phuong trinh luong giac co ban va nang cao

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CO BẢN + NÂNG CAO. Hành Trình Vạn Dặm Bắt Đầu. 1. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN  Là công đoạn bắt buộc và là con đường duy nhất để có thể tìm ra được ẩn;  Không được cộng độ và radian với nhau;  Cần phải sử dụng thành thạo công cụ đường tròn lượng giác. 3 sin2 x  2 ; 1.1.. Từ Một Bước Chân. 1.2.. cos  2 x  250   tg  x  150  .  2 2 ;. 3 3 ;. 1.3. 1.4. sin3x sin x ; 1.5. sin2 x cos3x ; 2   sin  x   cos2 x 3   1.6. ; 1.7. sin4 x  cos x ; 1.8. sin5 x  sin2 x ; 2 2 1.9. sin 2 x sin 3x ; tg  3 x  2   cot g2 x 0 1.10. ; sin4 x  cos5 x  0 1.11. ; 2sin x  2 sin2 x 0 ; 1.12.. 1.13. 1.14. 1.15.. sin2 2 x  cos2 3x 1 ; sin5x.cos3x sin6 x.cos2 x ; x cos x  2sin2 2;.   tg  3x   cot g  5x    1 2  ; tg5x.tg3x 1 ;. 1.16. 1.17. 1.18.     tg  x   sin  3x     sin  3x   4 2;   1.19..  1  sin4 x  cos 4  x    4 4; . 1.20.. sin x  3 cos x ;. 1.21.. 2   sin  cos x   4  2 ;     x  ;  2 2  sao cho  Tìm. 1.22. tg  3x  2   3. ;. x   0;3  Tìm sao cho     sin  x    2cos  x   0 3 6   ;. 1.23.. 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SIN VÀ COS  Dạng phương trình?  Cách giải, điều kiện có nghiệm? 2.1. 2sin x  2cos x  2 ; 2.2. 3sin x  4cos x 5 ; 9  3    sin  2 x    3cos  x   1  2sin x 2 2     2.3. 3sin  x  1  4cos  x  1  5 2.4. ; 2 2 sin  x  1  .cos3 x  cos x.sin3 x 2 2.5. . 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC  Dạng phương trình?  Cách giải, điều kiện có nghiệm? 2 3.1. 2cos x  3cos x  1 0 ; 2 3.2. cos x  sin x  1 0 ; 3.3. 2cos2 x  4cos x 1 ; 3 2 3.4. 5tg x  7tg x  3tgx  1 0 .. 4. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP  Dạng phương trình, phương trình đẳng cấp bậc hai và bậc ba?  Cách giải, điều kiện có nghiệm? 3sin2 x  8sin x cos x  8 3  9 cos2 x 0 4.1. 2 2 4.2. 4sin x  3 3 sin2 x  2cos x 4 ;. . . 1 sin2 x  sin2 x  2cos2 x  2; 4.3. 3 4.4. sin x  4sin x  cos x 0 ; 4.5. 2sin2 x  3  3 sin x cos x . . . . . 3  1 cos2 x  1. 5. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SIN VÀ COS  Dạng phương trình?  Cách giải, điều kiện có nghiệm? 3  sin x  cos x   2sin2 x  3 0 5.1. ;  1  cos x   1  sin x  2 ; 5.2. 5.3. 1 1 2  sin x  cos x  tgx  cot gx   0 cos x sin x. Nên thợ nên thầy vì có học, no ăn no mặc bởi hay làm! - Nguyễn Trãi -Page. 0975907725. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CO BẢN + NÂNG CAO. 6. PHƯƠNG TRÌNH PHẢN ĐỐI XỨNG VỚI SIN VÀ COS  Dạng phương trình?  Cách giải, điều kiện có nghiệm? 6.1. sin x  cos x  4sin x cos x  1 0 ; sin2 x  12  sin x  cos x   12 0 6.2. .. 8.10. 5 2  sin4 x  cos 4 x   2 3 sin x cos x cos2 x  2 cos x  2sin x cos x  3 2cos2 x  sin x  1 8.11. ; 8.12. cos2 x . o. 1 2sin x cos x..  tgx cot gx . 2. tg 2 x  cot g2 x 2.. ;. 3. sin x  cos x 1 ;.  1  cos x   1  sin x  2 ;. 8.17. 8.18.. 2  sin x  cos x  tgx. 8.19.. 1 1  0 cos x sin x ; 3 3 sin x  cos x  1 ;. 8.20.. 1  cos3 x  sin3 x sin2 x ;. 8.21. ;. sin3 x  cos3 x sin2 x  sin x  cos x. . . ; 4sin x  3 3 sin2 x  2cos x 4 ; 2. 8.24.. 2. 1 sin2 x  sin2 x  2cos2 x  2;. 8.25. 8.26. 2sin2 x  3  3 sin x cos x . . . . . 3  1 cos2 x  1. sin x  4sin3 x  cos x 0 ; 8.27. 8.28.  1  tgx  sin2 x 3  cos x  sin x  sin x  3. ;. 3 cos9 x 1  4sin3 3 x ;. 2. ;. 8.29.. 1  3tgx 2sin2 x ;. 8.30.. 2sin2 3x  sin2 6 x 2 ;. 8.31. 8.32. 8.33.. sin4 x  cos 4 x sin4 2 x  cos 4 2 x ; 6x 8x 2cos2  1 3cos 5 5 ; tg2 x 3tgx ;. 8.34..  1  sin4 x  cos4  x    4 4; . 8.35.. sin3 x  5cos3 x 3cos x ;. Nên thợ nên thầy vì có học, no ăn no mặc bởi hay làm! - Nguyễn Trãi -Page. 3. sin x  cos x  2sin2 x 1 8.22. ; 8.23. 3sin2 x  8sin x cos x  8 3  9 cos2 x 0. 8.5. 2sin x  2cos x  2 ; 8.6. 3sin x  4cos x 5 ; 8.7. 2cos3x  3 sin x  cos x 0 ; 8.9. 3sin3 x . sin2 x  12  sin x  cos x   12 0.  cot gx . 2 8.2. cos x  sin x  1 0 ; 8.3. 2cos2 x  4cos x 1 ; 9  3    sin  2 x    3cos  x   1  2sin x 2 2     8.4. ;. 2 2  sin x  cos x  cos x 3  cos2 x. ; sin x  cos x  4sin x cos x  1 0 ;. 8.16.. o 8. BÀI TẬP 1 2 8.1. 2cos x  3cos x  1 0 ;. 8.8.. 3 sin x  cos x  4 0 ;. 3  sin x  cos x   2sin2 x  3 0. 8.15.. a cos x  b sin x  a2  b2 cos  x    2. 3 sin2 x . 8.13. 8.14.. 7. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  Trong giải phương trình lượng giác thì mục tiêu là đưa về phương trình lượng giác cơ bản, tức là ta không nên đặt nặng vấn đề tìm cho ra ẩn mà nên cố gắng tìm các hàm số lượng giác;  Khi giải phương trình lượng giác ta thường có ba hướng: o Dùng công thức lượng giác để biến đổi đưa về phương trình tích; o Đặt ẩn phụ (tìm sự tương ứng giống nhau để đặt ẩn phụ); o Chuyển phương trình lượng giác sang phương trình đại số hoặc dùng tính chất của bất đẳng thức.  Nhận dạng và nhớ cách giải các phương trình lượng giác cơ bản.  