(Sáng kiến kinh nghiệm) ứng dụng hệ thức vi ét để giải các bài toán bậc hai
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (875.42 KB, 31 trang )
Trường ĐHSP Hà Nơi
Khoa Tốn - Tin
MỤC LỤC
Trang
PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài .............................................................................................2
2. Mục đích nghiên cứu .......................................................................................2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .......................................................................................3
4. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu ....................................................................3
5. Phương pháp nghiên cứu .................................................................................3
PHẦN II: NỘI DUNG
Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn có liên quan đến đề tài
1. Cơ sở lý luận và thực tiễn ................................................................................5
2. Thực trạng .......................................................................................................5
Chương II: Giải pháp sư phạm cần thực hiện để giúp học sinh ứng dụng hệ thức
Vi-Ét để giải phương trình bậc hai .....................................................6
I.
Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn ...................................7
II.
Lập phương trình bậc hai ......................................................................8
III. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng ............................................... 10
IV. Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình ......................... 11
V.
Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao
cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số ..................... 14
VI. Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức
chứa nghiệm ................................................................................ 15
VII. Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai .......................... 18
VIII. Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm ................... 19
Chương III: Thực nghiệm sư phạm
1. Mục đích thực nghiệm ........................................................................ 20
2. Nội dung thực nghiệm:
Tiết dạy thực nghiệm 1 ..................................................................... 21
Tiết dạy thực nghiệm 2 ..................................................................... 26
3. Kết quả thực nghiệm........................................................................... 30
PHẦN III: KẾT LUẬN ........................................................................................... 30
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm
1
Lê Thị Hằng Nga
Trường ĐHSP Hà Nơi
Khoa Tốn - Tin
PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Trong giai đoạn hiện nay, khi mà khoa học, kinh tế, công nghệ thông tin trên
thế giới đang phát triển mạnh mẽ, nhất là các nước Tư Bản Chủ Nghĩa, nước ta vẫn
đang chú trọng tìm kiếm nhân tài thì thế hệ trẻ, các em học sinh càng phải nổ lực
nhiều trong trong việc tìm kiếm kiến thức, học thật giỏi để bổ sung nhân tài cho đất
nước.
Mơn Tốn ở THCS có một vai trị rất quan trọng, một mặt nó phát triển hệ
thống hóa kiến thức, kỹ năng và thái độ mà học sinh đã lĩnh hội và hình thành ở bậc
tiểu học, mặt khác nó góp phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng và thái độ cần
thiết để tiếp tục lên THPT, TH chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào các lĩnh vực
lao động sản xuất đòi hỏi những hiểu biết nhất định về Tốn học.
Chương trình Tốn THCS khẳng định q trình dạy học là quá trình giáo viên
tổ chức cho học sinh hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức và kỹ năng. Mặt khác muốn
nâng cao chất lượng cho học sinh, giáo viên cần phải hình thành cho học sinh
những kiến thức cơ bản, tìm tịi đủ cách giải bài tốn để phát huy tính tích cực của
học sinh, mở rộng tầm suy nghĩ.
Trong vài năm trở lại đây, các trường Đại học, các trường PTTH chuyên của
Tỉnh... đang ra sức thi tuyển, chọn lọc học sinh và trong các đề thi vào lớp 10
THPT, trong các đề thi tuyển học sinh giỏi lớp 9 các cấp xuất hiện các bài tốn bậc
hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét khá phổ biến. Trong khi đó nội dung và thời lượng
về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa đa dang.
Thế nhưng đa số học sinh khi gặp bài toán bậc hai, các em lại lúng túng khơng
giải được do trong chương trình học chỉ có 2 tiết, về nhà các em không biết cách
đọc thêm sách tham khảo nên không ứng dụng hệ thức Vi_ét để giải.
Vì thế tơi đã suy nghĩ làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập cho các em
học sinh, giúp các em biết vận dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài tốn bậc hai. Góp
phần giúp các em tự tin hơn trong các kỳ thi tuyển. Đó là lý do tôi chọn đề tài này:
“Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài tốn bậc hai”.
2. Mục đích nghiên cứu:
Để nhằm mục đích bổ sung nâng cao kiến thức giải các bài tốn bậc hai có ứng
dụng hệ thức Vi-ét cho các em học sinh THCS. Từ đó các em có thể làm tốt các bài
tốn bậc hai trong các kỳ thi tuyển.
Kích thích, giúp các em biết cách tìm kiến thức nhiều hơn nữa, khơng chỉ bài
tốn bậc hai mà cả các dạng toán khác.
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm
2
Lê Thị Hằng Nga
Trường ĐHSP Hà Nơi
Khoa Tốn - Tin
3. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Bài tập toán học rất đa dạng và phong phú. Việc giải bài toán là một yêu cầu
rất quan trọng đối với học sinh. Nhiệm vụ của giáo viên phải làm cho học sinh nhận
dạng, hiểu được bài toán, từ đó nghiên cứu tìm ra cách giải.
Để nghiên cứu đề tài này, tôi đã đề ra các nhiệm vụ sau:
Nghiên cứu các bài tốn bậc hai có liên quan đến hệ thức Vi-ét , tìm
phương pháp truyền đạt, hướng dẫn học sinh tiếp thu kiến thức để các
em biết cách tìm kiếm nâng cao kiến thức cho mình.
Đề xuất thêm thời gian hợp lý để tổ chức hướng dẫn học sinh biết ứng
dụng hê thức Vi-ét vào các bài toán bậc hai sao cho hợp lý.
Điều tra 20 học sinh xem có bao nhiêu học sinh thích được học nâng
cao, mở rộng kiến thức về các bài toán bậc hai và có bao nhiêu học sinh
có thể tiếp thu, nâng cao kiến thức.
4. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:
-
Nghiên cứu 20 học sinh giỏi khá đang học lớp 9 ở trường THCS Trịnh
Hoài Đức – Huyện Trảng Bom - Đồng Nai.
Nghiên cứu các ứng dụng của hệ thức Vi-ét, trong mơn đại số lớp 9,
tìm hiểu các bài tốn bậc hai có ứng dụng hê thức Vi-ét.
5. Phương pháp nghiên cứu:
Căn cứ vào mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu, tôi sử dụng các phương pháp
nghiên cứu sau:
Phương pháp nghiên cứu tài liệu:
Tôi đọc và chọn ra các bài tốn bậc 2 có ứng dụng hê thức Vi-ét, sắp
xếp thành 8 nhóm ứng dụng sau:
Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn .
Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai .
Ứng dụng 3: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
Ứng dụng 4: Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình.
Ứng dụng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình
sao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số.
Ứng dụng 6: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu
thức chứa nghiệm.
Ứng dụng 7: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.
Ứng dụng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
nghiệm.
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm
3
Lê Thị Hằng Nga
Trường ĐHSP Hà Nơi
Khoa Tốn - Tin
Phương pháp phỏng vấn, điều tra:
Tôi hỏi điều tra 20 học sinh khá, giỏi sau 2 tiết dạy thực nghiệm với
các câu hỏi sau:
-
Câu 1: Em có muốn nâng cao kiến thức khơng ?
Câu 2: Em thích các bài tốn bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét
khơng?
Câu 3: Em có thích đọc nhiều sách tham khảo nội dung tốn khơng ?
Câu 4: Em hãy đọc lại định lý Vi-ét. Hãy nhẩm nghiệm của các
phương trình sau:
a/ 4321x2 + 21x – 4300 = 0
b/ x2 + 7x + 12 = 0
Câu 5: Cho phương trình: x2 – 3x + m = 0, với m là tham số, có hai
nghiệm x1 , x2 (x1 > x2). Tính giá trị biểu thức P x x x x
theo m.
3
1
-
3
2
1
2
Phương pháp thực nghiệm sư phạm:
Sau khi sắp xếp thành 8 nhóm ứng dụng hệ thức Vi-ét, tơi đã thực hiện
lên lớp hướng dẫn học sinh các ứng dụng trên. Có kèm theo 2 giáo án đã
dạy ở sau.
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm
4
Lê Thị Hằng Nga
Trường ĐHSP Hà Nơi
Khoa Tốn - Tin
PHẦN II: NỘI DUNG
Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn có liên quan đến đề tài
1. Cơ sở lý luận và thực tiễn:
Mục tiêu của giáo dục THCS_theo điều 23 Luật giáo dục_là “Nhằm giúp học
sinh củng cố và phát triển những kết quả của giáo dục tiểu học, có trình độ học vấn
THCS và những hiểu biết ban đầu về kỹ thuật và hướng nghiệp, học nghề hoặc đi
vào cuộc sống lao động”.
Để khắc phục mục tiêu trên, nội dung chương trình THCS mới được thiết kế
theo hướng giảm chương tính lý thuyết hàm luân, tăng tính thực tiễn, thực hành bảo
đảm vừa sức, khả thi, giảm số tiết học trên lớp, tăng thời gian tự học và hoạt động
ngoại khóa.
Trong chương trình lớp 9, học sinh được học 2 tiết:
1 tiết lý thuyết : học sinh được học định lý Vi-ét và ứng dụng hệ thức
Vi-ét để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, lập phương
trình bậc hai và tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
1 tiết luyện tập: học sinh được làm các bài tập củng cố tiết lý thuyết vừa
học.
Theo chương trình trên, học sinh được học Định lý Vi-ét nhưng khơng có
nhiều tiết học đi sâu khai thác các ứng dụng của hệ thức Vi-ét nên các em nắm và
vận dụng hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt. Là giáo viên ta cần phải bồi dưỡng và
hướng dẫn học sinh tự học thêm kiến thức phần này.
2. Thực trạng :
a. Thuận lợi:
Tôi đã được trực tiếp đứng lớp giảng dạy mơn Tốn khối 9 được 3 năm,
bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 và ôn tập, nâng cao kiến thức cho học
sinh thi tuyển vào lớp 10 nên tôi thấy được sự cần thiết phải thực hiện
đề tài: “Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài tốn bậc hai”.
Tơi được các đồng nghiệp góp ý kiến trong giảng dạy.
Đa số học sinh khá, giỏi đều mong muốn được nâng cao kiến thức.
b. Khó khăn:
Thời lượng phân bố tiết cho phần này còn hạn chế, cụ thể ở chương
trình lớp 9 chỉ có 2 tiết ( 1 tiết lý thuyết, 1 tiết luyện tập). Do vậy chưa
khai thác hết các ứng dụng của hệ thức Vi-ét.
Hầu hết số học sinh của trường là học sinh vùng q, bố mẹ làm nơng
nghiệp. Do đó các em ít được chú trọng nâng cao kiến thức.
Từ những thuận lợi và khó khăn trên, với đề tài này tơi mong giáo viên sẽ giúp
các em có thêm kiến thức để tự tin hơn trong các kỳ thi tuyển.
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm
5
Lê Thị Hằng Nga
Trường ĐHSP Hà Nơi
Khoa Tốn - Tin
c. Thực trạng của giáo viên và học sinh xã An Viễn- Trảng BomĐồng Nai:
Hiện nay, việc dạy và học của giáo viên và học sinh trong thực tiễn ở An viễn
cịn có một số mặt đã đạt được và chưa đạt sau:
Những mặt đã đạt được:
Giáo viên truyền đạt nhiệt tình đủ kiến thức trong chương trình. Học
sinh nắm được kiến thức cơ bản và đã hoàn thành THCS ( đạt 98%).
Giáo viên dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 hằng năm đã có học sinh
đạt giỏi huyện mơn Tốn.
Nhà trướng có tổ chức dạy phụ đạo cho học sinh yếu, kém. Nhờ vậy học
sinh đã có nhiều tiến bộ.
Những mặt chưa đạt:
Trường chưa tổ chức bồi dưỡng, nâng cao kiến thức cho học sinh các
khối 6 ; 7 ; 8.
Số học sinh tự học tập thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,… để nâng
cao kiến thức chưa nhiều nên số lượng học sinh giỏi Tốn cịn rất hạn
chế.
Chương II: Giải pháp sư phạm cần thực hiện để giúp học
sinh ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình bậc hai:
-
Trước hết, Giáo viên dạy tiết lý thuyết ở trong chương trình cho học
sinh nắm được định lý Vi-ét:
Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
có 2 nghiệm : x
b
1
b
; x2
2a
2a
Suy ra :
x1
b
x2
b
2a
2b
2a
b
b
x1 x 2
2
4a
2a
b
a
2
4a
b
b
2
2
b
2
4a
4ac
2
4ac
4a
2
c
a
Đặt S và P lần lượt là tổng và tích hai nghiệm của phương trình.
