Chuyen de tim GTNNGTLN cua bieu thuc

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHUYÊN ĐỀ : TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC A. Các kiến thức thường sử dụng là: + Bất đẳng thức Côsi: “Cho hai số không âm a, b; ta có bất đẳng thức: a b  ab 2 ;. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b”..  ac  bd  + Bất đẳng thức:. +. 2.  a 2  b 2   c 2  d 2 . (BĐT: Bunhiacopxki);. a b  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi c d . a  b a b. ; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab. 0.. + Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Nếu. y a   f ( x). 2. thì min y = a khi f(x) = 0. 2. Nếu y a   f ( x) thì max y = a khi f(x) = 0. + Phương pháp “tìm miền giá trị” (cách 2 ví dụ 1 dạng 2). C. CÁC DẠNG TOÁN VÀ CÁCH GIẢI  Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT ĐA THỨC Bài toán 1: Tìm GTNN của các biểu thức: 2 a) A 4 x  4 x 11. b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) 2 2 c) C x  2 x  y  4 y  7. Giải: 2. 2. 2. a) A 4 x  4 x 11 4 x  4 x  1 10  2 x  1  10 10  Min A = 10 khi. x . 1 2.. b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3) = (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x)2 – 36  -36  Min B = -36 khi x = 0 hoặc x = -5. 2 2 c) C x  2 x  y  4 y  7 = (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) + 2 = (x – 1)2 + (y – 2)2 + 2  2.  Min C = 2 khi x = 1; y = 2.. Bài toán 2: Tìm GTLN của các biểu thức: a) A = 5 – 8x – x2 b) B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Giải: a) A = 5 – 8x – x2 = -(x2 + 8x + 16) + 21 = -(x + 4)2 + 21  21  Max A = 21 khi x = -4.. b) B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y = -(x2 – 2x + 1) – (4y2 + 4y + 1) + 7 = -(x – 1)2 – (2y + 1)2 + 7  7  Max B = 7 khi x = 1,. y . 1 2.. Bài toán 3: Tìm GTNN của: a). M x 1  x 2  x 3  x 4. b). N  2 x  1  3 2 x  1  2. 2. Giải: a). M x 1  x 2  x 3  x 4. Ta có:. x  1  x  4  x  1  4  x  x  1  4  x 3. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1)(4 – x)  0 hay 1  x 4 x  2  x  3  x  2  3  x  x  2  3  x 1. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 2)(3 – x)  0 hay 2 x 3 Vậy Min M = 3 + 1 = 4 khi 2 x 3 . 2. b). 2. N  2 x  1  3 2 x  1  2  2 x  1  3 2 x  1  2. Đặt t  2 x  1 thì t  0 1 1  N  4 4. Do đó N = t2 – 3t + 2 = 3 3 t  0  t  2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 3  2x  1   3 3 2  t   2x  1    3 2 2  1 2 x  1  N   2 4 khi Do đó (t  32 ) 2 . Vậy min. N . 5   x 4   x  1  4. 1 5 1  x x  4 4 hay 4.. Bài toán 4: Cho x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức M = x3 + y3. Giải:.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> M = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = x2 - xy + y2 x2 y 2 x2 y2 1 2 y   x     xy   (x  y 2 )     2 2 2 2 2 2  2 1  M  ( x2  y 2 ) 2. 2. Ngoài ra: x + y = 1  x2 + y2 + 2xy = 1  2(x2 + y2) – (x – y)2 = 1 => 2(x2 + y2) ≥ 1 1 1 1 x2  y 2   x  y  2 và 2 2 Do đó 1 1 1 1 1 M  (x2  y 2 ) ( x2  y 2 )   M  .  2 2 2 2 4 Ta có: và 1 1 M  x y  4 và dấu “=” xảy ra 2 Do đó 1 1 M   x y  4 2 Vậy GTNN của x2  y2 . Bài toán 5: Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện: (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức x2 + y2. Giải: (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0  [(x2 + 1) – y2]2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0  x4 + 2x2 + 1 + y4 – 2y2(x2 + 1) + 4x2y2 – x2 – y2 = 0  x4 + y4 + 2x2y2 + x2 – 3y2 + 1 = 0  x4 + y4 + 2x2y2 - 3x2 – 3y2 + 1 = -4x2  (x2+y2)2-3(x2+y2)+1=-4x2. Đặt t = x2 + y2. Ta có: t2 – 3t + 1 = -4x2 Suy ra:. t2 – 3t + 1 ≤ 0. 3 9 5  t 2  2. .t   0 2 4 4 2. 5 3 5  3  t     t   4 2 2  2 5 3 5 t   2 2 2 3 5 3 5  t  2 2 .

