BT HAM SO MU va LOGARIT Co Ban

<span class='text_page_counter'>(1)</span>BÀI TẬP Hàm số mũ và logarit Công thức cơ bản hàm số mũ 1 m. a0 = 1; 1a = 1; a–m = a ; (am)ⁿ = am.n; Các công thức cùng cơ số am. m n. a. n m a. n am.an = am+n; a = am–n. Các công thức khác cơ số am a a b ( ) m ( )  m ( ) m m b ; b a am.bm = (ab)m; b Bài tập 1: Đơn giản biểu thức sau (giả thiết tất cả đều có nghĩa) 2. x 4  x 3 y  xy3  y 4 3y(x 2  y 2 )  3 2 [  1 ] .(x  2xy  y 2 ) xy x (x  y) a. A = a  n  b n a  n  b n  n n n a  b a  b n )(a2n – b2n) b. B = ( 1 1 1 a 1  x 1 1 1 a  x (xa  ax )(  1  ) a  x 1 a  1  x 1 c. C = 4 Bài tập 2: Cho a, b là các số dương. Rút gọn biểu thức sau 1. a. A =. a a  ).( a  b b. (1  2. 3. c. C = ( a . 3. 2 b)(a 3. 2  b3. . b) 2. 3. b. B =. ab). 3. 1. d. D =. . 1 8a 3 b. 2 a3. 2  4b 3. 1 a4 1 (a 3. . 5 4 a. . b. 1 2 b. [(. 3 5  27y.  35. 3.  b2. b. 1 2. . a 3 b 1  ) b a. 1. a2  4 2 ) 4 2a. a ( f. F = 2. (1 . 23. b 1 3 ) a a. 3,92.  310 32y 2  2).3 2 ]5. 2 y b. B = Bài tập 4: Rút gọn biểu thức sau a. A =. 1 2. 1  b 3 ).(2  3.  2 3 ab g. G = Bài tập 3: Tính giá trị các biểu thức sau: 1 x  x2 1 x  x2  1 (  2  ) (5  2x 2 ) 2 2 2x  x a. A = 2x  x với x = 3 22. . a2  4. a3 b a 2 [( 3 ) 2  ( ) ]: (a 4  b 4 ) 3 b a a b e. E = 4 a3. 9. a4  a4. với y = 1,2. 1 1 1 3 5 7 1  3 3 2 4 4 2 {[(3 .5 ) : 2 ] :[16 : (5 .2 .3 )]}2. Bài tập 5: Chứng minh. 3. 4. b. B =. 0,5. 0,25.  625. 9   ( ) 2  19.( 3) 3 4. a 2  3 a 4 b 2  b 2  3 b 4 a 2  ( 3 a 2  3 b 2 )3 3. Bài tập 6: Không dùng máy tính hãy tính giá trị biểu thức P =. 6. 847 3  6 27. 847 27.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 1 ( 8 3  8 2)( 4 3  4 2)( 3  2) 8 Bài tập 7: Chứng minh rằng: 3  2 Bài tập 8: Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức sau 8. 5. 3. a. A = 2 2 2 b. B = a a a a Bài tập 9: Đơn giản biểu thức. 11 16 :a. 5. (a > 0). c. C = a2. π 4. 2. a. A = a . a : a (a. 2 3. 4π.  1)(a. b. B = (a 2 3. 4 3. 3. a 3. a. 2. 3. ) 3 . a 3. 3 3. ). 6. c. C = (a a. 2 5 a 3. 5. b. 5 7 3 b 3. 2 2. b3 a a b (ab ≠ 0).  b2 b. 3. 3 2. ). 1. 7 2 7 b 3. a a a d. D = e. E = HÀM SỐ MŨ Khảo sát hàm số y = ax. Tập xác định hàm số D = R Đạo hàm y’ = axln a Nếu a > 1, hàm số luôn đồng biến Nếu 0 < a < 1, hàm số luôn nghịch biến. lim a x 0 lim a x 0 x    x Giới hạn: nếu a > 1 và   nếu 0 < a < 1 → y = 0 là tiệm cận ngang. Giá trị đặc biệt: x = 0 → y = 1; x = 1 → y = a Nhận xét: Hàm số y = ax luôn dương với mọi x 2x  2 x 2 Bài tập 1: Chứng minh rằng hàm số sau đơn điệu: y = . Từ đó so sánh 2³ – 2–³ và 2² – 2–². Bài tập 2: Các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến 3 1 π ( )x 3 x ( )x ( )x 3 2 a. y = 3 b. y = 3  2 c. y = 5. SO SÁNH CÁC SỐ MŨ 1. Nếu a > 1: am > aⁿ <=> m > n 2. Nếu 0 < a < 1: am > aⁿ <=> m < n 3. Nếu 0 < a < b: aⁿ < bⁿ <=> n > 0 4. Nếu 0 < a < b: aⁿ > bⁿ <=> n < 0 Nếu so sánh hai căn không cùng bậc, thì đưa hai số về cùng bậc rồi so sánh. Bài tập 1: So sánh các cặp số sau 1 1 3 3 ( ) 3 ( ) 2 ( )1,2 ( ) 2 3 5 3 a. 30 và 20 b. 17 và 28 c. 3 và 3 d. 2 và 2 5. 1 5 5  ( ) 2 3 6 e. 7 và 1 f. 0, 7 và 0, 7 g. Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số sau  x 2 x. 20. x 2 1  e x. 2  30 3 và 2. a. y = 3. 3 b. y = 0,51–sin 2x c. y = BÀI TẬP LOGARIT Định nghĩa: Hàm số y = loga x (0 < a ≠ 1) xác định khi x > 0 loga x = b <=> x = ab. (b được gọi là logarit cơ số a của x) Chú ý: Khi cơ số a = e thì loge = ln x được gọi là logarit tự nhiên. Khi cơ số a = 10 thì log10 x = log x = lg x được gọi là logarit thập phân. Công thức cơ bản 1 α log aβ x  log a x log aβ x α  log a x β β loga 1 = 0; loga a = 1; loga xα = αloga x; ; Công thức tích thành tổng.