skkn khai thác và phát triển bài toán phân thức ở chương II đại số lớp 8

KHAI THÁC MỘT SỐ BÀI TOÁN Ở SÁCH GIÁO KHOA
SKKN năm 3/2010
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Nhằm mục tiêu củng cố, đào sâu kiến thức để phát triển tư duy cho học
sinh (HS), người giáo viên (GV) đứng lớp cần có nhiệm vụ làm cho HS hiểu
rõ được sự cần thiết phải khai thác từ một bài toán cơ bản ở sách giáo khoa
(SGK) đã được giải quyết.
Để giải quyết được một bài toán, nói chung, HS chỉ cần xác định ba vấn
đề sau:
- Thể loại bài toán
- Nội dung cần giải quyết của bài toán
- Phương pháp và phương tiện để giải quyết bài toán
Nhưng để giải quyết tốt bài toán đó (tức là khai thác triệt để nó) thì GV cần giúp
HS tìm hiểu thêm:
- Nguồn gốc xuất phát của bài toán
- Tính khái quát của bài toán (tức là mối liên quan giữa các yếu tố có
tính chất quy luật trong bài toán)
- Tính ứng dụng của bài toán
Xuất phát từ yêu cầu đó, trong các giờ luyện tập, ôn tập tôi luôn cố gắng yêu
cầu HS (nhất là đối tượng HS khá-giỏi) cần khai thác thêm bài bài toán dưới
nhiều hình thức như: Bổ sung thêm hay thay đổi giả thiết (GT) và kết luận
(KL) của bài toán, xác lập bài toán đảo, bài toán tương tự hay bài toán tổng
quát; v.v
Tôi nghĩ, nếu làm tốt điều đó tức là đã góp phần thực hiện tốt mục tiêu
dạy-học, thực hiện tốt mục tiêu đổi mới phương pháp dạy-học hiện nay là: Dạy
- học tích cực nhằm phát huy tính độc lập sáng tạo của HS
Nội dung đề tài này là một phần (Một bài toán đại số) trong tuyển tập các
bài toán đã được khai thác từ SGK và SBT gồm ba phân môn : Hình học- Số
Học và Đại số. Xin được giới thiệu cùng đồng nghiệp các bài toán được khai
thác từ Bµi to¸n 32 trang 50 - SGK to¸n 8 tËp 1- (tiết 28,29 PPCT 11/2007)

GV: Trương Tấn Bảy Trường THCS Nguyễn Bá Ngọc- Thăng Bình
3
KHAI THC MT S BI TON SCH GIO KHOA
B. C S Lí LUN
Sẽ có hiệu quả tốt, nếu nh biết khéo léo khai thác từ một bài tập sang một
loạt bài tập tơng tự, nhằm vận dụng một tính chất nào đó, rèn luyện một phơng
pháp chứng minh nào đó.
Quan sát đặc điểm bài toán và tổng quát hóa bài toán đó là vô cùng quan
trọng, song quan trọng hơn là sự khái quát hớng suy nghĩ và phơng pháp giải. Sự
thực là khi giải bài tập thì không chỉ là giải một vấn đề cụ thể mà là giải đề bài
trong một loạt vấn đề nào đó. Do đó hớng suy nghĩ và phơng pháp giải bài tập
cũng nhất định có một ý nghĩa không kém. Nếu ta chú ý từ đó mà khái quát đợc
hớng suy nghĩ và cách giải quyt vấn đề là gì thì ta sẽ có thể dùng nó để chỉ đạo
giải quyết vấn đề cùng loại và sẽ mở rộng ra.
Tóm lại, sau khi giải một bài toán nên chú ý khai thác hớng suy nghĩ và cách
giải; lật ngợc vấn đề hoặc tổng quát hóa bài toán đó (nếu có thể). Đ khai thỏc
trit mt bi toỏn GV cũng cần giúp HS tìm ra các đặc điểm của bài toán,
các quy luật logic của mối quan hệ giữa các yếu tồ trong bài toán đó
C. C S THC TIN
Trong thc t HS ch gii xong mt bi toỏn hoc GV hng dn cho
HS gii xong bi toỏn ú l xem nh ó hon thnh nhim v . Nhng cú
nhng bi toỏn khụng th gii xong c nu GV khụng giỳp cỏc em tỡm ra
quy lut gii bi toỏn tng quỏt hay tỡm ra phng phỏp gii cỏc dng bi
tp tng t v.v
Hin nay trong chng trỡnh sỏch giỏo khoa (SGK) mụn toỏn cp
THCS cú rt nhiu vn kin thc cn khai thỏc khỏi quỏt hoỏ thnh
nhng bi toỏn tng quỏt. Tuy nhiờn chỳng ta cn suy ngh l nờn khai thỏc nh
th no cho hp lý! Khai thỏc n õu, thi im no, nhm mc ớch no v
cn yờu cu rừ cho tng i tng HS: HS trung bỡnh lm n õu v HS khỏ
gii lm nhng gỡ ?

