SKKN KHAI THAC VA PHAT TRIEN BAI TOAN

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN TỔ KHOA HỌC TỰ NHIÊN. CHUYÊN ĐỀ. KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN CÁC BÀI TOÁN TỪ MỘT BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN. Môn: Toán 6 Người thực hiện: NGUYỄN HIẾU THẢO.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Năm học: 2006 – 2007 A: LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI I. Cơ sở lý luận: Môn toán là một môn khoa học ,những tri thức ,kỹ năng toán học cùng với phương pháp làm việc trong toán học trở thành công cụ để học tập những môn khoa học khác , môn toán là công cụ của nhiều ngành khoa học . Môn toán giúp cho học sinh hình thành và phát triển những phương pháp, phương thức t duy và hoạt động nh toán học hoá tình huống thực tế, thực hiện và xây dựng thuật toán ,phát hiện và giải quyết vấn đề . Những kỹ năng này rất cần cho ngời lao động trong thời đại mới . Môn toán góp phần phát triển nhân cách con ngời , ngoài việc cung cấp những kiến thức , kỹ năng toán học, môn toán góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung nh phân tích, tổng hợp , trừu tợng hoá , khái quát hoá. Ta thấy được môn toán có vai trò rất quan trọng trong đời sống và trong kỹ thuật . Vì vậy ngời thầy phải có phương pháp dạy học để phát huy được tính tích cực học tập của học sinh ,nhất là học sinh giỏi . Theo nh yêu cầu của bộ môn toán nói chung , môn toán 6 nói riêng ,mỗi tiết học phải hạn chế lý thuyết kinh viện mà chủ yếu khai thác sâu bài tập và thực hành . Trong mỗi bài tập , ngời thầy phải giúp hoc sinh phân tích từng khía cạnh của bài toán , rồi khai thác phát triển bài toán đó , thậm trí phải lật ngược lại vấn đề . Nếu làm được việc đó thì học sinh càng hiểu sâu sắc bài toán , dạng toán. Từ đó sẽ kích thích được tính tò mò , khơi dậy cho học sinh tính sáng tạo, khai thác được tiềm năng về môn toán của học sinh . Trong kho tàng toán học có vô vàn những bài toán hay trong đó có hai bài toán tính tổng : 1 1 1 A= 1 . 2 + 2. 3 +.. . .+ 99. 100 A=1.2+2.3+...+99.100. Được áp dụng rộng rãi , nếu khai thác được bài toán này ta thấy được nhiều điều thú vị ..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Với lý do đó tôi chọn viết chuyên đề “Khai thác và phát triển các bài toán từ một bài toán đơn giản” . II Cơ sở thực tiễn : a Đối với học sinh : Đa số học sinh kể cả là học sinh giỏi khi giải xong bài toán là đã bằng lòng với kết quả đó .Chính vì lý do đó nếu thay đổi một vài dữ kiện thì học sinh lúng túng. Cụ thể bài toán tính tổng : 1 1 1 A= 1 . 2 + 2. 3 +.. .+99 .100 . Nếu ta thay đổi 1.2=2;2.3=6;...;99.100=9900 1 1. 1. Bài toán trở thành tính tổng A= 2 + 6 + .. .