tich phan hay

<span class='text_page_counter'>(1)</span>tÝch ph©n 13 míi – nguyÔn duy tr×nh – 2010 – trang 1. TÝch ph©n tæng hîp 13 I/ Chó ý: 1/ Khi đứng tr−ớc một tích phân ta cần chú ý đến các vấn đề sau: - Cận: Nếu cận của tích phân đối xứng ta nên kiểm tra xem hàm d−ới dấu tích phân có tính chất đặc biệt hay không. - Hàm: Xem tích phân có thuộc dạng tích phân từng phần hay đổi biến. 2/ Mét sè vi ph©n th−êng gÆp: adx = d (ax + b). 1 1 1  1   d ( x α +1 ); dx = d (ln x ); 1 ± 2 dx = d x ∓  α +1 x x  x   2 sin xdx = −d cos x; cos xdx = d sin x; sin 2 xdx = d(sin x ); x α dx =. (cos x ± sin x )dx = d(sin x ∓ cos x ) 1 1 dx = d(tan x ); 2 dx = −d(cot x ) 2 cos x sin x 1 e x dx = de x ; a x dx = da x ln a. II/ Mét sè bµi to¸n: D¹ng 1: Mét sè tÝch ph©n c¬ b¶n ph¶i nhí: b. b k x α +1 a α +1 a b b 1 1.2/ ∫ (kx + m) α dx = (kx + m) α +1 a k (α + 1) a b b 1 1 1.3/ ∫ dx = (kx + m) − α +1 a ; α k (−α + 1) a ( kx + m ). 1.1/ ∫ kx α dx =. b. 1. ∫ x + m dx = ln(x + m). b a. a. b  x − x1 1 1 b 1 1 1.4/ ∫ dx = dx − ∫ dx  = ln ∫  x1 − x 2  a (x − x1 ) x − x2 a ( x − x 1 )( x − x 2 ) a (x − x 2 )  b. b. 1.5/. (kx + m)dx =. ∫ a. 2 (kx + m) 3k. b. b. a. 3 b 2 a. 1 k. 1.6/ ∫ sin( kx + m).dx = − cos(kx + m) a a b. 1 k. b. 1.7/ ∫ cos(kx + m).dx = sin( kx + m) a a. b. b 1 sin x.dx b d (cos x ) 1 cos x − 1 1.8/ ∫ dx = ∫ =∫ = ln 2 2 cos x + 1 a a sin x a sin x a (cos x + 1)(cos x − 1). b. b. b b 1 cos x.dx d (sin x ) 1 sin x − 1 1.9/ ∫ dx = ∫ = − = − ln 2 ∫ 2 sin x + 1 a a cos x a cos x a (sin x + 1)(sin x − 1). b. b. b. 1 k. b. 1.10/ ∫ e kx + m .dx = e kx + m a a. Dạng 2: Đ−a vào vi phân để áp dụng bảng nguyên hàm cơ bản. Bµi to¸n 1: Cã mÉu. - Nếu mẫu có bộ phận đ−a vào đ−ợc vi phân thì căn cứ vào bộ phận còn lại để đ−a vµo vi ph©n..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> tÝch ph©n 13 míi – nguyÔn duy tr×nh – 2010 – trang 2. - Nếu mẫu có dạng tích thì phân tích thành nhân tử để tách tích phân. - Nếu tử là một biểu thức phức tạp thì ta có thể phân tích tử để giản −ớc. π 4. (1 − 2 sin 2 x )dx 1./ T = ∫ (§H-03) 1 + sin 2 x 0 1 2. HD: Tö cos 2xdx = d (sin 2x ) e3. dx e x ln x ln(ln x ) e dx 1./ T = ∫ 2 1 x cos (ln x + 1). 