Nhớ và sử dụng thành thạo nhuần nhuyễn các công thức: o.  sin x cos x . 0975907725.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CO BẢN + NÂNG CAO. 3 sin2 x  sin2 2 x  sin2 3 x  2;. 8.36.. 8.57. sin3 x  cos3 x  sin3 x cot gx  cos 3 xtgx sin x  cos x. 8.38.. cos 4 x  cos2 x  2sin6 x 0 ; 17 sin8 x  cos8 x  cos2 2 x 16 ;. 8.39.. cos2 x  cos2 2 x  cos2 3x 1 ;. 8.40. 8.41. 8.42. 8.43.. sin4 2 x  cos4 2x sin2 x cos2 x ; sin x  sin2 x sin3x ; 1  sin3x cos2 x  sin x ; 1 sin3 x cos x  cos 3 x sin x  4;. 8.44.. sin3x sin3 x  cos3 x cos 3 x 1 ;. 8.37.. 4. 3. 4. 8.58. 8.59. 8.60.. . ;. 1  sin2 x. 8.46. ; 8.47. 2.  1  cos x    1  cos x  4  1  sin x . 1. 2 2.  tg x sin x. 8.49. 8.50..  1  tgx   1  sin2 x  1  tgx ;. 8.65.. sin x sin2 x  sin3 x 6cos3 x ;. 8.66..   sin3  x    2 sin x 4  ; Nên biến. 3 cos x  3 sin x  1 ; ;.   tg 3  x   tgx  1 4  ;. sin x  cos x  sin x  cos x 2. ; sin x cos3x  cos x sin3 x sin3 4 x ;. 8.51. 8.52. cos7 x cos5 x . 3. 8.68. 8.69. tgx sin2 x  2sin2 x 3  cos2 x  sin x cos x . 3. 3 sin2 x 1  sin7 x sin5 x ;. 8.53. 2   sin2 x  3 cos2 x  5 cos  2 x   6;  2  sin x  cos x  tgx  cot gx 8.54. ; 1 cos x cos2 x cos 4 x cos8 x  16 ; 8.55.. . 8.64..   x  4  chứ không nên làm đổi x theo  ngược lại;     sin  3x   sin2 x sin  x   4 4 ;   8.67.. 8.48.. 4  sin4 x  cos 4 x   3 sin4 x 2. . 8.56. 3 cos2 2 x  2  sin x  cos x   3sin2 x  3 0. sin6 x  cos6 x  1 ;. 8.62. cos3 x  4sin3 x  3cos x sin2 x  sin x 0 ; 1  3sin2 x 2tgx ; 8.63.. 1  sin x   tg2 x 2 ; cos x  3 sin x 3 . 3  sin4 x  cos 4 x  1 . 8.61. 4sin3 x  3cos3 x  3sin x  sin2 x cos x 0 ;. 2. 2  2cos x sin x  1  2sin x. ;. 4. sin x  cos x 1   tgx  cot gx  sin2 x 2 ; sin x  sin2 x  sin3 x  3 cos x  cos2 x  cos3x ; 1 3sin2 x  sin2 x  2cos2 x 2 . 4. sin x  cos x  sin x  cos x. 8.45.. 0975907725. 8.70.. cos3x  sin3x  2cos x 0 ;. 8.71. 8.72.. cos x  sin x  2 cos3x ; sin x  2sin2 x 3  sin3 x ;. tgx  3 cot gx 1  3 ; 8.73. 8.74. cot g 2 x  2 2 sin3 x  2  3 2 cos x. . . sin2 x  tgx 2 ; Chú ý:. 8.75. 2 1  sin 2 x  cos x  sin x . ;. và. cos x  sin x 1  tgx  cos x ; sin2 x  cos2 x  tgx 2 ; 8.76. Nên thợ nên thầy vì có học, no ăn no mặc bởi hay làm! - Nguyễn Trãi -Page. 3. ;. ;.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CO BẢN + NÂNG CAO. 8.77. 8.78. 2cos2 x . 8.79. 8.80. 8.81. 8.82.. sin2 x . 9.2. 3  2sin x sin3 x 3cos2 x ; 9.3. 2sin x cos2 x  1  2cos2 x  sin x 0 ; 3  cos6 x sin4 x  cos4 x  4 9.4. ;. 