(Sáng kiến kinh nghiệm) khai thác những kiến thức hình học để giải một số bài tập đại số 9

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu:
Trong trường phổ thơng mơn Tốn có một vị trí rất quan trọng. Các kiến thức
và phương pháp Tốn học là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt các mơn học
khác, hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực. Đồng thời mơn Tốn cịn giúp học
sinh phát triển những năng lực và phẩm chất trí tuệ; rèn luyện cho học sinh khả
năng tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo; giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức và
thẩm mỹ của người công dân.
Ở trường THCS, trong dạy học Tốn, cùng với việc hình thành cho học sinh
một hệ thống vững chắc các khái niệm, các định lí thì việc dạy học giải các bài tốn
có tầm quan trọng đặc biệt và là một trong những vấn đề trung tâm của phương
pháp dạy học Toán ở trường phổ thơng. Đối với học sinh THCS, có thể coi việc giải
tốn là một hình thức chủ yếu của việc học tốn.
Trong chương trình Tốn THCS các bài tốn rất đa dạng, phong phú và có
một ý nghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh ở bậc học này. Để giải quyết các
bài toán, người ta phải bằng các cách giải thơng minh nhất, tìm ra các biện pháp
hữu hiệu và phù hợp nhất với trình độ kiến thức ở bậc học THCS để giải quết các
bài tốn loại này. Do đó, địi hỏi người học phải có một cách suy nghĩ logic sáng
tạo, biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức mới một cách logic có hệ thống.
Vì vậy để giúp giáo viên các em học sinh khắc phục được những khó khăn
đó tơi đã tìm tịi, nghiên cứu đề tài “ Khai thác những kiến thức hình học để giải
một số bài tập đại số 9” từ thực tế kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy và trên cơ sở
các tài liệu của các thế hệ thầy, cơ đi trước. Đó chính là nội dung đề tài sáng kiến
kinh nghiệm tôi muốn giới thiệu ở đây.
Trong một tiết ôn tập cho học sinh lớp 9, tơi đã ra bài tốn sau:
Cho phương trình : x2 – 2 (m – 1)x + 2m – 7 = 0. Tìm m để 2 nghiệm phương trình
trên là các kích thước của một hình chữ nhật.
1

Khi gặp bài toán này, nhiều em rất lúng túng, bối rối và khơng định hướng
được cho mình phải giải bài toán trên bắt đầu từ hướng suy nghĩ như thế nào, dẫn
đến các em khơng giải được bài tốn trên, có phải học sinh khi gặp bài tốn đại số
này đã nghĩ ngay đến những kiến thức, những công cụ trong môn đại số hay
không? Nhưng ta hãy thử đơn giản nghĩ lại rằng, kích thước của hình chữ nhật là
những số dương nên câu hỏi của bài toán có thể hiểu là: Tìm m để phương trình
trên có 2 nghiệm dương. Với câu hỏi này thì chắc chắn bài toán trên sẽ trở thành rất
quen thuộc đối với học sinh . Như vậy chỉ cần lưu tâm đến những kiến thức nhỏ
của hình học trong bài tốn này thì mọi việc sẽ nhẹ nhàng hơn. Khơng những bài
tốn trên mà thực tế nhiều bài toán khác, học sinh gặp cũng rất bỡ ngỡ. Nhưng nếu
các em nhớ đến vận dụng những kiến thức nhỏ trong hình học thì bài tốn sẽ trở
nên dễ dàng hơn. Vì lý do đó cho nên qua một thời gian cơng tác giảng dạy, tôi đã
đúc rút kinh nghiệm về “Khai thác những kiến thức hình học để giải một số bài tập
đại số 9”.
2. Tên sáng kiến:
“ Khai thác những kiến thức hình học để giải một số bài tập đại số 9”
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Nguyễn Thị Đoàn
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Giáo viên- Trường THCS Đôn Nhân- Sông LôVĩnh Phúc
- Số điện thoại: 0979 584 887
Email:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:
Nguyễn Thị Đoàn.
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến.
Sáng kiến được áp dụng trong cơng tác giảng dạy mơn Tốn lớp 9 ở trường
THCS, bồi dưỡng học sinh thi vào lớp 10 THPT, bồi dưỡng học sinh giỏi.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:

2

Ngày bắt đầu áp dụng đề tài: 29/8/2019. Đề tài sẽ được áp dụng trong những
năm học tiếp theo.
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
* Nội dung của sáng kiến
Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở lý luận:
Một trong những mục tiêu cơ bản của nhà trường là đào tạo và xây dựng thế
hệ học sinh trở thành những con người mới phát triển tồn diện, có đầy đủ phẩm
chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế hiện nay.
Muốn giải quyết thành công nhiệm vụ quan trọng này, trước hết chúng ta
phải tạo tiền đề vững chắc lâu bền trong phương pháp học tập của học sinh cũng
như phương pháp giảng dạy của giáo viên các bộ mơn nói chung và mơn tốn nói
riêng.
Tốn học là một mơn khoa học tự nhiên quan trọng.
Trong quá trình học tập của học sinh ở trường phổ thơng, nó địi hỏi tư duy
rất tích cực của học sinh.
Để giúp các em học tập mơn tốn có kết quả tốt, có rất nhiều tài liệu sách báo
đề cập tới. Giáo viên không chỉ nắm được kiến thức, mà điều cần thiết là phải biết
vận dụng các phương pháp giảng dạy một cách linh hoạt, truyền thụ kiến thức cho
học sinh dễ hiểu nhất.
Chương trình tốn rất rộng, các em được lĩnh hội nhiều kiến thức, các kiến
thức lại có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Do vậy khi học, các em không những
nắm chắc lý thuyết cơ bản, mà còn phải biết tự diễn đạt theo ý hiểu của mình, từ đó
biết vận dụng để giải từng loại toán. Qua cách giải các bài toán rút ra phương pháp
chung để giải mỗi dạng bài, trên cơ sở đó tìm ra các lời giải khác hay hơn, ngắn
gọn hơn.
2. Cơ sở thực tiễn:
Thực tế một số ít giáo viên chúng ta chỉ chú trọng việc truyền thụ kiến thức
đầy đủ theo từng bước, chưa chú ý nhiều đến tính chủ động sáng tạo của học sinh.

