Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 10 THPT theo hướng dạy học phát hiện và vận dụng bài toán gốc có liên quan”

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Luật Giáo dục nước cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam (2005) quy
định: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác,
chủ động, sáng tạo của HS; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học;
bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực
tiễn”. Như vậy, quan điểm chung về hướng đổi mới PPDH đã được khẳng định,
không còn là vấn đề tranh luận và càng thấy cấp thiết hơn đối với kì thi THPT
quốc gia lần đầu tiên đươc tổ chức trong năm học này. Cốt lõi của việc đổi mới
PPDH môn Toán ở trường THPT là làm cho HS học tập tích cực, chủ động,
chống lại thói quen học tập thụ động. Phải làm sao trong mỗi tiết học HS được
suy nghĩ nhiều hơn, thảo luận nhiều hơn, hoạt động nhiều hơn.
Trong dạy học môn Toán, tư duy sáng tạo của HS phần lớn được hình
thành trong quá trình giải toán, thông qua hoạt động này HS phải hoạt động tích
cực để tự chiếm lĩnh tri thức cho bản thân. Cơ sở để học sinh hoạt động chính là
những tri thức và kinh nghiệm đã có. Đứng trước một vấn đề đặt ra trong vốn tri
thức mà bản thân đã có, đã tích luỹ được việc lựa chọn tri thức nào, sử dụng ra
làm sao luôn luôn là những câu hỏi lớn, mà việc trả lời được những câu hỏi đó là
mấu chốt trong việc giải quyết vấn đề. Việc tìm ra lời giải một bài toán nhiều
khi không phải là quá khó, nhưng thực ra sau mỗi bài toán có biết bao điều lí
thú. Nếu chúng ta không biết khơi dậy ở học sinh óc tò mò, sự tìm tòi khám phá
những gì ẩn sau mỗi bài toán mà chỉ giải xong bài toán là kết thúc thì việc dạy
học trở nên nhạt nhẽo. Điều quan trọng là nếu sau mỗi bài toán chúng ta tìm
được nhiều cách giải khác nhau cho bài toán, xây dựng được chuỗi bài toán gốc
liên quan từ dễ đến khó thì có thể rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo cho học
sinh, đồng thời kiến thức sẽ được mở rộng hơn, hệ thống hơn.
Trong tác phẩm nổi tiếng “Giải bài toán như thế nào ?”, G.Polya cho rằng:
“Ví như dòng sông nào cũng bắt nguồn từ những con suối nhỏ, mỗi bài toán dù
khó đến đâu cũng có nguồn gốc từ những bài toán đơn giản, có khi rất quen
thuộc đối với chúng ta”. Vì vậy, G.Polya đã nói rằng: Thật khó mà đề ra được
một bài toán mới, không giống chút nào với bài toán khác, hay là không có một
điểm nào chung với một bài toán trước đó đã giải. Vì vậy , trong dạy học toán

GV nên tạo cho học sinh thói quen khắc sâu bài toán gốc để dễ dàng áp dụng khi
cần thiết và từ đó giúp học sinh có cơ hội đào sâu, kiến tạo nên một số bài toán
mới.
Với riêng chương trình môn toán lớp 10, đây là chương trình đầu tiên của
cấp THPT, nhiều kiến thức mới được đưa ra (như khái niệm véc tơ, phương
trình tổng quát của đường thẳng, đường tròn...) làm cho HS thường khó khăn khi
tiếp cận. Bởi vậy cần thiết phải giúp HS liên hệ những kiến thức mới với kiến
thức đã học, đặt HS luôn phải tư duy để lĩnh hội cái mới từ những cái tương tự
đơn giản hơn. Với những lý do trên tôi đã chọn đề tài nghiên cứu là:
“Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 10 THPT theo hướng dạy học
phát hiện và vận dụng bài toán gốc có liên quan”

1


II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở lý luận của đề tài
1.1. Đổi mới phương pháp giáo dục
Về PPGD, điều 4, luật GD 2003 quy định:
“ PPGD phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của
người học, bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”.
Trong hoạt động dạy toán ở trường THPT, rèn tư duy cho HS là giúp cho HS
có khả năng phân tích tình huống hoặc vấn đề mà bàì toán nêu ra và cao hơn
nữa là tư duy sáng tạo ra các bài toán mới trên nền tảng kiến thức đã tích lũy
được.
Về cách dạy, phương pháp mới quan tâm nhiều đến việc tạo ra niềm vui,
hứng thú học tập cho học sinh. Xem đó như là động lực để phát huy tính tự giác,
tích cực, chủ động trong quá trình học tập của học sinh, đặc biệt là niềm vui,
hứng thú của một người tự mình tìm ra chân lí. "Nếu học sinh được độc lập quan
sát, so sánh, phân tích, khái quát hóa các sự kiện, hiện tượng thì các em sẽ hiểu

sâu sắc và hứng thú bộc lộ rõ rệt". Do đó, trong phương pháp giảng dạy, giáo
viên cần phải “biết dẫn dắt học sinh luôn tìm thấy cái mới, có thể tự tìm lấy kiến
thức, phải làm cho học sinh thấy mình mỗi ngày một trưởng thành” (Tài liệu Bồi
dưỡng giáo viên 2005, tr. 2). Hơn nữa, thực hiện định hướng "hoạt động hóa
người học", học sinh cần được cuốn hút vào các hoạt động học tập do giáo viên
tổ chức và chỉ đạo, thông qua đó tự lực khám phá những điều mình chưa biết,
chứ không phải là thụ động tiếp thu tri thức đã được sắp sẵn. Cần đặt học sinh
vào những tình huống thực tế, trực tiếp quan sát làm thí nghiệm, thảo luận, giải
quyết theo cách riêng của mình. Qua đó học sinh vừa nắm được kiến thức mới,
kỹ năng mới, vừa nắm được phương pháp làm ra kiến thức, kỹ năng đó, không
nhất thiết phải rập khuôn theo những mẫu sẵn có, được bộc lộ và phát huy tiềm
năng sáng tạo" (Tài liệu Bồi dưỡng giáo viên 2005, tr. 3).
1.2. Bài toán gốc
1.2.1 Bài toán: Thuật ngữ “Bài toán” được hiểu theo nghĩa rộng thông qua một
số định nghĩa sau:
G. Polya cho rằng: “Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có
ý thức, phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích rõ ràng nhưng không thể
đạt được ngay”.
Fanghaenel, Stoliar định nghĩa thuật ngữ “Bài toán” như sau:
“Bài toán” là một sự đòi hỏi hành động, trong đó đã quy định:
- Đối tượng của hành động (cái đã có trong bài toán).
- Mục đích của hành động (cái phải tìm trong bài toán).
- Các điều kiện của hành động (mối liên hệ giữa cái đã có và cái phải tìm).
Như vậy, khái niệm bài toán được gắn liền với hành động của chủ thể,
không thể nghiên cứu bài toán tách rời với hành động của chủ thể. Các hành
động của chủ thể trong giải Toán là: Phân tích bài toán, mô hình hoá và cụ thể
hoá các mối liên hệ bản chất trong bài toán, phát hiện hướng giải và xây dựng kế

2

hoạch giải bài toán, hành động thực hiện giải bài toán, kiểm tra đánh giá tiến
trình giải bài toán, hành động thu nhận kiến thức mới do bài toán đem lại.
Ở trường phổ thông, dạy Toán là dạy hoạt động Toán học cho học sinh
trong đó giải toán là hình thức chủ yếu. Do vậy dạy bài tập toán có vị trí quan
trọng trong dạy học Toán nhằm đạt nhiều mục đích khác nhau thể hiện ở các
chức năng:
* Chức năng dạy học:
- Bài tập nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo những vấn đề lí thuyết đã
học. Qua đó học sinh hiểu sâu hơn và biết vận dụng những kiến thức đã học vào
việc giải quyết các tình huống cụ thể.
- Có khi bài tập lại là một định lí, mà vì lí do nào đó không đưa vào lí thuyết.
Cho nên qua việc giải bài tập học sinh mở rộng được tầm hiểu biết của mình.
* Chức năng giáo dục: Qua việc giải bài tập mà hình thành cho học sinh thế
giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức
của người lao động mới.
* Chức năng phát triển: Bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy cho học
sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất
của tư duy khoa học.
*, Chức năng kiểm tra: Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy học,
đánh giá khả năng độc lập học Toán và trình độ phát trển của học sinh.
1.2.2 Bài toán gốc.
Bài toán gốc có thể hiểu là bài toán tương đối dễ, chỉ nhằm củng cố vận
dụng kiến thức, kỹ năng đã học ở mức độ đơn giản. Đồng thời bài toán gốc phải
thỏa mãn một trong ba điều kiện sau:
- Kết quả bài toán được sử dụng nhiều trong việc tìm tòi lời giải các bài
toán khác.
- Phương pháp giải bài toán được sử dụng nhiều trong việc tìm tòi lời giải
các bài toán khác.
- Nếu thay đổi (một phần) giả thiết hoặc kết luận thì được bài toán mới.