Vậy:
S
P
-
x1
x1 . x 2
b
x2
a
c
a
Giáo viên soạn ra các dạng bài toán bậc hai cần ứng dụng hệ thức Vi-ét
để giải. Trong đề tài này tơi trình bày 8 nhóm ứng dụng sau:
Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn .
Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai .
Ứng dụng 3: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm
6
Lê Thị Hằng Nga
Trường ĐHSP Hà Nơi
Khoa Tốn - Tin
Ứng dụng 4: Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình.
Ứng dụng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình
sao cho hai nghiệm này khơng phụ thuộc vào tham số.
Ứng dụng 6: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu
thức chứa nghiệm.
Ứng dụng 7: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.
Ứng dụng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
nghiệm.
Cụ thể như sau:
I. Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn:
1. Dạng đặc biệt:
Xét phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (*)
a/ Nếu cho x = 1 thay vào (*) , ta có : a.12 + b.1 + c = 0 hay a + b + c = 0
Như vậy: phương trình có một nghiệm x1 = 1 và nghiệm kia là x2 =
c
a
2
b/ Nếu cho x = -1 thay vào (*) , ta có : a.(-1) +b.(-1)+c = 0 hay a - b + c = 0
Như vậy: phương trình có một nghiệm x1 = -1 và nghiệm kia là x2 =
c
a
Ví dụ:
Dùng hệ thức Vi_ét để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a/ 2x2 + 5x + 3 = 0 (1)
b/ 3x2 + 8x - 11 = 0 (2)
Giải:
Ta thấy:
Phương trình (1) có dạng a - b + c = 0, nên có một nghiệm x1 = -1 và
nghiệm kia là x2 =
3
2
Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0, nên có một nghiệm x1 = 1 và
nghiệm kia là x2 =
11
3
Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau:
a/ 35x2 - 37x + 2 = 0
b/ 7x2 + 500x - 507 = 0
c/ x2 - 49x - 50 = 0
d/ 4321x2 + 21x - 4300 = 0
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm
7
Lê Thị Hằng Nga
Trường ĐHSP Hà Nơi
Khoa Tốn - Tin
2. Cho phương trình, có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm
cịn lại và chỉ ra hệ số của phương trình:
Ví dụ:
a/ Phương trình x2 – 2px + 5 = 0 có một nghiệm x1 = 2, tìm p và nghiệm kia.
b/ Phương trình x2 + 5x + q = 0 có một nghiệm x1 = 5, tìm q và nghiệm kia.
c/ Phương trình x2 – 7x + q = 0 có hiệu hai nghiệm bằng 11. Tìm q và hai
nghiệm của phương trình.
d/ Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x2 –qx +50 = 0, biết phương trình
có hai nghiệm và một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia.
Giải:
a/ Ta thay x1 = 2 vào phương trình x2 – 2px + 5 = 0 , ta được:
4 – 4p + 5 = 0
1
p
4
Theo hệ thức Vi-ét : x1. x2 = 5 suy ra: x2 =
5
5
x1
2
2
b/ Ta thay x1 = 5 vào phương trình x + 5x + q = 0 , ta được:
25+ 25 + q = 0 q 5 0
Theo hệ thức Vi-ét: x1. x2 = -50 suy ra: x2 =
50
50
x1
5
10
c/ Vì vai trị của x1 , x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử: x1 - x2 =11 và theo
hệ thức Vi-ét: x1+ x2 = 7 ta có hệ phương trình sau:
x1
x2
11
x1
x1
x2
7
x2
9
2
Suy ra: q = x1. x2 = 9.(-2)= -18
d/ Vì vai trị của x1 , x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử: x1 = 2x2 và theo hệ
thức Vi-ét: x1. x2 = 50 ta có hệ phương trình sau:
x1
x1 . x 2
2 x2
50
Với
Với
Ví dụ:
2 x2
x2
x2
2
5
50
x2
thì x
5 thì x
2
10
1
1
5
x2
2
5
x2
5
Suy ra: S = q = x1 + x2 = 5 + 10 = 15
1 0 Suy ra: S = q = x1 + x2 = (- 5) + (-10) = -15
II. Lập phương trình bậc hai :
1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1, x2
Cho x1= 3; x2= 2 . Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
Giải:
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
S
x1
P
x1 . x 2
x2
5
6
Vậy x1; x2 là nghiệm của phương trình có dạng:
x2 – Sx + P = 0
x2 – 5x + 6 = 0
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm
8
Lê Thị Hằng Nga
Trường ĐHSP Hà Nơi
Khoa Tốn - Tin
Bài tập áp dụng: Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm:
a/ x1= 8 và x2= - 3
b/ x1= 3a và x2= a
c/ x1= 36 và x2= - 104
d/ x1= 1+ 2 và x2= 1 - 2
2/ Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa
hai nghiệm của một phương trìnhcho trước
Ví dụ:
Cho phương trình x2 – 3x + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 . Khơng giải
phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:
1
y1
x2
và
y2
x1
1
x1
x2
Giải:
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
S
P
y1
y1 . y 2
y2
1
x2
x1
1
x2
x1
1
x1
x1
x2
. x1
1
x2
x1 . x 2
x2
1
1
1
x1
x2
x1
1
1
2
x1
x2
1
x2
3
x1 x 2
1
x1 x 2
1
9
2
2
2
9
3
2
Vậy phương trình cần lập có dạng:
y
2
Sy
P
0
hay
y
9
2
9
y
2
0
2y
2
9y
9
0
2
Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình 3x2 + 5x - 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 . Khơng
giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:
1
y1
(Đáp số:
y
x1
x2
5
2
và
1
y
6
y2
0
1
x2
x1
6y
2
5y
3
0
)
2
2/ Cho phương trình: x2 - 5x - 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 . Khơng giải
phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:
y
x
và y x
(Đáp số: y 7 2 7 y 1 0 )
4
1
4
1
2
2
2
3/ Cho biết phương trình x2 - px + q = 0 có hai nghiệm dương x1; x2 mà x1 < x2 .
Hãy lập phương trình bậc hai mà các nghiệm là : x x 1 và x 1 x
(Đề thi tuyển sinh vào 10 chuyên Lương Thế Vinh_Đồng
Nai, năm học: 200-2009)
1
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm
9
2
2
1
Lê Thị Hằng Nga
Trường ĐHSP Hà Nơi
Khoa Tốn - Tin
4/ Cho phương trình: x2 - 2x – m2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 . Hãy lập
phương trình bậc hai có hai nghiệm y1; y2 sao cho:
a/ y x 3 và y x 3
b/ y 2 x 1 và y 2 x 1
(Đáp số: a/ y 4 y 3 m 0 ; b/ y 2 y ( 4 m 3 ) 0 )
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
III. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm
của phương trình : x2 – Sx + P = 0 (đk: S2 - 4P ≥ 0)
Ví dụ:
Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4.
