(Sáng kiến kinh nghiệm) rèn luyện tư duy cho học sinh thông qua giải bài tập về véc tơ trong hình học 10

MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU……………………………………………………………
1.1 Lý do chọn đề tài………………………………………………....
1.2 Nhiệm vụ của đề tài………………………………………………
1.3 Đối tượng nghiên cứu…………………………………………….
1.4 Phạm vi nghiên cứu………………………………………………
2. NỘI DUNG…………………………………………………………
2.1. Cơ sở lý luận……………………………………………………
2.2 Thực trạng……………………………………………………….
2.3 Áp dụng trong thực tế giảng dạy………………………………...
2.3.1 .Áp dụng quy trình 4 bước trong dạyhọc…………………...
2.3.2. Các kiến thức và bài tập cơ bản……………………………
2.3.3. Hệ thống bài tập……………………………………………
2.3.4. Khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải toán bằng véc tơ
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm…………………………….
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ……………………………………..
TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………

2
2
3
3
3
4
4
5
5
6
7
8
15

17
18
19

1


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Tình hình giáo dục hiện nay cho thấy trong nhiều năm qua Toán
học cũng như các mơn học khác đang góp phần tích cực vào việc nâng cao
chất lượng giáo dục toàn diện ở trường TTGDTX.Tuy nhiên ở một số
trường, với bộ môn toán học chất lượng nắm vững kiến thức của học
sinh vẫn chưa cao, hiệu quả dạy và học chưa đáp ứng được yêu cầu của
giáo dục .Một số thầy cô đang còn sử dụng phương pháp dạy học chủ
đạo là phương pháp truyền thống , điều đó khiến học sinh trở thành một
nhân vật thụ động tiếp thu kiến thức. Vì vậy việc phát huy tính tích
cực ,tự lực của học sinh ,việc rèn luyện và bồi dưỡng năng lực nhận
thức ,giải quyết vấn đề ,năng lực tư duy và khả năng tư duy của các em
chưa được chú ý đúng mức .Việc giải bài tập tốn có tác dụng lớn trong
việc gây hứng thú học tập cho học sinh nhằm phát triển trí tuệ và góp phần
giáo dục, rèn luyện con người học sinh về nhiều mặt.
Thực tiễn dạy học cho thấy: Việc sử dụng phương pháp véctơ trong
nghiên cứu hình học, học sinh có thêm những cơng cụ mới để diễn đạt, suy
luận để giải toán, tránh được ảnh hưởng khơng có lợi của trực giác, từ đó cho
thấy bất kỳ một vấn đề gì đều được xem xét và giải quyết trên quan điểm khoa
học, với những cách tiếp cận vấn đề khác nhau sẽ đưa ra các phương pháp khác
nhau đều đúng đắn. Thế nhưng việc sử dụng không thành thạo phương pháp
trên, cụ thể là lúng túng và giải sai bài tập đã làm học sinh gặp nhiều khó khăn,
hạn chế tới kết quả học tập trong phạm vi chuyên đề sử dụng “phương pháp véc

tơ” để giải tốn hình học.
Từ những vấn đề nêu trên, với mong muốn làm tốt hơn nữa nhiệm vụ của
người giáo viên trong giai đoạn hiện tại của đất nước, mong muốn góp phần nhỏ
bé của mình vào sự nghiệp giáo dục nhà trường, góp phần nâng cao chất lượng
giáo dục, đổi mới phương pháp dạy học để phát triển tư duy cho học sinh, giúp
các em tự lực tìm ra tri thức, tạo tiền đề cho việc phát triển tính tích cực, khả
năng tư duy của các em ở cấp học cao hơn cũng như trong đời sống sau này, tôi
mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu “Rèn luyện tư duy cho học sinh thông qua
việc giải bài tập về VÉC TƠ trong hình học 10”.
2


1.2 Nhiệm vụ của đề tài.
1.2.1. Nghiên cứu phương pháp giảng dạy giải bài tập tốn theo hướng hình
thành và rèn luyện tư duy cho học sinh..
1.2.2.Dựa theo chuẩn kiến thức kỹ năng hình học 10 của Bộ GD-ĐT và xuất
phát từ thực tiễn giảng dạy phương pháp dạy học bài tập hình học 10 qua
phương pháp dùng véc tơ, nhằm rèn luyện tư duy cho học sinh.
1.3 Đối tượng nghiên cứu.
1.3.1. Phương pháp giải bài tập hình học phẳng bằng phương pháp véc tơ.
1.3.2. Các bài tập hình học phẳng bằng phương pháp véc tơ hình học 10.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
1.4.1.Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết .
1.4.2.Phương pháp điều tra khảo sát thực tế.

3


2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận

Theo phương pháp dạy học toán mỗi bài tập toán đặt ra ở một thời điểm
nào đó của q trình dạy học đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng
4chức năng khác nhau và đều hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học:
- Chức năng dạy học
- Chức năng giáo dục
- Chức năng phát triển
- Chức năng kiểm tra
Hiệu quả của việc dạy toán phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác và
thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của các tác giả viết sách
giáo khoa đã có dụng ý đưa vào chương trình. Người giáo viên phải có
nhiệm vụ khám phá và thực hiện dụng ý của tác giả bằng năng lực sư phạm
của mình.
Trong các bài tốn , có nhiều bài tốn chưa có hoặc khơng có thuật giải
và cũng khơng có một thuật giải tổng quát nào để giải tất cả các bài tốn.
Chúng ta chỉ có thể thơng qua việc dạy học giải một số bài toán cụ thể mà
dần dần truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm trong việc suy nghĩ,
tìm tịi lời giải cho mỗi bài tốn. Để làm tăng hứng thú học tập của học sinh,
phát triển tư duy, thầy giáo phải hình thành cho học sinh một quy trình chung,
phương pháp tìm lời giải cho một bài tốn.
Theo G.Pơlya, phương pháp tìm lời giải cho một bài toán thường được
tiến hành theo 4 bước sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài tốn.
Để giải được một bài tốn, trước hết phải hiểu bài tốn đó và có hứng
thú với việc giải bài tốn đó. Vì thế người giáo viên phải chú ý gợi động cơ,
kích thích trí tị mị, hứng thú cho học sinh và giúp các em tìm hiểu bài tốn
một cách tổng qt. Tiếp theo phải phân tích bài tốn đã cho:
- Đâu là ẩn số, đâu là dữ kiện.
-Vẽ hình, sử dụng các kí hiệu thích hợp (nếu cần).
-Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện, có thể diễn đạt các
điều kiện đó dưới dạng cơng thức tốn học được khơng?

