span>