(Sáng kiến kinh nghiệm) phân loại và phương pháp giải một số bài toán liên quan đến đồ thị hàm số

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

MÔ TẢ GIẢI PHÁP
1. Tên sáng kiến: Phân loại và phương pháp giải một số bài toán liên quan đến đồ thị
hàm số. (Đặng Thị Hạnh - trường THPT Chuyên Bến Tre)
2. Lĩnh vực áp dụng của sáng kiến: Dạy học ở chương trình phổ thơng.
3. Mơ tả bản chất của sáng kiến
3.1 Tình trạng giải pháp đã biết:
Trong quá trình học tập trên lớp cũng như tự ôn luyện nhằm đạt kết quả cao trong kì
thi trung học phổ thơng quốc gia, một trong những bài tốn quen thuộc mà học sinh
thường gặp đó là “Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) đã cho, hãy cho biết hàm số
y = f ( x)

hoặc hàm số y = f ( x ) hoặc hàm số y =  f ( x ) 

2

có bao nhiêu điểm cực trị ?

” hoặc bài toán “Dựa vào đồ thị hàm số y = f ' ( x ) đã cho, hãy cho biết hàm số
y = f ( x 2 − 2 ) đồng biến trên khoảng nào?”

hoặc bài toán “Dựa vào đồ thị hàm số

y = f ( x ) đã cho, hãy cho biết phương trình f  f ( x )  = 1 có bao nhiêu nghiệm ?” . Bài

tốn sẽ đơn giản hơn nếu ta biết được biểu thức f ( x ) của hàm số y = f ( x ) nhưng ở đây ta
không biết được biểu thức f ( x ) của hàm số y = f ( x ) . Chính vì vậy các bài tốn này
thường gây khó khăn cho học sinh kể cả học sinh giỏi, hoặc là học sinh tìm được lời giải
nhưng lời giải chưa trọn vẹn. Chẳng hạn, đối với bài toán “Dựa vào đồ thị hàm số

y = f ' ( x ) đã cho, hãy cho biết hàm số y = f ( x 2 − 2 ) đồng biến trên khoảng nào?”

học

2
sinh lúng túng khi tìm đạo hàm của hàm số y = f ( x − 2 ) và khi tìm được đạo hàm của
2
hàm số y = f ( x − 2 ) có thể bị mắc sai lầm trong lí luận về khoảng đồng biến hoặc
2
nghịch biến của hàm số y = f ( x − 2 ) khi dựa vào đồ thị hàm số y = f ' ( x ) . Do đó u

cầu đặt ra là cần tìm ra các phương pháp giải một số bài tốn trên. Chính vì vậy mà sáng
kiến kinh nghiệm này tập trung vào đi tìm lời giải cho các bài tốn trên qua đó rút ra nhận
xét, kinh nghiệm nhằm giúp học sinh tìm được đúng, đầy đủ và nhanh để có thể đáp ứng
tốt cho kỳ thi trung học phổ thông quốc gia. Đồng thời sau mỗi dạng bài tốn có đưa ra
phương pháp để sáng tạo bài toán tương tự.
1


Trong sáng kiến kinh nghiệm này, hàm số được nhắc đến là các hàm đa thức bậc ba hoặc
hàm đa thức bậc bốn. Do đó tơi tập trung vào giải quyết các vấn đề như sau:
Phân các bài toán thường gặp thành hai dạng: Dạng biết đồ thị hàm số y = f ( x ) và
dạng biết đồ thị hàm số y = f ' ( x ) .
Trong mỗi dạng trên tôi tập trung vào giải các bài toán sau:
Bài toán 1: Dựa vào đồ thị đã cho, tìm các khoảng đồng biến hoặc nghịch biến
của hàm số hoặc tìm số điểm cực trị của hàm số hoặc tìm số nghiệm của phương trình
cho trước.
Bài tốn 2: Dựa vào đồ thị đã cho, tìm điều kiện của tham số để đồng biến hoặc
nghịch biến trên khoảng (a; b) cho trước, hoặc tìm điều kiện của tham số để hàm số có
ba, bốn điểm cực trị hoặc tìm điều kiện của tham số để phương trình đã cho có bốn, năm

nghiệm.
trong mỗi dạng hàm số có đưa ra phương pháp giải của từng bài toán và nêu ra một
số sai lầm mà học sinh thường mắc phải nhằm giúp các em rút được kinh nghiệm và giải
được các bài toán tương tự.
Trong sáng kiến kinh nghiệm này, chủ yếu dùng kiến thức về đạo hàm của hàm số hợp,
sự biến thiên, cực trị và đồ thị của hàm số để giải bài toán dạng biết đồ thị hàm số
y = f ( x ) đồng thời đòi hỏi học sinh kỹ năng tìm được các khoảng đồng biến hoặc

nghịch biến của hàm số hoặc tìm các điểm cực trị của hàm khi biết đồ thị hàm số
y = f '( x) .