Nu ch gii hn trong mt tit luyn tp thỡ cng khụng thi gian khai
thỏc trit mt bi toỏn SGK. Tuy nhiờn, nu bit tn dng thi gian trong
cỏc chng trỡnh dy ch t chn, ph o hc sinh HS yu, bi dng HS
gii, bi dng HS thc hnh gii toỏn nhanh trờn mỏy tớnh Casio hoc ụn tp
thi vo lp 10, v.v thỡ vic khai thỏc trit mt bi toỏn trong SGK l rt
thun li v cú nhiu ý ngha rt ln. Giỏo viờn cn vn dng hp lý son
dy cỏc chng trỡnh ny nhm giỳp HS phỏt huy trớ lc v phỏt trin t duy
toỏn hc mt cỏch tt nht.

GV: Trng Tn By Trng THCS Nguyn Bỏ Ngc- Thng Bỡnh
4
KHAI THC MT S BI TON SCH GIO KHOA
D. NI DUNG NGHIấN CU
I. Bài toán 1: Bài toán 32 trang 50 - SGK toán 8 tập 1:
Đố: Đố em tính nhanh đợc tổng sau:
)6)(5(
1
)5)(4(
1
)4)(3(
1
)3)(2(
1
)2)(1(
1
)1(
1
++
+
++

+
++
+
++
+
++
+
+ xxxxxxxxxxxx

Hớng dẫn:
1
11
)1(
1
+
=
+ xxxx

2
1
1
1
)2)(1(
1
+

+
=
++ xxxx

6
1
5
1
)6)(5(
1
+

+
=
++ xxxx
Suy ra tổng S =
6
11
+

xx
=
)6(
6
+xx
II. Hớng khai thác:
1 Không có thời gian và cũng không yêu cầu để giải quyết bài tập này trên lớp.
Giáo viên có thể hớng dẫn các em HSKG về nhà giải bài này nhờ tham khảo:
Bài toán 1 -1: Bài tập 28 trang 21 SBT toán 8 tập 1
a) Chứng minh:
)1(
1
1

11
+
=
+

xxxx

b) Đố em tính nhẩm đợc tổng sau:
)5)(4(
1
)4)(3(
1
)3)(2(
1
)2)(1(
1
)1(
1
++
+
++
+
++
+
++
+
+ xxxxxxxxxx
2 Còn nếu để rèn thêm cho HS kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thì
bung các mẫu ra:
Bài toán 1 -2: Rút gọn biểu thức

3011
1
209
1
127
1
65
1
23
11
222222
++
+
++
+
++
+
++
+
++
+
+ xxxxxxxxxxxx
3 Nếu muốn giúp HS vận dụng bài toán 1 vào giải phơng trình thì thêm vế
phải vào chẳng hạng nh:
Bài toán 1 -3: Giải các phơng trình
a)
)5)(4(
1
)4)(3(
1

)3)(2(
1
)2)(1(
1
)1(
1
++
+
++
+
++
+
++
+
+ xxxxxxxxxx
=
5
1
+x
(1)
K : x 0; - 1 ; -2; -3; - 4; -5 (*)
GV: Trng Tn By Trng THCS Nguyn Bỏ Ngc- Thng Bỡnh
5
KHAI THC MT S BI TON SCH GIO KHOA
b)
3
1
127
1
65

