Một số chuyên đề tọa độ không gian bám sát kỳ thi THPT quốc gia phần 2

LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THANG
Vectơ chí phương
Vectơ chỉ phương của đường thẳng là vectơ khác 0 và có giá song song hoặc
trùng với đường thẳng.
Một đường thẳng có vơ sổ vectơ chi phương cùng phương với nhau nên ta có
thế chọn tọa độ tỉ lệ.
Phương trình của đường thẳng
Phương trình của đường thằng đi qua Mn(xn, yo, zo) và cỏ veclơ chỉ phương
u =(a, b, c), a' + h' +c^ ^ 0.
X = Xq -\- at
Phương trình tham sổ: d:

y = y ^+bí , í e R
z = Zq + ct

Phương trình chính tắc khi a, b, c ^ 0: ------ ^ = —— —
a
h

------- .
c

Chú ý
1) Dê lập phương trình đường thẳng là tìm đủ các yếu lố xác định: điếm, VTCP
và các quan hệ cho lừ già thiết đế chọn dạng phương trình thích hợp. Việc khử
tham sổ, đặt tham số,... cho phép ta chuyển dạng các phương trĩnh.
2) Dường thẳng đì qua 2 điểm A, B: chọn VTCP u = AB từ đó ta có
z-z,
y - y .ị
A B : ^ ^
yn-yA

^ H- ^ A
3) Dmrng thẳng giao tuyển của 2 mặt phẳng cắt nhau:
Neu d = a n Ị3thì chọn
IHCP n = [ n a , n p ]
Hoặc từ hệ

\ Ax + By + Cz + D - ữ
[A'x + B' y + C z + D '=ữ

ta chọn ra 2 bộ nghiệm (x; y; z) tương ứng toạ độ của 2 điểm thuộc giao tuyến.
4) Đường vng góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau:
Đường thẳng dị qua Mị và cỏ V7XIP u j
Đường thăng d2 qua M2 và có VĨ^CP u 2
Cách ỉ: Dường vng góc chung d có VTCP u = U| ;W2
85


Lập phương trình mặl phẳng (P) chứa d và d2.
Tìm giao diêm A của dì và (P) thì d đi qua A và có VTCP u .
d,

Cách 2: Gọi đoạn vng góc chung là AB, A e d/ và B e d2 dạng tham số theo
t và t \ Tìm í và í' hang hệ điểu kiện:
Ãỗ.ĩ^ = 0
,
,
,
’
__.
. Đường vng góc chung d là đường thăng AB.

AB.U2 ~ 0
5) ỈTinh chiểu của đường thẳng d lên mặt phang (P):
Cách I: Lấy 2 điểm A, B thuộc d rồi tìm hình chiếu A \ B ’ của chúng lên (P).
Đường thảng d ’ cần tìm là đường thẳng A 'B
Cách 2: Tim giao điếm M của d và (P) nếu có. Lấy điểm A thuộc d rồi tìm hình
chiếu A ’ cùa A lên (P). Đường thăng d ’ cần tìm là dường thang MA
Cách 3: Lấy điểm A thuộc d rồi tìm hình chiếu A ’ của A và hình chiểu u ’ của
VTCP u lện (P). Đường thẳng d ’ cần tìm là đường thẳng qua A ’ và có VTCP u
Cách 4: Tim giao diêm M của d và (P) nêu có. Tìm hình chiêu u ’ cùa VTCP u
lên (P). Đường thăng d ’ cân tìm là đường thăng qua M và có VTCP u '.
Cách 5: Lập phương trình mặt phang (Q) chứa d và vng góc với (P). Đường
thăng d ’ cần tìm là giao tuyến của 2 mặt phang (P) và (Q).

Bài toán 8.1: Lập phương trình chính tắc của các đường thẳng:
X
a) ■y

= 2 + 2t
= - l + 3t

z = - 4 + 3t

x = 7 -t
b)-

y=5
z = 4 + 3t

Giải
a) Đường thẳng đã cho đi qua M(2; -1; 4) và có VTCP

u = (2; 3; 3) nên có phương trình chính tắc:
86

X = -l + t
c)
= 2-4t

z = 3 + 2t


x-x„ ^ y-y„ ^ z-z„ _ x - 2 ^ y + l^ z + 4
a

b

c

2

3

3

b) Đường thẳng đã cho có VTCP u = (-1; 0; 3)
Vì b = 0 nên khơng có dạng chính tắc.
c) Phương trình chính tắc của đường thẳng đã cho là: ^

^ = —— - - - —- .

Bài tốn 8.2: Lập phương trình tham số và chính tắc cùa đường thẳng d:
a) Qua hai điểm A(l; 3; 5), B(4; -2; 1)
b) Là giao tuyến của hai mặt phẳng: (P); 2x - y + z + 5 = 0; (P'); 2x - z + 3 = 0
Giải
a ) d c ó VTCP u = ÃB - ( 3 ; - 5 ; - 4 ) và qua A(l; 3; 5)
nên có phương trình tham số:

X = 1 + 3t
^
. y í x -\
y = 3 - 5 t ; chính tăc: —
3
z = 5-4t

y -3 z -5
— -------5
-4

b) (P), (P') có VTPT n = ( 2 ; - l ; 1), n' = ( 2; 0; - l ) .
Gọi VTCP của giao tuyên d là u thì u ± n , n '
u = n , n'

-1

1

1

2

2

-T

0

-1

-1

2

2

0

= (1;4;2).

Các điểm thuộc giao tuyến d có toạ độ thoả mãn hệ:
Í2x-y + z + 5 = 0
2x - z + 3 = 0

. Cho X = 0 thì y = 8, z = 3.