Phương pháp này có những thuận lợi như sau:
- Nội dung về đạo hàm của hàm số hợp, sự biến thiên, cực trị và đồ thị của hàm số
học sinh đã được học trong sách giáo khoa nên học sinh sẽ thấy quen thuộc và dễ tiếp
thu.
- Rèn luyện cho học sinh kỹ năng dựa vào đồ thị hàm số y = f ' ( x ) suy ra sự biến
thiên, cực trị và đồ thị của hàm số y = f ( x ) .
Vì sáng kiến này chủ yếu sử dụng kiến thức về sự biến thiên, cực trị và đồ thị của
hàm số nên đối tượng áp dụng kết quả của sáng kiến này là học sinh lớp 12.
Trong q trình giải các bài tốn trên ta có sử dụng một cơng thức đạo hàm quen
thuộc đó là đạo hàm của hàm số hợp.

3. 2. Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến:
2


3.2.1 Mục đích của giải pháp: Thực hiện giải ba bài toán
Bài toán 1: Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) đã cho, hãy xét sự biến thiên, tìm
cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của hàm số y = f ( x )

hoặc hàm số

y = f ( x ) hoặc hàm số y =  f ( x )  .
2

Bài toán 2: Dựa vào đồ thị hàm số y = f ' ( x ) đã cho, hãy xét sự biến thiên, tìm cực
trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của hàm số y = f ( u ) với u = u ( x ) .
Bài toán 3: Dựa vào đồ thị đã cho, tìm điều kiện của tham số để đồng biến hoặc
nghịch biến trên khoảng (a; b) cho trước, hoặc tìm điều kiện của tham số để hàm số có
ba, bốn điểm cực trị hoặc tìm điều kiện của tham số để phương trình cho trước có bốn,
năm nghiệm.
3.2.2 Nội dung giải pháp: Giải pháp được thực hiện dựa trên cở sở lí luận sau
a. Đạo hàm của hàm số hợp y = f u ( x ) 
Nếu hàm số u = u ( x ) có đạo hàm tại điểm x0 và hàm số y = f ( u ) có đạo hàm tại
điểm u0 = u ( x0 )

thì hàm số hợp y = f u ( x )  có đạo hàm tại điểm x0

và

y ' ( x0 ) = f ' ( u0 ) .u ' ( x0 )

Nếu hàm số u = u ( x ) có đạo hàm tại mọi điểm x thuộc K và hàm số y = f ( u ) có
đạo hàm tại mọi điểm u = u ( x ) thì hàm số hợp y = f u ( x )  có đạo hàm tại mọi điểm x
thuộc K và y ' ( x ) = f ' ( u ) .u ' ( x ) (trong đó K là một khoảng hoặc hợp của nhiều khoảng)
'
' '
hay viết gọn là y x = fu .u x

b. Từ đồ thị ( C ) của hàm số y = f ( x ) suy ra đồ thị ( C1 ) của hàm số y = f ( x ) và

đồ thị ( C2 ) của hàm số y = f ( x )
 f ( x ) ,
 − f ( x ) ,

Ta có y = f ( x ) = 

khi f ( x ) ≥ 0

khi f ( x ) < 0

. Do đó đồ thị ( C1 ) gồm hai phần

Phần 1: Phần đồ thị ( C ) nằm từ trục hoành trở lên
Phần 2: Lấy đối xứng của phần đồ thị ( C ) nằm phía dưới trục hồnh qua trục
hồnh.

3


 f ( x ) ,
 f ( − x ) ,

Ta có y = f ( x ) = 

khi x ≥ 0
khi x < 0

. Do đó đồ thị ( C2 ) gồm hai phần

Phần 1: Phần đồ thị ( C ) nằm bên phải trục tung.

Phần 2: Lấy đối xứng của phần 1 qua trục tung.
c. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ có đồ thị như hình vẽ. Xét sự biến thiên, tìm
cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của hàm số y = f ( x ) .

Trên khoảng ( −∞; a ) , ta thấy tiếp tuyến của đồ thị tại mọi đểm có hồnh độ x0 ∈ ( −∞; a )
đi xuống (tính từ trái qua phải) suy ra f ' ( x0 ) < 0, ∀x0 ∈ ( −∞; a ) hay
f ' ( x ) < 0, ∀x ∈ ( −∞; a )

Tương tự, f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ( a; b ) , f ' ( x ) < 0, ∀x ∈ ( b; c ) , f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ( c; +∞ )

Tại M ( a; f ( a ) ) tiếp tuyến của đồ thị song song với trục hoành nên f ' ( a ) = 0 . Tương tự,
f ' ( b ) = 0, f ' ( c ) = 0

Ta có bảng biến thiên

Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng ( a; b ) và ( c; +∞ )
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞; a ) và ( b; c )
Hàm số đạt cực đại tại x = b
Hàm số đạt cực tiểu tại x = a, x = c
Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng f ( a ) , khơng có giá trị lớn nhất.
4


d. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ có đồ thị y = f ' ( x ) hình vẽ. Xét sự biến
thiên, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của hàm số y = f ( x ) .