Bước 2: Xây dựng chương trình giải.
Phải phân tích bài tốn đã cho thành nhiều bài toán đơn giản hơn. Phải
huy động những kiến thức đã học (định nghĩa, định lí, quy tắc...) có liên quan
đến những điều kiện, những quan hệ trong đề tốn rồi lựa chọn trong số đó
những kiến thức gần gũi hơn cả với dữ kiện của bài tốn rồi mị mẫm, dự
đốn kết quả. Xét vài khả năng có thể xảy ra, kể cả trường hợp đặc biệt. Sau
đó, xét một bài tốn tương tự hoặc khái qt hóa bài tốn đã cho.
Bước 3:Thực hiện chương trình giải.
Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
- Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong q trình giải.
- Nhìn lại tồn bộ các bước giải, rút ra tri thức phương pháp để giải một
4


loại bài tốn nào đó.
- Tìm thêm các cách giải khác (nếu có thể).
- Khai thác kết quả có thể có của bài tốn.
- Đề xuất bài tốn tương tự, bài tốn đặc biệt hoặc khái qt hóa bài tốn.
Cơng việc kiểm tra lời giải của một bài tốn có ý nghĩa quan trọng.
Trong nhiều trường hợp, sự kết thúc của bài toán này lại mở đầu cho một bài
toán khác. Vì vậy "Cần phải luyện tập cho học sinh có một thói quen kiểm tra
lại bài tốn, xét xem có sai lầm hay thiếu sót gì khơng, nhất là những bài tốn
có đặt điều kiện hoặc bài tốn địi hỏi phải biện luận. Việc kiểm tra lại lời giải
yêu cầu học sinh thực hiện một cách thường xuyên”.
2. 2.Thực trạng:
Trong thực tế dạy học cho thấy, học sinh thường gặp khó khăn khi vận
dụng kiến thức vào giải quyết các bài tập cụ thể là do: học sinh không nắm
vững kiến thức các khái niệm, định lí, qui tắc, khơng trở thành cơ sở của kỹ
năng. Muốn hình thành được kỹ năng, đặc biệt là kỹ năng giải toán cho học
sinh, người thầy giáo cần phải tổ chức cho học sinh học toán trong hoạt động

và bằng hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo để học sinh có thể nắm vững tri
thức, có kỹ năng và sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn. Trong chương trình hình
học lớp 10 học sinh được học về véctơ, các phép toán trên véctơ, các tính chất
cơ bản của tích vơ hướng và những ứng dụng của chúng, đặc biệt là những hệ
thức quan trọng trong tam giác: Định lý Côsin, định lý Sin,cơng thức trung tuyến, các
cơng thức tính diện tích tam giác...học sinh phải biết tận dụng các kiến thức cơ bản nói
trên để giải một số bài tốn hình học. PPVTcó nhiều tiện lợi trong việc giải các bài tập
hình học.Tuy vậy, khi sử dụng phương pháp này học sinh vẫn gặp phải một số khó
khăn và khơng tránh khỏi những sai lầm trong khi giải tốn hình học 10.
Khó khăn thứ nhất: Lần đầu tiên học sinhlàm quen với đối tượng mới là
véctơ, các phép toán trên các véctơ.Các phép tốn trên các véctơ lại có một số
tính chất tương tự như đối với các số mà học sinh đã học trước đó, do đó học
sinh chưa hiểu rõ bản chất của các khái niệm và các phép toán nên dễ ngộ
nhận, mắc sai lầm trong khi sử dụng PPVT.
Khó khăn thứ hai: Khi sử dụng PPVT là do thốt ly khỏi hình ảnh trực
quan,hình vẽ nên khó tưởng tượng, hiểu bài tốn một cách hình thức, khơng
hiểu hết ý nghĩa hình học của bài tốn.Vì học sinh có thói quen giải bài tốn
hình học là phải vẽ hình nên khi sử dụng PPVT để giải một số bài tập khơng
sử dụng hình vẽ, học sinh gặp nhiều khó khăn hơn.
Học sinh thường gặp khó khăn khi chuyển bài tốn từ ngơn ngữ hình học
thơng thường sang “ngơn ngữ véctơ” và ngược lại. Vì vậy cần rèn luyện cho
học sinh kỹ năng chuyển tương đương những quan hệ hình học từ cách nói
thơng thường sang dạng véctơ để có thể vận dụng cơng cụ véctơ trong giải
tốn.

5


2.3. Áp dụng trong thực tế dạy học
Ở lớp 10 học sinh được học về véc tơ, các phép toán trên véc tơ sau đó là

trục, hệ trục toạ độ, toạ độ của điểm, toạ độ của véc tơ và một vài ứng dụng đơn
giản của phương pháp toạ độ. Tuy học sinh được học cả hai phương pháp: Véc tơ
và toạ độ nhưng phương pháp chủ yếu vẫn là phương pháp véc tơ. Bởi vì, các hệ
thức lượng trong tam giác và trong đường tròn được xây dựng nhờ véc tơ cùng
các phép tốn, đặc biệt là tích vơ hướng của hai véc tơ được định nghĩa theo một
đẳng thức véc tơ... Để giúp học sinh sử dụng thành thạo PPVT để giải các bài
toán, đối với học sinh lớp 10 khi giảng dạy GV cần lưu ý những vấn đề sau:
2.3.1. Áp dụng quy trình 4 bước trong dạy giải bài tập tốn :
GV cần hình thành cho học sinh các bước giải bài tốn hình học bằng phương
pháp véc tơ theo các bước như sau:
Trước hết giáo viên cần rèn luyện cho học sinh nắm vững quy trình bốn
bước giải bài tốn bằng PPVT.
Quy trình bốn bước giải bài tốn hình học bằng PPVT.
Bước 1: Chọn các véc tơ cơ sở.
Bước 2: Dùng phương pháp phân tích véc tơ và các phép toán véc tơ để
biểu diễn, chuyển ngơn ngữ từ hình học thơng thường sang ngơn ngữ véc tơ.
Bước 3: Giải bài toán véc tơ.
Bước 4: Kết luận, đánh giá kết quả.
Giáo viên cần tận dụng các cơ hội để rèn luyện cho học sinh khả năng
thực hiện bốn bước giải bài tốn hình học bằng PPVT thơng qua các bài tập, có
thể minh hoạ quy trình bốn bước trên bằng ví dụ sau:
Bài tốn: Cho góc xOy và hai điểm di chuyển trên hai cạnh của góc. M
thuộc Ox, N thuộc Oy, ln ln thoả mãn OM = 2ON. Chứng minh rằng trung
điểm I của MN luôn thuộc đường thẳng cố định.
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Lấy điểm A  Ox, B Oy sao cho OA = OB, và chọn hai véc tơ
 
OA, OB làm hai véc tơ cơ sở. Mọi véc tơ trong bài tốn đều phân tích được (hoặc
biểu thị được) qua hai véc tơ này.





