bo de thi hsg chon loc
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (447.25 KB, 39 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span>ÔN TẬP TẬP HỢP VÀ NHỮNG DẠNG TOÁN LIÊN QUAN. Số phần tử của một tập hợp.Tập hợp con. 1.Một tập hợp có thể có một ,có nhiều phần tử, có vô số phần tử,cũng có thể không có phần tử nào. 2.Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng.tập rỗng kí hiệu là : Ø. 3.Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B thì tập hợp A gọi là tập hợp con của tập hợp B, kí hiệu là A B hay B A. Nếu A B và B A thì ta nói hai tập hợp bằng nhau,kí hiệu A=B.. *.D¹ng 1: RÌn kÜ n¨ng viÕt tËp hîp, viÕt tËp hîp con, sö dông kÝ hiÖu Bµi 1: Cho tËp hîp A lµ c¸c ch÷ c¸i trong côm tõ “Thµnh phè Hå ChÝ Minh” a. H·y liÖt kª c¸c phÇn tö cña tËp hîp A. b. §iÒn kÝ hiÖu thÝch hîp vµo « vu«ng b A. c A. h A. Bµi 2: Cho tËp hîp c¸c ch÷ c¸i X = {A, C, O} a/ T×m chôm ch÷ t¹o thµnh tõ c¸c ch÷ cña tËp hîp X. b/ Viết tập hợp X bằng cách chỉ ra các tính chất đặc trng cho các phần tử của X. Bµi 3: Cho c¸c tËp hîp A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ; B = {1; 3; 5; 7; 9} a/ ViÕt tËp hîp C c¸c phÇn tö thuéc A vµ kh«ng thuéc B. b/ ViÕt tËp hîp D c¸c phÇn tö thuéc B vµ kh«ng thuéc A. c/ ViÕt tËp hîp E c¸c phÇn tö võa thuéc A võa thuéc B. d/ ViÕt tËp hîp F c¸c phÇn tö hoÆc thuéc A hoÆc thuéc B. Bµi 4: Cho tËp hîp A = {1; 2; a; b} a/ H·y chØ râ c¸c tËp hîp con cña A cã 1 phÇn tö. b/ H·y chØ râ c¸c tËp hîp con cña A cã 2 phÇn tö. c/ TËp hîp B = {a, b, c} cã ph¶i lµ tËp hîp con cña A kh«ng? Bµi 5: Cho tËp hîp B = {x, y, z} . Hái tËp hîp B cã tÊt c¶ bao nhiªu tËp hîp con? *Dạng 2: Các bài tập về xác định số phần tử của một tập hợp Bµi 1: Gäi A lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn cã 3 ch÷ sè. Hái tËp hîp A cã bao nhiªu phÇn tö? Bµi 2: H·y tÝnh sè phÇn tö cña c¸c tËp hîp sau: a/ TËp hîp A c¸c sè tù nhiªn lÎ cã 3 ch÷ sè. b/ TËp hîp B c¸c sè 2, 5, 8, 11, …, 296. c/ TËp hîp C c¸c sè 7, 11, 15, 19, …, 283..
<span class='text_page_counter'>(2)</span> Bài 3: Cha mua cho em một quyển số tay dày 256 trang. Để tiện theo dõi em đánh số trang từ 1 đến 256. Hỏi em đã phải viết bao nhiêu chữ số để đánh hết cuốn sổ tay? C.HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ:. Bài 1.Hãy xác định các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp đó a, A lµ tËp hîp c¸c ch÷ sè trong sè 2002 b, B lµ tËp hîp c¸c ch÷ c¸i trong côm tõ “ c¸ch m¹ng th¸ng t¸m” c, C lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn cã mét ch÷ sè d, D lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn cã hai ch÷ kh¸c nhau vµ vµ cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 5 Bµi 2. §iÒn kÝ hiÖu thÝch hîp vµo « vu«ng 3 N N N* N 7 N* 0 N* Φ N* { 1,2,3,4 } 4 Bài 3. Hãy xác định các tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trng của các phần tử thuộc tập hợp đó a. A = { 1; 3 ; 5 ; 7 ; .. . .. .. . .. .. ; 49 } b. B = { 11 ; 22; 33 ; 44 ; .. . .. .. . ; 99 } c. C = { 3 ; 6 ; 9 ; 12; . .. . .. .. .. . .. .. ; 99 } d. D = { 0 ; 5 ; 10; 15 ; . .. .. . .. .. . .. .; 100 } Bài 4. Hãy viết các tập hợp sau bằng cách chỉ rõ tính chất đặc trng của các phần tử thuộc tập hợp đó a. A = { 1; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 } b.B = { 1; 7 ; 13 ; 19 ; 25 ; 31; 37 } A 1; 4;9;16; 25;36; 49; 64;81;100 B 2; 6;12; 20;30; 42;56; 72;90. Bµi to¸n 5: Cho. a). . A x N x2; x 3; x 100. . A x N x ab; a 3.b. b). B x N x 6; x 100. B x N 20x. H·y viÕt c¸c tËp hîp A, B b»ng c¸ch liÖt kª c¸c phÇn tö. Bµi 5. T×m sè phÇn tö cña c¸c tËp hîp sau ®©y a. A = { Φ } b. B = { x ∈ N / x ⋮ 2 ; 2 ≤ x ≤ 100 } c. C { x ∈ N /x ⋮ 3 }. c). C x N x 11.n 3; n N ; x 300. = { x ∈ N / x+1=0 }. d. D =. Bài 6. Viết các tập hợp sau rồi tìm số phần tử của các tập hợp đó a. TËp hîp A c¸c sè tù nhiªn x mµ 8 : x = 2 b. TËp hîp B c¸c sè tù nhiªn x mµ x + 3 < 5 c. TËp hîp C c¸c sè tù nhiªn x mµ x – 2 = x + 2 d. TËp hîp D c¸c sè tù nhiªn x mµ x : 2 = x : 4 e. TËp hîp E c¸c sè tù nhiªn x mµ x + 0 = x Bµi 7. Cho A = { 1; 2 ; 3 } T×m tÊt c¶ c¸c tËp hîp con cña tËp hîp A Bµi 8. Ta gäi A lµ tËp hîp con thùc sù cña B nÕu A B vµ A ≠ B H·y viÕt c¸c tËp hîp con thùc sù cña tËp hîp B = { 1; 2 ; 3 ; 4 } Bµi 9. Cho tËp hîp A = {a, b, c, d, e } a. ViÕt c¸c tËp con cña A cã mét phÇn tö b. ViÕt c¸c tËp con cña A cã hai phÇn tö c. Cã bao nhiªu tËp hîp con cña A cã ba phÇn tö d. Cã bao nhiªu tËp hîp con cña A cã bèn phÇn tö e. TËp hîp A cã bao nhiªu tËp hîp con Bµi 11 . Gäi A lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn cã bèn ch÷ sè, B lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn cã ba ch÷ sè , C lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn lÎ cã ba ch÷ sè , D lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn cã ba ch÷ sè tËn cùng bằng 5 . Dùng kí hiệu và sơ đồ để biểu thị quan hệ giữa các tập hợp ở trên.
<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bµi 12 . Cho tËp hîp A = { 4 ;5 ; 7 } , h·y lËp tËp hîp B gåm c¸c sè tù nhiªn cã ba ch÷ sè kh¸c nhau từ các phần tử của tập hợp A . Bảo rằng tập hợp A là tập hợp con của tập hợp B đúng hay sai? T×m tËp hîp con chung cña hai tËp hîp A vµ B Bµi 13 . T×m c¸c tËp hîp b»ng nhau trong c¸c tËp hîp sau a. A = { 9 ; 5 ; 3; 1 ; 7 } b. B lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn x mµ 5 . x = 0 c. C lµ tËp hîp c¸c sè lÎ nhá h¬n 10 d. D lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn x mµ x : 3 = 0 Bài 17 . Trong một lớp học , mỗi học sinh đều học tiếng Anh hoặc tiếng Pháp. Có 25 ngời học tiếng Anh , 27 ngời học tiếng Pháp, còn 18 ngời học cả hai thứ tiếng . Hỏi lớp học đó có bao nhiêu häc sinh Bài 18 Kết quả điều tra ở một lớp học cho thấy : có 20 học sinh thích bóng đá ; 17 học sinh thích bơi; 36 học sinh thích bóng chuyền; 14 học sinh thích bóng đá và bơi;13 học sinh thích bơi và bóng chuyền; 15 học sinh thích bóng đá và bóng chuyền; 10 học sinh thích cả ba môn ;12 học sinh không thích một môn nào.Tìm xem lớp học đó có bao nhiêu học sinh Bµi 19 . Trong sè 100 häc sinh cã 75 häc sinh thÝch to¸n , 60 häc sinh thÝch v¨n. a. NÕu cã 5 häc sinh kh«ng thÝch c¶ to¸n vµ v¨n th× cã bao nhiªu häc sinh thÝch c¶ hai m«n v¨n vµ to¸n b. Cã nhiÒu nhÊt bao nhiªu häc sinh thÝch c¶ hai m«n v¨n vµ to¸n c. Cã Ýt nhÊt bao nhiªu häc sinh thÝch c¶ hai m«n v¨n vµ to¸n A a, b, c, d , e. . Bµi to¸n 1: Cho tËp hîp a) ViÕt c¸c tËp hîp con cña A cã mét phÇn tö b) ViÕt c¸c tËp hîp con cña A cã hai phÇn tö. c) Cã bao nhiªu tËp hîp con cña A cã ba phÇn tö ? cã bèn phÇn tö ?. d) TËp hîp A cã bao nhiªu tËp hîp con ? Bµi to¸n 2: XÐt xem tËp hîp A cã lµ tËp hîp con cña tËp hîp B kh«ng trong c¸c trêng hîp sau. A 1;3;5. B 1;3; 7. A x, y. B x, y , z. ; ; a) b) c) A lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn cã tËn cïng b»ng 0, B lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn ch½n. Bµi to¸n 3: Ta gäi A lµ tËp con thùc sù cña B nÕu A B; A B. H·y viÕt c¸c tËp con thùc sù cña tËp hîp. B 1; 2;3 A 1; 2;3; 4. B 3; 4;5. ; Bµi to¸n 4: Cho c¸c tËp hîp ViÕt c¸c tËp hîp võa lµ tËp hîp con cña A, võa lµ tËp hîp con cña B A 1; 2;3; 4. . Bµi to¸n 5: Cho tËp hîp a) Viết các tập hợp con của A mà mọi phần tử của nó đều là số chẵn. b) ViÕt tÊt c¶ c¸c tËp hîp con cña tËp hîp A. A 1;3; 6;8;9;12. x N * / 2 x 12. vµ B = Bµi to¸n 6: Cho 2 tËp hîp a)T×m tËp hîp C cña c¸c phÇn tö võ thuéc tËp hîp A võa thuéc tËp hîp B T×m tËp hîp D cña c¸c phÇn tö thuéc Ýt nhÊt mét trong hai tËp hîp A HoÆc tËp hîp B M 30; 4; 2005; 2;9. Bµi to¸n 10: Cho tËp hîp a) Cã mét ch÷ sè b) cã hai ch÷ sè. . H·y nªu tËp hîp con cña tËp M gåm nh÷ng sè: c) Lµ sè ch½n.. ; Bµi to¸n 11: Cho a) H·y liÖt kª c¸c phÇn tö cña tËp hîp A ; tËp hîp B. b) Hai tËp hîp A, B cã b»ng nahu kh«ng ? V× sao ? Bµi to¸n 13: Cho A lµ tËp hîp 5 sè tù nhiªn ®Çu tiªn, B lµ tËp hîp 3 sè ch½n ®Çu tiªn. a) CMR: B A b) ViÕt tËp hîp M sao cho B M , M A . Cã bao nhiªu tËp hîp M nh vËy. A x N x 2; x 4; x 100. Bµi to¸n 14: Cho a) Xác định A bằng cách liệt kê các phần tử ?. B x N x 8; x 100. A x N x 7.q 3; q N ; x 150. Bµi to¸n 15: Cho. M 1;13; 21; 29;52. . b) TÝnh tæng c¸c phÇn tö cña tËp hîp A.. . T×m x; y M biÕt 30 x y 40.
<span class='text_page_counter'>(4)</span> A 1; 2. B 1;3;5. A x, y. B x, y , z , t. ; Bµi to¸n 10: Cho a) b) ; Hãy viết các tập hợp gồm 2 phần tử trong đó một phần tử thuộc A, một phần tử thuộc B. C¸c phÐp to¸n trong N 1. Tính chất giao hoán của phép cộng và phép nhân. a + b = b + a ; a.b = b.a Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không đổi Khi đổi chõ các thừa số trong một tích thì tích không đổi. 1. Tính chất kết hợp của phép cộng và phép nhân: (a + b ) + c = a + ( b + c); (a.b).c = a(b.c); 2. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.: a(b+ c) = ab + ac 4. Điều kiện để a chia hết cho b ( a,b N ; b ≠ 0) là có số tự nhiên p sao cho a= b.p. 5. Trong phép chia có dư số bị chia = số chia x thương + số dư ( a = b.p + r) số dư bao giờ cũng khác 0 và nhỏ hơn số chia. NÕu a .b= 0 th× a = 0 hoÆc b = 0. II. Bµi tËp *.D¹ng 1: C¸c bµi to¸n tÝnh nhanh Bµi 1: TÝnh tæng sau ®©y mét c¸ch hîp lý nhÊt. a/ 67 + 135 + 33 b/ 277 + 113 + 323 + 87 Bµi 2: TÝnh nhanh c¸c phÐp tÝnh sau: a/ 8 . 17 . 125. b/ 4 . 37 .25. Bµi 3: TÝnh nhanh mét c¸ch hîp lÝ: a/ 997 + 86. b/ 37. 38 + 62. 37. c/ 43. 11; 67. 101; 423. 1001 đ, 998. 34. c/ 43. 11. d/ 67. 99;. 67. 101. Bài 4: TÝnh nhanh c¸c phÐp tÝnh: a/ 37581 – 9999. c/ 485321 – 99999. b/ 7345 – 1998. d/ 7593 – 1997. Bµi 5: TÝnh nhanh: a) 15. 18 b) 25. 24 c) 125. 72. d) 55. 14. Bµi 6 :TÝnh nhanh: a) 25. 12. b) 34. 11 c) 47. 101 d) 15.302. e) 125.18. Bµi 7: Thùc hiÖn phÐp tÝnh b»ng c¸ch hîp lÝ nhÊt: b) 189 + 424 +511 + 276 + 55 c) (321 +27)+ 79 d) 185 +434 + 515 + 266 + 155. g). 123. 1001. a) 463 + 318 + 137 + 22.