Trên khoảng các khoảng ( −∞; e ) , ( d ; +∞ ) , ta thấy đồ thị y = f ' ( x ) nằm phía trên trục
hoành nên f ' ( x ) > 0
Trên khoảng các khoảng ( e; a ) , ( a; b ) , ( b; c ) , ( c; d ) , ta thấy đồ thị y = f ' ( x ) nằm phía
dưới trục hồnh nên f ' ( x ) < 0

Đồ thị y = f ' ( x ) cắt trục hoành tại x = e, x = d nên f ' ( e ) = 0, f ' ( d ) = 0
Ta có bảng biến thiên

Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞;e ) và ( d ; +∞ )
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( e; a ) , ( a; b ) , ( b; c ) và ( c; d )
Hàm số đạt cực đại tại x = e
Hàm số đạt cực tiểu tại x = d
Hàm số khơng có giá trị nhỏ nhất, khơng có giá trị lớn nhất.
Dựa vào các cơ sở lí luận trên, ta giải được các bài toán liên quan đến đồ thị như sau:

5


Bài toán 1: Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) đã cho, hãy xét sự biến thiên, tìm cực
trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của hàm số y = f ( x )

hoặc hàm số

y = f ( x ) hoặc hàm số y =  f ( x )  .
2

i. Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) đã cho, hãy xét sự biến thiên, tìm cực trị, giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của hàm số y = g ( x) = f ( x )
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) suy ra đồ thị hàm số y = g ( x ) = f ( x )
Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số y = g ( x) = f ( x ) dựa vào đồ thị hàm số
y = g ( x ) = f ( x ) . Sau đó dựa vào bảng biến thiên mà kết luận về sự biến thiến, cực trị,

giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của hàm số y = g ( x) = f ( x )
Nhận xét:

+ Nếu chỉ kết luận về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = g ( x) = f ( x ) thì
ta chỉ cần dựa vào đồ thị hàm số y = g ( x ) = f ( x ) mà không cần lập bảng biến thiên.
+ Nếu muốn kết luận về sự biến thiến, cực trị của hàm số y = g ( x) = f ( x ) thì tốt nhất
nên lập bảng biến thiên. Sau đó căn cứ vào dấu của đạo hàm mà ta kết luận về sự biến
thiên đồng thời dựa vào sự đổi dấu của đạo hàm khi qua điểm x = xi mà kết luận về
điểm cực trị của hàm số.
+ Nếu f ( x) là hàm đa thức thì f ( x) có đạo hàm trên ¡ nên f '( xi ) luôn xác định
nhưng

đối với hàm g ( x) = f ( x ) thì g '( x) không xác định tại các điểm x = xi là

hoành độ giao điển của đồ thị f ( x) với trục hoành.
Thật vậy, nếu ta xem y = g ( x ) = f ( x ) =
hàm số hợp ta có y ' = g '( x) =

f '( x). f ( x)
f 2 ( x)

f 2 ( x ) thì áp dụng cơng thức đạo hàm của

, từ đó ta thấy rõ ràng g '( x) khơng xác định

tại các điểm x = xi là nghiệm của phương trình f ( x) = 0 hay tại các điểm x = xi là
hoành độ giao điểm của đồ thị f ( x) với trục hoành.
+ Khi dựa vào bảng biến thiên để kết luận về cực trị của hàm số học sinh thường gặp
phải sai lầm như sau: Nếu g '( x) đổi dấu khi qua điểm x = xi nhưng g '( x) không xác
6


định tại x = xi thì kết luận ngay hàm số không đạt cực trị tại điểm x = xi . Đây là kết

luận chưa chính xác vì hàm số có thể đạt cực trị tại những điểm mà nó khơng có đạo
hàm. Do đó nếu gặp trường hợp trên ta cần xét đến giá trị của hàm số tại điểm x = xi .
Tức là, nếu g ( xi ) xác định thì x = xi là điểm cực trị của hàm số y = g ( x ) , nếu g ( xi )
khơng xác định thì x = xi không là điểm cực trị của hàm số y = g ( x) .
Ví dụ 1: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ¡ có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y = f ( x ) có
bao nhiêu điểm cực đại, điểm cực tiểu ?

Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) suy ra đồ thị hàm số y = g ( x) = f ( x ) như sau:

Lập bảng biến thiên của hàm số y = g ( x ) = f ( x )

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f ( x ) có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.
ii. Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) đã cho, hãy xét sự biến thiên, tìm cực trị, giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của hàm số y = g ( x) = f ( x )
Ta thực hiện theo các bước sau:

7


Bước 1: Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) suy ra đồ thị hàm số y = g ( x ) = f ( x )
Bước 2: Từ đồ thị hàm số y = g ( x) = f ( x ) , suy ra bảng biến thiên của hàm số
y = g ( x) = f ( x ) .

