(Sáng kiến kinh nghiệm) dạy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trong kỳ thi thptqg

DẠY GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ
NHẤT CỦA HÀM SỐ TRONG KỲ THI THPTQG

NỘI DUNG
1.

ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁCH TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

2.

CÁC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA

3.

HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM THEO 4 CẤP
ĐỘ

4.

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM PHẦN
VẬN DỤNG CAO


GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
A. LÝ THUYẾT
1) Định nghĩa: Cho hàm số y

f ( x ) xác định trên tập D .

• Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y f ( x ) trên tập D nếu f ( x ) M với

mọi x thuộc D và tồn tại x0
Kí hiệu : M

D sao cho f ( x0 )

M.

Max f ( x )
D

• Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y f ( x ) trên tập D nếu f ( x ) m với

mọi x thuộc D và tồn tại x0
Kí hiệu: m
2)

D sao cho f ( x0 )

m.

Min f ( x )

Tìm GTLN-GTNN của hàm số y f ( x ) trên miền D:
Bước 1: Tính f '( x )
điểm trên miền D mà tại đó f '( x )

. Tìm các
0 hoặc f '( x )

khơng xác định.
Bước 2: Lập bảng biến thiên

3)

Tìm GTLN,GTNN của hàm số y f ( x ) liên tục trên đoạn a; b
: Bước 1: Tính đạo hàm f '( x ) .
Bước 2: Tìm các điểm x1 , x2 ,..., xn
khơng xác định.
Bước 3: Tính các giá trị f ( a ), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ), f ( b )
Bước 4: Kết luận
min f ( x ) m min
a ;b

max f ( x ) M max

Lưu ý:

•

• Trên khoảng

a;b

Nếu hàm số xác định và liên tục trên đoạn a; b thì sẽ đạt GTLN
và GTNN trên đoạn a; b


B. BÀI TẬP MINH HỌA
Ví dụ 1(NB): Cho hàm số y f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới.

Khẳng định nào sau đây đúng?
x
y’

y
1

1

A.Giá trị lớn nhất của hàm số là 3 .
B.Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x

2

C.Giá trị nhỏ nhất của hàm số là

1.

D.Hàm số khơng có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
Ví dụ 2(NB): Hàm số nào sau đây khơng có GTLN và GTNN trên đoạn
A. y x 3 1
C. y
Ví dụ 3(TH): GTNN và GTLN của hàm số
A. 10 và 2
Hướng dẫn giải:
Cách 1: f '(x) 6x
f (0

2

24x 18 , f '(x)

10, f (1)

2, f (3)

x

1

0;4

x

3

0;4

0

10, f (4)

2

Vậy GTNN và GTLN của hàm số trên đoạn 0; 4 là 10 và 2 . Chọn A

Cách 2: (Tư duy truy hồi)
Nếu có a là giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) của hàm số f ( x ) trên miền
D thì điều kiện cần là phương trình f ( x ) a có nghiệm thuộc tập D .

Phương trình
Vậy 10 là GTNN
Phương trình
Vậy 8 khơng là GTLN. Suy ra đáp án A.
Ví dụ 4(TH): Giá trị của x để hàm số

A. 2
Hướng dẫn giải:

Cách 1: f '( x ) 4x

f (0) 3, f ( 1) 2 , f ( 2) 11, f (

1

2 ) 16

41

Vậy hàm số đạt GTLN tại x 1 . Chọn đáp án
B Cách 2: (Tư duy truy hồi)
Dùng máy tính Casio nhập hàm X 4
Ta gắn X bởi các giá trị mà đáp án cho , chọn đáp án tương ứng với X có
GTLN

Chọn đáp án B với x 1
Ví dụ 5(VD): Giá trị nào của tham số
trên đoạn

A. m 1; m 2
C. m 1; m 2
Hướng dẫn giải:


f '( x )
Cách 1:

Suy ra
Do đó yêu cầu bài toánm 2
Cách 2: (Tư duy loại trừ)

Thay m 1

Vậy loại C,D
Thay m 2

Vậy loại A. Chọn B

Hướng dẫn giải:
Nếu không có đáp án C ta có thể làm theo tư duy truy hồi như cách 2 của VD2
Nhưng do có đáp án C nên phải giải cụ thể.