<span class='text_page_counter'>(5)</span> e) 652 + 327 + 148 + 15 + 73 f) 347 + 418 + 123 + 12 Bµi 8: TÝnh b»ng c¸ch hîp lÝ nhÊt: a) 5. 125. 2. 41. 8 c) 8. 12. 125. 2. b) 25. 7. 10. 4 d) 4. 36. 25. 50. Chú ý: Quy tắc đặt thừa số chung : a. b+ a.c = a. (b+ c) hoặc a. b + a. c + a. d = a.(b + c + d) e) 3. 25. 8 + 4. 37. 6 + 2. 38. 12 Bµi 9: TÝnh b»ng c¸ch hîp lÝ nhÊt: 6. 38. 63 + 37. 38. b) 12.53 + 53. 172– 53. 84. c) 35.34 +35.38 + 65.75 + 65.45. d, 39.8 + 60.2 + 21.8. e, 36.28 + 36.82 + 64.69 + 64.41 *Chú ý: Muốn nhân 1 số có 2 chữ số với 11 ta. A= (100 + 1) .100 : 2 = 5050. cộng 2 chữ số đó rồi ghi kết quả váo giữa 2 chữ. b) B = 2 + 4 + 6 + 8 + .. . + 100. số đó. Nếu tổng lớn hơn 9 thì ghi hàng đơn vị. số số hạng là: (100-2):2+1 = 49. váo giữa rồi cộng 1 vào chữ số hàng chục.. B=(100 +2).49 :2 = 551 .49 = 2499. vd : 34 .11 =374. ;. 69.11 =759. c) C = 4 + 7 + 10 + 13 + .. . + 301. *Chú ý: muốn nhân một số có 2 chữ số với. d) D = 5 + 9 + 13 + 17 + .. .+ 201.. 101 thì kết quả chính là 1 số có được bằng. Bµi 2: TÝnh c¸c tæng:. cách viết chữ số đó 2 lần khít nhau. a) A = 5 + 8 + 11 + 14 + .. . + 302. vd: 84 .101 =8484. ; 63 .101 =6363. ;. b). B = 7 + 11 + 15 + 19 + .. .+ 203.. *Chú ý: muốn nhân một số có 3 chữ số với. c) C = 6 + 11 + 16 + 21 + .. . + 301. 1001 thì kết quả chính là 1 số có được bằng. D =8 + 15 + 22 + 29 + .. . + 351.. cách viết chữ số đó 2 lần khít nhau. Bµi 3: Cho tæng S = 5 + 8 + 11 + 14 + .. .. VÝ dô:123.1001 = 123123 *.Dạng 2: Các bài toán có liên quan đến dãy số,. a)T×m sè h¹ng thø100 cña tæng.. tËp hîp. Giải: lưu ý: số cuối = (số số hạng - 1) .. 1:Dãy số cách đều:. khoảng cách - số đầu. VD: TÝnh tæng: S = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 49 Ta tÝnh tæng S nh sau:. d). b) TÝnh tæng 100 sè h¹ng ®Çu tiªn.. a. vậy số thứ 100 = (100-1) .3 – 5 = 292 b. S= (292 + 5) .100:2 = 23000. Bµi 1:TÝnh tæng sau:. Bµi 4: Cho tæng S = 7 + 12 + 17 + 22 + .. .. a) A = 1 + 2 + 3 + 4 + .. . + 100. a)T×m sè h¹ng tø50 cña tæng.. Số số hạng cả dãy là: (100-1):1+1 = 100. b) TÝnh tæng cña 50 sè h¹ng ®Çu tiªn..
<span class='text_page_counter'>(6)</span> Bµi 5:TÝnh tæng cña tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn x, biÕt x lµ sè cã hai ch÷ sè vµ 12 < x < 91 Bµi 6: TÝnh tæng cña c¸c sè tù nhiªn a , biÕt a cã ba ch÷ sè vµ 119 < a < 501. TÝnh tæng c¸c ch÷ sè cña a. Bµi 7: TÝnh 1 + 2 + 3 + .. . + 1998 + 1999 Bµi 8: TÝnh tæng cña: a/ TÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn cã 3 ch÷ sè. b/ TÊt c¶ c¸c sè lÎ cã 3 ch÷ sè. b/ S2 = 101+ 103+ .. . + 997+ 999 Bµi 9TÝnh tæng a/ TÊt c¶ c¸c sè: 2, 5, 8, 11, .. ., 296 b/ TÊt c¶ c¸c sè: 7, 11, 15, 19, .. ., 283 Bµi 10: Cho d·y sè: a/ 1, 4, 7, 10, 13, 19. b/ 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29. c/ 1, 5, 9, 13, 17, 21, .. . H·y t×m c«ng thøc biÓu diÔn c¸c d·y sè trªn. Ghi chó: C¸c sè tù nhiªn lÎ lµ nh÷ng sè kh«ng chia hÕt cho 2, biÓu diÔn lµ 2k 1 , k N C¸c sè tù nhiªn ch½n lµ nh÷ng sè chia hÕt cho 2, c«ng thøc biÓu diÔn lµ 2k , k N) *D¹ng 3: T×m x Bµi 1:Tìm x N biết a) (x –15) .15 = 0. b) 32 (x –10 ) = 32. Bµi 2:Tìm x N biết : a ) (x – 15 ) – 75 = 0 b)575- (6x +70) =445 c) 315+(125-x)= 435 Bµi 3:Tìm x N biết : a) x –105 :21 =15 b) (x- 105) :21 =15 Bµi 4: Tìm số tự nhiên x biết a( x – 5)(x – 7) = 0. b/ 541 + (218 – x) = 735. c/ 96 – 3(x + 1) = 42 d/ ( x –. 47) – 115 = 0 e/ (x – 36):18 = 12 BTNC a) Tính tổng của các sống tự nhiên từ 1 đến 999; b) Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 999 thành một hang ngang ,ta được số 123….999. tính tổng các chữ số của số đó. 1.Tìm số có hai chữ số,biế rằng nếu viêt chữ số 0 xen giữa hai chữ của số đó thì được số có ba chữ số gấp 9 lần số có hai chữ số ban đầu. 2.a)Hãy viết liên tiếp 20 chữ số 5 thành một hàng ngang,rồi đặt dấu + xen giữa các chữ số đó để được tổng bằng 1000. b) Hãy viết liên tiếp tám chữ số 8 thành một hàng ngang,rồi đặt dấu + xen giữa các chữ số đó để được tổng bằng 1000. 3.Chia các số tự nhiên từ 1 đến 100 thành hai lớp : lớp số chẵn và lớp số lẻ.hỏi lớp nào có tổng các chữ số lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu?.
<span class='text_page_counter'>(7)</span> 4. Điền các chữ số thích hợp vào các chữ để được phép tính đúng : a) 1 ab + 36 = ab 1 ; b) abc + acc + dbc = bcc 5. Cho ba chữ số a,b,c với 0 < a < b < c ; a) Viết tập hợp A các số có ba chữ số ,mỗi số gồm cả ba chữ số a, b ,c: b) Biết rằng tổng hai số nhỏ nhất trong tập hợp A bằng 488.tìm tổng các chữ a + b + c. 5. Cho 1 bảng vuông gồm 9 ô vuông như hình vẽ. hãy điền vào các ô của bảng các số tự nhiên từ 1 đến 10. 4 10. 2. 8 (mỗi số chỉ được viết một lần) sao cho tổng các số ở mỗi hang ,mỗi cột ,mỗi đường chéo bằng nhau. 6. Kí hiệu n! là tích của các số tự nhiên từ 1 đến n : n! = 1.2.3…n. Tính : S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + 5.5! 7. Trong một tờ giấy kẻ ô vuông kích thước 50.50 ô vuông .trong mỗi ô người ta viết một số tự nhiên . biết rằng bốn ô tạo thành một hình như hình vẽ thì tổng các số trong bốn ô đó đều bằng 4 .hãy chứng tỏ rằng mỗi số đó đều bằng 1. 8.Một số có bảy chữ số ,cộng với số được viets bảy chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại thì được tổng là số có bảy chữ số.hãy chứng tổ rằng tổng tìm được có ít nhất một chữ số chẵn. 9.Cho bảng gồm 16 ô vuông như hình vẽ .hãy điền vào các ô bảng của bảng các số tự nhiên lẻ từ 1 đến 31 (mỗi số chỉ 15 29 viết một lần.) sao cho tổng các số trong cùng một hàng, 23 5 cùng một cột , cùng một đường chéo đều bằng nhau 3 17 10.Cho dãy số 1,2,3,5,8,13,21,34,….( dãy số phi bô na xi) trong đó mỗi số (bắt 9 đầu từ số thứ ba) bằng tổng hai số đứng liền trước nó.chọn trong dãy số đó 8 27 số liên tiếp tùy ý.chứng minh rằng tổng của 8 số này không phải là một số của dãy đã cho. 11. Một số chắn có bốn chữ số, trong đó chứ số hàng trăm và chứ số hang chục lập thành một số gấp ba lần chữ số hàng nghìn và gấp hai lần chữ số hang đơn vị.tìm số đó. 12.Tìm các số a,b,c,d trong phếp tính sau: abcd + abc + ab + a = 4321 . 13.Hai người chơi một trò chơi lần lượt bốc những viên bi từ hai hộp ra ngoài.mỗi người đến lượt mình bốc một số viên bi tùy ý .người bốc viên bi cuối cùng đối với cacr hai hộp là người thắng cuộc.biết rằng ở hộp thứ nhất có 190 viên bi ,hộp thứ hai có 201 viên bi.hãy tìm thuật chơi để đảm bảo người bốc bi đầu tiên là người thắng cuộc. Bài tập cñng cè 1. Tính giá trị của biểu thức một cách hợp lí: A = 100 + 98 + 96 + ….+ 2 - 97 – 95 - …- 1 ; B = 1 + 2 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + 9 + 10 – 11 – 12 + …- 299 – 330 + 301 + 302; 2. Tính nhanh a) 53.39 +47.39 – 53.21 – 47.21. b)2.53.12 + 4.6.87 – 3.8.40; c) 5.7.77 – 7.60 + 49.25 – 15.42. 3.Tìm x biết: a) x : [( 1800+600) : 30] = 560 : (315 - 35); ab) [ (250 – 25) : 15] : x = (450 - 60): 130. 4. Tổng của hai số bằng 78293.số lớn trong hai số đó co chữ số hàng dơn vị là 5 ,chữ hàng chục 1,chữ số trăm là 2.nếu ta gạch bỏ các chữ số đó đi thì ta được một số bằng số nhỏ nhất .tìm hai số đó. 5.Một phếp chia có thương là 6 dư 3 .tổng của số bị chia ,số chia và số dư là 195.tìm số bị chia và số chia..
<span class='text_page_counter'>(8)</span> 6.Tổng của hai số có a chữ số là 836.chữ số hàng trăm của số thứ nhất là 5 ,của số thứ hai là 3 .nếu gạch bỏ các chữ số 5 và 3 thì sẽ được hai số có hai chữ số mà số này gấp 2 lần số kia.tìm hai số đó. 7.Một học sinh khi giải bài toán đáng lẽ phải chia 1 số cho 2 và cộng thương tìm được với 3 .nhưng do nhâm lẫn em đó đã nhân số đó với 2 và sau đó lấy tích tìm được trừ đi 3 .mặc dù vậy kết quả vẫn đúng .hỏi số cần phải chia cho 2 là số nào? 8. Tìm số có ba chữ số .biết rằng chữ số hàng trăm bằng hiệu của chữ số hàng chục với chữ số hàng đơn vị.chia chữ số hàng chục cho chữ số hàng đơn vị thì được thương là 2 và dư 2.tích của số phải tìm với 7 là 1 số có chữ số tận cùng là 1. 9. Tìm số tự nhiên a ≤ 200 .biết rằng khi chia a cho số tự nhiên b thì được thương là 4 và dư 35 . 10. Viết số A bất kì có 3 chữ số ,viết tiếp 3 chữ số đó 1 lần nữa ta được số B có 6 chữ số.chia số B cho 13 ta được số C. chia C cho 11 ta được số D.lại chia số D cho 7.tìm thưởng của phép chia này. 11. Khi chia số M gồm 6 chữ số giống nhau cho số N gồm 4 chữ số giống nhau thì được thương là 233 và số dư là 1 số r nào đó .sau khi bỏ 1 chữ số của số M và 1 chữ số của số N thì thương không đổi và số dư giảm đi 1000.tìm 2 số M và N? * C¸c bµi to¸n vÒ d·y sè viÕt theo quy luËt. Bµi to¸n 1: TÝnh c¸c tæng sau. a) 1 2 3 4 ...... n b) 2 4 6 8 .... 2.n c) 1 3 5 ..... (2.n 1) d) 1 4 7 10 ...... 2005 e) 2+5+8+……+2006 g) 1+5+9+….+2001 ( n ) n Gi¶i; a) 2. b)sè sè h¹ng (2n – 2) : 2 + 1= n Tæng = Bµi to¸n 2: TÝnh nhanh tæng sau: A 1 2 4 8 16 .... 8192 Bµi to¸n 3: a) TÝnh tæng c¸c sè lÎ cã hai ch÷ sè b) TÝnh tæng c¸c sè ch½n cã hai ch÷ sè. Bài toán 4: a) Tổng 1+2+3+….+n có bao nhiêu số hạng để kết quả của tổng bằng 190. b) Cã hay kh«ng sè tù nhiªn n sao cho 1 2 3 .... n 2004 (1 2 3 .... n) 7. kh«ng chia hÕt cho 10 n N c) Chøng minh r»ng: Bµi to¸n 5: a) TÝnh nhanh 1.2 2.3 3.4 .... 1999.2000 b) ¸p dông kÕt qu¶ phÇn a) tÝnh nhanh B 1.1 2.2 3.3 ... 1999.1999 c) TÝnh nhanh : C 1.2.3 2.3.4 ... 48.49.50. H·y x©y dùng c«ng thøc tÝnh tæng a) vµ c) trong trêng hîp tæng qu¸t. Bµi to¸n 6: T×m sè h¹ng thø 100, sè h¹ng thø n cña c¸c d·y sè sau: a) 3;8;15;24;35;..... b) 3; 24;63;120;195;..... c) 1;3;6;10;15;...... d) 2;5;10;17; 26;..... e) 6;14; 24;36;50;..... g) 4; 28;;70;130;.... Bµi to¸n 7: Cho d·y sè 1;1 2;1 2 3;1 2 3 4;..... Hái trong d·y sè trªn cã sè nµo cã ch÷ sè tËn cïng lµ 2 kh«ng ? T¹i sao ?. Bµi to¸n 8: Cho S1 1 2; S2 3 4 5; S3 6 7 8 9; S4 10 11 12 13 14;.. . TÝnh S100 . Bµi to¸n 9: TÝnh b»ng c¸ch hîp lý. A. 41.66 34.41 3 7 11 ... 79. 1 2 3 .. 200 B 6 8 10 .. 34 b). 1..5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54 C 1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45 c). a) Bµi 21. H·y chøng tá r»ng hiÖu sau cã thÓ viÕt thµnh mét tÝch cña hai thõa sè gièng nhau : 11111111 – 2222 Bµi 22. T×m kÕt qu¶ cña phÐp nh©n sau A 33....3.99...9 . B 33...3.33...3 . 2005 c .s 2005 c . s 2005 c . s 2005 c. s a) b) Bài 23. Chứng tỏ rằng các số sau có thể viết đợc thành tích của hai số tự nhiên liên tiếp.