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> loga (xy) = loga x + loga y. loga (x/y) = loga x – loga y. Công thức đổi cơ số log a x logc x = log a c hay loga c logc x = loga x 1 log x = log x a a. log a x Công thức khác: a =x Bài tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau. x 1 log 1 x 5 2. a. y =. x 2 1 log 1 (log5 ) x 3 5. b. y =. c. y =. 1 2. d. y = lg (–x² + 3x + 4) + x  x  6 Bài tập 2: Tính giá trị của các biểu thức 1 1  log 9 4 2. 4 a. (81. e. y =.  25log125 8 ).49log 7 2. 1 log 7 9 log 7 6 72(49 2.  log. log. b. 16. 1 log 2 33log5 5  42. log 6 5  101 lg 2  3log9 36 d. 36. 5 5 ) c. Bài tập 3: Tính giá trị của các biểu thức. 2 log 1 6  a. A = log9 15 + log9 18 – log9 10 1 log36 2  log 1 3 2 6 c. C = π π log 2 (2sin )  log 2 cos 12 12 e. E = g. G = log10 tan 2 + log10 cot 2 Bài tập 4: Tính giá trị của các biểu thức. b. B =. 3. 1 log 1 400  3log 1 3 45 2 3. 3. log 1 (log 3 4.log 2 3) d. D =. 4. log 4 ( 3 7  3 3)  log 4 ( 3 49  3 21  3 9) f. F = h. H = log4 x + log4 x³ – 2log2 x + 6log4 8 5. log 1. x 3 x 1. x1 2x  3. 1log 4 5. 4. log 2. 3. a a3 a 2 a4a. 2 a a. A = log a (a a ) b. B = c. C = log tan 1° + log tan 2° + ... + log tan 89° d. D = log3 2 log4 3 log5 4 ... log15 14 log16 15 Bài tập 5: Chứng minh rằng nếu a² + b² = c²; a, b, c > 0; c + b ≠ 1; c – b ≠ 1; a ≠ 1 thì logc+b a + logc–b a = 2logc+b a logc–b a. a  b ln a  ln b ln  3 2 Bài tập 6: Giả sử a, b là hai số dương thỏa mãn a² + b² = 7ab. Chứng minh rằng Bài tập 7: Tính theo a, b các logarit sau a. A = log6 16. Biết log12 27 = a b. B = log125 30. Biết log 3 = a; log 2 = b c. C = log3 135. Biết log2 5 = a; log2 3 = b d. D = log49 32. Biết log2 14 = a Bài tập 8: Rút gọn biểu thức P = (loga b + logb a + 2)(loga b – logab b)logb a – 1 Bài tập 9: Biết loga b = 3; loga c = –2. Tính giá trị của các biểu thức sau a 2 c 2 .4 b 4 3 a. loga (a³b² c ) b. loga ( b . a. c ). HÀM SỐ LOGARIT Khảo sát hàm số y = loga x Tập xác định D = (0; +∞) Đạo hàm y’ = 1/(x ln a).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Nếu a > 1, hàm số luôn đồng biến Nếu 0 < a < 1, hàm số luôn nghịch biến Các điểm đặc biệt x = a → y = 1, x = 1 → y = 0 BÀI TẬP VỀ SO SÁNH Trường hợp 2 số có cùng cơ số, ta áp dụng qui tắc sau: Nếu a > 1 thì loga x > loga y <=> x > y Nếu 0 < a < 1, loga x > loga y <=> x < y Trường hợp 2 số khác cơ số, dùng số trung gian Ví dụ so sánh hai số log3 4 và log4 3. Ta có: log3 4 > 1 = log4 4 > log4 3 Bài tập 1. So sánh a. 2. log 5 3. log5. và 3. log 2 3log 4. 1 2. 5 11. b. log3 2 và log2 3. c. log2 3 và log3 11. 1 1 log 6 2  2 log ( ). 6. 5. 3 d. 4 và 18 e. 6 và 18 f. log2 10 và log5 30 g. log3 5 và log7 4 h. 2ln e³ và 8 – ln (1/e). Bài tập 2: Chứng minh 1 log 1 3  log 3   2 2 log 5 7 7log 5 4 2 a. b. 4 c. log3 7 + log7 3 – 2 > 0 Bài tập 3: So sánh a. log3 (6/5) và log3 (5/6) b. log1/3 9 và log1/3 7 c. log1/2 e và log1/2 π ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT Công thức cơ bản (ax)’ = ax ln a → (au)’ = u’.au ln a (ex)’ = ex → (eu)’ = u’.eu. 1 u' (ln x)’ = x → (ln u)’ = u 1 u' (loga x)’ = x ln a → (loga u)’ = u ln a Bài tập 1: Tính đạo hàm các hàm số sau ex  e x. a. y = (x² – 2x)ex.. b. y = (sin x – cos x) e2x. ln x d. y = ln (x² + 1) e. y = x Bài tập 2: Tính đạo hàm các hàm số sau a. y = x² ln d. y =. log3. x 2 1. x 2 x 3. b. log2 (x² – x + 1) x1 e. y = ln ( x  1 ). x x c. y = e  e. f. y = (1 + ln x) ln x 3. 2 c. y = 2 ln x.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>