Thơng qua q trình giảng dạy mơn tốn lớp 9, đồng thời qua quá trình kiểm
tra đánh giá sự tiếp thu của học sinh và sự vận dụng, khai thác những kiến thức
3


hình học để giải một số bài tập đại số 9. Tôi nhận thấy học sinh vận dụng các kiến
thức hình học để giải một số bài tập đại số 9 cịn nhiều hạn chế và thiếu sót.
Giải bài tập đại số bằng cách vận dụng những kiến thức hình học. Đây là một
phần kiến thức rất khó đối với các em học sinh lớp 9, bởi lẽ từ trước đến nay các
em chỉ quen giải những dạng toán đại số bằng các kiến thức và các phép biến đổi
đại số. Mặt khác do khả năng tư duy của các em còn hạn chế nên sau khi đọc đề bài
đại số thì định hướng đầu tiên để giải bài tập là dùng kiến thức đại số làm công cụ.
Các bài tập dạng này không nằm ở một chương, phần cụ thể nào. Xuất phát từ thực
tế đó nên khi giải một số bài tốn các em chưa có cách làm tối ưu thậm chí khơng
giải được dẫn đến kết quả học tập của các em chưa cao.
Do vậy việc hướng dẫn các em có kỹ năng khai thác sử dụng các kiến thức
hình học vào giải bài tập đại số là rất cần thiết. Giúp các em phát triển khả năng tư
duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng cao chất lượng học
tập.
3. Mục đích nghiên cứu :
Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp giáo viên nắm rõ các phương pháp
Khai thác những kiến thức hình học vào giải một số bài tập đại số 9. Để từ đó
giáo viên có thể giúp học sinh biết cách khai thác các kiến thức hình học để
giải các bài tập đại số cho phù hợp.
4. Nhiệm vụ của đề tài
Đưa ra các loại bài tập đại số 9 có thể giải bằng cách khai thác những
kiến thức hình học, có bài tập minh họa.
5. Phạm vi và đối tượng của đề tài
Qua thực tế một vài năm giảng dạy mơn tốn lớp 9, bản thân tơi đã gặp các
bài tốn đại số khó mà khi giải bằng kiến thức đại số thì dài và phức tạp thậm chí

khơng giải được. Nhưng nếu biết tích hợp những kiến thức hình học đã biết vào thì
lời giải của bài tốn trở lên đơn giản hơn rất nhiều.
Do đó, trong phạm vi nghiên cứu là chương trình tốn 9. Bản thân tơi mong
rằng: nếu có sự sáng tạo của q thầy giáo, cơ giáo thì đề tài có thể giúp học sinh
lớp 9 vận dụng sáng tạo kiến thức liên mơn hình học và đại số, phát triển tư duy,
4


cũng có thể làm dùng đề tài để dạy tự chọn mơn tốn 9, ơn thi vào THPT, thi học
sinh giỏi….
Cũng từ thực tế giảng dạy, tôi luôn suy nghĩ từng bước để hồn thiện
phương pháp của mình, nên bản thân tôi rất tâm huyết với đề tài này. Mặt khác,
theo suy nghĩ của riêng tôi, mỗi người chỉ cần tập trung suy nghĩ thấu đáo một
vấn đề và nhiều người góp lại chắc chắn hiệu quả giáo dục qua từng năm được sẽ
được nâng lên rõ rệt. Từ suy nghĩ đó tơi đã áp dụng đề tài này trong suốt năm
học 2019- 2020, đồng thời sẽ tiếp tục áp dụng trong những năm học tiếp theo.
Bản thân tôi cũng sẽ cố gắng hết sức mình nghiên cứu bổ sung nội dung mới để
đề tài đáp ứng chương trình đổi mới sách giáo khoa lớp 9 và cả chương trình tự
chọn lớp 9. Rất mong q thầy cơ giáo đóng góp thêm ý kiến khi đọc đề tài này.
6. Phương pháp nghiên cứu
Để nghiên cứu đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp cơ bản sau:
a. Phương pháp nghiên cứu lý thuyết
Kết hợp kinh nghiệm giảng dạy có được với sự nghiên cứu tài liệu, tôi đã sử
dụng các tài liệu như:
- Sách giáo khoa Toán 9
- Sách bài tập Toán 9
- Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9 – NXB Đại học quốc gia Hà Nội.
- Tuyển chọn 10 năm toán tuổi thơ - NXB Giáo dục
b. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn.
Tôi tiến hành dạy thử nghiệm đối với học sinh lớp 9 - Trường THCS Đôn

Nhân năm học 2019-2020
c. Phương pháp đánh giá.
Trước và sau khi thực hiện đề tài đối với học sinh lớp 9, tơi có tiến hành
kiểm tra đánh giá mức độ nhận thức và suy luận của các em.
5


PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Xuất phát từ thực tế là các em học sinh ngại khó khi giải các bài tốn, tơi
thấy cần phải tạo ra cho các em có niềm u thích say mê học tập, ln tự đặt ra
những câu hỏi và tự mình tìm ra câu trả lời. Khi gặp các bài tốn khó, phải có nghị
lực, tập trung tư tưởng, tin vào khả năng của mình trong quá trình học tập. Việc
phát hiện ra cách giải bài tập đại số bằng việc khai thác kiến thức hình học khơng
phải là việc làm đơn giản. Bên cạnh đó thì sử dụng kiến hức hình học nào để giải
cũng là một việc khó với học sinh. Để giúp học sinh bớt khó khăn và cảm thấy dễ
dàng hơn trong việc “Khai thác những kiến thức hình học để giải một số bài tập
đại số 9” tôi yêu cầu các em phân tích đề bài một cách kỹ càng, xem xét các yếu tố
liên quan đến bài toán, định hướng cách làm, lựa chọn cách làm tối ưu, u cầu học
sinh có kỹ năng thực hành giải tốn cẩn thận.
Việc hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp giải toán phù hợp với từng
dạng bài là một vấn đề quan trọng, chúng ta phải tích cực quan tâm thường xuyên,
không chỉ giúp các em nắm được lý thuyết mà cịn phải tạo ra cho các em có một
phương pháp học tập cho bản thân, rèn cho các em có khả năng thực hành. Nếu làm
được điều đó chắc chắn kết quả học tập của các em sẽ đạt được như mong muốn.
Sau đây tôi xin giới thiệu một số dạng toán thường gặp
Dạng 1. Sử dụng điều kiện một điểm nằm giữa 2 điểm còn lại.
- Ta biết rằng điểm M nằm giữa hai điểm A và B khi và chỉ khi
MA + MB = AB (tức là A, B, M thẳng hàng)
- Điểm M không nằm giữa A và B khi và chỉ khi MA+ MB ≠ AB
- Nếu trong ba điểm đã cho khơng có điểm nào nằm giữa hai điểm cịn lại thì

ba điểm đó khơng thảng hàng
Ví dụ1:
Trên mặt phẳng toạ độ cho ba điểm A(2;3), B(-1; -3), C(3;5). Chứng minh ba
điểm A, B, C thẳng hàng.
Nhận xét: Nhiều em học sinh khi gặp ví dụ này sẽ rất bỡ ngỡ, lúng túng khơng biết
chứng minh theo cách nào.
- Nếu giải bằng kiến thức đại số thì:
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 trong ba điểm đó
6


+ Kiểm tra xem điểm cịn lại có thuộc đường thẳng trên không
+ Kết luận: Nếu điểm thứ ba thuôc đường thẳng thì 3 điểm có thẳng hàng và
Nếu điểm thứ ba khơng thc đường thẳng thì 3 điểm khơng thẳng hàng
- Nếu khai thác kiến thức hình học vào giải bài tốn này thì:
Ta biết 3 điểm A, B, C thẳng hàng khi xảy ra một trong ba trường hợp:
AC = AB + BC
AB = AC + BC
BC = AB+ AC

Từ kiến thức hình học này dẫn ta suy nghĩ theo hướng là đi tính độ lớn các
đoạn thẳng trên và so sánh tổng 2 đoạn thẳng với đoạn cịn lại. Như vậy ta có lời
giải bài trên thật là ngắn gọn.
Lời giải:
Độ dài các đoạn thẳng là:
AB = (−1 − 2) 2 + (−3 − 3) 2 = 45 = 3 5
AC = (3 − 2)2 + (5 − 3) 2 = 5
BC = (3 + 1) 2 + (5 + 3)2 = 80 = 4 5
Ta có : AB + AC = 3 5 + 5 =4 5 =BC.
Vậy A, B, C thẳng hàng.

Từ ví dụ trên ta có thể chứng minh 3 điểm khơng thẳng hàng như ví dụ sau:
Ví dụ 2:
Trên mặt phẳng toạ độ cho 3 điểm M(2;5) , N(1;2) , P(0;1). Chứng minh ba điểm
trên không thẳng hàng.

Lời giải:
MN =

( 2 − 1) 2 + (5 − 2) 2 =

10

NP =

(1 − 0) 2 + (2 − 1) 2 =

2
7


MP =

(2 − 0) 2 + (5 − 1) 2 =

20

Từ đó ta có MN + NP ≠ MP , NP + MP ≠ MN , MN + MP ≠ NP ⇒ khơng có điểm
nào nằm giữa hai điểm cịn lại nên M, N, P không thẳng hàng.
Và ta chỉ cần thay đổi một chút là có bài tốn mới như ví dụ sau:
Ví dụ 3:

Trên mặt phẳng cho 3 điểm A(1;-4) , B(7;8) , M(4;2). Chứng minh M là trung điểm
của AB
Lời giải.
Ta có: MA = (1 − 4)2 + (−4 − 2) 2 = 45 = 3 5
MB = (7 − 4)2 + (8 − 2) 2 =

45 = 3 5

AB = (1 − 7) 2 + (−4 − 8) 2 = 180 = 6 5
Ta có: 3 5 + 3 5 = 6 5 hay MA + MB = AB .
Vậy điểm M nằm giữa A và B.
Ta lại có: MA = MB = 3 5 nên M là trung điểm của AB.
Như vậy chỉ cần tính độ dài của các đoạn thẳng và sử dụng điều kiện một điểm
nằm giữa hai điểm còn lại ta đã giải quyết được rất nhiều bài toán.
Bài tập áp dụng:
Bài tập 1:
Trên mặt phẳng toạ độ cho ba điểm M(1; 1), N(-1; -3), I(2; 3). Chứng minh ba
điểm M, N, I thẳng hàng
Bài tập 2:
Trên mặt phẳng toạ độ cho 3 điểm M(-2; 1), N(-3; 2), P(0; 1). Chứng minh ba
điểm trên không thẳng hàng.
Bài tập 3:
Trên mặt phẳng cho 3 điểm A(1; 3) , M(0; 1) , B(-1;-1). Chứng minh M là
trung điểm của AB
Dạng 2. Sử dụng bất đẳng thức về cạnh trong tam giác
- Cho tam giác ABC ta có: AB < AC + BC.
8