1
23
11
2222
=
++
+
++
+
++
+
+ xxxxxxxx
(2) K : x 0;-1;-2;-3;-4 (*)
Hớng giải:
a) Rút gọn vế trái nh bài toán 4 ta đợc VT =
5
11
+

xx
Do đó (1) =>
50
)5(
5
0
5
21
==
+

=
+
x
xx
x
xx
(Thỏa mãn ĐK *)
Vậy PT (1) có một nghiệm x = 5
b) Phơng trình (2) =>
3
1
4
11
=
+

xx
=> (x-2)(x+6) = 0
=> x
1
= 2; x
2
= -6 (Thỏa mãn ĐK (*) )
Vậy PT (2) có hai nghiệm x = 2; -6
4 Muốn dẫn HSG vào dạng toán cực trị hãy yêu cầu các em giải bài toán sau:
Bài toán 1 -4: Tìm GTLN của biểu thức
A =
)5)(4(
1
)4)(3(

1
)3)(2(
1
)2)(1(
1
)1(
1
++
+
++
+
++
+
++
+
+ xxxxxxxxxx
Hớng giải: Rút gọn A =
xx 5
5
2
+
Vì x
2
+ 5x = (x +
2
5
)
2

4

25

4
25
x
Nên A 5 : (- 25/4) = - 4/5. Vậy A
max
= - 4/5 tại x = -5/2
5 Tuy nhiên nếu chỉ dừng lại ở đây thì không có gì đáng nói. Chúng ta sẽ tìm
họ hàng thân thích của bài toán 4 nếu chú ý đến đặc điểm và quy luật dới đây:
Xét đặc điểm của các mẫu ở mỗi phân thức: Mỗi mẫu thức là tích của hai nhân
tử hơn kém nhau 1 đơn vị
Từ đặc điểm của mỗi phân thức trong tổng để tìm ra quy luật:
-Mỗi phân thức trong tổng bằng hiệu của hai phân thức đều có tử thức bằng
1 và mẫu thức chung là tích của hai mẫu thức thành phần (mẫu thức của phân
thức trừ và phân thức bị trừ)
-Phân thức trừ trong hiệu đứng trớc là phân thức đối của phân thức bị trừ
trong hiệu liền sau
6 Với quy luật trên GV yêu cầu HS giỏi giải:
Bài toán 1 -5: Rút gọn biểu thức sau:
)2010)(2009(
1

)3)(2(
1
)2)(1(
1
)1(
1
++

++
++
+
++
+
+ xxxxxxxx
GV: Trng Tn By Trng THCS Nguyn Bỏ Ngc- Thng Bỡnh
6
KHAI THC MT S BI TON SCH GIO KHOA
7 áp dụng quy luật trên vào thực hành trên máy tính Casio để giải:
Bài toán 1 -6: Tính giá trị biểu thức S tại x =
2010
1
S =
)2010)(2009(
1

)3)(2(
1
)2)(1(
1
)1(
1
++
++
++
+
++
+
+ xxxxxxxx

Kết quả: S =
( )
2010
2010
+xx
Tại x =
2010
1
thì S = 2009,999502
8 ứng dụng quy luật trên vào tính giá trị các biểu thức số:
Bài toán 1 -7: Tính tổng
S =
2010.2009
1

5.4
1
4.3
1
3.2
1
2.1
1
+++++
Kết quả: S = 1-
2010
2009
2010
1
=

9 Tổng quát hóa bài toán 1-3 ta có:
Bài toán 1 - 8: Tính tổng
S =
( )
1
1

5.4
1
4.3
1
3.2
1
2.1
1
+
+++++
nn
với n N
*
Kết quả: S = 1 -
11
1
+
=
+ n
n
n
10 Dùng phép tơng tự ta xét đặc điểm mẫu các phân thức: Mỗi phân thức có
tử thức bằng 1 và mẫu thức là tích của hai nhân tử hơn kém nhau 2 đơn vị

Hoặc hơn kém nhau 3; 4; 5; đơn vị để từ đó ta có các dạng bài toán khác:
Bài toán 1 - 9: Tính các tổng sau:
A =
2011.2009
1

7.5
1
5.3
1
3.1
1
++++
B =
( )( )
3212
1

7.5
1
5.3
1
3.1
1
++
++++
nn
với n N
Hớng giải:

=
3
1
1
1
2
1
3.1
1
GV: Trng Tn By Trng THCS Nguyn Bỏ Ngc- Thng Bỡnh
7
KHAI THC MT S BI TON SCH GIO KHOA






=
5
1
3
1
2
1

5.3
1







=
2011
1
2009
1
2
1
2011.2009
1
Suy ra A =
2011
1005
2011
1
1
2
1
=

B =
32
1
32
1
1
2
1
+
+
=






+

n
n
n
Bài toán 1 - 10: Tính các tổng sau:
M =
( )( )
5323

1

11.8
1
8.5
1
5.2
1
++
++++
nn
với n N
HD: Khai triển tơng tự ta có kết quả: M =
)53(2
1
53
1
2
1
3
1
+
+
=

+

n
n
n
11 Nếu tiếp tục biến đổi bằng cách thay tử của các bài toán 1-1 đến 1-5
thành những số khác 1 và tổng quát lên ta đợc những bài toán thú vị hơn .
Bài toán 1 -11: Tính tổng sau:
S =
13221
.