Do đó d qua M(0; 8; 3), có VTCP u = (1; 4; 2) nên có phương trình tham số và
chính tắc là:
'x = t
_ .
X y -8
z -3

y = 8 + 4t ; - = - ----- = — 1
4
2
z = 3 + 2t
„
Í2x-y + z + 5
Cách khác: Ta có;
[2x-z + 3= 0

íy = z + 2x + 5
[ z = 2x + 3

Đặt x = t thì y = 8 + 4t, z = 3 + 2t nên phương trình tham sổ là;
X= t
y = 8 + 4t
z = 3 + 2t

87


Ngoài cách tim một điềm và VTCP, cách tạo tham số, ta có thể tìm 2 điểm trên
giao tuyến.
Bài tốn 8.3: Viết phưong trinh tham số, chính tắc (nếu có) của đường thẳng đi
qua điểm C(l; 2; -1) và song song với đường thẳng là giao tuyến của 2 mặt
phẳng x + y - z + 3 = 0 ; 2 x - y + 5 z - 4 = 0.
Giải
Vectơ pháp tuyên của mặt phăng x + y - z + 3 = 0 1àn, = ( 1; 1; - 1) , của mặt
phẳng 2x - y + 5z - 4 = 0 là nj = (2; -1; 5).
Vectơ chỉ phưoTig của đường thẳng cần tìm là:
u

t' / 1 -1
-1 1
1 1 '
•
‘
n = ni , ĩ\2 =
5
5 2
2
\ -1
Do đó đường thẳng cần tìm có phương trình:
x -1
4

(4 ;-7 ;-3 )

X = l + 4t
y -2
Z+ 1
=^ =
; <^y = 2 - 7 t .
- 7 - 3
z = -1 - 3 t

Bài tốn 8.4: Viết phương trình tham số, chính tẳc (nếu có) của các đường thẳng;
a) Đi qua điểm A(4; 3; 1) và song song với đường thẳng
'x = l + 2t
d':

y = -3 t

z = 3 + 2t

b) Đi qua điểm B(-2; 3; 1) và song song với đường thẳng
x -2 _ y + 1_ z + 2
1
Giải
a) d' có VTCP u ' = (2; -3; 2) nên đường thẳng d qua A,
x = 4 + 2 t’
. x -4
y -3
z -l
VTCP u = u ' có phương trình: z = l + 2t'
b) d' có VTCP u ' = (2; 1; 3) nên đưòng thẳng d qua B, VTCP
u - u ' có phương trình:
x = - 2 + 2t
x+2 _ y - 3 _ z - l

2

88

"

1

y = 3+ t
z = l + 3t

Bài tốn 8.5: Lập phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (ABC):
a) A(0; 0; 1), B (-l; -2; 0), C(2; 1; -1) tại trọng tâm G của tam giác ABC.
b) A(l; 0; -1), B(2; 3; -1), C(l; 3; -1) tại trực tàm H của tam giác ABC.
Giải
a) Ta có AB = (-1; -2; -1), AC = (2; 1; -2) nơn đưịng thẳng d vng góc với
mp(ABC) có VTCP u = [ ÃB, ÃC] = (5; -4; 3).
1
Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là G( —; - - 0)

Vậy phương trình tham số d:

1 ,
X = —+ 5t
ị
1 ,
y=---4t
ị
z = 3t

b) Phương trình mặt phẳng (a) qua

.

c vng góc với AB là:

l ( x - l) + 3 ( y - 3 ) = 0<=>x + 3y - 10 = 0.
Phương trình mặt phang (P) qua B vng góc với AC là:
3 ( y - 3 ) + 2(z + l) = 0 » 3 y + 2 z - 7 = 0.
Đường thẳng d qua trực tâm II của tam giác ABC và vuông góc với mặt phảng
(ABC) là giao tuyến của (a ) và (P).

Đường thảng d qua N(l; 3; -1) và có vectơ chỉ phương u = [n^^ , np ] = (6; -2; 3)
nên có phương trình tham số là:
X = 1 + 6/

.

z = -1 + 3/
Bài tốn 8.6: Viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm M(0; 1; -1) vuông
[x = l - 4 t
góc và cắt đường thẳng A;

y=t
z = - l + 4t
Giải

Đường thẳng A có VTCP li = (-4; 1; 4).
Gọi H là hình chiếu của M lên A thì H(1 - 4t; t; -1 + 4t).
Ta có MH = (l-4t; t-1; 4t) nên
MH T A «

u . MH = 0 <» -4(1 - 4t) + l(t - 1) + 4(4t) = 0.

89


5
í\3
5 - 1 3 ''
« 3 3 t - 5 < i > t = — . DođóH —

—
33
1 33 33 33
Đường thẳng d có VTCP MH

11

^

.

3 3 ’ 33 ’ 33

'
X V—1
Vậy phương trình chính tăc của d là — =
13 - 2 8
M

hay (13;-28; 20)
7 4“ 1
—.
20

M

Cách khác: Đường thẳng d cần tìm là giao tuyến của mặt phang (M, A);
4x + 4y + 3z - 1 = 0 và mặt phẳng qua M, vng góc với A; 4x - y - 4z - 3 = 0.
Bài toán 8.7: Lập phương trinh đường thẳng đi qua A (-l; 8; 5) và vng góc với
ĩx = l - t '

X = 1+ 2t
2 đường thẳng d;

y = 3 - 2 t ;d':

y = 2 + t'

z=l+t

z = l-3t'

.

Giải
Hai đường thẳng đã cho có vectơ chỉ phương là u = (2; -2; 1) và

V

= (-1; 1; -3)

vectơ chỉ phương của đường thăng cân tìm là u ' = [ u , v] = (5; 5; 0) hay (1; 1; 0).
X = -l + t

Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình tham số:

y = 8+ 1 .
V

z=5

Bài tốn 8.8: Viết phương trình hình chiếu vng góc của đường thẳng sau trên
mỗi mặt phẳng toạ độ.
X

a) d:

= 5+

t

y = 3-2t
z = 4+t

b)

x-1 _ y + 2 _ z -3
~2T~

3

~ ~ r

Giải
a) Điểm M(x; y; z) thuộc d có hình chiếu lên mp(Oyz) là M'(0; y; z) thuộc d', d'
[x = 0
là hình chiếu lên mp(Oyz). Vậy phương trình tham sổ của d' là:

y = 3- 2 t.
z = 4+1

Tương tự thì hình chiếu lên mp(Oxy), mp(Oxz) có phương trình tham số:
90


X= 5 + l

X= 5+ t

y - 3-2t,

y=0

z=0

z= 4+1
x = l + 2t

b) ĐưỊTig thẳng d có phương trình tham số là:

y = - 2 + 3t.
z = 3+ 1

Mỗi điểm M(x; y; z ) e d có hình chiếu trên mp(Oxy) là điểm M'(x; y; 0)
d' là hình chiếu của d trơn mp(Oxy).