Đặt

3

Do

x
y’


y

Vậy hàm số đạt GTNN tại t

1 x 0 .Chọn D


Ví dụ 7(VD): Xét các số thực a , b thỏa mãn a

b

1 .Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của

biểu

thức P log a

A. Pmin 19
Hướng dẫn giải:
Biến đổi P
Đặt t loga b ,do a b 1 nên 0 t 1

Xét hàm
Chọn D
Ví dụ 8(VDC): Một cơng ty muốn thiết kế một loại hộp có dạng hình hộp chữ nhật có đáy

là hình vng sao cho thể tích khối hộp được tạo thành là 8 dm3
phần đạt giá trị nhỏ nhất. Độ dài cạnh đáy của mỗi hộp muốn thiết kế là:
A. 2 3 2dm
Hướng dẫn giải:
Gọi độ dài cạnh đáy là x , chiều cao là h
Ta có V 8

x 2h8

h

x

8

2

.

Diện tích tồn phần của khối hộp là: S tp

f '( x ) 4x

32

2x 2 4xh 2x 2

32
x

f ( x )

x2 , f '( x ) 0 x 2

Lập bảng biến thiên ta có Stp nhỏ nhất khi x 2 .Chọn B
Chú ý: Có thể dùng bất đẳng thức Cơsi cho 3 số 2x 2 ,

16

x,

16

x

Ví dụ 9(VDC): Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz ,cho ba mặt phẳng


( P ) : x2 y z 1 0, (Q ) : x2 y z 8 0 , ( R ) : x

2y

z

4

0 . Một

đường

thẳng d thay đổi cắt ba mặt phẳng ( P ) , (Q ) , ( R) lần lượt tại A, B , C .
Đặt T
A. min T 54 3
C. min T 72 3
Hướng dẫn giải:

Khi đó :

Cách 1: T
Đặt AB x , x 0 ta được

Tính f '( x )
Lập bảng biến thiên ta có: min f ( x )

f ( 3 4)

54 3 2 . Chọn A

x 0

Cách 2: Ta có thể dùng BĐT Côsi như sau:

T

AB 2
4

Dấu “=” xảy ra khi
Vậy MinT 54 3
Ví dụ 8(VDC): Cho số phức z có mơđun

P

A.3 10
Hướng dẫn giải:

1 z


Gọi z x yi , ( x , y R) , do
Ta có :

x2

y 2 2x 1 3 x 2 y2 2x 1

2x

2 3 2 2x

Xét hàm số
Có f '( x )

Khi đó Pmax

Ví dụ 10(VDC): Một cái hồ hình chữ nhật rộng 50m và dài 200m . Vận động viên Nguyễn
Thị Ánh Viên tập luyện bơi phối hợp với chạy như sau: Bơi từ vị trí điểm A thẳng
đến điểm M, rồi chạy theo chiều dài bể bơi đến vị trí điểm N và bơi từ vị trí điểm N
thẳng về đích là điểm D. Hỏi Ánh Viên nên chọn vị trí điểm M cách điểm A bao
nhiêu mét (kết quả làm tròn đến chữ số hàng đơn vị) để đến đích nhanh nhất biết
rằng vận tốc bơi là 1, 6 m / s và vận tốc chạy là 4, 8 m / s .

A. 35m

Hướng dẫn giải: Đặt BM

x 0x

200

AM

x2

thời gian bơi từ A đến M là: t

1, 6

AM

Đặt MN

y (0 y 200)

t MN

4,8

y

,

x2
502

502 ,


CN 200 x yN D

Tổng thời gian từ A về D :
Dùng BĐT: a 2 b 2

c2 d2

a

c2

b d 2 (*) dấu = khi ad

bc

t AD

f '( y )

Dấu = ở (*) khi 50. x 50 200 x y

Khi đó AM

25 2
2

50

2

53 .Chọn C

Chú ý: Nếu đặt AM x thì BM tính theo căn nên NC cũng tính
theo căn và tính ND sẽ phức tạp hơn nhiều.

