(Sáng kiến kinh nghiệm) chuyên đề rút gọn BIỂU THỨC CHỨA căn bậc HAI
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.39 MB, 30 trang )
TRƢỜNG THCS XUÂN CẨM
CHUYÊN ĐỀ 2:
RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI
Họ và tên giáo viên: Tạ Văn Sáng
Môn: Tốn
Trường: THCS Xn Cẩm
Hiệp Hịa, ngày 10 tháng 8 năm 2019
1
Chuyên đề số 2, lớp: 9
CHUYÊN ĐỀ 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Các hằng đẳng thức đáng nhớ
(A
B)
(A
B)
A
2
B
B)
(A
B)
A
3
3
B
B
2
2
(A
A
2
A
A
2
3
3
3
A
A
B
2 AB
B
B )( A
B)
2
(A
3
2
2 AB
3
2
3A B
3
2
B )( A
(A
B )( A
2
3AB
3A B
(A
2
3AB
2
2
B
2
B
3
3
2
AB
B )
AB
B )
2
2. Các công thức biến đổi căn bậc hai
A nÕu A
2
1.
A
2.
AB
A nÕu A < 0
3.
A
B
B
A B
B
A
B
7.
8.
A
A
A
0; B
0
)
(Với
A
0; B
0
)
B
0
A
0; B
A B
(Với
(Với
(Với
A
0; B
)
0)
AB
(Với
A
0; B
0
(Với
B
0
(Với
A
0; A
B
(Với
A
0; B
0; A
A
B
2
2
A
1
B
B
A
B
B
B
C
C
A
A
A
B
B
B
C
C
10
B
A B
A
9
(Với
A.
2
4.
5.
6.
0
A
A
0
)
)
2
)
2
A
A
B
)
B
B
)
B
3
11
3
A
3
A
3
A
3. Một số phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử thƣờng dùng
a, Phương pháp đặt nhân tử chung
b, Phương pháp dùng hằng đẳng thức
c, Phương pháp nhóm hạng tử
d, Phương pháp tách hạng tử ( Cách phân tích đa thức bậc hai, đẳng cấp bậc hai thành nhân tử)
2
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Biểu thức dƣới dấu căn là một sốthực dƣơng.
1. Phƣơng pháp giải:
+ Đưa thừa số ra ngoài dấu căn hoặc đưa vào trong dấu căn để được các căn đồng dạng rồi thu
gọn các căn đồng dạng.
a
+ Với các bài toán mà trong căn là các phân số thực dương
thì có thể áp dụng cơng thức khử
b
mẫu của biểu thức lấy căn để tính toán.
* Lưu ý: Học sinh cần tuân thủ thứ tự thực hiện phép tính ( trong ngoặc trước, ngồi ngoặc sau;
nhân, chia trước, cộng trừ sau)
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau:
M
45
A
245
12
80
27
N
5
8
50
2
18
P
125
4
45
12
5
3
20
80
48
Hƣớng dẫn giải
M
45
2
3 .5
3
5
7
7
2
245
2
5
4 .5
5
6
5
8
5 .2
2
5
4
N
4 .5
10
5
2
A
12
2
3
27
3
3
2
2
2 .3
5
2
(1 0
50
5
5
2
6)
6
2
18
P
5
2
5
5
6
5
4
5
5
2
9
2
48
4
3
3
Nhận xét: Đây là một dạng tốn dễ. Học sinh có thể bấm máy tính để giải, đa phần áp dụng kiến
thức đưa thừa số ra ngồi dấu căn để giải tốn.
2
A B
A
B
(B
0
)
Ví dụ 2: Bài tập trắc nghiệm
Câu 1.
A.
Rút gọn biểu thức
75
48
300
B.
3.
là
C. 1 9
3.
3.
D.
5.
Hướng dẫn: Học sinh sử dụng máy tính cầm tay nhập toàn bộ biểu thức vào máy bấm dấu =
Câu 2.
1
Giá trị biểu thức
3-
A.
3
1
+
5
3+
bằng
5
B. 1 .
.
C.
5.
D.
2
5.
2
Hướng dẫn: Học sinh sử dụng máy tính cầm tay nhập tồn bộ biểu thức vào máy bấm dấu =
Câu 3.
Giá trị của
x
để
12 x
4
3x
1
6
3
là
A.
41
5
B.
.
C. 1 .
.
15
D.
11
.
15
3
Hướng dẫn: Học sinh đưa thừa số ra ngoài dấu căn rồi thu gọn vế trái được phương trình:
3
3x
1
6
3x
1
2
3x
1
. Từ đó tìm được
4
5
x
3
Dạng 2: Áp dụng hằng đẳng thức
A
2
A
1. Phƣơng pháp giải
+ Biến đổi bài toán biểu thức chứa căn về dạng
+
A
2
A
2
A
Phá dấu giá trị tuyệt đối rồi thực hiện các phép tính
* Lưu ý: Để tránh sai sót về dấu khi làm tốn với dấu giá trị tuyệt đối. GV có thể yêu cầu HS khi
phá dấu giá trị tuyệt đối cần xét dấu A cẩn thận, sau đó kết quả của việc bỏ dấu giá trị tuyệt đối
cần ghi vào trong ngoặc rồi phá ngoặc.
2.Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau:
2
3
a,
2
2
2
3
2
2
2
5
b,
2
2
6
5
2
6
Giải mẫu:
2
a)
3
2
2
b,
5
2
6
2
3
2
2
5
2
6
2
3
2
2
3
2
2
5
2
6
5
2
6
(5
2
6)
(5
3
2
2
3
2
2
6
2
5
2
4
Lưu ý: Điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
6
5
2
2
6)
6
6
A
A
2
nÕu A
A
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức
A
4
2
3
7
0
A
4
3
nÕu A
0
.