+9900 . Thì học sinh lúng túng mặc dù đã biết cách giải bài toán trớc đó . Trong thực tế nếu biết khai thác và phát triển bài toán này thì ta thấy bái toán rất hay . b Đối với bản thân : Xuất phát từ việc giảng dạy hai bài toán tính tổng: 1 1 1 A= 1 . 2 + 2. 3 +.. .+99 .100 . A=1.2+2.3+...+99.100. Là những bài toán được áp dụng rộng rãi trong toàn cấp học . Mặt khác hai bài toán này còn có sự tơng đồng về cách khai thác và phát triển . Nếu càng khai thác ta càng thấy nhiều bài toán có nhiều cách giải độc đáo ,các cách giải này lại có mối quan hệ dàng buộc lẫn nhau ..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> B BIỆN PHÁP THỰC HIỆN Để đạt được hiệu quả cao trong dạy và học cụ thể là đối với các bài toán này , một trong các biện pháp thực hiện tốt nhất là phải xây dựng hệ thống các bài tập hợp lô gíc . Ta phải khai thác bài toán theo từng mảng ,mỗi mảng ta lại chia thành từng phần ,sao cho mỗi phần có sự liên kết chặt chẽ với nhau về cấu trúc của bài toán cũng nh về phương thức giải toán . Đối với mỗi bài toán sau khi giải đều có phần nhận xét về thể loại và hớng phát triển .Để thấy được sự tơng tự trong các bài toán hoặc thêm một vài dữ kiện , hoặc lật ngược vấn đề để có được bài toán mới có nội dung phong phú và phù hợp hơn . Biện pháp cụ thể: a:BÀI TOÁN I: Tính tổng : 1 1 1 A= 1 . 2 + 2. 3 +.. .+99 .100 . Trong phần này có 9 bài toán đựơc khai thác từ bài toán I b:BÀI TOÁN II : Tính tổng : A=1.2+2.3+...+99.100. Trong phần này cũng có 9 bài toán được khai thác từ bài toán II. Hai bài toán I và II đều thuộc dạng dẫy các phép toán viết theo quy luật . Ta cũng có thể coi bài toán II là bài toán khai thác từ bài toán I vì ta chỉ cần nghịch đảo mỗi số hạng của tổng A trong bài toán I là ta được bài toán II. Hai bài toán này khi giải ta đều phải tách mỗi số hạng trong tổng thành hai số hạng có dấu khác nhau. Hai bài toán này ta thấy nhiều sự tơng đồng về cấu trúc ,cũng nh về cách khai thác.. BÀI TOÁN I Tính tổng.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 1. 1. 1. A= 1 . 2 + 2. . 3 +. . ..+ 99 . 100 Hớng dẫn: Ta có: 1 1 1 = − 1.2 1 2 1 1 1 = − 2.3 2 3. .................... 1 1 1 = − 99 .100 99 100. Vậy A=1-. 1 1 1 1 1 + − + .. ..+ − 2 2 3 99 100 1 100. A=199. A= 100 Tổng quát : 1 1 1 n B= 1 . 2 + 2. 3 +.. . .+ n( n+1) = n+1 Nếu số hạng đẫu tiên của B không phải là 1 k (k +1). Thì C=. . 1 1 +. . ..+ k (k +1) n( n+1) n− k +1 k (n+1) k≤n. C= với *Nhận xét : Ta thấy: 1.2=2 2.3=6 3.4=12 . ............ . 99.100=9900 Vậy ta có bài toán : Bài toán 1: Hãy tính tổng :. :. 1 1.2. mà bắt đầu từ.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 1 1. 1. 1. D= 2 + 6 + 12 + .. ..+ 9900 Hớng dẫn : 1 1 1 D= 1 . 2 + 2. 3 + 3 . 4 +¿ ....+. 1 99 .100. 99. D= 100 * Nhận xét : Nếu ta coi bài toán I là bài toán xuôi thì ta cũng suy ra bài toán ngọc Bài toán :2 Tìm số tự nhiên a biết 1 1 1 1 99   ...  