C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM THEO 4 CẤP ĐỘ
PHẦN NHẬN BIẾT
Câu 1: Cho hàm số y

f ( x ) xác định và liên tục trên đoạn a; b ,khẳng định nào sau đây

đúng?
A. Trên đoạn
B. Trên đoạn
C. Trên đoạn a; b , hàm số có
D. Nếu


trị nhỏ nhất bằng m .

x
y'
y

Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. GTNN của hàm số trên
B. GTNN của hàm số trên
C. GTLN của hàm số trên
D. GTNN của hàm số trên
Câu 3: Hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng:
x
y'

y

A. GTLN của hàm số bằng 2 .
B. GTNN của hàm số bằng 1 .
C. GTNN của hàm số là 1
D. GTLN của hàm số là 1.
Câu 4: Hàm số nào sau đây khơng có GTLN và GTNN trên đoạn 2; 2

A. y x3

2

C. y
Câu 5: Trong các hàm số sau đây ,hàm số nào có GTNN trên tập xác định.
A. y x3

3x

2

6

C. y
Câu 6: GTLN,GTNN của hàm số y sin x cos x là:
A. GTLN bằng
B. GTLN bằng


Câu 1: GTLN của hàm số y x3

3x 2 trên đoạn 0; 2 là:

A. 2
Câu 2: GTNN của hàm số y
A. 1
Câu 3: Hàm số y 2 x4 4x 2 1 .Gọi M , m lần lượt là GTLN,GTNN của hàm số trên
đoạn

1;3 .Tìm M m

A. 128
Câu 4: GTNN của hàm số
A. 6

Câu 5: GTLN của hàm số
1 m2

A.

2

Câu 6: GTLN của hàm số y
A.
Câu 7: Cho hàm số y 2 x2
A.
C. m 1, M 2

Câu 8: GTLN của hàm số

3
2x

m

1
256

,M


A. 5
Câu 9: GTNN của hàm số
A.1 2

2


Câu 10:Tìm GTLN M và GTNN m của hàm số y

x.e x trên nữa khoảng 0;

1

A. M

e, m

1

C. M

e

Câu 11: Cho hàm số y 2x 3
A. 6
Câu 12: GTNN của hàm số y 2x ln 1
A. 2 ln 3
Câu 13: Hàm số y sin x 1 cos x
3 3

A.

4

PHẦN VẬN DỤNG

Câu1 : Cho các số thực x , y thay đổi thỏa mãn điều kiện
M , m lần lượt là GTLN,GTNN của biểu thức P xy 5x 2 y 27 . Tổng M m bằng:

A. 52
Câu 2: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số
bằng 0 ?
A. m 0
Câu 3:Tìm m để hàm số y

A. m 26

Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số
A. m 0
Câu 5: Giá trị nào của m để hàm số y x m

, không


A. 2
Câu 6: Tìm a để GTNN của hàm số f ( x ) 2x

A. 1
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz
động trên trục hoành Ox . Tọa độ M để P
A. M (1; 2; 2)
Câu 8: Sau khi phát hiện một dịch bênh các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh
kể từ ngày phát hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ x là f ( x ) 45x2 x3 với x 1, 2, 3,..., 25
Nếu ta coi f như một hàm số xác định trên đoạn 0; 25 thì f '( x ) được xem là tốc độ truyền
bệnh ( người/ngày) tại thời điểm x .Hãy xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh là lớn nhất.

A. 5

B. 14

Câu 9: GTNN của hàm số
2

A.

B.

3

Câu 10: Tìm GTLN của hàm số y cos 2x 4 cos x 1 ?
A. 5

B. 6

Câu 11:GTNN của biểu thức P log2
A. 4

B.

Câu 12: Cho các số thực a , b
P

A. Pmin

36

27

2

4 loga ab
2 2.log ab a log ab b


Câu 13: GTLN của hàm số f ( x )
A. 4
Câu 14: GTLN của hàm số y
A. 16
Câu 15: Cho biểu thức

A. 3
Câu 16: Cho x 2

xy y2

2

A.