1./ T = ∫. 2. 4. e. e2 x 1./ T = ∫ dx 1 − 3e 2 x 2 e x dx 1./ T = ∫ x 1 e −1 π. π 3. 3 sin 3 x cos 3 x 1./ T = ∫ dx ; T = dx (lÎ tö bãc1) ∫ 2 2 cos x sin x π 0 6 π 2. π 4. 1 1 dx ; I = ∫ dx 4 4 cos x π sin x 0. 1./ I = ∫ 4 π 3. π 3. 2. sin x 1 1 dx = ⋯ = ∫ tan 2 x ( 2 dx ) 6 2 cos x cos x π cos x π. 1/ I = ∫ 4. 4. π 6. π 6. 2. cos 6 x 1 1. I = ∫ 4 dx = ∫ cos 2 x  2 − 1 dx  sin x  π sin x π 4. 4 π 6. tan 4 x 1./ I = ∫ dx (A-08) 0 cos 2 x. HD: §−a mÉu: cos 2 x (1 − tan 2 x ) C2: Chia cho cos 2 x Ph©n tÝch mÉu: 1. 1./ I = ∫ 0. (x. 2. + 3x + 2 ). 2. 2.  ( x + 2) − ( x + 1)  = ∫  dx 0  ( x + 2)( x + 1)  1. dx. 1 x −1 x2 1./ I = ∫ 2 dx = dx (x + 5x + 1)(x 2 − 3x + 1) ∫  x + 5 + 1  x − 3 + 1  x  x  2. 1−.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> tÝch ph©n 13 míi – nguyÔn duy tr×nh – 2010 – trang 3. 1  d x +  x  =∫ 1    1   x + + 5 x +    −3  x    x    a  a d + x  − 1 2 a−x x  x2 1./ I = ∫ dx = dx = − ∫ ∫ 2 2 2 (a + x 2 ) \  a a    + x  + x x  x  π 2. sin xdx 2 0 6 − 4 cos x − sin x. 1./ T = ∫ π 2. cos xdx 2 0 6 − 5 sin x − sin x π  π sin  x − dx 4 4  1./ I = ∫ (B-08) 0 sin 2 x + 2(1 + sin x + cos x ). 1./ T = ∫. HD: MÉu lµ (sin x + cos x + 1)2 ln 5 dx 1./ T5 = ∫ x (B-06) −x −3 ln 3 e + 2e Nh©n thªm: 2 2 dx dx 1./ I = ∫ I = ; ∫ 3 5 1 x ( x + 1) 1 x ( x + 1) π 2. π 4. 1 1 dx ; T = ∫ dx 3 3 π sin x 0 cos x. 1./ T = ∫ 6. Ph©n tÝch tö gi¶n −íc: cos 3 x dx sin x 4 sin 3 xdx 1./ T = ∫ 1 + cos x. 1./ T = ∫. π 2. sin 2 x. cos x dx (§H-05) 1 + cos x 0. 1./ T = ∫ 1./ T =. + 3e x )dx ∫0 e 2 x + 3e x + 2. ln 2. 1./ I = ∫. (e. 2x. 4 sin x + 3 cos x 2(sin x + 2 cos x ) + (− cos x + 2 sin x ) dx = ∫ dx (sö dông hÖ sè m, n) sin x + 2 cos x sin x + 2 cos x. Bµi to¸n 2: Chøa c¨n. 2./ T1 = ∫ e. 2./ T2 = ∫ 1. (cos x + sin x )dx 3 sin x − cos x. 1 + ln x dx x.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> tÝch ph©n 13 míi – nguyÔn duy tr×nh – 2010 – trang 4 e. 2./ T3 = ∫. (ln x ). 1 + ln 2 x dx x. 3. 1. 4. 