Hƣớng dẫn giải
A
3
2
3
1
4
4
3
2
3
2
1
2
3
1
2
3
3
1
2
3
Nhận xét: Các biểu thức
p
n
2ab
3
3
3
4
2
1
3
;
2
3
7
4
3
.
đều có dạng
3
m
p
n
trong đó với
a
2
b
2
m
. Những biểu thức như vậy đều viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức.
Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức
B
5
2
6
5
2
4
6
.
Hƣớng dẫn giải
2
Cách 1: B
5
2
6
5
2
6
3
3
2
3
2
3
2
3
2
2
2
2
2
3
2
.
Cách 2:
B
5
2
6
5
2
6
Ta có:
B
2
5
2
6
5
Vì B 0 nên B
Nhận xét: Các biểu thức 5
vậy, để tính B ta có thể tính
tránh nhầm lẫn).
2
6
2
8
2
B
6
2
5
2
6
5
2
6
10
2
1
8
.
2
2
và
5
2
6
là hai biểu thức liên hợp. Gặp những biểu thức như
trước rồi sau đó suy ra B. ( Cần xét B là số dương hay số âm để
Ví dụ 4: Bài tập trắc nghiệm
Câu 1.
Tính giá trị của biểu thức
(3
5)
A.
3-
5
5
3
.
B.
Hƣớng dẫn: HS đƣa về dạng
(3 -
5)
2
=
3-
5 = 3-
A
2
=
A
2
.
.
C. -2.
D. 2.
rồi phá dấu giá trị tuyệt đối
5
Nhận xét: Để phá dấu giá trị tuyệt đối HS có thể sử dụng máy tính cầm tay bằng cách bấm tổ hợp
phím: Shift + hyp ( với máy tính 570-ES PLUS hoặc 570 – VN PLUS)
Câu 2.
Tính giá trị của biểu thức
A.
2
3
.
HS đƣa về dạng
F
4
3
2
1
3
3
1
4
2
3
4
2
B. 6.
A
4
F
2
=
2
3
A
3
.
C. -6.
D.
2
3
.
rồi phá dấu giá trị tuyệt đối
(
1
3
3
3
1
1)
2
2
(
3
1)
2
3
Nhận xét: Bài này nếu học sinh sử dụng máy tính cầm tay sẽ khơng hiệu quả, nên HS phải nắm
vững cách đưa bài toán A với A là biểu thức có thể đưa về dạng bình phương ( Đã hướng dẫn
ở ví dụ 2)
5
Dạng 3: Rút gọn tổng hợp (sử dụng trục căn thức, hằng đẳng thức, phân tích thành nhân
tử; …)
1. Phương pháp giải:
+ Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử rồi thu gọn nhân tử chung ở từng phân thức. Sau đó thực
hiện các phép tính
+ Nếu bài tốn chứa căn ở mẫu mà không rút gọn được từng phân thức như trên thì trục căn thức
ở từng phân thức rồi thực hiện các phép tính
+ Ngồi ra học sinh có thể quy đồng các phân thức ( với nhiều bài tốn khơng hay vì làm cho bài
tốn phức tạp hơn)
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Rút gọn:
A
(
15
3
5
2 )(
1
3
B
21
6
7
2
4
5
2
6
2)
1
2
6
21
6
7
2
1
C
5
1
1
2
1
2
3
3
4
99
Hƣớng dẫn giải
A
(
15
3
5
2 )(
1
3 .(
2)
3
4
5
2
6
5
2
6
1
C
1
2
2
2
1
3
5
7
3
2)
2
4
3
4
6
6
2
5
5
5
1
2
2
4
6
1
...
3
4
2
2
99
4
3
100
...
6
E
5
1
3
1
F
2
2
3
6
2
100
3
3
4
2
3
1
2
3
3
Hƣớng dẫn giải
D
6
2
5
5
1
5
3
2
2
2
99
9
Ví dụ 2: Rút gọn:
D
2)
7
3
1
3
1
2 )(
5
6
1
3 .(
2
6
6
2
3
3
1
2
1)
5
(
B
5
6
5
1
3
2
2
5
1
3
2
2
6
3
5
4
2
3
1
...
5
100
3
3
4
2
3
1
3
3
4
3
4
2
E
22
5
11
2
2
26
13
11
4
3
4
2
2
3
1
3
3
3
3 3
5
3
1
2
3
2
2
2
3
3
2
3
2
1
3
1
2
1
1
2
.( 2 )
2
3
1
2
3
3
2
3
3
1
2
3
3
2
3
4
3
1
2
3
1
6
3
2
5
2
3
3
1
2
2
1
2
4
2
3
3
2
F
3
13
2
1
1
2
3
3
3
1
1
3
1
3
3
3
3
3
1
3
1
2
2
3
3
2 2
1
3
3
3
2
1
2
3
3
2
2. 3
3
3
3
3
3
1
1
3
1
3
1
3
3
Ví dụ 3: Bài tập trắc nghiệm
1
Câu 1 : Tính giá trị của biểu thức
2 +
A.
1
.
1
ta được kết quả
+
3
2 -
3
B. 1.
C. -4
.D. 4.
2
Hướng dẫn:
Cách 1: Học sinh sử dụng máy tính để bấm ra kết quả ( nếu là số nguyên)
Cách 2: Nếu kết quả là số thập phân thì học sinh thao tác trục căn thức hoặc quy đồng để tìm ra
đáp án ở dạng căn.
Câu 2:Giá trị của biểu thức
A. 1.
P
7
5
7
5
7
5
7
5
B. 2.
là
C. 12.
D.
12..