3

Câu 17: Một vật chuyển động theo qui luật s (t ) 6t 2 2t3 với t (giây ) là khoảng
thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật
đi được trong khoảng thời gian đó . Hỏi trong khoảng 6 giây kể từ lúc vật bắt
đầu chuyển động vận tốc lớn nhất của vật là bao nhiêu?
A. 6 m / s

B. 4 m / s

C. 3 m / s

D. 5 m / s

PHẦN VẬN DỤNG CAO
Câu 1: Cho Cm là đồ thị hàm số y x 3 3mx 1 với m ; 0 là tham số thực. Gọi d là đường
thẳng đi qua hai điểm cực trị của Cm . Tìm số các giả trị của m để đường thẳng d cắt
đường tròn tâm I 1;0 bán kính R 3 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam

giác IAB đạt giá trị lớn nhất .
A. 1
Câu 2: Xét các số
nhỏ nhất,giá trị lớn nhất của

A.P 3


Câu 3: Một công ty vận tải thu vé 50000 đồng mỗi khách hàng 1 tháng. Hiện mỗi tháng công ty
có 10000 khách hàng. Họ dự định tăng giá vé nhưng nếu giá vé tăng 10000 đồng thì số
khách hàng sẽ giảm 500 người. Hỏi công ty nên tăng giá vé là bao nhiêu để doanh

thu hàng tháng là lớn nhất.
A.80000 đồng

B. 75000 đồng

C.100000 đồng

D. 90000 đồng

Câu 4: Trong lĩnh vực thủy lợi , mương được gọi là cái dạng “thủy động học” nếu với tiết diện
ngang Tn của mương có diện tích xác định , độ dài đường biên giới của Tn nhỏ nhất .
Cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước dạng “thủy động học”. Giả sử mương dẫn
nước có tiết diện ngang là hình chữ nhật (như hình vẽ) với diện tích bằng
200 m2 . Xác định kích thước của mương dẫn nước để mương có dạng “thủy động

học”

A. x 20, y 10 ( m)

B. x 40 , y

C. x 25 , y 8 ( m)

D. x 50, y

5 ( m)
4 ( m)

Câu 5: Từ nguyên vật liệu cho trước, một công ty muốn thiết kế bao bì để đựng sữa với thể

tích 1dm3 . Bao bì được thiết kế bởi một trong hai mơ hình sau: hình
hộp chữ nhật có đáy là hình vng hoặc hình trụ . Hỏi thiết kế theo mơ
hình nào sẽ tiết kiệm ngun vật liệu nhất.
A. Hình hộp chữ nhật và cạnh bên bằng cạnh đáy .
B. Hình trụ và chiều cao bằng bán kính đáy.
C. Hình hộp chữ nhật và cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy.
D. Hình trụ và đường cao bằng đường kính đáy.
Câu 6: Một xà lan bơi ngược dịng sơng để vượt qua một khoảng cách 30 km . Vận tốc dòng
nước là 6 km / h .Nếu vận tốc của xà lan khi nước đứng yên là v ( km / h) thì lượng dầu

tiêu hao của xà lan trong t giờ được cho bởi công thức E ( v ) c.v 3 .t
hằng số , E được tính bằng lít.Tìm vận tốc của xà lan khi nước đứng yên để lượng
dầu tiêu hao là nhỏ nhất.
A. v 18


Câu 7: Khối nón đỉnh O chiều cao h . Một khối
nón khác có đỉnh là tâm I của đáy và
đáy là một thiết diện song song với
đáy của hình nón đã cho . Để thể tích
của khối nón đỉnh I lớn nhất thì chiều
cao của khối nón này bằng bao nhiêu?
h

A.

2
2h

C.

3

Câu 8: Khi cắt mặt cầu S (O , R) bởi một mặt kính ,ta được hai nửa mặt cầu và hình trịn lớn của
mặt kính đó gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu. Một hình trụ gọi là nội tiếp nửa mặt
cầu S (O , R) nếu một đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa mặt cầu ,còn đường tròn
đáy kia là giao tuyến của hình trụ với nửa mặt cầu. Biết R 1 ,tính bán kỉnh đáy
r

và chiều cao h của hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu S (O , R) để khối trụ

có thể tích lớn nhất.
3

A. r

2

,h

Câu 9: Xét các hình chóp S.ABC có SA SB SC AB BC a . Giá trị lớn nhất của thể
tích hình chóp S . ABC bằng:

A.

a3
12

Câu 10: Một đường dây điện được nối từ một
nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C .
Khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là
1km . Khoảng cách từ B đến A là 4 km .