<span class='text_page_counter'>(9)</span> 11....122....2 . a. 111222 b. 444222 c. A= n c.s1 n c.s2 Gi¶i : Do 111222 : 111 = 1002 nªn 111222 = 111.1002 = 111. 3 . 334 = 333.334 Bµi to¸n 1: Cho ba ch÷ sè a, b, c. Gäi A lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn gåm c¶ ba ch÷ sè trªn. a) ViÕt tËp hîp A. b) TÝnh tæng c¸c phÇn tö cña tËp hîp A. Bµi to¸n 2: Cho ba ch÷ sè a, b, c sao cho 0 a b c. a) ViÕt tËp A c¸c sè tù nhiªn cã ba ch÷ sè gåm c¶ ba ch÷ sè trªn. b) BiÕt tæng cña hai sè nhá nhÊt trong tËp A b»ng 448. T×m ba ch÷ sè a, b, c nãi trªn. Bµi to¸n 11: Ngêi ta viÕt liÒn nhau d·y sè tù nhiªn b¾t ®Çu tõ 1: 1,2,3,4,5,…Hái ch÷ sè thø 659 lµ ch÷ sè nµo ? Bµi to¸n 12: Cho S 7 10 13 ...... 100 a) TÝnh sè sè h¹ng cña tæng trªn. b) T×m sè h¹ng thø 22 cña tæng. c) TÝnh tæng S 11....122....2 . Bµi to¸n 14: Chøng tá r»ng sè A= n c.s1 n c.s2 lµ tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp. Bài toán 15: Trong hệ thập phân số A đợc viết bằng 100 chữ số 3, số B đợc viết bằng 100 chữ số 6. H·y tÝnh tÝch A.B C¸c bµi to¸n vÒ sè vµ ch÷ sè Bài1. Một số có 3 chữ số, tận cùng bằng chữ số 7. Nếu chuyển chữ số 7 đó lên đầu thì ta đợc một số mới mà khi chia cho số cũ thì đợc thơng là 2 d 21. Tìm số đó Bài 2. Tìm số tự nhiên có 5 chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 7 vào đằng trớc số đó thì đợc một số lớn gấp 4 lần so với số có đợc bằng cách viết thêm chữ số 7 vào sau số đó Bµi 3 . T×m sè tù nhiªn cã hai ch÷ sè, biÕt r»ng nÕu viÕt thªm mét ch÷ sè 2 vµo bªn ph¶i vµ mét ch÷ sè 2 vµo bªn tr¸i cña nã th× sè Êy t¨ng gÊp 36 lÇn Bài 4 . Nếu ta viết thêm chữ số 0 vào giữa các chữ số của một số có hai chữ số ta đợc một số mới có 3 chữ số lớn hơn số đầu tiên 7 lần . Tìm số đó Bài 5. Nếu xen vào giữa các chữ số của một số có hai chữ số của chính số đó, ta đợc một số mới có bốn chữ số và bằng 99 lần số đầu tiên. Tìm số đó Bài 6 . Nếu xen vào giữa các chữ số của một số có hai chữ số một số có hai chữ số kém số đó 1 đơn vị thì sẽ đợc một số có bốn chữ số lớn gấp 91 lần so với số đầu tiên. Hãy tìm số đó Bµi 7 . T×m sè tù nhiªn cã hai ch÷ sè, biÕt r»ng sè míi viÕt theo thø tù ngîc l¹i nh©n víi sè ph¶i tìm thì đợc 3154; số nhỏ trong hai số thì lớn hơn tổng các chữ số của nó là 27 Bài 8 . Cho số có hai chữ số . Nếu lấy số đó chia cho hiệu của chữ số hàng chục và hàng đơn vị của nó thì đợc thơng là 18 và d 4 . Tìm số đã cho Bài 9 . Cho hai số có 4 chữ số và 2 chữ số mà tổng của hai số đó bằng 2750. Nếu cả hai số đợc viết theo thứ tự ngợc lại thì tổng của hai số này bằng 8888 . Tìm hai số đã cho Bµi 10 . T×m sè cã bèn ch÷ sè kh¸c nhau, biÕt r»ng nÕu viÕt thªm mét ch÷ sè 0 vµo gi÷a hµng nghìn và hàng trăm thì đợc số mới gấp 9 lần số phải tìm Bài 11 . Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, sao cho khi nhân số đó với 4 ta đợc số gồm bốn chữ số ấy viÕt theo thø tù ngîc l¹i Bài 12 . Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, sao cho khi nhân số đó với 9 ta đợc số gồm bốn chữ số ấy viÕt theo thø tù ngîc l¹i Bài 13 . Tìm số tự nhiên có năm chữ số, sao cho khi nhân số đó với 9 ta đợc số gồm năm chữ số Êy viÕt theo thø tù ngîc l¹i Bµi 14 . T×m sè tù nhiªn cã ba ch÷ sè, biÕt r»ng nÕu xo¸ ch÷ sè hµng tr¨m th× sè Êy gi¶m 9 lÇn Bµi 15 . T×m sè tù nhiªn cã bèn ch÷ sè, biÕt r»ng nÕu xo¸ ch÷ sè hµng ngh×n th× sè Êy gi¶m 9 lÇn Bài 16 . Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết rằng chữ số hàng trăm bằng 0 và nếu xoá chữ số 0 đó th× sè Êy gi¶m 9 lÇn Bµi 17 . Mét sè tù nhiªn t¨ng gÊp 9 lÇn nÕu viÕt thªm mét ch÷ sè 0 vµo gi÷a c¸c ch÷ sè hµng chôc và hàng đơn vị của nó . Tìm số ấy Bài 18 . Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó vừa chia hết cho 5 và chia hết cho 9 , hiệu giữa số đó với số viết theo thứ tự ngợc lại bằng 297.
<span class='text_page_counter'>(10)</span> Bµi 1. TÝnh nhanh a. 417 + 235 + 583 + 765 5 +8 +11 +14 + ......+ 38 + 41 b. 4 . 7 . 16 . 25 13 . 8 . 250 c. ( 1999 + 313) – 1999 ( 1435 + 213) – 13 d. 2023 - ( 34 + 1560) 1972 – ( 368 + 972) e. 364 – ( 364 – 111) 249 – ( 75 – 51) Bµi 2. TÝnh nhanh c¸c tæng sau a. 1+2+3+4+5+....+n e. 2+5+11+.... +47+65 b. 1+3+5+7+....+ ( 2n – 1) g. 3+12+48+...+3072+12288 c. 2+4+6+8+.....+2n h. 2+5+7+12+.....+81+131 d. 1+6+11+16+....+46+51 i. 4951+53-55+57-59+61-63+65 Bµi 3. a. TÝnh nhÈm 204. 36 499.12 601.42 199.41 b. . TÝnh nhÈm b»ng c¸ch nh©n thõa sè nµy, chia thõa sè kia cho cïng mét sè 66.50 72.125 38.5 15.16.125 c. . TÝnh nhÈm b»ng c¸ch nh©n c¶ sè bÞ chia vµ sè chia víi cïng mét sè kh¸c kh«ng 2000 : 25 7300 : 50 4970 : 5 81000 : 125 d. TÝnh nhÈm b»ng c¸ch ¸p dông tÝnh chÊt (a ± b):c=a:c ± b:c 169 : 13 660 : 15 119 : 7 204 : 12 Bµi 4 . T×m x a. (158 - x) :7 = 20 b. 2x – 138 = 23 . 32 c. 231 - (x – 6 ) =1339 :13 d. 10 + 2x = 45 : 43 a. 70 - 5.(2x - 3) = 45 b. 156 – (x + 61) = 82 c. 6.(5x + 35) = 330 d. 936 - (4x + 24) = 72 a. 5.(3 x + 34) = 515 b. (158 - x) : 7 = 20 c. (7x - 28) .13 = 0 d. 218 + (97 - x) = 313 (2x – 39) . 7 + 3 = 80 b)[(3x + 1)3 ]5 = 150 c) 2436 . (5x + 103) = 12 d) 294 - (7x - 217) = 38 . 311 : 316 + 62 a) x : [( 1800+600) : 30] = 560 : (315 - 35); b) [ (250 – 25) : 15] : x = (450 - 60): 130. a. 420 + 65 . 4 = ( x + 175) : 5 + 30 b. [( x +32)−17 ] . 2 = 42 c. ( 32 . 15 ) : 2 = ( x + 70 ) : 14 – 40 d. [ 61+(53 − x ) ] .17 = 1785 e. x – 4867 = ( 175 . 2050 . 70 ) : 25 + 23 f. 697 : 15 . x +364 = 17 x. g. 92.4 – 27 = x +350 + 315 x. Bµi 5. TÝnh nhanh a. 168 .168 −168 . 58. 110 (456 . 11+912).37 13 .74 45 . 16 −17 b. 864 . 48 − 432. 96 864 . 48 . 432 28+45 . 15 7256 . 4375− 725 c. 3650+4375 . 7255 (315+372). 3+( 372+315).7 26 .13+ 74 .14 d. 1978. 1979+1980 . 21+1958 1980. 1979 −1978 .1979 27 . 45+27 . 55 2+ 4+ 6+.. .+14+16 +18 1. e. 26 .108 − 26. 12 127 . 32− 28+24 − 20+16 −12+8 − 4. 36 + 64. 127 – 27. 100 12 : {390 : [500 – (125 + 35 . 7)]} 2. 57 : 55 - 7 . 70 2.125.18 + 36.252 + 4.223.9 3. 50 + 51 + 52 +...+ 99 + 100 B = 12 . 62 . 32 + 32 + 72 + 20 4. 24:{300 : [375 – (150 + 15. 5]} 1449 : {[216 + 184 : 8).9]} 5. 56 : 53 + 3 . 32 2195.1952 - 952. 427 - 1952. 1768 6. 20 + 22 + 24 +....96 + 98 H = 30 + 31 + 32 + 33 + 30 . 31 . 32.33 7. 35 + 38 + 41 +... + 92 + 95 A = 46 – ( 16 + 71.4) : 15 – 2 8. B = 24 . 5 – 131 – ( 13 – 4 )2 222 + 224 + 226 + . . . . + 444 9. 33 . 35 : 34 + 22 . 2. 20 (5346 – 2808) : 54 + 51 10. 187 . (38 + 62) – 87 .(62 + 38) 23 .16 - 23 . 14 11. 25.{32 : [12 – 4 + 4. (16 : 8)]} 25.{32 : [12 – 4 + 4. (16 : 8)]}.
<span class='text_page_counter'>(11)</span> Luü thõa víi sè mò tù nhiªn I/ KiÕn thøc c¬ b¶n. n 1. Ñònh nghóa: a a.a……….a n thừa số 1 0 2. Quy ước: a = a ; a = 1 ( a 0) 3. Nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số:. a m .a n a m n am : an am n. ( n N*). (m, n N *) ( m, n N *, m n, a 0). 4.Lũy thừa của một tích: (a.b)n = an. bn 5. Lũy thừa của một lũy thừa: ( am )n = am.n n. ( mn ). 6. Lũy thừa tầng: a a 7. Số chính phương là số mà bằng bình phương của một số tự nhiên. Ví duï: caùc soá 0; 1; 4; 9; 16; 25;…. laø caùc soá chính phöông . Bài tập: 1. Viết các số sau dưới dạng lũy thừa: a) 10 ; 100 ; 1000; 10000; 100..0; (n số 0 ); a) 5 ; 25; 625; 3125; 2.So sánh các số sau: a) 3200 với 23000 ; b) 1255 với 257 ; c)920 với 2713 d)354 với 281; 3.Viết các tích sau đướ dạng lũy thừa: a) 5.125.625 ; b) 10.100.1000 ; c) 84.165.32; d) 274.8110 ; 4.So sánh: a) 1030 với 2100 ; b) 540 với 62010 ; 5.Một hình lập phương có cạnh là 5 m. a) tính thể tích của hình lập phương; b) nếu cạnh của hình lập phương tăng lên 2 lần , 3 lần thì thể tích của hình lập phương tăng lên bao nhiêu lần. 6. Trong cách viết ở hệ thập phân số 2100 có bao nhiêu chữ số? SO SÁNH HAI LŨY THỪA A) KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1) Để so sánh hai lũy thừa, ta thường đưa chúng về dạng hai lũy thừa có cùng cơ số (lớn hơn 1) hoặc cùng số mũ (lớn hơn 0) rồi mới so sánh. Nếu am = an thì m = n, hoặc nếu an = b n thì a = b Neáu m > n thì am > an (a> 1) Neáu a > b thì an > b n (n > 0) 2) Tính chaát ñôn ñieäu cuûa pheùp nhaân: Neáu a < b thì a.c < b.c (với c > 0) II/. Bµi tËp Bµi tËp 1: ViÕt gän c¸c biÓu thøc sau b»ng c¸ch dïng luü thõa. a, 3 . 3 . 3 . 4 . 4 = c, 166 : 42 d, 178: 94e, 1254 : 253f, 414 . 528 = b, a . a . a + b . b . b . b = (g, 12n: 22n = h. 84. 165b. 540 . 1252 . . 6253 i. 274 . 8110 d. 103 . 1005 . 10004 m.
<span class='text_page_counter'>(12)</span> 10. 30. 25. 4. 3. 6 8 2 9 2 25 4 b) 10 :10 ; 5 : 25 ; 4 : 64 ; 2 : 32 ; 183 : 93 ; 1253 : 254 6 2 8 4 5 3 14 28 a) 16 : 4 b) 27 : 9 c) 125 : 25 d) 4 .5 n 2n 4 5 20 e) 12 : 2 g) 64 .16 : 4. k. 4 .2 b) 9 .27 .81 50 5 3 8 4 c) 25 .125 d) 64 .4 .16 1 2 2006 a) 5 x.5 x.5 x b) x .x .....x 4 7 100 2 5 8 2003 c) x.x .x .....x d) x .x .x .....x 8 6 7 3 10 3 7 7 5 3 a) 3 : 3 ; ; 19 :19 2 : 8 ; 12 : 6 ; 27 : 81 Bµi tËp 2: TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc.. 46.34.95 212.14.125 453.20 4.182 213 25 12 3 5 10 2 a, 38 : 34 + 22 . 23 b, 3 . 42 – 2 . 32 c, 6 d, 35 6 e, 180 g, 2 2 3 2 e. 72 x4 54. 10 10 10 10 .5 2 .13+ 2 . 65 g. 3 . 11+3 h. 9 4 8. 108. 3 .2. 2 . 104. y. ( 1253 . 75 – 1755 : 5 ) : 20012002. k. 16 .64 .82 : ( 43. 25. 16) Bµi 4. Cho A = 5. 415. 99 – 4. 320. 89 B = 5.29.619- 7.229.276 TÝnh A : B C = 2181.729 + 243.81.27 D = 32.92.243 + 18.243.324 + 723. 729 TÝnh C : D 17 2 15 15 4 2 a) (2 17 ).(9 3 ).(2 4 ). 1997 1995 1994 b) (7 7 ) : (7 .7). 2 3 4 5 3 3 3 3 8 2 c) (1 2 3 4 ).(1 2 3 4 ).(3 81 ). 8 3 5 3 d) (2 8 ) : (2 .2 ) a). b) (1 + 2 +…+ 100)(12 + 22 + … + 102)(65 . 111 – 13 . 15 . 37) a). A. 310.11 310.5 39.24 6. 4. 4 .3 .9 E 12 6 e). 5. b). B. 13. 210.13 210.65 28.104. 5. 2 2 F 10 2 22 f). Bµi tËp 5: T×m x N biÕt a, 2x . 4 = 128 b, x15 = x 1 c, (2x + 1)3 = 125 d, (x – 5)4 = (x - 5)6. c). 49.36 644 164.100. 2. 3. 4. 21 .14.125 45 .20 .18 G H 5 35 .6 1805 g) h). x10 = x e/ (2x -15)5 = (2x -15)3 Bµi 1: T×m c¸c sè mò n sao cho luü thõa 3n th¶o m·n ®iÒu kiÖn: 25 < 3n < 250 Bµi 2. T×m sè tù nhiªn n biÕt a. 5n = 125 34. 3n = 37 27. 3n = 243 49.7n = 2401 b. 9 < 3n < 81 25 5n 125 Bµi 3. T×m x lµ sè tù nhiªn, biÕt r»ng : a. 2x . 4 = 128 b. x15 = x c. ( 2x + 1 )3 = 125 d. ( x – 5 )4 = ( x – 5 )6 e. x2006 = x2 Bµi 4 : T×m x N biÕt x 20 a) 3 .3 243 b) x x x 2 x 8 c) 2 .16 1024 d) 64.4 16 Bµi 5 T×m x N biÕt d/. C. 10. 10. 2 .13+ 2 . 65 8 2 . 104. d) 2. D. 723.542 1084. 11.322.37 915 I (2.314 ) 2 i). x g) 2 15 17 3. 5. 2. h) (7 x 11) 2 .5 200 x 2 0 i) 3 25 26.2 2.3 x x 5 l) 49.7 2041 m) 64.4 4 x 4 n 7 n) 3 243 p) 3 .3 3 Bµi 6: T×m n N biÕt: n. b) 25 5 125 b) 50<7n < 2500. 3 a) ( x 1) 125. x 2 x b) 2 2 96. a) 9 3 81 a) 50 < 2n < 100 Bµi 7 T×m x biÕt. n. 3 c) (2 x 1) 343. 720 : 41 (2 x 5) 23.5. d) a) 2x . 7 = 224 = 289 c) x. (x2)3 = x5. b) (3x + 5)2 d) 32x+1 . 11 = 2673.