Cách 1: Học sinh sử dụng máy tính để bấm ra kết quả ( nếu là số nguyên)
Nhận xét: Đôi khi một số bài toán rút gọn căn thức sẽ thực hiện dễ dàng hơn nếu chúng ta trục
căn thức hoặc rút gọn được một hạng tử trong đề toán. Nếu quy đồng mẫu số thì việc thực hiện
các phép tính rất phức tạp. Vì vậy trước khi làm bài tốn rút gọn, học sinh cần quan sát kỹ đề
toán từ đó có định hướng giải đúng đắn để lời giải được ngắn gọn, chính xác.
7
Dạng 4. Bài toán chứa ẩn (ẩn x) dƣới dấu căn và những ý toán phụ.
1. Phương pháp giải
Bước 1:
Bước 2:
Tìm điều kiện xác định.
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi rút gọn nhân tử chung ở từng phân thức
( nếu được).
Quy đồng mẫu thức các phân thức rồi thực hiện các phép tính sau quy đồng (
thường chỉ thực hiện ở trên tử) rồi rút gọn các phân thức đến mức đơn giản
nhất..
Kết luận bài toán
Bước 3:
Bước 4:
* Một số biểu thức thƣờng gặp trong bài toán rút gọn căn bậc hai
+ x ± x = x . ( x ± 1) ( Phương pháp đặt nhân tử chung)
+
x ± 2
+
x- 1= (
+
x
x ± 1= (
+
x
x -
x + 1= (
x ± 1)
x + 1) (
x-
( 2 Hằng đẳng thức bình phương của một tổng, một hiệu)
2
( Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương)
x - 1)
x ± 1) ( x m
x + 1)
x + 1 = x(
(2 Hằng đẳng thức tổng, hiệu hai lập phương)
x - 1) - (
x - 1) = (
x - 1) ( x - 1) = (
2
x - 1) (
x + 1)
( Phương pháp nhóm hạng tử)
* Một số lưu ý khi làm bài rút gọn:
+ Một số bài toán cần đổi dấu ở một số phân thức để làm xuất hiện mẫu thức chung khi quy
đồng.
+ Học sinh cần tuân thủ thứ tự thực hiện phép tính trong những bài tốn có chứa phép tính cộng,
trừ, nhân, chia phân thức và có dấu ngoặc.
+ Học sinh không nên lạm dụng cách làm là quy đồng các phân thức, cần tỉnh táo nhận xét từng
phân thức xem có nhân tử chung ở tử và mẫu không để rút gọn. Nếu không được mới chuyển
sang các bước tiếp theo
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho biểu thức.
a) Rút gọn P;
b) Tìm giá trị của P, biết
x
4
2
3
;
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Hƣớng dẫn giải
ĐKXĐ:
a)
3
P
0; x
x
x
3
x
x
2
1
2
2
9
x
3
x
.
3 3
3
x
5
3
P
x
x
3
2
x
2
x
1
x
x
x
3
3
x
x
1
3
8
3 3
2
2
1
x
x
x
5
3
3
3 3
x
x
1
5
x
3
3x
9
x
2
x
6
2x
x
5x
17
x
x
1
6
2
1
5x
x
3
2
3
x
Ta có x
4
5
Do đó: P
3
3
1
3
1
3
x
2
1
2
b)
x
15
x
5
3
x
6
x
3
9
x
15
5
x
3
2
x
5
3
3
1
x
3
3
x
1
3
x
( thỏa mãn ĐKXĐ)
1
2
3
3
2
3
3
7
2
3
2
2
.
1
;
1
3
x
x
3
x
2
5
9
.
Nhận xét : HS cần kiểm tra giá trị x của đề bài có thỏa mãn ĐKXĐ khơng ? Một số bài tốn cần
biến đổi giá trị x ở đề bài sao cho gọn nhất để thuận tiện cho việc thay giá trị đó vào biểu thức.
c)
5
Ta có P
x
2
x
5
x
1
5
x
7
1
7
P
5
x
1
7
Vì
x
1
x
1
7
nên P có giá trị nhỏ nhất
0
lớn nhất
x
nhỏ nhất
Khi đó min P
5
x
7
.
0
2
1
.
Nhận xét : Để làm câu c HS cần nắm rõ quy tắc dấu, quy tắc đổi chiều khi đánh giá bất đẳng
thức.
+ A> B Þ
m -
+ A > B > 0 Þ
(m
A < m - B
m
<
m
A
)
Ỵ R
(m > 0)
B
Ví dụ 2: Cho biểu thức
a) Rút gọn Q;
b) Tìm x để Q
x
1
x
2
Q
2
2
x
x
5
x
2
4
2
3
:
x
x
x
4
x
x
4
;
c) Tìm các giá trị của x để Q có giá trị âm.
Hƣớng dẫn giải
ĐKXĐ:
a)
Q
x
x
0; x
x
1
x
2
1
4; x
2
x
x
x
9
5
x
4
2
2
.
2
2
x
x
3
:
x
x
2
x
x
4
5
x
x
4
2
x
3
x
:
x
2
x
2
2
x
9
2
2
x
3
x
2
2x
x
2
4
x
x
5
x
2
x
2
.
2
x
3
x
x
x
2
x
x
b)
Q
2
x
2
x
2
x
3
8
2
2
2
x
.
x
2
x
x
.
2
x
2
x
2
8
3
x
x
2
x
64
x
2
x
2
x
2
x
3
x
x
2
x
3
6
.(Thỏa mãn ĐKXĐ).
Nhận xét: Khi tìm được giá trị x thì HS cần nhận xét giá trị đó có thỏa mãn điều kiện xác định
khơng rồi kết luận
c)
Q
0
x
2
x
3
0
(vì x 2 0 )
x
Kết hợp với điều kiện xác định ta có
x
3
0
3
x
Q
0
9
khi
.
0
x
9
và
x
4
.
