(Sáng kiến kinh nghiệm) chuyên đề nguyên hàm tích phân

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NAM ĐỊNH
TRƯỜNG THPT TRẦN VĂN LAN
TỔ: TỐN – TIN
MƠN TỐN

CHUN ĐỀ
NGUN HÀM – TÍCH PHÂN

NĂM HỌC 2016 – 2017


CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN

A.

KIẾN THỨC CẦN NHỚ.

I. NGUYÊN HÀM
1. Khái niệm.
Định nghĩa. Cho hàm số f ( x) xác định trên K (K là đoạn, khoảng, nửa khoảng). Hàm số
F ( x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K, nếu F '( x) = f ( x) , với mọi
x∈ K .
Định lý. Giả sử F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên khoảng K. Khi đó
a. Với mỗi hằng số C, hàm số G ( x) = F ( x) + C cũng là một nguyên hàm của f ( x) .
b. Ngược lại, nếu G(x) là một nguyên hàm của f ( x) thì tồn tại hằng số C sao cho G(x) =
F(x) + C.
c. Họ tất cả các nguyên hàm của f ( x) là ∫ f ( x)dx = F ( x) + C , trong đó F ( x) là một
nguyên hàm của f ( x) , C là hằng số bất kỳ.
d. Bảng các nguyên hàm cơ bản.
Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Nguyên hàm các hàm số sơ cấp thường gặp

Nguyên hàm của hàm số hợp u = u ( x)

∫ kdx = kx + C , k ∈ R

∫ kdu = ku + C , k ∈ R

∫x

∫u

α

dx =

1
.xα +1 + C (α ≠ −1)
1+α

α

du =

1
.uα +1 + C (α ≠ −1)
1+ α

dx
= ln x + C ( x ≠ 0 )
x
dx

∫ x = 2 x +C

∫

du
= ln u + C ( x ≠ 0 )
u
du
∫ u = 2 u +C

∫ e dx = e

∫ e du = e

∫

x

x

+C

u

u

+C

ax
∫ a dx = ln a + C (0 < a ≠ 1).

∫ cos xdx = sin x + C

au
∫ a du = ln a + C (0 < a ≠ 1).
∫ cos udu = sin u + C

∫ sin xdx = − cos x + C

∫ sin udu = − cos u + C

x

dx

∫ cos

2

x

= tan x + C ;

dx

∫ sin

2

x

u

= − cot x + C .

du

∫ cos

2

u

= tan u + C ;

du

∫ sin

2

u

= − cot u + C

Ngồi ra cịn một số cơng thức thường gặp là.
1 (ax + b) k +1
∫ (ax + b) dx = a k + 1 + C , (a ≠ 0, k ≠ −1);
1 ax+b
ax+ b
∫ e dx = a e + C ;

1
∫ sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C
k

1

1

∫ ax + b dx = a ln ax + b + C , a ≠ 0.
1

∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C

2. Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm
Định lý. Nếu F ( x ), G ( x ) tương ứng là một nguyên hàm của f ( x), g ( x ) thì
a. ∫ f '( x)dx = f ( x) + C
b. ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x )dx = F ( x ) ± G ( x) + C ;

c. ∫ a.f(x)dx = a ∫ f ( x)dx = aF( x) + C (a ≠ 0) .
3. Một số phương pháp tìm nguyên hàm


a. Phương pháp đổi biến số
Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lý sau: Cho hàm số u = u ( x) có đạo hàm liên tục
trên K và hàm số y = f (u) liên tục sao cho f [u ( x)] xác định trên K. Khi đó nếu F là một
nguyên hàm của f, tức là ∫ f (u )du = F (u ) + C thì ∫ f [u ( x)]dx=F[u(x)]+C .
b. Phương pháp tích phân từng phần
Một số dạng thường gặp:
ax+b
Dạng 1. ∫ P( x).e dx , ∫ P( x) sin(ax + b) dx , ∫ P( x)cos(ax + b) dx

c dv = sin(ax + b)dx, dv = cos(ax + b)dx)
Cách giải: Đặt u = P( x) , dv = eax+b dx ( hoaë

Dạng 2. ∫ P ( x) ln(ax + b)dx
Cách giải: Đặt u = ln(ax + b) , dv = P( x)dx.

II.

TÍCH PHÂN.

