ngan hang de thi hsg lop9

<span class='text_page_counter'>(1)</span>§Ò thi häc sinh giái líp 9 n¨m häc 2000-2001 C©u1: Cho hµm sè y = mx2 +2(m-2)x- 3m + 2 CMR đồ thị của hàm số luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của m. a b c x y z   0   1 x y z C©u2: Gi¶ sö a,b,c,x,y,z lµ nh÷ng sè kh¸c 0 tháa m·n: vµ a b c . x2 y 2 z 2  2  2 1 2 Chøng minh r»ng: a b c ( x2  y 2 )2 8 2 C©u3: Cho x > y vµ xy = 1. CMR: ( x  y )  x  y 25   y 2 x  18  2 C©u4: T×m nghiÖm nguyªn cña hÖ bpt:  y x  4 x. Câu5: Cho đờng tròn (O) và đờng thẳng d cắt đờng tròn (O) tại hai điểm A và B. Từ một điểm M bất kỳ trên d và nằm ở miền ngoài đờng tròn (O) kẻ các đờng tiếp tuyến MP và MN(P vµ N lµ c¸c tiÕp ®iÓm) a) CMR: khi M di động trên d thì đờng tròn ngoại tiếp  MNP luôn đi qua hai điểm cố định. b) Tìm tập hợp các tâm đờng tròn ngoại tiếp  MNP khi M di động trên d. c) Xác định vị trí của M để  MNP đều. Bµi lµm C©u1: Giả sử đồ thị của hàm số y = mx2 +2(m-2)x- 3m + 2 luôn đi qua điểm M(x0;y0) với mọi gi¸ trÞ cña m  mx02 + 2(m- 2)x0 – 3m + 2 = y0 víi mäi gi¸ trÞ cña m  m(x02 + 2x0- 3) + 2- 4x0- y0= 0 víi mäi gi¸ trÞ cña m    x0 1   x0 1   x0  2 x0  3 0   y0  2    x0  3     x  3  2  4 x0  y0 0  y 2  4 x  0 0  0   y0 14 2. Vậy đồ thị của hàm số y = mx2 +2(m- 2)x- 3m + 2 luôn đi qua hai điểm cố định (1;-2) vµ (-3; 14) víi mäi gi¸ trÞ cña m. C©u2 a b c   0  ayz + bxz + cxy = 0 Ta cã: x y z 2.  x y z x 2 y 2 z 2 2 xy 2 xz 2 yz x 2 y 2 z 2 2( xyc  xzb  yza)             a b c a 2 b 2 c 2 ab ac bc a 2 b 2 c 2 abc   x2 y 2 z 2 x2 y 2 z 2    0   1  12 = a 2 b 2 c 2  a2 b2 c2 ( x2  y 2 )2 8 2 ( x  y ) C©u3: Cho x > y vµ xy = 1. CMR: ( x 2  y 2 )2 8  ( x 2  y 2 ) 2 8( x  y ) 2  ( x 2  y 2 ) 2  8( x  y ) 2 0 2 Ta cã: ( x  y)   x 2  y 2  2 2( x  y )   x 2  y 2  2 2( x  y)  0   2 2   x  2  y  2 2( x  y)  2   x 2  2  y 2  2 2( x  y)  2 0     x 2  2 xy  y 2  2 2( x  y )  2   x 2  2 xy  y 2  2 2( x  y )  2  0  .