Nhận xét: Học sinh cần tránh sai lầm khi giải bất phương trình là quy đồng rồi khử mẫu.
+ Khi tìm được giá trị x theo yêu cầu đề bài HS cần kết hợp với ĐKXĐ để được kết quả cuối
cùng ( HS thường quên không kết hợp với ĐKXĐ mà vội kết luận ngay).
Ví dụ 3: Cho biểu thức
a
B
a
a) Rút gọn B.
b) Tìm các số nguyên
Hƣớng dẫn giải
a)
Với a 0 ; a
3
a
3
a(
(
a
a
Để
b)
3)(
3
B
a
a
a
3
a
2
a
9
3(
3)
3
a
3)(
a
a
1; 1 1;
(
9
a
11
Z
a
3
2
a
9
với
a
0; a
9
để B nhận giá trị nguyên
a
3)
a
U (1 1)
3
a
ta có:
9
a
B
3
a
a
3)
Z
a
=
a
a
3
3
a
a
3
3)
3)(
a
2
(
a
3)
(
a
a
3)(
a
3)
2
a
3)
2
3)(
11
a
1 1 ( a
9
9)
(a
9)
U (1 1 )
9
1;
11
Khi đó ta có bảng giá trị
a
a
9
-11
-1
1
11
-2
8
10
20
Khơng thoả mãn
Thoả mãn
Thoả mãn
Thoả mãn
10
Vậy
a
thì
8;1 0 ; 2 0
B
Z
Nhận xét: + Trong một số bài tốn HS có thể đánh giá mẫu thức để hạn chế các giá trị ước khơng
thỏa mãn. Qua đó rút ngắn được các trường hợp cần thử.
6
Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của x để
(x
A =
³
0
) nhận giá trị nguyên
x + 3
+ với
x ³
0
thì
6
nhận giá trị nguyên
A =
Û
x + 3 Ỵ U ( 6 ) = {± 1; ± 2 ; ± 3 ; ± 6 }
x + 3
+ Vỡ
x
0 ị
nờn
x + 3 3
x + 3 ẻ {3 ; 6 }
+ Ta có bảng xét giá trị sau:
x + 3
3
6
x
0
3
0
9
Chọn
Chọn
x
Vậy
Nhận xét
{0 ; 9 } là các giá trị cần tìm
x Ỵ
Ví dụ 4: Cho biểu thức
x
P
3
2
(với
x
0; x
4; x
x
x
2
3
9
x
x
x
x
3
: 1
6
x
9
x
9
2
x
)
9
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị biểu thức P khi
4
x
2
6
3 .(
2
3
5
1)
5
Hƣớng dẫn giải
a)
x
9
4
x
9
x
P
:
2
2
x
4
x
x
3
3
1
3
x
9
3
x
x
x
3
x
x
9
3
2
:
x
x
x
9
x
x
3
2
b)
3
1
3
1
3
1
x
2 (tm )
2
1
Nên
P
5
2
1
5
2
2
5
5
1
2
Ví dụ 5: Với x > 0, cho hai biểu thức
A
2
x
x
và
B
x
1
x
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 64.
b) Rút gọn biểu thức B.
11
x
1
x
c) Tìm x để
A
3
B
2
Hƣớng dẫn giải
a)
Với x = 64 ta có
2
A
64
2
(
B
x
1) ( x
x)
(2
x (x
c)
Với x > 0 ta có:
2
x
2
3
x
1)
4
x
x
x)
A
3
B
2
Ví dụ 6: Cho hai biểu thức
x
x
2
x
A
x
x
4
x
1
a) Tính giá trị biểu thức A khi
3
1
2
và
2
3
x
x
x
x
x
2
x
1
1
3
x
2
x
1
2
x
0
B
1
1
x
x
x
0)
2x
x
2
:
x
x (Do x
b) Chứng minh
5
8
64
b)
8
4 (D o x>0)
1
2
x
3
x
với
x
0; x
1
3
9
1
B
x
1
c) Tìm tất cả các giá trị của x để
A
x
B
4
5
Hƣớng dẫn giải
a)
Do x = 9 thoả mãn điều kiện nên thay x = 9 vào A ta có
A
b)
B
9
4
3
4
7
9
1
3
1
2
3
x
x
2
3
(
c)
x
A
x
B
4
1
x
2
3
x
1
3)(
x
.
x
3
2
1)
5
3
x
x
4
x
1
x
20
x
3
(
1
:
x
1
x
x
2(
3)(
x
1)
x
x
1)
(
x
3
3)(
1
x
1)
x
x
2
0
( Với
x
0, x
1
5
4
1
2
4(
x
4)
x
4
x
4
0
x = 4 thoả mãn điều kiện. Vậy x = 4 thì
Ví dụ 7:Cho biểu thức
A
x
x
2
x
x
1
x
x
x
x
A
x
B
4
1
x
2
2x
x
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để biểu thức A nhận giá trị là số nguyên.
Hƣớng dẫn giải
a)
x
A
x
2
x
.
1
12
x
5
1
x
0
2
2
x
x
1)
4
b)
Cách 1: Với
Vậy
0
x
0, x
x
A
1
x
2
x
x
1
x
x
2
x
1
1
2
1
1
x
1.
2.
x
x
1
1
1
x
Vì A nguyên nên A = 1
x
x
1
( Khơng thỏa mãn).
1
Vậy khơng có giá trị ngun nào của x để giả trị A là một số nguyên.
Cách 2: Dùng miền giá trị
x
A
x
2
x
A x + (A -1 )
x
A
2
0
1
Trường hợp 1:
A
0
Trường hợp 2:
A
0
x
2
(A
x
1)
2
4 A(A
2)
3A
2
6A
1
0
A
2
2A
1
0
3
A
2
2A
4
1
(A
1)
4
2
3
A
1; 2
doA
Z, A
0
3
Với A = 1 => x = 1 ( loại)
x
Với A = 2
2
x
x
2
x
0
( loại).