G

d',

^x = l + 2t

Vậy d' có phương trình tham số là;

y = - 2 t + 3t
z=0

Tương tự, ta có phương trình hình chiếu của d trên mp(Oxz), mp(Oyz) lần lượt là:
X = 1+ 2t

X= 0

y=0

và
z = 3+ t

z==3 + t

Bài tốn 8.9: Lập phương trình hình chiếu của đường thẳng d;
X= t

y = 8 + 4t lên mặt phẳng (P); x + y + z - 7 = 0.
z = 3 + 2t
Giải
'Pa viết phương trình mặt phẳng đi qua d và vng góc với mp(P).
Vectơ pháp tuyến của mp(P) là np = (1; 1; 1). Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua d và
vng góc với (P) thì vectơ pháp tuyến n của (Q) vng góc với cả ĩi và np nên
la có thê lây n = [ u , np ] = (2; 1; -3).
Và (Q) đi qua d nên di qua M(0; 8; 3). Vậy (Q) có phương trình;
2(x - 0) + (y - 8) - 3(z - 3) = 0 hay 2x + y - 3z + 1 = 0 .

Vì d khơng vng góc với (P) nên hình chiếu của d trên (P) là đường thẳng d'.
Đường thẳng d' là giao tuyến của (Q) và (P) nên d' chứa các điếm có toạ độ
(x, y, z) thoả mãn:
Jx+y+z-7=0
Ị2x + y -

3z

+ 1= 0

Đặt z = t thì X = -8 + 4t, y = 15 - 5t.
91


X = -8

+ 4t

Vậy d’: y = 1 5 - 5 t .
z=t

Cách khác: Tìm giao đicm A của d và (P).
Thế toạ độ X, y, z vào (P);
t + 8 + 4t) + (3 + 2t) - 7 = 0

lì

t- - - = A z l
1 ' 1' 1

Mặt phang (Q) qua d, vng góc với (P) có VTPT
n = [ u , np ] = (2; l ; -3)
Đường thẳng d' của VTCP u ' = [ n , rip ] = (4; -5; 1)
Từ đó suy ra phưong trình của hình chiếu d'.
Bài tốn 8.10: Cho đường thẳng d và mp(P) có phưong trình;

2

x = —+ t
3
d:

y = - y + t , ( P ) : x - 3 y + z - 1 =0.
z=t

a) Viết phương trình đưịng thẳng d' là hình chiếu vng góc của d trên mp(P).
b) Viết phương trình đường thẳng di là hìrứi chiếu song song của d trên mp(P)
theo phương Oz.
Giải
11 ^
a) Đường thăng d đi qua đièm A — — ;0 và có vectơ chi phương u = (1; 1; 1).
v3
3 7
Gọi (Q) là mặt phang đi qua d và vng góc với mp(P) thì giao tuyến
d = (P) n (Q) là hình chiếu vng góc của d trên (P).
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến np = (1; -3; 1).
Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến ttọ = [ u , ttp ] = (4; 0; -4) hay (1; 0; -1).

92

Vì (Q) chứa đưịng thẳng d nên cũng đi qua điểm A, do đó (Q) có phương trình
2
X - — - z = 0 hay 3x - 3z - 2 = 0.
3
2
1 2
Ta có (P): X - 3y + z - 1 = 0. Đặt z = t t h ì x = — +t , y = - — + — t.
3
9
3

2

Vậy phương trình của đường thăng d' là:

X = —+ t
3
1 2
y ——- + —t
9 3
z=t

b) Gọi (R) là mặt phang chứa d và song song hoặc chứa Oz thì di là giao tuyến
của mp(R) và mp(P).
Mặt phẳng (R) đi qua A

2 _n
ị

3

;0 và có vectơ pháp tuyến là

ĩi, k =( 1; -1; 0).
Mặt phẳng (R) có phương trình là 3x - 3y - 13 = 0.
Ta có (P): X - 3y + z - 1 = 0.
r..
_
13
10 ^
Đặt y = t t h ì x = — + t , z = - — + 2t.
3
3

Vậy di có phương trình tham sổ là:

13
x=—+t
3
y=t
10 h n
z —-----2t
3

Bài tốn 8.11: Viết phương trình hình chiếu của (A2):

x -7 _ y -3 _ z -9
— - =-— ^ =
^ theo

X —3 y ~ l z —1
phương (Ai): ----- = ------ = ------ lên mặt phăng (a): x + y + z + 3 = 0.

Giải
Hình chiếu A là giao luyến của (a) với (P), trong đó (P) là mặt phẳng chứa
(A2), song song với (Ai).
Vì (P) chứa (A2) nên đi qua A(7; 3; 9)
và có VTPT ri = u,,u.

= (8;4; 16) hay (2; 1;4).

Do đó (p); 2(x - 7) + 1(y - 3) f 4(z - 9) = 0 hay 2x + y + 4z - 53 = 0.
93


Các điểm thuộc giao tuyến (A2) có toạ độ thoả mãn:

I

x+y+7+3=0
2x + y + 4 z - 5 3 = 0

Đặt z = t thì X = 56 - 3t, y = -59 + 2t
x = 5 6 -3 t
Vậy phương trình tham sổ của hình chiếu:

y = -5 9 + 2 t.
z=t

Bài toán 8.12: Cho đường thẳng A và mp(P) có phương trình:
X —1 V —2 z —3
(P); 2x + z - 5 = 0.
1
2
2
Viết phương trình đường thẳng di qua giao điểm A của A và (P), nằm trong (P)
và vng góc với A.
Giải
A dạng tham số: X = 1 + 1, y = 2 + 2t, z = 3 + 2t.
Thế X, y, z vào (P) thì được t = 0 nên A(1; 2; 3).
Gọi d là đưỊTnig thẳng đi qua A, nằm trong (P) và vng góc với A. Khi đó,
vectơ chỉ phương u ' của d phải vng góc với vectơ chỉ phương u = (1; 2; 2) của
A, đồng thời vng góc với vectơ pháp tuyến n = (2; 0; 1) của (P), nên ta chọn:
u ' = [ u , n] = (2 ;3 ;-4 ).
Vậy đường thẳng d có phương trình chính tắc:

x -1

y -2

z -3
-4

Cách khác: Gọi (Q) là mặt phang đi qua A và vng góc với A thì (Q) có vectơ
pháp tuyến là vectơ chỉ phương của A nên có phương trình:
X - 1 + 2(y - 2) + 2(z - 3) = 0 hay X + 2y + 2z - 11 = 0.
Giao tuyến d của (P) và (Q) là đường thẳng đi qua A, nằm trong (P) và d -L A
(vi d nằm trong (Q) mà A J_ (Q)).
1