Sau đó dựa vào bảng biến thiên mà kết luận về sự biến thiến, cực trị, giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của hàm số y = g ( x ) = f ( x )
Nhận xét:
+ Nếu chỉ kết luận về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = g ( x) = f ( x ) thì
ta chỉ cần dựa vào phần đồ thị nằm bên phải truc Oy của hàm số y = f ( x) mà không
cần lập bảng biến thiên.
+ Nếu muốn kết luận về sự biến thiến, cực trị của hàm số y = g ( x) = f ( x ) thì tốt nhất

nên lập bảng biến thiên. Sau đó căn cứ vào dấu của đạo hàm mà ta kết luận về sự biến
thiên đồng thời dựa vào sự đổi dấu của đạo hàm khi qua điểm x = xi mà kết luận về
điểm cực trị của hàm số.
+ Nếu f ( x) là hàm đa thức thì f ( x) có đạo hàm trên ¡ nên f '( xi ) luôn xác định
nhưng đối với hàm g ( x) = f ( x ) thì g '( x) khơng xác định tại điểm x = 0 là hoành độ
giao điển của đồ thị f ( x) với trục tung.
Thật vậy, nếu ta xem y = g ( x) = f ( x ) = f
hàm số hợp ta có y ' = g '( x) = f '

( x ).
2

( x)

x
x2

2

thì áp dụng cơng thức đạo hàm của

, từ đó ta thấy rõ ràng g '( x) khơng xác

định tại điểm x = 0 hay tại điểm là hoành độ giao điểm của đồ thị f ( x) với trục tung.
iii. Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) đã cho, hãy xét sự biến thiên, tìm cực trị, giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của hàm số y = g ( x) =  f ( x ) 

2

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số y = g ( x) =  f ( x )  (dựa vào công thức đạo hàm của
2

hàm số hợp), ta có y ' = g '( x) = 2. f ' ( x ) . f ( x ) .
Bước 2: Giải phương trình g '( x) = 0 , tức là giải phương trình f ' ( x ) = 0 và f ( x ) = 0 .
Nghiệm các phương trình trên chính là hoành độ các điểm cực trị và hoành độ các

8


điểm là giao của độ thị với trục hoành. Đồng thời g '( x) không xác định tại các điểm
mà f ' ( x ) và f ( x ) không xác định.
Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số y = g ( x) =  f ( x )  .
2

Lưu ý: Dấu của y ' = g '( x) phụ thuộc vào dấu của f ' ( x ) và f ( x ) . Giả sử nếu trên
khoảng ( a; b ) thuộc khoảng xác định của hàm số ta có: Phần đồ thị f ( x ) nằm phía
trên trục hồnh tức là f ( x ) > 0, ∀x ∈ ( a; b ) và xét từ trái sang phải ta thấy đồ thị f ( x )
đi xuống tức là f ' ( x ) < 0, ∀x ∈ ( a; b ) . Do đó y ' = g '( x) < 0, ∀x ∈ ( a; b )
Bước 4: Kết luận về sự biến thiên, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có )
của hàm số y = g ( x) =  f ( x ) 

2

Ví dụ 2. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ¡ có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y =  f ( x )  2
có bao nhiêu điểm cực đại, điểm cực tiểu ?

 f '( x) = 0

Ta có y ' = g '( x) = 2. f ' ( x ) . f ( x ) và g '( x) = 0 ⇔ 

 f ( x ) = 0

x = a

Từ đồ thị ta thấy x = a, x = 1, x = b là hoành độ các điểm cực trị nên f ' ( x ) = 0 ⇔  x = 1
 x = b

Từ đồ thị ta thấy đồ thị cắt trục Ox tại các điểm có hoành độ x = 0, x = 1, x = 3 nên
x = 0
f ( x ) = 0 ⇔  x = 1
 x = 3

Xét trên khoảng ( 3; +∞ ) ta có: Phần đồ thị f ( x ) nằm phía trên trục hồnh tức là
f ( x ) > 0, ∀x ∈ ( 3; +∞ ) và tính từ trái sang phải ta thấy đồ thị f ( x ) đi lên tức là
f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ( 3; +∞ ) . Do đó y ' = g '( x) > 0, ∀x ∈ ( 3; +∞ )
9


Xét trên khoảng ( b;3) ta có: Phần đồ thị f ( x ) nằm phía dưới trục hồnh tức là
f ( x ) < 0, ∀x ∈ ( b;3) và tính từ trái sang phải ta thấy đồ thị f ( x ) đi lên tức là
f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ( b;3) . Do đó y ' = g '( x) < 0, ∀x ∈ ( b;3 )

Tương tự trên các khoảng còn lại. Do đó ta có

bảng biến thiên của hàm số

y = g ( x ) =  f ( x )  như sau:
2

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y =  f ( x )  2 có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.
Bài toán iii) có thể tổng quát như sau: Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) đã cho, hãy xét
sự biến thiên, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số
y = g ( x ) = f u ( x ) 

Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số y = g ( x ) = f u ( x )  (dựa vào cơng thức đạo hàm của
hàm số hợp), ta có y ' = g '( x) = f ' u ( x )  .u ' ( x ) .
Bước 2: Giải phương trình g '( x) = 0 , tức là giải phương trình f ' u ( x )  = 0 và u ' ( x ) = 0 .
Để tìm nghiệm các phương trình f ' u ( x )  = 0 ta dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) đã
cho. Chẳng hạn, trên đồ thị hàm số y = f ( x ) ta suy ra được

f ' ( x ) = 0 ⇔ x = a nên

f ' u ( x )  = 0 ⇔ u ( x ) = a sau đó từ phương trình u ( x ) = a giải tiếp để tìm x.