1.2 2.3 3.4 a .( a 1 ) 100. Hớng dẫn : 1 1 + +¿ 1 . 2 2. 3 a. ...+. 1 a = a+1 a(a+ 1). 99. Nên a+1 =100 Vậy a=99 *Nhận xét: Ta thấy : 2.1 1 2 2.3 3 2 3.4 6 2 ................. 99.100 4950 2. Và tất nhiên có bài toán : Bài toán 3: Tính tổng :.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> F=. 1 4950 1 1 ¿ + +. ..+ ❑ ❑ 1 3. Hớng dẫn 2 2 2 F= 1 . 2 + 2. 3 +.. .+99 .100 ¿ 1 1 1 F=2.( + +. . .+ ) 1 .2 2. 3 99 .100 99 F=2. 100 99 F= 50 ¿. * Nhận xét : 99 Ta thấy 100 không là số nguyên từ đó có được bài toán Bài toán 4 :Chứng minh rằng : 1 1 1 A= 1 . 2 + 2. 3 +.. .+99 .100 không là số nguyên . Hớng dẫn : 99 Ta tính A= 100 Tổng quát : 1 n(n+1) 1 1 + 1. 2 ¿. 2. 3+¿ . ..+. B=. cũng không là số nguyên * Nhận xét : Ta thấy 1.2=2! 2.3=3! 3.4<4! 4.5<5! ........... 99.100<100! và đơng nhiên ta có bài toán Bài toán 5: Chứng minh rằng : 1 1 1 1 G= 2 ! + 3! + 4 ! + .. .+ 100 ! <1.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Hớng dẫn : Ta có : 1 1 1 1 G< 1 . 2 + 2. 3 + 3 . 4 +. . .+ 99. 100 Vậy G<1 Tổng quát : 1 1 1 + +. . .+ ,,<1 2 ! 3! n!. Cũng tơng tự ta có bài toán : Bài toán 6: Chứng minh rằng : I=. 1 1 1 + 2 +. ..+ <1 2 2 3 1002. Hớng dẫn : 1 1 I< 1 . 2 + 2. 3 +¿ ...+ Vậy I<1 Tổng quát :. 1 99 = 99 .100 100. 1 1 1 + 2 +. ..+ 2 < 1 2 2 3 n. * Nhận xét : Khai thác bài toán này ta có : 1 3 = 22 4 1 8 1− 2 = 3 9 .. . .. .. . .. .. .. . .. 1 9999 1− = 2 100 10000 1 1 1 Mà 22 + 3 2 +. ..+ 1002 <1 1−. nên ta có bài toán : Bài toán 7: Chứng minh rằng : 3 8 9999 + +.. .+ >98 4 9 10000. Hớng dẫn : Ta có :. 3 8 9999 1 1 1 + + .. .+ =1− 2 + 1− 2 +.. .+1− 4 9 1000 2 3 1002 1 1 1 99 −( 2 + 2 +. ..+ )>99 −1=98 2 3 1002. * Nhận xét :.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Cũng từ việc. I=. 1 1 1 + 2 +. ..+ <1 2 2 3 1002. ta được bài toán : Bài toán 8: Chứng minh rằng : I=. 1 1 1 + 2 +. ..+ 2 2 3 1002. không phải là số nguyên .. Tổng quát :. 1 1 1 + 2 +. ..+ 2 2 2 3 n. không phải là số nguyên . * Nhận xét : Ta thấy với 100 số tự nhiên lớn hơn 1 khác nhau. a1 , a2 ,. . ., a 100. 1 1 1 1 1 1 + 2 +.. .+ 2 < 2 + 2 +. . .+ 2 a1 a2 a100 2 3 1002. giúp ta tìm ra bài toán . Bài toán 9: Tìm các số tự nhiên lớn hơn1 khác nhau. a1 , a2 ,. . ., a 100. 1 1 1 + 2 +.. .+ 2 =1 2 a1 a2 a100. sao cho :. Hớng dẫn : Ta có : ¿ 1 1 1 1 1 1 0< 2 + 2 +. ..+ 2 ≤ 2 + 2 +. ..+ <1 2 a1 a 2 a100 2 3 100 ¿. vậy không có số tự nhiên nào thoả mãn điều kiện của đầu bài . *Nhận xét : Nếu ta nghịch đảo mỗi số hạng của bài toán I ta được bài toán mới.. BÀI TOÁN II Tính tổng : A=1.2+2.3+3.4+...+99.100. Hớng dẫn : 3A=1.2.3+2.3.3+3.4.3+...+99.100.3. 3A=1.2.3+2.3(4-1)+3.4(5-2)+...+99.100(101-98). 3A=1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+...+99.100.1013A=99.100.101. A=99.100.101:3. A=333300. Tổng quát :. 98.99.100..