Mỗi km dây điện đặt dưới nước là mất
5000 USD, còn đặt dưới đất mất 3000

USD. Hỏi điểm S trên bờ cách A bao

B.

nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S
rồi đến C là tốn kém ít nhất.

A. 2, 5 km
C. 3, 25km
CAB

Câu 11: Cho nửa đường trịn đường kính AB

2R và điểm C

thay

đổi trên nửa đường trịn

đó , đặt góc
Tìm

và gọi H là hình chiếu vng góc của C lên AB .
sao

cho thể tích vật thể trịn xoay tạo thành khi quay tam giác ACH quanh
trục AB đạt giá trị lớn nhất.

A.

600

Câu 12: Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x 4 y 4

của biểu thức
A. MaxP 5

D.HƯỚNG DẪN GIẢI PHẦN VẬN DỤNG CAO:
Câu 1: Cách giải :
Ta có: y ' 3x 2 3m , khi m 0 thì y ' 0 có hai nghiệm phân biệt nên hàm
số có hai điểm cực trị.
Đường thẳng qua hai điểm cực trị là ( d ); 2 m x y 1
qua

0 , đường thẳng này luôn


điểm cố định
Ta có IM
Lại có ; S IAB
trong đó d d I , AB , 0 d IM
Xét hàm số f ( d ) d 9 d

Dấu bằng xảy ra khi d
Chọn A
A

Câu 2: Gọi
VìAB 2
Vậy quĩ tích điểm M là đoạn AB .
Viết phương trình đường AB được x 2 y 5 0 .

M

Tức là
Khi đó
Xét hàm số
min f ( y ) f (

Vậy

z i

Chú ý: Ta có thể giải bài này theo phương pháp hình học
Gọi C(0;1) là điểm biểu diễn số phức i
Nên

z i


Câu 3: Phương pháp:
Gọi số tiền giá vé sau khi tăng lên là x đồng.
Thiết lập biểu thức tính doanh thu hàng tháng theo x.
Tìm GTLN của biểu thức đó
Cách giải:
-Vé tăng lên 10000 đồng – Số người giảm 500 người
Suy ra : vé tăng 1 đồng - Số người giảm 10000

500

người

Vé tăng x-50000 đồng – Số người giảm
Khi đó số khách hàng mỗi tháng là 10000

x

50000
250000 x

20

20


Doanh thu hàng tháng là :
250000 x
x

Dấu “=” xảy ra 250000 x x x 125000
Vậy giá vé cần tăng lên là 75000 đồng.
Chú ý: Chỉ cần tìm đến :Doang thu hàng tháng
thể dùng MTBT kiểm tra xem kết quả nào làm doanh thu lớn nhất.
Câu 4: Cách giải:
Mương dẫn nước đã có tiết diện ngang là 200m2
Khi đó để mương có dạng “ thủy động học” thì cần nhỏ nhất .
Ta có xy 200,x 2 yx 2.
Xét hàm số f ( x ) x
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại
x=20 .Khi đó y=10. Chọn A
Câu 5: Phương pháp :
Đối với các bài toán liên quan đến diện tích của khối trịn xoay

như thế này , cần áp dụng các cơng thức tính diện tích của
từng khối một cách chính xác rồi đem so sánh.
Cách giải:
Để tiết kiệm ngun liệu nhất thì diện tích xung quanh bao bì phải nhỏ
nhất Trong lời giải dưới đây các đơn vị độ dài tính bằng dm , diện tích
tính bằng dm2 -Xét mơ hình hình hộp chữ nhật có đáy là hình vng cạnh
a và chiều cao h. Khi đó : a 2 h 1 và diện tích tồn phần S 2a 2 4ah

Đến đây có thể thế h a

1
2

vào S rồi dùng đạo hàm S’ (a>0) để tìm

GTNN của S Hoặc có thể dùng BĐT Cơsi cho 3 số 2a 2 , 2a h, 2ah được:
S 3 3 2a 2 2ah.2ah 6 .Dấu “=” xảy ra khi a=h