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Vì t = x2 + y2 nên : 3 5 GTLN của x2 + y2 = 2 3 5 GTNN của x2 + y2 = 2. Bài toán 6: Cho 0 ≤ a, b, c ≤ 1. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: P = a + b + c – ab – bc – ca. Giải: Ta có:. P = a + b + c – ab – bc – ca = (a – ab) + (b - bc) + (c – ca) = a(1 – b) + b(1 – c) + c(1 – a) 0 (vì 0 a, b, c 1 ) Dấu “=” có thể xảy ra chẳng hạn: a = b = c = 0. Vậy GTNN của P = 0 Theo giả thiết ta có: 1 – a  0; 1 – b  0; 1 – c  0;  (1-a)(1-b)(1-c) = 1 + ab + bc + ca – a – b – c – abc  0  P = a + b + c – ab – bc – ac 1  abc 1  0;1 Dấu “=” có thể xảy ra chẳng hạn: a = 1; b = 0; c tùy ý  . Vậy GTLN của P = 1. Bài toán 7: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = 1. Tìm GTLN và GTNN của x + y. Giải: Ta có: (x + y)2 + (x – y)2  (x + y)2  2(x2 + y2)  (x + y)2 Mà. x2 + y2 = 1  (x + y)2  2  x  y  2   2 x  y  2. - Xét x  y  2  x  y 2   x y  2 Dấu “=” xảy ra  x  y  2. - Xét x  y  2  x  y  2   x y  2 Dấu “=” xảy ra  x  y  2.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Vậy x + y đạt GTNN là  2.  x y .  2 2 .. Bài toán 8: Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 + z2  27. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: x + y + z + xy + yz + zx. Giải: Ta có: (x – y)2 + (x – z)2 + (y – z)2  0  2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx  0  (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 +2(xy + yz + zx)  3(x2 + y2 + z2)  81  x + y + z  9 (1). Mà xy + yz + zx  x2 + y2 + z2  27 (2) Từ (1) và (2) => x + y + z + xy + yz + zx  36. Vậy max P = 36 khi x = y = z = 3. Đặt A = x + y + z và B = x2 + y2 + z2 A2  B ( A 1) 2 B  1 B 1    2 2 2 2 B 1  2  -14  P  -14 Vì B  27   x  y  z  1  2 2 2 Vậy min P = -14 khi  x  y  z 27  P A . Hay x  13; y  13; z  1 . Bài toán 9: Giả sử x, y là các số dương thỏa mãn đẳng thức: x + y = 10 . Tìm giá trị của x và y để biểu thức: P = (x4 + 1)(y4 + 1) đạt GTNN. Tìm GTNN ấy. Giải: Ta có: P = (x4 + 1)(y4 + 1) = (x4 + y4) + (xy)4 + 1 Đặt t = xy thì: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = 10 – 2t x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (10 – 2t)2 – 2t2 = 2t2 – 40t + 100 Do đó:. P = 2t2 – 40t + 100 + t4 + 1 = t4 + 2t2 – 40t + 101 = (t4 – 8t2 + 16) + 10(t2 – 4t + 4) + 45 = (t2 – 4)2 + 10(t – 2)2 + 45.  P 45 và dấu “=” xảy ra  x + y =. 10 và xy = 2.. Vậy GTNN của P = 45  x + y = 10 và xy = 2..

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Bài toán 10: Cho x + y = 2. Tìm GTNN của biểu thức: A = x2 + y2. Giải: Ta có: x + y = 2  y = 2 – x Do đó: A = x2 + y2 = x2 + (2 – x)2 = x2 + 4 – 4x + x2 = 2x2 – 4x + 4 = 2( x2 – 2x) + 4 = 2(x – 1)2 + 2  2 Vậy GTNN của A là 2 tại x = y = 1.  Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT PHÂN THỨC Bài toán 1: Tìm GTLN và GTNN của:. y. 4x  3 x2 1 .. Giải: * Cách 1: y. 4x  3  ax 2  4 x  3  a  a  x2 1 x2 1. 2 Ta cần tìm a để  ax  4 x  3  a là bình phương của nhị thức..  a  1  ' 4  a(3  a ) 0    a 4 Ta phải có:. - Với a = -1 ta có: y. 4x  3 x2  4x  4 ( x  2) 2  1   1  x 1 x 2 1 x2 1.  y  1. Dấu “=” xảy ra khi x = -2.. Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2. - Với a = 4 ta có: 4x  3 -4x 2  4 x  1 (2 x  1) 2 y 4  4  4 x 1 x2 1 x2 1 1 Dấu “=” xảy ra khi x = 2 . 1 Vậy GTLN của y = 4 khi x = 2 .. * Cách 2:.