2./ T4 = ∫. e. x. x. 1. .dx. Bµi to¸n 3: §a thøc. π. 3./ T = ∫ sin 11 xdx (lÎ bãc mét) 0. 3./ T = ∫ sin 4 x.dx ; T = ∫ cos 4 x.dx π 2. 3./ T = ∫ sin 2 x. cos 3 x.dx 0 π 2. 3./ T = ∫ sin 2 x (1 + sin 2 x ) 3 dx 0 π 2. 3./ T = ∫ sin 2 x. cos 4 x.dx (ch½n h¹ bËc) 0 π 2. 3./ T = ∫ cos 2 x (1 + cos 3 x )dx (§H-A08) 0 π 2. 3./ T = ∫ (e sin x + cos x )cos x.dx (D-05) 0. D¹ng 2: Èn phô. Bµi to¸n 1: Cã mÉu. b. Cã d¹ng: A = ∫ a. 1 dx , thì đặt x = k tan t x + k2 2. 1. 1 dx 0 x +1 2 1 2./ B = ∫ 2 dx 0 x + 4. 2./ A = ∫. 2. x+a  1  = 0;±1;± ;± 3  b 3   1  1 d x −  1+ 2 1 1 1 0 2 1+ x du x  x 2./ I = ∫ dx = ∫ dx = ∫ = ∫ 2 2 4 1 1 1− 3 1 + x 1− 3 x 2 + 1− 3  2u + 2 x − + 2 2   2 2 2 x x . NÕu mÉu cã d¹ng ( x + a ) 2 + b 2 sÏ tÝnh ®−îc khi. Chó ý:  . +/ 1 ±. 1  1 1 1   2 dx = d x ∓ ; t = x ± ⇒ x + = t2 ∓ 2      2 2 x  x x x  . dx 1  1 + x2 1 − x2  =  dx + ∫ dx  +/ I = ∫ 1 + x 4 2  ∫ 1 + x 4 1 + x 4 .

<span class='text_page_counter'>(5)</span> tÝch ph©n 13 míi – nguyÔn duy tr×nh – 2010 – trang 5. 2./ I =. 1+ 5 2. 1 + x2 dx x4 − x2 + 1. ∫ 1. 2./ I =. 3+ 7 2. ∫ 1. 1+ x2 dx x4 + x2 + 1. Bµi to¸n 2: Cã c¨n. - Nếu có một căn thì th−ờng đặt căn qua ẩn phụ. 1. 1.1/ T1 = ∫ 0 7 3. ( x 2 + 1)dx 1.5/ T5 = ∫ x +1. xdx 2x + 1. xdx 1.2/ T2 = ∫ 3 3x + 1 0 2 xdx 1.3/ T3 = ∫ x −1 1 1+ 5. 1.4/ T4 = ∫ x 2x − 1dx 1 2. 2. 1.6/ T6 = ∫ x 2 1 + x 3 dx. π 2. sin 2 x + sin x .dx 1 + 3 cos x 0. 1.6/ T6 = ∫ (§H-04). π 2. sin 2 x. 1.7/ T7 = ∫. .dx (A-06) cos 2 x + 4 sin 2 x ln 5 x e ex −1 1.8/ T8 = ∫ x dx e +3 1 2 dx (CT-98) 1.10/ T10 = ∫ (SPHN2-00) 3 3x x +1 7 3 (NT-96) 1.11/ T11 = ∫ x dx (TM-97) 3 x2 + 1 0 3 5 3 (LuËt-01) 1.12/ T12 = ( x + 2x )dx ∫0 x 2 + 1 0. 3. 0 1. 1.7/ T7 = ∫ x 3 1 − x 2 dx 0 1. 1.8/ T8 = ∫ x 5 1 − x 3 dx 0 1. 1.9/ T9 = ∫ x15 1 + 3x 8 dx 0. c/ Chøa c¨n a 2 − x 2 . 2. 1. 3.1/ T1 = ∫ 4 − x 2 .dx 0. 3.2/ T2 =. 1. ∫ 1 2. 1 − x 2 dx x2. 3.4/ T4 =. 0 1 2. ∫ 0. x 2dx 1− x. 2. 4 − x2. 0 1. 3 2 π (§S: 1 − ) 3.6/ T6 = ∫ x 1 − x .dx. 4. 2. 3.3/ T3 = ∫ x 2 4 − x 2 .dx. x 2dx. 3.5/ T5 = ∫. (TL-97). 0 π 4. cos x.dx 2 + cos 2 x dx. 3.7/ T7 = ∫ 0 e. (HVTC-97). 