<span class='text_page_counter'>(2)</span>   x  y  2 . . 2. x y. 2. . 2. 0. Luôn đúng C©u5 a) Gọi H là hình chiếu của O lên đờng thẳng d. Vì O và d cố định nên H cố định 0  Ta cã: ONM 90 (gt).  OPM 900 (gt)   OPMN nội tiếp đờng tròn   OHM OPM 900  . Ta l¹i cã: OHPM nội tiếp đờng tròn  Năm điểm O, H, P, M, N cùng nằm trên một đờng tròn  khi M di động trên d thì đờng tròn ngoại tiếp  MNP luôn đi qua hai điểm cố định O và H. b) Vì đờng tròn ngoại tiếp  MNP luôn đi qua hai điểm O và H nên tâm của đờng tròn ngoại tiếp  MNP nằm trên đờng trung trực của OH. Vậy khi M di động trên d thì tâm đờng tròn ngoại tiếp  MNP nằm trên đờng trung trùc cña ®o¹n th¼ng OH.    c) Khi  MNP đều  NMP = 600  OMN OMP = 300 1  OP = 2 OM  OM = 2.OP = 2R.. Vậy khi M cách O một khoảng bằng 2R thì  MNP đều §Ò thi häc sinh giái líp 9 n¨m häc 2002-2003 C©u1: 1. Gi¶i pt: ( 1  x  1)( 1  x  1) 2 x 2. Cho pt: x2- 2mx + 2m – 1 = 0 a) Chøng tá r»ng pt cã nghiÖm x1, x2 víi mäi m. b) §Æt A = 2(x12 + x22)- 5x1x2. CM: A = 8m2- 18m + 9 1 1 1   1 x y z C©u2: a) T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña pt: 7 1 1 1 1    b) Cho ba sè d¬ng a,b,c tháa m·n: a2 + b2 + c2 = 5 . CM: a b c a.b.c  x  y  xy 7  2 2 C©u3: Gi¶i hÖ pt:  xy  x y 12. C©u4: Cho hbh ABCD vµ I lµ trung ®iÓm cña CD. §êng th¼ng BI c¾t tia AD t¹i E. a) CMR:  BIC =  EID. b) Tia EC c¾t AB t¹i F. CMR: FC//BD. c) Xác định vị trí của điểm C đối với đoạn thẳng EF. Câu5: Từ một điểm S ở bên ngoài đờng tròn (O) kẻ hai cát tuyến SAB, SCD đến đờng trßn. CMR: nÕu AB = CD th× SA = SC Bµi lµm C©u1: 1. Gi¶i pt: ( 1  x  1)( 1  x  1) 2 x 2. x2- 2mx + 2m – 1 = 0 (1) / a) Ta cã:  = (-m)2- 1.(2m- 1) = m2- 2m + 1 = (m- 1)2 V× (m- 1)2 0 víi mäi m nªn pt (1) lu«n cã nghiÖm x1, x2 víi mäi m. b) Ta cã: A = 2(x12 + x22)- 5x1x2 = 2(x1 + x2)2 – 9x1x2 Theo vi-et ta cã: x1 + x2 = 2m x1.x2 = 2m- 1  A = 2(2m)2- 9(2m- 1) = 8m2- 18m + 9 _®pcm. 1 1 1   1 x y z  x,y,z > 1 C©u2: a) Ta cã:.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 1 1 1 3    x y z z     Gi¶ sö x y z V× z nguyªn d¬ng  z = 2;3. 1 1 1   x y 2 = 1 * NÕu z = 2 ta cã:. 3 z 1  z 3 1 1 1  x y = 2  x,y > 2. 1 1 2 1 2  V× x y  x y  y  2  y  y 4 V× y nguyªn d¬ng  y = 3;4 1 1 1  + NÕu y = 3  x 3 = 2  x = 6 1 1 1  + NÕu y = 4  x 4 = 2  x = 4 1 1 1 1 1 2 3    * NÕu z = 3 ta cã: x y 3 = 1  x y = 3  x,y> 2 1 1 2 2 2  V× x y  x y  y  3  y  y 3 V× y nguyªn d¬ng  y = 2;3 1 1 2  + NÕu y = 2  x 2 = 3  x = 6 1 1 2  + NÕu y = 3  x 3 = 3  x = 3. VËy nghiÖm nguyªn d¬ng cña pt lµ: (3;3;3); (6; 2; 3); (6; 3; 2); (3; 2; 6); (3; 6; 2); (2; 3; 6); (2; 6; 3); (2; 4; 4); (4; 2; 4); (4; 4; 2) b) Ta cã 1 1 1 1 bc ac ab 1         0  bc  ac  ab  1  0  1  ab  ac  bc  0 a b c a.b.c abc abc abc abc  2  2ab  2ac  2bc  0 . 7 3 3   2ab  2ac  2bc  0  a 2  b 2  c 2  2ab  2ac  2bc   0 5 5 5. 3  ( a  b  c) 2   0 5 luôn đúng   x  y 3 (I )   x  y  xy 7  x  y  xy 7  xy 4     2 2   x  y 4  xy ( x  y ) 12  xy  x y 12  ( II )   xy 3. C©u3: Ta cã: HÖ pt (I) v« nghiÖm.  x 1  x 3   HÖ pt(II) cã nghiÖm  y 3 hoÆc  y 1  x 1  x 3   Vậy hệ pt đã cho có nghiệm  y 3 hoặc  y 1. C©u4: a) XÐt  BIC vµ  EID cã:.   BCI EDI (so le trong). IC = ID (gt).   BIC EID (đối đỉnh).