1.2.3. Bài toán nâng cao: Theo GS Đào Tam bài toán nâng cao là bài toán khi
giải vận dụng nhiều bước của quy trình giải toán và sử dụng nhiều kiến
thức bổ trợ, khắc sâu quy trình và khắc sâu các kiến thức của một dạng
toán.
1.2.4 Vai trò của bài toán gốc.
Qua thực tiễn quá trình dạy học đồng thời thông qua việc tìm hiểu, điều
tra từ giáo viên và học sinh ở các trường THPT trên địa bàn; tổng hợp các thông
tin có được khi tìm hiểu trên các phương tiện thông tin tôi nhận thấy khi giải
một bài toán, ta luôn luôn phải lợi dụng những bài toán đã giải, dùng kết quả,
phương pháp hay kinh nghiệm có được khi giải các bài toán đó. Hiển nhiên,
những bài toán dùng tới, phải có liên hệ nào đó với bài toán hiện có.Một bài
toán, vấn đề có thể bắt nguồn từ một bài toán, một vấn đề khác, cũng có thể là

3


một bộ phận của một bài toán, một vấn đề khác. Vì vậy, t rong dạy học Toán, bài
toán gốc có vai trò quan trọng như:
- Bài toán gốc nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo về vấn đề lí thuyết
đã học. Nhiều khi rèn luyện cho HS các bài toán gốc là một hình thức rất tốt để
dẫn dắt HS tự mình đi đến kiến thức mới.
- Khắc sâu được các định lí, khái niệm và mối quan hệ giữa chúng.
- Qua các bài toán gốc giúp HS áp dụng vào giải quyết các bài toán liên
quan một cách đơn giản hơn, lập luận lời giải được thu gọn hơn.
- Qua các bài toán gốc giúp HS huy động, kiến tạo ra được các bài toán
mới.
- Qua bài toán toán gốc GV và HS có thể xây dựng thành chuổi bài toán với
phương pháp giải đặc thù nhờ vào bài toán gốc.
2. Thực trạng của đề tài.
Qua thực tiễn quá trình giảng dạy tôi nhận thấy bài tập SGK là hệ thống bài

tập cơ bản, nhằm cũng cố kiến thức cho HS sau mỗi giờ học lí thuyết. Bài tập
SGK cũng chứa đựng nội dung kiến thức quan trọng, qua đó có thể mở rộng,
xây dựng được hệ thống các bài toán mới.
Đối với HS
+ HS chỉ có thể lĩnh hội được kiến thức nếu có một nền tảng kiến thức
vững vàng và khả năng sử dụng kiến thức đó vào việc giải thích, chứng minh hay
tìm tòi, phát hiện kiến thức mới. Trong khi đó tình trạng phổ biến của học sinh
hiện nay là kiến thức rất “mơ màng”. Chất lượng đại trà của HS còn yếu, số HS
tự mình tìm tòi kiến thức mới và giải quyết được vấn đề không nhiều. Do đó
việc kiến tạo nên hệ thống tri thức mới trên nền tri thức cũ bị hạn chế
+ Trong quá giải bài tâp toán, HS thường yếu trong việc chuyển đổi ngôn
ngữ để quy lạ về quen. Dẫn đến, việc vận dụng và phát triển tri thức gặp khó
khăn. Đồng thời sẽ dẫn đến những sai lầm rất dễ mắc phải.
+ Đa số học sinh học sinh thường có thói quen giải xong một bài toán xem
như là mình đã hoàn thành công việc được giao và dừng lại ở đó, ít có em học
sinh nào biết chủ động, khai thác, tìm tòi, suy nghĩ, vận dụng nó để giải một số
bài toán khác. Với những kiến thức đó thì chưa đủ để HS giải các bài toán nâng
cao, bài toán khó. Khi đứng trước một bài toán nâng cao HS thường gặp lúng
túng ko định hướng được cách giải, không hình dung ra hướng giải quyết.
+ HS chưa biết cách chọn lọc các kiến thức, không thể liên kết những kiến
thức cũ liên quan với vấn đề đặt ra hoặc không biết cách vận dụng kiến thức cũ
vào vấn đề mới như thế nào do đó ảnh hưởng lớn đến việc phát hiện và giải
quyết vấn đề. Điều này hạn chế đến việc huy động vốn kiến thức của HS, hạn
chế đến việc phát triển tư duy của HS trong học tập.
Đối với GV
Thời gian học tập của HS ở trên lớp còn hạn chế so với khối lượng tri
thức cần truyền đạt. Kế hoạch dạy học phải theo phân phối chương trình nên nếu
dạy học môn Toán lớp 10 nói chung, dạy học Hình học 10 nói riêng theo hướng
4

phát hiện và vận dụng các bài toán gốc liên quan, thì mất khá nhiều thời gian cho
việc củng cố kiến thức liên quan dẫn đến việc không thể hoàn thành bài giảng. Do
đó:
+Hầu hết GV về phương pháp dạy học còn nặng về thuyết trình, trong dạy
học chưa phát huy hết được năng lực chủ động, tích cực và sáng tạo của HS.
Nhiều GV chỉ tập trung hướng dẫn và yêu cầu HS làm các bài tập được giao trong
SGK mà chưa quan tâm nhiều đến việc phát hiện nguồn gốc của bài toán hay việc
phát triển, mở rộng và tổng quát bài toán.
+ Thường sau mỗi tiết lý thuyết là đến tiết bài tập, GV chỉ tập trung chữa
bài tập một cách thuần túy, chưa tìm cách xây dựng chuỗi bài tập nhằm củng cố,
khắc sâu lý thuyết đã học.Nhiều GV chưa thực sự quan tâm để giúp HS làm nổi
bật lên được mối quan hệ giữa các bài tập này với bài tập khác, giữa những kiến
thức đang học với những kiến thức trước đó. Khi dạy xong một chương GV
thường không hệ thống các dấu hiệu để nhận biết một đối tượng toán học nằm rải
rác trong chương. Chẳng hạn khi học xong chương “Véc tơ” (Hình học lớp 10)
nhiều GV chưa tổng kết lại cho HS nắm vững được có thêm những phương pháp
nào để chứng minh ba điểm thẳng hàng, chứng minh một véc tơ bằng vec tơ –
không...
+ Thường khi HS đã giải được một bài toán thì GV cũng thường bằng
lòng với lời giải đó mà chưa khuyến khích các em tìm ra các bài toán tương tự,
bài toán tổng quát hoặt đặt biệt hóa bài toán để tìm ra các bài toán mới.
Đối với sách giáo khoa hiện nay lượng kiến thức đưa ra có phần dàn trải,
các khái niệm, định lí chủ yếu là giới thiệu để ứng dụng, không chứng minh. Dẫn
đến việc coi nhẹ vấn đề hình thành khái niệm, định lí. Vì vậy nên một số GV ít
dành thời gian rèn luyện tư duy, tạo hứng thú kích thích tự tìm tòi nghiên cứu
mà chủ yếu bắt học sinh thừa nhận khái niệm, định lí, đưa ra quy tắc và yêu cầu
vận dụng giải bài tập, điều này ảnh hưởng không nhỏ đến chất lượng học tập của học
sinh. Ở nội dung này dạy học theo con đường phát hiện và vận dụng là rất cần
thiết.