Giải:
Vì: S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4
Nên a, b là hai nghiệm của phương trình: x2 + 3x – 4 = 0
giải phương trình trên ta được x1= 1 và x2= - 4
Vậy nếu a = 1 thì b = - 4
nếu a = - 4 thì b = 1
Bài tập áp dụng:
Tìm hai số a, b biết tổng S và tích P:
a/ S = 3 và P = 2
b/ S = -3 và P = 6
c/ S = 9 và P = 20
d/ S = 2x và P = x2 – y2
Bài tập nâng cao:
Tìm hai số a, b biết:
a/ a + b = 9 và a2 + b2 = 41
b/ a - b = 5 và a.b = 36
c/ a2 + b2 =61 và a.b = 30
Hướng dẫn:
a/ Theo đề bài ta dã biết tổng của hai số a và b, vậy để áp dụng hệ thức
Vi-ét thì cần tìm tích của hai số a và b.
Từ
2
a
b
9
a
b
81
a
2
2ab
b
2
81
81
a
2
b
2
ab
20
2
Suy ra: a, b là nghiệm của phương trình có dạng:
x
2
9x
20
0
x1
4
x2
5
Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5
Nếu a = 5 thì b = 4
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm
10
Lê Thị Hằng Nga
Trường ĐHSP Hà Nơi
Khoa Tốn - Tin
b/ Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng: a + b
Cách 1: Đặt c = -b ta có: a + c = 5 và a.c = -36
Suy ra: a, c là nghiệm của phương trình có dạng:
x
2
5x
36
x1
0
4
x2
Do đó: Nếu a = - 4 thì c = 9 nên b = -9
Nếu a = 9 thì c = - 4 nên b = 4
a b
4ab
a b
a
Cách 2: Từ a b
2
2
2
2
a
b
13
9
2
b
2
4ab
a
b
a
b
169
13
13
- Với a + b = -13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :
x
2
13x
36
0
x1
4
x2
9
Vậy a = - 4 thì b = - 9
- Với a + b = 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :
x
2
13x
36
0
x1
4
x2
9
Vậy a = 4 thì b = 9
c/ Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b:
Từ
a
2
b
2
2
61
a
b
a
2
b
2
2ab
61
2 .3 0
121
11
2
a
b
a
b
11
11
- Nếu a + b = -11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình :
x
2
11x
30
0
x1
5
x2
6
Vậy a = - 5 thì b = - 6 hay a = - 6 thì b = - 5
- Với a + b = 11 và ab = 30, nên a, b là hai nghiệm của phương trình :
x
2
11x
30
0
x1
5
x2
6
Vậy a = 5 thì b = 6 hay a = 6 thì b = 5
IV. Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình:
Điều quan trọng nhất đối với các bài tốn dạng này là phải biết biến
đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng hai nghiệm S và tích
hai nghiệm P để áp dụng hệ thức Vi-ét rồi tính giá trị của biểu thức.
1/ Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện: x1 + x2 và x1. x2
Ví dụ 1:
a/ x x
x
2x x
x
2x x
x
x
2x x
2
1
b/
x1
2
2
3
x2
2
3
x1
2
2
1
1
x2
2
x1
2
2
x1 x 2
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm
1
x2
2
2
1
2
x1
x2
1
2
2
11
x1
x2
3 x1 x 2
Lê Thị Hằng Nga
Trường ĐHSP Hà Nơi
Khoa Tốn - Tin
c/
x1
d/
1
1
x1
x2
Ví dụ 2:
4
4
x2
x1
x1
x1
x2
2
2
x1
2
x2
2
2
2
2 x1 x 2
2
2
x1
x2
2
2 x1 x 2
2 x1 x 2
2
x2
x1 x 2
x2
Ta biến đổi
2
2
?
2
x1
x2
x1
2
2 x1 x 2
x2
2
x1
2
2 x1 x 2
x2
2
2
4 x1 x 2
x1
x2
4 x1 x 2
2
x1
x2
x1
x2
4 x1 x 2
Bài tập áp dụng:
Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau:
a/ x x
?
( HD x x
x
x
x
x
... )
?
b/ x x
2
2
1
2
2
2
1
3
x1
4
4
x2
x1
1
x1
x2
x1
2
6
6
x2
1
x1
6
x2
7
6
x2
1
5
x2
1
3
2
x1 x 2
x2
2
2
x1
x2
x1
x2
x1 x 2
...
)
4
x2
4
x1
2
x2
2
x1
2
x2
2
...
)
6
x1
x2
6
x1
3
2
x2
2
3
x1
2
x2
2
x1
4
2
x1 x 2
2
x2
4
...
)
?
7
?
5
?
1
h/
x2
?
( HD
1
3
?
( HD
e/ x
f/ x
g/ x
2
2
(HD
d/ x
1
3
1
c/
2
1
?