2

3

3

X = - —+ - (

Suy ra phương trình tham số của d là:' y = t
17

4

3

3

z —---- - - Í

94


Bài tốn 8.13: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
A: — ^— = ----- = — và mặt phăng (P): X + 2y - 3z + 4 = 0.
Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vng góc với
đường thẳng A:.
Giải
Theo giả thiết đường thẳng d đi qua giao điểm của A với (P):
Toạ độ giao điểm I của A với (P) thoả mãn hệ:

x+2 _ y - 2 _ z
1 ~ 1 “ ^ = í> I ( - 3 ; 1; 1)
x + 2y-3z + 4 = 0
Vectơ pháp tuyến của (P): n =( l ; 2 ; - 3 ) , vectơchỉphươngcủaA : u =(1; 1;-1)
Đường thẳng d cần tìm qua I và có vectơ chỉ phương V = [ n , u ] = ( l ; - 2 ; - l )
nên có phương trình
x = -3 + t
y = l-2t .
z=l-t
Bài toán 8.14: Lập phương trình của đường thẳng vng góc với mặt phẳng (Oxz) và
cắt hai đường thẳng:
X= 1

d;

X= l - 2 t ’

y = - 4 + t,
z = 3 -t

d': z = 4-5t'

Đường thẳng d qua A(0; -4; 3) có VTCP u = (1; 1; -1)
Đường thẳng d' qua B(1; -3; 4) có VTCP u ' = (-2; 1; -5)
Đường thăng cần tìm là giao tuyến của mặt phang (a ) qua di, vng góc với
(Oxz) và (P) qua Ở2, vng góc (Oxz)
Ta có (a): X + z - 3 = 0, (p): 5x - 2z + 3 = 0
Suy ra phương trình tham số của đường thẳng:
X=

7
y=t .
18
z=—

95


Bài

toán 8.1 5 : V iế t p h ư ơ n g trìn h đ ư ị n g thẳng đ i qua A ( l ; -1 ; 1) và cắt cả hai

đườ n g thẳ n g sau đây:

X = 1 + 2t

d;

x = t'

y =t

y = -l-2t'

d':

z = 3- 1

z = 2 + t'

Giải

Ta có A khơng thuộc d và d'.
Đưịng thăng d' đi qua điểm M (1; 0; 3) và có vectơ chi phương u = (2; 1; -1).
Đường thẳng d' đi qua điểm M'(0; -1; 2) và có vectơ chỉ phương u ' = (1; -2; 1).
Đường thẳng A cần tìm là giao tuyến của hai mặt phang: mp(A; d) và mp(A; d').
Mp(A; d) có vectơ pháp tuyến n = [ AM, u] = (-3; 4; -2), mp(A; d') có vectơ
pháp tuyến n ' = [AM' , u'] = (2; 2; 2) hay (1; 1; 1).
Đường thăng A có vectơ chỉ phương là [ n , n'] = (6; 1; -7) đi qua A nên có
phương trình tham số là:
x = l + 6t
■y = - l + t .
.z = l - 7 t

Ta có u . n ' = 2 + 1 - 1 = 2 9* 0 nên d căt mp(A; d'), do đó d căt A.
Tương tự, vi u n

= -3 - 9 - 2 = -13

0 nên d' căt mp(A; d), do đó d' căt A.

Vậy A là đường thẳng đi qua A, cắt cả d và d'.
A

M

B
N
Cách khác:

- Ta có thể tìm giao điểm B của d' và (A; d), đưÒTig thẳng A là đường thẳng qua
A và B.
- Lấy điểm M(1 + 2t; t; 3 - 1) nằm trên d và điểm M'(t'; -1 - 2t'; 2 + 1') nằm trên d'.
Ta tìm giá trị của t và t' sao cho điểm A, M, M' thẳng hàng, tức là AM và A M '
cùng phương:
[ÃÃÌ, Ã M ' ] = õ.
96


Bài toán 8.1 6 : V iế t p h ư ơ n g trìn h của đườ n g thẳng nằm tro ng m ặt phảng y + 2>: - 0
và cắt h ai đ ư ờ n g thẳng:

x = 2 -t'

x =l-t
d,:

y -t

,

di.

y = 4 + 2 t'.
z=1

z = 4t

Giải
Ta tìm các giao điểm của hai đường thẳng đã cho với mặt phẳng y + 2z = 0

Tham số t ứng với giao điểm Mi của đường thẳng
di với mặt phang trên là nghiệm của phương trình:
t + 2. 4t = 0 => 9t = 0
t = 0.
Vậy M i(l;0 ; 0).
Tương tự, giao điểm của đường thẳng d2 với mặt phẳng trên !à M 2( 5 ; -2; 1) ứng
với t' = -3.
Đưịng thẳng phải tìm qua Mi và M 2 có VTCP
x = l + 4t
n = M ,M 2 = (4; -2; 1) nên có PT tham số:
.

z=t
Bài tốn 8.17: Viết phương trình đường thẳng (A) đi qua A (-l; 2; -3), vng góc
x+l _ y - 2 _ z +3
với (a): 6 x - 2y - 3z + 8 = 0 và cắt đường thẳng d:
-3
Giải
'A
(A) nằm trong mặt phẳng (P) đi qua A, có vectơ pháp tuyến
n = (6 ; -2; -3),
(P): 6 (x + 1) - 2(y - 2) - 3(x + 3) = 0

B

<=> 6 x - 2y - 3z + 1 = 0.
Giao điểm của (d) với (P) là B (l; -1; 3),
Do đó đưịng thẳng (A) là đường thẳng qua A và B có phương trình chính tắc:
x+l_ y - 2 _ z +3

-3

2

X= - + t
3
Bài toán 8.18: Cho đường thăng d:

y = - — + 1 và mặt phẳng (P); X - 3y + z -11 = 0.
z=t
97


Viết phưong trình đường thẳng đi qua gốc toạ độ o, cắt d và song song với mp(P).
Giải
Gọi (P') là mặt phẳng đi qua gốc toạ độ o và song song với mp(P) thì (P') có
phương trình: X - 3y + z = 0.
Giao điểm I của đường thẳng d và mp(P') có toạ độ I
Đường thẳng đi qua

37

35^

3

3

với t

35

o và I là đường thắng cần tìm qua o và có VTCP:
X

y

z

3 OI = (37; 24; 35) là — = - ^ = —
37 24 35
Bài toán 8.19: Viết phương trình đường thẳng song song với dường thẳng di và
cẳt cả hai đường thẳng d2 và da, biết phương trình của di, d 2 và da là;
x = -4 + 5t’