3. Các biện pháp tổ chức thực hiện
3.1. Phát hiện và vận dụng bài toán gốc nhằm khắc sâu khái niệm.
Khái niệm là một hình thức của tư duy trừu tượng, phản ánh những mối
liên hệ và thuộc tính bản chất, phổ biến của một tập hợp các sự vật, hiện tượng
nào đó. Khái niệm đóng vài trò quan trọng trong tư duy khoa học nói chung,
môn toán nói riêng. Dạy học khái niệm là một trong những tình huống dạy học
điển hình, một khái niệm sau khi đã được học thường có những hoạt động củng
cố như: Nhận dạng và thể hiện, hoạt động ngôn ngữ, khái quát hoá, tương tự
hoá, đặc biệt hoá và hệ thống hoá những khái niệm đã học. Chính vì ý nghĩa và
tầm quan trọng đó của việc dạy học khái niệm mà GV cần phải quan tâm nhiều
đến việc đổi mới phương pháp dạy học để học sinh có động lực phát hiện, khắc
sâu khái niệm bằng chính thực lực của mình. Một trong những cách thức như
vậy chính là việc xây dựng bài toán sau đó phát triển thành chuỗi bài toán để
khắc sâu khái niệm sẽ góp phần nâng cao được các hoạt động củng cố khái
5


niệm. Chuỗi bài toán đóng vai trò là “cầu nối” các khái niệm, với các bài toán
mức độ khó khăn cao dần. Việc giải được các bài toán trong chuỗi sẽ tạo lập
được ở HS thói quen độc lập suy nghĩ, giúp các em có cách nhìn các khái niệm
toán học một cách có chiều sâu, có hệ thống, điều đó góp phần nâng cao chất
lượng học tập của các em.
Việc học tập để khắc sâu khái niệm có thể được thể hiện theo quy trình
sau:

Khái
niệm

Các
dạng

toán

Bài
toán
gốc

Bài
toán
nâng
cao

Chuổi
bài
toán

Ví dụ 1: Rèn luyện tư duy sáng tạo cho HS thông qua việc xây dựng
bài toán gốc để củng cố khái niệm về vectơ – không:
Nắm vững được ý nghĩa, tầm quan trọng của việc vận dụng bài toán gốc
trong dạy học với những cơ sở lý luận nêu trên tôi đã không ngừng vận dụng
trong suốt quá trình dạy học nói chung, dạy học môn toán lớp 10 nói riêng. Sau
khi HS đã được học khái niệm về vectơ – không tôi đã tổ chức cho học sinh
củng cố khái niệm bằng cách giải các bài tập có liên quan và xây dựng chuỗi bài
toán để khắc sâu khái niệm. Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn
đề, đan xen hoạt động nhóm, cụ thể trong tiết dạy bài tập (sau tiết lý thuyết về
vectơ) tôi đã yêu cầu học sinh giải bài toán gốc sau đây để củng cố khái niệm về
vectơ – không:
Bài toán 1: Cho ∆ ABC với trọng tâm G. Chứng minh rằng:

GA + GB + GC = O (SGK Hình học 10 trang 11, ban cơ bản)
Bằng việc dẫn dắt, gợi mở và tổ chức cho học sinh thảo luận thông qua

các câu hỏi:
+ Điểm G có tính chất gì?
+ Nếu gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, AB, CA thì các em
có được điều gì?
+ Thử vận dụng quy tắc 3 điểm và quy tắc hình bình hành?
HS đã dễ dàng giải được bài toán trên, cụ thể lời giải như sau:
3

uuuu
r uuur

uuuu
r

Lời giải: Ta có: GA + GB + GC = ( MA + PB + NC ) (với M, N, P lần
2
lượt là trung điểm của BC, AB, AC)
1
mà MA = MB + BA = CB + BA
2
1
PB = PC + CB = AC + CB
2

A
N

P

G

B

M
D

C
6


1
BA + AC
2
3
3
Suy ra MA + PB + NC = (CB + BA + AC ) = CC = 0
2
uuur uuur uuuu
r r 2
Vậy GA + GB + GC = 0 .
Sau khi HS đã giải được bài toán trên tôi không dừng lại mà tiếp tục nêu
vấn đề đòi hỏi học sinh phải tư duy để trả lời, chẳng hạn một vấn đề nêu ra đó
là: Nếu cho C ≡ B thì các em có được điều gì? Hãy phát biểu bài toán đó?
Bằng việc đặt học sinh đứng trước một khó khăn, thử thách mới ngay sau
khi họ đã giải quyết được khó khăn trước đó (giải Bài toán 1) HS đã phát hiện ra
mối liên hệ và tìm ra bài toán sau đây:
Bài toán 1.2: Cho đoạn thẳng AB có M là trung điểm. CMR MA + MB = 0 .
Như vậy thông qua việc dẫn dắt, gợi mở của GV mà HS dễ dàng nhận
thấy mối liên hệ giữa hai bài toán trên. Tuy vậy để rèn luyện tư duy sáng tạo,
tìm tòi phát hiện các vấn đề mới GV vẫn cần tiếp tục đặt vấn đề, dẫn dắt, gợi mở

để học sinh tìm ra các bài toán khác. Trong thực tiễn dạy học tôi đã đặt vấn đề:
Giả thiết của Bài toán1.2 có thể viết dưới dạng M là điểm thuộc đoạn AB thoả
mãn MA = MB. Thay đổi giả thiết này để có bài toán mới?
Câu trả lời mong đợi ở HS là việc tìm ra bài toán sau:
Bài toán 1.3: Cho đoạn thẳng AB, M là một điểm thuộc đoạn AB sao cho
MA=kMB (k là số thực). CMR MA + k MB = 0 .(Với bài toán trên k = 1)
Thông qua việc phát triển bài toán gốc để HS phát hiện các bài toán liên
quan thì GV không chỉ giúp cho học sinh củng cố, khắc sâu khái niệm vectơ –
không mà còn giúp HS hình thành thói quen tư duy tích cực, không ngừng phát
hiện tìm tòi cái mới. Tiếp tục đặt vấn đề: Quay trở lại với ví dụ ban đầu, nếu ta
gọi I là trung điểm của AM các em có được điều gì? ( AM = 2 IM ). Từ đó giáo
viên giúp HS tìm được bài toán mới:
Bài toán 1.4: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC, I là trung điểm
của AM. Chứng minh rằng 2 IA + IB + IC = 0 .
Tổng quát bài toán 1.4 ta có:
Bài toán 1.5: Cho tam giác ABC, M là điểm thuộc BC, I là điểm thuộc
đoạn AM thoả mãn MB = kMC và IA = hIM . CMR :
(k + 1) IA + h IB + hk IC = 0 .
Tùy theo từng đối tượng HS mà GV có thể phát triển, mở rộng bài toán
gốc ở những mức độ khác nhau. Đối với những đối tượng HS khá giỏi để phát
triển tư duy sáng tạo cho họ cần thiết GV phải khuyến khích, yêu cầu và định
hướng để HS tìm được những bài toán nâng cao có liên quan đến bài toán gốc.
Chẳng hạn từ Bài toán 1 tiếp tục khai thác theo hướng tìm điểm chia các cạnh
AB, BC theo một tỷ số khác để có các bài toán nâng cao mới:
NC = NA + AC =