1 1  2 sin x sin x ;. 8 18 9cos x  1 2 cos x cos x ;  3   3 x  sin   x  2sin3    4 2   4 2;. 2 9.5. 2cos 4 x  sin10 x 1 ;  1  tgx   1  sin2 x  1  tgx ; 9.6. 9.7. tgx  tg2 x sin3 x cos x ; 9.8. tgx  cot g2 x 2cot g 4 x ; 9.9. sin x  cos x cos2 x ; sin3 x  cos3 x cos2 x ; 9.10.. 1 cos2 x  cos2 2 x  2; cos2 x  cos2 2 x  cos2 3x 1 ;. 3 cos2 x  cos2 2 x  cos2 3x  cos2 4 x  2; 1 sin x cos2 x sin2 x cos3x  sin5 x 2 8.83. ;.   8cos3  x   cos3x 3  ;. ; cos x  3cos x sin2 x  8sin x  1 0. 8.93.. cos4 x cos2 3x ;. 8.94. 8.95. 8.96. 8.97.. 9.13.. sin8 x  cos8 x. 9.14.. tg2 x  cot g 2 x 2sin3 x ;. 9.15.. 1 sin x  cos4 x ; tg2 x  cot g 2 x 2sin3 x ;. 9.17. 9.18.. 2. 8.91. 8.92.. 8.90.. cos3 x  cos2 x  2sin x  2 0 ; 2sin x  cot gx 2sin2 x  1 ;. 9.16.. 8.87. 8.88.  1  cos x   cos2x  cos x   2sin2 x.     sin  3x   sin2 x sin  x   4 4 ;   1 sin4 x  cos4 x   3  cos6 x  2 ; cos9 x  2cos6 x 2 ;. 9.11. 9.12.. 5 2  sin10 x  cos10 x   cos2 x 4 ;. sin x  1  cos x  1  cos x  cos2 x 8.84. ; sin x sin2 x sin5 x  1 8.85. ; Sử dụng bất đẳng thức; cos3x  cos2 x  cos x  1 0 ; 8.86.. 8.89. ;. 1 sin x sin2 x sin3 x  sin4 x 4 ; 1 sin2 x  sin2 3x sin x sin2 3x 4 ;. 9.23.. 3tg2 x  4tg3x tg2 3xtg2 x ;. 9.24.. tg2 x  6tgx 8cos2 x ;. 9.21.. 9.25. 9.26.. cos3x . tg2 x  1  sin3 x   cos 3 x  1 0. cos 5 x  sin7 x . Nên thợ nên thầy vì có học, no ăn no mặc bởi hay làm!. 4. 4. 9.22.. 9.20.. 8.98. 8.99. 9. BÀI TẬP 2 9.1. sin x  2 sin5 x  cos x ;. sin3 x  cos3 x . 3 2 sin2 x  2cos x 0 4 ; 3 cos x  cos y  cos  x  y   2; x 2tg 2 y 2  4 y  5 x 1  tg2 2 ; 1  cos x tg2 x  1  sin x ;. 9.19..  3    sin  3x   2sin  x   4 4 ;   3x 4x 2cos2  1 3cos 5 5 ; cos5x sin4 x cos3x sin2 x ; sin x  sin2 x  sin3x cos x  cos2 x  cos3x ; sin3x  sin5 x  sin7 x 0 ; tgx  tg2 x tg3x ;. - Nguyễn Trãi -Page. 0975907725. ;. 1  cos3 x  sin5 x  sin2x 2 cos x  sin x ;.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CO BẢN + NÂNG CAO 3. 9.29.. 1  cos3x 1  cos x  1  cos2 x 1  sin3 x ; 3x cos x cos2 4 ; sin2 x  2cos x 0 1  sin x ;. 9.30.. sin3x  2sin3x  cos x . 9.27. 9.28.. cos3x  1  sin x  2cos3 x . 9.49. 9.50. 9.51. 9.52. ;. 1 2  sin3 x  cos2 x  cos2 x 1  sin3 x ;. 9.36.. 9.37. 9.38. 9.39.. 1  cos x tg2 x  1  sin x. 9.56. 9.57. 9.58. 9.59.. ;. 9.62. 9.63.. 25  4 x 2  3sin2 x  8sin x  0. ;. 9.42. 9.43. 9.44. 9.45.. 