Đồng thời g '( x) không xác định tại các điểm mà u ' ( x ) và f ' u ( x )  không xác định.
Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số y = g ( x) = f u ( x )  .
Lưu ý dấu của y ' = g '( x) phụ thuộc vào dấu của u ' ( x ) và f ' u ( x )  .
Bước 4: Kết luận về sự biến thiên, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của
hàm số y = g ( x) =  f ( x ) 

2

10


Ví dụ 3. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ¡ có đồ thị hàm y = f ' ( x ) như hình vẽ. Xét sự
2
biến thiên của hàm số y = f ( x − 2 ) ?

Hàm số y = g ( x) = f ( x 2 − 2 ) liên tục trên ¡ và có đạo hàm y = g ' ( x ) = 2 x. f ' ( x 2 − 2 )
x = 0
g '( x) = 0 ⇔ 
2
 f ' x − 2 = 0

(

)

 x = −1
.
x = 2

Từ đồ thị hàm số y = f ' ( x ) ta thấy f ' ( x ) = 0 ⇔ 

 x 2 − 2 = −1  x = ±1
⇔
Suy ra f ' x − 2 = 0 ⇔  2
 x = ±2
 x − 2 = 2

(

2

)

x = 0


Hay g ' ( x ) = 0 ⇔  x = ±1
 x = ±2

Từ đồ thị hàm số y = f ' ( x ) ta thấy f ' ( x ) > 0, ∀x > 2 .
 x < −2
x > 2

2
2
Do đó f ' ( x − 2 ) > 0 ⇔ x − 2 > 2 ⇔ 

Từ đồ thị hàm số y = f ' ( x ) ta thấy f ' ( x ) < 0, ∀x < 2 .
2
2
Do đó f ' ( x − 2 ) < 0 ⇔ x − 2 < 2 ⇔ −2 < x < 2
2
Xét trên khoảng ( 2; +∞ ) ta có: 2 x > 0 và f ' ( x − 2 ) > 0 . Do đó y ' = g '( x) > 0, ∀x ∈ ( 2; +∞ )
2
Xét trên khoảng ( 1; 2 ) ta có: 2 x > 0 và f ' ( x − 2 ) < 0 . Do đó y ' = g '( x) < 0, ∀x ∈ ( 1; 2 )
2
Tương tự trên các khoảng cịn lại. Do đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x − 2 )

như sau:

11


Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f ( x 2 − 2 ) đồng biến trên các khoảng ( −2;0 ) và

( 2; +∞ ) và nghịch biến trên các khoảng ( −∞; −2 ) , ( 0; 2 ) và ( 2; +∞ )
iv. Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) đã cho, hãy xác định số nghiệm của phương
trình f  f ( x )  = m với m là hằng số cho trước.
Ta thực hiện theo các bước sau:
 f ( t ) = m (1)

Bước 1: Đặt t = f ( x ) . Khi đó phương trình f  f ( x )  = m ⇔ 
t = f ( x ) (2)

Bước 2: Số nghiệm của phương trình f  f ( x )  = m là số nghiệm của phương trình (2)
với t nhận tất cả các giá trị thỏa mãn phương trình (1).
- Từ đồ thị y = f ( x ) ta tìm được số nghiệm t của phương trình (1) đồng thời biết
được mỗi nghiệm t thuộc khoảng ( a; b ) nào đó.
- Với mỗi nghiệm t thuộc khoảng ( a; b ) ta tìm số nghiệm của phương trình (2).
Ví dụ 4. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ¡ có đồ thị như hình vẽ.

Phương trình f  f ( x )  = 1 có bao nhiêu nghiệm ?
 f ( t ) = 1 (1)

Đặt t = f ( x ) . Khi đó phương trình f  f ( x )  = 1 ⇔ 
t = f ( x ) (2)

Số nghiệm của phương trình f  f ( x )  = 1 là số nghiệm của phương trình (2) với t nhận
tất cả các giá trị thỏa mãn phương trình (1).
12


Xét phương trình (1), f ( t ) = 1 . Từ đồ thị ta có đường thẳng y = 1 và đồ thị hàm
y = f ( t ) cắt nhau tại ba điểm. Do đó phương trình f ( t ) = 1 có ba nghiệm t như sau:

t = a với −1 < a < 0 , t = b với 0 < b < 1 , t = c với 2 < c < 3

Với mỗi trường hợp của t ta xét số nghiệm của phương trình (2)
Trường hợp 1: t = a với −1 < a < 0
Khi đó, (2) trở thành f ( x ) = a với −1 < a < 0 . Từ đồ thị ta có đường thẳng y = a và
đồ thị hàm y = f ( x ) cắt nhau tại ba điểm suy ra (2) có ba nghiệm phân biệt.
Trường hợp 2: t = b với 0 < b < 1
Khi đó, (2) trở thành f ( x ) = b với 0 < b < 1 . Từ đồ thị ta có đường thẳng y = b và
đồ thị hàm y = f ( x ) cắt nhau tại ba điểm suy ra (2) có ba nghiệm phân biệt.
Trường hợp 2: t = b với 0 < b < 1
Khi đó, (2) trở thành f ( x ) = c với 2 < c < 3 . Từ đồ thị ta có đường thẳng y = c và
đồ thị hàm y = f ( x ) cắt nhau tại một điểm suy ra (2) có một nghiệm.
Ta thấy các nghiệm trên đôi một khác nhau nên phương trình f  f ( x )  = 1 có bảy
nghiệm phân biệt.
Nhận xét:
Do đồ thị hàm số chỉ ra rõ ràng tọa độ các điểm cực trị, tọa độ giao điểm của đồ thị với
trục tung nên đối với bài tốn này ta có thể giải bằng cách như sau:
Từ đồ thị suy ra hàm số y = f ( x ) là hàm đa thức bậc ba. Dựa vào các điểm cực trị
và giao điểm của đồ thị với trục tung ta tìm được phương trình hàm số
y = f ( x ) = x3 − 3x 2 + 2