+
+++
kk
bb
a
bb
a
bb
a
với b
k+1
- b
k
= b và a; b ; k N*
HD: Phân tích tơng tự :

=
++ 11
11
.
kkkk
bbb
a
bb
a
v c kt qu
S =









+11
11
k
bbb

a
=









+
+
11
11
.
k
k
bb
bb
b
a
12 Nu thay i mu thc thnh tớch 3;4;5 nhõn t cỏch u nhau hay ly
tha cỏc mu thc lờn thỡ cú i quỏ khụng ? Nh quý thy cụ nhc giỳp nhộ !
Bài toán 1 - 12: ( thi HSG lp 8 gii toỏn nhanh trờn mỏy tớnh Casio ca S
GD&T Qung Nam nm hc 2008-2009)
Tớnh M =
1 1 1 1

1.2.3 2.3.4 3.4.5 2007.2008.2009

+ + + +

Gii:
a) 2 M =
2009.2008.2007
2

4.3.2
2
3.2.1
2
+++
GV: Trng Tn By Trng THCS Nguyn Bỏ Ngc- Thng Bỡnh
8
KHAI THC MT S BI TON SCH GIO KHOA
=
2009.2008
1
2
1
2009.2008
1
2008.2007
1

4.3
1
3.2
1
3.2

1
2.1
1
=






++






+







=> M = 0,249999876 =
8068144
2017035
Bài toán 1 - 13: Tớnh N =
)1()1(

1

4.3.2
1
3.2.1
1
+
+++
nnn
Hng gii:
Chỳ ý rng
)1(
1
)1(
1
)1()1(
2
+


=
+ nnnnnnn
Thỡ N =

+

)1(
1
2
1
2
1
nn
Bài toán 1 - 14: Tính
E =
( ) ( ) ( )
222
)1(
12

3.2
5
2.1
3
+
+
+++
nn
n
vi n = 1;2;3
Hớng giải:
Chỳ ý rng
( )

[ ]
( )
2
2
2
1
11
1
12
+
=
+
+
n
n
nn
n
Thỡ E = 1 -
( )
( )
( )
22
1
2
1
1
+
+
=
+ n

nn
n
13 Nu ỏp dng phng phỏp ca Bi toỏn 4-8 vo gii phng trỡnh ta cú
Bài toán 1 -15: Giải phơng trình ẩn x sau đây:
( )
2011
2009
2
1
1

10
1
6
1
3
1
=
+
++++
xx
(1) K : x 0 v x -1 (*)
Hớng giải :
Phơng trình (1) <=>
( )
2011
2009
1
2

5.4
2
4.3
2
3.2
2
=
+
++++
xx
=> 2
2011
2009
1
1
2
1
=






+

x
=> 1-
2011
2009

1
2
=
+x
=>
2011
2
1
2
=
+x
=> x = 2010 (Thỏa mãn ĐK (*) )
14 Bi toỏn 1 cú liờn quan gỡ n bt ng thc hay khụng ?
- Nu tớnh tng nhiu quỏ d nhm chỏn thỡ thay i s kt lun ca bi toỏn 1
8 quay v bt ng thc cng c
Bi toỏn 1 8/1: So sỏnh tổng S vi 1
GV: Trng Tn By Trng THCS Nguyn Bỏ Ngc- Thng Bỡnh
9
KHAI THÁC MỘT SỐ BÀI TOÁN Ở SÁCH GIÁO KHOA
S =
( )
1
1

5.4
1
4.3
1
3.2
1

2.1
1
+
+++++
nn
víi n ∈ N
*
KÕt qu¶: S = 1 -
11
1
+
=
+ n
n
n
=> S < 1
- Hoặc khai thác thêm bài toán 1-13 ta được một bài toán cũng thường làm cho
ta đau đầu nếu chủ quan không chuẩn bị trước khi lên lớp bồi dưỡng:
Bài toán 1 – 16a: Chứng minh rằng
)12()12(
1