<span class='text_page_counter'>(13)</span> * Bµi 8: T×m n N biÕt n a) 32 2 128 2. n b) 2.16 2 4. n. d) (2 : 4).2 4 1 n .2 4.2n 9.25 g) 2. 1 4 n .3 .3 37 9 e) 1 n .27 3n h) 9. n 5 n i) 64.4 4 k) 27.3 243 Bµi 9: T×m x N biÕt x a) 16 128. b). 5 x.5x 1.5x 2 100...0 : 218 18 c / s 0. chuyên đề: Các bài toán so sánh hai luỹ thừa 1. §Ó so s¸nh hai luü thõa, ta thêng ®a vÒ so s¸nh hai luü thõa cïng c¬ sè hoÆc cïng sè mò. + NÕu hai luü thõa cã cïng c¬ sè (lín h¬n 1) th× luü thõa nµo cã sè mò lín h¬n sÏ lín h¬n. NÕu m>n th× am>an (a>1). + NÕu hai luü thõa cã cïng sè mò (>0) th× luü thõa nµo cã c¬ sè lín h¬n sÏ lín h¬n. NÕu a>b th× an>bn ( n>0). 2. Ngoài hai cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu cña phÐp nh©n. (a<b th× a.c<b.c víi c>0). VÝ dô: So s¸nh 3210 vµ 1615, sè nµo lín h¬n. Híng dÉn: Các cơ số 32 và 16 tuy khác nhau nhng đều là luỹ thừa của 2 lên ta tìm cách đa 3210 và 1615 về luü thõa cïng c¬ sè 2. 3210 = (25)10 = 250 1615 = (24)15 = 260 V× 250 < 260 suy ra 3210 < 1615. Bµi tËp 1: So s¸nh: Bµi 1: So s¸nh c¸c sè sau? a) 2711 vµ 818. b) 6255 vµ 1257 c) 536 vµ 1124 d) 32n vµ 23n (n N* ) Híng dÉn: a) §a vÒ cïng c¬ sè 3. b) §a vÒ cïng c¬ sè 5. c) §a vÒ cïng sè mò 12. d) §a vÒ cïng sè mò n 23 22 13 16 Bµi 2: a) 5 vµ 6.5 b) 7.2 vµ 2 c) 2115 vµ 275.498 Híng dÉn: a) Đa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau 522. b) Đa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau là 213. c) §a hai sè vÒ d¹ng mét tÝch 2 luü thõa c¬ sè lµ 7 vµ 3. a) Ta cã: 95 = (32)5 = 310 Bµi 3: a) 19920 vµ 200315. 39 21 273 = (33 )3 = 39 b) 3 vµ 11 . V× 310 > 39nªn 95 > 273 Híng dÉn : 20 20 3 2 20 60 40 b) Ta cã: 3200 = (32)100 = 9100 a) 199 < 200 = (2 .5 ) = 2 . 5 . 15 15 3 15 4 3 15 60 45 2300 = (23) 100 = 8100 2003 > 2000 = (2.10 ) = (2 . 5 ) = 2 .5 39 40 2 20 20 21 V× 9100 > 8100 ; nªn 3200 > 2300 b) 3 <3 = (3 ) = 9 <11 . c, 3500 vµ 7300 Bµi 4: So s¸nh 2 hiÖu,hiÖu nµo lín h¬n? 45 44 44 43 72 -72 vµ 72 -72 . 3500 = 35.100 = (35)100 = 243100 Híng dÉn: 7300 = 73.100 . (73 )100 = (343)100 7245-7244=7245(72-1)=7245.71. 44 44 44 44 72 -72 =72 (72-1)=72 .71. V× 243100 < 343100 => 3500 < 7300 Bµi 5: 27 vµ 72 d, 85 vµ 3 . 47 . 85 = (23)+5 = 215 <3.214 = 3.47 Ta cã: 27 = 128 ; 72 = 49 7 2 V× 128 > 49 nªn 2 > 7 => 85 < 3 . 47 Bµi 6 a) 95 vµ 273 b) 3200 vµ 2300.
<span class='text_page_counter'>(14)</span> e, 202303 vµ 303202 202303 =(2023)201 ; 303202 = (3032)101 Ta so s¸nh 2023 vµ 3032 2023 = 23. 101 . 1013 vµ 3032 => 3032 < 2023 3032 = 33. 1012 = 9.1012 vËy 303202 < 2002303. f, 321 vµ 231 321 = 3 . 3 20 = 3. 910 ; 231 = 2 . 230 = 2 . 810 3 . 910> 2 . 810 => 321 > 231 g, 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660 371320 = (372)660 = 1369660 V× 1369660 > 1331660 => 371320 > 111979. Bµi 7: So s¸ch c¸c cÆp sè sau: a/ A = 275 vµ B = 2433 Ta cã A = 275 = (33)5 = 315 vµ B = (35)3 = 315. VËy A = B. b/ A = 2 300 vµ B = 3200 A = 2 300 = 33.100 = 8100. vµ B = 3200 = 32.100 = 9100. V× 8 < 9 nªn 8100 < 9100 vµ A < B. Bµi 8: So s¸nh hai luü thõa sau: 3111 vµ 1714 Ta thÊy 3111 < 3211 = (25)11 = 255 (1) 1714 > 1614 = (24 )14 = 256 (2) Tõ (1) vµ (2) 311 < 255 < 256 < 1714 nªn 3111 < 1714 Bµi 1: So s¸nh c¸c sè sau, sè nµo lín h¬n 30 444 100 333 a) 10 vµ 2 b) 333 vµ 444 40 300 453 161 c) 13 vµ 2 d) 5 vµ 3 Bµi 2: So s¸nh c¸c sè sau 217 72 9 100 a) 5 vµ 119 b) 2 vµ 1024 12 7 80 118 c) 9 vµ 27 d) 125 vµ 25 40 10 11 8 e) 5 vµ 620 f) 27 vµ 81 Bµi 3: So s¸nh c¸c sè sau 36 5 7 24 a) 5 vµ 11 b) 625 vµ 125 *. c) 3 vµ 2 (n N ) Bµi 4: So s¸nh c¸c sè sau 13 16 a) 7.2 vµ 2 20 15 c) 199 vµ 2003 Bµi 5: So s¸nh c¸c sè sau 45 44 44 43 a) 72 72 vµ 72 72 2n. 24680. 3n. d) 3 vµ 2 Bµi 6: So s¸nh c¸c sè sau 500 300 a) 3 vµ 7 303 202 d) 202 vµ 303 10 5 h) 10 vµ 48.50 Bµi 7: So s¸nh c¸c sè sau. 23 22 d) 5 vµ 6.5 5 8 15 b) 21 vµ 27 .49 39 21 d) 3 vµ 11 200 500 b) 2 vµ 5 450 1050 e) 2 vµ 5. 37020. 5. 7. b) 8 vµ 3.4 21 31 e) 3 vµ 2 10 9 10 i) 1990 1990 vµ 1991. 11 14 c) 31 vµ 17 5n 2n g) 5 vµ 2 ;( n N ) 20. 10. c) 99 vµ 9999 1320 1979 g) 11 vµ 37.
<span class='text_page_counter'>(15)</span> a) 107. 50. 75 vµ 73. 35 91 b) 2 vµ 5. 4 12 c) 54 vµ 21. Bµi 8: T×m xem 2100 cã bao nhiªu ch÷ sè trong c¸ch viÕt ë hÖ thËp ph©n Bµi gi¶i: Muèn biÕt 2100 cã bao nhiªu ch÷ sè trong c¸ch viÕt ë hÖ thËp ph©n ta so s¸nh 2100 víi 1030 vµ 1031. * So s¸nh 2100 víi 1030 Ta cã: 2100 = (210)10 = 1024 10 1030 = (103)10 = 100010 V× 102410 > 100010 nªn 2100 > 1030 (*) * So s¸nh 2100 víi 1031 Ta cã: 2100 = 231 . 269 = 231 . 263 . 26 = 231 . (29)7 . (22)3 = 231 .5127 . 43 (1) 1031 = 231 . 531 = 231 . 528. 53 = 231 (54 )7 . 53 = 231 . 6257. 53 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã: 231 . 5127 . 43 < 231 . 5127 . 53 Hay 2100 < 1031 ( **) Tõ (*),( **) ta cã: 1031 < 2100 < 1031 Sè cã 31 ch÷ sè nhá nhÊt Sè cã 32 ch÷ sè nhá nhÊt Nªn 2100 cã 31 ch÷ sè trong c¸ch viÕt ë hÖ thËp ph©n. Bµi 10: So s¸nh A vµ B biÕt. 30 a) A = 1931+ 5. 19 +5. 18. ;. 31 B = 1932+5. 19 +5. 20. 2 −3 ; B = 2 22 −3 20 2 −3 2 −3 2 9 c) A = 1+5+5 2+. . .+ 58 ; B = 1+5+5 +. . .+ 5. b). 1+3+32+ .. .+39 1+3+32+ .. .+38. Bµi gi¶i: 30. A = 1931+ 5. 30. Nªn 19A = 1931.(19 +5). 31. 90 19 + 95 =1+ 31 1931+5 19 +5 90 1932+ 95 =1+ 32 1932+5 19 +5. =. 19 +5 19 +5 31 31 B = 1932+5 nªn 19B = 1932.(19 +5) = 19 +5 19 +5 90 90 V× > 31 32 19 +5 19 +5 90 90 Suy ra 1 + >1+ Hay 19A > 19B Nªn A > B 31 19 +5 1932+5 2 18 18 9 − 3) 220 −12 b) A = 220 −3 nªn 22 . A = 2 .(2 = = 1 - 20 20 22 2 −3 2 −3 2 −3 2 −3 2 20 20 22 9 − 3) B = 2 22 −3 nªn 22.B = 2 .(2 = 2 22−12 = 1- 22 22 2 −3 2 −3 2 −3 2 −3 9 9 9 9 V× 20 > 22 Suy ra 1 - 20 < 1- 22 Hay 22 A < 22 B 2 −3 2 −3 2 −3 2 −3. Nªn A < B c) Ta cã:.
<span class='text_page_counter'>(16)</span> 2 9 2 8 2 9 +.. .+5 ) A = 1+5+5 2+. . .+ 58 = 1+(5+52 +. ..+58 ) = 1+5 (1+5+5 = 2 8. 1+5+5 +. . .+ 5. 1 +5> 5(1) 2 8 1+5+5 +. . .+ 5. 1+5+5 +. ..+5 1+5+ 5 + .. .+5 1 + 3<4 (2) T¬ng tù B = Tõ (1) vµ (2) Ta cã 1+3+ 32+ .. .+38 1 1 A= +5>5>4> + 3 =B nªn A > B 2 8 2 1+5+5 +. . .+ 5 1+3+ 3 + .. ..+3 8. Bµi tËp 10: Cho A = 1 + 2 + 22 + .. +230 ViÕt A + 1 díi d¹ng mét lòy thõa Bµi 4: T×m x N biÕt a) 13 + 23 + 33 + ...+ 103 = ( x +1)2 b) 1 + 3 + 5 + ...+ 99 = (x -2)2. Bµi gi¶i:. a) 13 + 23 + 33 + ...+ 103 = (x +1)2 ( 1+ 2 + 3+...+ 10)2 = ( x +1)2 552 = ( x +1) 2 55 = x +1 x = 55- 1 x = 54 b) 1 + 3 + 5 +...+ 99 = ( x -2)2. (. 99 −1 +1 2. 2. ). = ( x - 2)2. 502 = ( x -2 )2 50 = x -2 x = 50 + 2 x = 52 ( Ta cã: 1 + 3 + 5+ ...+ ( 2n+1) = n2) Bµi 5: T×m 1 cÆp x ; y N tho¶ m·n 73 = x2 - y2 Ta thÊy: 73 = x2 - y2 ( 13 + 23 + 33 +...+73) - (13+ 23+ 33+...+ 63) = x2 - y2 (1+ 2 + 3 + ...+ 7)2 - (1 + 2 + 3 +...+ 6)2 = x2 - y2 282 - 212 = x2 - y2 VËy 1 cÆp x; y tho¶ m·n lµ: x = 28; y = 21 Bµi 2: T×m x N* biÕt. A = 111....1 - 777 ...7 2 x ch÷ sè 1 x ch÷ sè 7. lµ sè chÝnh ph¬ng. Bµi gi¶i: + NÕu x = 1 Ta cã: A = 11 - 7 = 4 = 22 (TM) + NÕu x > 1 Ta cã A = 111...1 - 777...7 = .. . .. .34 2 2x ch÷ sè 1 x ch÷ sè 7 mµ .. . 34 4 Suy ra A kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph¬ng ( lo¹i) VËy x = 1 c) Dïng tÝnh chÊt chia hÕt Bµix1: T×m x; y N biÕt: 35 + 9 = 2. 5y *)NÕu x = 0 ta cã:.