7


Bài toán 1.6: (Bài toán nâng cao): Cho tam giác ABC, M là điểm thuộc

AB, N là điểm thuộc đoạn BC thoả mãn MA = kMB và CN = kNB .Gọi G là
giao điểm của AN và CM Chứng minh rằng GA + k GB + GC = 0 .
Bài toán 1.7: Cho đa giác đều A1 A2 … An có tâm O. Chứng minh rằng
OA1 + OA2 + ... + OAn = 0 ...
Như vậy từ khái niệm vectơ - không ta có thể khai thác thành các bài toán
mới ở mức độ khó khăn nâng cao dần. Nếu dừng lại ở bài toán ban đầu thì thật
là đáng tiếc, chúng ta đã bỏ phí đi một mảnh đất “màu mỡ” mà cần phải khai
thác. Hơn nữa việc dừng lại ở một bài toán, không đặt ra yêu cầu để HS tìm cách
phát triển bài toán sẽ vô hình chung kìm hãm tư duy sáng tạo của HS. Trong Ví
dụ nêu trên nếu việc phát triển, vận dụng bài toán gốc được GV khéo léo áp
dụng trong thực tiễn dạy học chắc chắn sẽ giúp học sinh vừa cũng cố, khắc sâu
khái niệm vừa giúp HS hình thành thói quen làm việc tích cực, không bằng lòng
với những gì đã đạt được quá dễ dàng. Thói quen suy nghĩ, tư duy tích cực đó
nếu được nhân lên trong suốt quá trình học tập chắc chắn HS sẽ có được kết quả
học tập tích cực.
3.2. Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc phát hiện và vận
dụng bài toán gốc nhằm khắc sâu định lí, quy tắc
Các định lí, quy tắc cùng với các khái niệm Toán học tạo thành nội dung
cơ bản của môn Toán, làm nền tảng cho việc rèn luyện kĩ năng bộ môn, đặc biệt
là khả năng suy luận và chứng minh. Việc thể hiện định lý được rèn luyện thông
qua việc giải các bài toán của chuỗi. Trong chuỗi các bài toán nhằm củng cố
định lý chúng ta cố gắng xây dựng trên cơ sở khái quát hoá, tương tự hoá các bài
toán quen thuộc với cách thức nâng cao dần mức độ khó khăn, đồng thời để giải
các bài toán của chuỗi cũng cần phải đặc biệt hoá để đưa về các bài toán đơn
giản hơn. Điều đó sẽ giúp cho HS nhìn nhận những ứng dụng khá phong phú
của các định lý toán học, từ đó giúp các em hứng thú hơn trong học tập, phát
huy khả năng sáng tạo của các em.
Vận dụng “Bài toán gốc” trong dạy học định lý thường theo quy trình sau:

Khái

niệm,
định
lý

Dạng
toán
ứng
dụng

Quy
trình
giải

Xây dựng các
bài tập gốc
vận dụng quy
trình

Các
bài
toán
nâng
cao

Chúng ta muốn học sinh nắm được các hệ thống định lý và những mối liên
hệ giữa chúng, từ đó có khả năng vận dụng định lí vào các hoạt động giải Toán
cũng như giải quyết các vấn đề trong thực tiễn. Vì vậy trong quá trình dạy học
định lí chúng ta phải chú ý tới việc xem xét các định lý trong mối liên hệ với các
đối tượng và định lý khác. Phải luôn đặt nó trong những mối quan hệ để thấy
được nguồn gốc ra đời, điều kiện tồn tại và ý nghĩa thực tiễn của nó.

8


Trong quá trình dạy học định lý GV phải tổ chức được các hoạt động nhận
thức cho HS, định hướng cho các em tự tìm ra định lý và khai thác định lý dưới
nhiều hình thức khác nhau, từ đó tìm ra những tính chất tổng quát hơn. Khi đó
các em sẽ thấy được tầm quan trọng của việc phát hiện, chứng minh và ứng
dụng định lý trong Toán học.
Ý thức được vai trò, ý nghĩa của việc dạy học định lý nêu trên tôi đã áp
dụng vào trong thực tiễn dạy học môn toán lớp 10, sau đây là một ví dụ cụ thể:
Ví dụ 2: Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông vận dụng bài
toán gốc nhằm khắc sâu định lý cosin trong tam giác:
Xuất phát từ Định lý cosin trong tam giác mà HS đã được học:
(Bài toán 2) Với mọi tam giác ABC ta đều có:
2
a = b2 + c2 - 2bc cosA;
b2 = a2 + c2 - 2ac cosB;
c2 = a2 + b2 - 2ab cosC
Trong thực tiễn dạy học tôi đã hướng để HS xem định lý trên như là một
bài toán gốc để có thể vận dụng, phát triển thành một chuỗi bài toán, dạng toán
có liên quan. Cụ thể sau khi HS đã nắm được định lý cosin, GV có thể đặt vấn
đề: Từ định lý cosin em hãy nêu công thức tính cosin của một góc trong tam
giác khi biết độ dài ba cạnh? Vấn đề nêu trên dễ dàng được HS trả lời và rút ra
được công thức (Bài toán 2.1):
a 2 + c2 − b2
a 2 + b2 − c2
b2 + c2 − a 2
cos B =
; cos C =
; cos A =

2bc
2ac
2ba
Tiếp tục đặt vấn đề phát triển ta có các bài toán sau đây:
Bài toán 2.2. (Bài toán về nhận dạng tam giác) Cho tam giác ABC có độ
dài ba cạnh AB = c, BC = a, CA = b hãy tìm điều kiện cần và đủ để tam giác đó
là tam giác tù, nhọn hay vuông?
Tóm tắt lời giải: Cho phép ta xét góc A (hoặc B, C) nhọn, vuông hay tù
thông qua các cạnh của tam giác. Cụ thể:
A nhọn ⇔ b2 + c2 > a2 ; A tù ⇔ b2+ c2 < a2; A vuông ⇔ b2 + c2 = a2(hệ quả 2)
b 2 + c 2 > a 2
 2
2
2
∆ ABC có 3 góc nhọn ⇔ a + c > b (I)
b 2 + a 2 > c 2

∆ ABC có góc tù

b 2 + c 2 < a 2

⇔ a 2 + c 2 < b 2 (II)

b 2 + a 2 < c 2


∆ ABC vuông

b 2 + c 2 = a 2


⇔ a 2 + c 2 = b 2 (III)
b 2 + a 2 = c 2


Tiếp tục phát triển định lý: Viết công thức a 2 = b2 + c2 - 2bc. cosA dưới
dạng a2 = b2 + c2 - 2bcsinA. cot A ⇒ a2 = b2 + c2 - 4S. cotA

9


suy ra cot A =

b2 + c2 − a 2
a 2 + c2 − b2
. Tương tự ta cũng có cot B =
,
4S
4S

b2 + a 2 − c2
cot C =
(Bài toán 2.3)
4S
Thực chất Bài toán 2.2, 2.3 có thể xem là các hệ quả của định lý cosin (bài
toán gốc) các bài toán này lại có thể xem là những bài toán gốc để giải quyết
một loạt các bài toán, các dạng toán liên quan, cụ thể:
Dạng 1: Chứng minh các đẳng thức liên quan tới các đại lượng giữa
góc và cạnh trong tam giác
Bài toán 2.4: CMR trong mọi tam giác ABC ta có a = bcosC + ccosB
Đây là bài toán trong SGK được đưa ra để HS vận dụng định lý cosin, tuy

nhiên trong quá trình dạy học giáo viên vẫn có thể giúp HS tự tìm ra bài toán từ
Bài toán 2.1.
Tương tự như ở Bài toán 2.4 HS dễ dàng nhận thấy được:
b = a.cosC + c.cosA ; c = b.cosA + a.cosB
GV tiếp tục đặt vấn đề: Hãy cộng các đẳng thức trên và biến đổi và biến
đổi để có được các bài toán mới?
Bằng các câu hỏi phù hợp với đối tượng HS kết hợp với sự hướng dẫn, gợi
mở GV có thể giúp HS tìm ra hàng loạt bài toán có liên quan. Hoặc nếu gặp một
bài toán liên quan HS có thể dễ dàng trong việc liên hệ giữa chúng với những
bài toán nêu trên. Sau đây là những bài toán mới GV mong muốn HS tìm ra
hoặc liên hệ được với bài toán gốc để tìm ra cách giải:
Bài toán 2.5: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:
a/ a + b + c = (b + c)cosA + (c + a)cosB + (a + b)cosC.
b/ b(cosA + cosC) + c(cosB + cosA) = a + b + c - a(cosB + cosC)
Bài toán 2.6: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:
a. a2 + b2 + c2 = 2abcosC + 2bccosA + 2cacosB.
b. 2abc(cosA + cosB) = (a + c - b)(b + c - a) (a+b).
c. abc(cosA + cosB + cosC) - a2(p - a) = b2(p - b) + c2(p - c).
d. bc(b2 - c2)cosA + ac(c2 - a2)cosB + ab(a2 - b2)cosC = 0.
Dạng 2: Nhận dạng tam giác
Từ Bài toán 2.2 GV có thể đưa ra hoặc giúp học sinh tìm ra các bài toán nâng
cao sau:
Bài toán 2.7: Cho a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam
giác ABC và a5 = b5+c5. CMR tam giác ABC nhọn.
GV tiếp tục đặt vấn đề để HS tìm được hay giải được bài toán tổng quát:
Bài toán 2.8: Cho an = bn + cn. CMR tam giác ABC nhọn với a, b, c là 3
cạnh của tam giác ABC, n ≥ 3.
Dạng 3: Các bài toán liên quan tới độ dài các đoạn thẳng.