- Nếu cho 3 điểm A, B, C bất kỳ trên mặt phẳng toạ độ thì ta ln có

AB ≤ AC + BC.
Bây giờ ta sẽ áp dụng kiến thức hình học này để giải quyết một số bài tốn.
Ví dụ 4: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác.
Chứng minh: (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) ≤ abc
(Đề thi chọn hsg toán 9 thành phố HCM năm học 1999-2000)
Lời giải:
Đặt x = a + b - c
y=b+c-a
z=c+a-b
Vì a, b, c là 3 cạnh của một tam giác nên x, y, z > 0
Ta có:

b=

x+ y
y+z
z+x
,c=
,a=
2
2
2

Bất đẳng thức trên tương đương với: xyz ≤ (

x+ y y+z z+x
)(
)(
)
2

2
2

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các cặp số dương x, y; y, z; z, x ta được
x + y ≥ 2 xy
x + y ≥ 2 xy
x + y ≥ 2 xy
⇒(

x+ y y+z z+x
2 xy 2 yz 2 zx
)(
)(
)≥(
)(
)(
) = xyz
2
2
2
2
2
2

⇒ xyz ≤ (

x+ y y+z z+x
)(
)(
)

2
2
2

Vậy (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) ≤ abc (đpcm)
Nhận xét: Ở bài này để áp dụng được bất đẳng thức Cơsi thì phải lý luận để x, y, z
> 0 mà điều này có được do a, b, c là 3 cạnh của một tam giác.
Ví dụ 5: Cho phương trình: x2 + (a + b + c)x + ab + ac + bc = 0
Với a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh phương trình trên vơ
nghiệm.
(Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội năm học 2002-2003)
9


Lời giải:
∆ = (a + b + c)2 – 4(ab + ac + bc)

= a2 + b2 + c2 - 2ab – 2bc – 2ca
= a[a – (b + c)] + b[b – (a + c)] + c[c – (a + b)]
Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác, nên:
a – (b + c) < 0
b – (a + c) < 0
c – (a + b) < 0
Vì vậy: ∆ = a[a – (b + c)] + b[b – (a + c)] + c[c – (a + b)] < 0
nên phương trình trên vơ nghiệm.
Nhận xét: Bài này cũng sử dụng bất đẳng thức về cạnh trong tam giác mới chứng
minh được ∆ < 0 .
Ví dụ 6: Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng phương trình
sau có nghiệm: (a2+b2-c2)x2-4abx+( a2+b2-c2) =0
Hướng dẫn học sinh suy nghĩ:

Xét hai trường hợp:
+) a2+b2-c2 =0 thì x=0( Tam giác vng)
+) a2+b2-c2 ≠ 0 tính

V =...

Vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên ta có thể sử dụng bất đẳng thức tam giác
và chỉ ra

V >0

Lời giải:
+) Nếu a2+b2-c2 =0 thì phương trình đã cho có nghiệm x=0 ( Tam giác vng )
+) a2+b2-c2 ≠ 0 tính

V =(a+b+c) (a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c)

Vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên sử dụng bất đẳng thức tam giác ta có:
(a+b+c)>0
(a+b-c)>0
(a-b+c) >0
(-a+b+c)>0
⇒

V =(a+b+c) (a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c)>0

⇒ Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt
10

Vậy phương trình đã cho có nghiệm
Ví dụ 7: Với a, b, c, d là những số dương, chứng minh:
2
2
a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ ( a + c ) + (b + d )

Lời giải:

y

Chọn hệ trục tọa độ xOy. Trên trục Ox ở chiều dương,

Q

lấy ON = a, MN = c trên trục Oy ở chiều dương lấy

d

OP = b, PQ = d. Ta có:

P

OA = a 2 + b 2

b

B
A

AB = c 2 + d 2

OB = (a + c) 2 + (b + d ) 2

O a

N

c

M

Ta có: OA + AB ≥ OB
Nên a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ (a + c) 2 + (b + d ) 2

(Điều phải chứng minh)

Nhận xét: Ở ví dụ này thì ta biết với 3 điểm A, B, C bất kỳ thì
AB ≤ AC + BC nên vận dụng kiến thức hình học này ta dễ dàng chứng minh bất
đẳng thức trên.
Ta có thể mở rộng bất đẳng thức trên thành một bất đẳng thức tổng quát nhờ cách
chứng minh tương tự như trên.
Bài tập vận dụng:
Bài 4: Với x1, x2…xn và y1, y2, …yn là những số dương Hãy chứng minh
( x1 + y1 ) 2 + ( x2 + y2 ) 2 +…+ ( xn + yn ) 2 ≥ ( x1 + x2 + ... + xn ) 2 + ( y1 + y2 + ... + yn ) 2

Dạng 3. Sử dụng định lý Pitago
- Cho tam giác ABC vuông tại A, ta có BC2 = AB2 + AC2 (định lý Pitago)
- Nếu BC2 = AB2 + AC2 thì tam giác ABC vng tại A( định lý đảo định lý Pitago)
Vận dụng kiến thức này vào ta có một số bài tập sau.
Ví dụ 8: Cho 2 đường thẳng:
y = 3x- 2

y=

−1
x+8
3

( d1 )
(d2 )
11

x
c


Chứng minh 2 đường thẳng trên vng góc với nhau
(d2)
Hướng dẫn học sinh suy nghĩ:

C

Nếu 2 đường thẳng vng góc với nhau thì tam giác ABC
Là tam giác vng. Từ đó ta sẽ xác định tọa độ A, B, C

A

B (d1)

sau đó sẽ tính độ dài AB, AC, BC và áp dụng định lý đảo
định lý Pitago để chứng minh tam giác ABC vuông.
Lời giải:

Gọi A(x0;y0) là giao điểm của 2 đường thẳng ta có: y0 = 3x0 - 2
y0 =

−1
x0 + 8
3

Giải ra ta được: x0 = 3 và y0 = 7. Vậy A (3;7).
Trên (d2) lấy C (6;6), trên (d1) lấy điểm B (0;-2):
AC = (6 − 3) 2 + (6 − 7) 2 = 10
AB = (0 − 3) 2 + (−2 − 7) 2 = 90
BC = (0 − 6) 2 + (−2 − 6) 2 = 100
Ta có: AC2 + AB2 = BC2 = 100 ⇒ tam giác ABC vuông tại A (Định lý đảo
định lý Pitago), nên 2 đường thẳng trên vng góc với nhau.
Nhờ kiến thức này mà ta có thể chứng minh được rằng nếu đường thẳng y=ax+b
vng góc với đường thẳng y = cx + d thì

ac =-1 và nguợc lại như ví dụ sau:

Ví dụ 9: Cho hai đường thẳng: y = ax + b (a ≠ 0)

(d 1 )

y = cx +d (c ≠ 0)

(d 2 )

Chứng minh rằng: Nếu (d 1 ) vng góc với (d 2 ) thì ac = -1
Lời giải:
Ta có y = ax + b song song hoặc trùng với y = ax

(d 3 )

y = cx + d song song hoặc trùng với y = cx

(d 4 )

Ta có nếu (d 1 ) vng góc với (d 2 ) thì ta cũng có (d 3 ) vng góc với (d 4 ).
(d 3 )
12


A
O

B

(d 4 ).

Gọi O là giao điểm của (d 3 ) và (d 4 ) dễ dàng ta tìm được O (0; 0). Trên (d 3 ) lấy một
điểm bất kỳ khác O, ví dụ A(1; a).
Trên (d 4 ) lấy một điểm bất kỳ khác O, ví dụ B(1; c)
Vì (d 3 ) vng góc với (d 4 ) nên tam giác OAB vuông tại O, theo định lý Pitago ta
có

OA2 + OB2 = AB2 hay a2 + 1 + c2 + 1 = (a – c)2 . Từ đó ta có ac = -1.

Vậy: nếu (d 1 ) vng góc với (d 2 ) thì ac = -1

(ĐPCM)

Bài tập áp dụng:
Bài 5: Cho tam giác vng có độ dài các cạnh là những số nguyên và số đo chu vi
bằng hai lần số đo diện tích. Tìm độ dài các cạnh của tam giác đó.
Dạng 4. Vận dụng các định nghĩa, dấu hiệu nhận biết trong hình học để giải.
Đó là vận dụng ngay trực tiếp các định nghĩa các dấu hiệu để giải các bài tập đại số
như một số ví dụ sau:
Ví dụ 10: Trên mặt phẳng toạ độ cho điểm A(2;1), B(5;7), C(-4;4).
Chứng minh 3 điểm A, B, C tạo thành một tam giác vuông cân.
Hướng dẫn học sinh suy nghĩ: Để chứng minh tam giác vng cân ta phải
nhớ lại kiến thức hình học, đó là tam giác vng có 2 cạnh bằng nhau nên ta sẽ đi
tính độ dài các cạnh để chứng minh tam giác cân và sử dụng định lý đảo, định lý
Pitago để chứng minh tam giác vuông.
Lời giải:
AB = (5 − 2) 2 + (7 − 1) 2 = 3 5
AC = (−4 − 2) 2 + (4 − 1) 2 = 3 5
BC = (−4 − 5) 2 + (4 − 7) 2 = 90
Ta có:

AB = AC = 3 5 nên tam giác ABC cân tại A.
13


Ta lại có: AB2 + AC2 = BC2 = 90 nên tam giác ABC vuông tại A( định lý đảo định
lý Pitago)
Vậy tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A.
Ví dụ 11: Trên mặt phẳng toạ độ cho 4 điểm: A (4;2) ; B (2;-1) ; C (-4;-1) ;
D (-2;2). Chứng minh ABCD là hình bình hành.
Hướng dẫn học sinh suy nghĩ: Ở bài này để giải được nó ta phải nhớ lại dấu hiệu
nhận biết hình bình hành. Trong các dấu hiệu nhận biết của hình bình hành, thì ở

bài này ta sử dụng tứ giác có cặp cạnh đối bằng nhau là hiệu quả nhất. Vì ở đây ta
dễ dàng tính được độ dài của các đoạn thẳng.
Lời giải:
Trên mặt phẳng toạ độ ta xác định các điểm A, B, C, D như trên.
Ta thấy không có ba điểm nào thẳng hàng
Và tính được
AB = (4 − 2) 2 + (2 + 1) 2 = 13
CD = (−4 + 2) 2 + (−1 − 2) 2 = 13
AD = (−2 − 4) 2 + (2 − 2) 2 = 6
CB = (−4 − 2) 2 + (−1 + 1) 2 = 6
Ta có: AB = CD = 13 ; AD = CB = 6 nên tứ giác ABCD là hình bình hành.
Ví dụ 12: Hai vật chuyển động trên một đường trịn, đường kính 20cm. Xuất phát
cùng một lúc, cùng một điểm. Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ sau 20s thì
chúng gặp nhau, nếu chuyển động ngược chiều thì sau 4s chúng gặp nhau. Tính vận
tốc mỗi vật.
(Bài tập 37 trang 24 toán 9 tập II)
Hướng dẫn học sinh suy nghĩ: Để giải bài này ta phải sử dụng một kiến thức của
hình học đó là độ dài đường tròn .
Lời giải:
Độ dài đường tròn là C = π d = 20 π (cm.)
Gọi x(cm/s), y(cm/s) là vận tốc của 2 vật (x, y > 0).
14


