Phuong trinh bac nhat bac hai mot an Ly thuyet

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN 1. Phương trình bậc nhất một ẩn 1.1 Định nghĩa Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng ax + b = 0 , trong đó a , b là những hằng số, a ≠ 0 .. Ví dụ: 2 x − 1 = 0 ; −3x + 2 = 0 ;. 3 − 2 x = 0 là những phương trình bậc nhất một ẩn.. 1.2 Giải và biện luận phương trình ax + b = 0 ax + b = 0 (1). • •. b a ≠ 0 : (1) có nghiệm duy nhất x = − . a a=0: b ≠ 0 : (1) vô nghiệm. b = 0 : (1) được thỏa mãn với mọi x ∈ℝ (có vô số nghiệm).. Ví dụ: Giải các phương trình sau b) 5 − 3x = 0 a) 2 x − 8 = 0 Giải: a) 2x − 8 = 0 ⇔ 2x = 8 ⇔x=4 Vậy nghiệm của phương trình là x = 4 . b) 5 − 3x = 0 ⇔ −3 x = −5 ⇔ x=. 5 3. 5 3 Ví dụ: Giải và biện luận phương trình (m − 1) x + 1 − m = 0 (*) Vậy nghiệm của phương trình là x =. Giải: •. m − 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 . Phương trình (*) có nghiệm duy nhất (*) ⇔ (m − 1) x = m − 1 ⇔ x =1 • m − 1 = 0 ⇔ m = 1 . Phương trình (*) trở thành: 0x = 0 Phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ (phương trình có vô số nghiệm). Vậy: • m ≠ 1 , (*) có nghiệm duy nhất x = 1 . • m = 1 , (*) có vô số nghiệm. 1.3 Phương trình quy về phương trình bậc nhất mộ t ẩn mx + n 1.3.1 Phương trình = e v ới p ≠ 0 px + q. Điều kiện phương trình xác định khi px + q ≠ 0 hay x ≠ − Phương trình đã cho tương đương với. q . p.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> mx + n = e( px + q ). Giải phương trình tìm nghiệm và đối chiếu với điều kiện ở trên để xem xét nhận nghiệm hay loại nghiệm. Ví dụ: Giải các phương trình sau a). 2x + 3 =5 −4 x + 3. b). −x +1 =2 x −1. Giải: 2x + 3 =5 −4 x + 3 Điều kiện: a). 3 4 Phương trình đã cho tương đương với: 2 x + 3 = 5(−4 x + 3) −4 x + 3 ≠ 0 ⇔ x ≠. ⇔ 2 x + 3 = −20 x + 15 ⇔ 22 x = 12 ⇔x=. 6 (nhận) 11. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x =. 6 . 11. −x +1 =2 x −1 Điều kiện: x −1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1 Phương trình đã cho tương đương với: − x + 1 = 2( x − 1) b). ⇔ − x + 1 = 2x − 1 ⇔ 3x = 3 ⇔ x = 1 (loại) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 1.3.2 Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối a) Phương trình ax + b = cx + d với a ≠ 0. Điều kiện phương trình xác định là cx + d ≥ 0 . Với điều kiện phương trình xác định, ta có:  ax + b = cx + d ax + b = cx + d ⇔   ax + b = −(cx + d ) Giải phương trình tìm nghiệm và đối chiếu với điều kiện ở trên để xem xét nhận nghiệm hay loại nghiệm. Hoặc ta có thể viết gọn là: cx + d ≥ 0  ax + b = cx + d ⇔   ax + b = cx + d    ax + b = −(cx + d ) Giải tìm nghiệm và đối chiếu với đ iều kiện ở trên để xem xét nhận nghiệm hay loại nghiệm. Để dễ nhớ ta viết.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> B ≥ 0  A = B ⇔  A = B  A = −B  Ví dụ: Giải phương trình 2 x − 1 = x − 1 . Giải: 2x − 1 = x −1. Điều kiện: x −1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 Phương trình đã cho tương đương với: 2 x − 1 = x − 1  2 x − 1 = −( x − 1)  x = 0 ⇔ 3x = 2  x = 0 (loại) ⇔  x = 2 (loại)  3 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Hoặc ta cũng có thể giải như sau: 2x − 1 = x −1 x −1 ≥ 0  ⇔ 2 x − 1 = x − 1   2 x − 1 = −( x − 1)  x ≥ 1  ⇔  x = 0  3x = 2 . x ≥ 1    x = 0 (loại) ⇔    x = 2 (loại)   3 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. b) Phương trình ax + b = cx + d với ac ≠ 0  ax + b = cx + d ax + b = cx + d ⇔   ax + b = − (cx + d ) Để dễ nhớ ta viết:. A = B A = B ⇔  A = −B Ví dụ: Giải phương trình 3x − 5 = 5 − 2 x . Giải: 3x − 5 = 5 − 2 x.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 3x − 5 = 5 − 2 x ⇔ 3x − 5 = −(5 − 2 x) 5 x = 10 ⇔ 3 x − 5 = 2 x − 5 x = 2 ⇔ x = 0 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0 và x = 2 . (Hoặc: Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {0;2} ) Ví dụ: Giải và biện luận phương trình mx − 2 = x + m (*) Giải: Ta có: mx − 2 = x + m ( a)  mx − 2 = x + m ⇔  mx − 2 = −( x + m) (b) (a) ⇔ (m − 1) x = m + 2 • •. m+2 . m −1 m − 1 = 0 ⇔ m = 1 , (a ) trở thành 0 x = 3 , phương trình này vô nghiệm. m − 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 , (a ) có nghiệm duy nhất x =. (b) ⇔ (m + 1) x = −m + 2 • •. −m + 2 . m +1 m + 1 = 0 ⇔ m = −1 , (b) trở thành 0 x = 3 , phương trình này vô nghiệm m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ −1 , (b) có nghiệm duy nhất x =. Ta có b ảng sau: Nghiệm của (a ). Nghiệm của (b). Nghiệm của (*). m =1. Vô nghiệm. −m + 2 1 = m +1 2. 1 2. m = −1. m+2 1 =− m −1 2. Vô nghiệm. m ≠ ±1. m+2 m −1. −m + 2 m +1. −. 1 2. m + 2 −m + 2 ; m −1 m +1. Vậy: •. m = 1 , (*) có một nghiệm x =. 1 . 2. 1 m = −1 , (*) có một nghiệm x = − . 2 m+2 −m + 2 • m ≠ ±1 , (*) có hai nghiệm x = , x= m −1 m +1 2. Phương trình bậc hai một ẩn 2.1 Định nghĩa •. Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax 2 + bx + c = 0 , trong đó a , b , c là những hằng số, a ≠ 0 ..