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Vì x2 + 1 0 nên:. y. 4x  3  yx 2  4 x  y  3 0 2 x 1 (1). y là một giá trị của hàm số  (1) có nghiệm - Nếu y = 0 thì (1).  x . 3 4. - Nếu y 0 thì (1) có nghiệm.   ' 4  y ( y  3) 0  ( y  1)( y  4) 0  y  1 0  y  1 0    y  4 0 hoặc  y  4 0   1  y 4. Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2. 1 Vậy GTLN của y = 4 khi x = 2 .. Bài toán 2: Tìm GTLN và GTNN của:. A. x 2  x 1 x2  x 1 .. Giải: Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình ẩn x sau đây có nghiệm: a. x 2  x 1 x 2  x  1 (1) 2. 1 3  1 3 1   x    0 Do x2 + x + 1 = x2 + 2. 2 .x + 4 4  2  4. Nên (1)  ax2 + ax + a = x2 – x + 1  (a – 1)x2 + (a + 1)x + (a – 1) = 0 (2)  Trường hợp 1: Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0.  Trường hợp 2: Nếu a  1 thì để (2) có nghiệm, điều kiện cần và đủ là  0 , tức là: (a  1) 2  4( a  1)(a  1) 0  (a  1  2a  2)( a  1  2 a  2) 0 1  (3a  1)(a  3) 0  a 3( a 1) 3  (a  1) a 1 1 x  a 2(a  1) 2(1  a ) 3 hoặc a = 3 thì nghiệm của (2) là Với 1 a 3 thì x = 1 Với. Với a = 3 thì x = -1 Kết luận: gộp cả 2 trường hợp 1 và 2, ta có: GTNN của. A. 1 3 khi và chỉ khi x = 1. GTLN của A = 3 khi và chỉ khi x = -1.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Bài toán 3: a) Cho a, b là các số dương thỏa mãn ab = 1. Tìm GTNN của biểu thức: A ( a  b  1)( a 2  b 2 ) . 4 a b .. 1 1 1   b) Cho m, n là các số nguyên thỏa 2m n 3 . Tìm GTLN của B = mn.. Giải: a) Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a2 và b2 a 2  b 2 2 a 2b 2 2ab 2 (vì ab = 1) 4 4 4  A (a  b  1)(a 2  b 2 )  2(a  b  1)  2  (a  b  )  ( a  b) a b a b a b 4 Cũng theo bất đẳng thức côsi cho hai số dương a + b và a  b . 4 4 2 (a  b). 4 a  b a  b Ta có: (a + b) +. Mặt khác: a  b 2 ab 2 Suy ra:. A 2  ( a  b . 4 )  ( a  b) 2  4  2 8 a b. Với a = b = 1 thì A = 8 Vậy GTNN của A là 8 khi a = b = 1. 1 1 1   b) Vì 2m n 3 nên trong hai số m, n phải có ít nhất một số dương. Nếu có một trong. hai số là âm thì B < 0. Vì ta tìm GTLN của B = mn nên ta chỉ xét trường hợp cả hai số m, n cùng dương. 1 1 1    3(2m  n) 2mn  (2m  3)(n  3) 9 Ta có: 2m n 3. Vì m, n  N* nên n – 3  -2 và 2m – 3  -1. Ta có: 9 =1.9 = 3.3 = 9.1; Do đó xảy ra: 2m  3 1   n  3  9  + 2m  3 1   n  3  3  + 2m  3 9   + n  3 1.  m 2   n 12 và B = mn = 2.12 = 24 m 3  n 6 và B = mn = 3.6 = 18.  m 6  n 4 và B = mn = 6.4 = 24  m 2 m 6   Vậy GTLN của B = 24 khi n 12 hay n 4.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Bài toán 4: Giả sử x và y là hai số thỏa mãn x > y và xy = 1. Tìm GTNN của biểu thức:. A. x2  y2 x y .. Giải: 2. Ta có thể viết:. A. 2. x y x  2 xy  y  2 xy ( x  y ) 2  2 xy   x y x y x y. Do x > y và xy = 1 nên:. 2. A. 2. ( x  y ) 2  2 xy 2 x y 2 x y x  y     x y x y 2 x y 2. Vì x > y  x – y > 0 nên áp dụng bất đẳng thức côsi với 2 số không âm, ta có: x y 2 x y .  2 x y 2 x y 2    ( x  y ) 2 4  ( x  y ) 2 2 x  y Dấu “=” xảy ra (Do x – y > 0) A 2.. Từ đó:. A 2 . 2 3 2  x  y 2   xy 1. Vậy GTNN của A là 3.  x 1  2  x 1  2    y  1  2 hay  y  1  2 Thỏa điều kiện xy = 1 1 y 2 x  x 1 . Bài toán 5: Tìm GTLN của hàm số:. Giải: 1 1 y 2  2 x  x 1  1 3 x   2 4 . Ta có thể viết: 2. 1 3 3  4 1 y  x  x    3 . Dấu “=” xảy ra 2. Vì  2  4 4 . Do đó ta có: 4 1 y x 3 tại 2 Vậy: GTLN của 1 f (t ) t  4t . Bài toán 6: Cho t > 0. Tìm GTNN của biểu thức:. Giải: 2. Ta có thể viết:. f (t ) t . 1 4t  1 (2t  1) 2  4t (2t  1) 2    1 4t 4t 4t 4t. Vì t > 0 nên ta có: f (t ) 1 Dấu “=” xảy ra.  2t  1 0  t . 1 2.