3.8/ T8 = ∫ 1. x 1 − ln 2 x. π 2. cot x. 3.9/ T9 = ∫. 1 − ln 2 (sin x ). π 6. d/ Chøa c¨n a 2 + x 2 . 4.1/ T1 =. 3. ∫x 1. dx 1 + x2. 4.6/ T6 =. 3. ∫ 1. 9 + 3x 2 .dx x2. .dx.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> tÝch ph©n 13 míi – nguyÔn duy tr×nh – 2010 – trang 6. 4.2/ T2 =. 3. ∫ 1 3. 1 + x dx 6+ 3 ( 2 − 2 + ln ) 3 x 2. 4.3/ T3 = ∫ 9 + x .dx 0 4. 16 + x 2 x 3dx. 0. 1 + x2. π 2. (TL-97). 4.8/ T8 = ∫. dx. 0 1. 4.5/ T5 = ∫. cos x − sin x .dx 2 + sin 2 x π −. ∫. 4. 2. 4.4/ T4 = ∫. 4.7/ T7 =. 0. π 6. sin 2x 3 − cos 2 x. 3. Dạng 3: Tích phân đặc biệt. Bµi to¸n 1: TÝch ph©n LG liªn kÕt. π 2. 2./ T1 = ∫ 0 π 2. 2./ T2 = ∫ 0 π 2. 2./ T3 = ∫. (sin x )dx 3. sin 3 x + cos 3 x. (4 sin x )dx (sin x + cos x ) 3. (5 cos x − 4 sin x )dx (sin x + cos x ) 3. 0 π 2. cos x dx dx (NNI-01) sin x + cos x. 2./ T4 = ∫ 0 π 2. (TM-00). (. ). 2./ T5 = ∫ sin x − cos x dx (H§-01) 0 α. Bài toán 2: I = ∫ f ( x )dx = 0 trong đó hàm f(x) là hàm lẻ. −α. - Chó ý: Mét sè hµm lÎ th−êng gÆp. I1 =. 2. ∫. −2. sin x 3. 4 + 5x 4. 1. I 2 = ∫ ln I3 = I4 =. −1 3. ∫ (x. −3 π 2. ∫. −. I5 =. 2009. π 2. (x +. I6 =. dx. ). x + 1 dx 2. − 3x 3 + 2 x )cos x.dx. 5. 2. 1. I 8 = ∫ e x sin xdx I 9 = ∫ x 2 sin 3 x.dx −. x + cos x dx 2 x π −. ∫ 4 − sin. I10 = ∫ x 3 e x dx 2. −1. α. f (x) dx = ∫ f ( x )dx x +1 0. ∫a. 1 2 1. 4. −α. 1− x  I 7 = ∫ x 2 ln dx 1 + x   1 −. −1 1 2. π 4. h/ I =. 1 2. 2. sin 3 x dx 1 + cos x. α. x 4 + sin x ∫−1 1 + x 2 dx 1. .dx.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> tÝch ph©n 13 míi – nguyÔn duy tr×nh – 2010 – trang 7 π. 1− x I1 = ∫ dx x 1 + 2 −1 1 x4 I2 = ∫ dx x −1 1 + 2 1 ln(1 + x 2 ) I3 = ∫ dx x −1 1 + 2 1 dx I4 = ∫ 2 x −1 (1 + x )(1 + e ). sin 2 x I5 = ∫ dx x −π 1 + 3. 2. 1. Bµi to¸n 3: I =. π−α. I1 =. sin x. sin 2 x. cos 5x dx x 1 + e π −. ∫. 2. xf (sin x )dx; J =. ∫. π 2. 2 π−α. α. PP: §Æt x = π − t; x = 2π − t. ∫ xf (cos x )dx; α. π. π. x.sin x dx 4 − cos 2 x 0. I1 = ∫. I 3 = ∫ x.sin 3 xdx 0. π. 2π. x.sin x dx 3 + cos 2 x 0. I2 = ∫. I 4 = ∫ x cos3 xdx 0 a +T. T. Bµi to¸n 3: I = ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx a. 0. T. a. a +T. T. 0. 