Bước 2: Giả thiết cho OM = 2ON, nên nếu ON kOB , thì OM 2kOA .
Điều phải chứng minh là I thuộc
một đường thẳng cố định (dễ thấy đường thẳng


x
này đi qua O) tương đương OI  pv , với v là một véc tơ cố định nào đó.
A'
Bước 3: Do I là trung điểm của MN, nên ta có
A

 1
1 
OI  (OM  ON )  k (2OA  OB)
2
2

I

O

  
1
Đặt k  p, 2OA  OB v , ta được điều phải chứng minh.
2

B

N

y

Bước 4: Nhận
xét:



 
'
Nếu lấy OA 2OA thì v OA'  OB  đường thẳng cố
định đó đi qua trung điểm A’B.
6


* Có thể tổng qt hố bài tốn theo hai cách:
- Thay cho giả thiết OM = 2ON bằng OM = m.ON (m là một hằng số).
- Thay cho kết luận: Trung điểm I của MN thuộc một đường thẳng cố
IM

p

định bằng kết luận: Mỗi điểm chia MN theo tỷ số IN  q (p, q là hằng số
dương) đều thuộc một đường thẳng cố định.
Trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán bằng PPVT, giáo viên cần
chú ý đến những tri thức phương pháp:
Ở bước 1: Nên chọn các véc tơ cơ sở sao cho các véc tơ trong bài tốn
phân tích theo chúng thuận lợi nhất. Qua mỗi bài toán học sinh sẽ thấy việc chọn

các véc tơ cơ sở như thế nào.
Ở bước 2: Cần rèn luyện cho học sinh chuyển đổi ngôn ngữ một cách
thành thạo
Ở bước 3: Cần nắm vững các phép toán véc tơ. Đồng thời, thông qua các
bài tập cụ thể, giáo viên cần làm cho học sinh hiểu rõ được tính ưu việt của
PPVT. Đặc biệt các bài tập về tìm tập hợp điểm, các bài tập về chứng minh 3
điểm thẳng hàng, chứng minh hai đường thẳng song song, hai đường thẳng
vng góc,... là những dạng tốn có nhiều cơ hội để làm rõ vấn đề này.
2.3.2.Các kiến thức và bài tập cơ bản
Trước khi giải các bài tập theo hệ thống GV cần nhấn mạnh cho học sinh
các kiến thức và bài tập cơ bản sau (vì đây là các tri thức phương pháp để giải
các bài tập sau này).
A - Điều kiện cần và đủ để hai véc tơ
khơng
cùng phương


Bài tốn 1: Chứng minh rằng hai véc tơ a và b cùng
phương khi và chỉ khi có
 
cặp số m,
n không
đồng thời bằng 0 sao cho ma  mb 0 . Suy ra điều kiện cần và


đủ để a và b cùng phương là có cặp số m, n không thời bằng 0 sao cho
ma  mb 0 .
B-Tâm tỉ cự của hệ điểm {A1, A2,.......An} ứng với các hệ số { 1 ,  2 ,.....
 n } (n ≥ 2).
Bài toán 2: Cho hai điểm A, B phân biệt và hai số  ,  không đồng thời bằng

khơng. Chứng minh rằng:

 



0
a) Nếu
= 0 thì không tồn tại điểm M sao cho  MA  MB
  .
b) Nếu     0 thì tồn tại duy nhất điểm M sao cho  MA   MB 0 .
Bài toán 3:Cho hai điểm A, B và hai số thực  ,  . Chứng minh: Nếu    =
0 thì véc tơ v  MA   MB không đổi, không phụ thuộc vào vị trí điểm M
Bằng phương pháp quy nạp ta có thể chứng minh được kết quả tổng quát:
- Cho n điểm A1, A2,.....An và n số thực 1 ,  2 ,.....  n sao cho 1 +  2 +.....+
 n 0 . Khi đó tồn tại duy nhất điểm I sao cho:


 
1 IA1   2 IA2  ....   n IAn 0 (1).
Điểm I gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm {A1, A2,.......An} ứng với các hệ số { 1 ,  2
,.....  n } (n ≥ 2).
7


Từ(1), với điểmM tùy ý ta có:


1 MA1   2 MA2  ....   n MAn (1   2  ....   n )MI

Công thức này thường xun được sử dụng trong những bài tốn có liên
quan tới tâm tỉ cự. Ta gọi nó là cơng thức thu gọn.
Với n = 3 và 1 =  2 =  3 1 , ta thấy đây là tính chất trọng tâm của tam giác
được trình bày dưới đây.
Bài toán 4: Cho tam giác ABC và 3 số  ,  ,  không đồng thời bằng 0.
Chứng minh rằng:

  
a. Nếu      0 thì tồn tại duy nhất điểm I sao cho IA  IB   IC
 0 .
b. Nếu      0 thì khơng tồn tại điểm M sao cho  MA   MB   MC 0 .
C-Tính chất trung điểm.
  