1. Định nghĩa. Cho hàm f ( x) liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K.
Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x) thì hiệu số F (b) − F (a ) được gọi là tích phân
b

của f ( x) từ a đến b và ký hiệu là

∫ f ( x)dx . Trong trường hợp

b

a < b thì

a

tích phân của f trên [ a; b ] .
2. Tính chất của tích phân .
Cho các hàm số f ( x), g ( x) liên tục trên K và a, b, c là ba số thuộc K.
a

• ∫ f ( x) dx = 0

•

a

b

c

a

a

b

• ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x) dx

b

a

a

b

∫ f ( x)dx

là

a

∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx
b

b

a

a

• ∫ k . f ( x)dx = k ∫ f ( x )dx

c

b

b

b

a

a

a

• ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx

3. Một số phương pháp tính tích phân
u (b)

b

• Phương pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số

∫
a

f [u ( x)]u '( x) dx =

∫

f (u )du .

u(a)

Trong đó f ( x) là hàm số liên tục và u ( x) có đạo hàm liên tục trên khoảng J sao cho
hàm hợp f [u ( x )] xác định trên J; a, b ∈ J .
Phương pháp đổi biến số thường áp dụng theo hai cách
Cách 1. Đặt ẩn phụ u = u ( x) ( u là một hàm của x)
Cách 2. Đặt ẩn phụ x = x (t ) ( x là một hàm số của t).
• Phương pháp tích phân từng phần.
Định lý. Nếu u ( x ), v ( x ) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng K và a, b là hai
b

b

a

a

b
số thuộc K thì ∫ u ( x)v '( x)dx = u ( x)v ( x) a − ∫ v( x)u '( x)dx

4. Ứng dụng của tích phân
• Tính diện tích hình phẳng
• Nếu hàm số y = f ( x) liên tục trên [ a; b ] thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi
b

đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là S = ∫ f ( x) dx .
a

• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = f ( x) , y = g ( x) và hai
đường thẳng x = a, x = b là


b

S = ∫ f ( x) − g ( x) dx
a

• Tính thể tích vật thể. Thể tích vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng vng góc với
b

trục Ox tại các điểm a, b là V = ∫ S ( x)dx . Trong đó S(x) là diện tích thiết diện
a

của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ là
x ∈ [ a; b ] và S(x) là một hàm liên tục.
• Tính thể tích khối trịn xoay.

• Hàm số y = f ( x) liên tục và không âm trên [ a; b ] . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
hàm số y = f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục hồnh
b

2
tạo nên một khối trịn xoay. Thể tích V được tính bởi cơng thức V = π ∫ f ( x )dx .
a

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x = g ( y ) , trục tung và hai đường thẳng
y = c, y = d quay quanh trục tung tạo nên một khối trịn xoay. Thể tích V được tính
d

2
bởi cơng thức V = π ∫ g ( y )dy .
c

CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP
Phần 1. Tìm ngun hàm
Dạng 1: Tìm nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm .
Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số

∫(

1 3
+ x )dx
x

2
a. ∫ ( x + 2)( x − 2 x + 4)dx

b.

4
d. ∫ sin xdx

e. ∫ tan

xdx

g.

∫ sin 2 x.cos xdx

k.

∫

x3 − 2 x + 1
dx
x5

l. ∫ sin(2 x + 1)dx

n.

∫

1 + ln x
dx
x

o.

h.

∫ 10

4

∫ xe

2x

x2

x

x

.3 .5 dx

dx

c.

∫ sin

2

xdx

f.

∫ cot

4

xdx

i.

∫

(x 2 − 1)(x 2 + 3)
3

x2

2 10
m. ∫ (1 + 2 x ) xdx

p.

dx

∫ (1 − 2 x)

Dạng 2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến.
Tính tích phân I = ∫ f ( x)dx
Phương pháp 1. Đổi biến t = ϕ ( x) , rút x theo t.