X= 1

„ .
, X-1
y+2 z- 2 ,
d.:- y = -2 + 4t ; d , : ----- = — ^— = ------- ; d, :
^
^ 1
4
3
'
z= l-t

y = - 7 + 9t'
z = t'

Giải
Đường thăng di có vectơ chỉ phương u 1 = (0; 4; -1), các phương trình của d2
và da dưới dạng tham số:
x = - ^ + 5t'

lx = l + t
d ,:^ y = -2 + 4t

d.G y = -7 + 9t'
z = t'

z = 2 + 3t

l'rên đường thẳng d2 lấy điểm M 2( 1 + t; -2 + 4t; 2 + 3t) và trên đường thẳng da
lấy điểm Ma(-4 + 5t’; -7 + 9t'; t').
Ta có M 5M 3 = (-5 + 5t' - 1 ; -5 + 9t' - 4t; -2 + t' - 3t)
Hai vectơ M 2M 3 và u 1 cùng phương khi và chỉ khi;
í - 5 + 5t’- t = 0
-5 + 9 t '^ t

■2 + t'-3t

4

-1

t =0
t'= l
^

Do đó M 2 ( 1 ; - 2 ; 2 ) và Ỉ Ă M ĩ = ( 0 ; 4 ; - l )
Vậy đường thăng A đi qua M 2 và Ma có phương trình:
X= 1
y = -2 + 4 t .
z=2- 1
Vì M 2 Ể di nên A đúng là đường thang cần tìm.
98


Cách khác: Viểt phương trình mặt phắng (a) đi qua da và song song với di,
phương trình mặt phang (P) di qua da và song song với di. Hai mặt phang đó cắt
nhau theo giao tuyến A là đường thẳng cần tìm, nếu A khơng trùng với di.
Bài tốn 8.20: Lập phương trình của dường thăng A di qua điơm A(3; -1; -4) căt
trục Oy và song song với mặt phăng y -t 2x = 0.
Giải
l'a có dicm A ở ngồi mặt phăng y + 2x 0.
Phương trình mặt phang (a) di qua điếm A(3; -1; -4) và song song với mặt
phẳng y + 2x = 0 có dạng y + 2x t D ~ 0, D 0. Vì điếm A(3; -1; -4) thuộc mặt
phang đó nên ta tính được D = -5.
Vậy mặt phăng (a) có phương trình là: y + 2x - 5 = 0.
Trục Oy cắt mặt phang (a) tại điồm M(0; 5; 0).
Vậy phương trinh đưcmg thẳng AM là đường thẳng cần tìm;
x-3 _ y +l _z +4
-3 ~ ~ 6~~ 4
Bài toán 8.21: Viết phương trình chính tắc của đường vng góc chung của 2
đường thẳng:
x = 2 + t'

X = t

d:

y=3

và d'; y = l - t '

z=6+t

z = 2 - 1'
Giải

d qua A(0; 3; 6 ) ta có VTCP ĩi = (1; 0; 1)
d' quaB (2; 1;2) có VTCP u ' = ( l ; - l ; - l )
Ta có u . ù ' = 0, [ u , ú '|. AB =2
nôn 2 đườiig thẳng d, d' chéo nhau và vng góc nhau.
Hai dường thẳng vng góc nhau nơn đường vng góc chung là giao tuyến
của mặt phăng (P) qua d, vng góc d' và (Q) qua d' vng góc d.
(P) đi qua điểm A và có vectơ pháp tuyến ĩ í ' có phương trình:
X - (y - 3) - (z - 6 ) = 0 hay x - y - z + 9 = 0.
Tương tự, (Q) đi qua diêm B và có vcctơ pháp tuyên u nen có phương trình:
x - 2 ' t z - 2 = 0 hay X + z - 4 = 0.
Suy ra phương trình của dường vng góc chung của d và d' là;
X = t

- - x y - 5 z - 4
y = 5 + 2t=> —=
= -----.
z= 4 -t

1

2

-

1

99


Bài tốn 8.22: Lập phương trình đưỊTỉg vng góc chung của hai đường thẳng:
^ x -7
^ ^

y -3

z -9

2

-1

1

x -3

y -1

Z -1

2

3

-7
Giải
(di), (d2) có vectơ chỉ phương lần lượt là:
u, = (1 ;2 ;-1 ),
[U|

^

= (-7; 2; 3)

, U2 ] = (8; 4; 16) nên vectơ chì

phương của đường vng góc chung A là u^ = (2; 1; 4)
Mặt phẳng (P) chứa (d 2) và song song với

là:

5x + 43y - 1 lz - 38 = 0; (P) n (di) = M(7; 3; 9)
Đường thẳng (A) cần tìm đi qua M, có vectơ chi phương ‘A •
x-7_y-3_z-9
2 " 2 ^ 4 ■
Bài tốn 8.23: Viết phương trình tham số của đường thẳng vng góc chung của
AC vàB D biếtA (4; 1;4), B(3; 3; 1), C (l;5 ;5 ) , D (l; 1; 1).
Giải
PT đường AC là (d,):

PT đường BD là (d 2):

X

X=

4

-

3t, y

=

1 + 4t, z

=

4 + t có VTCP

= 3 - 2k, y = 3 - 2k, z = 1 có VTCP = (-2; -2;

Gọi đường vng góc chung là (A) qua E thuộc di, F thuộc d 2:
E(4 - 3t; 1 + 4t; 4 + t); F(3 - 2k; 3 - 2k; 1)
ẼE = (1 - 3t + 2k; -2 + 4t + 2k; 3 + 1).

Ta có:

_ _
EE.U,

X
ẲJ/« LiI =
— 0U

í
ị Í26t +
1 ^2ỉvk - 8o —
=

F E .ũ ^ - 0

lt + 4 k -l = 0

0

t=

5
17
17

,
^ f5 3 37 73^
, / 4 5 45 17
Suy ra E —
, F —
[ \7 17 1 7 ;
[ \7 17 17
Đường vng góc chung (A) có vectơ chỉ phương
45

X= - / + t

8_____
,
^1 77)\ nen có' PP1T 1là:
'
; — 8—
hay n(1;-1;
FE = —
17
17 17,

100

17
45
y =— -t.
17
z = l + 7t

= (-3;

0)

4; 1).