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Vậy f(t) đạt GTNN là 1 tại. t. 1 2.. Bài toán 7: Tìm GTNN của biểu thức:. g (t ) . t2  1 t 2 1 .. Giải: 2. Ta có thể viết:. g (t ) . t 1 2 1  2 2 t 1 t 1. 2 g(t) đạt GTNN khi biểu thức t  1 đạt GTLN. Nghĩa là t2 + 1 đạt GTNN 2. Ta có: t2 + 1  1  min (t2 + 1) = 1 tại t = 0  min g(t) = 1 – 2 = -1 Vậy GTNN của g(x) là -1 tại t = 0. Bài toán 8: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện: xyz = 1. Tìm GTNN của E. biểu thức:. 1 1 1  3  3 x ( y  z ) y ( z  x) z ( x  y) . 3. Giải: 1 1 1 1 a  ; b  ; c   abc  1 x y z xyz Đặt 1 1  a  b  x  y (a  b).xy  x  y c (a  b) x y Do đó:. Tương tự:. y + z = a(b + c) z + x = b(c + a). 1 1 1 1 1 1  E 3.  3.  3. x ( y  z ) y ( z  x) z ( x  y ) 1 1 1 a2 b2 c2  b3 .  c3 .    a(b  c) b( c  a ) c ( a  b) b  c c  a a  b a b c 3    Ta có: b  c c  a a  b 2 (1) a 3 .. Thật vậy: Đặt b + c = x; c + a = y; a + b = z x yz 2 yz x zx y x y z  a ;b  ;c  2 2 2 a b c yz x zx y x y z VT       b c c  a a b 2x 2y 2z  a b c . Khi đó,. 1 y x 1 z x 1 z y 3 3 3              1  1  1   2 x y 2 x z  2 y z  2 2 2.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Nhân hai vế (1) với a + b + c > 0. Ta có: a ( a  b  c ) b( a  b  c ) c ( a  b  c ) 3    (a  b  c) bc ca a b 2 2 2 2 3 a b c a  b  c 3 abc 3 3        E b c c  a a b 2 2 2 2 3  GTNN của E là 2 khi a = b = c = 1.. Bài toán 9: Cho x, y là các số thực thỏa mãn: 4x2 + y2 = 1. (*).. 2x  3y a 2x  y  2 . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức:. Giải: 2x  3y a 2x  y  2 Từ.  a(2x+y+z) = 2x+3y  2ax + ay + 2a – 2x +3y = 0  2(a – 1)x + (a – 3)y = -2a (1). Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số (2x; y) và (a – 1; a – 3) Ta có: 4a2 = [2x(a-1)+y(a-3)]2 ≤ (4x2+y2).[(a-1)2+(a-3)2] =>. 4a 2 ( a  1) 2  (a  3) 2 (vì 4x2+y2 = 1). 2 2 2 2 2 Do đó ta có: 4a (a  1)  (a  3) a  2a  1  a  6a  9.  2a 2  8a  10 0  a 2  4a  5 0 a  5 0  (a  1)(a  5) 0   a  1 0 (Vì a + 5 > a – 1)  1 a 5. * Thay a = 1 vào (1) ta được: -2y = -2  y = 1 Thay y = 1 vào (*) ta có: x = 0  (x; y) = (0;1) * Thay a = -5 vào (1) ta được: 2(-5 – 1)x + (-5 – 3)y = -2(-5)   12 x  8 y 10  6 x  4 y  5  y .  6x  5 4. 2.   6x  5  4x    1  4  2. Thay vào (*) ta được:.  100 x 2  60 x  9 0  x . Vậy GTLN của a là 1 khi x = 0; y = 1. GTNN của a là -5 khi. x . 3 4 ; y  10 5.. 3 4  ( x; y )   3 ;  4   y     10 5  10 5.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Bài toán 10: Giả sử x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện: x + y = 1. Hãy tìm gái trị nhỏ nhất cảu biểu thức: 2. 1  1   x    y   y M =  x . 2. Giải: 2. 2. 1  1   x    y   y Ta có: M =  x   1 1 x2  2  2  y 2  2  2 x y =  x2  y 2 1  4   x 2  y 2   1  2 2  2 2 x y   = 4 + x 2 + y2 + x y. Vì x, y > 0 nên ta có thể viết:. . x. y. . 2. 0  x  y 2 xy. 1 1 2  2 2 16 x y xy Mà x + y = 1 nên 1 (1) 1 x y  2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 xy . Ngoài ra ta cũng có: ( x  y ) 2 0  x 2  y 2 2 xy  2( x 2  y 2 ) 2 xy  x 2  y 2  2( x 2  y 2 ) ( x  y )2  2( x 2  y 2 ) 1 (vì x + y = 1) 1  x2  y2  2 (2) 1 x y  2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi. Từ (1) và (2) cho ta: M 4  ( x 2  y 2 )(1 . Do đó:. M. 1 1 25 ) 4  (1 16)  2 x y 2 2 2. 25 2. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi đồng thời ở (1) và (2) cùng xảy ra dấu “=” nghĩa là khi x y . 1 2. Vậy GTNN của. M. 25 1 x y  2 khi và chỉ khi 2..