+) Xác định vi phân: dx = ϕ '(t )dt
+) Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử f ( x)dx = g (t )dt . Khi đó I = ∫ g (t )dt

4

dx


Lưu ý: Một số dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ:
Dấu hiệu

Có thể chọn

Hàm số có mẫu

Đặt t là mẫu

Hàm f ( x, ϕ ( x))

Đặt t = ϕ ( x)

Hàm f ( x, n ϕ ( x), m ϕ ( x))

Đặt t = mn ϕ ( x)

Hàm f ( x) =

asin x + b cos x
c sin x + d cos x + e

Đặt t = tan

x
2

Hàm lẻ với sinx

Đặt t = cos x

Hàm lẻ với cosx

Đặt t = s inx

Hàm chẵn với sinx và cosx

t =tanx

Phương pháp 2. Đổi biến x = ϕ (t )
+) Lấy vi phân dx = ϕ '(t )dt
+) Biểu thị f(x) theo t và dt, Giả sử: f(x)dx= g(t)dt. Khi đó I = ∫ g (t )dt
Lưu ý: Một số dấu hiệu dẫn tới việc chọn ẩn phụ:
Dấu hiệu

Có thể chọn

a2 − x2

π
π


 x =| a | sin t , − 2 ≤ t ≤ 2

 x =| a | cost , 0 ≤ t ≤ π

x2 − a2

|a| π
π

 x = sin t , − 2 ≤ t ≤ 2 ; t ≠ 0

x = | a | , 0 ≤ t ≤ π ;t ≠ π

cost
2

x2 + a2

π
π

x
=
|
a
|
tan
t
,
−

<
t
<

2
2

 x =| a | cott , 0 < t < π

a+x
hoặc
a−x

Đặt x = a cos 2t

a−x
a+x

Đặt x = a + (b − a )sin 2 t

( x − a)(b − x)

Bài 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số
3
a. ∫ (2 x + 1) dx

b.

∫

2z
3

z +5
2

dz

2
c. ∫ 2 x( x + 1)dx


d. ∫ sin(7 x + 6)dx

e.

2012
g. ∫ sin x.cos xdx

h.

9 x2

l.

∫

o.

∫ cos (5x + 2) dx

r.

∫ cos (3x + 1) dx

1 − x3

1+ x
∫ xe dx
2

1

∫ 1+ e

−x

dx

m. ∫ x 4 1 − x 2 dx

dx

1

2

sin(3x + 1)
2

1

p.

∫x

s.

∫x

∫x

k.

∫

x 2 − x + 2012

n.

∫

1
dx
x (1 + x ) 2

2

1
1

sin .cos dx
x
x

4
q. ∫ sin x.cos xdx

xdx
− 2x2 − 2

t.

2

4

2x
dx
+ 4x + 3
2x −1

f.

∫x

2

dx

xdx

− 4x − 5

x2
dx
v. ∫
(1 − x)39

x3 dx
u. ∫ 4 2
x −x −2

Dạng 3. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần.
Bài 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số.
x
a. ∫ xe dx

2
b. ∫ x cos xdx

2
d. ∫ x ln xdx

e.

∫

h.

∫ sin

g.

x

∫ cos x dx
2

x ln( x + x 2 + 1)
x +1
2

c. ∫ ( x + 1).ln xdx
dx

x
2
f. ∫ e .cos xdx

dx
3

x

Dạng 4. Nguyên hàm của một số hàm phân thức hữu tỷ.
Bài 4. Tìm nguyên hàm
a.
d.
g.
i.

dx

∫ 2x + 3

4x + 3

dx

c.

∫ (2 x − 1)

f.

∫x

∫

4x + 2
dx
2
x + x +1

h.

3 x 3 − 14 x 2 + 13 x + 7
dx
∫
x2 − 5x + 6

∫

x2 + x + 1
dx
(x − 1)3

l.

∫x

b.

∫ 2 x + 1 dx

∫

2 x 2 + 3x + 5
dx
x+3

e.

∫x

∫

x 2 + 3x + 1
dx
x2 + 5x + 6

h.

∫

x3 + 2 x − 1
dx
x2 − 9

k.

2

2x − 1
dx
− 5x + 6

Dạng 5. Nguyên hàm của một số hàm số lượng giác.
Các bài toán cơ bản:
a) Nguyên hàm của các hàm số có dạng:

2

2

4x − 6
dx
− 3x + 4

2 xdx
2

+3


⊕ f ( x ) = cos ax.cos bx

⊕ f ( x) = sin ax.sin bx

⊕ f ( x ) = sin ax.cos bx

⊕ f ( x) = sin 2 ax; cos2bx

Phương pháp chung: Dùng các công thức biến đổi, công thức hạ bậc để đưa về tổng các
nguyên hàm cơ bản.
Bài 5. Tìm các nguyên hàm:
a. ∫ cos3x.cos 2 xdx

2
b. ∫ s inx.cos 2 xdx

3
c. ∫ cos 2 x.sin 2 xdx

b) Nguyên hàm của các hàm số có dạng: f ( x) = sin n x.cosm x
Phương pháp chung: Dựa vào tính chẵn lẻ của m, n để biến đổi hoặc đặt ẩn phụ cho phù
hợp.
Bài 6. Tìm nguyên hàm
3
3
a. ∫ (sin x + cos 2 x)dx

dx

d.