<span class='text_page_counter'>(17)</span> 350 + 9 = 2.5y 10 = 2.5y 5y = 5 y =1 *) NÕu x >0 + NÕu y = 0 ta cã: 35x + 9 = 2.50 35x + 9 = 2 ( v« lý) + NÕu y > 0 ta thÊy: 35x + 9 5 v× ( 35x 5 ; 9 5 ) Mµ 2. 5y 5 ( v« lý v× 35x + 9 = 2.5y) VËy x = 0 vµ y = 1 Bµi 1: TÝnh tæng. A = 1 + 2 + 22+...+ 2100 B = 3 - 32 + 33 - ... - 3100 Bµi gi¶i: A = 1 + 2 + 22 + ...+ 2 100 => 2A = 2 + 22 + 23 + ...+ 2101 => 2A - A = (2 + 22 + 23 + ...+ 2101 ) – (1 +2 + 22+ ...+2100) VËy A = 2101 - 1 B = 3 - 32 - 33 - ...- 3100 => 3B = 32 - 33 + 34 - ...- 3101 B + 3B = (3 - 33 + 33) - ...- 3100) + ( 32 - 23 +34 - ... - 3101) 4B = 3 - 3101 VËy B = ( 3- 3101) : 4 2 2 3 2 3 4 Bµi 2: a) ViÕt c¸c tæng sau thµnh mét tÝch: 2 2 ; 2 2 2 ; 2 2 2 2 2 3 2004 b) Chøng minh r»ng: A 2 2 2 ..... 2 chia hÕt cho 3; 7 vµ 15. 4 5 6 7 Bµi 3: a) ViÕt tæng sau thµnh mét tÝch 3 3 3 3 2 99 b) Chøng minh r»ng: B 1 3 3 .... 3 40 Bµi 4: Chøng minh r»ng: 2 3 2004 a) S1 5 5 5 ... 5 6;31;156 2 3 100 b) S2 2 2 2 .... 2 31 5. 15. c) s3 16 2 33 Bµi 5 TÝnh c¸c tæng sau b»ng c¸ch hîp lý. 0 1 2 2006 2 100 a) A 2 2 2 .... 2 b) B 1 3 3 .... 3 2 3 n 2 2000 c) C 4 4 4 .... 4 d) D 1 5 5 .... 5 2 3 200 Bµi 6 Cho A 1 2 2 2 .... 2 . H·y viÕt A+1 díi d¹ng mét luü thõa. 2 3 2005 Bµi 7 Cho B 3 3 3 ..... 3 . CMR: 2B+3 lµ luü thõa cña 3. 2 3 2005 Bµi 8 Cho C 4 2 2 .... 2 . CMR: C lµ mét luü thõa cña 2. Bµi 9: Chøng minh r»ng: 5 4 3 6 5 4 9 8 7 a) 5 5 5 7 b) 7 7 7 11 c) 10 10 10 222 6 7 n 2 n 2 n n * e) 10 5 59 g) 3 2 3 2 10n N 7 9 13 10 9 8 9 8 7 h) 81 27 9 45 i) 8 8 8 55 k) 10 10 10 555 Bµi 10 TÝnh nhanh a. S = 1 + 2 + 22 + 23 +........+ 262 + 263 b. S = 1 + 3 +32+ 33+............+ 320 c. S = 1 + 4 + 42 + 43+ ...........+ 449.
<span class='text_page_counter'>(18)</span> Bµi 11 TÝnh tæng a) A = 1 + 52 + 54 + 56 + ...+ 5200 b) B = 7 - 74 + 74 -...+ 7301. Bµi gi¶i:. a) A = 1 + 52 + 54 + 56 + ...+ 5200 25 A = 52 + 54+ ...+ 5202 25 A - A = 5202 - 1 VËy A = ( 5202 -1) : 24 304 b) T¬ng tù B = 7 3 +1. 7 +1. Bµi 3: TÝnh A= B=. 1 1 1 1 + 2 + 3 + ... + 100 7 7 7 7 4 4 4 4 − + 2 - 3 + ...+ 200 5 5 5 5 1 7. A=. +. 7A = 1 + 1 + 7. => 7A - A = 1 B=. −. 4 5. 4 2 5. +. 5B = -4 + 4 + 5. 4. B+5B = -4 + B=. Bµi gi¶i:. 1 1 1 + 3 + ... + 100 2 7 7 7 1 1 + ... + 99 72 7 1 1 A = 1 − 100 100 7 7 4 4 - 3 + ...+ 200 5 5 4 4 +...+ 201 53 5. (. ) :6. 5 200. (− 4+ 54 ) : 6 200. Bµi 3: TÝnh 28 24 20 4 A = 2530 +2528 +2526 +.. .+252 +1. 25 +25 +25 +.. .+25 +1. Bµi gi¶i:. Biến đổi mẫu số ta có: 2530 + 2528 + 2526 +...+252 + 1 = (2528 + 2524 + 2520 + ...+1)+ ( 2530 + 2526 +2522+...+252) = (2528 + 2524+ 2520+...1) +252. (2528+ 2526+ 2522+ ...+ 1) = (2528+ 2524 + 2520+ ...+1) . (1 + 252) VËy A =. 1 1+25 2. =. 1 626. Bµi tËp 11: ViÕt 2100 lµ mét sè cã bao nhiªu ch÷ sè khi tÝnh gi¸ trÞ cña nã. Bµi tËp 13: T×m sè tù nhiªn abc biÕt (a + b + c)3 = abc (a b c) Bµi tËp 14: Cã hay kh«ng sè tù nhiªn abcd (a + b + c + d)4 = abcd.
<span class='text_page_counter'>(19)</span> C¸c dÊu hiÖu chia hÕt A/. Môc tiªu: -Häc sinh n¾m v÷ng c¸c tÝnh chÊt chia hÕt vµ c¸c tdÊu hiÖu chia hÕt vµo trong gi¶i bµi tËp. -Vận dụng thành thạo các phép biến đổi vào trong các bài tập số học. -Rèn luyện cho học sinh thói quen tự đọc sách, t duy lô gic óc phân tích tổng hợp. B/. ChuÈn bÞ: Nội dung chuyên đề, kiến thức cơn bản cần sử dụng và các bài tập tự luyện. C/. Nội dung chuyên đề. I/ KiÕn thøc c¬ b¶n. 1) Định nghĩa: Cho hai số tự nhiên a và b (b 0 ). a b.q a b a là bội của b b là ước của a. 2) Tính chaát: 1/ Bất cứ số nào khác 0 cũng chia hết cho chính nó. 2/ Neáu a b vaø bc ac 3/ Soá 0 chia heát cho moïi soá b khaùc 0. 4/ Bất cứ số nào củng chia hết cho 1. 5/ Neáu a m vaø b m thì a b m vaø a b m 6/ Neáu toång cuûa hai soá chia heát cho m vaø moät trong hai soá aáy chia heát cho m thì soá coøn laïi cuõng chia heát cho m. 7/ Neáu moät trong hai soá a vaø b chia heát cho m, soá kia khoâng chia heát cho m thì a +b khoâng chia heát cho m vaø a - b khoâng chia heát cho m. 8/ Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m. 9/ Neáu a m, b n ab mn n. n. Heä Quaû: Neáu a b a b Neáu a m, a n , (m, n) 1 a mn A/ LYÙ THUYEÁT: Goïi A = an an 1 ...a2 a1a0 Tacoù : A2 a0 2, A5 a0 5 A4 a1a0 4, A25 a1a0 25 A8 a2 a1a0 8, A125 a2 a1a0 125 A3 an an 1 ... a2 a1 a0 3 A9 an an 1 ... a2 a1 a0 9. BAØI TAÄP: 1) Thay các chữ x, y bằng chữ số thích hợp để cho:.
<span class='text_page_counter'>(20)</span> a/ Soá 275x chia heát cho 5; cho 25; cho125. b/ Soá 9 xy 4 chia heát cho 2, cho4, cho 8. Giaûi:. x 0;5 a/ 275x 5 ;. b/. 275x 25 x 0 ; 275x 125 x 0 9 xy 42 x, y 0;1; 2;...;9 9 xy 44 x 0;1; 2;...;9 , y 0, 2, 4, 6,8. ;. 9 xy 48 x 0; 2; 4;6;8 ; y 2;6 hoặc x 1;3; 5;7;9 ; y 0; 4;8. :. LUYEÄN TAÄP 1) Cho n N, chứng minh rằng: a/ 5n – 1 4 b/ n2 + n + 1 khoâng chia heát cho 4. c/ 10n - 1 9 d/ 10n + 8 9 Giải: a/ + Với n = 0, ta có: 50 – 1 = 1 – 1 = 0 4 + Với n = 1, ta có: 51 -1 = 5 – 1 = 4 4. + Với n > 1, ta có: 5n = …5 nên 5n – 1 = …5 – 1 = … 4 4 Vậy với n N, 5n – 1 4 . b/ Ta có n2 + n = n( n + 1) đây là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên tích chẳn, do đó n 2 + n + 1 laø soá leõ neân khoâng chia heát cho 4. c/ Ta coù 10n - 1 = 100…0 – 1 = 99…..9 9 n chữ số 0 n chữ số 9 d/ Ta coù: 10n + 8 = 100…0 + 8 = 100…08 9 n chữ số 0 n-1 chữ số 0 2) Chứng minh rằng: a/ 1028 + 8 72 b/ 88 + 220 17 Giaûi: a/ Ta coù: 1028 + 8 = 100…0 + 8 = 100……08 9 (1) 28 chữ số 0 27 chữ số 0 28 Soá 10 + 8 coù taän cuøng baèng 008 neân chia heát cho 8 (2) Maët khaùc (8;9) = 1. Vaäy 1028 + 8 chia heát cho 72. b/ 88 + 220 = (23)8 + 220 = 2 24 + 2 20 = 220(24 + 1) = 220. 17 17 vaây 88 + 220 chia heát cho 17. 3/ CMR với mọi số tự nhiên n thì n 2 + n + 6 không chia hết cho 5. Giaûi: Với mọi số tự nhiên n thì n 2 + n = n(n + 1) đây là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên tận cùng bằng 0; 2; 6. Do đó n 2 + n + 6 tận cùng bằng 6; 8; 2 nên không chia hết cho 5. 4) CMR: a/ 94260 – 35137chia heát cho 5. b/ 995 - 984 + 973 - 962 chia heát cho 2 vaø 5..
<span class='text_page_counter'>(21)</span> Giaûi: a/ 94260 – 35137= 9424.15 – 35137= ….615 - …1 = …6 - …1 = …5 5 b/ 995 - 984 + 973 - 962 = …9 - …6 + ….3 - …..6 =….0 Số này có chữ số tận cùng bằng 0 nên chia hết cho cả 2 và 5. Bµi 1:Chứng minh rằng: a) ab ba chia heát cho 11. b) ab ba Chia hết cho 9 với a > b. a) Ta coù ab ba = (10a +b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b) 11 Vaäy ab ba 11. b) Ta coù : ab ba = (10a + b) – (10b + a) = 9a – 9b = 9 (a – b) 9 Chuù yù :. Neáu ab cd 11 abcd 11. Bµi 2 Cho abc deg 7. Cmr abc deg 7 2) CMR Nếu viết thêm vào đằng sau một số tự nhiên có hai chữ số số gồm chính hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại thì được một số chia hết cho 11. 3) Cho số abc27 Chứng minh rằng số bca 27 Giaûi: 1)Ta coù : abc deg 1000abc deg 1001abc ( abc deg ) 7.143abc (abc deg ). Maø : 7.143 abc7 vaø abc deg 7. Vaäy abc deg 7 2) Gọi số tự nhiên có hai chữ số là: ab .( 0 < a 9, 0 b 9, a,b N) Khi viết thêm số có hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại ta được số: abba abba 1000a 100b 10b a 1001a 110b 7.11.13a 11.10b 11 Vaäy : abba 11. 3) abc27 abc 027 1000a bc027 999a a bc027 27.37 a bca 27 bca 27 ( Do 27.37a 27). LUYEÄN TAÄP 1) CMR tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của bốn số tự nhiên lieân tieáp thì khoâng chia heát cho 4. 2) CMR Toång cuûa 5 soá chaún lieân tieáp thì chia heát cho 10, coøn toång cuûa 5 soá leõ lieân tieáp thì khoâng chia heát cho 10. 3) Tìm n N để: a) 27 – 5n n b) n + 6 n + 2 c) 2n + 3 n – 2 d) 3n + 1 11 – 2n.
<span class='text_page_counter'>(22)</span> 4) Cmr neáu ab cd eg 11 thì abc deg 11 5) Cho abc deg 37. Cmr abc deg 37 6) Cho 10 k – 1 19 với k > 1 CMR: 102k – 1 19 7) Cho n là số tự nhiên. CMR: a/ (n + 10 ) (n + 15 ) chia heát cho 2. b/ n(n + 1) (n + 2) chia heát cho caû 2 vaø 3. 8) Chứng minh rằng nếu ab 2cd abcd 67 Giaûi: 1) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2 . Ta phải chứng minh: n + (n + 1) + (n + 2) 3 Thaät vaäy ta coù: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 3 Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2, n + 3. Ta coù: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 7 khoâng chia heát cho 4 vì 4n chia heát cho 4 coøn 7 khoâng chia heát cho 4. Vậy tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của bốn số tự nhiên liên tieáp thì khoâng chia heát cho 4. 2) Gọi 5 số chẵn liên tiếp là: 2n; 2n + 2; 2n + 4; 2n + 6; 2n + 8 với n là số tự nhiên. Ta coù: 2n + 2n + 2 + 2n + 4 + 2n + 6 + 2n + 8 = 10n + 20 = 10(n + 2) 10 Gọi 5 số lẽ liên tiếp là: 2n + 1; 2n + 3; 2n + 5; 2n + 7; 2n + 9 với n là số tự nhiên. Ta coù: 2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 + 2n + 7 + 2n + 9 = 10n + 25 = 10(n + 2) + 5 10. 1;3;9; 27 3) a) 27 – 5n n ; 5n n => 27 n => n Ö(27) = nhöng 5n < 27 neân n < 6 1;3 Vaäy n . b) n + 6 n + 2 => n + 2 + 4 n + 2, maø n +2 n + 2 => 4 n + 2 => n + 2. 1; 2; 4. 0; 2 1; 7 c) 2n + 3 n – 2 => 2(n – 2) + 7 n -2 => 7 n - 2 => n – 2 => n 3;9 d*) 3n + 1 11 – 2n (n < 6) => 2(3n + 1) + 3(11 – 2n) 11 – 2n => 35 11 – 2n 1;5;7;35. 5;3; 2. nhöng vì n < 6 neân n => 11 – 2n 4) Ta coù : abc deg 10000ab 100cd eg 9999ab 99cd (ab cd eg ) Do 999911; 9911;(ab cd eg )11. Vaäy : abc deg 11 5) Tacoù : abc deg 1000abc deg 999abc (abc deg) 27.37abc (abc deg) Do 27.37 abc 37; (abc deg)37; Vaäy : abc deg 37. 6) Ta coù: 102k – 1 = 102k – 10k + 10k -1 = 10k(10k – 1) + (10k – 1) Do 10k - 1 19 neân 10k(10k – 1) + (10k – 1) 19. => n.