Sau 20s chúng chuyển động cùng chiều gặp nhau thì quãng đường vật đi
nhanh hơn lớn hơn quãng đường đi được của vật cịn lại chính là độ dài của đường
trịn. Nên ta có: 20x – 20y = 20 π
Sau 4s chúng chuyển động ngược chiều thì gặp nhau cho nên tổng quãng
đường đi của 2 vật là độ dài đường trịn, nên: 4x + 4y = 20 π
Ta có hệ:

20x – 20y = 20 π

x= 3 π
(thỏa mãn điều kiện)

←
→

4x + 4y = 20 π

y = 2π

Vậy vận tốc của vật thứ nhất là 3 π cm/s
Vận tốc của vật thứ 2 là 2 π cm/s.
Ví dụ 13: Cho phương trình: x2- 2(m-1)x+2m-7 = 0. Tìm m để 2 nghiệm của
phương trình là kích thước của 1 hình chữ nhật.
Hướng dẫn học sinh suy nghĩ: Tôi đã từng ôn tập cho học sinh câu này nhưng học
sinh rất ngỡ ngàng, lúng túng khơng hiểu hai kích thước hình chữ nhật là như thế
nào nên không biết bài làm từ đâu. Nhưng ta chỉ cần lưu ý chiều dài và chiều rộng
của hình chữ nhật là những số dương thì bài toán sẽ đơn giản hơn. Như vậy ta chỉ
cần tìm điều kiện để phương trình trên có hai nghiệm dương là được.
Lời giải
∆ = (m-1)2- (2m-7) = (m-2)2 + 5 > 0

∀m

Nên phương trình ln có 2 nghiệm phân biệt.
Để 2 nghiệm của phương trình trên là các kích thước của hình chữ nhật thì phương
trình trên phải có 2 nghiệm dương.

Hay

x1+x2= 2(m-1) >0

m >1
←
→

x1x2 = 2m – 7 >0

m

>3,5

Vậy với m > 3,5 thì 2 nghiệm của phương trình trên sẽ là các kích thước của 1 hình
chữ nhật.
15


Từ ví dụ trên nếu thay đổi một chút ta sẽ có bài tốn hóc búa hơn, như
ví dụ 13 dưới đây:
Bài tập áp dụng:
Bài 6: Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh và p là nửa chu vi của tam giác.
Chứng minh rằng: (p-a)(p-b)(p-c) ≤
Hướng dẫn: Tính p-a=

1
abc
8

−a + b + c
>0 , tương tự với p-b, p-c
2

Áp dụng BĐT Co-si sẽ được điều phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi và
chỉ khi a=b=c hay tam giácđã cho là tam giác đều
Dạng 5. Bài tập tổng hợp.
Đó là vận dụng nhiều kiến thức hình học một lúc như các định nghĩa, các
dấu hiệu, diện tích, định lý Pitago.....như một số bài tập sau:
Ví dụ 14: Cho phương trình : x2- 2(m-1)x +2m-7 =0. Tìm m để hai nghiệm của
phương trình là các kích thước của một hình chữ nhật có độ dài đường chéo là

34

.
Lời giải:
Tương tự lời giải như trên, để hai nghiệm là các kích thước của hình chữ
nhật thì m > 3,5
Để hai nghiệm này là các kích thước hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 34
x12 + x22 = 34

thì
⇔

( x1 + x2 )2 - 2x1x2 = 34

⇔

[2(m-1)]2 - 2(2m-7) = 34

⇔

m2 – 3m – 4 = 0

giải phương trình ta có: m1 = -1 hoặc m2 = 4
Đối chiếu với điều kiện m >3,5 ta có m = 4 thỏa mãn điều kiện.
Vậy với m = 4 thì hai nghiệm của phương trình là các kích thước của hình chữ
nhật có độ dài đường chéo là

34 .

16


Ở ví dụ này ngồi sử dụng kiến thức như ở ví dụ trên cịn sử dụng đến kiến thức
nữa đó là định lý Pitago.
Ví dụ 15: Cho a > c, b > c, c > 0. Chứng minh rằng:
c (a − c ) +

c (b − c ) ≤

C

ab

(Đề thi HSG lớp 9 TP HCM năm học 2002 – 2003)
Hướng dẫn:

a

b
c

A

a−c H

b−c B

Ở bài toán này ta phải vẽ hình và sử dụng định lý Pitago để khẳng định sự tồn tại
của cách dựng hình trên. Ngồi ra bài này ta cịn sử dụng đến cơng thức tính diện
tích của tam giác.
Lời giải
Ta có: a – c > 0; b – c > 0
Đặt AC = a ; BC = b ; CH = c thì AH = a − c và BH = b − c
Ta có: 2(S ACH + S BCH ) = 2S ABC mà 2S ABC ≤
Do đó: c a − c + c b − c ≤
Nên: c(a − c) + c(b − c) ≤

ab

ab

ab (điều phải chứng minh)

Ví dụ 16: Trên mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng (m-2)x +(m-1)y = 1 (d) (trong
đó m là tham số). Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường
thẳng (d) là lớn nhất.