1
Nhận xét: Đây là dạng bài tốn khó. HS thường nhầm lẫn sang dạng tốn tìm giá trị ngun của
x để A nhận giá trị nguyên.
+ Với bài toán dạng này HS cần đánh giá được A kẹp giữa 2 giá trị nào rồi dùng điều kiện A là số
nguyên để chọn giá trị A thỏa mãn trước. Sau đó xét các trường hợp với từng giá trị của A được
chọn.
Ví dụ 8: Cho biểu thức
P
1
1
x
:
x
a) Rút gọn biểu thức
P
1
x
1
x
x
x
, (với
x
0
tại
P
x
2022
4
2018
2022
Hƣớng dẫn giải
Ta có
1
1
x
x
x
Và
1
x
nên
P
x
x
x
x
x
1
.
x
b)
Có
x
1
1
2022
4
x
x
1
x
1
1
1
x
x
1
x
x
1
x
1
x
x
1
x
x
1
x
1
2
.
x
2018
2022
2
2018
1 ).
x
.
b) Tính giá trị của biểu thức
a)
và
4
2018
2
2018
2
13
4
2018
.
2018
x
2
2018
2
2018
2
tại
4
2018
2
thỏa mãn điều kiện
4
x
0
và
1.
+ Vậy giá trị của biểu thức
P
x
4
là:
1
3
Ví dụ 9: Cho biểu thức
6
B
10
a
a) Rút gọn biểu thức
b) Đặt
C
B .( a
1
a
2
a
a
(
.
a
a
C
và 1.
.
2
4
a
1
1)
4
2
(với
a
0; a
).
1
a
.
B
a
1)
. So sánh
( Đề thi vào lớp 10 tỉnh Bắc Giang năm học 2017-2018)
Hƣớng dẫn giải
a)
Với
a
0; a
6
B
10
a
4
(a
b)
Với
, ta có:
1
1
(a
a
1) (
a
1) (
4
a
2
.
1
.
a
(
(
a
1)
a
1)
0; a
a
1)
4
4
2
a
2
4(
a
, ta có:
1)
(
C
a
1) (
a
1
a
1)
a
a
1) (
1
.
a
1)
(
a
1
x
A
x
a. Rút gọn biểu thức
4
1
x
4
1)
2
1
a
. Vậy
1
B
a
a
2
0.
Vậy
C
1.
a
x
:
4
a
1)
a
Ví dụ 10:Cho biểu thức
(
x
x
2
x
, với
x
x
0
.
2
.
A
b. Tìm tất cả các giá trị của x để
1
A
3
.
x
Hƣớng dẫn giải
a)
Ta có:
x
A
x
x
(
b)
Với
1
x
2)
x
0
2
1
4
x
x
:
4
x
x
:
x
ta có
x
Suy ra:
1
A
0
2
x
(
1
A
x(
Khi đó
2
x
2
x
x
x
1
x
x
2
x
1
x
và
2)
x
(
2
0
x
x(
:
1
2)
x
x
2
x
:
x(
x
2
x(
x
2
3
0
x
2)
x
1
1)
2
;
x
x
2)
.
2)
1
3
x
x
1
x
2
3
x
.
Ví dụ 11: Bài tập trắc nghiệm
14
x
1
x
1
2
.
ổ
ỗ
P = ỗ
ỗỗ
ố
Cõu 1: Rỳt gn biu thc
A.
x
ử
ữ x- 4
ữ.
ữ
x + 2ữ
4x
ứ
x
+
x - 2
.B.
x
-
x
vi
.
v
x ủ0
x ạ
ta c kt qu
4
C. 2
.D. -2.
Hướng dẫn: HS thực hiện các kĩ năng rút gọn chn ỏp ỏn
ổ 1
ỗ
ỗ
ỗố x
Cõu 2: Rỳt gn biu thc
A.
x - 1
.
ử
ữá
ữ
ữ
x + 1ứ
1
x + 1
B.
x
2
.
x
vi
x- 1
x > 0; x ¹ 1
x - 1
C.
x
.
có kết quả là
x + 1
D.
x
.
x - 1
Hướng dẫn: HS thực hiện các kĩ năng rút gọn để chọn đáp án
Câu 3: Cho biểu thức Q
1
=
x
A. 1.
Hướng dẫn: Ta có:
Þ
. Giá trị lớn nhất của biểu thức Q bằng
4x + 5
B. -1.
C. 4.
D. 5.
2
x - 4 x + 5 = ( x - 2 ) + 1 ³ 1, " x
2
1
-
2
2
x - 4x + 5 =
Þ
2
( x - 2 ) + 1 ³ 1, " x
£ 1, " x Þ
Q £ 1
2
x - 4x + 5
Vậy giá trị lớn nhất của Q bằng 1 đạt được tại x=2
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
1. Bài tập tự luận
TL2.1: Thực hiện các phép tính sau:
a,2
3
3
27
b, (2
300
3
5
27
4
12 ) :
3
TL2.2: Rút gọn
a)
A
4
2
3
b)
B
8
c)
C
9
4
5
d)
D
7
e)
E
6
2
5
f)
F
7
6
2
5
2
15
13
2
7
10
13
1
20
2
TL2.3: Rút gọn
A
(
3
4)
19
8
3
B
(
5
2 )(
5
7
2)
4
3
7
5
7
C
3
7
E
5
8
30
2
2
4
D
2
11
2
15
F
2
15
2
4
2
2
5
2
3
1
3
1
3
1
3
1
5
3
8
TL2.4:
Bài 2.4.1:Cho biểu thức
x
A
x
a. Rút gọn biểu thức
1
4
x
:
x
4
x
2
1
A
3
x
B
x
x
x
). Tìm tất cả các giá trị của
để
x
x
, với
x
x
.