x1
1
x2
1
2/ Khơng giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm
Ví dụ :
Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, Khơng giải phương trình, hãy tính:
a/ x x
2
1
b/
2
2
1
1
x1
x2
Giải:
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:
a/
x1
b/
1
1
x1
x2
2
x2
2
x1
x1
2
2 x1 x 2
x2
x1 x 2
x2
2
S
x1
P
x1 . x 2
x2
8
15
2
2 x1 x 2
x1
x2
2 x1 x 2
8
2
2 .1 5
34
8
18
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm
12
Lê Thị Hằng Nga
Trường ĐHSP Hà Nơi
Khoa Tốn - Tin
Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, Khơng giải phương trình, hãy tính:
a/ x x
(Đáp án: 46)
2
b/
2
2
1
2
x1
x2
x2
x1
34
(Đáp án:
)
15
2/ Cho phương trình: 8x2 - 72x + 64 = 0, Khơng giải phương trình, hãy tính:
a/ x x
(Đáp án: 65)
2
2
1
b/
2
1
1
x1
x2
9
(Đáp án:
)
8
3/ Cho phương trình: x2 - 14x + 29 = 0, Khơng giải phương trình, hãy tính:
a/ x x
(Đáp án: 138)
2
2
1
b/
2
1
1
x1
x2
14
(Đáp án:
)
29
4/ Cho phương trình: 2x2 - 3x + 1 = 0, Khơng giải phương trình, hãy tính:
a/ x x
(Đáp án: 1)
2
2
1
2
x1
b/
x2
c/
d/
x2
1
1
1
x1
x2
1
x1
x1
5
(Đáp án:
x1
)
6
1
(Đáp án: 3)
1
x2
(Đáp án: 1)
x2
5/ Cho phương trình: x2 - 4
phương trình, hãy tính:
3
Q
x + 8 = 0 có 2 nghiệm x1, x2 . Khơng giải
6 x1
2
1 0 x1 x 2
5 x1 x 2
3
6 x2
2
3
5 x1 x 2
2
(HD:
Q
6 x1
2
1 0 x1 x 2
5 x1 x 2
3
6 x2
2
2
6
x1
x2
2 x1 x 2
3
5 x1 x 2
6. 4
3
2
5 x1 x 2
x1
2 .8
2
x2
2 x1 x 2
5 .8
4
3
2 .8
17
)
80
6/ Cho phương trình: x2 - 3x + m = 0, với m là tham số, có 2 nghiệm x 1, x2
(x1> x2 ). Tính giá trị biểu thức : A x x x x theo m.
(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên của tỉnh Đồng Nai năm 2008)
3
1
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm
3
2
13
1
2
Lê Thị Hằng Nga
Trường ĐHSP Hà Nơi
Khoa Tốn - Tin
V. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai
nghiệm này không phụ thuộc vào tham số :
Để làm các bài toán dạng này, ta làm lần lượt theo các bước sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và
x2 (thường là a ≠ 0 và ≥ 0).
- Áp dụng hệ thức Vi-ét viết S = x1 + x2 và P = x1. x2 theo tham số.
- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x 1 và x2 . Từ đó đưa
ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2 .
Ví dụ 1 :
Cho phương trình: (m - 1)x2 – 2mx + m - 4 = 0 có 2 nghiệm x1 và x2. Lập hệ
thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho chúng khơng phụ
thuộc vào m.
Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:
m
1
'
m
0
0
m
1
2
m
m
1
m
4
5m
0
m
1
4
0
1
4
m
5
S
x1
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:
P
2m
x2
x1 . x 2
S
m
1
m
4
m
1
m
1
P
2
Rút m từ (1), ta có:
x1
x2
x1 . x 2
2
2
m
3
1
m
(1 )
1
(2)
1
2
m
x1
1
x2
2
(3)
x1
3
Rút m từ (2), ta có:
2
3
1
m
x2
x1 x 2
1
m
1
(4)
1
x1 x 2
Từ (3) và (4), ta có:
2
3
2 1
x1
x2
2
1
x1 x 2
x1 x 2
3 x1
x2
2
3 x1
x2
2 x1 x 2
8
0
Ví dụ 2 :
Gọi x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình: (m - 1)x2 – 2mx + m - 4 = 0. chứng
minh rằng biểu thức A = 3(x1 + x2 ) + 2 x1 x2 - 8 không phụ thuộc giá trị của m.
Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:
m
1
'
0
0
m
m
1
2
m
m
1
m
4
5m
0
m
1
4
0
m
1
4
5
S
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:
P
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm
x1
x1 . x 2
2m
x2
m
1
m
4
m
1
14
Lê Thị Hằng Nga
Trường ĐHSP Hà Nơi
Khoa Tốn - Tin
Thay vào biểu thức A, ta có:
A = 3(x1 + x2 ) + 2 x1 x2 – 8 =
Vậy A = 0 với mọi
m
1
và
2m
3.
m
4
m
2.
1
m
4
m
1
6m
8
2m
8
m
8(m
1
1)
0
m
0
1
.
5
Do đó biểu thức A khơng phụ thuộc giá trị của m.
Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình: x2 – (m + 2)x + (2m - 1) =0 có 2 nghiệm x1 và x2. Hãy
lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho x1 và x2 độc
lập đối với m.
Hướng dẫn:
- Tính ta được: = (m - 2)2 + 4 > 0 do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm
phân biệt x1 và x2
- Vận dụng hệ thức Vi-ét, ta biến đổi được : 2 x x
x x
5
0 độc lập đối với
m.
1
2
1
2
2/ Cho phương trình: x2 + (4m + 1) x + 2(m - 4) =0 có 2 nghiệm x1 và x2. Hãy
tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho x1 và x2
khơng phụ thuộc giá trị của m.
Hướng dẫn:
- Tính ta được: = 16m2 + 33 > 0 do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm
phân biệt x1 và x2
- Vận dụng hệ thức Vi-ét ta biến đổi được : 2 x x
x
x
17
0 khơng phụ
thuộc giá trị của m.
1
2
1
2
VI. Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa
nghiệm:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và
x2 (thường là a ≠ 0 và ≥ 0).
- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Vi-ét để giải phương
trình (có ẩn là tham số).
- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần
tìm.
Ví dụ 1 :
Cho phương trình: mx2 – 6(m - 1) x + 9(m – 3) = 0. Tìm giá trị của tham số m
để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: x x x x
Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:
1
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm
2
15
1
2
Lê Thị Hằng Nga
Trường ĐHSP Hà Nơi
m
1
Khoa Tốn - Tin
m
0
0
m
0
2
'
0
'
3 m
21
9 m
3 m
'
0
9 m
m
S
x1
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:
P
Vì
x1
Nên
x2
6(m
x1 x 2
1)
6(m
x2
2m
1
9m
0
m
'
9 m
m
7
1
0
m
2
27
0
0
1
1)
m
9(m
x1 . x 2
2
3)
m
(giả thiết)
9(m
m
3)
6(m
1)
9(m
3)
3m
21
( thỏa mãn)
m
Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức:
x1
x2
x1 x 2
Ví dụ 2 :
Cho phương trình: x2 – (2m + 1) x + m2 + 2 = 0. Tìm giá trị của tham số m để
2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 3 x x 5 x x
7
0
1
2
1
2
Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:
2
'
'
2m
1
4 m
2
2
0
7
m
4
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:
Vì
3 x1 x 2
5 x1
S
x1
P
x1 . x 2
x2
7
x2
2m
m
2
1
2
(giả thiết)
0
m
Nên
3 m
2
2
5 2m
1
7
0
m
2 (T M )
4
(K TM )
3
Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức:
3 x1 x 2
5 x1
x2
7
0
Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình: mx2 +2 (m - 4)x + m + 7 =0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức:
2/ Cho phương trình: x2 + (m - 1)x + 5m - 6 =0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức:
3/ Cho phương trình: 3x2 - (3m - 2)x – (3m + 1) = 0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức:
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm
16
x1
2 x2
0
4 x1
3 x2
1
3 x1
5 x2
6
Lê Thị Hằng Nga
Trường ĐHSP Hà Nơi
Khoa Tốn - Tin
Hướng dẫn:
Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác so với bài tập ở VD1 và
VD2 ở chỗ:
+ Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm x x và tích
nghiệm x x nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức Vi-ét để tìm tham số m.