0. a. a +T. HD: ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx ; TÝnh I1 =. 2010 π. ∫. 1 − cos 2x dx. I2 =. 0. 2010 π. ∫ 0. 1 + cos 2 x dx. T. ∫ f (x )dx. đặt t = x − T. a +T. 4π. sin 3 8x. cos x I1 = ∫ dx 2 0 1 + 3 cos 4 x. D¹ng 4: TÝch ph©n tõng phÇn. NhËn d¹ng: - Cận: Không đối xứng. - Hµm: Chøa hai hµm sè kh¸c chñng lo¹i. PP: - Chøa: e x - Chøa: sin x ∪ cos x - Chøa: ln x Bµi to¸n 1: Lµm mÊt hµm ®a thøc. π 2. 1. 1.1/ A = ∫ ( x − 1)e dx x. 1.9/ L = ∫ (2x − 1) cos 2 x.dx. 0 1. 0 1. 1.3/ C = ∫ ( x − 1) e dx 2. 2x. 1.2/ B = ∫ x 3 e x dx 2. 0 1. 0. 1.4/ D = ∫ (e x sin x − x 2 e x )dx 2. −1 π 2. 1.5/ E = ∫ e 0 π. 1.10/ M = ∫ x. sin 3 x.dx 0. sin 2 x. 3. sin x. cos x.dx. 1.6/ G = ∫ x sin xdx 0. π 2. π 3. sin x    u ' =  x. sin x 2 . dx 1.13/ Q = ∫ cos x    2 π cos x  v = x  −   3.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> tÝch ph©n 13 míi – nguyÔn duy tr×nh – 2010 – trang 8 π 2. 1.7/ I = ∫ ( x 2 + 1) sin x.dx. π 3. x .dx 2 π sin x. 1.14/ O = ∫. 0 π 2. 4 1. 1 x 1.15/ T = ∫ x. tan x.dx = ∫ dx − ∫ dx 2 0 0 cos x 0. 1.8/ K = ∫ x. sin x.dx 2. 1. 2. 0. Bµi to¸n 2: MÊt hµm siªu viÖt. 1. 2. 3.6/ G = ∫ x ln( x 2 + x + 1)dx. 3.1/ A = ∫ ln(x + 1)dx. 0 1. 1 e. 3.7/ H = ∫ x ln( x 2 + 1)dx. 3.2/ B = ∫ ( x − 1) ln x.dx. 0. 1 3. 3.3/ C = ∫ ln(x − x )dx (D-04) 2. e. e. 3.8/ I = ∫ x ln x.dx F = ∫ x 3 ln 2 x.dx 2. 1. 2 e. 2. ln x ln x dx ; D = ∫ 3 dx 3 1 x 1 x. 3.4/ D = ∫. 1 10. 3.9/ K = ∫ x lg 2 x.dx 1 π 2. e. 3.5/ E = ∫ x 2 ln x.dx 1. e. 3.10/ L = ∫ cos x ln(1 + cos x )dx. π. 1. 3.11/ M = ∫ cos(ln x )dx (C2: đặt t=lnx) 1. eπ. 3.12/ N = ∫ sin(ln x )dx 1. Bµi to¸n 3: Quay vßng. π 2. π. 2.1/ A = ∫ e 2 x cos x.dx 0 π 2. 2.2/ B = ∫ e 2 x sin 3x.dx 0 π 4. 2.3/ C = ∫ 5e sin 2 x.dx x. 0. Bµi to¸n 4: Phèi hîp nhiÒu pp. 41/ N =. π   2. 3. ∫ sin. 3. x .dx. 0. 42/ P =. ( π )2. ∫ cos.  π   2. 43/ R =. 1. ∫. −1. 2. x .dx. 2. x 2 sin x 1 + 2x. dx. D¹ng 5: øng dông tÝch ph©n. 2.4/ D = ∫ e 2 x sin 2 x.dx 0 π. 2.5/ E = ∫ e x cos 2 x.dx 0 1. 2.6/ G = ∫ e x sin 2 πx.dx 0.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>