<span class='text_page_counter'>(23)</span> Vaây 102k – 1 19 7) a/ (n + 10 ) (n + 15 ) Khi n chaün => n = 2k (k N). Ta coù: (n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 10)( 2k + 15) = 2(k + 5)(2k + 15) Chia heát cho 2.Khi n leõ => n = 2k + 1 (k N). Ta coù: :(n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 1 + 10)(2k +1 + 15) = (2k + 11)(2k + 16) = 2(2k + 11 )(k + 8) chia heát cho 2. Vaây (n + 10 ) (n + 15 ) Chia heát cho 2. b/ Ñaêt. A = n (n + 1)(n + 2) + Trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chẳn và một số lẽ, số chẳn chia hết cho 2 nên A chia heát cho 2. + Trường hợp: n = 3k (k N) thì n chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3. (1) Trường hợp: n không chia hết cho 3 thì n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 Khi n = 3k + 1 => A = (3k + 1)( 3k + 2)(3k + 3) = 3(3k + 1)( 3k + 2)(k + 1) chia heát cho 3 neân A chia heát cho 3. (2) Khi n = 3k + 2 => A = (3k + 2)( 3k + 3)(3k + 4) = 3(3k + 2)( k + 1)(3k + 4) chia heát cho 3 neân A chia heát cho 3. (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: A chia hết cho 3. Vaäy A chia heát cho caû 2 vaø 3. 8) Ta coù abcd 100ab cd Maø:. ab 2cd. Suy ra: abcd 2cdcd 200cd cd 201cd 3.67cd 67 abcd 67 Vaäy: Bài 3. Dùng ba chữ số 9, 0 ,5 để ghép thành các số co ba chữ số thỏa mãn một trong các điều kiên sau: a) Số đó chia hết cho 5; a) Số đó chia hết cho 2 và cho 5. Giải. a) Một số chia hết cho 5 thì số đó tận cùng bằng 0 hoặc 5 . vậy có ba số có chữ số chia hết cho 5 là: 950 ; 590 ; 905. b)Một số chia hết cho 2 và cho 5 thì số đó tận cùng bằng 0 . vậy có hai số có chữ số chia hết cho 2 và cho 5 là: 950 ; 590 ; Bài 4. Cho số 123 x 43 y . hãy thay x,y bởi các chữ số để số đã cho chia hết cho 3 và 5. ⋮ 5 nên y = 0 hoặc y = 5. Giải. Số 123 x 43 y Với y = 0 , ta có số 123 x 430 . số này phải chia hết cho 3 , nên 1 + 2 + 3 + x + 4+ +3 ⋮ 3 hay 12 + (x+ 1) ⋮ 3 , nhưng 1≤ x + 1 ≤ 10 ,nên x + 1 = 3 ; 6 ; 9. - Nếu x + 1 = 3 thì x = 2 ,ta được 1232430 - Nếu x + 1 = 6 thì x = 5 ,ta được 1235430 - Nếu x + 1 = 3 thì x = ,ta được 1238430.
<span class='text_page_counter'>(24)</span> Với y = 5 , ta có số 123 x 435 . số này phải chia hết cho 3 , nên 1 + 2 + 3 + x + 4+ +3 + 5 ⋮ 3 hay 18 + x ⋮ 3 ,nên x = 0 ; 3 ; 6 ; 9. ta có các số sau : 1230435; 1233435; 1236435 và 1239435 Bài 5: 1. Điền chữ số vào dấu * để được số : ¿. a) Chia hết cho 2 : 3 ∗ 46 ; 199∗ ; 20 ∗1 ; a) Chia hết cho 5 : 16 ∗5. ¿ ¿ ; 174 ∗ ; 53 ∗6 ; ¿. 1. Dùng cả ba số 5,6,9 để ghép thành các số tự nhiên có ba chữ số: a) Lớn nhất và chia hết cho 5; a) Nhỏ nhất và chia hết cho 2; 3. Tìm tập hợp các số tự nhiên n vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5 và 1995 ≤ n ≤2001 . 4. Chứng tỏ rằng trong năm số tự nhiên liên tiếp luốn có một số chia hết cho 5. 5. Chứng tỏ rằng: a) Trong ba số tự nhiên bất kì bao giờ cũng chọn được hai số có hiệu chia hết cho 2; b) Trong sáu số tự nhiên bất kì bao giờ cũng chọn được hai số có hiệu chia hết cho 5; 6. Chứng tỏ rằng: a) (5n + 7 )(4n + 6) ⋮ 2 với mọi số tự nhiên n; b) (8n + 1 )(6n + 5) .. . 2 với mọi số tự nhiên n; 7. Người ta viết các số tự nhiên tùy ý sao cho số các số lẻ gấp đôi số các số chẵn. tổng các số đã viết có chia hết cho 2 hay không? Vì sao? 8. Có 5 tờ giấy .người ta xé tờ giấy đó thành 6 mảnh . lại lấy một trong số mảnh giấy nào đó, xé mỗi mảnh thành 6 mảnh.cứ như vậy sau một số lần , người ta đếm được 2001 mảnh giấy.hỏi người ta đếm đúng hay sai? 9. Cho sáu chữ số : 2 , 3 ,5 ,6 ,7 ,9. a) cố bao nhiêu số có ba chữ số ,các chữ số trong mỗi số đều khhacs nhau, được lập thành từ các chữ số trên? b) Trong các số được lập thành có bao nhiêu số nhỏ hơn 400? Bao nhiêu số là số lẻ ? bao nhiêu số chia hết cho 5? Bài tập cñng cè: 1.Điền chữ số vào dấu * để: a) 2001 + 2∗ 3 chia hết cho 3; b) 5 ∗793 ∗ 4 chia hết cho 9; 2. Điền chữ số vào dấu * để được số chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 : ¿ 51∗ ¿. và. ¿ 745 ∗ ¿. 3.Dùng ba trong 4 chữ số 3,6,9,0 hãy ghép thành số tự nhiên có ba chữ số sao cho số đó: a) Chia hết cho 9; b) Chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9. ⋮ 3 4. Phải thay các chữ số x, y bởi chữ số nào để số 123 x 44 y 5. Tổng (hiệu) sau có chia hết cho 3 , cho 9 không? 102001 + 2 ; 102001 – 1 . 6. Tìm các chữ số x,y biết rằng số 56 x 3 y chia hết cho 2 và 9..
<span class='text_page_counter'>(25)</span> 7. Tìm các chữ số x,y biết rằng số 71 x 1 y chia hết cho 445. 8. Tìm tất cả các số có dạng 6 a 14 b , biết rằng số đó chai hết cho 3 , cho 4 và cho 5. 9. Tìm hai số tự nhiên liên tiếp , trong đó có một chữ số chia hết cho 9 , biết rằng tổng của hai số đó thỏa mãn các điều kiện sau: a) Là só có ba chữ số; b) Là số chia hết cho 5; c) Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị là số chia hết cho 9; d) Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng chục là số chia hết cho 4; C¸c ph¬ng ph¸p chøng minh chia hÕt Phơng pháp 1: để chứng minh Ab ( b 0 ). Ta biểu diễn A b.k trong đó k N 100. Bµi 1: Cho n N . Chøng minh r»ng: (5n) 125 2 2004 Bµi 2: Cho A 2 2 ..... 2 . Chøng minh r»ng: a) A6 b) A7 c) A30 2 1998 Bµi 3: Cho S 3 3 ... 3 . Chøng minh r»ng : a) S 12 b) s39 2 100 Bµi 4: Cho B 3 3 ... 3 Chøng minh r»ng: B120 Bµi 5: Chøng minh r»ng 36 10 10 9 8 5 4 3 a) 36 9 45 b) 8 8 8 55 c) 5 5 5 7 6 5 4 54 24 10 63 7 9 13 d) 7 7 7 11 e) 24 .54 .2 72 g) 81 27 9 45 10. 11. 12. h) 3 3 2 2 6n N i) (2 2 2 ) : 7 lµ mét sè tù nhiªn. Ph¬ng ph¸p 2: Sö dông hÖ qu¶ tÝnh chÊt chia hÕt cña mét tæng NÕu a b m vµ a m b m Ph¬ng ph¸p 3: §Ó chøng minh mét biÓu thøc chø ch÷ (Gi¶ sö chøa n) chia hÕt cho b ( b 0 )Ta cã thÓ xÐt mäi trêng hîp vÒ sè d khi chia n cho b Bµi 6: a) Chøng minh r»ng: TÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 2 b) Chøng minh r»ng: TÝch cña ba sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 6. c) Chøng minh r»ng: TÝch cña 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 24 d) Chøng minh r»ng: TÝch cña 5 sè tù nhiªn liªn liÕp chia hÕt cho 120 (Chú ý: Các bài toán trên đây đợc sử dụng trong chứng minh chia hết, không cần CM lại) Bµi 7: Chøng minh r»ng: a) (5n 7)(4n 6) 2n N b) (8n 1)(6n 5) kh«ng chia hÕt cho 2 N Bµi 8: Chøng minh r»ng: A n(n 1)(2n 1)6n N 2 2 Bµi 9: a) Cho n N . Chøng minh r»ng: n 3 hoÆc n chia 3 d 1 2 b) CMR: Không tồn tại n N để n 1 300...0 n 3. n 1. n 3. n 2. 2 2 Bµi 10: Chøng minh r»ng: m, n N ta lu«n cã m.n(m n ) 3 2006 2005 Bµi 11: Chøng minh r»ng: (n 2005 )(n 2006 )2n N. n 2 1 20042004.....2004 . 15 so 2004 Bài 12: CMR không tồn tại n N để Phơng pháp 4: Để chứng minh Ab . Ta biểu diễn b dới dạng b m.n . Khi đó + NÕu (m, n)=1 th× t×m c¸ch chøng minh Am vµ An Am.n hay Ab. + NÕu (m; n) 1 ta biÓu diÔn A a1.a2 råi t×m c¸ch chøng minh a1 m; a2 n th× tÝch a1.a2 m.n tøc Ab Bµi 13: a) Chøng minh r»ng: TÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 2 b) Chøng minh r»ng: TÝch cña ba sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 6. c) TÝch cña bèn sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 24..
<span class='text_page_counter'>(26)</span> d) TÝch cña 5 sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 120 2 Bµi 14 : Chøng minh r»ng: nÕu a lµ mét sè lÎ kh«ng chia hÕt cho 3 th× a 16 Bµi 15: a) Chøng minh r»ng: TÝch cña hai sè ch½n liªn tiÕp th× chia hÕt cho 8 b) Chøng minh r»ng: TÝch cña ba sè ch½n liªn tiÕp th× chia hÕt cho 48 c) Chøng minh r»ng: TÝch cña bèn sè ch½n liªn tiÕp th× chia hÕt cho 384 n Bµi 16 : Chøng minh r»ng: B 10 18n 127 Bµi 16: Chøng minh r»ng: n a) 10 36n 127n N ; n 2. 11...1 27. b) sè 27 c / s1 Ph¬ng ph¸p 5: Dïng dÊu hiÖu chia hÕt 1020006 872 Bµi 17: Chøng minh r»ng: 55...5 . Bµi 18: Chøng minh r»ng: a) Sè nc / s 5 kh«ng chia hÕt cho 125 ( n 3 37 23 b) 10 2 9 c) 37 23 10 Bµi 19:Chøng minh r»ng:. 33 a) 10 82;9. 10 b) 10 143; 2. 50. 25. c) 10 53;5 d) 10 262;9 Bµi 20: T×m hai sè tù nhiªn liªn tiÕp cã ba ch÷ sè biÕt r»ng mét sè chia hÕt cho 125, sè kia chia hÕt cho 8. Bµi 21: Chøng minh r»ng n N th× 4 n1 4 n 2 2 n1 a) 2 35 b) 2 15 c) 9 110 4n 4 n1 d) 7 15 e) 3 25 10. 10. Bµi 22 : Chøng minh r»ng (2 1) 25 Bµi 23: Cho sè tù nhiªn ab b»ng ba lÇn tÝch c¸c ch÷ sè cña nã. a) Chøng minh r»ng: ba b) Gi¶ sö b=k.a. Chøng minh r»ng k lµ íc cña 10. c) T×m c¸c sè ab nãi trªn Phơng pháp 6: để chứng minh Ab ta biểu diễn A A1 A2 .... An và chứng minh các Ai (i 1, n)b Bµi 1: CMR:. a) n N th×. b) a, b, n N th× 88...8 9 n 9 . A 2.n 11...1 3 nc / s1. B (10n 1).a (11...1 n).b 9 nc / s1. c) nc / s8 Bài 24: Hai số tự nhiên a và 2a đều có tổng các chữ số bằng k. Chứng minh rằng a9 Bài 25: Tìm các chữ số x, y để 1994 xy72 C¸c bµi to¸n tæng hîp: Bài 1: Tìm n N để a) n 6n b) 4.n 5n d) n 5n 1 e) 3n 4n 1 Bài 2: Tìm n N để:. c) 38 3nn g) 2n 116 3n.
<span class='text_page_counter'>(27)</span> 2. 2. a) 3n 2n 1 b) n 2n 7n 2 c) n 1n 1 d) n 8n 3 e) n 6n 1 g) 4n 52n 1 h) 12 n8 n i) 20n k) 28n 1 l) 113 n7 m) 113 n13 Bài 3: Tìm n N . để các phân số sau có giá trị là số tự nhiên n2 a) 3. 7 b) n 1. n 1 c) n 1. 2n 8 n 5 d) 5. Bài 4: Tìm n N để a) 4n 513 b) 5n 17 c) 25n 353 d) 18n 37 Bµi 5: T×m sè tù nhiªn n sao cho c¸c ph©n sè sau cã gi¸ trÞ lµ sè tù nhiªn 3n 5 a) n 1 2n 13 d) n 1. n 13 b) n 1 3n 5 e) n 2. 3n 15 c) n 1 6n 5 g) 2n 1. Bµi 6: T×m c¸c sè tù nhiªn n sao cho a) n 11n 1 b) 7 nn 3 2 2 c) n 2n 6n 4 d) n n 1n 1 8 20 Bµi 4: Chøng minh r»ng: 8 2 17 Bµi 5: Chøng minh r»ng: m 4n 13 10m n 13 m, n N Bµi 6: Cã hay kh«ng hai sè tù nhiªn x, y sao cho ( x y)( x y) 2002 Bµi 8 : Chøng minh r»ng nÕu ab cd 11 th× abcd 11 Bài 9 : Cho hai số tự nhiên abc và deg đều chia 11 d 5. Chứng minh rằng số abc deg 11 Bµi 10 : Cho abc deg 13 . Chøng minh r»ng: abc deg 13 Bµi 11:Cho biÕt sè abc7. Chøng minh r»ng: 2a 3b c 7 Bài 12 : Cho số abc4 trong đó a, b là các chữ số chẵn. Chứng minh rằng: a) c4 b) bac4 Bµi 13: T×m c¸c ch÷ sè a, b sao cho a b 4;7a5b13 Bµi 14: Cho 3a 2b 17(a, b N ) . Chøng minh r»ng: 10a b17 Bµi 15:Cho a 5b 17(a, b N ) . Chøng minh r»ng: 10a b 17 n Bµi 16: Chøng minh r»ng: 9.10 1827 n N Bµi 17: Chøng minh r»ng: nÕu abcd 99 th× ab cd 99 vµ ngîc l¹i Bµi 3: BiÕt a b 7. Chøng minh r»ng: aba7 Bµi 4: BiÕt a b c 7. Chøng minh r»ng: nÕu abc7 th× b=c Bµi 5: T×m sè tù nhiªn ab sao cho 567a9b45 Bµi 6: T×m c¸c cÆp sè tù nhiªn (a,b) sao cho 1 1 b a) a 6 3. a 1 3 b) 4 b 4.
<span class='text_page_counter'>(28)</span> Bµi 7: Cho sè N dcba . Chøng minh r»ng: a) N 4 a 2b 4 b) N 8 a 2b 4c 8 c) N 16 a 2b 4c 8d 16 víi b ch½n Bµi 8: Chøng minh r»ng: a) 2 x 3 y 17 9 x 5 y 17 b) a 4b 13 10a b 13 c) 3 a 2b17 10a b17 Bµi 9: Chøng minh r»ng: n a) 10 72n 181n N 11...1 81. b) 81c / s1 Bµi 11: Chøng minh r»ng mét sè cã hai ch÷ sè chia hÕt cho 7 khi vµ chØ khi tæng cña ch÷ sè hàng chục và 5 lần chữ số hàng đơn vị chia hết cho 7. Bµi 12: Víi a, b lµ c¸c ch÷ sè kh¸c 0. Chøng minh r»ng: a) abba11 b) aaabbb37 c) ababab7 d) abab baba 9 vµ 101 víi a>b Bµi 13: Cho số tự nhiên A, Ngời ta đổi chỗ các chữ số của số A để đợc số B gấp ba lần số A. Chứng minh r»ng B chia hÕt cho 27..