Bài tốn 5: M là trung điểm
thẳng AB khi và chỉ khi MA  MB 0
 của
 đoạn

Hoặc với điểm M bất kỳ ta có MA  MB 2MI .
D-Tính chất trọng tâm tam giác.
Bài
 toán
  6: Cho tam giác ABC. CMR điểm G làtrọng
 tâmtam giác khi và chỉ
khi GA  GB  GC 0 hoặc với điểm M bất kỳ ta có GA  GB  GC 3MG .
E-Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng.
Bài toán 7: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi thoả mãn
một trong các điều kiện sau:



1. Tồn tại một số k khác 0 sao cho AB k AC
 

2. Cho một điểm I và một số t nào đó sao cho IA t IB  (1  t ) IC là điều
kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng.
F-Cơng thức điểm chia.
Bài tốn 8: Cho đoạn thẳng
 AB, số thực k khác 0 và 1. Ta nói điểm M chia
đoạn AB theo tỉ số k nếu MA k MB . CMR với điểm C bất kỳ ta có:

k
1
CM 
CA 
CB (*). Ta gọi (*) là cơng thức điểm chia
1 k
1 k

G-Cơng thức hình chiếu.

Cho hai véc tơ OA, OB . Gọi B’ là hình chiếu của B trên đường thẳng OA
 
khi đó: OA.OB OA.OB ' .

'
Véc tơ
gọi
là
hình
chiếu

của
trên đường thẳng OA; Cơng thức
OA
 OB
 
OA.OB OA.OB ' gọi là cơng thức hình chiếu.
2.3.3. Hệ thống bài tập.
Trong thực tế giảng dạy và học tập, không phải lúc nào giải bài tập cũng
làm theo 4 bước như trên, khơng phải lúc nào cũng phân tích các véc tơ theo
hai véc tơ cơ sở cho trước, mà có thể giải quyết bài tốn một cách linh hoạt.
Việc rèn luyện cho học sinh thông qua hệ thống bài tập đã được phân loại
sẽ đem lại hiệu quả cao trong dạy học. Việc đưa ra hệ thống bài tập đã được
phân loại giúp học sinh có kinh nghiệm giải toán và rèn luyện các kỹ năng:
- Chuyển bài toán sang ngôn ngữ véc tơ.
8


- Phân tích một véc tơ thành một tổ hợp véc tơ.
- Kỹ năng biết cách ghép một số véc tơ trong một tổ hợp véc tơ.
- Biết khái quát hoá một số những kết quả để vận dụng vào bài tốn tổng qt
Đặc biệt biết vận dụng quy trình bốn bước giải bài tốn hình học bằng
PPVT vào giải các bài tập hình học.
 Giáo viên có thể sử dụng hệ thống bài tập đã phân dạng này trong các
tình huống dạy học khác nhau như: Làm bài tập về nhà, bài tập phân hoá, dùng
để bồi dưỡng HS khá giỏi, dùng để kiểm tra, kiểm tra trắc nghiệm... góp phần
bồi dưỡng năng lực tư duy cho học sinh
Dạng 1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Đối với dạng toán trên ta có thể dùng điều kiện cùng phương của hai véc
tơ để giải toán.
 


Véc tơ b cùng phương với véc tơ a(a 0) khi và chỉ khi có số k sao cho


b k a .
* Từ đó ứng dụng vào dạng toán:
Cho 3 điểm A, B, C thoả mãn một điều kiện xác định. Chứng minh rằng
A, B, C thẳng hàng.
Phương pháp:

- Hãy xác định véc tơ AB, AC
 - Chỉ
 ra rằng hai véc tơ đó cùng phương, nghĩa là hãy chỉ ra số thực k sao
cho AB k AC .
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt chia các đoạn thẳng
AB, BC, CA theo các tỷ số lần lượt là m, n, p (đều khác 1).
Chứng minh rằng: M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi mnp = 1 (Định lý
Mênêlauýt).
Hướng dẫn giải: (Theo quy trình 4 bước giải bài toán HH bằng PPVT)
Bước 1: GV chọn véc tơ cơ sở.

HS: Chọn hai véc tơ CA, CB làm hai véc tơ cơ sở. Mọi véc tơ xuất hiện
A
trong bài tốn đều phân tích được theo hai véc tơ này.
P
Bước 2:
GV: Các điểm M, N, P lần lượt chia các
M
đoạn thẳng AB, BC, CA theo các tỷ số
lần lượt là m, n, p (đều khác 1) tương

đương vớicác
 đẳng
  thức
 véc tơ nào?
N
HS: MA mMB; NB nNC ; PC  pPA .
C
B
GV: Điều phải chứng minh M, N, P thẳng hàng tương đương với đẳng
thức véc tơ nào phải xảy ra?
 
HS: - Chỉ ra số thực k sao cho MP k MN hoặc 

- Với điểm O bất kỳ và một số thực ta có OM tON  (1  t )OP .
Bước 3: Lấy điểm O nàođó, ta có  



OA  mOB
OB  nOC
OC  pOA
OM 
; ON 
; OP 
1 m
1 n
1 p

9

Để đơn
 giảntính tốn, ta chọn điểm O trùng với điểm C khi đó ta có:


CB
CA  mCB
pCA
CM 
; CN 
; CP 
(1)
1 m
1 n
1 p

Từ hai đẳng thức cuối của (1) ta có:



p  1
CB (1  n)CN ; CA 
CP Và thay vào đẳng thức đầu của (1) ta được:
p

p  1
m(1 n)
CM 
CP 
CN

p (1  m)
1 m

Từ Bài toán 9: Điều kiện cần và đủ để 3 điểm M, N, P thẳng hàng là:
p 1
m(1  n)

1  p  1  pm(1  n)  p (1  m)  mnp 1
p (1  m)
1 n

Bước 4: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt chia các đoạn thẳng AB,
BC, CA theo tỷ số m, n, p thì M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi: mnp =1.
Lưu ý: Học sinh có thể vận dụng cách chứng minh bài tốn trên vào giải các bài
tốn sau:
1/
Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm đường tròn trên ngoại tiếp O.
Chứng minh
 rằng:
 
a/ OA

OB
    OC
 OH
b/ HA  HB  HC 2OH
2/Bài 1.30(-Tr32-SBT-HH10 –cơ bản):Cho tam giác ABC. Điểm I trên cạnh AC


 2

1
sao cho CI= CA. J là điểm mà BJ  2 AC  3 AB .