<span class='text_page_counter'>(4)</span>   BIC =  EID (g.c.g) b) Ta cã:  BIC =  EID (c©u a)  BC = ED Mµ BC = AD  AD = ED  CD là đờng trung bình của  AEF  CD = AB = BF  BFCD là hình bình hành  FC // BD c) Vì CD là đờng trung bình của  AEF (c/m trên)  C là trung điểm của đoạn thẳng. EF. C©u5: Gäi H vµ K lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña O lªn AB vµ CD V× AB = CD  OH = OK XÐt  SOH vµ  SOK cã: SO lµ c¹nh chung OH = OK (c/m trªn)   SOH =  SOK (c¹nh huyÒn- c¹nh gãc vu«ng)  SH = SK (1) MÆt kh¸c AB = CD  AH = CK (2) Tõ (1) vµ (2)  SA = SC. §Ò thi häc sinh giái líp 9 n¨m häc 2003-2004 1 1 1 2 2002 1     ...  1 x( x  1) 2004 C©u1: a) T×m x N biÕt: 3 6 10 x6 y6 z6   3 3 3 3 3 3 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc Q = x  y y  z z  x. Trong đó x,y,z là các số dơng thỏa mãn: xy xy  yz yz  zx zx 1 C©u2: a) Cho x- y = 4; x2 + y2 = 36. TÝnh x3- y3. b) Cho c¸c sè thùc a, b, x, y tháa m·n ®iÒu kiÖn: a + b = 3; ax + by = 5; ax 2 + by2 = 12; ax3 + by3 = 31. TÝnh ax4 + by4 y3 . C©u3:a) Gi¶i pt:. 1 1 78( y  ) 3 y y víi ®iÒu kiÖn y 0.. ( x 2  xy  y 2 ) x 2  y 2 185  2 2 2 2 b) Gi¶i hÖ pt: ( x  xy  y ) x  y 65  x  by 36  C©u4: Gi¶ sö x,y,z lµ c¸c sè nguyªn kh«ng ©m tháa m·n diÒu kiÖn sau: 2 x  3z 72. Trong đó b > 0 cho trớc. CMR: a) NÕu b 3 th× (x+y+z)max= 36. 36 b) NÕu b<3 th× (x+y+z)max= 24 + b. Câu5: Cho đờng tròn (O;R) và điểm A với OA = R 2 . Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN. a) CM  AMON lµ h×nh vu«ng B) Gäi H lµ trung ®iÓm cña MN. CMR: A, H, O th¼ng hµng c) Một đờng thẳng (m) quay quanh A cắt đờng tròn (O) tại P và Q. Gọi S là trung điểm cña d©y PQ. T×m quü tÝch ®iÓm S d) Tìm cị trí của đờng thẳng (m) để AP + AQ max e) Tính theo R độ dài HI trong đó I là giao điểm của AO với cung nhỏ MN. Bµi lµm 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1     ...       ...  x( x  1) 1.2 2.3 3.4 4.5 x ( x 1) C©u1: a) Ta cã: 3 6 10.