<span class='text_page_counter'>(29)</span> SỐ NGUYÊN TỐ – HỢP SỐ. PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ. A/ LYÙ THUYEÁT: + Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước là 1 và chính nó. + Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 có nhiều hơn hai ước. + Để chứng tỏ số tự nhiên a > 1 là hợp số, chỉ cần chỉ ra một ước khác 1 và a. Chuù yù: 10n = 10….0 = 2n.5n n chữ số 0 + Cách xác định số lượng ước của một số: Khi phân tích M ra thừa số nguyên tố, ta có M = ax.by….cz thì các ước của M là (x + 1)(y + 1)…(z + 1). + Nếu ab P với P là số nguyên tố thì hoặc a P hoặc b P . Ñaëc bieät: Neáu an P thì a P B/ VÍ DUÏ: D¹ng 1: Bµi 1: Tæng (hiÖu) sau lµ sè nguyªn tè hay hîp sè: a/ 3150 + 2125 b/ 5163 + 2532 c/ 19. 21. 23 + 21. 25 .27 d/ 15. 19. 37 – 225 Bµi 2: Chøng tá r»ng c¸c sè sau ®©y lµ hîp sè: a/ 297; 39743; 987624 b/ 111…1 cã 2001 ch÷ sè 1 hoÆc 2007 ch÷ sè 1 c/ 8765 397 639 763 Híng dÉn a/ Các số trên đều chia hết cho 11 Dùng dấu hiệu chia hết cho 11 đê nhận biết: Nếu một số tự nhiên có tổng các chữ số đứng ở vị trí hàng chẵn bằng tổng các chữ số ở hàng lẻ ( số thứ tự đợc tính từ trái qua phải, số đầu tiên là số lẻ) thì số đó chia hết cho 11. Chẳng hạn 561, 2574,… b/ Nếu số đó có 2001 chữ số 1 thì tổng các chữ số của nó bằng 2001 chia hết cho 3. Vậy số đó chia hết cho 3. Tơng tự nếu số đó có 2007 chữ số 1 thì số đó cũng chia hết cho 9. c/ 8765 397 639 763 = 87654.100001 lµ hîp sè. Bµi 3: Chøng minh r»ng c¸c tæng sau ®©y lµ hîp sè a/ abcabc 7 b/ abcabc 22.
<span class='text_page_counter'>(30)</span> c/ abcabc 39 Híng dÉn a/ abcabc 7 = a.105 + b.104 + c.103 + a. 102 + b.10 + c + 7 = 100100a + 10010b + 1001c + 7 = 1001(100a + 101b + c) + 7 V× 1001 7 1001(100a + 101b + c) 7 vµ 7 7 Do đó abcabc 7 7, vậy abcabc 7 là hợp số b/ abcabc 22 = 1001(100a + 101b + c) + 22 1001 11 1001(100a + 101b + c) 11 vµ 22 11 Suy ra abcabc 22 = 1001(100a + 101b + c) + 22 chia hÕt cho 11 vµ abcabc 22 >11 nªn abcabc 22 lµ hîp sè. c/ T¬ng tù abcabc 39 chia hÕt cho 13 vµ abcabc 39 >13 nªn abcabc 39 lµ hîp sè Bài 4: a/ Tìm số tự nhiên k để số 23.k là số nguyên tố b/ T¹i sao 2 lµ sè nguyªn tè ch½n duy nhÊt? Híng dÉn a/ Víi k = 0 th× 23.k = 0 kh«ng lµ sè nguyªn tè víi k = 1 th× 23.k = 23 lµ sè nguyªn tè. Víi k>1 th× 23.k 23 vµ 23.k > 23 nªn 23.k lµ hîp sè. b/ 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất, vì nếu có một số chẵn lớn hơn 2 thì số đó chia hết cho 2, nên íc sè cña nã ngoµi 1 vµ chÝnh nã cßn cã íc lµ 2 nªn sè nµy lµ hîp sè. Bµi 5: T×m mét sè nguyªn tè, biÕt r»ng sè liÒn sau cña nã còng lµ mét sè nguyªn tè Híng dÉn Ta biÕt hai sè tù nhiªn liªn tiÕp bao giê còng cã mét sè ch½n vµ mét sè lÎ, muèn c¶ hai lµ sè nguyªn tè th× ph¶i cã mét sè nguyªn tè ch½n lµ sè 2. VËy sè nguyªn tè ph¶i t×m lµ 2. Dạng 2: Dấu hiệu để nhận biết một số nguyên tố Ta có thể dùng dấu hiệu sau để nhận biết một số nào đó có là số nguyên tố hay không:“ Số tự nhiªn a kh«ng chia hÕt cho mäi sè nguyªn tè p mµ p2 < a th× a lµ sè nguyªn tè. VD1: Ta đã biết 29 là số nguyên tố. Ta cã thÓ nhËn biÕt theo dÊu hiÖu trªn nh sau: - Tìm các số nguyên tố p mà p2 < 29: đó là các số nguyên tố 2, 3, 5 (72 = 49 19 nên ta dừng lại ở sè nguyªn tè 5)..
<span class='text_page_counter'>(31)</span> - Thö c¸c phÐp chia 29 cho c¸c sè nguyªn tè trªn. Râ rµng 29 kh«ng chia hÕt cho sè nguyªn tè nµo trong c¸c sè 2, 3, 5. VËy 29 lµ sè nguyªn tè. VD2: Hãy xét xem các số tự nhiên từ 1991 đến 2005 số nào là số nguyên tố? Híng dÉn - Tríc hÕt ta lo¹i bá c¸c sè ch½n: 1992, 1994, .. ., 2004 - Lo¹i bá tiÕp c¸c sè chia hÕt cho 3: 1995, 2001 - Ta cßn ph¶i xÐt c¸c sè 1991, 1993, 1997, 1999, 2003 è nguyªn tè p mµ p2 < 2005 lµ 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43. - Sè 1991 chia hÕt cho 11 nªn ta lo¹i. - Các số còn lại 1993, 1997, 1999, 2003 đều không chia hết cho các số nguyên tố tên. Vậy từ 1991 đến 2005 chỉ có 4 số nguyên tố là 1993, 1997, 1999, 2003 C.HDVN: xem lại những bài đã chữa,nắm vững dấu hiệu nhận biết số nguyên tố,hợp số Bài tập Ví duï 1: Cho A = 5 + 52 + 53 +……+5100 a) Số A là số nguyên tố hay hợp số? b) Soá A coù phaûi laø soá chính phöông khoâng? Giải: a) Có A > 5; A 5 ( Vì mỗi số hạng đều chia hết cho 5) nên A là hợp số. b) Coù 52 25, 53 25;…..;5100 25, nhöng 5 25 neân A 25 Soá A 5 nhöng A 25 neân A khoâng laø soá chính phöông. Ví dụ 2: Số 54 có bao nhiêu ước. Giải: Có: 54 = 2 .33. Số ước của 54 là: (1 + 1)(3 + 1) = 2.4 = 8 ước. 1; 2;3; 6;9;18; 27;54. Tập hợp các ước của 54 là: Ư(54) = Ví duï 3: Tìm soá nguyeân toá p sao cho p + 2 , p + 4 cuõng laø soá nguyeân toá. Giải: Vì p là số nguyên tố nên p có một trong ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + 2 với k là số tự nhieân. Nếu p = 3k thì p = 3 (Vì p là số nguyên tố) => p + 2 = 5; p + 4 = 7 đều là số nguyên tố. Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 2 là hợp số, trái với đề baøi. Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 4 là hợp số, trái với đề baøi. Vaäy p = 3 laø soá nguyeân toá caàn tìm. C/ BAØI TAÄP: 1) Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nhỏ nhất trong ba số đó? 2) Toång cuûa hai soá nguyeân toá coù theå baèng 2003 hay khoâng? 3) Tìm soá nguyeân toá p, sao cho caùc soá sau cuõng laø soá nguyeân toá..
<span class='text_page_counter'>(32)</span> a)p + 2 vaø p + 10. b)P + 10 vaø p + 20. 4) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Biết p + 2 cũng là số nguyên tố. Chứng minh p + 1chia heát cho 6. 5) Cho p và p + 4 là các số nguyên tố (p > 3).Chứng minh p + 8 là hợp số. 6) Cho a, n N*, biết an 5. Chứng minh: a2 + 150 25. Giaûi: 1) Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012 là số chẳn nên một trong ba số nguyên tố đó phải có moät soá chaún đó là số 2. số 2 là số nhỏ nhất trong ba số nguyên tố đã cho. 2) Tổng của hai số nguyên tố có thể bằng 2003 là số lẽ nên một trong hai số nguyên tố đó phải là số 2 khi đó số thứ hai là: 2003 – 2 = 2001 chia hết cho 3 nên là hợp số. Vaäy khoâng toàn tai hai soá nguyeân toá coù toång baèng 2003. 3) a/ Vì p là số nguyên tố nên p có một trong ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + 2 với k là số tự nhieân. Nếu p = 3k thì p = 3 (Vì p là số nguyên tố) => p + 2 = 5; p + 10 = 13 đều là số nguyên tố. Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 2 là hợp số, trái với đề baøi. Nếu p = 3k + 2 thì p + 10 = 3k + 12 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 10 là hợp số, trái với đề bài. Vaäy p = 3 laø soá nguyeân toá caàn tìm. b/ Vì p là số nguyên tố nên p có một trong ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + 2 với k là số tự nhieân. Nếu p = 3k thì p = 3 (Vì p là số nguyên tố) => p + 10 = 13; p + 20 = 23 đều là số nguyên tố. Nếu p = 3k + 1 thì p + 20 = 3k + 21 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 20 là hợp số, trái với đề bài. Nếu p = 3k + 2 thì p + 10 = 3k + 12 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 10 là hợp số, trái với đề bài. Vaäy p = 3 laø soá nguyeân toá caàn tìm. 4) Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẽ, => p + 1 là số chẵn nên p + 1 2 p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2. (k N) Daïng p = 3k + 1 khoâng xaõy ra. Daïng p = 3k + 2 cho ta p + 1 = 3k + 3 3 (2) Từ (1) và (2) suy ra p + 1 6 5) p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2. (k N). (1).
<span class='text_page_counter'>(33)</span> Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 chia hết cho 3 nên là hợp số, trái với đề bài. Vậy p có dạng 3k + 1 khi đó p + 8 = 3k + 9 chia hết cho 3 nên p + 8 là hợp số. 6) Coù an 5 maø 5 laø soá nguyeân toá neân a 5 => a2 25. Maët khaùc 150 25 neân a2 + 150 25. Bµi 1: T×m hai sè nguyªn tè biÕt tæng cña chóng b»ng 2005. Bài 2: Tìm các số nguyên tố p để 4 p 11 là số nguyên tố nhỏ hơn 30. 2 100 Bµi 3: Cho A 5 5 .... 5 a) Sè A lµ sè nguyªn tè hay hîp sè. b) Sè A cã lµ sè chÝnh ph¬ng kh«ng ? Bµi 4: Tæng hiÖu sau lµ sè nguyªn tè hay hîp sè a) A 13.15.17 91 . b) B 2.3.5.7.11 13.17.19.21 . c) C 12.3 3.41 240 d) D 45 36 72 81 e) E 91.13 29.13 12.13 g) G 4.19 5.4 2 3 2 3 4 5 h) H 3 3.17 34.3 i) I 7 7 7 7 7 k) A 1.3.5.7...13 20 l) B 147.247.347 13 * Bµi 5: Cho n N . Chøng minh r»ng sè. A 11...1211...1 . lµ hîp sè. 2 Bµi 6: a) Cho n lµ mét sè kh«ng chia hÕt cho 3. Chøng minh r»ng: n chia 3 d 1. nc / s1. 2. nc / s1. b) Cho p lµ sè nguyªn tæ lín h¬n 3. Hái p 2003 lµ sè nguyªn tè hay hîp sè ? 2 2 Bµi 7: Cho n N ; n 2 vµ n kh«ng chia hÕt cho 3. Chøng minh r»ng: n 1 vµ n 1 kh«ng thÓ đồng thời là số nguyên tố. Bµi 8: Cho p lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3. * a) Chøng tá r»ng: p cã d¹ng 6k 1 hoÆc 6k 5 víi k N b) BiÕt 8 p 1 còng lµ sè nguyªn tè. Chøng minh r»ng: 4 p 1 lµ hîp sè. Bài 9: Cho p và p 8 đều là số nguyên tố (p>3). Hỏi p+100 là số nguyên tố hay hợp số Bµi 10: Cho n 29k víi k N . Víi gi¸ trÞ nµo cña k th× n: a) Lµ sè nguyªn tè b) Lµ hîp sè c) Kh«ng lµ sè nguyªn tè còng kh«ng lµ hîp sè. Bµi 11: Chøng minh r»ng: nÕu 8p-1 vµ p lµ sè nguyªn tè th× 8p+1 lµ hîp sè. Bài 12: Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho 7 p q và pq 11 đều là số nguyên tố. Bài 13: Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp đều là số nguyên tố. Bµi 14: T×m sè nguyªn tè p sao cho a) 3 p 5 lµ sè nguyªn tè. b) p+8 và p+10 đều là số nguyên tố. Bài 16: Cho n 2.3.4.5.6.7 . CMR: 6 số tự nhiên liên tiếp sau đều là hợp số: n+2; n+3; n+4; n+5; n+6; n+7 Bài 17: Tìm số nguyên tố p sao cho p 6; p 8; p 12; p 14 đều là số nguyên tố Bµi 18:Cho p lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3. Chøng minh r»ng: ( p 1)( p 1) chia hÕt cho 24. Bµi 19:Cho p vµ 2p+1 lµ hai sè nguyªn tè (p>3). Chøng minh r»ng: 4p+1 lµ hîp sè. Bµi 20:Cho p vµ 10p+1 lµ hai sè nguyªn tè (p>3). Chøng minh r»ng: 5p+1 lµ hîp sè. Bài 21:Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p >3, ba số p, p+2, p+4 không thể đồng thời là nh÷ng sè nguyªn tè..
<span class='text_page_counter'>(34)</span> n. n. Bài 22: Hai số 2 1 và 2 1 với n >2 có thể đồng thời là số nguyên tố hay đồng thời là hợp số đợc không ? Bài 23: Tìm số nguyên tố p để có a) p+10 và p+14 đều là số nguyên tố. b) p+2; p+6 và p+8 đều là số nguyên tố. c) p+6;p+12; p+24; p+38 đều là số nguyên tố. d) p+2; p+4 còng lµ sè nguyªn tè. Bµi 24: T×m c¸c sè nguyªn tè a, b, c sao cho 2a 3b 6c 78 Bµi 25: CMR: 2001.2002.2003.2004 +1 lµ hîp sè. 2. Bµi 26: T×m sè nguyªn tè p sao cho p 44 lµ sè nguyªn tè. 100 100 Bài 27: CMR: Hai số 1994 1 và 1994 1 không thể đồng thời là số nguyên tố Bµi 28: T×m sè nguyªn tè p sao cho p 94 vµ p+1994 còng lµ sè nguyªn tè p 2 Bài 29: Tìm tất cả các số nguyên tố p để 2 p cũng là số nguyên tố..