a,Hãy biểu thị véc tơ BI qua véc tơ AC và AB

b.Chứng minh rằng 3 điểm B,I,J thẳng hàng
*.Bài tập đề xuất :
Bài 1/ Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c, BC = a, CA
 = b. Gọi I là tâm
đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng: aIA  bIB  cIC 0 .
Bài 2/ Cho điểm O cố định và đường thẳng d đi qua hai điêm A, B cố định.
Chứng
điểm M thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi có số  sao cho:

 minh rằng

OM  OA  (1   )OB . Với điều kiện nào của  thì M thuộc đoạn thẳng AB.
Bài
  tam
 3:
 Cho
  giác
 ABC, gọi D, I, N là các điểm xác định bởi hệ thức:
3DB  2 DC 0, AN 3NB, CI 2CN . Chứng minh A, I, D thẳng hàng.
Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vng góc.
Vận dụng các kiến thức và PPVT để giải quyết các bài toán về quan hệ
vng góc sẽ cho lời giải khá rõ ràng, ngắn gọn.Xuất
phát từ định nghĩa tích vơ




hướng của hai véc tơ ta có thể suy ra: Nếu a, b là hai véc tơ khác 0 với a nằm


trên đường thẳng a, b nằm trên đường thẳng b thì a  b  a.b 0 .
Vậy bài toán chứng minh hai đường thẳng vng góc có thể quy về bài
tốn chứng minh tích vơ hướng của hai véc tơ bằng 0.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A; M là trung điểm của BC, H là hình chiếu
của M trên AC, E là trung điểm của MH. Chứng minh rằng AE  BH.
10


Hướng dẫn giải:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài tốn.
Trước hết học sinh phải tìm hiểu bài tốn một cách tổng thể: Đây là dạng
toán chứng minh hai đường thẳng vng góc. Tiếp theo phải phân tích bài tốn đã
cho.
- Bài tốn cho biết gì? (Cho tam giác ABC cân tại A, H là hình chiếu của
M trên AC, E là trung điểm của MH).
- Bài tốn hỏi gì? (Chứng minh AE  BH).
- Tìm mối liên hệ giữa cái phải tìm với cái đã cho.
Bước 2: Xây dựng chương trình giải:
Để chứng minh AE
  BH, ta phải chứng minh những gì ? (phải chứng
A
minh đẳng thức véc tơ AE.BH 0 )  
Để sử dụng giả thiếtAM
  BC (Hay AM .BC 0 )
và MH AC (Hay MH . AC 0 ) ta phải phân tích

, BH theo những véc tơ nào?
véc tơ AE

Khi đó AE.BH ?
E
Bước 3: Thực hiện chương trình giải
2 AE.BH ( AM  AH )( BM  MH )

   
=  AM

 MH
 
 AH
 BM
 
= AM MH  ( AM  MH ) BM  AM MH  MH MC

B

M

= HM .MH  MH .MH 0  AE  BH
Bước 4:
- Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
- Kiểm tra lại các bước giải của bài toán.
*.Bài tập đề xuất
Bài 1: (Bài 8-tr5-SGK-HH10- nâng cao)
Chứng
minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông tại A là


BABC  AB 2 .
Bài 2: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC
 và H
2
2
là điểm nằm trên đường thẳng BC. Chứng minh rằng AB  AC  2 BC.MH là
điều kiện cần và đủ để AH  BC.
Bài 3: Tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O), D là trung điểm
của AB, E là trọng tâm tam giác ADC. Chứng minh rằng OE  CD.
Dạng 3:Viết phương trình tiếp tuyến với đường trịn tại một điểm .
Đối với dạng tốn trên ta dựa vào quan hệ vng góc giữa véc tơ pháp
tuyến và véc tơ chỉ phương của đường thẳng sẽ cho ta lời giải khá rõ ràng, ngắn
gọn. Vậy bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đường trịn có thể quy về bài
tốn tính tích vơ hướng của hai véc tơ .
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến(d) với đường tròn :  x  1 2   y  2 2 25
tại điểm A(4;2) thuộc đường tròn.
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài tốn:

11

H
C


Trước hết học sinh phải tìm hiểu bài tốn một cách tổng thể: Đây là dạng
tốn tính tích vơ hướng của 2 véc tơ bằng tọa độ. Tiếp theo phải phân tích bài tốn
đã cho.
- Bài tốn cho biết gì? (Cho biết tọa độ tâm I(1;-2) của đường tròn, A(4;2)

là tiếp điểm của đường trịn với d).
- Bài tốn hỏi gì? (Viết phương trình tiếp tuyến (d) với đường trịn tại
điểm A).
- Tìm mối liên hệ giữa cái phải tìm với cái đã cho.
Bước 2: Xây dựng chương trình giải:
Để viết phương trình tiếp tuyến của (d) với đường trịn, ta phải xác định


véc tơ pháp tuyến của d : n = AI


Để sử dụng giả thiết ta gọi M (x,y)  d khi đó AM . AI 0 (Ta phải thiết lập
đẳng thức tương ứng)
Bước 3: Thực hiện chương trình giải:


AM . AI 0   x  4 . 4  1   y  2 . 2  2  0  3 x  4 y  20 0 .Vậy phương trình
tiếp tuyến (d) với đường tròn là: 3x+4y-20=0
Bước 4:
- Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
*.Bài tập đề xuất
Bài 1.(Trang 84-SGK-Hình Học 10-Cơ bản):Viết phương trình tiếp tuyến d với
đường trịn:

x y
2

2

 4 x  8 y  5 0 tại điểm A(-1;0) thuộc đường tròn.

Dạng 4: Chứng minh đẳng thức véc tơ.
Để chứng minh các bài tập dạng này, chủ yếu ta sử dụng các quy tắc 3
điểm, quy tắc hình bình hành để dựng các véc tơ được cho ở hai vế của đẳng
thức, sử dụng công thức trọng tâm của tam giác, trung điểm của đoạn thẳng,
tính chất của các phép tốn, các tính chất của tích vơ hướng của hai véc tơ để
rút gọn hai vế...
Ví
  dụ:
 Chứng
  minh rằng với 4 điểm A, B, C, D ta có
AB.CD  AC.DB  AB.BC 0 (*)
Hướng dẫn giải:

Bước 1: Chọn véc tơ AB, AC , AD làm các véc tơ cơ sở. Mọi véc tơ xuất
hiện trong bài toán đều phân tích được qua véc tơ này.
Bước 2: Bài tốn
  đã
 cho
  dưới dạng ngơn ngữ véc tơ.
Bước 3:   AB
 .CD
  AC
 .DB
  AB
 .BC 
( AD  AC )  AC ( AB  AD )  AD ( AC  AB )
= AB
    


= AB
. AD  AB. AC  AC. AB  AC.AD  AD.AC  AD.AB

   
   
 
= ( AB. AD  AD. AB)  ( AC. AB  AB. AC )  ( AD.AC  AC. AD) 0
Bước 4: Nhận xét:
1. Đẳng thức véc tơ (*)được gọi là hệ thức Ơle. Có thể dùng hệ thức Ơle để
chứng minh: Trong tam giác 3 đường cao đồng quy.
12


Thật vậy, giả sử các đường cao kẻ từ B, C của tam giác ABC cắt nhau tại H. Áp
dụng
  hệ
 thức
  Ơle cho 4 điểm H, A, B, C ta có:
HA.BC  HB.CA  HC. AB 0    

Do HB  CA, HC  AB nên HB.CA HC. AB 0 từ đó HA.BC 0 tức HA  BC .

