(Luận văn thạc sĩ) mối quan hệ giữa đồ thị hàm số và đạo hàm của hàm số trong bối cảnh đánh giá bằng hình thức trắc nghiệm khách quan​

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Huỳnh Thị Diễm Linh

MỐI QUAN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ
ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TRONG BỐI CẢNH
ĐÁNH GIÁ BẰNG HÌNH THỨC
TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Huỳnh Thị Diễm Linh

MỐI QUAN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ
ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TRONG BỐI CẢNH
ĐÁNH GIÁ BẰNG HÌNH THỨC
TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học mơn Tốn
Mã số: 8140111

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2018


LỜI CAM ĐOAN
Tơi cam đoan luận văn là cơng trình nghiên cứu cá nhân. Các số liệu, kết quả
nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai cơng bố trong bất kỳ cơng
trình nào khác.
Tác giả
Huỳnh Thị Diễm Linh


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến PGS.TS. Lê
Thái Bảo Thiên Trung, Thầy đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tơi hồn thành
luận văn này.
Tơi xin chân thành cảm ơn đến q thầy cơ: GS. Lê Thị Hồi Châu, PGS.TS.
Lê Thái Bảo Thiên Trung, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Nguyễn Thị Nga, TS. Tăng
Minh Dũng và TS. Vũ Thị Như Hương về những tiết dạy dạy học Toán đầy thú vị,
lôi cuốn và ý nghĩa .
Tôi xin chân thành cảm ơn GS. Annie Bessot và Thầy Hamid Chaachoua đã có
những góp ý q báu cho luận văn.
Tơi xin gửi lời cảm ơn Phịng Sau Đại học, Khoa Tốn-Trường Đại học Sư
phạm TP. Hồ Chí Minh đã sắp xếp và tạo điều kiện học tập thuận lợi cho chúng
tôi.
Xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy, Cô và tập thể học sinh các lớp 12 Trường
THPT Ngô Thời Nhiệm TP. Hồ Chí Minh và Trường THPT, tỉnh Bình Dương, Thầy
giáo dạy Trung tâm giáo dục thường xuyên, huyện Cần Giờ, Cô giáo dạy Trường
THPT tỉnh Ninh Thuận đã nhiệt tình giúp đỡ tơi hồn thành phần thực nghiệm của
luận văn này.

Tơi cũng xin cảm ơn tập thể lớp dạy học Toán K27, đã chia sẻ và giúp đỡ tôi
trong suốt thời gian học tập vừa qua
Cuối cùng, tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến tất cả thành viên trong gia đình
đã ln bên cạnh ủng hộ và động viên tinh thần tơi trong suốt q trình làm luận
văn.
Một lần nữa, tôi xin chân thành cảm ơn tất cả quý thầy cô, bạn bè, người thân
đã ở bên cạnh tôi những lúc khó khăn trong suốt hai năm vừa qua.

Huỳnh Thị Diễm Linh


MỤC LỤC
Lời cảm ơn
Danh mục các từ viết tắt
Danh mục các bảng
Danh mục các hình
MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN ............................................................................. 11
1.1. Hệ thống biểu đạt ....................................................................................... 11
1.2. Giới thiệu khái niệm biến trong phân tích tổ chức tốn học ........................ 11
1.2.1. Lý do có khái niệm biến trong lý thuyết tình huống (TSD) .................. 12
1.2.2. Khái niệm biến trong lý thuyết nhân học ............................................. 13
1.2.3. Lý do cần có khái niệm biến trong T4TEL .......................................... 15
1.2.4. Khái niệm hệ sinh của kiểu nhiệm vụ và hệ thống các biến ................. 15
1.2.5. Ví dụ một hệ sinh kiểu nhiệm vụ ......................................................... 17
1.2.6. Tổ chức hoạt động cá nhân .................................................................. 19
1.3. Hệ sai lầm và thuật ngữ “quan niệm” ......................................................... 23
1.3.1. Thuật ngữ “quan niệm” ....................................................................... 23
1.3.2. Hệ sai lầm ........................................................................................... 24
1.4. Kết luận ..................................................................................................... 24

Chương 2. MÔ HÌNH HỐ TỔ CHỨC TỐN HỌC ...................................... 26
2.1. Các nghiên cứu liên quan đến hệ thống biểu đạt hàm số ............................. 27
2.2. Mơ hình hóa hệ sinh kiểu nhiệm vụ từ kiểu nhiệm vụ mới xuất
hiện trong kì thi trung học phổ thông quốc gia năm 2017 .......................... 28
2.2.1. Kiểu nhiệm vụ Tcongthuc - T’congthuc......................................................... 31
2.2.2. Kiểu nhiệm vụ Tdothi - T’dothi ................................................................ 32
2.2.3. Kiểu nhiệm vụ Tloi  T 'loi ...................................................................... 37
2.2.4. Kiểu nhiệm vụ Tbbt  T 'bbt ..................................................................... 39


2.2.5. Kiểu nhiệm vụ T* ................................................................................ 41
2.3. Kết luận ..................................................................................................... 43
Chương 3. PHÂN TÍCH TỔ CHỨC DẠY HỌC ............................................... 45
3.1. Thực tế giảng dạy giáo viên thứ nhất .......................................................... 46
3.1.1. Tổ chức toán học quan sát được liên quan đến mối quan
hệ giữa đồ thị hàm số và số nghiệm của phương trình y'=0. ............... 47
3.1.2. Tổ chức dạy học được giáo viên thứ nhất
sử dụng để đưa vào tổ chức toán học ................................................. 47
3.1.3. Kết luận về nghiên cứu thực hành của giáo viên thứ nhất .................... 50
3.2. Thực tế giảng dạy của giáo viên thứ hai .................................................... 50
3.2.1. Tổ chức toán học quan sát được liên quan đến mối quan
hệ giữa đồ thị hàm số và số nghiệm của phương trình y’=0 ............... 51
3.2.2. Tổ chức dạy học được giáo viên thứ hai
sử dụng để đưa vào tổ chức toán học ................................................. 51
3.2.3. Kết luận về nghiên cứu thực hành của giáo viên thứ hai ...................... 53
Chương 4. NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM .................................................... 55
4.1. Mục đích thực nghiệm................................................................................ 55
4.2. Hình thức tổ chức thực nghiệm .................................................................. 55
4.3. Các câu hỏi thực nghiệm và mục tiêu ......................................................... 55
4.3.1. Phiếu 1 ................................................................................................ 55