+ Cịn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy,
do đó vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu
thức có chứa tổng nghiệm x x và tích nghiệm x x rồi từ đó vận dụng tương tự
cách làm đã trình bày ở VD1 và VD2.
1
1
2
2
1
2
1
2
Bài 1:
ĐKXĐ:
m
0; m
16
15
m
S
x1
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:
x2
m
m
P
4 m
x1 . x 2
1
7
m
Theo đề bài ta có:
x1
Suy ra:
2 x2
0
x1
x2
3 x2
x1
2 x2
x1
x2
3 x2
2 x1
x2
6 x2
2 x1
x2
3 x1
2
2
2 x1
x2
x1
3 x1
x2
9 x1 x 2
2
Thế (1) vào (2) ta đưa về phương trình:
m2 + 127m - 128 = 0 m1 = 1 ; m2 = -128 .
Bài 2:
ĐKXĐ: 1 1
96
m
Theo hệ thức Vi-ét, Ta có:
Theo đề bài ta có:
11
96
S
x1
x2
P
x1 . x 2
x1
4 x1
3 x2
1
m
5m
6
1
1
3 x1
x2
1
x2
x1 x 2
4 x1
1
x2
1
3 x1
x2
. 4 x1
x2
1
2
x1 x 2
7
x1
x2
1 2 x1
x2
1 2
Thế (1) vào (2) ta đưa về phương trình: 12m(m – 1) = 0
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm
17
m
0
m
1
(TMĐK).
Lê Thị Hằng Nga
Trường ĐHSP Hà Nơi
Khoa Tốn - Tin
Bài 3:
3m
2
4 .3 3 m 1
9m
24m
Vì
phương trình ln có 2 nghiệm phân biệt.
2
2
2
16
3m
S
x1
Theo hệ thức Vi-ét, Ta có:
3
Theo đề bài ta có:
3 x1
5 x2
x1 . x 2
4
0
với mọi số thực m nên
2
x2
1
3m
P
3m
1
3
8 x1
5 x1
x2
6
8 x2
3 x1
x2
6
6
6 4 x1 x 2
5 x1
x2
6 4 x1 x 2
1 5 x1
x2
6 . 3 x1
x2
6
2
Thế (1) vào (2) ta đưa về phương trình:
1 2 x1
m 45m
m
x2
96
36
0
0
32
(TMĐK).
m
15
VII. Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:
Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) .Hãy tìm điều kiện để phương trình
có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm,…
Ta lập bảng xét dấu sau:
Dấu nghiệm x1 x2 S = x1 + x2
trái dấu
cùng dấu
cùng dương
+ +
S>0
cùng âm
- S<0
P = x1 x2
P<0
P>0
P>0
P>0
0
0
0
0
Điều kiện chung
0 ; P< 0
0;P>0
0;P>0;S>0
0;P>0;S<0
Ví dụ :
Xác định tham số m sao cho phương trình: x2 – (3m + 1) x + m2 – m – 6 = 0 có
2 nghiệm trái dấu.
Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm trái dấu thì:
2
3m
1
4 .2 . m
2
m
6
0
2
0
P
0
P
m
2
m
6
m
7
m
3
0
m
2
P
0
m
2
m
3
0
2
Vậy với
2
m
3
thì phương trình trên có hai nghiệm trái dấu.
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm
18
Lê Thị Hằng Nga
Trường ĐHSP Hà Nơi
Khoa Tốn - Tin
Bài tập áp dụng:
1/ Xác định tham số m sao cho phương trình: mx2 – 2(m + 2) x + 3(m - 2) = 0
có 2 nghiệm cùng dấu.
2/ Xác định tham số m sao cho phương trình: 3mx2 + 2(2m + 1) x + m = 0 có 2
nghiệm âm.
3/ Xác định tham số m sao cho phương trình: (m - 1)x2 +2x + m = 0 có ít nhất
một nghiệm khơng âm.
VIII. Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm :
Ví dụ 1 : Cho phương trình: x2 + (2m - 1) x - m = 0. Gọi x1 và x2 là các nghiệm của
phương trình. Tìm m để: A = x x 6 x x có giá trị nhỏ nhất.
Giải:
2
2
1
Theo hệ thức VI_ÉT,Ta có:
Theo đề bài ta có:
A = x x 6x x
x1
x2
Suy ra:
2m
3
2
2
1
m in A
1
S
x1
P
x1 . x 2
2
x2
2m
2
8
1
m
2
2
1
2
2
8 x1 x 2
0
2m
1
8m
4m
2
2
12m
1
2m
3
8
8
3
m
2
2
Ví dụ 2 : Cho phương trình: x - mx + m - 1 = 0. Gọi x1 và x2 là các nghiệm của
phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biều thức sau:
2 x1 x 2
B
x1
2
2
x2
2 x1 x 2
1
Giải:
Theo hệ thức Vi-ét , Ta có:
Theo đề bài ta có:
S
x1
x2
P
x1 . x 2
m
m
1
2 x1 x 2
B
x1
2
x2
2
2 m
2 x1 x 2
2 x1 x 2
2
1
x1
x2
m
2
1
2
3
2m
2
m
2
1
2
Cách 1: Biến đổi B bằng cách thêm, bớt như sau:
m
2
2
2
m
B
m
2m
2
1
m
1
2
2
m
1
2
2
2
Vì
m
2
m
1
1
0
0
2
m
B
1
2
Vậy maxB = 1 m = 1
Với cách thêm, bớt khác ta lại có:
1
B
m
2
2m
1
2
2
m
2
2
2
m
2
1
m
2
4m
1
4
2
m
2
2
2
m
2
2
m
2
2
2 m
2
2
1
2
2
2
Vì
m
2
m
2
0
2 m
2
2
0
2
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm
B
1
. Vậy
2
m in B
1
m
2
2
19
Lê Thị Hằng Nga
Trường ĐHSP Hà Nơi
Khoa Tốn - Tin
Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc hai với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm
điều kiện cho tham số B để phương trìnhdã sho ln có nghiệm với mọi m.