0
2
.
A
b. Tìm tất cả các giá trị của x để
Bài 2.4.2:Cho biểu thức
x
x
x
B
.
x
x
1
3
1
x
.
x
1
2x
(với
x
x
0; x
1
và
x
1
4
1
.
0
( Tuyển sinh vào 10 tỉnh Bắc Giang năm học 2016-2017)
Bài 2.4.3:Cho biểu thức
1
V
1
x
a) Rút gọn biểu thức
b) Tìm giá trị của
x
V
.
để
V
2
1
x
x
2
và
B
2
với
x
0, x
.
0
x
.
3
Bài 2.4.4: Cho hai biểu thức
A
1) Tính giá trị biểu thức
2) Chứng minh rằng
x
2
x
5
khi
A
x
Bài 2.4.5: Cho biểu thức :
để
b) Cho biểu thức
x
B. x
x
0, x
x ³
0, x ¹
25
x +
x + 6
x + 1
-
x - 2
, với
1
.
x - 1
.
P
x
2 7 .P
x
3
x
1
P
1
, với
x ³
a
a
0, x ¹
1, x ¹
4
. Chứng minh
1
1
x
P
x
a
1
a) Chứng minh
P
x
2
2
1
a
a
2
1
1
a
a
1
2
1
1
x
x
.
2
x
1
x
1
với
x > 0; x
1
.
.
Bài 2.4.8: Cho hai biểu thức A =
9
2
x
4
5
5
6.
với 0 < a < 1.
a
x
b) Tìm giá trị của x để 2P =
Q
2
Chứng minh rằng P = –1
Bài 2.4.7: Cho biểu thức
.
.
4
- x + x
+
Q
Bài 2.4.6: Cho biểu thức
với
25
.
A
x + 2
a) Rút gọn biểu thức
x
5
x
5
x
P =
9
2
.
B
3) Tìm tất cả các giá trị của
20
x
x
1
3
.
5
và B =
x
x
x
16
x
x
1
(x > 0 , x
1
1)
a) Rút gọn biểu thức A và B.
b) Tìm giá trị của x để 3 A
2. Bài tập trắc nghiệm
TN 2.1: Giá trị của biểu thức
A.
8
(8
3..
5
1
TN 2.2. Rút gọn biểu thức
a
a
A. 1
0, b
3)
B.
5
1
Tính
bằng
2
8..
3
C. -11.
b
b
b
a
ab
..
a
A. 1
1
2
2
D.
a
1. .
8 .
..
2a
D.
b
.
b
, ta được
a
a..
B.
TN 2.5. Giá trị của biểu thức
A.
a
a..
a
C.
b
a
3
ta được
2
B.
C. 1
a ). .
(1
a
1
5
, ta được
a
A. 2.
TN 2.4. Rút gọn biểu thức
D.
a
B.
0
.
0
5
a
a..
TN 2.3. Cho a
B
2(
2
6)
3
2
3
.
B.
a ). .
(1
2
3
C. 1
a..
D.
C. 1
.
D.
a
1. .
bằng:
3
.
4
.
3
3
2
1
TN 2.6. Giá trị của biểu thức
bằng
1
A.
(3
2
2 ). .
2
TN 2.7. Giá trị của biểu thức
B.
3
6
6
15
A. 1 2 6 . .
3. Hƣớng dẫn giải và đáp số
B.
2
2.
15
.
3
C.
6
6
2
2.
.
D.
bằng
30..
C. 6.
D. 3.
3.1. Tự luận
TL 2.1
a,2
b, (2
3
3
3
27
5
27
2
5
300
4
2
3
12 ) :
3
3
(2
2
2
3 .3
3
2
1 0 .3
5 .3
3
4 .2
TL 2.2
2
A
6
5
1
5
1
5
1
17
3
3) :
2
3 .3 . 3
10
3
3
3
3 :
3
5
5
2
3. .
2
B
4
12
4
C
19
D
5
2
6
E
6
2
5
5
1)
7
2
2
3
3
1
3
1
2
8
3
4
3
4
3
4
3
2
(
F
3
6
2
2
2
(
5
10
3
5
1)
2
|
1
20
5
2
5
1|
2
5
3
1
|
2
5
5
2
1|
5
1
5
1
5
1
2
8
5
2
2
5
2
5
2
2
5
1
.2
2
2
2
2
5
2
2
5
2
3
5
TL 2.3:
2
A
(
B
3
(
4) 19
2
5)
2
8
3
3
(2
2
3)
2
5
7
2
4
3
3
3
1
4
( 1)
4
3
7
5
16
3
13
4
2
5
4
2
2
5
3
2
3
2
C
7
4
5
3
7
4
2
2
11
2
7
Ta có
5
7
5
14
2
44
7
5
2
7
2
7
11
2
11
2
1
2
7
2
11
2
C
2
3
2
2
2
4
D
4
2
2
2
5
8
5
5
15
1
2
15
30
2
2
2
2
1
3
1
2
2
3
1
3
1
2
5
15
1
4
1
5
5
2
5
2
2
5
2
5
2
15
1
1
.
15
2
1
2
2
1
3
1
4
2
3
4
2
3
F
4
TL 2.4
Bài 2.4.1
a) Với x >
x
4
1
x
1
2
, Ta có:
0
x
A
3
x
:
4
x
2
x
x
x
x
5
4
8
5
16
3
2
2
2
2
3
1
2
5
2
2
.
1
2
5
2
2
E
2
2
2
2
5
2
2
2
(
x
1
2)
2
18
x
:
x(
x
x
2)
x
2
x
(
b)
Với
1
x
2)
x
0
x
:
2
x
x
ta có
2
x
1
A
Suy ra:
0
2
(
1
A
x(
Khi đó
x
x
x
x
1
x
x
x(
:
2
x
x
0
1
1)
x(
2
;
x
2
x
2
3
0
x
2)
.