10

Xuất phát từ các bài toán gốc (định lý cosin và các hệ quả) GV có thể giúp
HS tìm ra bài toán hay tìm ra cách giải các bài toán khác liên quan đên độ dài
các đoạn thẳng với các mức độ từ dễ đến khó. Chẳng hạn các bài toán sau đây:
Bài toán 2.9: Cho tam giác ABC có BC = a, AB = c, AC = b. Trên cạnh
BC lấy điểm D sao cho BD = p (0 ≤ p ≤ a). Tính AD.
Bài toán 2.10 : Cho tam giác ABC có BC = a, AB = c, AC = b. Trên cạnh
BC lấy điểm D. Đặt BD = p, CD = n và AD = d.
Chứng minh rằng : ad2 = pb2 + nc2 - pna.
Bài toán 2.11: Cho tam giác ABC có BC = a, AB = c, AC = b, trên cạnh
DB m
= . Chứng minh rằng :
BC lấy điểm D sao cho
DC n
m
n
mn
AC 2 +
AB 2 −
BC 2 .
AD2 =
2
m+n
m+n
(m + n)
DB 1
= ta có được bài toán :
Trong bài toán 2.10 ta chọn
DC k

Bài toán 2.12: Cho tam giác ABC có BC = a, AB = c, AC = b trên cạnh
DB 1
= . Chứng minh rằng :
BC lấy điểm D sao cho
DC k
k
k
k
AC 2 +
AB 2 −
BC 2 .
AD2 =
2
k +1
k +1
( k + 1)
Trên đây là một vài khai thác từ định lý hàm số cosin bằng việc vận dụng
và phát triển bài toán gốc ở nhiều góc độ khác nhau ta đã thu được những dạng
toán, bài toán khác nhau, điều này cho thấy được sự hấp dẫn của toán học. Như
vậy định lý hàm số cosin có thể xem như một gốc cây mà từ đó đẻ ra nhiều
nhánh cây, cành cây khác để được một cây hoàn chỉnh.
Như vậy trong dạy học định lý GV cần phải biết khéo léo đặt vấn đề, gợi
mở, dẫn dắt để học sinh luôn tư duy liên hệ giữa định lý đã học với bài toán hiện
tại, với những bài toán liên quan khác. Quá trình tư duy đó được phát triển chắc
chắn sẽ đồng nghĩa với tính sáng tạo, hiệu quả trong học tập của HS ngày càng
được nâng cao.
3.3. Phát hiện và vận dụng bài toán gốc trong dạy học giải bài tập
Trong trường phổ thông có thể xem việc giải bài tập là hình thức chủ yếu
của hoạt động toán học đối với HS. Các bài toán là một phương tiện không thể
thay thế được trong quá trình giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình

thành các kỹ năng, kỹ xảo, phát triển năng lực sáng tạo, giải quyết các yêu cầu
thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục tiêu
dạy toán ở trường phổ thông.
Ta thấy rằng bài tập SGK được biên soạn khá công phu và có nhiều tiềm
năng để phát triển năng lực sáng tạo cho HS, tuy nhiên để làm tốt hơn việc này
thì cần phải bổ sung một lượng bài tập thích hợp nhằm phát huy được tối đa khả

11


năng sáng tạo của các em, trong đó phải có những bài tập khó dành riêng cho
HS khá và giỏi, đặc biệt là những bài tập có thể tương tự hoá, khái quát hoá, đặc
biệt hoá... Thầy giáo là người tổ chức cho HS làm việc, HĐ tìm tòi phát hiện
chân lí khoa học. Lớp học phải trở thành một cộng đồng xã hội trong đó có sự
hợp tác học tập của tất cả các thành viên sao cho mọi người được phát huy đầy
đủ năng lực và trách nhiệm của mình. Từ thực tiễn dạy học môn Toán lớp 10 tôi
xin đưa ra một vài ví dụ của việc xây dựng chuỗi bài toán để thấy rõ hơn vai trò
của chuỗi bài toán đối với việc nâng cao tư duy sáng tạo cho HS.
Ví dụ 3: Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua vận dụng,
phát triển bài toán gốc (Bài toán 3): “Cho x, y, z là ba số thực dương. Chứng
minh: ( x + y)( y + z )( z + x) ≥ 8 xyz ” (1)
(Bài 8-Sách Bài tập Đại số 10, NXB Giáo Dục).
Bài toán trên có thể được đưa ra để yêu cầu học sinh giải trong tiết bài tập
ngay sau khi được học các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức trong chương trình
Đại số lớp 10. Có nhiều cách để chứng minh cho bài toán này, GV có thể định
hướng để HS giải bài toán bằng vận dụng bất đẳng thức CauChy ( bất đẳng thức
trung bình cộng, trung bình nhân), lời giải lời tóm tắt như sau:
+ Theo BĐT CauChy ta có
 x + y ≥ 2 xy > 0



 y + z ≥ 2 yz > 0 . Suy ra: ( x + y )( y + z )( z + x) ≥ 8 xyz

z + x ≥ 2 zx > 0



(đpcm).

+
Sau khi HS đã giải được bài toán để rèn luyện tư duy sáng tạo cho HS giáo
viên có thể định hướng để HS phát hiện, tìm cách giải được các bài toán liên
quan. Chẳng hạn có thể đặt vấn đề: Nếu ta đặt x = a + b - c; y = b + c – a; z = c
+ a – b với a, b, c là 3 cạnh của một tam giác thì bài toán trên sẽ trở thành bài
toán nào? HS tư duy để trả lời câu hỏi của GV và kết quả mong muốn là họ tìm
được bài toán mới:
Bài toán 3.1: “Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng
minh rằng: abc ≥ (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) ” (2)
Tiếp tục đặt vấn đề: Ta thử “đi tìm” cách chứng minh bài toán 3.1 khi a, b,
c là ba số dương và không là ba cạnh của một tam giác. Giả sử a, b, c không là
ba cạnh của một tam giác khi đó xảy ra ba khả năng: a ≥ b + c; b ≥ c + a; c ≥ a + b
. Với a ≥ b + c ta có: a + b − c ≥ b + c + b − c = 2b > 0 ;
b + c − a ≤ b + c − b − c = 0 ; c + a − b ≥ c + b + c − b = 2c > 0 ⇒
( b + c − a ) ( c + a − b ) ( a + b − c ) ≤ 0 . Suy ra abc > 0 ≥ (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) .
Tương tự cho các trường hợp còn lại. Từ đó có được bài toán::
Bài toán 3.2: “Cho x, y, z là ba số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:
xyz ≥ ( y + z − x)( z + x − y )( x + y − z ) ” (3)

12

Đối với HS khá giỏi nếu dừng lại ở đây sẽ không phát huy hết được sự sáng tạo,
không tạo được thử thách đòi hỏi họ phải thực sự nỗ lực tư duy. GV cần phải
giúp HS mở rộng theo hướng nâng cao bài toán.
GV có thể đặt vấn đề: Áp dụng Bài toán 3 cho ba số dương:
sinA, sinB, sinC với A, B, C là ba góc của một tam giác ta sẽ thu được điều gì?
Câu trả lời mong muốn ở HS:
(s inA + sinB)(s inB + sinC )(s inC + sinA) ≥ 8sin A sin BsinC
C
A− B
A
B −C
B
C−A
⇔ 8cos cos
cos cos
cos cos
2
2
2
2
2
2
A
A
B
B
C
C
≥ 64sin cos sin cos sin cos