7.5.3
1
5.3.2
1
3.1.1
1
+−
++++

nnn
<
3
2
víi n ∈ N
*
Hướng giải:
Vì
)12)(12(
1
)12()12(
1
+−
<
+− nnnnn

=>S=
)12()12(
1

7.5.3
1
5.3.2
1
3.1.1
1
+−
++++
nnn
<

)12)(12(
1

7.5
1
5.3
1
3.1
1
+−
++++
nn
= P
Mà 2P =
2
1
1
12
1
1
)12)(12(
2

7.5
2
5.3
2
3.1
2
<⇔<

+
−=
+−
++++ P
nnn

=> S <
3
2
(đpcm)
- Còn nếu chú ý rằng ∀n > 1 thì (2n-1)n(2n+1) > n(n+1)(n+2)
=>
( ) ( ) ( )( )
21
1
1212
1
++
<
+− nnnnnn
và kết hợp với bài toán 1 – 13 ta được:
Bài toán 1 – 16b: Chứng minh rằng
)12()12(
1

7.5.3
1
5.3.2
1
3.1.1

1
+−
++++
nnn
<
12
5
víi n ∈ N
*
, n >1
Hướng giải:
Vì
)2)(1(
1
)12()12(
1
++
<
+− nnnnnn

=>S =
)12()12(
1

7.5.3
1
5.3.2
1
3.1.1
1

+−
++++
nnn
<
)2)(1(
1

5.4.3
1
4.3.2
1
3.2.1
1
++
++++
nnn
= P
Mà P =
( )( )
4
1
21
1
2
1
2
1
<









++
−
nn
nên S <
12
5
(đpcm)
GV: Trương Tấn Bảy Trường THCS Nguyễn Bá Ngọc- Thăng Bình
10
KHAI THC MT S BI TON SCH GIO KHOA
1II . BI TP P DNG:
Bi toỏn 1 17:
Cho biu thc A =
1
11
+

xx
a) Tỡm KX ca A
b) Tớnh giỏ tr ca A ti x = 1; 2; 3 ;4
c) Tỡm x bit A =
30
1
d) Cho M =

1+

x
b
x
a
. Tỡm a v b khi M =
( )
1
1
+xx
Bi toỏn 1 18:
Cho cỏc biu thc:
P =
3
1
65
1
23
11
222
+
+
++
+
++
+
+ xxxxxxx
Q =
6

1
)6)(4(
2
)4)(2(
2
)2(
2
+
+
++
+
++
+
+ xxxxxxx
a) Rút gọn P và Q
b) Với giá trị nào của x thì P = Q
c) Tìm các giá trị nguyên của x để M có giá trị nguyên
Tỡm cỏch gii tng quỏt cho cỏc bi toỏn sau:
Bi toỏn 1 19:
Chứng minh rằng S =
1
!
1

!4
1
!3
1
!2
1

<++++
n
Bi toỏn 1 20: Tớnh tng
a) S =
( )
( )
2
1

5.3
4
4.2
3
3.1
2
2
222
+
+
++++
nn
n
vi n = 1; 2; 3;
b) P =
( )( )
( )( )
1212
11

9.7

5.3
7.5
4.2
5.3
3.1
+
+
++++
nn
nn
vi n = 2; 3; 4;
G ý:
a)
( )
( )
( )
( ) ( )






+
+=
+
+=
+
++
=

+
+
2
11
2
1
1
2
1
1
2
12
2
1
2
nnnnnn
nn
nn
n
b)
( )( )
( )( )






+

=
+
+
12
1
12
1
8
3
4
1
1212
11
nnnn
nn
//
GV: Trng Tn By Trng THCS Nguyn Bỏ Ngc- Thng Bỡnh
11
KHAI THÁC MỘT SỐ BÀI TOÁN Ở SÁCH GIÁO KHOA
E. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
Trong quá trình giảng dạy, luyện tập hay ôn tập cho HS thì việc khai thác
một số bài toán trong SGK hoặc hướng dẫn cho các em khai thác các bài toán
đó sẽ tạo được nguồn cảm hứng sâu sắc khi học toán. Đối với diện HS đại trà
thì hơi khó khăn nhưng đối với HSKG thì rất bổ ích. Từ một bài toán đã biết
cách giải các em có thể giải quyết hàng loạt các bài toán khác cùng “họ hàng” !
Việc khai thác một bài toán nói chung và bài toán trong SGK nói riêng cũng là
việc cần làm đối với GV toán và cũng như đối với bản thân tôi. Bởi nó giúp
cho ta nguồn tư liệu phong phú trong việc soạn giảng các chủ đề tự chọn;
chương trình phụ đạo HS yếu kém cũng như bồi dưỡng HS giỏi, v,v