2.
 Kết
 quả
 vừa chứng minh là sự mở rộng đẳng thức
AB.CD  AC.DB  AD.BC 0 khi A, B, C, D nằm trên một đường thẳng.
*.Bài tập đề xuất
Bài 1: Cho
  tam

  giác
  ABC, G là trọng tâm. Chứng minh rằng
1. MA.BC  MB.CA  MC. AB 0
2. MA 2  MB2  MC2  3MG 2  GA 2  GB2  GC2
3. GA 2  GB2  GC2 a 2  b 2  c 2 , với a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác ABC.
4. Nếu tam giác ABC nội tiếp (O; R) thì OG 2  R 2  (a 2  b2  c 2 ).
   5. Nếu trọng tâm G của tam giác ABC thoả mãn điều kiện
aGA  bGB  cGC 0 thì tam giác ABC đều.
Bài 2: Cho tam giác ABC, gọi H là trực tâm, I là tâm đường tròn nội tiếp. Chứng
minh:
   
1. aIA  bIB  cIC 0 (a, b, c là độ dài các cạnh tam giác ABC).
^
^
^
2. tan AHA +tan BHB
  tan CHC =0






3. Sa .MA  Sb .MB  Sc .MC 0 , trongđó M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác
ABC, Sa, Sb, Sc theo thứ tự là diện tích của tam giác MBC, MCA, MAB.
4. a.IA 2  b.IB2  c.IC2  abc .
Bài 3: cho tam giác đều ABC tâm O, M là điểm bất kỳ trong tam giác. Hạ MD,
ME, MF lần lượt vng góc với các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
  


3
MD  ME  MF  MO .
2

Dạng 5: Các bài tốn tìm tập hợp điểm.
Trong hình học phẳng thường chỉ đề cập đến bài tốn quỹ tích của điểm
M chuyển động trong mặt phẳng thoả mãn điều kiện nào đó.
Bằng phương pháp tổng hợp chỉ nghiên cứu bài toán quỹ tích trên các bài
tốn quỹ tích cơ bản. Bằng phương pháp véc tơ nghiên cứu quỹ tích của điểm M
chuyển động trong mặt phẳng thoả mãn điều kiện nào đó (ta gọi tính chất  )
theo nguyên tắc chung là phải thiết lập được tính tương ứng giữa tính chất  với
các điều kiện của các véc tơ có liên quan đến điểm M và từ đó mơ tả hình H =
{(M/M có tính chất  )}. Do đó phạm vi nghiên cứu được mở rộng hơn và nhiều
bài cho lời giải khá dễ dàng.
Ví dụ 1: Cho
  tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho
a) MA.MB k(k  R)
b) 2 MB 2  MB.MC a 2
(a là độ dài cạnh BC)
Hướng
  dẫn giải:
   
a.) MA.MB k  ( MI  IA)( MI  IA) k

13


AB 2
k
 IM  IA  k  IM 

4
AB 2
AB 2
k 0  k  
* Nếu
Tập hợp những điểm M là đường trịn tâm I, bán
4
4
2

2

2

AB 2
kính
k
4
AB 2
 IM 0  Tập hợp M là điểm I.
* Nếu k 
4
AB 2
AB 2
k 0  k  
 tập hợp điểm M là tập rỗng.
* Nếu
4
4


* Nếu k = 0 ta có ngay MA.MB 0  tập hợp điểm M là đường trịn đường kính

AB.

  
(2 MB  MC ) a 2 (1)
b) 2 MB 2  MB.MC a 2  MB
  
  
Chọn điểm K thoả mãn: 2 KB  KC 0 . K cố định  2MB  MC 3MK


(1)  MB.MK 

a2
3

Gọi I là trung điểm của BK, và biến đổi như câu a) ta được:
a
BK 2 a 2

có thể thấy BK 
3
4
3
2
13a
a 13
Do đó (1)  IM 2 
 IM 

36
6

(1)  MI 2 

Vậy tập hợp những điểm M là đường trịn tâm I, bán kính

a 13
6

Ví dụ2:
 Cho đoạn thẳng AB và số thực k. Tìm tập hợp điểm M thoả mãn điều
kiện: AB. AM k .
Hướng dẫn giải:Ta tiến hành biến đổi bài toán về dạng quen thuộc. Gọi H là
hình chiếu của M trên đường thẳng AB ta có: AB. AM k  AB( AH  HM ) k



k
 AB. AH k  AH   điều này chứng tỏ H là điểm cố định. Vậy tập
AB

hợp điểm M là đường thẳng vng góc với AH tại H.
Chú ý rằng trong q trình lí luận, ta đã sử dụng phép biến đổi tương
đương, vì vậy các phần thuận và đảo được chứng minh song song. Giới hạn quỹ
tích chính là phần đảo. Bài này được xem là một bài toán cơ bản, Phần lớn các
bài toán phức tạp đều được đưa về bài toán này qua một số phép biến đổi tương
đương.
*.Bài tập đề xuất
Bài 1: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp điểm M sao cho:


    
1
a) ( MB  MC )( MA  2MB  3MC ) 0 ;b) MA.MB  (MC 2  MA2  MB 2 )
2

Bài 2: Cho tam giác ABC đều cạnh a .Tìm tập hợp những điểm M sao cho:
  