<span class='text_page_counter'>(13)</span> * Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO CÓ CHỨA CĂN THỨC. Bài toán 1: Tìm GTLN của hàm số: y  x  2  4  x . Giải: * Cách 1:  x  2 0  2 x 4(*)  4  x  0  Điều kiện:. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ac + bd)2  (a2 + b2)(c2 + d2) a b  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi c d .. Chọn a  x  2; c 1; b  4  x ; d 1 với 2 x 4 Ta có: 2.  x  2   y 2   x  2    4  x   .2  y 2 4  y 2. . y2 . x  2  4 x. . . 2.  . 2 4  x  .  12  12  . . Vì y > 0 nên ta có: 0  y 2 Dấu “=” xảy ra  x  2  4  x  x  2 4  x  x 3 (Thỏa mãn (*)) Vậy GTLN của y là 2 tại x = 3. * Cách 2: Ta có: y  x  2  4  x  x  2 0  2  x 4  Điều kiện: 4  x 0. Vì y > 0 nên y đạt GTLN khi và chỉ khi y2 đạt GTLN. 2 2 Ta có: y x  2  4  x  2 ( x  2)(4  x)  y 2  2 ( x  2)(4  x).  x  2 0 2  x 4   4  x 0 nên áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm Do 2 ( x  2)(4  x) ( x  2)  (4  x) 2. cho ta:. 2 Do đó y 2  2 4. Dấu “=” xảy ra  x  2 4  x  x 3 (thỏa mãn điều kiện). Vậy GTLN của hàm số y là 2 tại x = 3. Bài toán 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y 3 x  1  4 5  x (1 x 5) . Giải:.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> a) GTLN: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số: (3; 4) và ( ( x  1; 5  x ) ta có: y 2 (3. x  1  4. 5  x ) 2 (32  4 2 ).  . . 2.  . x 1 . 2 5  x  100 . . 2 <=> y 100. => y 10 Dấu “=” xảy ra <=. x 1  3. 5 x x 1 5 x  16 4 hay 9. 61 => x = 25 (thỏa mãn điều kiện) 61 Vậy GTLN của y là10 khi x = 25. * b) Gía trị nhỏ nhất: Ta có: y = 3 x  1  4 5  x 3 x  1  3 5  x  5  x =. 3. . . x 1 5 x  5 x.  x  1  5  x  Đặt: A = x  1  5  x thì t2 = 4 + 2. 4. => A 2 và dấu “=” xảy ra khi x = 1 hoặc x = 5 Vậy y 3 . 2 + 0 = 6 Dấu “=” xảy ra khi x = 5 Do đó GTNN của y là 6 khi x = 5 Bài toán 3: GTNN của y là 6 khi x = 5 Tìm GTNN của biểu thức: M =.  x  1994 . 2.  ( x  1995) 2. Giải:.  x  1994  M=. 2.  ( x  1995) 2. Áp dụng bất đẳng thức: M=. =. x  1994  x  1995. a  b a b. ta có:. x  1994  x  1995  x  1994  1995  x. => M.  x  1994  1995  x 1. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1994) . (1995 – x)  0 <=> 1994 x 1995 Vậy GTNN của M = 1  1994 x 1995.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Bài toán 4: 2 Tìm GTNN của B = 3a + 4 1  a với -1 a 1. Giải: 3 16 2 1  a 2 5  a  5   1  a  5 25 B = 3a + 4. Và áp dụng bất đẳng thức Cô si với hai số không âm cho ta 2.  3 16 2 a 2  1 a   3 16 2 5 5  a  5  1  a  5    5 25 5 25 2 2 2 2  9  25a  41  25a  5   5 2 25  . => B. => Do đó B 5 và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi. 3   a  5  3  16 1  a 2  25 <=> a = 5 3 Vậy GTNN của B = 5 <=> a = 5. Bài toán 5: Tìm GTNN của biểu thức: 3 2 A = 2  2x  x  7. Giải: 2 x  x  7 0    x  2 x  1  8 0 2. Điều kiện:. 2. 2. <=> -(x-1) + 8 0   x  1 8 2.   2 2 x  1 2 2  1  2 2  x 2 2  1. Với điều kiện này ta viết: 2. 2 x  x 2  7   x  1  8 8  2 x  x 2  7  8 2 2. 2 x  x 2  7 2  2 2 2. => 2 +. . Do đó: 1 2  2 x  x2  7. . 1 2. . . 2 1. . 21 2. . 2 1.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Vậy A. 3 . 21 2 và dấu “=” xảy ra <=> x -1 = 0. <=> x = 1 (thỏa mãn điều kiện) 3 Vậy GTNN của A = 2. . . 2  1  x 1. Bài toán 6: 5  3x 2 Tìm GTNN của biểu thức: A = 1  x. Giải: Điều kiện: 1 – x2 > 0 <=> x2 < 1 <=> - 1 < x < 1 => A > 0 => GTNN của A  A2 đạt GTNN..  5  3x  Ta có: A2 =. . 1  x2. 2. . 2. 2. 