Phương pháp tính tích phân

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TÝch ph©n. Phương pháp tính Tích phân . I. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến: Những phép đổi biến phổ thông: - Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa thì đặt t là phần bên trong dấu ngoặc nµo cã luü thõa cao nhÊt. - Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số. - Nếu hàm số chứa căn thức thì đặt t là phần bên trong dấu căn thức. dx - NÕu tÝch ph©n chøa thì đặt t  ln x . x - Nếu tích phân chứa e x thì đặt t  e x . dx - NÕu tÝch ph©n chøa thì đặt t  x . x dx 1 - Nếu tích phân chứa 2 thì đặt t  . x x - Nếu tích phân chứa cos xdx thì đặt t  sin x . - Nếu tích phân chứa sin xdx thì đặt t  cos x . dx - NÕu tÝch ph©n chøa thì đặt t  tgx . cos 2 x dx - NÕu tÝch ph©n chøa thì đặt t  cot gx . sin 2 x Bµi tËp minh ho¹: e 1 1 1 dx e x dx 3 1.  x  1x 2  2x  1 dx 2.  x.3 1  xdx 3.  4. 0 e x  1 2 1 x . 1  ln x 0 0 1. 5..  0. 9.. dx. 6.. x 1 x.  2. dx  sin 4 x.  2.  2. 3.  4. cos xdx 4 sin xdx e tgx dx 7. 8. 0 sin 2 x  5 sin x  6 0 1  cos x 0 cos 2 x. 1. 10.  x 3 . 1  x 2 dx 0. 4. II. Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần: b. b. b. C«ng thøc:  f ( x )dx  uv a   vdu . Nh­ vËy viÖc chän ®­îc u vµ dv cã vai trß quyÕt a. a. định trong việc áp dụng phương pháp này. Ta thường gặp ba loại tích phân như sau: Lo¹i 1: b  a Pn ( x ). sin f ( x ).dx b   u  Pn ( x ) : Trong đó Pn ( x ) là đa thức bậc n.   Pn ( x ). cos f ( x ).dx a  b f (x)   Pn ( x ).e .dx a -N2C-. Lop12.net. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> TÝch ph©n Ta ph¶i tÝnh n lÇn tÝch ph©n tõng phÇn. b. Lo¹i 2:  P( x ). ln n f ( x ).dx  u  ln n f ( x ) : TÝnh n lÇn tÝch ph©n tõng phÇn. a.  b x  a e . sin  x.dx Lo¹i 3:  b §©y lµ hai tÝch ph©n mµ tÝnh tÝch ph©n nµy ph¶i tÝnh lu«n c¶  x  e . cos  x.dx  a tích phân còn lại. Thông thường ta làm như sau:. - TÝnh  e x . sin  x.dx :§Æt u  e x . Sau khi tÝch ph©n tõng phÇn ta l¹i cã tÝch ph©n b. a. b. e. x. . cos  x.dx .Ta l¹i ¸p dông TPTP víi u nh­ trªn.. a. - Tõ hai lÇn TPTP ta cã mèi quan hÖ gi÷a hai tÝch ph©n vµ dÔ dµng t×m ®­îc kÕt qu¶. Bµi tËp minh ho¹:  2. e. 1.  x  x  1. sin x.dx 2.  x . ln x.dx 3. 2. 2. 1. 0.  2. 4.  e 3 x . cos 5x.dx 0. . 3.  x 2 . cos 3x.dx 0.  2.  2. 0. 0. 5.  e 2003 x . sin 2004x.dx 6.  e 2 x . sin 2 x.dx. Ngoài ra ta xét thêm một vài bài tích phân áp dụng phương pháp TPTP nhưng không theo quy tắc đặt ở trên: 3.  2. x e .dx 1  sin x x  ln x  3. 4. 5. .e dx . dx      2 4  1 1 0 x  2  0 0 1  cos x 1 x  III. TÝch ph©n hµm ph©n thøc h÷u tû: PhÇn 1: TÝch ph©n h÷u tû c¬ b¶n. A A dx  ln ax  b  C 1. a.D¹ng:  ax  b a ax  b a A dx   dx   dx b.D¹ng:  cx  d c cx  d ax 2  bx  c C c. D¹ng:  dx   Ax  B dx   dx dx  e dx  e dx 2. a.D¹ng:  2 ax  bx  c x  x1   x  x 2 dx dx 1 - NÕu   0 :    ...  