4.3.2. Phiếu 2 ................................................................................................ 57
4.4. Phân tích tiên nghiệm ................................................................................. 60
4.4.1. Biến dạy học và các giá trị có thể chọn ................................................ 60
4.4.3. Các câu trả lời có thể có ở các bài tốn và ảnh hưởng của biến ............ 62
4.5. Phân tích hậu nghiệm ................................................................................. 67
4.5.1. Phiếu 1 ................................................................................................ 67
4.5.2. Phiếu 2 ................................................................................................ 71


4.6. Kết luận ..................................................................................................... 75
KẾT LUẬN ......................................................................................................... 77
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 78
PHỤ LỤC


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
Kí hiệu

Từ được viết tắt

BBT

Bảng biến thiên

BGD&ĐT

Bộ giáo dục và Đào tạo

HS

Học sinh

KSHS

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

KNV

Kiểu nhiệm vụ

SGK

Sách giáo khoa

SBT

Sách bài tập

SGK CB 12

Sách giáo khoa cơ bản 12

SGK NC 12

Sách giáo khoa nâng cao 12

SGK CB 11

Sách giáo khoa cơ bản 11

SGK NC 11

Sách giáo khoa nâng cao 11

SBT CB 11

Sách bài tập cơ bản 11

SBT NC 11

Sách bài tập nâng cao 11

TCTH

Tổ chức tri thức

TCTH

Tổ chức toán học

THPT

Trung học phổ thông

tr

Trang

TP

Thành phố


MỤC LỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1. Lời giải và phân tích KNV “giải phương trình x 2  4 x  4 ”................. 21
Bảng 2.1. Bảng dự đoán KNV con của bài toán KSHS trong SGKCB 12 ............. 27
Bảng 2.2. Bảng dự đoán các KNV khi thay đổi giá trị của các biến V1 , V2.......... 30
Bảng 2.3. Kỹ thuật và công nghệ thứ nhất của KNV Tcongthuc................................. 31
Bảng 2.4. Kỹ thuật  tieptuyen và công nghệ ............................................................... 35
Bảng 2.5. Kỹ thuật và công nghệ của KNV Tbbt .................................................... 40
Bảng 2.6. Các kỹ thuật của KNV T * ..................................................................... 42
Bảng 3.1. Bảng mơ hình hóa TCTH với KNV T của 2 giáo viên ........................... 53
Bảng 4.1. Câu hỏi thực nghiệm phiếu 1 và mục tiêu ............................................. 55
Bảng 4.2. Những giá trị của biến trong các bài toán .............................................. 61
Bảng 4.3. Kết quả thực nghiệm ............................................................................. 67


MỤC LỤC CÁC HÌNH
Hình 1.1. Ví dụ một sơ đồ phân cấp về một tập con các giá trị của biến V3 ........... 18
Hình 1.2. Ví dụ về một sơ đồ phân cấp cho tập các giá trị của một biến V3 ........... 19
Hình 2.1. Bảng phân cấp nhóm 1 của biến V2 ....................................................... 29
Hình 4.1. Bài tốn 1.P1-Bài làm HS lớp 12A07 dùng chiến lược Scuctri ................. 68
Hình 4.2. Bài toán 1.P1-Bài làm HS lớp 12A12 dùng chiến lược Stongquat .............. 68
Hình 4.3. Bài tốn 2.P1-Bài làm HS lớp 12C7 dùng chiến lược Scuctri ................... 68
Hình 4.8. Bài tốn 5.P1-Bài làm của HS lớp 12A5 ................................................ 71
Hình 4.10. Bài tốn 1.P2-Bài làm của HS lớp 12A05 ............................................ 73
Hình 4.11. Bài toán 2.P2-Bài làm của HS lớp 12C7 .............................................. 74


1

MỞ ĐẦU
1. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Trong đề thi Tốn ở kì thi Trung học phổ thông quốc gia năm 2017 của Bộ
giáo dục và Đào tạo (gọi tắt BGD&ĐT), chúng tôi thấy xuất hiện những kiểu
nhiệm vụ mới liên quan đến đồ thị hàm số đã được thay thế cho bài toán khảo sát
sự biến thiên và vẽ đồ thị (gọi tắt là KSHS). Chẳng hạn:
Câu 14 - mã đề 102

Câu 24-mã đề 103.

Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số

Đường cong ở hình bên là đồ

y=

với a, b, c là các số thực. Mệnh

đề nào dưới đây đúng?

thị của hàm số

với a,

b, c, d là các số thực. Mệnh đề
nào dưới đây đúng:

A. Phương trình y’=0 có 3 nghiệm thực phân biệt.
B. Phương trình y’=0 có 2 nghiệm thực phân biệt

A.

C. Phương trình y’=0 vơ nghiệm trên tập số thực.

B.

D. Phương trình y’=0 có đúng một nghiệm thực.

C.
D.

Trong luận văn của Lê Thị Bích Siêng (2017), tác giả đã nghiên cứu về đối
tượng bảng biến thiên và cho thấy học sinh (viết tắt HS) gặp khó khăn khi đọc bảng
biến thiên (gọi tắt là BBT). Trong bài toán KSHS, bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm
số luôn xuất hiện cùng nhau theo trình tự: bảng biến thiên → vẽ đồ thị.
Bên cạnh đó, trong luận văn của Nguyễn Thị Thanh (2016), tác giả đã cho
thấy rằng, mối quan hệ giữa hàm số và đạo hàm của nó về phương diện đồ thị
không xuất hiện trong các sách giáo khoa (SGK) hiện hành nên HS gặp thất bại khi
tìm đồ thị đạo hàm từ đồ thị hàm số ban đầu.