25  30 x  9 x 2  3  5 x     16 16 1  x2 1  x2. Vậy GTNN của A = 4 khi. x. 3 5. Bài toán 7: Cho x > 0 ; y = 0 thỏa mãn x + y 1 Tìm GTNN của biểu thức: A =. x  1  x2. Giải: Điều kiện: 1 – x2 0   1 x 1 Áp dụng bất đẳng thức Cô si hai số: x2 0 và 1 – x2 0 Ta có: x2 + 1 – x2 <=>. 1. 2 x 2  1  x 2   1 2 x  1  x 2. 2 A  A . 1 2. 1 2  2  Vậy GTLN của A = 2 khi x = 2 hay x = 2. Bài toán 8: Tìm GTLN của biểu thức: y =. x  1996  1998  x. Giải: Biểu thức có nghĩa khi 1996 x 1998 Vì y 0 với mọi x thỏa mãn điều kiện 1996 x 1998 Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> 2.  x  1996   1998  x  ( x  1996)  (1998 . x) 2. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x – 1996 = 1998 – x <=> x = 1997 Do đó y2 4  y 2 Vậy GTLN của y là 2 khi x = 1997 Bài toán 9: 2 1  x Cho 0  x 1 . Tìm GTLN của biểu thức y = x +. Giải: Ta có:. y x  2  1  x . . =x+2. 1 1 x 2. Vì 0 x 1 nên 1 – x 0 1 Áp dụng bất đẳng thức Cô si đối với 2 số: 2 và (1 – x) cho ta: 1 1 3 y x  2   1  x  x    1  x   2 2 2 1 1 1  x  x  2 Dấu “=” xảy ra <=> 2 3 1 Vậy GTLN của y là 2 tại x = 2. Bài toán 10: Cho M = a  3  4 a  1  a  15  8 a  1 Tìm TGNN của M Giải: M = a  3  4 a  1  a  15  8 a  1 = a  1  4 a  1  4  a  1  8 a  1  16. . a 1 2. . 2. . . a 1 4. . 2. = Điều kiện để M xác định là a – 1 0  a 1 M  a 1 2  a 1 4. Ta có: Đặt x = a  1 điều kiện x 0 Do đó: M = x  2  x  4 Ta xét ba trường hợp sau:. x  2   x  2  2  x 1) Khi x 2 thì. Và. x  4   x  4  4  x.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> => M = 2 – x + 4 – x = 6 – 2x 6  2.2 2 Vậy x < 2 thì M 2 2) Khi x 4 thì x  2  x  2 và ¿ x-4 ¿ =x-4 => M = x  2  x  4 2 x  6 2 4  6 2 Vậy x > 4 thì M 2 3) Khi 2 < x < 4 thì. x  2 x  2. và. x  4 4  x. => M = x – 2 + 4 – x = 2 (không phụ thuộc vào x) Trong trường hợp này thì: 2  a  1  4 <=> 4 a  1 16 <=> 5 a 17 Cả ba trường hợp cho ta kết luận: GTNN của M = 2 tương ứng với: 5 a 17 D. CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức: A = (2x – 3)2 – 7 với x  1 hoặc x 3 . Gợi ý: - Xét 2 trường hợp: x ≥ 3 và x ≤ -1 - Kết luận: Min A = 2 <=> x = 3 3 Chú ý: Mặc dù A = (2x – 3) – 7  7 . Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi x = 2 nhưng 2. giá trị không thỏa mãn x  1 , không thỏa mãn x 3 . Do đó không thể kết luận được GTNN của A bằng – 7. Bài 2: Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình: x2 – (2m – 1) x + (m – 2) = 0 2 2 Tìm các giá trị của m để x1  x2 có giá trị nhỏ nhất. Gợi ý:  = 4(m - 1 )2 + 5 > 0. Phương trình đã cho có nghiệm với mọi m theo hệ thức Vi-ét,. ta có:.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> x12  x22 ( x1  x2 ) 2  2 x1 x2 (2m  1) 2  2(m  2) 4m 2  6m  5 2. 3  11 11   2m     2 4 4 = 3  x12  x22  114 => Min ( với m = 4. Bài toán 3: Cho x, y là hai số thỏa mãn: x + 2y = 3. Tìm GTNN của E = x2 + 2y2 Gợi ý: Rút x theo y và thế vào E Bài toán 4: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: A = x2 + y2 Biết rằng x và y là các số thực thỏa mãn: x2 + y2 – xy = 4 Gợi ý: Từ x2 + y2 – xy = 4 <=> 2x2 + 2y2 – 2xy = 8 <=> A + (x – y)2 = 8 <=> Max A = 8 khi x = y Mặt khác:. 2x2 + 2y2 = 8 + 2xy. <=> 3A = 8 + (x + y)2 8 8 8   => A 3 min A = 3 khi x = - y. Bài toán 5: Cho x, y thỏa mãn: x2 + 4y2 = 25. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: M = x + 2y. Giải: Áp dụng bất đẳng thức: Bunhiacôpxki 2 2 (x +2y)2 ( x  4 y ) (12 + 12) = 50. <=> x  2 y  50   50 M  50 5 5 ;y 2 2 Vậy Max M = 50 khi x = 2 5 5 Min M = -5 2 khi x = - 2 ; y = - 2 2. Bài tóan 6:.