Bài tốn 8.24: Lập
—'2 y

d: ------ = —=
-1
3

phương trình đường thẳng d' đối với đường thẳng
7 —1
■
»
— qua mặt phăng (P): X + 2y + z - 1 = 0.
-7
Giải
Gọi A là giao điểm của d và (P) thì A(2-t; 3t; l-7t).
Thế toạ độ vào (P) thì t = 1 nên A (l; 3; - 6 ).
Đưòng thẳng d đi qua B(2; 0; 1).
Ta tìm hình chiếu H của B lên
(P). Phương trình đưỊTig thẳng qua B, vng góc với (P) có
x = 2 + t’
VTCP ĩi = np = (1 ;2 ; 1):

y = 2 t’ .
z = l + t'

1
(5
Thê X, y, z vào (P) thì được t' = - — nên H
3’
Do đó điểm đổi xứng B qua (P) là B
Đường thẳng d' có VTCP A B ' =
nên có phương trình

4

,3 ’

^1

-13

v3

3

2 2'^
3’ 3
p

3^
19^

hay (1;-13; 19)

x -l_ y -3 _ z +6

1
Bài toán 8.25: Cho 2 đường thẳng:
. . . x -3
y -1
Z -1
x -7 y -3 z - 9
(Ai): ------ = -------= -------và

tAiT
■và(A
2): ------= ------ = ------7
2
3
1
2
-1
Lập phương trình đưịmg thẳng (A3) đối xứng với (A2) qua (Ai).
Giải
Lấy điểm M e (A2)
^ M(t + 7; 2t + 3; -t +9)
Mặt phẳng (P) qua M vuông góc với (Ai):
V *'
-7(x - 1 - 7) + 2(y - 2t - 3) + 3(z + t - 9) = 0
\
Ta có (Ai): X = -7k + 3, y = 2k + 1, z = 3k + 1 nên giao điểm của (Ai) và (P) là
2 1 .t

6t
9t
- 3 .t
+ 3 ,-— + 1 .- — + 1 ứng với k =
31
31
31
31

Gọi M' đối xứng với M qua (Ai) thì I là trung điểm đoạn MM' nên có
M'

^U t
31

31

'3 1

y
101


Vậy đường thắng (A3) cần tìm chứa các điểm M' nên có phương trình là;
íx = - l + l l t
y = -l-7 4 t.
z = - 7 + 13t
Bài tốn 8.26: Viết phương trình đưcmg thẳng đi qua M (l; -5; 3) và tạo với hai
đường thẳng Ox, Oy các góc bằng 60“.
Giải
Gọi u = (a; b; c), 'à

b“ + c^

0 là vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm.

Các đường thăng Ox, Oy có các vcctơ chì phương là
í = ( 1 ; 0 ; 0 ), J = ( 0 ; 1 ; 0 ).
Theo giả thiết của bài tốn thì:
|a|

|b|

+b^ +c^
<=> a^ =

„

1

+ b “ +c^

= —(a“ +
4

2

c“) <=> 4a' = 4b^ = a" +

c^.

o 2a^ = 2b^ = c^. Chọn c = \ í ĩ thi a = ± 1, b = ± 1.
Vậy có 4 trường hợp xảy ra:
x -1

y+5
~

1

1

y+5
~ -1

x -1
-1

x -1
■ -1

~

1

x -1

z -3
z -3
"

y+5
~

1

z -3
"■

y+5
” -1

z -3
"

Bài toán 8.27: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng
(P): X - 2y + 2z - 5 = 0 và hai điểm A(-3; 0; 1), B (l; -1; 3)
a) Viết phương trình tia AB, đoạn AB.
b) Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình
đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thảng dó là nhở nhất.
Giải
a) Vectơ chỉ phương AB = (4; -1; 2).
102


Phương trình tham số của tia AB:
x = -3 + 4 t
y = -t

x = -3+4t
, t ^ 0 , đoạnAB:

z = l+2t

y = -t

,0
z = l+2t

b) Gọi A là đường thẳng cần tìm; A nằm trong mặt phẳng (Q) qua A và song

song với (P).
Phương trình (Q): X - 2y -+ 2z + 1 = 0 .
K, H là hình chiếu của B trên A, (Q).
Ta có BK > BH nên AII là đường thắng cần tìm.
X -1
y -1 z - 3
Toạ độ H(x; y; z) thoả mãn:
H 1 11 z
1 " - 2 ^ 2
9 ’ 9 ’9
x - 2 y + 2z + l = 0

11

AH =

^ 9 ’ 9 ’~ 9

Vậy phương trình A:

x + 3 _

y _ Z-1

26 ~ 11 ” - 2 ■
BÀI TẬP

Bài tập 8.1: Lập phương trình chính tắc qua E (3, 4, 1) và song song với đưÒTig
X = 3 + 2t
thăng d:

y = 1 - 4t .
Z=

3t

HD-DS
x -3

y -4

Z -1

2 "" - 4 "" 3 ■
Bài tập 8.2: Lập phương trình tham số dường thẳng qua A (-2, 4, 3), vng góc
(pj: 2 x -3 y + 6 z + 19 = 0

IID-ĐS
VTCP (2; -3; 6)
Bài tập 8.3: 4'rong không gian Oxy, cho (P); X + y + z - 4 = 0 và 3 điểm A(3; 0; 0),
B(0; -6; 0), C(0; 0; 6). Viết phương trình tham số của đường thẳng A là giao
tuyến của (P) và mặt phang (ABC).

IID-DS
X

(A):

= 2t

y = -1 + 1
z = 5 - 3 t ,t e R
103


Bài tập 8.4: Lập phương trình đường thẳng là giao tuyến của 2 mặt phang:
X - 2y + 3z - 4 = 0 và 3x + 2y - 5z - 4 =0
ỈID-DS
VTCP (2; 7; 4).
Bài tập 8.5: Lập phương trình hình chiếu vng góc của
X —9

V —1

7 + 1

•»

d; -------= - — = ------ lên mặt phẳng Oxy.
3
-2
4
IID-ĐS
x = 2 + 3t
d':

y = l-2 t .
z=0

’

X
y ~ 1 z —3
Bài t.'Ịp 8.6: Cho đường thăng d: — = ------= ------- và mặt phăng

(P); X + y + z - 10 = 0. Lập phương trình hình chiếu d' của d lên mặt phang (P).
IID-DS
X= 6 + t

d': • y = - 2 - t .
z=6
Bài tập 8.7: Trong không gian Oxyz cho hình chóp tử giác đều s. ABCD, biết
S(3; 2; 4), B (l; 2; 3), D(3; 0; 3). Viết phương trình đường vng góc chung
cùa hai đường thẳng AC và SD.
ỈỈD-DS
x - 2 _ y -1 _ z -3
5 “ -1 ” 2 ■
Bài tập 8.8: Trong không gian Oxyz cho điểm A(-4; -2; 4) và đường thẳng
X=