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 1.2+2.3+3.4+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2):3 Nếu tổng B có số hạng đầu tiên không phải là 1.2mà là k.(k+1) ta có : C=k(k+1)+(k+1)(k+2)+...+n(n+1)(n+2) =[n(n+1)(n+2)- k(k+1) (k+2)]:3 với n k . *Nhận xét : Ta thấy : 1.2= 2 2.3=6 3.4=12 .............. 99.100=9900 Vậy ta có được bài toán khó hơn . Bài toán 1: Tính tổng : D=2+6+12+...+9900. Hớng dẫn : D=1.2+2.3+3.4+...+99.100 D=333300. Nhận xét : Ta coi bài toán II là bài toán thuận thì ta cũng suy ra bài toán đảo . Bài toán 2: Tìm số nguyên a biết : 1.2+2.3+...+a(a+1)=333300. Hớng dẫn : Ta có : 1.2+2.3+...+a(a+1) = a(a+1)(a+2):3 nên a(a+1)(a+2):3=333300. ⇒ a( a+1)( a+2)=333300 .3 a(a+1)(a+2)=999900=99 .100 . 101.. Vậy a=99 *Nhân xét : Ta thấy:.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 1. 2 =1 2 2. 3 =3 2 3.4 =6 2 .. . .. .. . .. .. .. 99 .100 =4950 2. Vậy ta được bài toán : Bài toán 3: Tính tổng : E=1+3+6+...+4950. Hớng dẫn :. 1. 2 2 .3 3. 4 99 .100 + + + .. .+ 2 2 2 2 1 E= (1. 2+2 .3+3 . 4 +.. .+99 . 100) 2 1 E= ×333300 2 E=166650. E=. *Nhận xét : Ta thấy :. 1. 2 2 2 .3 1+2= 2 3.4 1+2+3= 2 .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. 99 . 100 1+2+3+. .. .+100= 2 1=. Vậy ta phát triển từ bài toán trên thành bài toán Bài toán 4: Tính tổng : ¿ 1+(1+2)+(1+2+3)+ .. ..+(1+2+3+. ..+100) F= 1. 2+2. 3+3 . 4 +.. .+99 .100 ¿. Hớng dẫn :. 1. 2 2 . 3 99. 100 + +. ..+ 2 2 2 F= 1 .2+2 . 3+.. .+99 .100 1 F= 2. *Nhận xét :.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Do: 1+(1+2)+(1+2+3)+...+(1+2+3+...+100) =1.100+2.99+3.98+...+99.2+100.1 Ta lại phát triển bài toán thành bài toán khác . Bài toán 5: Chứng minh rằng: G=. 1. 100+2 . 99+ 3. 97+ .. .+100. 1 1 .2+2 . 3+.. .+99 . 100. có giá trị bằng 1 Cách giải tơng tự . * Nhân xét : . Hơn nữa : 2.99=2(100-1)=2.100-1.2 3.98=3(100-2)=3.100-2.3 ........................................ 100.1=100(100-99) Vậy ta hình thành nên bài toán Bài toán 6: Tính tổng : I=1.100+2.99+3.98+...+100.1 Hớng dẫn: I=1.100+2.99+3.98+...+100.1 =1.100+2.100-1.2+3.100-2.3+...+100.100-99.100 =100(1+2+3+..+100)-(1.2+2.3+3.4+...+99.100) 101 .100 −333300 2 ¿ 505000− 333300 ¿ 171700. ¿ 100.. * Nhận xét : 12=1. 1=1 .(2 −1)=1. 2 −1 . 22=2 .2=2(3 −1)=1 .2 −2 .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. 992=99. 99=99(100 −1)=99. 100 −99. Vâỵ ta lập đơc bài toán mới thông qua bài toán II. Bài toán 7: Tính tổng:.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> H = 12+ 22+3 2+. . .+ 992 Hớng dẫn: H =1.(2-1)+2.(3-1)+...+99(100-1) =1.2-1+2.3-2+...+99.100-99 = 1.2+2.3+...+99.100- (1+2+3+...+99) 99 .100 =333300 2 = 333300-4950 =328350 *Nhận xét : Ta đã thấy : 2. 2. 2. H=1 +2 +.. .+99 =328350. Vậy K=22 + 42 +62 +. ..+198 2 bằng bao nhiêu ? Bài toán 8: Tính tổng :. K 22  42  ...  1982 Hớng dẫn : 2. 2. 2. 2. K=2 (1 +2 +. ..+99 ). K=4.328350 K=1313400 * Nhận xét : Ta chia H cho 4 được 2. 