2

Từ những ghi nhận trên, chúng tôi thấy việc nghiên cứu “mối quan hệ giữa đồ
thị hàm số và đạo hàm của hàm số trong bối cảnh đánh giá bằng hình thức thi trắc
nghiệm khách quan” là cần thiết.
Chúng tơi khởi đầu nghiên cứu của mình với các câu hỏi xuất phát như sau:
- Những kiến thức nào về mối quan hệ giữa đồ thị hàm số và đạo hàm hàm số
cần được huy động để giải quyết các câu hỏi mới (như đã chỉ ra) trong các đề thi

THPT quốc gia năm 2017?
- Trong thực tế giảng dạy năm 2018, giáo viên đã thay đổi việc dạy học về
mối quan hệ giữa đồ thị hàm số và đạo hàm của hàm số ở lớp 12 như thế nào?
Trong bài toán KSHS, bảng biến thiên và đồ thị hàm số ln xuất hiện cùng
nhau. Do đó, chúng tơi sẽ tiếp nối cơng trình của luận văn Lê Thị Bích Siêng để
nghiên cứu về đối tượng đồ thị hàm số.
Để giải quyết được các dạng toán trên HS cần phải huy động những kiến thức
liên quan giữa đồ thị hàm số và đạo hàm của nó. Vậy, những kỹ thuật nào giúp HS
giải quyết các nhiệm vụ này?
2.

Các cơng trình nghiên cứu liên quan
Đề tài liên quan đến vấn đề “đạo hàm của hàm số” và “đồ thị của hàm số” nên

chúng tơi có tham khảo một số luận văn sau:
+ Đặng Minh Hải (2009), các tính chất của hàm số và mối liên hệ giữa chúng
trong dạy học toán phổ thông, luận văn thạc sĩ Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ
Chí Minh.
Trong luận văn, tác giả đã chỉ ra những ràng buộc của thế chế ảnh hưởng
mạnh mẽ đến mối quan hệ cá nhân HS về mối liên hệ giữa tính liên tục, tính đơn
điệu và sự khả vi. Bên cạnh đó, trong phần thực nghiệm tác giả đã cho thấy đồ thị
hàm số chưa được thể chế dạy học toán Việt Nam chú trọng.
+ Nguyễn Ngọc Kiên (2012), đồ thị hàm số trong mối liên hệ với biểu thức
đại số của một hàm số ở Trường phổ thông, luận văn thạc sĩ Trường Đại học Sư
phạm TP. Hồ Chí Minh.
Trong luận văn, tác giả cho thấy rằng hàm số được biểu đạt dưới dạng đại số
thì HS khơng biết tự vẽ đồ thị của hàm số.


3

+ Phạm Thị Thanh (2016), hàm số đạo hàm trong dạy học tốn bậc trung học
phổ thơng, luận văn thạc sĩ Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh.
Trong luận văn, tác giả đã cho thấy ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế lên
quan hệ của HS đối với đối tượng đạo hàm và mối liên quan giữa hàm số đạo hàm
với hàm số ban đầu trong dạy học phổ thông hiện nay. Cụ thể:
- HS không huy động được ý nghĩa hình học của đạo hàm, mối quan hệ dấu
của đạo hàm và sự thay đổi của hàm số khi cho trước biểu diễn đồ thị của hàm số
ban đầu.
- Kiểu nhiệm vụ (KNV) “Tìm đồ thị của hàm số đạo hàm từ đồ thị hàm số ban
đầu”, HS thường tìm cách xây dựng lại biểu thức đại số từ biểu diễn đồ thị. Sau đó
mới tính đạo hàm để tìm đồ thị hàm số đạo hàm.
+ Lê Thị Bích Siêng (2017), bài tốn khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số
trong bối cảnh đánh giá bằng hình thức trắc nghiệm khách quan (TNKQ), luận văn
thạc sĩ Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh.
Trong luận văn, tác giả đã tìm ra những KNV con của bài tốn KSHS. Bên
cạnh đó, kết quả thực nghiệm, tác giả cho thấy HS gặp khó khăn khi đối diện với
những KNV xoay quanh BBT là do, thiếu yếu tố lý thuyết toán học trong các SGK
hiện hành và sự vắng bóng cách thức đọc BBT.
Tóm lại, từ việc phân tích các cơng trình nghiên cứu trên, chúng tơi nhận thấy
rằng trước đây với hình thức thi tự luận, hai đối tượng BBT và đồ thị hàm số ln
xuất hiện cùng nhau trong bài tốn KSHS. Tuy nhiên, KNV sử dụng đồ thị hàm số
để chỉ ra các tính chất của hàm số khơng được chú trọng trong chương trình SGK
hiện hành (Đặng Minh Hải, 2009). Bên cạnh đó, HS chỉ học thuộc 4 dạng cơ bản
(bậc 2, bậc 3, bậc 4 trùng phương, bậc 1/ bậc 1) của đồ thị hàm số nên không thể vẽ
được đồ thị của những hàm số khác ngồi chương trình đã học (Nguyễn Ngọc
Kiên, 2012). Ngồi ra, HS khơng vẽ được đồ thị của hàm số đạo hàm từ đồ thị hàm
số ban đầu dựa vào ý nghĩa hệ số góc của đạo hàm (Phạm Thị Thanh, 2016). Đồng
thời, HS gặp nhiều khó khăn trong kỹ thuật đọc BBT (Lê Thị Bích Siêng, 2017).
Từ những vấn đề trên, chúng tơi đặt ra câu hỏi:

4

Giáo viên hiện nay cần phải thay đổi cách giảng dạy như thế nào về mối quan
hệ giữa đồ thị hàm số và đạo hàm của hàm số trong bối cảnh thi TNKQ ?
3. Phạm vi lý thuyết tham chiếu
Chúng tơi đặt phạm vi nghiên cứu của mình trong lý thuyết dạy học toán, cụ
thể là lý thuyết nhân chủng học và lý thuyết tình huống.
Một số yếu tố của thuyết nhân học
Một đối tượng O là một cái gì đó tồn tại ít nhất đối với một cá nhân hay với
một thể chế.
Quan hệ cá nhân X với một đối tượng tri thức O, kí hiệu R(X, O) là một tập
hợp những tác động qua lại mà X có thể có với O như: thao tác nó, sử dụng nó,
nghĩ về nó, nói về nó, ...R(X, O) chỉ rõ cách thức mà X biết về O, và tùy theo thời
gian và hoàn cảnh mà mối quan hệ R(X, O) này có thể thay đổi.
Chevallard (1992) cho rằng:
Theo thời gian, hệ thống các mối quan hệ cá nhân của X tiến triển: những đối
tượng trước đây không tồn tại đối với X bây giờ bắt đầu tồn tại, một số khác
ngừng tồn tại, đối với những đối tượng khác thì quan hệ cá nhân của X thay đổi.
Trong sự tiến triển này, cái bất biến là cá nhân, cái thay đổi là con người.

Theo quan điểm này, việc học tập của cá nhân X về đối tượng tri thức O là sự
điều chỉnh mối quan hệ của X đối với O. Hoặc quan hệ này bắt đầu được thiết lập
(nếu nó chưa tồn tại), hoặc bị biến đổi (nếu nó đã tồn tại). Sự học tập này làm thay
đổi con người. Tuy nhiên, một cá nhân không thể tồn tại độc lập ở đâu đó mà ln
ln phải ở trong ít nhất một thể chế I. Từ đó dẫn đến việc biến đổi mối quan hệ
R(X, O) cần phải được đặt trong một thể chế I nào đó có sự tồn tại của X. Như vậy
giữa I và O cũng phải có một quan hệ xác định, Chevallard dùng thuật ngữ quan hệ
thể chế I với tri thức O, kí hiệu R(I, O) để chỉ tập hợp các mối ràng buộc mà thể

chế I có với tri thức O. R(I, O) cho biết O xuất hiện ở đâu, bằng cách nào, tồn tại ra


5

sao, đóng vai trị gì trong I. Trong một thể chế, quan hệ R(X, O) hình thành hay
thay đổi dưới các ràng buộc của R(I, O).
Tổ chức toán học (TCTH)
Chúng tôi sử dụng quan điểm của Chevallard (1998), một TCTH gồm 4 thành
phần (T , ,  , ) để phân tích mối quan hệ thể chế đã xác định ở trên. Trong đó:
+ T là một KNV tốn học. Chúng tôi xác định các KNV liên quan đến mối
quan hệ giữa đồ thị hàm số và đạo hàm từ các luận văn liên quan và một số đề thi
trong kì thi THPT năm 2017 của BGD&ĐT.
+  là kỹ thuật: cách thức giải quyết KNV. Kỹ thuật có thể tìm thấy trong các
lời giải của các ví dụ ở SGK, lời giải các bài tập được đề nghị trong sách giáo viên,
sách bài tập (SBT).
+  là công nghệ: giải thích cho kỹ thuật. Cơng nghệ có thể tìm thấy ở các
định lý, tính chất, ...
+  lý thuyết: giải thích cho cơng nghệ.
Tổ chức dạy học
Tổ chức dạy học là một TCTH, trong đó kiểu nhiệm vụ cấu thành nên nó là
kiểu nhiệm vụ thuộc loại nghiên cứu. Cụ thể hơn, một tổ chức dạy học là một câu
trả lời cho câu hỏi thuộc kiểu “nghiên cứu tác phẩm O như thế nào?”
Theo Chevallard để phân tích thực hành giáo viên, nhà nghiên cứu cần phải trả
lời hai câu hỏi
- Làm thế nào để mô tả và phân tích một tổ chức tốn học được xây dựng trong
một lớp học cụ thể?
- Làm thế nào để mô tả và phân tích một tổ chức dạy học mà một giáo viên đã
triển khai để truyền bá một tổ chức tốn học cụ thể trong một lớp học cụ thể?
Cơng cụ lý thuyết mà Chevallard đưa ra để giúp nhà nghiên cứu trả lời hai câu

hỏi trên chính là khái niệm các thời điểm nghiên cứu. Theo ông, dù không phải là
một tổ chức toán học đều tổ chức nghiên cứu theo một cách duy nhất, thì vẫn có
một số những thời điểm nghiên cứu nhất thiết phải có mặt cho dù dưới những hình