Khi đó phương trình f  f ( x )  = 1 ⇔ ( x 3 − 3x 2 + 2 ) − 3 ( x 3 − 3x 2 + 2 ) + 2 = 1 (*)
3
2
Đặt t = f ( x ) = x − 3x + 2 . Khi đó (*) trở thành t 3 − 3t 2 + 2 = 1 (1). Phương trình (1)
3

2

có ba nghiệm t1 , t2 , t3

3
2
Với mỗi nghiệm t tìm được ở trên, thế vào phương trình f ( x ) = t ⇔ x − 3x + 2 = t
ta tìm được nghiệm x.
Tuy nhiên cách làm này khá dài và đòi hỏi học sinh phải tìm đúng biểu thức f ( x ) của
hàm số.
13


Trong trường hợp đồ thị hàm số y = f ( x ) không chỉ ra rõ ràng tọa độ các điểm cực trị
như hình dưới đây

Khi đó việc tìm biểu thức f ( x ) của hàm số rất khó khăn và gần như là khơng thể. Do đó
việc rèn luyện kỹ năng dựa vào đồ thị hàm số f ( x ) để suy ra số nghiệm của phương
trình f ( x ) = a (a là hằng số ) là rất cần thiết, nhất là trong điều kiện thi theo hình thức
trắc nghiệm.
Ta xét thêm một ví dụ nữa để thấy được cái hay của phương pháp giải toán dựa trên đồ
thị hàm số y = f ( x ) mặc dù không biết được biểu thức f ( x ) của hàm số
Ví dụ 5. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ¡ có đồ thị như hình vẽ.

Đặt g ( x) = f  f ( x )  . Phương trình g '( x) = 0 có bao nhiêu nghiệm ?
Giải

Đặt u = f ( x ) . Khi đó g ( x) = f ( u )

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có g '( x) = f ' ( u ) .u ' ( x ) = f ' ( x ) . f ' ( u )
 f '( x) = 0

Khi đó g '( x) = 0 ⇔ 

 f ' ( u ) = 0

 f ( x) = a
 x1 = a, (0 < a < 1)
u = a
⇔
và f ' ( u ) = 0 ⇔ 
u = b
 f ( x ) = b
 x2 = b, (2 < b < 3)

Từ đồ thị ta có f ' ( x ) = 0 ⇔ 

14


Với f ( x ) = a . Nhìn vào đồ thị trên ta thấy đồ thị hàm y = f ( x ) cắt đường thẳng
y = a với 0 < a < 1 tại ba điểm phân biệt do vậy phương trình f ( x ) = a có ba nghiệm

phân biệt x3 , x4 , x5
Với f ( x ) = b . Nhìn vào đồ thị trên ta thấy đồ thị hàm y = f ( x ) cắt đường thẳng
y = b với 2 < b < 3 tại một điểm do vậy phương trình f ( x ) = b có một nghiệm x6

Vậy phương trình g '( x) = 0 có 8 nghiệm phân biệt.
Bài toán 2: Dựa vào đồ thị đã cho, tìm điều kiện của tham số để hàm số có ba, bốn
điểm cực trị hoặc tìm điều kiện của tham số để phương trình cho trước có bốn, năm
nghiệm.
i. Dựa vào đồ thị đã cho, tìm điều kiện của tham số để hàm số có ba, bốn điểm cực
trị.
Bài tốn : Cho hàm số y = f ( x ) (trong đó f ( x ) là hàm đa thức bậc ba hoặc đa thức bậc

bốn) có đồ thị như hình vẽ. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = f ( x ) + m có ba
hoặc bốn điểm cực trị.
Hướng giải
Đặt g ( x) = f ( x ) + m . Khi đó y = g ( x ) =

[ g ( x )]

2

ta có y ' =

g '( x ).g ( x)

[ g ( x) ]

2

Trường hợp: f ( x ) là hàm đa thức bậc ba
Ta thấy y ' = 0 tại các điểm mà g '( x) = 0 suy ra y ' = 0 tại nhiều nhất 2 điểm ( do
g ( x) = f ( x ) + m cũng là hàm đa thức bậc ba)
y ' không xác định tại các điểm mà g ( x) = 0 suy ra y ' không xác định tại

nhiều nhất 3 điểm.
Do đó số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) + m nhiều nhất là 5 điểm (vì một hàm
số chỉ có thể đạt cực trị tại điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc đạo hàm không xác định)
Ta xét một số trường hợp cụ thể như sau:
a) Phương trình g ( x) = 0 và phương trình g '( x) = 0 khơng có nghiệm chung.
+ Nếu g ( x) = 0 có 3 nghiệm và g '( x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt (tức là g ( x) có 2
điểm cực trị ) thì ta có đồ thị như sau