Lời giải

y A
17


H
B

O

(d): (m-2)x +(m-1)y = 1
⇔ (m-1)y= (2-m)x+1

+) Trường hợp 1: m=1 thì (d) trở thành đường thẳng x=-1
Khi đó khoảng cách từ O đến (d) bằng 1
+) Trường hợp 2: m=2 thì (d) trở thành đường thẳng y=1
Khi đó khoảng cách từ O đến (d) bằng 1
+) Trường hợp 3: m ≠ 2, m ≠ 1
Gọi A là giao điểm của (d) với trục tung. Ta cho x = 0 thì y=

1
nên
m −1

1

OA = m − 1 .
Gọi B là giao điểm của (d) với trục hoành. Ta cho y = 0 thì x =

1
nên
m−2

1

OB = m − 2 .
Khoảng cách từ gốc 0 đến (d) là OH . Ta có tam giác OAB là tam giác vng với
đường cao OH nên ta có:
1
1
1
1
3 2 1
2
2
+
) +
2 =
2
2 hay
2 = (m-1) + (m-2) = 2(mOH
OA
OB
OH
2
2

Nên ta có OH 2 ≤ 2 ⇒ Giá trị lớn nhất cuả OH là: OH = 2 xảy ra khi m=
Vậy giá trị lớn nhất cuả OH là: OH = 2 xảy ra khi m=

3
2

3
.
2

Như vậy ở bài này ta phải sử dụng kiến thức hình học là sử dụng hệ thức
trong tam giác vng.
Ví dụ 17:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P): y= x2 và hai điểm A(-1;1). B(3;9)
18

x


nằm trên (P). Gọi M là điểm thay đổi trên (P) và có hồnh độ là m (−1m để diện tích tam giác ABM lớn nhất
(Đề thi HSG tốn 9 tỉnh Thái Bình năm học 2011- 2012)
Lời giải :
Áp dụng cơng thức tìm hàm số bậc nhất biết đồ thị đi qua hai điểm, có đồ thị
hàm số đi qua A(-1;1) và B(3;9) là:(d): y=2x+3
1

-Từ M hạ MH ⊥ AB ⇒ S ABH = 2 AB.MH
Mà AB có độ dài không đổi
nên S ABH đạt giá trị lớn nhất khi MH có giá trị lớn nhất
Từ M kẻ đường thẳng (d′):y=ax+b sao cho (d’)//(d). Để MH có độ dài lớn nhất thì
đường thẳng (d′) phải là tiếp tuyến của Parabol (P):

a = 2
b ≠ 2

+)(d′)//(d) ⇔ 

⇒ (d′) có dạng y=2x+b

+)(d') là tiếp tuyến của (P) nên phương trình hồnh độ của điểm M phải có nghiệm
kép: m2=2m+b có nghiệm kép ⇔ m2- 2m – b=0 có nghiệm kép
⇔ Δ′=12+b=0 ⇔ b=−1(t/m)

Nên đường thẳng (d′): y=2x−1
⇒ m=1(t/m)

Vậy với m=1 ⇒ M(1;1) thì SABM đạt GTLN.
Bài tập áp dụng:
Bài 7: (Toán tuổi thơ)
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
1
1
1
1 1 1
+
+
≥ + +
a + b − c a − b + c −a + b + c a b c

Bài 8: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
19

1
1
1
+
+
≥3
a + b − c a − b + c −a + b + c

Bài 9: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
1
1
1
1 1 1
+
+
≥ n + n + n ∀n ∈ N
n
n
n
(a + b − c) (a − b + c) (−a + b + c)
a b c

Bài 10: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 6. Chứng
minh rằng: 3(a2+ b2+ c2)+2abc ≥ 52
Bài 11: Tìm tất cả các tam giác vng có số đo các cạnh là số ngun và 2 lần số
đo diện tích bằng 3 lần số đo chu vi
8. Những thông tin cần được bảo mật:
Không có thơng tin cần bảo mật
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến.

Để đề tài có thể áp dụng một cách khoa học và có hiệu quả xin đưa ra một số
kiến nghị như sau:
Đối với Giáo viên:
- Bản thân Giáo viên phải thường xuyên trau dồi chuyên môn qua các lớp
học chuyên đề về dạy học Toán do huyện, tỉnh tổ chức. Trao đổi cùng các đồng
nghiệp để nâng cao trình độ chun mơn, kỹ năng hướng dẫn học sinh làm bài tập
toán
- Nghiên cứu kỹ nội dung các bài học, tìm tịi các ý tưởng trong đời sống liên
quan đến kiến thức bài học.
- Sử dụng phương pháp dạy học hợp lí đảm bảo cho học sinh có một tiết học
hiệu quả.
- Năng động sáng tạo trong tổ chức hoạt động dạy học, luôn say mê tìm tịi
nghiên cứu các tri thức mới.
- Việc quan trọng nhất trong thành cơng dạy học theo tơi đó là giáo viên phải
soạn bài thật tốt, chuẩn bị một hệ thống câu hỏi phù hợp, các bài tập phù hợp.
- Phân tích các bài tập “mẫu” cho học sinh qua các giờ phụ đạo do nhà
trường tổ chức hoặc trong các giờ học mơn tự chọn mơn tốn
- Phải truyền cho học sinh hứng thú và yêu thích bộ mơn Tốn
20