6

thức rất khác nhau. Cụ thể, ông cho rằng một tình huống học tập nói chung bao
gồm 6 thời điểm nghiên cứu hay thời điểm dạy học.
Thời điểm thứ nhất: là thời điểm gặp gỡ lần đầu tiên với tổ chức tốn học
OM được diễn ra dưới hình thức thơng báo hoặc dưới hình thức giải quyết một kiểu
nhiệm vụ. Đó là mục tiêu đặt ra cho việc học tập liên quan đến đối tượng O. Sự
“gặp gỡ lần đầu tiên” với KNV Ti cấu thành nên O có thể xảy ra qua nhiều lần, tùy
vào mơi Trường tốn học và dạy học tạo ra sự gặp gỡ này.
Thời điểm thứ hai: là thời điểm nghiên cứu KNV Ti được đặt ra và xây dựng
nên một kỹ thuật  i cho phép giải quyết KNV này được diễn ra dưới các hình thức:
giáo viên thơng báo kỹ thuật và HSgiải quyết nhiệm vụ, HStự xây dựng kỹ thuật để
giải quyết nhiệm vụ, ... Thơng thường, có một cách để xây dựng kỹ thuật khi
nghiên cứu một bài toán cá biệt là GV làm mẫu cho kiểu nhiệm vụ cần nghiên cứu,
là cách thức tiến hành để triển khai việc xây dựng kỹ thuật tương ứng. Kỹ thuật này
lại là phương tiện và cơng cụ để giải quyết những bài tốn “cùng kiểu”.
Thời điểm thứ ba: là thời điểm xây dựng môi Trường công nghệ - lý thuyết
liên quan đến  i . Thời điểm này tạo ra những yếu tố cho phép giải thích kỹ thuật đã
được thiết lập.
Thời điểm thứ tư: là thời điểm làm việc với kỹ thuật. Đây là thời điểm hoàn
thiện kỹ thuật để làm cho nó trở nên hiệu quả nhất, có khả năng vận hành tốt nhất
trong việc giải quyết kiểu nhiệm vụ liên quan, thường địi hỏi chỉnh sửa lại cơng
nghệ đã được xây dựng cho đến lúc đó. Đồng thời đây cũng là thời điểm làm tăng
khả năng làm chủ kỹ thuật bằng cách cho HS làm việc với một số nhiệm vụ khác
nhau thuộc kiểu nhiệm vụ này, để làm được điều này địi hỏi phải xét một tập hợp

thích đáng cả về số lượng lẫn chất lượng các nhiệm vụ.
Thời điểm thứ năm: là thời điểm thể chế hóa. Thời điểm này nhằm chỉ ra
một cách rõ ràng các kiểu bài toán kiên quan, kỹ thuật giải được ưu tiên, cơ sở cơng
nghệ lý thuyết của kỹ thuật đó, ... Đặc biệt, phải phân biệt những yếu tố của tổ chức
tốn học đã tham gia vào q trình xây dựng này với những yếu tố của tổ chức toán
học thực sự muốn nhắm đến.


7

Thời điểm thứ sáu: là thời điểm đánh giá. Thời điểm này có mục đích xem
xét tầm ảnh hưởng của các kỹ thuật liên quan với kiểu nhiệm vụ: kỹ thuật nào có
thể giải quyết được phần lớn các nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ trên? Kỹ thuật nào
dễ sử dụng? Thời điểm này nối khớp với thời điểm thể chế hóa và cần phải hệ
thống cái gì có giá trị, cái gì đã học được.
Sáu thời điểm nghiên cứu nêu trên cho phép mô tả kỹ thuật thực hiện kiểu
nhiệm vụ T : dạy một tổ chức toán học như thế nào?
Phân tích một tổ chức dạy học có nghĩa là phân tích cách thức mà sáu thời
điểm nghiên cứu trên đã được thực hiện (hay không được thực hiện). Trong đó, ba
thời điểm đầu tương ứng với giai đoạn nghiên cứu bài học của HS .
Đánh giá một tổ chức toán học
Đánh giá các kiểu nhiệm vụ
Việc đánh giá dựa trên các tiêu chuẩn sau:
Tiêu chuẩn xác định: các kiểu nhiệm vụ Ti đã được nêu rõ chưa, đặc biệt là
được thể hiện qua tập hợp số lượng mẫu đủ nhiều và sẵn có để sử dụng chưa? Hay
ngược lại, chúng chỉ được biết đến qua một vài mẫu tiêu biểu?
Tiêu chuẩn về lý do tồn tại: lý do tồn tại của các kiểu nhiệm vụ Ti đã được nói
rõ chưa? Hay ngược lại, dường như chúng khơng có lý do gì để tồn tại?
Tiêu chuẩn thỏa đáng: những kiểu nhiệm vụ được xem xét có thỏa đáng với
nhu cầu toán học của HS trong hiện tại và trong tương lai hay không? Hay ngược

lại, dường như chúng rất biệt lập với các nhu cầu toán học của HS?
Đánh giá kỹ thuật: kỹ thuật được đề nghị giải quyết kiểu nhiệm vụ đã thực sự
được xây dựng chưa, hay chỉ mới là phác thảo? Nó có dễ sử dụng và dễ hiểu
khơng? Nó có giải quyết được phần lớn các nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ cụ thể
không? Tương lai của nó ra sao và nó có thể tiến triển theo một cách thức thích hợp
hay khơng?
Đánh giá công nghệ: với một thông báo được đưa ra giải thích cho kỹ thuật
thì vấn đề giải thích nó có được đặt ra hay không? Hay người ta thừa nhận thông
báo này một cách hiển nhiên, đã được biết rõ? Các hình thức giải thích mà người ta


8

đã sử dụng có gần gũi và dễ hiểu với các hình thức chuẩn trong tốn học khơng?
Cách giải thích đó có phù hợp với hồn cảnh và điều kiện sử dụng nó khơng? ...
Lý thuyết tình huống
Chúng tơi sử dụng khái niệm biến dạy học (biến dạy học), chiến lược (cách
giải quyết bài tốn), phân tích tiên nghiệm và phân tích hậu nghiệm để xây dựng và
thực nghiệm bộ câu hỏi đối với HS.
4. Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu
Mục tiêu nghiên cứu của chúng tôi là xác định các kiến thức tốn mà HS có
thể sử dụng để trả lời các câu hỏi về mối quan hệ giữa đồ thị và đạo hàm của nó.
Từ đó góp phần điều chỉnh các kiến thức sai lầm của HS.
Trong phạm vi lý thuyết đã lựa chọn, từ các câu hỏi ban đầu, chúng tôi phát
biểu các câu hỏi nghiên cứu như sau:
Q1: Giới hạn trên mối liên hệ giữa đồ thị hàm số và đạo hàm của nó, những
KNV nào có thể được mơ hình hóa từ các nhiệm vụ cụ thể xuất hiện trong đề thi
của kì thi THPT quốc gia năm 2017? Những kỹ thuật nào cho phép ta giải quyết
các KNV này? Và những công nghệ nào tương ứng với các kỹ thuật mà ta có thể
tìm thấy trong các SGK hiện hành?