2
2
2
2
2
2
A− B
B −C
C−A
A
B
C
⇔ cos
cos
cos
≥ 8sin sin sin
2
2
2
2
2
2
Ta thu được bài toán sau:
Bài toán 3.3: “Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng:
A− B
B −C
C−A
A
B
C

cos
cos
cos
≥ 8sin sin sin ”.
2
2
2
2
2
2
Rõ ràng nếu GV không rèn luyện cho HS tư duy liên hệ giữa bài toán này
với bài toán khác thì rất khó để HS dễ dàng nhận ngay ra được mối liên hệ rất
“mật thiết” giữa các bài toán nêu trên. Việc liên tưởng tới ba số dương sinA,
sinB, sinC như là một trường hợp đặc biệt của ba số dương bất kỳ a, b, c có thể
được xem như một sự sáng tạo. Tích cực khuyến khích để HS luôn mạnh dạn
tìm cách sáng tạo như vậy trong suốt quá trình dạy học sẽ giúp HS hình thành
thói quen tư duy sau khi giải xong mỗi bài toán.
Đến đây có thể GV không cần đặt vấn đề gợi mở như trên HS vẫn có thể tư
A
B
C
duy để tiếp tục vận dụng Bài toán 1 cho ba số dương: tan , tan , tan
2
2
2
Sin 2 A, Sin 2 B, Sin 2C với A, B, C là ba góc của một tam giác tam giác để có được
các bài toán:
Bài toán 3.4. Trong tam giác ABC ta luôn có:
A
B

B
C
C
A
A
B
C
(tan + tan )(tan + tan )(tan + tan ) ≥ 8tan tan tan
2
2
2
2
2
2
2
2
2
C
A
B
A
B
C
cos
cos
cos
sin sin sin
2
2
2

2
2
2 ⇔ sin A sin B sin C ≤ 1
⇔
≥8
B
A
B
B
C
C
A
A
C
2
2
2 8
cos cos cos cos cos cos
cos cos cos
2
2
2
2
2
2
2
2
2
.
Bài toán 3.5: “Cho tam giác nhọn ABC .

cos( A − B)cos( B − C )cos(C − A)
≥8
CMR:
cosA.c osB.cos C

13


Tiếp tục áp dụng Bài toán 1 cho ba số dương: p − a, p − b, p − c ; trong đó a, b, c
a+b+c
là ba cạnh của một tam giác và p =
ta có:
2
( p − a + p − b)( p − b + p − c)( p − c + p − a) ≥ 8( p − a)( p − b)( p − c)
⇔ abc ≥ 8( p − a)( p − b)( p − c) ≥ 16S 2
1
1
1
⇔ a 2 (b2 + c2 ) + b2 (c 2 + a 2 ) + c 2 (a 2 + b2 )
2
2
2

2 1
2
1
2 1
≥ 16S 2 + a2 ( b − c ) + b2 ( c − a ) + c2 ( a − b )
2
2

2
2 1
2
1
2 1
⇔ a 2b 2 + b2c 2 + c 2a 2 ≥ 16S 2 + a 2 ( b − c ) + b2 ( c − a ) + c 2 ( a − b )
2
2
2
Ta thu được bài toán sau:
Bài toán 3.6: Cho tam giác ABC có diện tích S . Đặt BC = a, CA = b, AB = c
. Chứng minh bất đẳng thức:
2 1
2
1
2 1
a 2b2 + b2c 2 + c 2a 2 ≥ 16S 2 + a 2 ( b − c ) + b 2 ( c − a ) + c 2 ( a − b )
2
2
2
Đẳng thức xảy ra khi nào? ”
( Bài T7/376- THTT năm 2008).

Đối với Bài toán 3.1, GV có thể đặt vấn đề để HS khai thác và phát triển
thành bài toán:
Bài toán 3.7: “Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp, bán
kính đường tròn nội tiếp lần lượt là R, r . Chứng minh rằng: R ≥ 2r ”.
Tiếp tục “khai thác” ta có:
BĐT(2) ⇔ abc(a + b + c) ≥ (a + b + c)(b + c − a )(c + a − b)(a + b − c)
⇔ abc(a + b + c) ≥ 16 p( p − a)( p − b)( p − c) ⇔ abc(a + b + c ) ≥ 16S 2

⇔ (ab)(bc) + (bc)(ca) + (ca)(ab) ≥ 16S 2 (*)
Ta áp dụng BĐT quen thuộc ( x + y + z ) 2 ≥ 3( xy + yz + zx) cho ba số dương
ab, bc, ca ta được BĐT ( ab + bc + ca ) 2 ≥ 3  (ab)(bc) + (bc)(ca) + (ca)(ab)  . Kết
hợp với (*) ta có ( ab + bc + ca ) 2 ≥ 48S 2 ⇔ ab + bc + ca ≥ 4 3S . Từ đó ta thu
được bài toán.
Bài toán 3.8: “Cho tam giác ABC có diện tích bằng S .
Đặt BC = a, CA = b, AB = c . Chứng minh bất đẳng thức: ab + bc + ca ≥ 4 3S ”.
Thêm một bước biến đổi cho BĐT thu được trong bài toán 3.8 như sau

14


ab + bc + ca ≥ 4 3S
2 1 
2 1
1
2
⇔  a 2 + b2 − ( a − b )  + b2 + c2 − ( b − c )  + c 2 + a 2 − ( c − a )  ≥ 4 3S
2

 2
 2
2 1
2 1
1
1
1
1
2
⇔ a 2 + b2 + b2 + c2 + c 2 + a 2 ≥ 4 3S + ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )

2
2
2
2
2
2
2 1
2 1
1
2
⇔ a 2 + b2 + c2 ≥ 4 3S + ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )
2
2
2
Ta thu được bài toán sau:
Bài toán 3.9:
“Cho tam giác ABC có diện tích bằng S .Đặt BC = a, CA = b, AB = c . CMR:
2 1
2 1
1
2
a 2 + b2 + c 2 ≥ 4 3S + ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ”.
2
2
2
Áp dụng BĐT quen thuộc: “ x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + xz ”cho ba số dương
ab, bc, ca ta được BĐT: a 2b2 + b2c 2 + c2a 2 ≥ (ab)(bc) + (bc)(ca) + (ca )(ab) .

(

) (

) (

)

Kết hợp với Bài toán trên ta có BĐT:
2 1 
2
1
a 2b2 + b2c2 + c 2a 2 ≥ 16S 2 ⇔  a 4 + b4 − a 2 − b2  + b4 + c4 − b2 − c 2  +
2
 2


(



)



(



)



2
1
1
1
1
+  c4 + a 4 − c 2 − a2  ≥ 16S 2 ⇔ a4 + b4 + b4 + c 4 + c 4 + a 4 ≥
2
2
2
2



(

)

(



) (

) (

)

2
2 1

2
2 1
1
2
2
a + b) ( a − b) + ( b + c) ( b − c) + ( c + a) ( c − a )
(
2
2
2
Từ đó thu được bài toán sau:
Bài toán 3.10: “Cho tam giác ABC có diện tích bằng S . Đặt
BC = a, CA = b, AB = c . Chứng minh bất đẳng thức:
2
2 1
2
2 1
1
2
2
a 4 + b4 + c4 ≥ 16S 2 + ( a + b ) ( a − b ) + ( b + c ) ( b − c ) + ( c + a ) ( c − a ) ”.
2
2
2
Ví dụ 4: Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua vận dụng,
phát triển bài toán gốc (Bài toán 4):
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) có phương trình
x 2 + y 2 − 4x + 6y + 8 = 0 và điểm H= (4;1). Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường
⇔ a 4 + b4 + c 4 ≥ 16S 2 +

tròn ( C ) sao cho:
a)
Độ dài đoạn thẳng MH nhỏ nhất.
b)
Độ dài đoạn thẳng MH lớn nhất.
Tóm tắt lời giải:
Đường tròn ( C ) có tâm I = ( 2; −3) , bán kính R = 5 .
Ta có: IH = ( 4 − 2 ) + ( 1 + 3) = 20 = 2 5 > R . Suy ra, điểm H nằm ngoài
2

2

đường tròn ( C ) .