B
2m
2
m
1
Bm
2
2m
2B
1
0
(với ẩn là m và B là tham số)
(*)
2
Ta có:
1 B 2B 1
1 2B
B
Để phương trình trên (*) ln có nghiệm với mọi m thì ≥ 0
Hay 1 2 B B 0 2 B B 1 0
2B 1 B 1
0
2
2
2
2B
1
B
0
1
2B
B
2
0
1
B
0
1
m ax B
1
1
B
B
1
2
1
2
0
B
Vậy:
1
B
1
m
1
;
1
m in B
1
m
2
2
Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình: x2 +(4m + 1)x + 2(m – 4) =0 .
Tìm m để biểu thức A x x có giá trị nhỏ nhất.
2/ Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x – 3 – m = 0 . Tìm m sao nghiệm x1 và x2
thỏa mãn điều kiện x x 1 0 có giá trị nhỏ nhất.
3/ Cho phương trình: x2 - 2(m - 4)x + m2 – 8 = 0 . Xác định m sao 2 nghiệm x1
và x2 thỏa mãn điều kiện :
a/ A x x 3 x x đạt giá trị lớn nhất.
x x đạt giá trị nhỏ nhất.
b/ B x x
4/ Cho phương trình: x2 - (m – 1)x - m2 + m – 2 =0 . Với giá trị nào của m để
biểu thức C x x đạt giá trị nhỏ nhất.
5/ Cho phương trình: x2 +(m + 1)x + m =0 . Xác định m để biểu thức
D
x
x
đạt giá trị nhỏ nhất.
2
1
2
2
1
1
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
1
1
2
1
2
2
2
2
2
Chương III: Thực nghiệm sư phạm
1. Mục đích thực nghiệm:
- Giúp học sinh hiểu và nắm được định lý Vi_ét, biết ứng dụng hệ thức
Vi_ét để giải các dạng bài toán : nhẩm nghiệm của phương trình bậc
hai một ẩn ; tìm hai số biết tổng và tích của chúng ; tính giá trị của các
biểu thức nghiệm…
- Tìm hiểu ý thức tự học ở học sinh, giúp học sinh thấy được sự cần
thiết phải tham khảo thêm tài liệu, sách tham khảo,…
- Giúp học sinh tự tin hơn khi giải bài toán bậc hai, nhất là trong các kỳ
thi tuyển.
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm
20
Lê Thị Hằng Nga
Trường ĐHSP Hà Nơi
Khoa Tốn - Tin
2. Nội dung thực nghiệm:
Tiết dạy thực nghiệm 1:
§6. HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
I. MỤC TIÊU:
Giúp học sinh nắm vững hệ thức Vi-ét.
Vận dụng được những ứng dụng của hệ thức Vi-ét như:
- Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai trong các trường hợp a+b+c=0;
a – b + c = 0 hoặc trường hợp tổng và tích hai nghiệm là những số nguyên
với giá trị tuyệt đối không quá lớn.
- Tìm được hai số biết tổng và tích của chúng.
II. CHUẨN BỊ:
GV: Giáo án, SGK, Bài tập in ở phiếu học tập để phát cho học sinh.
HS: MTBT, Bài soạn, bảng nhón, bảng con.
III. TIẾN HÀNH:
A. Ổn định lớp , kiểm tra sĩ số HS:
B. Kiểm tra bài cũ:
HS1: Giải các phương trình sau:
a/ 2x2 -5x + 3 = 0
b/ 3x2 + 7x + 4 = 0
HS2: Tìm tổng S và tích P hai nghiệm của phương trình: 35x2 - 37x + 2 = 0
37
4 .3 5 .2
1089
0
Giải:
2
Suy ra: phương trình có hai nghiệm:
37
x1
1089
2 .3 5
37
1; x 2
1089
2 .3 5
2
35
Vậy:
S
P
x1
x1 . x 2
x2
1
1.
2
37
35
35
2
2
35
35
;
GV: gọi HS nhận xét bài làm của các bạn.
GV: Bài làm của bạn đúng rồi nhưng cịn có cách khác nhanh hơn, bạn nào
biết làm cách nhanh hơn khơng?
HS: lên làm (hoặc khơng có ai lên)
GV: Cả hai bài làm trên đều có thể nhẩm nghiệm x 1 ; x2 mà khơng cần tính .
Hơn nữa, ta cịn có thể tính tổng S và tích P hai nghiệm của phương trình mà
khơng cần tìm nghiệm của phương trình đó. Tất cả các em sẽ biết sau khi ta
học bài này.
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm
21
Lê Thị Hằng Nga
Trường ĐHSP Hà Nơi
Khoa Tốn - Tin
GV: Giới thiệu về nhà toán học Vi_ét, người đã phát hiện ra mối quan hệ giữa
các nghiệm và các hệ số của phương trình bậc hai, nay dược phát biểu thành 1
định lý mang tên ông. Hôm nay ta sẽ học định lý Vi-ét và vận dụng nó vào giải
bài tập.
C. Nội dung bài mới
Hoạt động GV:
Hoạt động học sinh
Nội dung:
Hoạt động1: Đi đến hệ thức Vi-ét: (12’)
Cho phương trình:
b
1. Hệ thức Vi-ét
x1
2
ax +bx +c = 0 (a 0)
2a
Cho phương trình:
2
Nêu công thức nghiệm
ax +bx +c = 0 (a 0)
b
x2
tổng quát khi > 0.
khi >0 ta có:
2a
?1: Yêu cầu học sinh hoạt -HS1:
b
b
x
x
2a
2a
động cá nhân theo phân
b
b
x
x
2b
2a
2a
công 2 học sinh làm bài
2a
2b
tại bảng.
b
1
1
2
2
2a
a
b
b
a
-HS2:
b
2a
b
2a
4a
2
b
4a
2
2
2
b
b
2
2
b
x1 . x 2
?Vậy nếu phương trình
bậc hai ax2 +bx +c = 0
(a 0)
có hai nghiệm
phân biệt, ta có điều gì?
