chuyền đề sáng kiến kinh nghiệm tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số

 
 
" Cho . Tìm GTLN, GTNN của
A = "
(Câu III Đề 83 - BGD)
Hầu hết lời giải của
Xét bài toá
các sách cho đáp số:
minA = -1.
n sau:
x y
x y y x
2 2
1
1 1
+ =
+ + +
Kết quả đúng là minA = - .
38 6 2
1
27
-
<-
 
 
 
( )

Xác lập bất đẳng thức dạng:
( ) ( ) ; .≤ ≥ ∀ ∈f x M f x m x D
Xét xem đẳng thức xảy ra khi nào.
Kết luận max (min) theo yêu cầu.
Muốn tìm GTLN-GTNN của hàm số ( ) trên miền ,
ta thực hiện các bước:
y f x D=
 
( )
Từ đònh nghóa max ( ),min ( ),với ( )
trên ta suy ra BĐT sau:
m in ( ) ( ) max ( ),
x
x
D
D
D
x D
x
f
f x f
x f x f x
x f x liên tục
D
D
x
∈
∈
∈
∈

≤ ≤ ∀ ∈ ∗
( )
Giả sử tồn tại max ( ),min ( ).
Khi đó: 1) Để chứng minh ( ) ,
ch
Từ ta suy ra kế
ỉ cần chứng minh
Mệnh
:
2) Để chứng minh ( ) ,
t
đề:
quả sau:
x D
x D
f x f x
f x x D
f x
∈
∈
∗
≥ α ∀ ∈
≤ β
chỉ cần chứng minh:
3) Phương trình ( ) có nghiệm

x D
f x m x D
∀ ∈
= ∈

min ( ) .
x D
f x
∈
≥ α
max ( ) .
x D
f x
∈
≤ β
min ( ) max ( ).
x D
x D
f x m f x
∈
∈
⇔ ≤ ≤
 
( ) ,
max ( )
PT: ( ) coù nghieäm .
( ) ,
min ( )
PT: ( ) coù nghieäm .
x D
x D
f x M x D
f x M
f x M x D
f x m x D

f x m
f x m x D
∈
∈

≤ ∀ ∈
∗ = ⇔

= ∈


≥ ∀ ∈
∗ = ⇔

= ∈

 
( )
Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số:

Một HS đã giải như sau:
;
Vậy min
y x x
y x y x
y
= + +
= + + ⇒ ≥ ∀ ∈
=
2

2
4 2
2
4
4
5
1 4
¡
¡ .
.
.
 
Từ gt

suy r
Cho , và .
Tìm GTNN của .
Một HS đã lập luận như sa
a > 0. Áp dụng BĐT Cauchy cho 2
số dương và ta có: 2. Vậy m

u:
in .
x y x y
P xy
xy
xy P P
y
x
x

y
0
1
1
2
1
> + =
= +
³ =
g
KQ đúng la
Cách giả
ø:min
i trên sai
k
.
hi .P x y
17 1
4 2
= = =
*
 
)
A

Ù

p

dụn

Cho hà
g bất
m số .
đẳng t

Tìm giá trò
hức Cauchy ch
nhỏ nhất của khi ; .
o hai số dương,
ta có:
. ,mà
Một HS đã giải

như
.
Vậy
sau

:
min
y x
x
y x
y x x x x y
x x
2 2
6
2
1 1
6

1
6
2 2 6 2
= +
é
Ỵ +¥
= + ³ = ³ Þ ³
ë
)
;
.y 2 6
é
+¥
ê
ë
=
 
Tìm GTLN và GTNN của hàm số: sin cosy x x= +
Do hàm số có chu kì 2 nên ta chỉ cần xét
; . Điều kiện 0 sin , cos nê
Gia
n ;
ûi:
.x x x x0 2 1 0
2
p
é ù
p
é ù
ê ú

Ỵ p £ £ Ỵ
ë û
ê ú
ë û
g
;
sin sin
Ta có . Mà ( ) .
cos cos
Vậy min .
Tìm min :
x
x x
y y
x x
y
y
2
2
0
2
1 0 1
1
é ù
p
ê ú
Ỵ
ê ú
ë û
ì

ï
³
ï
ï
Þ ³ =
í
ï
³
ï
ï
=
*
ỵ

B.C.S
;
Ta coự . sin . cos ( )(sin cos )
Hay .c
Tỡm
os( ) .
Maứ .
Vaọy max .
max :
x
y x x x x
y x
y
y
y
4

4
4
0
2
1 1 1 1
2 2 8
4
8
4
8
ộ ự
p
ờ ỳ
ẻ
ờ ỳ
ở ỷ
= + Ê + +
p
Ê - Ê
ổử
p
ữ
ỗ
ữ
=
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ

=
*
ố ứ
 
Tìm GTLN và GTNN của hàm số: sin . cos cos . siny x x x x= +
Do hàm số có chu kì 2 nên ta chỉ cần xét
sin
; . Mặt khác phải có điều kiện nên ; .
cos
Từ điều kiện, suy ra , mặt khác ( ) . V
Giải:
ậy mi
x
x x
x
y y
0
0 2 0
2
0
0 0 0
p
ì
é ù
ï
³
p
ï
é ù
ê ú

Ỵ p Ỵ
í
ë û
ê ú
ï
³
ë û
ï
ỵ
³ =
g
g n .y 0=
;
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có:
(sin cos )(sin cos ) sin cos
.sin . Mặt khác .
Vậy max .
x
y x x x x x x
y x y
y
2 2
4 4
4
0
2
2 2 2 2
4 4
2
é ù

p
ê ú
Ỵ
ê ú
ë û
£ + + = +
ỉ ư ỉư
p p
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
Þ £ + £ = =
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
=
g
 
Các bài toán trên, nếu sử dụng PP đạo hàm
thì việc tính toán sẽ phức tạ
Nha
p hơ
än xét:
n nh .

iều
∗

5
Tìm GTLN, GTNN của hàm số: sin 3.cos .
( Dự bò Đại học- Khối A-2
Bài tập tương tự
0
:
03)
y x x= +
∗
 
Tìm GTLN và GTNN của hàm số: cos siny x x
6 5
= -
6 5 6 5
2 2
Ta có: cos sin cos sin
cos sin 1.
Vậy -1 1, .
Mặt khác: (
Gia
0) 0 và 1.
2
Vậy max 1 và min 1
û :
.
i
x
x
y x x x x
y x x

y x
y y
y y
∈
∈
= − ≤ +
⇒ ≤ + =
≤ ≤ ∀ ∈
 
π
= = −
 ÷
 
= = −
¡
¡
g
g ¡
g
g

2
Cho haứm soỏ .Tỡm , sao cho:
1
max 4 vaứ min 1.
x
x
ax b
y a b
x

y y


+
=
+
= =
Ă
Ă
2
2
2
1
1
1
4, .
max 4
PT 4 coự nghieọm.
4 (4 ) 0, .

PT: 4 (4 ) 0 coự nghieọm.
0
16(4 ) 0
Giaỷi:
(1)
0
x
y x
y
y

x ax b x
x ax b
a b



=

=


+



+ =





= =




Ă
Ă
g
Ă

 
2
2
1, .
min 1.
PT 1 có nghiệm.
4( 1) 0 (2)
Giải HPT (1) và (2) ta được:
4 4
; .
3 3
4 4
Vậy và
3 3
x
y x
y
y
a b
a a
b b
a a
b b
∈

≥ − ∀ ∈
= − ⇔

= −


⇔ ∆ = − + =
 
= = −
 
= =
 
 
= = −
 
= =
 
¡
¡
g
g
g là các giá trò cần tìm.
 
Muốn tìm GTLN-GTNN của hàm số ( ) trên miền ,
ta thực hiện các bước:
y f x D=
Lập BBT của hàm số trên .D
Căn cứ vào BBT rồi kết luận max ( ),min ( )
(nếu có).
x D
x D
f x f x
∈
∈
 
1) GTLN-GTNN của hàm số trên một đoạn bao giờ

cũng tồn tại; trên một khoảng hoặc nửa khoảng thì chưa chắc.
2) Khi ; thì không nhất thiết lập BBT (Quy tắc-SGK).
3
liên tục
D a b
 
=
 
) Trong nhiều trường hợp, cần dùng PP đổi biến để bài toán
đơn giản hơn.
 
6 6
4 4
Tìm GTLN-GTNN cuûa haøm soá
1 sin cos
(1)
1 sin cos
x x
y
x x
+ +
=
+ +
 


t
( )f t

( )

f t
4
5
6
Sau bửụực 2) coự theồ duứng Quy taộc (SGK).
 
6
1) Đònh để phương trình có nghiệm.
2) Tìm miền giá trò của hàm số (1).
5
3) Chứng
Bài toán t
minh rằng:
rên có
1; .
6
thể được cho dưới cá
4)
c dạng:
Cho hàm số:
sin c
m y m
y x
y x
=
≤ ≤ ∀ ∈
= +
¡
6 4 4
os (sin cos ) 1

( là tham số).
Đònh để hàm số xác đònh với mọi thuộc .
x m x x m
m
m x
− + + −
¡

Cho , 0 vaứ 1.
Tỡm GTLN, GTLN cuỷa .
1 1
x y x y
x y
P
y x
+ =
= +
+ +
2 2 2
( ) 2 ( )

( ) 1
2 2
Vaọy .
2
x x y y x y xy x y
P
xy x y x y xy
xy
P

xy
+ + + + + +
= =
+ + + + +

=
+
g