-3 + 2t

d: ■y = 1 - t
z = - l + 4t
Viết phương trình đường thẳng A đi qua A, cắt và vng góc với d.
lỉD -Đ S
. x+4 y+2 z -4
A: —:— = — = -----3
2 - 1
Bài tập 8.9: Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm A (l; 4; 2), B (-l; 2; 4) và đường
x -1 _ y+2 _ z

thăng A:
-1
1
104


1) Viết phương trình đường d đi qua trọng tâm của tam giác OAB và vng
góc với (OAB).
2) Tìm điểm M thuộc A sao cho MA^ + MB^ nhỏ nhất.
lỉD -Đ S
2) M (-l;0 ;4 ).
2 - 1

1

LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHANG,
MẶT CẦU LIÊN QUAN ĐƯỜNG THANG
Phương trình tổng quát của mặt phang:
Mặí phang qua Mn(xo, yo) và vecíơ pháp tuyến n = (A, B, C)
Ax + By -V Cz + D = 0. A^ +

Ớ

hay A(x -X n ) + B(y -yo) + C(z - zq) = 0
Chú ý:
1) Một mặt phẳng được xác định bởi một điểm và một đường thằng khơng qua
điểm đó, hoặc 2 đường thắng song song hoặc 2 đường thẳng cắt nhau.
2) Mặt phăng chứa 2 đường thăng cãt nhau:
Nếu (P) = mp(d, d') thì chọn VTPT « = [Ud, 1‘ d'J
3) Mặt phắng chứa 2 dường thẳng song song:

Nếu (P) = mp(d, dỹ và d qua A, d ’ qua B thì chọn VTPT n = [ u d, AB ].
Phương trình mặt cầu:
Mặt cầu (S) lãm ỉ(a, b, c) hán kính R:
(x - a f + (y - b f + (z - c f =

hay:

+ 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0, A^ + B^ \ - ơ - D > 0
có tâm I(-A, -B, -C ) và hán kính R = - ^ A ' + B ~ + C ^ - D
VỊ trí tương đổi giữa mặt cầu và dường thắng:
Cho mặt cầu S(ỉ; R) và đường thẳng A. Gọi H là hình chiếu của tâm 1 trẽn Á
và d IH là khoảng cách từ o tới A
- Nếu d < R: đường thẳng A cắt mặt cầu tại hai điếm A, B.
Độ dài dây AB = 2^jR~ - d~ .
- Nểu d ^ R, đường thang A và mặt cầu S(ỉ; R) có điểm chung duy nhất là H.
Khi dó, đường thẳng A liếp xúc với mặt cầu tại điếm H hoặc A là tiếp tuyển của
mặt cầu tại tiếp điếm H.
- Neu d > R: đường thẳng khơng có điểm chung vói mặt cầu.
105


Bài toán 9.1: C ho đ iể m A (2 ; 3; 1) và hai d ư ờ n g thẳng:
X

= -2 - 1

y = 2 + 1 và d 2 •
z = 2t

x+5_y-2_z

-1

"ĩ'

a) Viết phương trình mp(P) đi qua A và d|.
b) Viết phương trình mp(Q) đi qua A và d?.
Giải
a) Đường thảng di đi qua điểm Mi(-2; 2; 0) và có vcctơ chỉ phương Uj = (-1; 1; 2).
Mặt phang (P) đi qua A và di có vcctơ pháp tuyến
np = AM,,U, = (-1; 9; -5).
Vậy mp(P) có phương trình:
-(x + 2) t 9(y - 2) - 5z = 0 hay X - 9y + 5z + 20 = 0.
b) Đường thẳng d? đi qua điổm M2(-5; 2; 0) và có vectơ chỉ phương u^ - (3; -1; 1).
Mặt phang (Ọ) đi qua A và d 2 có vcctữ pháp tuyến
"q =

AM 2,U2 ] = (-2 ;4 ; 10) hay (1 ;-2 ;-5 ).

Vậy mp(Q) có phương trình:
1(x + 5) - 2(y - 2) - 5z = 0 hay

2y - 5z -I 9 = 0.

X-

Bài toán 9.2: 'Prong không gian với hộ toạ độ Oxyz, cho hai đưcmg thẳng có
phưtmg trình;
X-1 _ y

ư•

2

-

+ 2 _ z -5

3

4

và d

x-1

^' 3

>'■

1

2 - 2

Chứng tỏ rằng hai đường thẳng dã cho cùng nằm trong một mặt phang, viết
phương trình mặt phăng đó.
Giải
di qua M i(l; -2; 5) và có VTCP
d 2 qua M2(7; 2; 1) và có VTCP

U|*

= (2; -3; 4)
= (3; 2; -2)

Ta có [ũ ; , íi; J = (-2; 16; 13); M ,M > (6; 4; -4)
nên I ũ [ , u, ]. M |M 2 = (-2)6 + 16. 4 + 13(-4) = 0
Vậy hai đường thắng cùng nằm trong mặt phang (P).
Mặt phăng (P) chứa 2 đường thăng nơn có V2'PT
n = [ u 1, U2]

(-2; 16; 13) đi qua Mi nên có phương trình:

-2(x - 1)4 16(y + 2) + 13(z - 5) = 0 hay 2x - 16y - 13z + 3 1 = 0 .
106


Bài toán 9.3: L.ập p h ư ơ n g trìn h m ặt phẳng (P) chứa đ ư ờ n g thẳng:
X

= 4t

3
, x-1
y-3
z+5
d,: y = ----- h7t và song song với dy ; ------ = ------- = -------.
z = 2l
Giải
di qua A(0;