Q2: Trong thực hành dạy học của năm học 2017-2018, những tổ chức dạy học
nào được giáo viên xây dựng để dạy học những KNV này?
Q3: Những kiến thức sai lầm nào mà HS sử dụng để trả lời các câu hỏi mới
thuộc các KNV đang nghiên cứu? Làm thế nào để giúp HS điều chỉnh những sai
lầm này?
5. Nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu
5.1. Phương pháp nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng kết hợp các phương pháp nghiên cứu sau:
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu (bài báo, sách giáo khoa, sách giáo viên,
các đề thi, các cơng trình nghiên cứu khoa học có liên quan đến đề tài nghiên cứu)
- Phương pháp thực nghiệm (ghi âm và ghi chép khi quan sát giáo viên, bộ câu
hỏi nghiên cứu trên HS)
5.2. Nhiệm vụ


9

Để trả lời cho những câu hỏi nghiên cứu trên, chúng tôi đề ra những nhiệm vụ
sau:
Thứ nhất, chúng tôi nghiên cứu bài báo của Chaachoua và Bessot (2016) về
khái niệm biến trong tổ chức toán học. Đồng thời, chúng tơi đưa thêm một số khái
niệm mới có liên quan trong luận văn.
Thứ hai, chúng tôi tổng hợp một số kết quả đã được nghiên cứu từ các luận
văn có liên quan đến hệ thống biểu đạt của hàm số. Bên cạnh đó, chúng tơi sử dụng
lý thuyết mới trong bài báo ở trên và kết hợp nghiên cứu các đề thi trong kì thi
THPT năm 2017, sách giáo khoa cơ bản 12, sách giáo viên, sách bài tập để mơ hình
hóa tổ chức tốn học từ một kiểu nhiệm vụ mới liên quan đến đồ thị hàm số và đạo
hàm của nó.
Thứ ba, chúng tơi sẽ phân tích thực hành giảng dạy của giáo viên hiện nay về
mối quan hệ giữa đồ thị hàm số và đạo hàm của nó. Từ phân tích ở hai phần trên

kết hợp với kết quả thực hành giảng dạy của giáo viên sẽ giúp chúng tôi đặt ra câu
hỏi nghiên cứu về kiến thức của HS.
Cuối cùng, chúng tôi sẽ tiến hành thực nghiệm và phân tích hậu nghiệm để
làm rõ ảnh hưởng của quan hệ thể chế và hoạt động giảng dạy của giáo viên lên
quan hệ cá nhân của HS đối với mối quan hệ giữa đồ thị và đạo hàm của hàm số.
6. Giới hạn phạm vi nghiên cứu
Trong bài toán KSHS hai đối tượng BBT và đồ thị hàm số ln xuất hiện
theo tiến trình: BBT → Vẽ đồ thị hàm số. Trong luận văn của Phạm Thị Thanh
(2016) khi nghiên cứu chương trình SGK 12 hiện hành cho thấy rằng, khơng có
KNV nào xoay quanh mối quan hệ giữa hàm số và đạo hàm của hàm số về phương
diện đồ thị. Hiện nay, với hình thức thi trắc nghiệm khách quan, luận văn Lê Thị
Bích Siêng (2017) cho thấy rằng HS gặp khó khăn khi đọc BBT. Từ những kết quả
trên, chúng tôi sẽ nghiên cứu đối tượng đồ thị trong hình thức thi TNKQ. Do giới
hạn của luận văn, chúng tôi chỉ tập trung nghiên cứu mối quan hệ giữa đồ thị hàm
số và đạo hàm của nó, đồng thời sẽ nghiên cứu những thay đổi giảng dạy về tổ
chức dạy học của giáo viên về mối quan hệ này trong lớp học bằng cách ghi âm và


10

ghi chép khi quan sát. Từ đó, chúng tơi tìm ra những ảnh hưởng của mối quan hệ
này đối với HS.
7. Cấu trúc luận văn.
Luận văn gồm 3 phần: phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận.
Phần mở đầu, chúng tơi trình bày về những ghi nhận ban đầu, câu hỏi xuất phát,
phạm vi lý thuyết tham chiếu, mục tiêu, câu hỏi nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu
và cấu trúc luận văn
Phần nội dung, gồm có 4 chương
 Chương 1: Cơ sở lý luận
 Chương 2: Mơ hình hóa tổ chức tốn học

 Chương 3: Phân tích tổ chức dạy học
 Chương 4: Nghiên cứu thực nghiệm
Phần kết luận, chúng tơi trình bày tóm tắt các kết quả đạt được của luận văn.


11

Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN
Ngồi những cơng cụ lý luận quen thuộc đã được trình bày trong mục 1.3 ở
phần mở đầu, chúng tôi xin bổ sung thêm một số công cụ sau đây:
- Hệ thống cách biểu đạt.
- Giới thiệu khái niệm biến trong phân tích tổ chức toán học của hai tác giả
Chaachoua và Bessot (2016).
- Thuật ngữ “quan niệm” và sai lầm.
1.1. Hệ thống biểu đạt
“Một hệ thống biểu đạt được tạo thành từ những dấu, theo nghĩa rộng nhất của từ
này: những vạch, những ký hiệu, những hình vẽ,... Chúng là phương tiện để diễn đạt, để
biểu thị” (Guzaman Retamal, 1990, được trích dẫn trong Lê Thị Hoài Châu, 2008, tr