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Ví dụ: x 2 − 5 x + 6 = 0 ; − x2 + 8 x − 7 = 0 ;. 2 2 x − 4 x + 1 = 0 là những phương trình bậc hai một ẩn. 3. 2.2 Giả i và biện luận phương trình ax 2 + bx + c = 0. ax 2 + bx + c = 0 (2). •. •. a ≠ 0 . Ta tính ∆ = b2 − 4ac (tương ứng ∆ ' = b ' 2 − ac nếu b = 2b ' )
∆ < 0 (tương ứng ∆ ' < 0 ): (2) vô nghiệm. b b' (tương ứng x = − )
∆ = 0 (tương ứng ∆ ' = 0 ): (2) có nghiệm kép x = − 2a a
∆ > 0 (tương ứng ∆ ' > 0 ): (2) có hai nghiệm phân biệt −b + ∆ −b − ∆ −b '+ ∆ ' −b '− ∆ ' x1 = ; x2 = (tương ứng x1 = ; x2 = ) 2a 2a a a a = 0 : (2) trở thành bx + c = 0 . Đây là phương trình như phương trình (1) nêu ở phần trên. Cách giải và biện luận giống như phần 1.2.. Ví dụ : Giải các phương trình sau a) Giải: Ví dụ : Giải và biện luận phương trình Giải:. 2.3 Định lý Viet 2.3.1 Định lý Viet thuận Nếu phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có hai nghiệm x1 , x2 thì tổng và tích hai nghiệm đ ó là: S = x1 + x2 = −. b ; a. P = x1 x2 =. c a. Ghi chú:. - Nếu a + b + c = 0 thì phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1 = 1 , x2 =. c . a. c - Nếu a − b + c = 0 thì phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1 = −1 , x2 = − . a 2.3.2 Định lý Viet đảo Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích uv = P thì u và v là nghiệm của phương trình: x 2 − Sx + P = 0 2.4 Phương trình quy về phương trình bậc hai một ẩn ax + b 2.4.1 Phương trình = mx + n với mc ≠ 0 cx + d d Điều kiện phương trình xác định: cx + d ≠ 0 ⇔ x ≠ − c Phương trình đã cho tương đương với: ax + b = (cx + d )(mx + n) Giải phương trình tìm nghiệm và đối chiếu với điều kiện ở trên để xem xét nhận nghiệm hay loại nghiệm..

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 2.4.2 Phương trình. ax + b mx + n với pc ≠ 0 = cx + d px + q. d  x≠−  cx + d ≠ 0 c  Điều kiện phương trình xác định:  ⇔  px + q ≠ 0  x ≠ − q  p Phương trình đã cho tương đương với: (ax + b)( px + q ) = (cx + d )(mx + n) Giải phương trình tìm nghiệm và đối chiếu với điều kiện ở trên để xem xét nhận nghiệm hay loại nghiệm. 2.4.3 Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối a) Phương trình ax + b = cx + d với a ≠ 0. Điều kiện phương trình xác định: cx + d ≥ 0 Với điều kiện phương trình xác định, ta có: ax + b = cx + d ⇔ (ax + b) 2 = (cx + d )2 Giải phương trình tìm nghiệm và đối chiếu với điều kiện ở trên để xem xét nhận nghiệm hay loại nghiệm. Hoặc có thể viết như sau: cx + d ≥ 0 ax + b = cx + d ⇔  2 2 (ax + b) = (cx + d ) Để dễ nhớ ta viết: B ≥ 0 A =B⇔ 2 2 A = B. b) Phương trình ax + b = cx + d với ac ≠ 0 ax + b = cx + d ⇔ (ax + b)2 = (cx + d ) 2. Để dễ nhớ ta viết: A = B ⇔ A2 = B 2. 2.4.4 Phương trình. ax + b = cx + d với a ≠ 0. Điều kiện phương trình xác định: cx + d ≥ 0 Với điều kiện phương trình xác định, ta có: ax + b = cx + d ⇔ ax + b = (cx + d )2 Giải phương trình tìm nghiệm và đối chiếu với điều kiện ở trên để xem xét nhận nghiệm hay loại nghiệm. Hoặc ta có thể viết như sau: cx + d ≥ 0 ax + b = cx + d ⇔  2  ax + b = (cx + d ) Để dễ nhớ ta viết: B ≥ 0 A=B⇔ 2 A = B.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>