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Cho x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện: xy = 1. Tìm GTLN của biểu thức: x y  2 2 4 A= x y x y 4. Gợi ý: 4 2 2 Từ (x2 – y)2 0  x  y 2 x y. x x 1  2  2 => x  y 2 x y 2 y 1  4 2 y x 2 4. Tương tự:.  x2  y  2  y  x  x  y 1  xy 1 => A 1 => Max A = 1 khi . Bài tóan 7: Tìm GTNN của biểu thức: A=. . . . x  2 1  x 1  x  2 1 . x 1. . Gợi ý: B=. x 1 1  1 . x  1 . Min B = 2 khi - 1 x 0. Bài toán 8: Tìm GTNN của biểu thức: B = (x – a )2 + (x – b)2 + (x – c)2 với a, b, c cho trước. Gợi ý: 2.  a  b  c a b c   2 2 2 3.  x    a b c   3 3  Biểu diễn B =   a  b  c => GTNN của B = (a2 + b2 + c2) -. 3. Bài toán 9: Tìm GTNN của biểu thức: P = x2 – 2xy + 6y2 – 12x + 3y + 45 Gợi ý: Biểu diễn P = (x – 6 – y)2 + 5(y – 1)2 + 4 Vậy Min P = 4 khi y = 1 ; x = 7 Bài toán 10: Tìm GTLN của biểu thức: E = – x2 + 2xy – 4y2 + 2x + 10y – 3 Gợi ý:. 2. 2.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> Biểu diễn E = 10 – (x – y – 1)2 – 3 (y – 2)2 => GTLN của E = 10  y = 2 ; x = 3 Bài toán 11: Tìm GTLN của biểu thức: P =. 2 x  4 y  5 z. Biết x, y, z là các biến thỏa mãn : x2 + y2 + z2 = 169 Gợi ý: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki. Max P = 65 khi. x y z = = ⇔ 2 4 √5 26 x= 5 52 5 ¿ y= ❑ ❑ 13 √ 5 ¿z= 5 {}{|} {}. Bài toán 12: Tìm GTNN của biểu thức sau: x2 1 a) A = x  2 8 2 b) B = 3x  2 x2  1 2 c) C = x  1. Với x 0 Với mọi x Với mọi x. Gợi ý: a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ta: 5  4 2 5  4 A = (x + 2) + x  2 8 1 1  4  ) 2 2 b) B = 3x  2 (vì 3x  2 2 2 2x  1 2  1  x 1 c) C = Min C = - 1 khi x = 0. Bài toán 13: x 2  2 x  2000 ;( x 0) x2 Tìm GTNN của biểu thức A =. Gợi ý: 2000 x 2  2 2000 x  20002 ( x  2000) 2  1999 x 2  2000 x 2 2000 x 2 A=.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> ( x  2000)2 1999 1999   2 2000 2000 = 2000 x 1999 Vậy Min A = 2000 Khi x = 2000. Bài toán 14: Tìm GTNN của biểu thức: 4 x 4  16 x3  56 x 2  80 x  356 x2  2x  5 P=. Gợi ý: Biểu diễn P = 4. ( x 2  2 x  5) . 256 64 x  2x  5 (áp dụng BĐT Côsi) 2. => Min P = 64 khi x = 1 hoặc x = -3 Bài toán 15: x2  4 x  4 x Tìm GTNN của A = x2 B = x 1. với x > 0 với x > 1. 2. x  x2. C=. x2  x 1.  1 (1  x)  1   x  D= x 5  E = 1 x x x 2  F = 2 x 1. với x > 0 với 0 < x < 1 với x > 1. Gợi ý: 4 4  4 2 x   4 8 x A = x+ x (vì x > 0). => Min A = 8 khi x = 2 x2  1 1 1 2  ( x  1)  2  2 4 x 1 B = x 1 (vì x > 1). => Min B = 4 <=> x = 2 ( x 2  x  1)  1. C=. x2  x 1. . 2  x2  x 1 x2  x 1. 2. 1  1 4  1   2 x .2. x x   D = (1 + x) (vì x > 0).

<span class='text_page_counter'>(23)</span> 51 x x 5  5x  5x x x 51 x     5 2   5 2 5  5 x 1 x x 1 x x E = 1 x x  11 2 x 1 2 1 x 1 2 1     2   x 1 2 x 1 2 2 x 1 2 F= 2 1 3 2  2 = 2. 3 => Min F = 2 khi x = 3.. Bài 16: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: 8 x 2  6 xy 2 2 P= x y. Gợi ý: ( y  3x ) 2  1  1 2 2 x  y P=9( x  3 y)2 9 2 2 P=9- x y. Bài 17: Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x + y = 10 1 1  Tìm GTNN của biểu thức S = x y x y 10 1 1  + x(10  x) Gợi ý: S = x y = xy. S có GTNN <=> x(10-x) có GTLN <=> x = 5. 2 => GTNN của S = 5 khi x = y = 5.. Bài 18: Tìm GTNN của biểu thức: 2 2 E = x  x 1  x  x 1. Gợi ý: Ta có E > 0 với mọi x 4 2 Xét E2 = 2 (x2 + 1 + x  x  1) 4. => Min E = 2 khi x = 0 Bài 19: Cho a và b là hai số thỏa mãn: a 3 ; a + b 5 Tìm GTNN của biểu thức S = a2 + b2 Gợi ý: a+ b 5  2a  2b 10  3a  2b 13 (vì a 3) 2. => 13. 2.  3a  2b  13  a 2  b 2 .