15


Gọi d là đường thẳng uđi
qua hai điểm I và H. Khi đó, đường thẳng d
ur
có một vectơ chỉ phương là IH = ( 2; 4 ) , suy ra đường thẳng d có một vectơ
uur
pháp tuyến là n d = ( 2; −1) .
Suy ra, đường thẳng d có phương trình tổng quát là:
2 ( x − 2 ) − ( y + 3) = 0 hay đường thẳng d có phương trình: 2x − y − 7 = 0 .
Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và đường tròn ( C ) là nghiệm của
hệ phương trình:
2x − y − 7 = 0
 y = 2x − 7
x = 1

x = 3
⇔  2
⇔ 
 2
hoặc

2
 y = −5
 y = −1
 x + y − 4x + 6y + 8 = 0
 x − 4x + 3 = 0
Vậy đường thẳng d cắt đường tròn ( C ) tại hai điểm A = ( 1; −5 ) và B = ( 3; −1) .

Ta có:

AH =

BH =

( 4 − 3)

( 4 − 1)
2

2

+ ( 1 + 5 ) = 45 = 3 5 > IH
2

+ ( 1 + 1) = 5 < IH Suy ra, điểm B nằm giữa hai điểm A và H.

2

Áp dụng kết quả ví dụ 3.3.12, ta có:
a) Độ dài đoạn thẳng MH nhỏ nhất bằng BH = 5 khi điểm M ≡ B = ( 3; −1) .
b) Độ dài đoạn thẳng MH lớn nhất bằng AH = 3 5 khi điểm M ≡ A = ( 1; −5 ) .
Nếu chỉ yêu cầu HS tìm cách giải bài toán này và dừng lại khi HS đã giải
được bài toán thì giáo viên đã không thể khai thác hết được những tác dụng mà
bài toán mang lại cho việc phát triển tư duy sáng tạo cho HS. Đối với bài toán
trên GV có thể yêu cầu HS tìm cách phát biểu lại bài toán từ đó giúp HS tìm ra
các bài toán mới thực chất cũng là bài toán ban đầu nhưng được phát biểu khác
đi:
Bài toán 4.1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) có
phương trình: x 2 + y 2 − 4x + 6y + 8 = 0 và điểm H= (4;1). M là một điểm nằm trên
đường tròn ( C ) . Chứng minh rằng: 5 ≤ MH ≤ 3 5
Bài toán 4.1 là bài toán đơn thuần trong hình học giải tích nhưng nếu ta bỏ
đi các yếu tố về điểm và đường tròn với hệ tọa độ Oxy thì ta được bài toán mới
về bất đẳng thức đại số:
Bài toán 4.2. Cho hai số thực a, b thỏa mãn: a 2 + b 2 − 4a + 6b + 8 = 0
Chứng minh rằng:

5≤

( a − 4)

2

+ ( b − 1) ≤ 3 5
2

Lời giải:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, gọi điểm M = ( a; b ) . Từ giả thiết,
a 2 + b 2 − 4a + 6b + 8 = 0 suy ra điểm M nằm trên đường tròn ( C ) có phương
trình: x 2 + y 2 − 4x + 6y + 8 = 0 .
Khi đó, ta có:

( a − 4)

2

2
+ ( b − 1) = HM với điểm H = ( 4;1) .

Áp dụng kết quả Bài toán 3.3.11, ta có:
BH ≤ MH ≤ AH tương đương với

5≤

( a − 4)

2

+ ( b − 1) ≤ 3 5
2

16


a = 3

,

b = −1
a = 1
2
2

.
( a − 4 ) + ( b − 1) = 3 5 khi và chỉ khi
 b = −5
a = 3
2
2
2
2
5 ≤ ( a − 4 ) + ( b − 1) ≤ 3 5 , ( a − 4 ) + ( b − 1) = 5 khi

,
b = −1
a = 1
2
2
khi và chỉ khi

.
( a − 4 ) + ( b − 1) = 3 5
 b = −5

( a − 4)

Vậy

2

+ ( b − 1) = 5
2

khi và chỉ khi

Thông qua hai ví dụ nêu trên một lần nữa khẳng định rằng các bài toán
không ngẫu nhiên xuất hiện, không tồn tại cô lập mà có liên hệ với nhiều bài
toán khác. Nhiều bài toán hình học đơn thuần có thể giải quyết bằng chuyển đổi
ngôn ngữ sang bài toán đại số và ngược lại. Chính vì vậy trong quá trình dạy học
GV cần không ngừng rèn luyện cho HS tư duy để liên hệ giữa các bài toán với
nhau, việc vận dụng khai thác, phát triển bài toán gốc chính là một hình thức
hữu hiệu để rèn luyện quá trình tư duy đó.
4. Kết quả thực nghiệm của đề tài
Tôi đã sử dụng đề tài nghiên cứu trên vào quá trình dạy học và đã đạt được
những kết quả tích cực ở cả hai mặt định tính và định lượng, cụ thể như sau:
4.1. Kết quả định tính
Về ý kiến của giáo viên dự giờ thực nghiệm:
- Đa số các giáo viên nhất trí với nội dung thực nghiệm, đặc biệt ủng hộ
các giải pháp và phương thức đã nêu trong đề tài. Các thấy cô đều đồng tình với
phương thức tổ chức dạy học định lí, khái niệm theo hướng vận dụng và phát
hiện bằng các phương pháp dạy học tích cực giúp học sinh hoạt động nhiều, học
tập tích cực, chủ động , sáng tạo, linh hoạt hơn. Các thấy cô rất đồng ý với cách
phát phiếu học tập cho từng nhóm học sinh với mục đích thể hiện sự hợp tác tạo
mỗi tương tác cho các em học tập hiệu quả hơn.
Về ý kiến của học sinh ở lớp dạy thực nghiệm:
Qua quan sát bằng phiếu điều tra sau mỗi tiết dạy thực nghiệm đối với
HS, tôi rút ra những ý kiến phản hồi từ phía các em về: nội dung bài học; lượng
kiến thức; mức độ tiếp thu bài học; đề xuất ý kiến cho tiết dạy tiếp theo như sau:

Phần lớn HS cho rằng: tiết học sôi nổi, cuốn hút nhiều HS tham gia vào
bài học, các em thích thú với phần thảo luận nhóm, tạo cho các em có cơ hội
phát biểu ý kiến của mình đồng thời cũng để khẳng định được năng lực của
mình chính xác hơn, từ đó có hướng phấn đấu thích hợp. Nội dung bài học là
phù hợp với hầu hết HS.
Về cách tiếp cận tiết học 100% học sinh có ý kiến là các em khám phá
kiến thức mới dưới sự huy động kiến thức đã có, rèn luyện kỹ năng phát hiện và
giải quyết vấn đề để tìm tòi cái mới.
Qua quan sát các giờ học được tiến hành theo tiến trình đó được xây
dựng, chúng tôi nhận thấy học sinh lớp thực nghiệm có chuyển biến tích cực
hơn so với trước thực nghiệm:
17