; 0) và có Vd’CP u = (4; 7; 2)

d2 qua B ( l;3 ;- 5 ) v à c ó VTCP V = ( l ; - 2 ; 1)
Do đó mp(P) có V'1'P'r lĩ = [ ĩ l , V] = ( 11; -2; - 15) và qua A nên có phương trinh;
1 l(x - 0) - 2(y + —) - 15(z - 0) = 0 hay 1 Ix - 2y - 15z - 3 = 0.
Vì B khơng thuộc (P) nơn đó là mặt phẳng cần tìm.
Bài tốn 9.4: Viết phương trình mặt phẳng qua điổm A(3; -2; 1) và vng góc với
đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phăng.
(P); 3x 4 2y - 2z 4 8 - 0. (Q): 2x - y f 3z 4- 7 = 0.
Giải
Mặt phẳng (P), (Q) có VTPT n = (3; 2; -2), n ' = (2; -1; 3) nên giao tuyến d có
VTCP u = [ n , n' ] = (4;-13;-7).
Đó cũng là vcctơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm. Vậy phương trình cúa mặt
phẳng cần tìm qua A, vng góc với d.
4 ( x - 3 ) - 13(y 4-2) - 7 (z- l) = 0 c :> 4 x - 1 3 y -7 z -3 1 = 0 .
Bài toán 9.5: Viết phương trinh mặt phảng đi qua diểm B(0; 1; -1) và vng góc
với 2 mặt phăng:
(P): lOx - y 4- z - 1 = 0 và (Q): 2x 4 y - 4z - 5 = 0.
Giải
(P), (Q) CÓVTPT n = (1 0 ;-1 ; 1), n ' = (2; l;-4 )
Mặt phẳng cần tìm có VTP r là I ĩ ì , n ' I = (3; 42; 12) hay (1; 14; 4)
Và đi qua B(0; 1; -1) nên có phương trình:
l(x -0 ) 4 14(y- 1) 4 4{z 4- l) = 0 o x 4- 14y + 4z - 10 = 0.
Bài tốn 9.6: Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d là giao tuyến của
2 mặt pihẳng (P); x 4 2y 4- 5z + 6 = 0, (Q): X - y - 3z 4- 3 = 0 và vng góc với
mặt phẳng (R): 3x 4- 2y 4- z - 5 = 0.
Giải
Mặt phẳng (P), (Q) có VTPT n = (1; 2; 5), n ' = (1; -1; -3)
107

Nên giao tuyến d có VTCP u = [ n , n '] = (-1; 8; -3)
Giao tuyến d chứa các điểm có toạ độ thoả mãn:
Jx + 2y + 5z + 6 = 0
| x - y - 3z + 3 = 0

. Cho z = 0 = > x = -4, y = -l.

Do đó mặt phẳng cần tìm qua M(-4; -1; 0)
và có VTPT n = [ u , ĨTr 1 = (14; -8; -26) hay (7; -4; -13)
Nên có phưong trình: 7(x + 4) - 4(y + 1) - 13(z - 0) hay 7x - 4y - 13z + 24 = 0.
Bài tốn 9.7: Trong khơng gian Oxyz cho điểm E (l; 1; 1) và mặt phang (a) có
phưong trình X + y - 2z - 6 = 0, gọi E' là điểm sao cho (a ) là mặt phẳng trung
trực của đoạn EE'. Lập phương trình các mặt phang lần lượt đi qua E, E' và
song song với (a).
Giải
Ta nhận thấy điểm E không thuộc (a), phương trình tham số của đường thẳng d
đi qua E(1; 1; 1) và vng góc với mặt phang (a) là:
X= l + t
y=l+t
z = l-2t
Toạ độ giao điểm H của d
và (a) ứng với giá trị của t thoả phương trình:
(1 + t) + (l + 0 - 2 ( 1 - 2 t ) - 6 = 0.
6 t - 6 = 0 = > t = 1 I^ H (2 ;2 ;-1 )
T’

■

_

Xi ; + X g ,

Ta có: xh = —
yii
Zh -

——
2

2=l± ít
2

Ye + Y e' =í> 2 =

2

-1

i± Z lL
2

1+ Zc'
2

xe’ =

3

yn' = 3

ze—

-3.

Vậy điểm E'(3; 3; - 3). Từ đó suy ra:
Phương trình của mặt phang qua E, song song (a) là: X + y - 2z = 0.
Phương trình của mặt phang qua E', song song (a ) là: X + y - 2z - 12 = 0.
1 .
1
'ì
_.T
Bài tốn 9.8: Cho mặt câu (x + 2)^ + (y - 1)^ + (z + 5)^ 49
X = 3 t-5

và đường thẳng d:

y = 5t-ll .
z = -4t + 9

108


Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại các giao điểm của d với
mặt cầu.
Giải
Mặt cầu (S) có tâm I(-2; 1; -5), R = 7.
Thế toạ độ X, y, z vào phương trình mặt cầu:
(3t - 3)^ + (5t - 12)^ + (14 - 4t)^ = 49 C:> t^ - 5t + 6 = 0 => t = 3 hoặc t = 2.
Do đó đưịng thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm A(4; 4; -3), B(1; -1; 1)
- Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm A có VTPT

lA = (6; 3; 2) nên có phương trình: 6x + 3y t 2z - 30 = 0.
- Mặt phang tiếp xúc với mặt cầu tại điểm B có VTPT
IB = (3; -2; 6) nên có phương trình: 3x - 2y + 6z - 11 = 0.
Bài toán 9.9: Lập phương trình cùa mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng d:
x -1 3 _ y + ]
'
'
2 2 2
và tiêp xúc vói mặt câu (S); X + y + z - 2x - 4y - 6z - 67 = 0.
1
-1
Giải
Tâm của (S) là 1(1; 2; 3), bán kính R = Vl' +2" +3" +67 =9
Đường thẳng d đi qua M(13; -1; 0) và N(12; 0; 4).
Phương trình mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0, A^ + B^ +

> 0.

Í1 3 A -B + D = 0
ÍA = B + 4C
(P) qua M, N nên: <
’
=> i
^
[l2A + 4C + D = 0
[D = -1 2 B -5 2 C
Do đó (P): (B + 4C)x + By + Cz - 12B - 52C = 0 (*)
Điều kiện (P) tiếp xúc (S): d(I, (P)) = R
<=>'

B + 4C + 2B + .3 C -12B -52C
Ậ B + 4C Ý +

I

I

9 <=> B + 5C = V 2 B '+ 8 B C + 17C'

+ơ

o B^ - 2BC - 8C^ = 0 o B = 4C hoặc B = -2C.
Thế vào (*) và rút gọn c 0, ta được 2 mặt phang:
2x - 2y + z - 28 = 0, 8x + 4y + z - 100 = 0.
Bài tốn 9.10: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu;
(S): x^ + y^ + z^ - 2x + 2y + 4z - 3 = 0
X = 2t
và đưòfng thẳng A|;

y = l - t , A2:
z=t

Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai
đưỊTig thẳng Ai và A2.
109