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>  1 1 1 1 1  2      ...   x( x  1)   1.2 2.3 3.4 4.5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  ;   ;   ;   ;...;   2 2.3 2 3 3.4 3 4 4.5 4 5 x( x 1) x x  1 Ta l¹i cã: 1.2  1 1 1 2  1 1 1 1 1 1 1 1 1   1  2x 1     ...  2  1         ...    2  1   3 6 10 x( x  1) x x 1  x 1  x 1  2 2 3 3 4 4 5  1 1 1 2 2002 2x 2002 2x 4006 1     ...  1  1   x( x  1) 2004 x 1 2004 x  1 2004 Do đó 3 6 10  4008 x 4006 x  4006  2 x 4006  x 2003 1 1 1 2 2002 1     ...  1 x( x 1) 2004 VËy víi x = 2003 th× 3 6 10. x6 y6 z6   3 3 3 3 3 3 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc Q = x  y y  z z  x xy xy  yz yz  zx zx 1. Trong đó x,y,z là các số dơng thỏa mãn: C©u2: a) Ta cã: (x- y)2 = x2 + y2- 2xy  2xy = x2 + y2- (x- y)2 = 36- 16 = 20  xy = 10  x3- y3 = (x- y)(x2 + xy + y2) = 4.(36 + 10) = 184 b) Ta cã: ax2 + by2 = (ax + by)(x + y)- (a + b)xy (1) ax3 + by3 = (ax2 + by2)(x + y)- (ax + by)xy (2) ax4 + by4 = (ax3 + by3)(x + y)- (ax2 + by2)xy (3) Tõ (1) vµ (2) ta cã 5( x  y )  3xy 12 25( x  y )  15 xy 60 11( x  y ) 33     12( x  y )  5 xy 31 36( x  y )  15 xy 93 5( x  y)  3 xy 12  ax4 + by4 = 31.3- 12.1= 81 1 1 y 3  3 78( y  ) y y víi ®iÒu kiÖn y 0. C©u3:a) Gi¶i pt: y3 . Ta cã:. 1 1 78( y  )  3 y y. b) Gi¶i hÖ pt:.  x  y 3   xy 1.   1  1  1  y    y 2  1  2  78  y    y   y  y  . ( x 2  xy  y 2 ) x 2  y 2 185  2 ( x  xy  y 2 ) x 2  y 2 65. §Ò thi häc sinh giái líp 9 n¨m häc 2004-2005 C©u1:(3,5®) Gi¶i c¸c pt sau: 1 3 2 a) y  y  y  1. y3 . . 4 y 2  10 y 4 y 2  21  4  3 y 1 y 1 y  y 2  y 1.  1 1  78  y  3 y y . b) Câu2:(4,5đ) Gọi d là đờng thẳng y = 2x + 2 cắt trục hoành tại M và trục tung tại N a)Viết pt của đờng thẳng d1//d và đi qua điểm P(1;0) b) d1 c¾t trôc tung t¹i Q, tø gi¸c MNPQ lµ h×nh g×? c) Viết pt đờng thẳng d2 qua N và vuông góc với d d) d1 và d2 cắt nhau tại A. Tìm tọa độ của A và tính khoảng cách AN..