<span class='text_page_counter'>(24)</span> => Min S = 13 Bài 20: Cho phương trình: x2 - 2mx – 3m2 + 4m – 2 = 0 Tìm m để cho. x1  x2. đạt GTNN.. Gợi ý:  ' (2m  1) 2  1  0  phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x ; x . 1 2. Theo. định lý vi-ét ta có:  x1  x2 2m  2  x1.x2  3m  4m  2 2 x1  x2  4m  2   4  4 2. Do đó. GTNN của. x1  x2. m R. 1 là 2 khi m = 2. Bài 21: Tìm giá trị nhỏ nhất của: y=. x  1  x  2  ...  x  1998. Gợi ý: y= Ta có:.  1x  1  x  1998    x  2  x  1997  + …+  x  998  x  999 . x  1  x  1998.  1;1998 nhỏ nhất bằng 1997 khi x . x  2  x  1997.  2;1997  nhỏ nhất bằng 1995 khi x . x  998  x  1999.  999;1000 nhỏ nhất bằng 1 khi x . Vậy y đạt GTNN bằng 1 + 3 + …+ 1997 Số các số hạng của 1 + 3 + … + 1997 là (1997 – 1) : 2 + 1 = 999 Vậy Min y = 9992 khi 999  x 1000 Bài 22: Cho biểu thức: M = x2 + y2 + 2z2 + t2 Với x, y, z, t là các số nguyên không âm , tìm gia strị nhỏ nhất của M và các giá trị tương ứng của x, y, z, t. Biết rằng:  x 2  y 2  t 2 21  2 2 2  x  3 y  4 z 101. Gợi ý: Theo giả thiết:. x2 – y2 + t2 = 21. (1) (2).

<span class='text_page_counter'>(25)</span> x2 + 3y2 + 4z2 = 101 => 2x2 + 2y2 + 4z2 + t2 = 122 => 2M = 122 + t2 Do đó 2M 122  M 61 Vậy Min M = 61 khi t = 0 Từ (1) => x > y 0  x  y  x  y 0 Do đó: (x + y )(x – y) = 21.1 = 7.3 2 Từ (2) => 3y2 101  y 33  0  y 5. Ta chọn x = 5 ; y = 2 => z = 4 Vậy Min M = 61 tại x = 5 ; y = 2 ; z = 4; t = 0 Bài 23: Cho phương trình: x4 + 2x2 +2ax – (a – 1)2 = 0. (1). Tìm giá trị của a để nghiệm của phương trình đó: a) Đạt GTNN. b) Đạt gía trị lớn nhất. Gợi ý: Gọi m là nghiệm của phương trình (1) thì: m4 + 2m2 + 2am + a2 + 2a + 1 = 0 (2) Viết (2) dưới dạng phương trình bậc hai ẩn a. a2 + 2 (m + 1) a + (m4 + 2m2 + 1) = 0 ' Để tồn tại a thì  0. Giải điều kiện này được m4 - m2 0 <=> m(m – 1) 0  0 m 1 Vậy nghịêm của phương trình đạt GTNN là 0 với a = -1 Vậy nghịêm của phương trình đạt GTLN là 1 với a = -2 x2  2 x  2 2 Bài 24: Tìm GTNN, GTLN của t = x  1. Gợi ý: Vì x2 + 1 > 0 với mọi x x2  2 x  2 2 Đặt a = x  1 => (a – 1) x2 – 2 x +a – 2 = 0 (1). a là một giá trị của hàm số <=> (1) có nghiệm..

<span class='text_page_counter'>(26)</span> 1 - Nếu a = 1 thì (1) <=> x = 2 ' - Nếu a 1 thì (1) có nghiệm <=>  0. 3. 5 2. Min A =.  1 5 3+ 5 ; Max A = 2 2 với x = với x =. Bài 25: x 2  xy  y 2 2 2 Tìm GTNN, GTLN của A = x  xy  y. Gợi ý: Viết A dưới dạng sau với y 0   A     (. 2. x x  1  y y 2. x x  1  y y. . a 2  a 1 a 2  a 1. x a y (đặt ). 1  A 3 Giải tương tự bài 24 được: 3. Còn với y = 0 thì A = 1 1 Do đó: Min A = 3 với x = y ; max A = 3 với x = - y. Bài 26: Cho a + b = 1. Tìm GTNN của biểu thức: Q = a3 + b3 + ab Gợi ý:   a  b  2  3ab   ab  Với Q dưới dạng Q = (a + b) . = 1 – 2ab = 1 – 2a (1 – a) 1 => Q = 2a – 2a + 1 2 1 1 Do đó: Min Q = 2 khi a = b = 2 2. . 51 2.

<span class='text_page_counter'>(27)</span>