5a 2
MA.MB  MB.MC  MC.MA 
2

14


Bài 3: Cho hình vng ABCD cạnh a, tìm tập hợp các điểm M sao cho:
4
3

a) MA2  MB 2  MC 2  3MD 2  a 2

    

b) ( MA  MB  MC )( MC  MB) 3a 2

Hệ thống bài tập trên cùng với những kỹ năng giải toán cần thiết như:
Chuyển bài tốn sang ngơn ngữ véc tơ, phân tích một véc tơ thành một tổ hợp
véc tơ, kỹ năng biết cách ghép một số véc tơ trong một tổ hợp véc tơ... đã giúp
học sinh dễ nhận dạng và tìm được cách giải cho mỗi bài toán cụ thể, giúp học
sinh có hứng thú học tập mơn tốn, góp phần phát triển năng lực giải toán.Sự

phân dạng các bài tập trên đã tạo điều kiện cho học sinh tuỳ theo năng lực, trình
độ của mình có thể chủ động, sáng tạo hơn khi học tập, nghiên cứu về chủ đề
véc tơ trong chương trình HH 10 .
2.3.4. Chỉ ra những khó khăn sai lầm của học sinh gặp phải khi giải tốn
hình học phẳng bằng PPVT.
PPVT có nhiều tiện lợi trong việc giải các bài tập hình học. Tuy vậy, khi
sử dụng phương pháp này học sinh vẫn gặp phải một số khó khăn, và khơng
tránh khỏi những sai lầm trong khi giải tốn hình học lớp 10.
Khó khăn thứ nhất : Học sinh chưa hiểu rõ bản chất của các khái niệm và các
phép toán nên dễ ngộ nhận, mắc sai lầm trong khi sử dụng
 PPVT.
 
Ví dụ 1: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng: AB  CD  AD  CB .
Với bài toán trên, nhiều học sinh đã hiểu bài toán này như sau: Cho bốn điểm
A, B, C, D. Chứng minh rằng: AB  CD AD  CB .Vì hiểu sai bài tốn, dẫn đến
khó khăn trong q trình tìm lời giải bài tốn.
 
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với AB  3, AC  5, BC  7 .Tính AB . AC , tính góc A,
và góc giữa hai đường thẳng AB và AC.



Lời giải1:Có học sinhgiải bài tốn này: Ta có AB.CD 3.5 15  cos A 

AB. AC
1
AB. AC

nên số đo của góc A là 00 , góc giữa hai đường thẳng AB, AC là 00.
 15


1
 15
2
2
2
Lời giải 2:Ta có AB. AC   2 ( AB     AC       BC   )  2   nên cos A  2  1 .
15
2

Do đó : góc A có số đo 120 độ. Góc giữa 2 đường thẳng AB, AC là 120 độ.
Bài trên học sinh giải sai do chưa nắm vững các kiến thức về véc tơ, có nhầm lẫn
giữa véc tơ với đoạn thẳng, đặc biệt việc xác định góc giữa hai véc tơ với góc giữa
hai đường thẳng (khơng hiểu, khơng học kỹ định nghĩa).
Lời giải đúng của bài toán này như sau:
 15

1
 15
2
2
2
Tacó: AB. AC    ( AB     AC       BC   )   nên cos A  2  1 . Góc BAC 1200 ,
2
2
15
2

góc giữa hai đường thẳng AB, AC là :
 1800  1200 600 .

Khó khăn thứ hai: Khi sử dụng PPVT để giải một số bài tập khơng sử dụng
hình vẽ, học sinh gặp nhiều khó khăn lúng túng.
15


  
V
 tam giác ABC. Đặt CA a, CB b . Lấy các điểm A’, B’ sao cho
 í dụ 3: Cho
CA
I là giao điểm của A’B và B’A. Hãy biểu thị véc tơ
 ' ma, CB ' nb . Gọi

CI theo hai véc tơ a, b.



CA '
m
Học sinh đã giải bài tốn như sau: ta có CA ' ma, CB ' nb nên
CA
CA ' A ' A 1
CA '
m
. Tương tự: BB ' 1  n . Gọi I chia đoạn AB’

 

CA '
m

A' A 1  m
CB
theo tỷ số x , do B, I, A’ thẳng hàng nên áp dụng định l Menelaus ta có

m  1
CA

CB '

m
1  m AI
m 1  
m(1  n )

(1  n )
x 1  x 
.
IB '  CI 
hay IA 
m 1
1 m
m(1  n ) IB '
m(1  n )
1
m(1  n )


m(n  1)
n (1  m )


CA 
CB ' .
1  mn
1  mn

Nhìn kết quả và q trình làm bài có vẻ lơgic và hồn hảo.
Phân tích sai lầm: Trong q trình giải, do thốt ly khỏi hình vẽ nên HS
đã xác định “nhầm” vị trí điểm I: điểm I nằm trong tam giác ABC.Mặc dù kết
quả cuối cùng đúng, nhưng lời giải này vẫn chưa chính xác, vì đã “thu hẹp”
điều kiện của m, n là: m > 0, n > 0. Mặt khác, HS đã xác “định” nhầm: từ tỉ số
BB '
1  n , đã suy ra ngay điểm B chia đoạn thẳng B’C theo tỷ số 1  n , và cũng
BC

làm tương tự như thế với điểm A’.
-Lời giải đúng của bài tốn này
sau:Vì I thuộc A’B
 như

 và AB’ nên có các
CI  x.CA '  (1  x ).CB  y.CA  (1  y )CB '
số
x
và
y
:
hay

 
xma   (1   x )b   ya   (1   y )nb .



 mx  y
1 n
 x
và kết
1  mn
1  x (1  y )n

Vì hai véc tơ a, b khơng cùng phương nên : 


quả như đã biết CI 

m(n  1)
n(1  m)
CA 
CB ' .
1  mn
1  mn

Học sinh thường gặp khó khăn chuyển bài tốn từ ngơn ngữ hình học
thơng thường sang ngơn ngữ hình học véctơ và ngược lại. Vì vậy cần
rèn luyện cho học sinh kỹ năng chuyển tương đương những quan hệ hình học
từ cách nói thơng thường sang dạng véctơ để có thể vận dụng véctơ
trong giải toán.