- Chia học sinh thành các nhóm nhỏ,mỗi nhóm có nhóm trưởng (Học sinh có
học lực khá ,có uy tín với các bạn ). Tổ chức nhóm thảo luận các bài tập “mẫu” mà
giáo viên đã giải ra giấy photo từ đó áp dụng giải một số bài tập mà giáo viên đưa
ra. Sau đó cho các nhóm lên bảng trình bày bài giai của mình (có thuyết trình). Các
thành viên cịn lại của lớp có thể đặt câu hỏi phát vấn nhóm giải bài. (nếu câu hỏi
hay giáo viên phải kịp thời khen ngợi các em)
- Giáo viên phải chuẩn bị một số bài tập tương tự cho các em (photo các đề
bài đã biên soạn ở trên phát cho các nhóm) về nhà thực hiện. Buổi sau thu vở của
các em, chấm và chữa từng bài giải của một số em, sửa từng câu lập luận, phép

tính. Đây là một việc làm khơng khó, tuy nhiên nó địi hỏi ở giáo viên sự tận tâm,
tận tụy chịu khó trong công việc.
Đối với học sinh:
- Nghiên cứu kỹ bài trước khi đến lớp, có ý thức vận dụng kiến thức vào các
tình huống học tập cụ thể.
-Tích cực, tự giác, năng động, sáng tạo, hợp tác trong học tập.

10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng
kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp
dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử
Kết quả áp dụng đề tài này đã góp phần nâng cao chất lượng học tập của bộ môn
đối với học sinh đại trà, ôn thi học sinh giỏi và ôn thi vào lớp 10 THPT.
* Chất lượng giáo dục đại trà:
Qua q trình cơng tác giảng dạy, nghiên cứu trong năm học 2019- 2020 tôi đã
áp dụng phương pháp “ Khai thác những kiến thức hình học để giải một số bài tập
đại số 9” và thực hiện trên đối tượng khối lớp 9.
Qua nhiều biện pháp điều tra về việc giải bài toán đại số bằng kiến thức hình
học ở lớp 9 tơi đã thu được kết quả cụ thể để so sánh, đối chiếu như sau:

*Kết quả khảo sát trước khi ứng dụng sáng kiến:
Khối

Tổng

Giỏi

Khá
21

TB

Yếu, kém


9

số HS

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

76

04

5,26

16

21,06

42

55,26

14

18,42

%
48,68

Yếu, kém
SL
%
9
11,84

*Kết quả khảo sát sau khi ứng dụng sáng kiến:
Khối
9

Tổng
số HS
76

Giỏi

SL
8

%
10,53

Khá
SL
22

%
28,95

TB
SL
37

Tỷ lệ số học sinh khá, giỏi tăng, yếu kém giảm
Qua kết quả trên tôi nhận thấy rằng việc “Khai thác những kiến thức hình
học để giải một số bài tập đại số” trong dạy học Toán 9 đã làm cho chất lượng học
tập của học sinh từng bước được nâng lên một cách rõ rệt, học sinh đã tự mình nắm
vững kiến thức, đặc biệt là học sinh yếu kém đã có hứng thú hơn trong học tập. Do
đó cần phải sử dụng cách làm này một cách thường xuyên và hợp lí trong dạy học
đại số 9 mà cịn có thể áp dụng rộng rãi cho việc dạy bồi dưỡng học sinh giỏi ở các
khối lớp. Tỷ lệ số học sinh khá, giỏi tăng, yếu kém giảm so với đầu năm học cũng
như với những khóa học trước đây khi chưa áp dụng đề tài. HS hứng thú hơn khi
học mơn tốn.
Như vậy khi giải một số bài toán đại số nếu ta biết khai thác và vận dụng hợp
lý một số kiến thức hình học thì cơng việc giải tốn sẽ đơn giản hơn, mang lại hiệu
quả cao hơn. Vì vậy trong khi giải tốn cần nghiên cứu kỹ bài toán và cần phải kết

hợp nhuần nhuyễn giữa hình học và đại số để giải quyết. Trong khi dạy học cần lưu
ý cho học sinh biết khai thác và vận dụng các kiến thức hình học để giải các bài tập
đại số và ngược lại.
Ở đây tôi chỉ mới giới thiệu giải một số bài tập đại số có kết hợp các kiến
thức hình học, tất nhiên cịn nhiều dạng tốn nữa khi giải cũng cần kết hợp các kiến
thức hình học để giải. Tơi tin chắc rằng những kinh nghiệm của tôi cũng chỉ là một
trong những biện pháp nhỏ bé trong vô vàn kinh nghiệm được đúc kết qua sách vở,
cũng như của quý thầy giáo, cô giáo đi trước và các bạn đồng nghiệp. Vì vậy, bản
thân tơi rất mong được sự góp ý, xây dựng của q thầy giáo, cơ giáo, cùng các bạn
đồng nghiệp, nhằm giúp tơi từng bước hồn thiện phương pháp giảng dạy của
22


mình. Từ đó, bản thân tơi có điều kiện cống hiến nhiều hơn nữa trí lực của mình
cho sự nghiệp giáo dục.
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp
dụng sáng kiến lần đầu:
Số Tên tổ chức/cá
TT
nhân
1

TrườngTHCS
Đôn Nhân

Địa chỉ

Phạm vi/Lĩnh vực
áp dụng sáng kiến

xã ĐônNhân, huyện Sông Lô, - Học sinh lớp 9 trường THCS Đơn
tỉnh Vĩnh Phúc
Nhân- Bộ mơn Tốn.

Đơn Nhân, Ngày 20 tháng 6 năm 2020

Đôn Nhân, Ngày 20 tháng 6 năm 2020

Thủ trưởng đơn vị

Tác giả sáng kiến

Hà Ngọc Quyến

Nguyễn Thị Đồn

Sơng Lơ, Ngày

tháng

năm 2020

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG
SÁNG KIẾN CẤP HUYỆN

23


24