3 sin3 x  sin2 2 x  sin2 3 x  2; 2sin3 x  cos2 x sin x ; sin3x  cos2 x 1  2sin x cos x ; cos x cos4 x  cos2 x cos3x 0 ;. 9.46.. sin x  sin2 x  sin3 x  sin4 x. ;. 9.48.. sin3 x  cos3 x 2  sin5 x  cos 5 x  2. . . 2tg2 x  2 cos2 x  1  2 2 sin x. 9.64. 9.65. 9.66..   sin  x   sin3 x  cos3 x 4  ; tgx  sin x 1  tgx.sin x ;. 9.67.. 2sin3 x cos x ;. 6tg2 x  2cos2 x cos2 x ; 9.68. 9.69. sin2 x  sin2 y sin x.sin y  sin x  sin y  1 ; 9tg2 x  16cos2 x 24cos2 y ; 9.70.. cos x  cos2 x  cos3 x  cos4 x ; 2. 2sin3 x  cos2 x  cos x 0 ; 1  sin x  cos x  sin2 x  cos2 x 0 ; sin3 x sin5 x  3 5 ; 17 cos x  2cos2 x   cos3 x 6 ; 11 3sin2 x  cos x   cos3 x 6 ;.  1  3  1  tgx 1  3  0  1   1  tgx 1  3 1  3   3 2 2sin xx cos 2 x sin x ;. 1  sin2 x  1  sin2 x. ;. 9.41.. 9.47.. ;. 9.60. 9.61. 2cos x  2 sin10 x 3 2  2cos28 x.sin x ;. 2  cos x  sin x  1  tgx  cot g2 x 6tgx  1 ; sin4 x  cos4 x 1  4  sin x  cos x . 9.40.. sin6 x  cos6 x 2  sin8 x  cos8 x . 9.54. 9.55. 2sin3 x  sin x 2cos3 x  cos x  cos2 x ;.  x 2   3x   2sin     2sin    5 3   5 6 ; cot gx  tgx cos x  sin x ; 1  sin x cot g 2 x  1  cos x ; 1  sin x cot g 2 x  cos x  1. 1 cos x ;. 3sin x  2cos x 3 1  tgx  .   tg 3  x   tgx  1 4  ;. x 3x x 3x 1 cos x cos cos  sin x sin sin  2 2 2 2 2; x   x   2 cos     6 sin     5 12   5 12  9.34.. 9.35.. 1  cos2 x 1  cot g2x  sin2 2 x ;.   sin4 x  cos4 x 1  4 2 sin  x   4;  sin2 x  sin2 3 x cos 2 2 x  cos 2 4 x ; 9.53.. 9.31. sin x  sin2 x  sin3x  sin4 x  sin5x  sin6 x 0 9.32. 9.33.. 0975907725. 9.71. ;. 9.72.. 2. sin x cos 2 x  cos 3x ;. Nên thợ nên thầy vì có học, no ăn no mặc bởi hay làm! - Nguyễn Trãi -Page. 5. sin3 x  cos7 x 1 ; sin3 x  cos7 x . 1 sin x  cos 6 x ; 6. ;.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CO BẢN + NÂNG CAO. 9.73.. 4. 4. 2. 2. tg x  tg y  2cot g x.cot g y 3  sin2  x  y . ; tg x  2tgx  sin y  cos y   2 0 2. 9.74. 9.75.. ;. 2x 1 1  x2 ; 2 2 ,cos x  cos x.cos y  cos y 0 ;. tg2  x  y   cot g2  x  y   9.76. 9.77. ; 9.78. 9.79. 9.80. 9.81.. 2 2  sin x  cos x  cos y 3  cos2y 1 sin2 x  sin2 3 x sin x.sin3 x 4 ; sin2 4 x  cos2 x 2sin4 x.cos 4 x ; 1 cos2 3 x  cos2 x cos3 x.cos 4 x 4 ;. 1 cos2 2 x  sin2 4 x  1 sin4 x.cos2 x  sin2 x 4 1  tg2 x y 2  6  10 2 1  tg x 9.82. ; 1 1  tg2 x 2y  y  . 2 tgx ; 2. 9.83.. Nên thợ nên thầy vì có học, no ăn no mặc bởi hay làm! - Nguyễn Trãi -Page. 6. 0975907725.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>