Việc tìm ra quy luật hay phương pháp giải một dạng toán nào đó cũng giúp
HS và GV phát hiện cách giải các dạng toán cùng “họ” một cách nhanh chóng
gọn gàng và chính xác. Hấp dẫn hơn là tập cho HSG khai thác bài toán. Thầy –
Trò cùng khai thác bằng cách thay đổi GT và KL của bài toán, tìm bài toán
tương tự, bài toán tổng quát, v,v tất cả những điều đó không những gây cho
HS niềm đam mê học toán mà còn khiến bản thân tôi càng say mê nghiên cứu
bộ môn toán nhiều hơn
Đề tài này đã được cung cấp cho HS trong quá trình ôn tập phụ đạo-bồi
dưỡng những năm qua, làm chuyên đề báo cáo trước tổ chuyên môn ở những
năm trước, được bổ sung trong các năm gần đây và được sự thống nhất cao của
đồng nghiệp trong đơn vị.
F. KẾT LUẬN
Để khai thác một nội dung kiến thức nào đó được triệt để đòi hỏi người GV
phải có sự chuẩn bị chu đáo và kỹ càng, đồng thời phải có nguồn tư liệu đồi dào
phong phú . Việc khai thác một bài toán phải xác định nhiều hướng khác nhau,
nhiều dạng bài tập khác nhau, nhưng phải đảm bảo tính logich, tính khoa học và
tính chính xác, tránh lung tung xa rời thực tế. Cung cấp kiến thức cho đúng đối
tượng HS mới phát huy được trí lực và phát triển được tính tự giác tích cực học
tập của các em
Tuy nhiên chắc vẫn chưa hoàn thiện như mong muốn và cũng không tránh
khỏi sai sót. Kính mong quý thầy cô lãnh đạo cùng đồng nghiệp góp ý chân
thành để bổ sung cho đề tài này được phong phú hơn, hoàn thiện hơn.
G. ĐỀ NGHỊ
Bản thân tôi rất mong được học tập các đề tài SKKN loại A cấp huyện
hay cấp tỉnh của các tác giả được HĐKH cấp ngành chấm chọn hằng năm .
Mục đích là để áp dụng các đề tài đó trong quá trình dạy-học ở trường. Hơn
nữa đề tài được áp dụng rộng rãi trong đồng nghiệp thì giá trị của đề tài càng
GV: Trương Tấn Bảy Trường THCS Nguyễn Bá Ngọc- Thăng Bình
12
KHAI THÁC MỘT SỐ BÀI TOÁN Ở SÁCH GIÁO KHOA

cao. Có thể đưa lên Website của phòng GD& ĐT Thăng Bình cũng tốt hoặc
photo gởi về các trường lại càng tốt. Kính mong lãnh đạo ngành quan tâm
để mọi GV trong ngành được học hỏi thêm. Xin cảm ơn !

H. TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1.Sách giáo khoa và sách bài tập môn toán lớp 8
2.Toán nâng cao THCS
3. Báo toán học và tuổi trẻ
4.Tập san “Thế giới trong ta”
5.Tập san “Toán tuổi thơ 2”
6. Đề thi chọn HSG các tỉnh thành phố
7. Đề thi vào các trường PTTH chuyên các tỉnh – thành phố
I. MỤC LỤC
Trang
A. Đặt vấn đề 3
B. Cơ sở lý luận 4
C. Cơ sở thực tiển 4
D. Nội dung nghiên cứu 5
I. Bài toán gốc 5
II. Hướng khai thác bài toán gốc 5
III. Bài tập áp dụng 11
E. Kết quả nghiên cứu 12
F. Kết luận 12
G. Đề nghị 12
H. Tài liệu tham khảo 13
I. Mục lục 13

Thăng Bình - Tháng 03 năm 2010
GV: Trương Tấn Bảy Trường THCS Nguyễn Bá Ngọc- Thăng Bình
13