∫ sin

g.

sin 2 x
∫ cos6 x dx

3

x

5
5
b. ∫ (sin x + cos x)dx

c.

cos3 x
∫ sin 4 x dx

4
e. ∫ sin 2xdx

f.

∫ sin

h.

dx
4

x

tan 6 x
∫ cos2 x dx

Dạng 6. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến lượng giác.
Bài 7. Tìm nguyên hàm
a.

∫

a 2 − x 2 dx

b.

∫

x 2 − a 2 dx

c.

∫

x 2 + a 2 dx

d.

∫

a+ x
dx
a−x

e.

∫

( x − a )(b − x)dx

f.

∫

1
dx
( x + a )( x + b)

g.

dx
∫ x2 + a 2

h.

∫

k.

(a1 x 2 + b1 x + c1 )dx
∫ ( x − d )(ax2 + bx + c)

l.

∫ ( x + a) ( x + b)

dx
2

2

với ( a ≠ b )

m.

dx
(a 2 + x 2 ) 2 k +1

∫

4 sin x + 3cos x
dx
s inx + 2 cos x

n. ∫

8cos xdx
2 + 3 sin 2 x − cos2 x

Bài 8. Tìm nguyên hàm
dx

a.

∫

d.

cos2 x
∫ sin 8 x dx

g.

∫

(1 − x )

2 3

xdx
x 2 + 1. 1 + 1 + x 2

x2

b.

∫

x2 −1

e.

∫

dx
( x + 2)( x + 1)

h.

∫

2
dx
3 s inx + cos x

dx

dx

c.

∫

f.

∫ x+

(1 + x 2 )3
2x
x2 −1

dx


Dạng 7. Nguyên hàm của một số hàm số mũ và lơgarit
Bài 9. Tìm ngun hàm
a.

dx

∫ e (3 + e
x

−x

)

2
d. ∫ x.ln xdx

b.

∫ x.

ln x

dx
2 + ln x

x −1
c. ∫ ( x + 1).e dx

e.

∫e

dx
+ ex − 2

f.

2x

1 + ln x
dx
x

∫

Phần 2. Tính tích phân
• Dạng 1. Dùng định nghĩa và các tính chất của tích phân.
Bài 10. Tính các tích phân
2

a.

∫ (x

1 2
b. ∫ ( x + ) dx
x
1

− 3 x + 1) dx
2

−2

16

3

d.

∫x

2

− 4 x + 3 dx

e.

g.

∫

π
−
4

(

x
2

x
2

l.

π
2

∫

0

π
4

1
dx
x+9 − x

f. tan 2 xdx
∫

0

2π

x2 + x + 1
dx
h. ∫
x +1
0

4
4
k. ∫ (sin − cos ) dx
0

2
c. ∫ ( x x + 1)dx

1

5
− 4sin x + cos x)dx
cos2 x

π

n.

∫
0

1

π
4

2

3

3

i.

π
3

cos x + s inx.cos x
∫0 2 + s inx dx

m.

−π
4

∫ sin

π
6

2

o. s inx.cos ( x − π )dx
∫0
4

cos5x.sin3xdx

1 − cos2 xdx

0

π
4

π
2

∫

p.

2

2

dx
(5 x + 6)

( x + 1)dx

2
+ x ln x

∫x
1

• Dạng 2. Tính tích phân bằng phương pháp phân tích
Bài 11. Tính tích phân
1

x 7 dx
b. ∫ 2
x +1
0

π
4

π
2

sin xdx
e.
∫0 cos x + s inx

dx
d.
∫0 cos4 x
π
3

4

g. cos x.sin xdx
∫
0

3

π
2

1

xdx
a. ∫
( x + 1) 2
0

2

h.

∫x
1

2

dx
( x + 1)

• Dạng 3. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến.

c. cos3 xdx
∫
0

π

f.

s inx − cos x + 1

∫ s inx + 2 cos x + 3 dx
0


Bài 12. Tính các tích phân sau
1

2

b. ∫ x

a. ∫ ( x − 1) xdx
2

25

d.