43).
Tác giả Lê Thị Hoài Châu giải thích rõ tầm quan trọng của hệ thống biểu đạt:
Trong quá trình phát triển, cả hình học lẫn đại số đều đã đi từ phạm vi chỉ có
một sang phạm vi có nhiều hệ thống biểu đạt. [...]. Việc thay đổi hệ thống biểu
đạt (đặt một đối tượng toán học trong những phạm vi khác nhau, biểu diễn
chúng bằng những ngơn ngữ khác nhau) giữ vai trị quan trọng trong hoạt động
nghiên cứu toán học.[...]. Sự thay đổi này khơng chỉ quan trọng với nhà nghiên
cứu mà cịn cần thiết cho việc học của học sinh. [...]. Sự thay đổi phạm vi và hệ
thống biểu đạt cho phép đưa ra những phỏng đoán, kiểm tra các chiến lược giải
quyết, tạo thuận lợi cho sự hình thành tri thức. Nó cịn là một động lực cho việc
học. [...]. Dạy cho học sinh biết chuyển, biết khai thác nhiều hệ thống biểu đạt

khác nhau cho cùng một đối tượng chính là góp phần thực hiện dạy học theo
quan điểm tích hợp. Nó giúp học sinh nắm kiến thức sâu hơn và góp phần phát
triển tư duy linh hoạt cho họ (2008, tr 43).

1.2. Giới thiệu khái niệm biến trong phân tích tổ chức tốn học
Chúng ta đã biết một hàm số có thể được biểu diễn bởi nhiều cách biểu đạt
khác nhau. Các nghiên cứu trước đây trong thể chế Việt Nam cho thấy rằng hàm số
biểu đạt bằng công thức lấn áp các biểu đạt khác. Tuy nhiên, trong bối cảnh thi
THPT quốc gia năm 2017 với hình thức thi TNKQ cho thấy, hàm số có các cách
biểu đạt khác ngồi cách biểu đạt bằng cơng thức và chúng xuất hiện nhiều hơn.


12

Vấn đề này có thể làm thay đổi kỹ thuật để giải quyết các KNV liên quan đến hàm
số. Vậy để phân tích các KNV một cách có hệ thống theo sự thay đổi các cách biểu
đạt hàm số, cũng như sự thay đổi của một số yếu tố khác, chúng tôi tổng hợp lại các
kết quả nghiên cứu của hai tác giả Hamid Chaachoua và Annie Bessot về khái niệm
biến lý thuyết nhân học năm 2016.
Theo nghiên cứu của hai tác giả Chaachoua và Bessot (2016) việc giới thiệu khái
niệm biến trong mơ hình tổ chức tốn học là một phần kết nối với các lí do về sự
xuất hiện của chúng trong lý thuyết tình huống.
1.2.1. Lý do có khái niệm biến trong lý thuyết tình huống (TSD)
Brousseau (1997a) cho rằng, một nền tảng của lý thuyết tình huống dạy học là
sự mơ hình hố một kiến thức bởi một tình huống.
Các tình huống là các mơ hình tối tiểu để nghiên cứu hành động của một cá
nhân trong một môi Trường đối với một kiến thức nào đó (Bessot và Chaachoua,
2016).
Theo Brousseau (1997b), những mơ hình này phải có biến thể và các biến.
Với các phương tiện tốn học và thực nghiệm, ta có thể tìm những giá trị của biến

cho phép xác định các điều kiện tối ưu cho việc truyền bá các kiến thức cụ thể. Với
các giá trị xác định của những biến này, tồn tại ít nhất một chiến lược tối ưu (“cơng
sức” bỏ ra để thực hiện, sự ổn định của nó, cơng sức học tập nó,…) và một hay một
số kiến thức tương ứng. Chúng tôi gọi biến nhận thức là một biến của tình huống
sao cho ta có thể thay đổi kiến thức tối ưu bằng cách thay đổi giá trị của biến. Các
biến nhận thức nào mà giáo viên có thể thay đổi được gọi là các biến dạy học.
Khái niệm biến xuất hiện đã giúp nhà nghiên cứu cấu trúc hóa các tình huống
đặc trưng của một kiến thức hay một tri thức và kiểm sốt được mơ hình thơng qua
“lý thuyết điều khiển học”. Đồng thời, khái niệm biến xuất hiện như một cơng cụ
trong tiến trình mơ hình hóa, gắn với phân tích tiên nghiệm một tình huống cụ thể
hay cơ bản. Ngồi ra, nó cịn cho phép dự kiến về những thứ có thể quản lý được về
sự thay đổi của một tình huống gắn với một tri thức hay một kiến thức nào đó. Khi
dự kiến về sự thay đổi này tạo ra một lớp các vấn đề tốn học, sau đó nhà nghiên
cứu có thể thực hành cụ thể tri thức cần nhắm đến. Từ đó, họ tạo ra một thực


13

nghiệm ứng với một kiến thức hay một tri thức (đồ án dạy học). Đồng thời, nó giúp
họ phân biệt những ý nghĩa khác nhau của cùng một tri thức bằng cách tạo tình
huống khác nhau theo quan điểm Sư phạm. Bên cạnh đó, sự dự kiến này cịn giúp
họ nghiên cứu điều kiện tồn tại của một kiến thức trong một Trường học thực tế
nào đó và nghiên cứu lý do của những khó khăn quan sát được.
1.2.2. Khái niệm biến trong lý thuyết nhân học
1.2.2.1. Nguồn gốc của việc giới thiệu khái niệm biến trong lý thuyết nhân học
Khái niệm biến xuất hiện từ nghiên cứu của nhóm MeTAH (Trường đại học
Grenoble Alpes, Pháp). Nhóm nghiên cứu đã sử dụng lý thuyết nhân học của
Chevallard (1985) để nghiên cứu việc học tập của con người trong môi Trường tin
học gọi tắt là EIAH. Nhóm đã cho thấy việc cần thiết phải mơ hình hóa các đối
tượng tri thức tin học để trang bị hỗ trợ học tập trong môi Trường tin học. Những