<span class='text_page_counter'>(6)</span>  xy  x  y 2   yz 3  y  z   zx 4  z  x  C©u3:(2®) Gi¶i hÖ pt:. Câu4:(2đ) Tìm giá trị của x sao cho thơng của phép chia 2004x + 1053 cho x2 + 1 đạt giá trị bé nhất có thể đợc. Câu5:(8đ) Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và M là một điểm nằm trên nửa đờng tròn đó. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đờng tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By lÇn lît t¹i C vµ D. a) CMR: CD = AC + BD vµ  COD vu«ng b) OC và OD cắt AM và BM theo thứ tự tại E và F. Xác định tâm P của đ ờng tròn đI qua bèn ®iÓm O, E, M, F. c) CM:  ACDB cã diÖn tÝch nhá nhÊt khi nã lµ h×nh ch÷ nhËt vµ tÝnh diÖn tÝch nhá nhất đó. d) Khi M chạy trên nửa đờng tròn tâm O thì điểm P chạy trên đờng nào? §Ò thi häc sinh giái líp 9 n¨m häc 2005-2006 2 x 9  C©u1:(4d) Cho biÓu thøc: A = x  5 x  6. x  3 2 x 1  x  2 3 x. a) Rót gän biÓu thøc A b) Tìm x để A < 1. c) Tìm giá trị nguyên của x để giá trị tơng ứng của A cũng là số nguyên. C©u2:(3®) a) T×m nghiÖm nguyªn cña pt: (x+5)2 = 64(x-2)3 b) Sè 2100 cã bao nhiªu ch÷ sè. C©u3:(4®) Gi¶i pt vµ bpt sau: 3. a). 1 1 x   x 1 2 2 x. b). 1 x 1 ( x  1) 2   2x  1  2 4 8.  1  1  1  1    1    1   64 a  b  c  C©u4:(2d) Cho a, b, c > 0 vµ a + b + c =1. Chøng minh r»ng:  Câu5:(4đ) Cho  đều ABC nội tiếp đờng tròn tâm O. Qua điểm M trên cung nhỏ AB vẽ ' đờng tròn tâm O tiếp xúc trong với đờng tròn (O) cắt MA, MC lần lợt ở N và P. Chứng. minh: a)NP//AC b) MA + MB = MC Câu6:(3đ) Cho  MNP có các đỉnh M, N, P lần lợt di động trên ba cạnh BC, AB, AC của  nhọn ABC cho trớc. Xác định vị trí của M, N, P để chu vi  MNP đạt giá trị nhỏ nhất. §Ò thi häc sinh giái líp 9 n¨m häc 2006-2007 C©u1:(4®) Trªn hÖ trôc Oxy a) Viết pt đờng thẳng đi qua A(-2; 3) và B(1; -3) b) Đờng thẳng AB này cắt trục hoành tại C và trục tung tại D. Xác định tọa độ của C vµ D. TÝnh SOCD c) TÝnh kho¶ng c¸ch CD 1  4  x  2 y  x  2 y 1    20  3 1 C©u2:(4®) Gi¶i hÖ pt  x  2 y x  2 y.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>  1 x x   1 x x  1     1 x x x    C©u3:(4®) Cho biÓu thøc: B =. . 3.  1 x x  :  1 x. a) Rót gän B. 1 b) Víi x = ? th× B = 2. C©u4:(8®) Trong (O;R) cho hai d©y AB vµ CD vu«ng gãc víi nhau( R 3  AB  2 R ) 1. a) CMR: AB2 + AC2 = 4R2 b) Cho AB = R 3 hãy tính AC và khoảng cách từ tâm O đến hai dây AB và AC. 2. KÎ hai d©y AD vµ BE hîp víi AB gãc 450. DE c¾t AB t¹i P a) CMR: DE  AB b) Gọi OF là khoảng cách từ O đến DE. Tính khoảng cách từ O đến DE và độ dài c¸c ®o¹n th¼ng PA, PB, PD, PE khi AB = R 3 3. Nèi CE. Hái ADEC lµ tø gi¸c g×? 4. Trong trêng hîp tæng qu¸t cho hai d©y AB vµ DE vu«ng gãc víi nhau t¹i P. CMR: PA2 + PB2 + PD2 + PE2 = 4R2. §Ò thi häc sinh giái líp 9 n¨m häc 2007-2008 C©u1:(4®) Cho hÖ pt.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>