2)
1
3
2)
và
x
1
1
x
3
2
x
x
1
1
x
.
Bài 2.4.2.
Với
x
1
x ³ 0; x ¹ 1 ; x
Ta có
4
x
x
x
Vì
x
1
0
x
x
x
3
x
1
x
1
1
2
nên 2 x
x
3
1
0
1
x
x
2
.
1
x
B
x
B
0
3
1
x
.
x
1
2
x
khi
2
x
1
1
, do đó
x
x
3
x
1
1
1
x
.
2x
2
x
3
2
x
1
0
1
x
1
x
1
.
. Mà
x
0; x
1
và
4
nên ta được kết quả
0
1
x
.
Bài 2.4.3.
x ³ 0; x ¹
, ta có
4
1
V
1
x
b)
2
1
V
x
2
3
x
x
2
x
1
2
2
x
2
x
2
x
2
x
2
x
2
6
x
x
2
2
x
x
2
( thỏa mãn)
64
3
Bài 2.4.4
1. Khi x=9 ( thỏa mãn ĐKXĐ). Ta có
2)
Với
x
0, x
3
B
3
20
2
5
x
x
5
20
2
x
5
5
x
0, x
25
2
3
2
5
9
5
3
5
2
3
x
15
x
x
3
Ta có:
20
5
x
15
x
Tìm tất cả các giá trị của để
Với
9
, ta có
x
x
3)
25
A
A
A
x
5
20
2
5
x
B. x
4
B. x
2
5
.
4
19
x
x
5
x
x
x
5
1
5
x
1
4
4
a)Với
x
5
x
(đpcm)
5
Nếu
x
2
x
5
x
5
x
4, x
25
thì
x
Do
Nếu
1
x
x
0
x
Do
6
4
(* )
0
x
4
x
2
2
0
x
2
3
x
nên
Vậy có hai giá trị
x
x
1
và
x
4
0
x
2
4
2
x
x
(thỏa mãn)
x
1
(* )
2
2
9
1
4
x
x
nên x 3
x
thì ( * ) trở thành :
0
x
trở thành :
x
0
2
x
. x
x
0
(thỏa mãn)
1
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
9
Bài 2.4.5
a, Với
x
0, x
1, x
4
Ta có
x
x
x
P
x
2
x
x
x
1
x
x
x
x
x
x
b)
Với
x
4
2
x
x
x
x
6
1
x
0, x
1, x
x
2 7 .P
x
1
x
x
x
2
1
x
2
x
x
x
1
x
x
x
x
2
4
4
1
6
1
x
x
x
1
1
6
x
x
2
3
x
2
4
x
.
x
2
6
12
2
, ta có
x
27
x
9
36
x
3
Q
x
x
3
x
36
3
x
x
2
6
3
x
36
3
3
x
Dấu “=” xảy ra khi
x
36
3
6
. (co-si)
3
2
x
x
3
36
x
9
( thỏa mãn ĐKXĐ)
3
Bài 2.4.6
Với 0 < a < 1, ta có:
2
1
P
1
1
a
a
1
a
1
a
2
a
1
a
1
a
1
a
a
2
2
1
a
2
1
1
a
a
1
1
1
a
1
a
1
a
a
1
1
1
a
1
a
a
a
(1
1
a
1
a
a
1
a. 1
a
a
20
a ) (1
2
a
2
1
a
a)
1
a
1
a
1
a
1
a
1
a
1
a
1
a
1
a
1
a
1
a
2
.
1
a. 1
a
(1
a)
(1
a)
2a
2
1
1
a
1
a
1
a
1
2a
2a
1
ta có
1
2
x(
x
x
2
x
2)
x(
1
2a
x
x
a
2a
a
> 0; x
P
1
.
2a
Bài 2.4.7
a) Với x
a
- Vậy với x
x
2)
.
x(
x
1
x
1
> 0; x
.
x
(
2)
x
x(
ta có
1
1) (
x
1
x
1
x
x
2)
2)
x
P
.
1
x
1
x
1
=
x
1
x
.
x
b)
- Với
x > 0; x
1
ta có:
x
P
1
x
- Để 2P =
2
x
5
nên
2
x
1
2
x
5
x
- Đưa về được phương trình
x
2x
3
2 (lo ¹ i)
- Tính được
x
1
x
1
x
2
0
thỏa mãn điều kiện
x > 0; x
4
2
Vậy với
1
x
thì 2P =
2
x
5
5
(
5
2)
5
2
(vì
5
x
x
1
4
Bài 2.4.8.
a, Ta có: A =
5
Với x >
2
9
4
5
0; x ¹ 1
5
5
B=
2
x
x
x
b)
1
x
1
2
x
5
2
)
x .(
1
x
1)
(
x
x
1).(
x
x
1
x
3A + B = 0
6
2
2
x
6
2
x
x
0
3
với
x
x
0, x
9
1
( thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy với x = 9 thì 3A + B = 0
21
1)
1
a
3.2. Hướng dẫn lựa chọn đáp án trắc nghiệm
TN 2.1: Giá trị của biểu thức
A.
8
3..
5
Hƣớng dẫn:
(8
(8
5
3)
2
8
5
bằng
2
5
3)
B.
5
3
8..
5
3
8
3
C. -11.
D.
5
3
D.
a
1. .
8 .
Đáp án B
1
TN 2.2. Rút gọn biểu thức
a
a
A. 1
a
, ta được
1
a..
a
B.
C. 1
a ). .
(1
a..