điều cần thiết này đã dẫn họ đến việc phát triển khung tham chiếu T4TEL với T4 là
bộ tứ trong tổ chức tri thức [T /  /  / ] và TEL nghĩa là công cụ tin học hỗ trợ học
tập (Chaachoua, Ferraton, Desmouslin, 2013; Chaachoua, 2015). Việc mơ hình hóa
các đối tượng đã đưa họ đi đến việc giới thiệu khái niệm biến nhằm hình thức hóa
và cấu trúc hóa các kiểu nhiệm vụ.
1.2.2.2. Hình thức hóa hoạt động trong mơ hình tổ chức hoạt động T4TEL
Theo Chevallard (1989) việc nghiên cứu số lượng các kỹ thuật của một KNV
T cho trước có giới hạn ở một cấp độ Trường học cụ thể. Năm 1999, Chevallard
cho rằng, một KNV T có thể có nhiều kỹ thuật  i để giải thích được gọi là một tổ
chức tri thức (TCTH) thời điểm. Vì thế một TCTH thời điểm có thể gồm nhiều
khối thực hành [T,  i ].
Theo nhóm MeTAH thì số TCTH thời điểm cơ sở bằng số kỹ thuật thực hiện
KNV T. Đồng thời nhóm đã đưa ra khái niệm KNV và KNV con trong T4TEL để
xét những điều kiện và ràng buộc làm giảm phạm vi của các kỹ thuật trong một thể
chế.
Khái niệm KNV và KNV con trong T4TEL
Nhóm MeTAH định nghĩa KNV T là một tập hợp các nhiệm vụ sao cho :


14

(1)-Mọi nhiệm vụ được mô tả bởi một động từ hành động và những bổ nghĩa
cố định.
(2)-Tồn tại một kỹ thuật  thực hiện ít nhất một nhiệm vụ của T.
(3)-Nếu  là một kỹ thuật giải quyết được một nhiệm vụ t của T thì hoặc phạm
vi của kỹ thuật , kí hiệu P(), là một tập con của T, hoặc T là một tập con của P().
T’ được gọi là một KNV con của T nếu T’ là một tập con của T và T’ là một
KNV.
Ví dụ: Trong chương trình Tốn tiểu học, ta thấy xuất hiện KNV T0 : “So sánh
hai phân số”, gồm có các KNV con như sau:

T0 a : “So sánh hai phân số khác mẫu

T0 b : “So sánh hai phân số cùng tử số”

số”

Kỹ thuật  b

Kỹ thuật  a

- So sánh hai mẫu của hai phân số

- Quy đồng mẫu số của hai phân số

- Phân số nào có mẫu số lớn hơn thì phân số

- So sánh tử số của hai phân số mới

đó bé hơn.

Ví dụ: So sánh hai phân số

3 5
và
4 7

Ví dụ: So sánh hai phân số

7
7

và
12 15

Mơ tả các kỹ thuật trong T4TEL
Theo nhóm nghiên cứu, một kỹ thuật τ trong T4TEL được miêu tả bởi một tập
hợp các KNV{(Ti)}i có thể ở hai dạng:
- Dạng 1, các KNVchỉ tồn tại thông qua việc thực hiện các kỹ thuật của một
số KNV khác, được gọi là các KNV bên trong.
- Dạng 2, các KNV này được thể chế quy định đối với HS, được gọi là các
KNV bên ngoài.
Chẳng hạn, với KNV “ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số được cho
bởi cơng thức”. Kĩ thuật có thể mơ tả bằng tập hợp các KNV:
- Tìm tập xác định của hàm số.
- Giải phương trình y’ = 0.
- Lập bảng biến thiên của hàm số.
- Vẽ đồ thị hàm số.


15

Trong đó:
- “Tìm tập xác định của hàm số và giải phương trình y’=0” là những KNV bên
ngồi vì nó là một KNV tồn tại trong phần bài tập.
- “Lập bảng biến thiên của hàm số cho bởi công thức” là KNV bên trong vì
khơng tồn tại trong phần bài tập của các SGK.
1.2.3. Lý do cần có khái niệm biến trong T4TEL
Trong T4TEL, một KNV được định nghĩa bằng một động từ hành động và
một bổ thể. Động từ hành động đặc trưng cho loại nhiệm vụ như “Tính” hay
“Đếm”. Bổ thể được định nghĩa theo các mức độ từ đặc biệt đến tổng quát.
Ví dụ: KNV T “Tính tổng hai số” và KNV T1 “Tính tổng hai số nguyên có

một chữ số”. Ta thấy KNV T tổng quát hơn KNV T1.
Theo nhóm nghiên cứu để tổ chức và cấu trúc các TCTH cần dựa vào phạm vi
của các kỹ thuật. Cụ thể như sau:
Cho T một KNV và  một kỹ thuật của T có phạm vi là P(). Phân tích một tri
thức cho phép đặt P() trong mối quan hệ với T :
- Nếu T nằm trong P() thì có thể tồn tại một KNV T’ tổng quát hơn T nhận 
làm một kỹ thuật.
- Nếu P() nằm trong T thì có thể tồn tại một KNVT’’ đặc biệt hơn T nhận 
làm một kỹ thuật.
Ví dụ: Ở đầu THCS của Pháp, có KNV T: Giải một phương trình bậc nhất với
hệ số nguyên và KNV T’: Giải phương trình bậc nhất với hệ số thực. Ta thấy KNV
T đặc biệt hơn KNV T’. Hai KNV này dùng chung một kỹ thuật là chuyển vế và
đổi dấu một hạng tử, sau đó nhân (chia) cả hai vế cho một số khác 0.
Nhằm quản lí các mối quan hệ giữa các KNV có liên quan đến nhau, nhóm
tác giả đã giới thiệu khái niệm biến và hệ sinh kiểu nhiệm vụ.
1.2.4. Khái niệm hệ sinh của kiểu nhiệm vụ và hệ thống các biến
Một hệ sinh KNV được định nghĩa bởi một kiểu nhiệm vụ và một danh sách
các biến với các giá trị mà chúng có thể nhận (Chaachoua và Bessot, 2016).
Ví dụ, KNV T: “Tính tổng của hai số” định nghĩa một hệ sinh các KNV