15


(Hình vẽ trên cho biết g ( x) = 0 ⇔ x = a, x = c, x = e , g '( x) = 0 ⇔ x = b, x = d và
các nghiệm này đôi một khác nhau)
Suy ra đồ thị y = g ( x) như sau

Ta thấy trên khoảng ( e; +∞ ) đồ thị hàm số hướng lên (tính từ trái sang phải) nên
y ' > 0, ∀x ∈ ( e; +∞ ) . Tương tự trên các khoảng cịn lại nên ta có bảng biến thiên của
y = g ( x)

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có 5 điểm cực trị.
+ Nếu g ( x) = 0 có 1 nghiệm và g '( x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt (tức là g ( x) có 2
điểm cực trị ) thì ta có đồ thị như sau

(Hình vẽ trên cho biết g ( x) = 0 ⇔ x = c , g '( x) = 0 ⇔ x = a, x = b và các nghiệm
này đôi một khác nhau)
Suy ra đồ thị y = g ( x)
16


Ta thấy trên khoảng ( c; +∞ ) đồ thị hàm số hướng lên (tính từ trái sang phải) nên
y ' > 0, ∀x ∈ ( c; +∞ ) . Tương tự trên các khoảng cịn lại nên ta có bảng biến thiên của
y = g ( x)

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có 3 điểm cực trị.
+ Nếu g ( x) = 0 có 1 nghiệm và g '( x) = 0 vô nghiệm hoặc g '( x) = 0 có nghiệm
kép (tức là g ( x) khơng có điểm cực trị ) thì ta có đồ thị như sau

(

g ( x) = 0 ⇔ x = a , g '( x) = 0 vô nghiệm)
Suy ra đồ thị y = g ( x)

( g ( x) = 0 ⇔ x = a , g '( x) = 0 có nghiệm kép )

Ta có bảng biến thiên của y = g ( x)

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có 1 điểm cực trị.
17


b) Phương trình g ( x) = 0 và phương trình g '( x) = 0 có nghiệm chung.
+ Nếu g ( x) = 0 và g '( x) = 0 có 1 nghiệm chung ta có đồ thị như sau

(Hình vẽ trên cho biết g ( x) = 0 ⇔ x = a, x = c , g '( x) = 0 ⇔ x = a, x = b và x = a là
nghiệm chung của phương trình g ( x) = 0 và phương trình g '( x) = 0 )
Khi đó ta có đồ thị y = g ( x) như sau

Ta có bảng biến thiên của y = g ( x)

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có 3 điểm cực trị.
Nhận xét: Số điểm cực trị của hàm số y = g ( x) là n với n được tính như sau:
n = m + k − h tromg đó m là số nghiệm phương trình g ( x) = 0 , k là số điểm cực trị của

g ( x) , h là số nghiệm chung của phương trình g ( x) = 0 và phương trình g '( x) = 0
Trường hợp: f ( x ) là hàm đa thức bậc bốn
Ta thấy y ' = 0 tại các điểm mà g '( x) = 0 suy ra y ' = 0 tại nhiều nhất 3 điểm ( do
g ( x) = f ( x ) + m cũng là hàm đa thức bậc bốn)
y ' không xác định tại các điểm mà g ( x) = 0 suy ra y ' khơng xác định tại

nhiều nhất 4 điểm.
Do đó số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) + m nhiều nhất là 7 điểm (vì một hàm
số chỉ có thể đạt cực trị tại điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc đạo hàm khơng xác định)
Ta xét một số trường hợp cụ thể như sau:
a) Phương trình g ( x) = 0 và phương trình g '( x) = 0 khơng có nghiệm chung.
18


+ Nếu g ( x) = 0 có bốn nghiệm (tức là y ' không xác định tại 4 điểm ) và g ( x) có
ba điểm cực trị. Ta có

(Hình vẽ trên cho biết g ( x) = 0 ⇔ x = a, x = c, x = e, x = n , g '( x) = 0 ⇔ x = b, x = d , x = m )
Khi đó ta có đồ thị y = g ( x) như sau

Ta có bảng biến thiên của y = g ( x)

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có 7 điểm cực trị.
b) Phương trình g ( x) = 0 và phương trình g '( x) = 0 có nghiệm chung.
+ Nếu g ( x) = 0 và g '( x) = 0 có 1 nghiệm chung ta có đồ thị như sau

(Hình vẽ trên cho biết g ( x) = 0 ⇔ x = a, x = c, x = e , g '( x) = 0 ⇔ x = b, x = c, x = d và
x = c là nghiệm chung của phương trình g ( x) = 0 và phương trình g '( x) = 0 )
Khi đó ta có đồ thị y = g ( x) như sau

19


Ta có bảng biến thiên của y = g ( x)

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có 5 điểm cực trị.