∫
0

2x +1
x2 + x + 1

π
2

x + 1dx
6

∫x

c.

0

1

3

1

5

0

e. e

∫

cos2 x

cos3 x
f. ∫ 2 dx
π sin x

s inx.cos xdx

0

g. sin xdx
∫

h.

5

0

6

π
2

e

∫

6

0

π
3

1 + ln 3 x
dx
1 − cos x .s inx.cos xdx i. ∫
x
1
3

5

ln 2

k. (sin 3 x + es inx ).cos xdx
∫

l.

∫

9

(3 + e x )5 e x dx

∫

m.

0

0

x+2
dx
+ 4x + 7

π
3

π
2

dx

2

e

4

x

x

dx

Bài 13. Tính các tích phân
1

3
2

d.

∫
1
2

g.

2

2

dx
a. ∫
1 + x2
0

b.

∫

2 − x dx

3

9 + 3x 2 dx
x2

2

c.

2

0

dx

e.

1 − x2

∫
1

π
6

sin 2 xdx
∫0 2sin 2 x + cos2 x

8

h.

∫x
3

∫x
0

f.

∫

−a

dx
x2 −1
a+x
dx , ( a > 0)
a−x

dx
x2 + 1

Bài 14. Tính các tích phân
1

a. ∫ x

2012

sin xdx

−1

1
2

 1− x 
d. ∫ x ln 
÷dx
1+ x 
−1
2

π
2

cos4 x
b.
∫0 sin 4 x + cos4 x dx

1

cos xdx
ex + 1
−1

∫

c.

π

x sin xdx
e. ∫
4 + cos2 x
0

1

∫ ln( x +

f.

x 2 + 1)dx

−1

2

π

sin 2 xdx
g. ∫ x
3 +1
−π
π
2

k. ln( 1 + s inx ) dx

∫0 1 + cos x

π
4

h. ln(1 + t anx) dx
∫

2π

i.

∫ x.cos xdx
3

0

0

1

dx
l. ∫ 2 x
e +3
0

1

m.

• Dạng 4. Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần.
Bài 15. Tính các tích phân

∫e
0

dx
.
+ ex

2x


1

π
6

2

a. ∫ ( x + 1)e dx

b. ∫ x e dx

2x

2 2x

0

c. (1 − x)sin 3 xdx
∫

1

0

eπ

π

5

d. ∫ x ln( x − 1)dx

e. ∫ e cos xdx

2

x

3

f.

0

∫ cos(ln x)dx
0

π
2

2

ln(1 + x)
dx
g. ∫
2
x
1

h. cos x.ln(1 + cos x)dx
∫
0

• Dạng 5. Liên kết phương pháp đổi biến số và tích phân từng phần
Bài 16. Tính tích phân
1

a. ∫ x (e + x + 1) dx
2

2x

3

0

π

2

e5

ln x.ln(ln x)dx
b. ∫
x
e2

c. ( x + sin 3 x + es inx ).cos xdx
∫
0

• Dạng 6. Lập cơng thức tích phân truy hồi
Bài 17. Lập cơng thức tích phân truy hồi cho các tích phân sau.
π
2

1

a. I n = sin n xdx
∫

n
b. I n = ∫ x 1 − xdx với n là số nguyên dương.
0

0

• Dạng 7. Ứng dụng của tích phân

Bài 18. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của các hàm số sau.
a. y = 2 x 2 − x 4 và trục hoành
b. y = x3 − 3x 2 + 4 và đường thẳng x − y + 1 = 0
c. y = sin 2 x cos3 x ; y = 0 và x = 0; x =

π
2

d. y = − x 2 + 2 x ; y = −3x
e. y = x 2 ; y =

x2
8
;y =
8
x

2
f. y = x − 4 x + 3 ; y = 3 − x

Bài 19. Tính thể tích khối trịn xoay khi quay quanh trục mỗi hình phẳng giới hạn bởi.
a. y = ln x ; trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2 .
b. y = xe x , trục hoành và đường thẳng x = 1
c. y = cos2 x + x sin x , y = 0, x = 0, x = 2.


x2
, y = 2, y = 4 .
2

d. y =

Phần 3. Bài tập tổng hợp

Bài 20. Tính các tích phân.
1

e

(ln x + 2013) 2
dx
a. ∫
x
1

π
2

3

d.