ax  x 1 x  x 2  x 2  x 1 ax  x 1 x  x 2  dx - NÕu   0 :   ... 2 b  a x   2a   dx - NÕu   0 :  §Æt x     .tgt x   2   2 e. 1.  cosln x .dx. 2. 2.. 8. x .dx.  x. e. 1. 2. x. 3. -N2C-. Lop12.net. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> TÝch ph©n Ax  B dx ax 2  bx  c  Ax  B ax 2  bx  c ' dx Ph©n tÝch: I   2 dx  m. dx  n. 2 2 ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c dx  m. ln ax 2  bx  c  n. 2 ax  bx  c Bµi tËp minh ho¹: 1 2 4 1 2004x  2003 dx dx dx 1.  3.  2 4.  2 dx 2.  2 0 2003 x  2004 1 6  x  5x 0 x  6x  9 0 x  x  1 1 2 2x  3 4  3x 5.  dx 6.  2 dx 2 1 6  x  5x 0 x  x  1 b A( x ) PhÇn 2: TÝch ph©n h÷u tû tæng qu¸t.  dx a Q( x ) - Bước 1: Nếu bậc của A(x) lớn hơn bậc của B(x): Chia chia A(x) cho B(x). Ta phải tính tÝch ph©n: b P( x ) a Q( x) dx - Bước 2: + Nếu Q(x) chỉ toàn nghiệm đơn: Q( x )  x  a 1 x  a 2 ...x  a n  , ta tìm A 1 , A 2 ...A n sao cho : A1 A2 An P( x )    ..  Q( x ) x  a 1 x  a 2 x  an. 3. D¹ng: I  . + Nếu Q(x) gồm cả nghiệm đơn và nghiệm bội: Q( x )  x  a x  b x  c  , ta tìm A, B,C1 ,C 2 sao cho : C1 C2 P( x ) A B     2 x  c  Q( x ) x  a x  b x  c  + Nếu Q(x) gồm nhân tử bậc hai đơn và nhân tử bậc hai đơn: Q( x )  x  a x 2  px  q  , ta t×m A, B, C sao cho : P( x ) A Bx  C   2 Q( x ) x  a x  px  q + Nếu Q(x) gồm nhân tử bậc hai đơn và nhân tử bậc hai bội: 2 Q( x )  x  a x 2  px  q  , ta t×m A, B 1 , C1 , B 2 , C 2 sao cho : B x  C1 B x  C2 P( x ) A   2 1  22 2 Q( x ) x  a x  px  q  x  px  q Bµi tËp minh ho¹: 2 2 5 3 2 x1 4x  16x  8 3x  3x  3 1.  2. 3. dx dx dx   3 2 3 3 x  4x 2 x  x 2 1 x  3x  2 IV. Tích phân hàm vô tỷ đơn giản: b b 1 dx 1.D¹ng:  n ax  b .dx;  n : §æi n ax  b  ax  b n ax  b a a 2. -N2C-. Lop12.net. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> TÝch ph©n b. 2.D¹ng:. . ax 2  bx  c .dx. a. b. - NÕu a>0 : TÝch ph©n cã d¹ng. . u 2  a 2 du đặt u=atgt. a. . Hoặc chứng minh ngược công thức: b. -- NÕu a<0 : TÝch ph©n cã d¹ng. . u 2 2 u2 u  a du  u  a  ln u  u 2  a 2  C 2 2 2. 2. a 2 u 2 du đặt u=asint. a. dx. b. . 3.D¹ng:. ax 2  bx  c x  x1   x  x 2 dx dx 1 - NÕu   0 :    ...  ax  x 1 x  x 2  x 2  x 1 ax  x 1 x  x 2  dx dx   - NÕu   0 :    2 b  b   a x   a x   2a   2a   dx - NÕu   0 : Víi a>o:  §Æt x     .tgt 2 2 x      du Hoặc chứng minh ngược công thức:   ln u  u 2  a 2  C 2 2 u a dx Víi a<0:  §Æt x     . sin t 2 2   x    Bµi tËp minh ho¹: 3 1 1 1 dx dx dx dx 1. I   2 2. I   2 3. I   2 4. I   2 0 0 0 0 x  3x  2 x  2x  1 x  x1  x  2x  3 a. 1. 1. 5. I   x 2  x  1.dx 6. I    x 2  2x  3 .dx 0. 0. b. 4.D¹ng.  x    a. 1. BTMH: 1. . dx ax 2  bx  c dx. 1 t dx. §Æt x     1.  2x  4 x  2x x  1 x  x  1 5.D¹ng:  R  ax  b  ; ax  b  .dx §Æt t  ax  b  2. 