Nhận xét: Số điểm cực trị của hàm số y = g ( x) là n với n được tính như sau:
n = m + k − h tromg đó m là số nghiệm phương trình g ( x) = 0 , k là số điểm cực trị của
g ( x) , h là số nghiệm chung của phương trình g ( x) = 0 và phương trình g '( x) = 0
4
3
2
Ví dụ 1. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y = 3x − 4 x − 12 x + m có 7 điểm
cực trị.
Giải
4
3
2
3
2
Ta đặt f ( x) = 3x − 4 x − 12 x + m ⇒ f ' ( x ) = 12 x − 12 x − 24 x

 x = 2 ⇒ y = m − 32
f ' ( x ) = 0 ⇔  x = −1 ⇒ y = −5 + m
 x = 0 ⇒ y = m

Bảng biến thiên

Do hàm số có 3 điểm cực trị nên hàm số đã cho có 7 điểm cực trị khi đồ thị phải cắt trục
hoành tại 4 điểm phân biệt và ba điểm cực trị trên khơng cùng nằm một phía với trục
hồnh.
m > 0
⇔
⇔0−5 + m < 0
20

Vậy 0 < m < 5 thỏa bài tốn.
Ví dụ 2. Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = f ( x) + m có ba điểm cực trị.
Giải

Ta đặt g ( x) = f ( x ) + m
Ta thấy f(x) có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục hồnh nên g(x) cũng có hai
điểm cực trị.
Do đó y = f ( x) + m = g ( x) có ba điểm cực trị khi phương trình g ( x) = 0 và phương
trình g '( x) = 0 có 1 nghiệm chung tức là đồ thị g(x) tiếp xúc với trục hoành.
Ta có 2 trường hợp.
+ Điểm A ( x A ; m − 3) thuộc đồ thị g(x) và A ( x A ; m − 3) nằm trên trục hoành hoặc
phía trên trục hồnh khi và chỉ khi m − 3 ≥ 0 ⇔ m ≥ 3
+ Điểm B ( xb ; m + 1) thuộc đồ thị g(x) và B ( xb ; m + 1) nằm trên trục hồnh hoặc
phía dưới trục hồnh khi và chỉ khi m + 1 ≤ 0 ⇔ m ≤ −1
Vậy m ≥ 3 hoặc m ≤ −1
3. 3 Khả năng áp dụng của giải pháp:
Giải pháp này có thể áp dụng khi làm bài toán liên quan đến đồ thị, đặc biệt chỉ cho
đồ thị y = f ( x) mà không cho biểu thức f ( x) .Trong bài toán 1 của sáng kiến kinh nghiệm
này, đã trình bày đầy đủ các bước giải tốn, do đó học sinh có thể áp dụng để tìm nhanh
lời giải nhằm đáp ứng tốt hơn yêu cầu về thời gian đối với bài thi theo hình thức trắc
nghiệm.
3. 4 Hiệu quả thu được do áp dụng sáng kiến
Đối với bài toán 1: Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) đã cho, hãy xét sự biến thiên, tìm
cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của hàm số y = f ( x )
y = f ( x ) hoặc hàm số y =  f ( x )  .
2

21

hoặc hàm số


+ Nếu chỉ kết luận về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = g ( x) = f ( x ) thì
ta chỉ cần dựa vào phần đồ thị nằm bên phải truc Oy của hàm số y = f ( x) mà không
cần lập bảng biến thiên.
+ Nếu muốn kết luận về sự biến thiến, cực trị của hàm số y = g ( x) = f ( x ) thì tốt nhất
nên lập bảng biến thiên. Sau đó căn cứ vào dấu của đạo hàm mà ta kết luận về sự biến
thiên đồng thời dựa vào sự đổi dấu của đạo hàm khi qua điểm x = xi mà kết luận về
điểm cực trị của hàm số.
+ Nếu f ( x) là hàm đa thức thì f ( x) có đạo hàm trên ¡ nên f '( xi ) luôn xác định
nhưng đối với hàm g ( x) = f ( x ) thì g '( x) khơng xác định tại điểm x = 0 là hoành độ
giao điển của đồ thị f ( x) với trục tung.
Thật vậy, nếu ta xem y = g ( x) = f ( x ) = f
hàm số hợp ta có y ' = g '( x) = f '

( x ).
2

( x)

x
x2

2

thì áp dụng cơng thức đạo hàm của

, từ đó ta thấy rõ ràng g '( x) không xác

định tại điểm x = 0 hay tại điểm là hoành độ giao điểm của đồ thị f ( x) với trục tung.
Đối với bài tốn 2: Dựa vào đồ thị đã cho, tìm điều kiện của tham số để hàm số có ba,
bốn điểm cực trị hoặc tìm điều kiện của tham số để phương trình cho trước có bốn, năm
nghiệm.
Học sinh cần biết mơ phỏng đồ thị ủa hàm số và phân tích các trường hợp để có
lời giả đúng.
- Qua sự phân tích để chỉ ra những hạn chế cũng như những sai sót trong q trình giải
bài tốn nhằm giúp học sinh tự tin hơn khi làm các bài toán.
3. 5 Tài liệu kèm theo: Khơng có.
Bến Tre, ngày 15 tháng 3 năm 2018

22