16

2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
Qua thực tế giảng dạy với việc sử dụng phương pháp đã nghiên cứu tơi
thấy,khả năng tư duy giải tốn hình học bằng phương pháp véc tơ của các em được
nâng lên rõ rệt, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy bộ mơn Tốn nói riêng và
chất lượng giáo dục nói chung. Điều đó được chứng minh bởi kết quả học tập của
học sinh lớp 10 chọn tại trường TTGDTX trong 2 năm học như sau:
Đề kiểm tra 1 tiết:
*Năm học 2014-2015:
Chất lượng học sinh
Lớp
Thực
nghiệm( Lớp10A
với 38 học sinh)

Kém
0hs
Chiếm
0%

Yếu

TB

Khá

Giỏi

6hs
Chiếm
15,8%

21hs
Chiếm
55,3%

10hs
Chiếm
26,3%

1hs
Chiếm
2,6%

Đối chứng( Lớp
10B với 32 học
sinh)

2hs
Chiếm
6,3%

17hs
Chiếm
53,1%

12hs
Chiếm
37,5%

1hs

Chiếm
3,1%

0hs
Chiếm
0%

*Năm học 2015-2016:
Chất lượng học sinh
Lớp 10
Thực
nghiệm( Lớp10
A với 38 học
sinh)
Đốichứng( Lớp
10B với 31học
sinh)

Kém
0hs
Chiếm
0%

Yếu

TB

Khá

Giỏi

4hs
Chiếm
10,5%

21hs
Chiếm
55,3%

11hs
Chiếm
28,9%

2hs
Chiếm
5,3%

3hs
Chiếm
9,7%

15hs
Chiếm
48,4%

12hs
Chiếm
38,7%

2hs

Chiếm
3,2%

0hs
Chiếm
0%

17


3.KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1.Kết luận
Qua những vấn đề trình bày trong s á n g k i ế n n à y có thể rút ra một
số kết luận sau:
1.Trong các nhiệm vụ của mơn tốn ở trường TTGDTX cùng với việc
truyền thụ tri thức, rèn luyện kỹ năng là một nhiệm vụ quan trọng, là cơ sở
để thực hiện các nhiệm vụ khác. Để rèn luyện khả năng tư duy giải tốn,
góp phần bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh cần đưa ra một hệ
thống bài tập đa dạng,hợp lí,được sắp xếp từ dễ đến khó nhằm giúp học
sinh củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng phát triển tư duy và biết áp dụng
toán học vào thực tiễn.
2. S á n g k i ế n đã hướng dẫn cho học sinh phương pháp tìm lời giải
của bài toán theo bốn bước trong lược đồ của G.Pôlya.
3. S á n g k i ế n đã đề xuất được một số biện pháp sư phạm phù hợp,
thông qua hệ thống bài tập nhằm rèn luyện khả năng tư duy giải bài tập HH
bằng PPVT với nội dung phong phú đã đề cập được tới hầu hết các tình huống
điển hình mà học sinh hay gặp khi giải toán HH phẳng bằng PPVT.
2.Phương hướng :
Tiếp tục nâng cao vai trò tổ chức của giáo viên trong hoạt động dạy học
bằng việc thường xuyên sử dụng phương pháp dạy học tích cực và phương pháp

tìm lời giải của bài toán theo bốn bước trong lược đồ của G.Pơlya.
3.Kiến nghị và đề xuất:
Trong q trình giảng dạy của bản thân ,thông qua thực nghiệm sư phạm
và kinh nghiệm của mình tơi xin nêu ra một số kiến nghị và đề xuất như sau :
SỞ GIÁO DỤC và ĐÀO TẠO cùng các BAN NGÀNH có liên quan cần
tạo điều kiện về cơ sở vật chất cho nhà trường nhiều hơn để giáo viên có điều
kiện tốt hơn khi thực hiện các phương pháp dạy học mới.
Vì lần đầu tiên đưa ra một vấn đề mà bản thân đã áp dụng chắc chắn cịn
nhiều thiếu sót nên tơi rất mong nhận được ý kiến đóng góp, nhận xét của quý
thầy cô để công việc giảng dạy của tôi ngày càng có kết quả cao hơn. Đồng thời
đây cũng là vấn đề mở cần được tiếp tục nghiên cứu mở rộng thêm.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa,ngày 17 tháng 5 năm 2016
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết,khơng sao chép nội dung của
người khác
Người viết sáng kiến kinh nghiệm:
NGUYỄN THỊ HƯƠNG

18


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Hoàng Chúng (1997), Phương pháp dạy học mơn tốn ở trường THPT,
NXB Giáo Dục.
2. G.Polya - Sáng tạo toán học, NXB Giáo Dục – 1997
3. Hà Văn Chương (2006), Tuyển chọn 400 bài tốn Hình Học 10, NXB Đại

Học Quốc Gia Hà Nội.
4.Nguyến Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang (1997), Sai lầm phổ
biến khi giải toán, NXB Giáo Dục.
5. Bùi Mai Anh (2002), Rèn luyện năng lực giải toán của học sinh THPT,
Luận Văn thạc sĩ khoa học giáo dục, Đại Học Sư Phạm I Hà Nội, Hà Nội
6. Lê Thị Thu Hà (2007), Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh bằng
phương pháp véc tơ chương trình hình học 10, chương I+II nâng cao, Luận văn
thạc sỹ.
7. Nguyễn Hải Châu, Nguyễn Thế Thạch, Kiểm tra đánh giá thường xuyên và
định kỳ môn toán lớp 10 (2008), NXB Giáo Dục.
8. Nguyễn Phương Anh, Hồng Xn Vinh (2006), Luyện tập trắc nghiệm
Hình Học 10, NXB Giáo Dục .
9. Hàn Liên Hải, Phan Huy Khải, Đào Ngọc Nam, Lê Tất Tơn,
Đặng Quan Viễn (1996), Tốn bồi dưỡng Hình Học 10, NXB Hà Nội.
10. Phan Văn Các (1992), Từ điển Hán-Việt, NXB Giáo Dục.
11.Sách giáo khoa và sách Bài tập hình học cơ bản , NXB Giáo Dục – 2006.
12. Sách giáo khoa và sách Bài tập hình học nâng cao, NXB Giáo Dục – 2006.
13. Tài liệu chuẩn kiến thức kỹ năng mơn Tốn lớp 10. NXB Giáo Dục – 2011.
14. Tài liệu tập huấn chun tốn hình học 10. NXB Giáo Dục – 2007.
15. Bài báo trên internet, Tạp chí Tốn học tuổi trẻ, Tạp trí Giáo dục và thời
đại, SKKN của đồng nghiệp.

19