0. BTMH:. . 0 3. q. dx. 1. 2x  1. 2. 2. 0. m. n. 2.. . p. víi s lµ BCNN cña n vµ q.. dx. 1. 2x  1. 1 s. . 1  2x . 0.  4 1  2x . 1. 6. 1 0. x 3. x. dx. V. Tích phân hàm số lượng giác: b. 1.D¹ng:  f sin x; cos x dx a. - NÕu f lµ hµm lÎ theo sinx: §Æt t=cosx. -N2C-. Lop12.net. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> TÝch ph©n - NÕu f lµ hµm lÎ theo cosx: §Æt t=sinx. - NÕu f lµ hµm ch½n theo sinx vµ cosx: §Æt t=tgx. Bµi tËp minh ho¹:  2.  6. 3.  4. 3. sin x cos x dx dx 2.  dx 3.  3 3 0 cos x 0 4  sin x 0 sin x . cos x. 1. . 4..  4. dx.  sin x  cos x . 2. 0. b. 2.D¹ng:  sin m x. cos n x.dx a. - NÕu m vµ n ch½n: H¹ bËc. - NÕu m lÎ: §Æt t=cosx. - NÕu n lÎ: §Æt t=sinx.  2. Bµi tËp minh ho¹:.  2.  2.  2. sin x dx dx 4.  2 4 4 0 cos x 0 cos x . sin x. 1.  sin 3 x. cos 2 x.dx 2.  sin 4 x. cos 2 x.dx 3.  0. 4. 0. b. 3.Dạng:  R sin x; cos x .dx trong đó R là hàm hữu tỉ theo sinx, cosx. a. x 2dt 2t 2t 1  t2 sin x  tgx  §Æt t  tg  dx  ; ; ; cos x  2 1  t2 1  t2 1  t2 1  t2 b dx Cô thÓ lµ hµm: I   a a sin x  b cos x  c Bµi tËp minh ho¹:  4.  2.  2. 1  sin x  dx 3. I  dx dx 2. I    0 sin x  cos x  1 0 sin x .cos x  1 0 cos x  2  b a sin x  b cos x 4.D¹ng: I   dx a c sin x  d cos x Ph©n tÝch: (Tö sè)=A.(MÉu sè)+B.(MÉu sè)’ b b b b b a sin x  b cos x c cos x  d sin x dc sin x  d cos x  I dx  A  dx  B. dx  A  dx  B. c sin x  d cos x a c sin x  d cos x a a c sin x  d cos x a a 1. I  .  2. 3 sin x  2 cos x dx 0 4 sin x  3 cos x b a sin x  b 1 cos x  c 1 5.D¹ng: I   1 dx a a 2 sin x  b 2 cos x  c 2 Ph©n tÝch: (Tö sè)=A.(MÉu sè)+B.(MÉu sè)’+C b b b a 2 cos x  b 2 sin x dx I  A  dx  B  dx   C a a a 2 sin x  b 2 cos x  c 2 a a 2 sin x  b 2 cos x  c 2 Bµi tËp minh ho¹: I  . da 2 sin x  b 2 cos x  c 2   C.J a 2 sin x  b 2 cos x  c 2 a a J lµ tÝch ph©n tÝnh ®­îc. b. b.  A  dx  B .  2. . 2 sin x  cos x  1 sin x  1 Bµi tËp minh ho¹: 1. I   dx 2. I   dx 0 sin x  2 cos x  3 0 3 sin x  4 cos x  5. -N2C-. Lop12.net. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> TÝch ph©n VI. Phép đổi biến đặc biệt: b. I   f ( x )dx a. Khi sử dụng các cách tính tích phân mà không tính được ta thử dùng phép đổi biến: t  a  b   x .Thực chất của phép đổi biến này là nhờ tính chất chẵn lẻ của hàm số f(x). Bµi tËp minh ho¹:  2. . . 1  1 x sin x sin 2004x cos x 3 2 1. I   x dx 4. I   dx dx 2. I   ln x  x  1 dx 3. I   2 x e  1 1 0 1  cos x 1 2003  1 . 2. Chøng minh r»ng: a. a. a. 0. 1. NÕu f(x) lµ hµm sè ch½n vµ liªn tôc trªn  a; a th×:  f ( x )dx  2. f ( x )dx a. 2. NÕu f(x) lµ hµm sè lÎ vµ liªn tôc trªn  a; a th×:  f ( x )dx  0 a.  2.  2.  2.  2. 0. 0. 0. 0. 3.  f (sin x )dx   f (cos x )dx 4.  x.f (sin x )dx   f (sin x )dx. -N2C-. Lop12.net. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>