Hƣớng dẫn: Cần sắp xếp mẫu theo đúng thứ tự
1
a
a
a
1
1
a
(
a)
a
3
a
(
a
1) ( a
1
a
a
a
1)
a
1
1
Đáp án A
TN 2.3. Cho a
0, b
0.
Tính
a
a
b
b
b
a
A. 2.
B.
ta được
2
ab
..
a
C.
a
a
b
b
b
ab
a
b
a
2
ab
b
a
2a
D.
b
b
Hƣớng dẫn:
..
1
2
ab
b
1
2
ab
.
b
ab
b
b
Đáp án B
TN 2.4. Giá trị của biểu thức
A.
2
2
2(
2
6)
3
2
3
.
B.
2
3
bằng:
3
.
C. 1
.
D.
4
.
3
3
Hƣớng dẫn: Bấm máy tính sẽ có kết quả là
4
3
Đáp án D
2
1
TN 2.5. Giá trị của biểu thức
1
A.
(3
2
bằng
2
2 ). .
B.
3
2
1
1
2
.
C.
3
2
2
2
1
Hƣớng dẫn:
2.
(1
2
2 ) (1
(1
2)
Đáp án B
22
2)
2
3
2
2
2.
.
D.
2
2
3. .
TN 2.6. Giá trị của biểu thức
A. 1 2
15
6..
6
B.
6
15
6
6
bằng
30..
C. 6.
D. 3.
Hƣớng dẫn:
Cách 1: Nhập biểu thức vào máy tính rồi bấm được kết quả là 6
Cách 2:
15
6
6
15
6
6
(3
6)
2
(3
Đáp án C
23
6)
2
3
6
3
6
6
D. ĐỀ TỔNG HỢP
PHẦN 1: TRẮC NGHIỆM ( 3 điểm)
Câu 1:Căn bậc hai của 16 là
A. 4.
Câu 2: Giá trị của biểu thức
B. – 4.
A =
16 -
A. 6.
64 +
36
1
2.
2
2
A.
2
B.
2.
Câu 4: Rút gọn biểu thức
(5
A. 2.
D.
16 )
A.
2
K =
.
D. 2.
bằng
8
2
2
2.
bằng
B. -1.
Câu 5: Giá trị của biểu thức
C. -2.
2
C. 0.
2.
D. 4 và -4.
bằng
B. -6.
Câu 3: Kết quả của phép tính
C. 256.
C. 1
2 (3
2 -
B.
2
2
8)
D. -2.
là
.
C.
2
.
D.
2
D.
12
5
.
2
Câu6: Giá trị của biểu thức
A.
3
B.
7
Câu 7: Biểu thức
A.
2
B =
7
7
bằng :
3
C.
3
72 - 3
20 - 5
.
B.
11
Câu 8: Tính giá trị của biểu thức
(
A.
.B.
-
7 -
6
Câu 9: Giá trị biểu thức
5
5
1
A.
5..
6 -
3
3
1
3
1
2
2
.
5
.
6
.
C.
6 -
7
.
D. 1.
2 -
A. 4.
C.
.C.
3.
5..
D.
5. .
2
3. .
D.
3. .
. Khi đó căn bậc hai của A là
3
B. 2
1
C. -4 và 4.
1
15
4
bằng
1
3
4
-
ta được kết quả
5..
+
Câu 12: Giá trị biểu thức
sau khi rút gọn có kết quả bằng
C.
7)
7 -
.B.
3.
2 +
.
3
bằng
B.
Câu 11 : Biểu thức A=
2
180
7
5
Câu 10: Giá trị của biểu thức
A.
2 +
D.
4
4
bằng
15
24
D. 2 và -2.
A.
1
B. 1 . .
.
C.
8. .
D.
8.
D.
7
.
2
2
Câu 13: Rút gọn biểu thức ta được
M
A.
B.
3. .
Câu 14: Giá trị của biểu thức
A.
6
216 +
B.
A = - 4
A =
.
Câu 17: Với
2
x
6 +
-
0
, rút gọn biểu thức
A. 1 . .
.
x
(x
B. 1
2 x. .
2
C.
7 a..
C.
6x + 9 = - 2
C.
7. .
7
7 ..
2
D.
7 a. .
được rút gọn bằng biểu thức nào sau đây
6
6
ta được
7
a. .
B. A
x
2
là
0)
33 - 12
.
Câu 16: Rút gọn biểu thức
A.
3a (a
.B.
15 -
2
5
3. .
2
4a
a.
Câu 15: Biểu thức
A.
7
2
x
C.
.
6
D.
với
- 2x + 1
.
1)
2
x > 3
6 + 3
6
.
, ta được
.
D.
A = 4
1. .
D.
1. .
A = 2
.
ta được
2
C.
2x
2
Câu 18: Kết quả rút gọn biểu thức
a
1
N
a
A.
1
..
B.
3
1
b
với
a
C.
3
0
1
..
1
D.
a
1
2
b
2
a
b
:
2
b
2
a
a
(a
2
b
b
2
..
1
B.
..
Câu 20: Cho biểu thức Q
x
A. 1.
PHẦN 2: TỰ LUẬN
2
-
..
D.
1
2
2
1
=
2
C.
2
2
. Giá trị lớn nhất của biểu thức Q bằng
4x + 5
B. -1.
C. 4.
D. 5.
Câu 21 ( 2 điểm): Thực hiện phép tính
144
49
b)
25
2
3
48
75 c,
125
4
45
Câu 22 ( 2 điểm). Rút gọn các biểu thức sau
2
a,
3
b,
5
6
2
3
4
c,
1
5
Câu 23 ( 1,5 điểm): Giải phương trình:
25
3
2
.
0)
2
bằng
3b
A.
a)
.
9
9
a
a
b
9
..
Câu 19: Giá trị của biểu thức
a
b
5
2
3
20
80
.
.
khi