Định lý Vi-ét
- Hệ thức trên thể hiện
mối liên hệ giữa các
nghiệm và các hệ số của
phương trình.
?Hãy xét xem nếu phương
trình có nghiệm kép thì
công thức trên còn đúng
không?
? Từ nay nếu gặp yêu cầu
b
x1 . x 2
b
2
b
2
4a
2
2
a
2
c
4ac
c
4ac
4a
2
Định lý:
Neáu x1, x2 là hai
nghiệm của phương trình
ax2+bx+c=0 (a 0) thì:
a
Hs trả lời.
x1
x
x 1 .x
Hs trả lời: nếu phương
trình có nghiệm kép thì
công thức trên vẫn đúng.
b
2
a
c
2
a
-khơng cần làm cách đó
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm
22
Lê Thị Hằng Nga
Trường ĐHSP Hà Nơi
Khoa Tốn - Tin
như BT ở KTBC thì các em vì theo Định lý Vi-ét ta
có làm cách đó khơng?
có:
x1
b
x2
x1 . x 2
37
a
35
c
1
a
35
GV gọi 2 Hs lên làm 2 câu Hs hoạt động cá nhân
bài tập
trả lời
a/ x1 +x2 = 9/2
x1.x2 = 1
b/ x1 +x2 = 2
x1.x2 = 1/3
Bài tập:
Cho phương trình:
a/ 2x2 – 9x +2 = 0
b/ -3x2 + 6x -1 = 0
Biết rằng hai phương trình
trên có nghiệm, hãy tính
tổng và tích các nghiệm
của chúng?
Hoạt động2: Ứng dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm của pt bậc hai: (10’)
-Nhờ định lý Vi-et nếu đã
?2: a/ a = 2; b =-5; c = 3
biết một nghiệm của
b/ Thay x = 1 vào phương
phương trình bậc hai, ta có
trình:
thể suy ra nghiệm kia.
2.12 -5.1+3 = 0
-Chia cho HS hoạt động -Hoạt động nhóm thực
x = 1 là một nghiệm
nhóm theo tổ làm ?2 ; ?3: hiện - tổ 1 và tổ 3 làm của phương trình.
?2
(sgk/51)
c/Theo Viét x1.x2 = c/a;
x1= 1 x2 = c/a = 3/2
- tổ 2 và tổ 4 làm ?3
?3: Tương tự
- nhận xét bài làm của các -treo bảng nhóm cùng
nhau nhận xét
tổ và hỏi thêm:
Tổng qt:
-các em có nhận xét gì sau
* Nếu phương trình:
-HS trả lời
hai bài tập trên khơng?
ax2 + bx + c = 0 (a 0)
coù a + b + c = 0 thì
-GV HD HS đi đến tổng
phương trình có một
qt
nghiệm x1 = 1, còn
nghiệm kia x2 =
c
a
* Nếu phương trình:
ax2 +bx +c = 0 (a 0)
có a - b + c = 0 thì phương
trình có một nghieäm x1=-1
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm
23
Lê Thị Hằng Nga
Trường ĐHSP Hà Nơi
Khoa Tốn - Tin
-Gọi 2 HS lên bảng làm ?4
và 1 HS lên tìm nghiệm của -Hs hoạt động cá nhân
pt ở phần KTBC
?4
-HS1: làm câu a
-HS2: : làm câu b
-HS3: pt: 35x2 - 37x + 2
=0
- GV gọi 4HS lên bảng làm Ta có a + b + c = 0
bài tập 26
x1=1; x2= 2/35
còn nghiệm kia x2 = -
c
a
?4
a/ Ta có: a + b + c = 5+3+2= 0
x1=1; x2= 2/5
b/ Ta có: a-b+c=2004005+1=0
x1= -1; x2 = 1/2004
- 4HS lên bảng làm, còn
lại làm vào vở.
Hoạt động 3: Ứng dụng hệ thức Vi-ét để tìm hai số biết tổng và tích của
chúng: (12’)
2.Tìm hai số biết tổng và
-Giả sử 2 số cần tìm có:
tích của chúng:
tổng S= x1 + x2 và tích
P=x1.x2
-Đọc ví dụ SGK tr 52.
- Tìm hai số x1, x2 như thế
-Một số là x,
nào?
-Yêu cầu học sinh nghiên số kia là S–x
cứu Ví dụ 1 SGK trang 52
P= x.(S-x)
- Gọi một số là x, hãy tìm
P
S .x
x
số kia theo S và x?
x
Sx
P
0
- Hãy lập phương trình dựa
Nếu hai số có tổng bằng
vào tích P
S và tích bằng P thì hai số
-Nếu
S
4P
0 thì pt có
đó là 2 nghiệm của
nghiệm, các nghiệm chính
phương trình:
là 2 số cần tìm.
X2 – SX + P = 0
?5 SGK tr 52:
Làm ?5 vào phim.
Điều kiện để có hai số là
S2 – 4P 0
Ví dụ 2 SGK trang 52
- đĐọc kỹ VD 2 ở SGK.
2
2
2
Baøi 28a SGK tr 52:
u+v= 32; u.v= 231
Tìm u và v
Hs hoạt động cá nhân
bài tập 28 tại bảng +
phim.
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm
24
Lê Thị Hằng Nga
Trường ĐHSP Hà Nơi
Khoa Tốn - Tin
D. Củng cố:2 phút
- Nhắc lại hệ thức Viét, công thức nhẩm nghiệm.
- Cách tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng.
E. Dặn dò về nhà: 2 phút
- Về nhà học thuộc hệ thức Vi ét và xem lại các ứng dụng đã học.
- làm bt 27; 29 ; 32 trang 54 sgk
- Chuẩn bị các bài tập 30,31, 33 trang 54 sgk
GV: Ngồi các ứng dụng đã học, ta cịn các ứng dụng:
Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình.
Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai
nghiệm này khơng phụ thuộc vào tham số.
Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa
nghiệm.
Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.
Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm.
GV: về nhà các em nên đọc sách tham khảo để biết cách giải các bài tốn bậc hai
có ứng dụng hệ thức Viét, cơ cụng sẽ chọn một số bài hướng dẫn các em làm ở tiết
học bồi dưỡng, nâng cao kiến thức.
Chữ ký Ban Giám Hiệu:
Trịnh Hoài Đức, ngày 13 tháng 9 năm 2010
Người dạy:
Lê Thị Hằng Nga.
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm
25
Lê Thị Hằng Nga