∫x

5

1 + x dx
2

e.

g.

∫
0

π
2

sin 2 x
cos x + 2sin x

k. (e
∫

2

s inx

2

dx

+ cos x) cos xdx

0

h.

x3

∫

c.

s inx

f.

dx

x4 + 1

1

∫ 2 + cos x dx

0

π
2

2

3x
dx
b. ∫ 2
( x + 3)2
0

π
2

dx

o

∫ 4sin x + 3cos x + 5

π
4

π
2

0

dx

∫ (s inx + 3cos x)

2

0

π
2

cos xdx
l.

∫0 sin 2 x + 4sin x + 3

i. cos x cos x − cos3 xdx
∫
0

1

∫x

m.

4

0

x
dx
+ 3x 2 + 2

Bài 21. Tính các tích phân.
e

ln x
a. ∫ 2 dx
x
1

π
2

b. x.cos 3x .cos x dx
∫0
2
2
π
3

1

2
d. ∫ x ln( x + x + 1)dx
0

1

3
2
c. ∫ x ln( x + 1)dx
0

ln 3

e. x. tan 2 xdx
∫

∫

f.

0

0

e3

1

2 x3 − 4 x 2 − x − 3
dx
g. ∫
x2 − 2 x − 3
0

h.

∫
e

dx
x ln x ln(ln x)

ln 2

i.

∫

xe x
ex +1

e2 x
ex + 2

1

dx

dx

π

2

2(2 x − 1)
dx
k. ∫
( x + 2)( x 2 + 1)
1

e4

l.

π

∫x

2

− 4 dx

−3

2

m.

e2

3

n.

∫

dx
x sin 2 (ln x)

π
4

3

o.

∫

x 3 − 2 x 2 − x + 2 dx

x2 −1
∫1 x 4 + 1 dx

p.

∫ sin

π
6

−2

2

dx
x . 4 cot x

Bài 22. Tính tích phân.
ln 3

a.

∫

ln 2

e x dx
(e x + 1)3

e x − e− x

b. ∫ x − x dx
e +e
0
1

ln 5

c.

∫e

ln 3

x

dx
+ 2e − x − 3


π
3

1

x4 + 1
e. ∫ 6 dx
x +1
0

ln(t anx)

dx
d. ∫
π sin 2 x

3

dx

∫ x (1 + x

f.

6

1

2

)

4

ln 3

∫ 2(e

g.

0

k.

1
2

x

x2
h. ∫
(1 + x 2 ) 2
0

+ 1) e + 1
x

0

2 3

∫

5

1

i.

∫

x3

dx
l. ∫
1 + x8
0

dx

o.

x x2 + 4
π
2

q. (A-05) sin 2 x + s inx dx
∫0 1 + 3cos x

π
6

4

tan x
∫0 cos2 x dx (B-08)

1

x 2 + e x + 2 x 2e x
dx
u. ∫
1 + 2e x

0

3

t. ∫ ln( x − x)dx
2

2

m.

π
2

∫
0

sin 2 x
cos2 x + 4sin 2 x

dx

π
4

2
p. 1 − 2sin x dx

∫ 1 + sin 2 x
0

e

ln x
dx
r. ∫
x(2 + ln x) 2
1

2x − x 2 dx

0

1

1 − x2
dx
1− x

∫

n.

1

e x dx

e

s.

∫
1

1 + 3ln x ln x
dx
x

π
sin( x − )
4
v.
dx
∫0 sin 2 x + 2(1 + s inx
+ cos x)
π
4

Bài 23. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau.
a. y 2 − 2 y + x = 0, x + y = 0
b. y = 3 + x − x 2 , y = 2 x + 1 .
c. y = 0, y = s inx, x =

π
3π
,x =
.
2
2

2
d. y = x − 4 x + 3 , x = 2, y = x + 3.

e. y =

1
e

−2 x

, y = 2− x , x = 1.

f. y = x 2 , y = 2 x − x 2 , x = 2.
g. y = (e + 1) x, y = (1 + e x ) x.
x2
x2
.
h. y = 4 − , y =
4
4 2
2
i. y = x − 4 x + 3 , y = x + 3.

Bài 24. Tính thể tích vật thể trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục
Ox
a. y 2 = 4 x, y = x


b. y = x ln x, y = 0, x = e.
π

2

2
c. y = 0, y = cos x + x s in x , x = 0, x = .