- Học sinh hứng thú trong giờ học Toán : điều này được giải thích là do
trong khi các em được hoạt động, được suy nghĩ, được tự do bày tỏ quan điểm,
được tham gia vào quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề nhiều hơn; được
tham gia vào quá trình khám phá và kiến tạo kiến thức mới.
- Khả năng phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hóa, đặc biệt
hóa, hệ thống hóa của học sinh tiến bộ hơn: điều này để giải thích là do giáo
viên đó chú ý hơn trong việc rèn luyện các kỹ năng này cho các em.
- HS tập trung chú ý nghe giảng, thảo luận nhiều hơn: điều này được giải
thích là do trong quá trình nghe giảng theo cách dạy học mới, HS phải theo dõi,
tiếp nhận nhiều hơn các nhiệm vụ học tập mà giáo viên giao, nghe những hướng
dẫn, gợi ý, điều chỉnh,... của giáo viên để thực hiện các nhiệm vụ đề ra.
- Việc ghi chép, ghi nhớ thuận lợi hơn: điều này được giải thích là do trong
dạy học, giáo viên đó quan tâm tới việc tạo điều kiện để học sinh ghi chép theo
cách hiểu của mình.
- Việc đánh giá, tự đánh giá bản thân được sát thực hơn: điều này do
trong quá trình dạy học, giáo viên đó cho học sinh thảo luận giữa thầy và trò, trò

với trò được trả lời bằng các phiếu trắc nghiệm và khả năng suy luận của bản thân.
- Học sinh tự học, tự nghiên cứu ở nhà thuận lợi hơn: điều này được giải
thích là do trong các tiết học ở trên lớp , giáo viên đó quan tâm tới việc hướng
dẫn học sinh tổ chức việc tự học, tự nghiên cứu ở nhà.
- Học sinh tham gia vào bài học sôi nổi hơn, mạnh dạn hơn trong việc
bộc lộ kiến thức của chính mình: điều này là do trong quá trình dạy học, giáo
viên yêu cầu học sinh phải tự phát hiện và tự giải quyết một số vấn đề; tự khám
phá và tự kiến tạo một số kiến thức mới, học sinh được tự thảo luận với nhau và
được tự trình bày kết quả làm được.
4.2. Kết quả định lượng
Trong năm học 2014 - 2015 tôi đã tiến hành thực nghiệm nhằm đánh giá
hiệu quả của đề tài tại lớp 10C6 và lớp 10C7 - Trường THPT Yên Định 2. Kết
quả học tập môn Toán của hai lớp là tương đương (đánh giá qua quá trình trực
tiếp giảng dạy). Cụ thể tôi tiến hành dạy ôn tập chủ đề tự chọn (3 tiết) cho học
sinh hai lớp 10C6 và 10C7. Tôi chọn lớp 10C7 làm lớp dạy học thực nghiệm (sử
dụng đề tài), lớp 10C6 làm lớp dạy học đối chứng (không sử dụng đề tài). Sau
khi dạy thực nghiệm và đối chứng tôi tiến hành cho học sinh hai lớp làm bài
kiểm tra 45 phút và đã thu được kết quả thống kê theo bảng sau:
Lớp
Sĩ
Giỏi
Khá
Trung bình Yếu
Kém
số
SL
%
SL
%
SL %

SL
%
SL %
10C6 45
8
17,8 10
22, 24 53,3 3
6,7 0 0
2
10C7 47
14
29,8 15
31, 16 34
2
4,3 0 0
9
Từ những kết quả cả về định tính, định lượng nêu trên có thể khẳng định
phương án tổ chức các tình huống dạy học định lý, khái niệm, bài tập toán theo
18


hướng vân dụng và phát triển bài toán gốc cho học sinh là khả thi và hoàn toàn
có thể áp dụng trong thực tiễn dạy học. Thực hiện các biện pháp đó sẽ góp phần
phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn
toán cho học sinh lớp 10 nói riêng, học sinh THPT nói chung.

III. KẾT LUẬN
Đề tài đã thu được một số kết quả như sau:
- Đưa ra được một số quan niệm, cơ sở lý luận về bài toán, bài toán gốc, bài
toán nâng cao.

- Nêu bật lên được vai trò của bài toán gốc đối với dạy học bộ môn toán nói
chung, dạy học môn toán lớp 10 nói riêng.
- Làm rõ cơ sở lý luận và thực tiễn của việc phát hiện và vận dụng các bài
toán mới, chuổi bài toán thông qua việc khai thác bài toán gốc ở trường THPT.
- Đã minh chứng bằng những ví dụ cụ thể về việc vận dụng, phát triển bài
toán gốc có liên quan chặt chẽ đến việc rèn luyện, phát triển tư duy sáng tạo cho
học sinh.
- Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi và hiệu quả của
những biện pháp được đề xuất.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong việc nghiên cứu, thực hành rồi hoàn
thành đề tài song đề tài chắc chắn không tránh khỏi những thiếu xót. Tôi rất
mong các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp góp ý để tôi hoàn thiện hơn đề tài
của mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 15/5/2015
Tôi xin cam đoan đây là SKKN
của tôi không sao chép nội dung
của người khác.
Tác giả
Trịnh Thị Huê

19


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]

[6]

Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang (2002), Sai lầm phổ biến
khi giải Toán, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
Hoàng Chúng (1969), Rèn luyện khả năng sáng tạo toán học ở trường phổ thông,
Nxb Giáo dục, Hà Nội.
Hoàng Chúng (1978), Phương pháp dạy học toán học, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
Cruchetxki V.A. (1978), Tâm lí năng lực toán của học sinh, Nxb Giáo dục, Hà
Nội.
Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Phạm Thị Bích Ngọc, Đoàn Quỳnh, Đặng Hùng
Thắng, Lưu Xuân Tình, Đại số 10 (Sách chỉnh lí hợp nhất năm 2000), Nxb Giáo
dục, Hà Nội.
Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), Nguyễn Văn

[7]

Đoành, Trần Đức Huyên (2007), Hình học 10, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
Trần Bá Hoành (2007), Đổi mới phương pháp dạy học, chương trình và sách

[8]

giáo khoa, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.
Nguyễn Bá Kim (2002), Phương pháp dạy học môn Toán, Nxb Đại học Sư

[9]

phạm, Hà Nội.
Nguyễn Bá Kim (chủ biên), Đinh Nho Chương, Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ Dương

[2]
[3]
[4]

[5]

Thụy, Nguyễn Văn Thường (1994), Phương pháp dạy học môn toán (dạy học
[10]

những nội dung cơ bản), Nxb Giáo dục, Hà Nội.
Phan Trọng Ngọ (2005), Dạy học và phương pháp dạy học trong nhà trường,

[11]
[12]
[13]
[14]

Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.
Polya G. (1997), Giải một bài toán như thế nào, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
Polya.G (1997), Sáng tạo toán học, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
Polya.G (1995), Toán học và những suy luận có lí, Nxb Giáo dục, Hà Nội..
Đào Tam (2005), Phương pháp dạy học hình học ở trường trung học phổ thông,

[15]

Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.
Vũ Tuấn(chủ biên), Đoàn Minh Cường, Trần Văn Hạo, Đỗ Mạnh Hùng, Phạm

20


Phu, Nguyễn Tiến Tài, Bài tập đại số 10, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
.

MỤC LỤC
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở lí luận của đề tài
2. Thực trạng của đề tài
3. Các biện pháp tổ chức thực hiện
3.1. Phát hiện và vận dung bài toán gốc nhằm khắc sâu khái niệm
3.2. Phát hiện và vận dung bài toán gốc nhằm khắc sâu định lí, quy tắc
3.3 Phát hiện và vận dung bài toán gốc trong dạy hoc giải bài tập
4. Kết quả thực nghiệm của đề tài
III. KẾT LUẬN
Tài liệu tham khảo

Trang
1
2
2-4
4-6
6
6-8
8-12
12-18
18-20
20
21

DANH MỤC NHỮNG TỪ VIẾT TẮT SỬ DỤNG TRONG ĐỀ TÀI
VIẾT TẮT
THPT
HS

GV
VD
PPDH
PPGD

VIẾT ĐẦY ĐỦ
Trung học phổ thông
Học sinh
Giáo viên
Ví dụ
Ph¬ng ph¸p d¹y häc
Ph¬ng ph¸p gi¸o dôc

21


BPSP
DH
ĐC
GQVĐ
GV
HĐ
HS
KN
NL
PB
PH
PPDH
QLTK
SGK

SLDD
SLHL
TBC
TDTK

Biện pháp s phạm
Dạy học
Đối chứng
Giải quyết vấn đề
Giáo viên
Hoạt động
Học sinh
Kĩ năng
Năng lực
Phân bố
Phát hiện
Phơng pháp dạy học
Quy luật thống kê
Sách giáo khoa
Suy luận diễn dịch
Suy luận hợp lý
Trung bình cộng
T duy thống kê

22