<span class='text_page_counter'>(35)</span> ¦íc chung vµ béi chung, ¦CLN, BCNN A/. Môc tiªu: -Học sinh nắm vững định nghĩa và các tính chất của ớc chung, ƯCLN, bội chung, BCNN vµo trong gi¶i bµi tËp. -VËn dông thµnh th¹o c¸c tÝnh chÊt vÒ chia hÕt vµo trong c¸c bµi tËp. -Rèn luyện cho học sinh thói quen tự đọc sách, t duy lô gic óc phân tích tổng hợp. B/. ChuÈn bÞ: Nội dung chuyên đề, kiến thức cơn bản cần sử dụng và các bài tập tự luyện. C/. Nội dung chuyên đề. I/ KiÕn thøc c¬ b¶n. 1- TÝnh chÊt chia hÕt liªn quan a m a ⋮ n => a ⋮ m.n (m,n)=1 a.b ⋮ m => b ⋮ m (a, m) =1 Bµi 1: T×m ¦CLN cña. d/ ¦CLN(1800,90) = 90 v× 1800 chia hÕt. a/ 12, 80 vµ 56. cho 90.. b/ 144, 120 vµ 135. Bµi 2: T×m. c/ 150 vµ 50. a/ BCNN (24, 10). d/ 1800 vµ 90. b/ BCNN( 8, 12, 15). Híng dÉn. Híng dÉn. a/ 12 = 22.3 80 = 24. 5 56 = 33.7. a/ 24 = 23. 3; 10 = 2. 5. VËy ¦CLN(12, 80, 56) = 22 = 4.. BCNN (24, 10) = 23. 3. 5 = 120. b/ 144 = 24. 32 120 = 23. 3. 5 135 = 33. 5. b/ 8 = 23 ; 12 = 22. 3 ; 15 = 3.5. VËy ¦CLN (144, 120, 135) = 3.. BCNN( 8, 12, 15) = 23. 3. 5 = 120. c/ ¦CLN(150,50) = 50 v× 150 chia hÕt cho 50. 5/ Tìm số tự nhiên a là lớn nhất biết rằng 480 ⋮ a 600 ⋮ a Hướng dẫn : vì 480 ⋮ a 600 ⋮ a và a là lớn nhất Nên a ƯC LN (480,600) Ta có 480= 25.3.5 600 = 23.3.52 => ƯCLN của (480,600) =23.3.5= 120 Vậy a =120 6/ Tìm số tự nhiên x biết rằng 126 ⋮ x 210 ⋮ x và 15 < x < 30.
<span class='text_page_counter'>(36)</span> Hướng dẫn: Vì 126 ⋮ x 210 ⋮ x và 15 < x < 30 nên x Ư C (126,210) và 15 < x <30 2. Ta có 126= 2.3 .7 210 = 2.3.5.7 => Ư C (126,210) = 2.3.7 = 42 Do đó Ư C (126,210) =ƯC (42) = { 1,2,3,6,7,. 14 , 21 , 42 } Vì 15 < x < 30 nên x =21 7/ Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 biết rằng a ⋮ 15 a ⋮ 18 Hướng dẫn : Vì a ⋮ 15 a ⋮ 18 a nhỏ nhất khác 0 nên a BCNN(15,18) 2 2 Ta có 15 =3.5 18 = 2.3 => BCNN(15,18) = 2.3 .5 = 90 Vậy a = 90 8/ Tìm các bội chung của 15 và 25 mà nhỏ hơn 400 Hướng dẫn: Ta có : 15=3.5. 25= 52 => BCNN(15,25) = 3.52 =75 Nên BCNN(15,25) = B(75) = { 0 , 75 ,150 , 225 , 300 ,375 , 450 , .. . .. .. . .. } Các bội chung của 15 và 25 mà nhỏ hơn 400 là 0, 75, 150, 225,300, 375 Ví dụ1. Tìm số tự nhiên a biết rằng khi chia 39 cho a thì dư 4, còn khi chia 48 cho a thì dư 6. Giải. Chia 39 cho a thì dư 4 , nên a là ước của 39 – 4 = 35 và a > 4 .chia 48 cho a thì dư 6 nên a là ước của 48 – 6 = 42 và a > 6 . do đó a là ước chung của 35 và 42 dông thồng a > 6. Ư(35) = { 1, 5, 7, 35} ; Ư(42) = {1,2,3,6,7,14,21,42}. ƯC(35,42) = { 1,7}. Vậy a = 7 . Ví dụ 2Tìm số tự nhiên a, biết rằng khi chia 264 cho a thì dư 24 , còn khi chia363 cho a thì dư 43. D¹ng 3: C¸c bµi to¸n thùc tÕ Bµi 1: Mét líp häc cã 24 HS nam vµ 18 HS n÷. Cã bao nhiªu c¸ch chia tæ sao cho sè nam vµ sè nữ đợc chia đều vào các tổ? Bài 2: Một đơn vị bộ đội khi xếp hàng, mỗi hàng có 20 ngời, hoặc 25 ngời, hoặc 30 ngời đều thừa 15 ngời. Nếu xếp mỗi hàng 41 ngời thì vừa đủ (không có hàng nào thiếu, không có ai ở ngoài hàng). Hỏi đơn vị có bao nhiêu ngời, biết rằng số ngời của đơn vị cha đến 1000? Hớng dẫnGọi số ngời của đơn vị bộ đội là x (x N) x : 20 d 15 x – 15 20 x : 25 d 15 x – 15 25 x : 30 d 15 x – 15 30 Suy ra x – 15 lµ BC(20, 25, 35) Ta cã 20 = 22. 5; 25 = 52 ; 30 = 2. 3. 5; BCNN(20, 25, 30) = 22. 52. 3 = 300 BC(20, 25, 35) = 300k (k N) x – 15 = 300k x = 300k + 15 mµ x < 1000 nªn 300k + 15 < 1000 300k < 985 k <. 3. Suy ra k = 1; 2; 3 ChØ cã k = 2 th× x = 300k + 15 = 615 41. 17 60 (k N).
<span class='text_page_counter'>(37)</span> Vậy đơn vị bộ đội có 615 ngời Bµi 3: 3 khèi 6 – 7 – 8 theo thø tù cã 300 häc sinh- 276 häc sinh – 252 häc sinh xÕp hµng dọc để điều hành sao cho hàng dọc mỗi khối nh nhau. Có thể xếp nhiều nhất thành mấy hàng dọc để mỗi khối không lẻ ? kho đó mỗi khối có bao nhiêu hàng ngang? Bài 4: Có 100 quyển vở và 90 bút chì đợc thởng đều cho một số học sinh còn lại 4 quyển vở và 18 bút chì không đủ chia đều. Tính số học sinh. Gi¶i: Gäi sè häc sinh lµ a: => 100 – 4 ⋮ a; 90 – 18 ⋮ a Bài 5: Tìm số tự nhiên nhỏ hơn 500 sao cho chia nó cho 15, cho 35 đợc các số d là 8 và 13. Gi¶i Gäi sè ph¶i t×m lµ a => a- 8 ⋮ 15 => a – 8 + 30 ⋮ 15 => a + 22 ⋮ 35 a – 13 ⋮ 35 a – 13 + 35 ⋮ 35 a + 22 ⋮ 15 Bµi 6: T×m d¹ng chung cña sè tù nhiªn a sao cho chia 4; 5; 6 lÇn lît cã sè d lµ 3; 4; 5 vµ chia hÕt cho 13 Gi¶i ; a + 1 BC (4; 5; 6). => a + 1 ⋮ 60 => a + 1 – 300 ⋮ 60 => a – 299 ⋮ 60 vµ a ⋮ 13 a – 13 . 23 ⋮ 13 a – 299 ⋮ 13 => a – 299 ⋮ BCNN (60; 13) a – 299 ⋮ 780 => a = 780b + 299 (b N) Bµi 7: T×m sè tù nhiªn nhá nhÊt chia cho 5; cho 7; 9 d lµ 3; 4; 5 Gi¶i ; Gäi sè ph¶i t×m lµ A. => 2a chia cho 5; 7; 9 đều d 1 2a – 1 = BCNN (5; 7; 9) = 315 2a – 1 = 315 => a = 158 Bài 8: Số HS của một trờng trong khoảng từ 2500 đến 2600. Nếu toàn thể HS của trờng xếp hàng 3 th× thõa mét b¹n, xÕp hµng 4 th× thõa 2 b¹n, xÕp hµng 5 th× thõa 3 b¹n, xÕp hµng 7 th× thõa 5 b¹n. TÝnh sè HS cña trêng ? Lêp gi¶i: Gäi sè HS cña trêng lµ x (x N, 2500 < x < 2600) Tõ gi¶ thiÕt suy ra a + 2 lµ sè chia hÕt cho c¶ 3, 4, 5 vµ 7. Mµ BCNN(3,4,5,7) = 420 nªn a + 2 chia hÕt cho 420, v× 2503 chia cho 420 b»ng 5 d 403 vµ 2601 chia 420 b»ng 6 d 81 nªn a + 2 = 420.6 tøc lµ a = 2518 VËy sè HS cña trêng lµ 2518 em. Bµi 9: Mét thiÕt bÞ ®iÖn tö 605 ph¸t tiÕng bÝp; chiÒu thø 2 625 bÝp lóc 10h s¸ng c¶ 2 cïng kªu hái lóc mÊy giê c¶ 2 cïng kªu (10h 31p) Bài 10: Số HS của một trờng THCS là số tự nhiên nhỏ nhất có 4 chữ số mà khi chia số đó cho 5 hoặc cho 6, hoặc cho 7 đều d 1. Gäi sè HS cña trêng lµ x (x N) x : 5 d 1 x – 1 5.
<span class='text_page_counter'>(38)</span> x : 6 d 1 x – 1 6 x : 7 d 1 x – 1 7 Suy ra x – 1 lµ BC(5, 6, 7) Ta cã BCNN(5, 6, 7) = 210 BC(5, 6, 7) = 210k (k N) x – 1 = 210k x = 210k + 1 mµ x sè tù nhiªn nhá nhÊt cã 4 ch÷ sè nªn x 1000 suy ra 210k + 1 1000 k . 4. 53 70 (k N) nªn k nhá nhÊt lµ k = 5.. Vậy số HS trờng đó là x = 210k + 1 = 210. 5 + 1 = 1051 (học sinh) Bµi 11. Có 100 quyển vở và 90 bút bi. Cô giáo chủ nhiểm muốn chia số vở và bút thành một số phần thưởng như nhau gôm cả vở và bút để phát phần thuopwngr cho học sinh. Như vậy thì còn lại 4 quyển và 18 bút bi không thể chia đều cho các học sinh.tính sô học sinh được thưởng?. Bµi 12 Có một số sách giáo khoa. Nếu xếp thành từng chồng 10 cuốn thì vừa hết ,thàng từng chồng 12 cuốn thì thừa 2 cuốn, thành từng chồng 18 cuốn thì thừa 8 cuốn .biết rằng số sách trong khoảng từ 715 đến 1000 cuốn.tìm số sách đó. Bµi 13 Một lớp học có 28 nam và 24 nữ.có bao nhiêu cách chia số học sinh của lớp thành các tổ sao cho số nam và nữ được chia đều cho các tổ. Bµi 14 Người ta muốn chia 240 bút bi , 210 bút chì và 180 tập giấy thành 1 số phần thưởng như nhau. Hỏi có thể chia được nhiều nhất là bao nhiêu phần thưởng,mỗi phần thưởng Có bao nhiêu bút bi , bút chì, tập giấy?. Bµi 15: Một số tự nhiên chia cho 2, cho 3 , cho 4 , cho 5 , cho 6 đều dư 1 , nhưng khi chia cho 7 thì không còn dư. a) Tìm số nhỏ nhất có tính chất trên. a) Tìm dạng chung của các số có tính chất trên. Giải. a) Gọi x là số phải tìm thì x – 1 ⋮ ( 2 ,3 ,4, 5 , 6) nên x – 1 là bội chung của 2, 3, 4, 5, 6. BCNN ( 2,3,4,5,6) = 60 Vậy x – 1 nhận các giá trị: 60 ,120,180,240,300,… do đó x nhân các giá trị: 61 ,121 , 181,241,301,… Trong các số trên, số nhỏ nhất chia hết cho 7 là số 301. a) Vì x – 1 là bội của 60 nên x- 1 = 60n hay x = 60n + 1 (n N*) và x ⋮ 7 .ta có : x = 60n + 1 = 7.8n – 7 + 4 (n + 2). Vì 7.8n ⋮ 7 ,do đó để x ⋮ 7 thì phải có 4(n + 2) ⋮ 7 hay n + 2 ⋮ 7 . dặt n + 2 = 7k thì n = 7k – 2 (k N*). x = 60n + 1 = 60 (7k - 2) + 1 = 420k – 119 . để tìm x ta chỉ việc cho k các giá trị : k = 1, 2, 3, … Bµi 17 Ba em An , Bảo , Ngọc cùng học một trường nhưng ở 3 lớp khác nhau .An cứ 5 ngày trực nhật một lần , Bảo 10 ngày trực nhật một lần, còn Ngọc 8 này trực nhật một lần.lần đầu ba em cùng trực nhật một ngày .hỏi mấy ngày sau ba em lại cùng trực nhật vào cùng một ngày? Đến ngày đó mỗi em đã trực nhật mấy lần?.
<span class='text_page_counter'>(39)</span> Bµi 18 Bạn Nam nghĩ một số có ba chữ số. nếu bớt số đó đi 8 thì được số chia hết cho 7 .nếu bớt đi 9 thì được số chia hết cho 8 ,nếu bớt đi 10 thì được số chia hết cho 9. hỏi bạn Nam nghĩ số nào? Bµi 19 Một vườn hình chữ nhật có chiều dài 105 m chiều rộng 60 m người ta muốn trồng xung quanh vườn sao cho mỗi góc vườn có một cây và khoảng cách giữa hai cây liên tiếp bằng nhau . Tính khoáng cách lớn nhất giữa hai cây liên tiếp (Khoảng cách giữa 2 cây là một số tự nhiên với đơn vị là mét ) Khi đó tổng số cây là bao nhiêu ? Hướng dẫn :Gọi khoảng cách giữa 2 cây liên tiếp là a (mét) vì mỗi góc vườn có một cây và khoảng cách giữa 2 cây liên tiếp bằng nhau và lớn nhất nên 105 ⋮ a 60 ⋮ a và a lớn nhất => a ƯCLN(105,60) Ta có 105 = 3.5.7 60 = 22.3.5 ƯCLN (105,60) = 3.5.=15 Vậy khoảng cách lớn nhất giữa 2 cây liên tiếp là 15 m Chu vi mãnh vườn (105+60).2 =330 m Tổng số cây 330 : 15 = 22 cây 9/ Một khối học sinh khi xếp hàng 2 hàng 3 hàng 4 hàng 5 hàng 6 đều thừa 1 em nhưng xếp hàng 7 thì vừa đủ . Biết số học sinh chưa đến 300 . Tính số học sinh Hướng dẫn: Gọi số hs cần tìm là a (0<a<300) Theo đề ta có a+1 BC(2,3,4,5,6) và 1<a+1<301 Mà BCNN của (2,3,4,5,6) = 23.3.5 = 60 BC (2,3,4,5,6) = B(60) = { 0 , 60 ,120 , 180 , 240 ,300 , 360 ,. . .. . } { 0 , 60 ,120 , 180 , 240 ,300 , .. . .. } Vì 1<a+1<301nên a+1 Do a ⋮ 7 nên a+1 = 120 => a = 119 Vậy số HS đó là 119.
<span class='text_page_counter'>(40)</span>