Bài 25. Tính thể tích vật thể trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục
Oy: y = 0, y = 2 x − x 2 .
Bài 26. Tính các tích phân.
π
2

sin 2012 x
a.
∫0 sin 2012 x + cos2012 x dx.
π
4

d. x sin x + ( x + 1) cos x dx
∫0 x sin x + cos x

1

b.

∫ 2 ln( x +

−1

π
3

4
π
8

∫

k.

−

π
8

cos2 x
dx
1 + ex

1

∫

h.

0

l.

x ln( x + 2)
4 − x2

π

sin 2 x
dx
c. ∫
1 + 2012 x
−π
4

x
e. 1 + x sin
∫0 cos2 x dx

π
2

cot x
1 + cos 2 xdx
g. ∫
π sin x

1 + x )dx
2

f.

4x −1
dx
2x +1 + 2

∫
0

1

dx

i.

∫

4 x3 + 6 x 2 + 2 x
x2 + x + 1

0

dx

π
6

( x + 1)(1 − 2sin 2 x) + cos2 x .
x cos 2 x + cos2 x
0

∫

Bài 27. Tính các tích phân.
π

4

1

x3
dx
a. ∫ 4
x + 3x 2 + 2
0

3

b. x(1 + sin 2 x) dx
∫

c.

0

1 + ln(1 + x)
dx
2
x
1

∫

Bài 28. Tính các tích phân
1

2

x2 −1
a. ∫ 2 ln xdx
x
1

1

( x + 1) 2
dx
c. ∫ 2
x +1
0

2
b. ∫ x 2 − x dx
0

TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2009-2013
π
2

Bài 1: Tính I = (cos3 x − 1) cos 2 xdx - ĐHKA-2009
∫

KQ:

8 π
−

5 4

KQ:

1
27
(3 + ln )
4
16

0

3

Bài 2: Tính I =

3 + ln x

∫ ( x + 1)
1
3

Bài 3: Tính I =

∫e
1
1

Bài 4: Tính I =

dx - ĐHKB-2009

1
dx - ĐHKD-2009
−1

x 2 + e x + 2 x 2e x
∫0 1 + 2e x dx - ĐHKA-2010
e

Bài 5: Tính I =

x

2

ln xdx

∫ x(2 + ln x)
1

2

- ĐHKB-2010

KQ: ln(e2+e+1) – 2
KQ:

1 1  1 + 2e 
+ ln 

÷
3 2  3 
1
3

KQ: − + ln

3
2


e


1

3

Bài 6: Tính I = I = ∫  2 x − ÷ln xdx - ĐHKD-2010
x
Bài 7: Tính I =

π
4

∫

0
π
3



x sin x + ( x + 1) cos x
dx - ĐHKA-2011
x sin x + cos x

x
Bài 8: Tính I = 1 + x sin
dx
2

∫
0

4

Bài 9: Tính I =

∫
0

cos x

4x −1
dx
2x + 1 + 2

KQ:

e2
−1
2

KQ:

 2 π
π

+ ln 
 + 1÷÷
÷
4
 2  4 

KQ: 3 +

- ĐHKD-2011

KQ:

34
3
+10 ln
3
5

KQ:

2 −2

+ ln 2 + ln 3
3 3

KQ:

1
( 2ln 3 − 3ln 2 )
2

3

1 + ln( x + 1)
dx - KA-2012
x2
1

Bài 10:

Tính tích phân I = ∫

Bài 11:

Tính tích phân I = ∫

1

x3
dx. - ĐHKB-2012
x 4 + 3x 2 + 2

0

Bài 12:

Tính tích phân I =

π/ 4

∫ x(1 + sin 2x)dx - ĐHKD-2012

KQ:

0

2

Bài 13:

Tính tích phân I = ∫
1
1

Bài 14:
Bài 15:

x −1
ln xdx - ĐHKA-2013
x2
2

2
Tính tích phân I = ∫ x 2 − x dx - ĐHKB-2013
0
1

( x + 1) 2
dx - ĐHKD-2013
2
x
+
1
0

Tính tích phân I = ∫

2π
+ ln(2 − 3)
3

- ĐHKB-2011

π2
32

+

1
4

KQ:

5
3
ln 2 −
2
2

KQ:

2 2 −1
3

KQ: 1 + ln 2