2. 2. 1 2 99 + 2 +. ..+ 2 2 2 2 2 99 2 ¿ 2 ¿ 45 , 5 ¿2 0,5 ¿2+12+. . .+ ¿ 2 2 ¿ +. ..+¿ 2 ¿ 1 2 ¿ +¿ 2 M =¿ M=. Bài toán 9: Hãy tính : 45 , 5 ¿2 2 2 0 .5 ¿ +1 +. ..+¿ M =¿. Đáp số=328350:4=8285,5.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> G ĐIỀU KIỆN ÁP DỤNG Để áp dụng chuyên đề này tôi thấy cần phải đảm bảo những điều kiện sau: +Đối với học sinh : Phải nắm chắc kiến thức cơ bản và vận dụng linh hoạt vào các bài toán khác . Phải có lòng say mê học tập không ngại khó không ngại khổ ,được đầu t thời gian , thờng xuyên đọc các tài liệu tham khảo . +Đối với giáo viên : Cần có nhiều thời gian và các tài liệu tha khảođểnghiên cứu và áp dụng vào các bài toán dạng toán cụ thể. Phải có trìng độ chuyên môn vững vàng để không những có nhữnh lời giải hay mà còn khai thác và phát triển các bài toán thành những bài toán hay hơn ,đa dạng hơn . KẾT LUẬN Trên đây là toàn bộ kinh nghiệm của tôi đó là những ý kiến nhỏ được rút ra từ việc học hỏi và giảng dạy .Với thời gian nghiên cứu có hạn nên mức độ nghiên cứu cha sâu nên bản kinh nghiệm này còn nhiều hạn chế . Tôi rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp để bản kinh nghiệm được hoàn thiện và áp dụng có kết quả tốt .. C. NHẬN XÉT – GÓP Ý.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> DỰ GIỜ MINH HOẠ.

<span class='text_page_counter'>(16)</span>

<span class='text_page_counter'>(17)</span> RÚT KINH NGHIỆM THỰC HIỆN CHUYÊN ĐỀ. Bài toán 1: Hãy tính tổng : 1 1 1 1 D= 2 + 6 + 12 + .. ..+ 9900 Bài toán : 2 Tìm số tự nhiên a biết.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> 1 1 1 1 99   ...  1.2 2.3 3.4 a .( a 1 ) 100. Bài toán 3: Tính tổng : 1. F=. 4950 1 1 ¿ + +. ..+ ❑ ❑ 1 3. Bài toán 4 :Chứng minh rằng : 1 n( n+1) 1 1 + 1. 2 ¿. 2. 3+¿ . ..+. B=. không là số nguyên .. Bài toán 5: Chứng minh rằng : 1 1 1 1 G= 2 ! + 3! + 4 ! + .. .+ 100 ! <1 Bài toán 6: Chứng minh rằng : I=. 1 1 1 + 2 +. ..+ <1 2 2 3 1002. Bài toán 7: Chứng minh rằng : 3 8 9999 + +.. .+ >98 4 9 10000. Bài toán 8: Chứng minh rằng : 1 1 1 + 2 +. ..+ 2 không phải là số nguyên 2 2. 3. n. Bài toán 9: Tìm các số tự nhiên lớn hơn1 khác nhau 1 1 1 + 2 +.. .+ 2 =1 2 a1 a2 a100. Bài toán 1: Tính tổng : D=2+6+12+...+9900. Bài toán 2: Tìm số nguyên a biết : 1.2+2.3+...+a(a+1)=333300. Bài toán 3: Tính tổng : E=1+3+6+...+4950. Bài toán 4: Tính tổng :. a1 , a2 ,. . ., a 100. sao cho.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> ¿ 1+(1+2)+(1+2+3)+ .. ..+(1+2+3+. ..+100) F= 1. 2+2. 3+3 . 4 +.. .+99 .100 ¿. Bài toán 5: Chứng minh rằng: G=. 1. 100+2 . 99+ 3. 97+ .. .+100. 1 1 .2+2 . 3+.. .+99 . 100. có giá trị bằng 1 Bài toán 6: Tính tổng : I=1.100+2.99+3.98+...+100.1 Bài toán 7: Tính tổng: H = 12+ 22+3 2+. . .+ 992 Bài toán 8: Tính tổng :. K 22  42  ...  1982 Bài toán 9: Hãy tính : 45 , 5 ¿2 0 .5 ¿ 2+12 +. ..+¿ M =¿.

<span class='text_page_counter'>(20)</span>