BO DE THI HSG TINH

NĂM HỌC 1997 – 1998
Câu 1 (1 điểm):
Tính
15281528
+−−=
N
Câu 2 (3 điểm): Rút gọn biểu thức








−−








+−−
−
+
−−+
+
=
x

x
xx
x
xx
x
Q
1
1
1
:
11
1
11
1
2
2
. Biết -1 < x < 1 và x ≠ 0.
Câu 3 (2 điểm):
Cho tam giác ABC về phía ngoài của tam giác ta dựng các tam giác vuông cân ABE và ACF
vuông tại đỉnh A. Chứng minh rằng:
a) Trung tuyến AI của tam giác ABC vuông góc với EF.
b) AI =
2
1
EF
Câu 4 (3 điểm):
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB, dây cung AC. Các tiếp tuyến với đường tròn tại B
và C cắt nhau ở D.
a) Chứng minh DO // AC.
b) Kẻ CH ⊥ AB (H ∈ AB). Chứng minh: CH

2
= AH.HB.
c) Tính đoạn AC biết góc BAC = 30
0
và AB = 4cm.
Câu 5 (1 điểm): Chứng tỏ rằng 20
30
> 30
20
NĂM HỌC 1999 – 2000
Câu 1 (5 điểm):
a) Cho biểu thức:
11
12
−−
−−
=
x
xx
A
. Tìm ĐK để A có nghĩa, rút gọn A
b) Giải và biện luận phương trình với m là tham số:
mxx
−=−
3
2
(1)
Câu 2 (5 điểm):
a) Tìm số tự nhiên N có 3 chữ số biết N là số chính phương và là bội số của 48.
b) Chứng minh rằng:

4
1
)12(
1
...
25
1
9
1
2
<
+
+++
n
. Với n ∈ N và n ≥ 1.
Câu 3 (5 điểm): Cho hai điểm O, A cố định, dựng góc XOY = 45
0
sao cho các đường thẳng Ox,
Oy không đi qua A. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với Ox cắt Ox, Oy lần lượt tại M, N cũng
từ A kẻ đường thẳng vuông góc với Oy cắt Ox, Oy lần lượt tại E, D. Khi góc xOy quay quanh
O. Chứng minh: a) Các đoạn thẳng DM, EN có độ dài không đổi.
b) Trung điểm EN chạy trên một đường cố định.
Câu 4 (4 điểm): Cho tứ giác ABCD có tổng các góc BAD và CDA bằng 90
0
, các cạnh AB =
CD; BC = a; AD = b. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AC, AD, BD, BC.
a) Tứ giác MNPQ là hình gì? Tại sao?
b) Gọi diện tích tứ giác MNPQ là S. Chứng minh
8
)(

2
ba
S
−
≥
. Dấu “=” xảy ra khi nào?
NĂM HỌC 2000 – 2001
Trang 1
Câu 1 ( 5 điểm): Một số có 3 chữ số, có tổng các chữ số bằng 7.
a) Chứng minh rằng số đó chia hết cho 7 ⇔ các chữ số hàng chục và hàng đơn vị như
nhau.
b) Hãy tìm tất cả những số như thế trong tập hợp các số hữu tỉ
Câu 2 (5 điểm): Giải phương trình
12315
−=−−−
xxx
(1)
Câu 3 (3 điểm): Cho phương trình ax
2
+ bx + c có hai nghiệm dương x
1
, x
2
. Chứng minh rằng
phương trình cx
2
+ bx + a = 0 cũng có hai nghiệm dương. Gọi hai nghiệm đó là x
3
, x
4

. Chứng
minh rằng: x
1
+ x
2 +
x
3 +
x
4
≥ 4.
Câu 4 (5 điểm): Cho tam giác cân ABC (AB = AC),
α
=
A
ˆ
. Trên cạnh đáy BC lấy điểm D. Vẽ
đường tròn qua D và tiếp xúc với AB tại B; Qua D và tiếp xúc với AC tại C. Hai đường tròn
này cắt nhau tại điểm thứ hai E khác D.
a) Tính góc BEC.
b) Tìm quỹ tích điểm E khi D di động trên BC.
NĂM HỌC 2001 – 2002
Câu 1 (5 điểm): Hãy tính xem có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số tận cùng bằng 6 và chia
hết cho 3.
Câu 2 (5 điểm): Giải phương trình
22353
22
=+−−−
xxxx
(1)
Giải: Điều kiện: x ≤ 1 hoặc x ≥ 2.

Đặt
2
x 3x 2 y− + =
(y ≥ 0). Ta có: (1) ⇔
2
y 0
y 5y 0 y(y 5) 0
y 5 (k0 t/m)
=

+ = ⇔ + = ⇔

= −

Với y = 0: x
2
− 3x + 2 = 0 ⇔ x
1
= 1, x
2
= 2.
Câu 3 (5 điểm): Cho phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0). Cho k ∈ R, k ≠ -1 thỏa mãn:
kb
2
= (k+1)
2
ac. Chứng minh rằng: Phương trình đã cho có hai nghiệm x
1

, x
2
và x
1
= kx
2
.
Câu 4 (5 điểm): Cho AC là đường chéo của hình bình hành ABCD. Trên các cạnh AB và AD
kéo dài ta hạ từ đỉnh C các đường vuông góc CE và CF. Chứng minh:
a) AB.AE + AD.AF = AC
2
.
b) Có nhận xét gì khi hình bình hành ABCD trở thành hình chữ nhật.
NĂM HỌC 2002 – 2003
Câu 1 (4 điểm): Cho a, b là các số nguyên dương, biết rằng trong 4 mệnh đề sau đây chỉ có một
mệnh đề là sai:
1) a + 1 chia hết cho b.
2) a = 2b + 5.
3) a + b chia hết cho 3.
4) a + 7b là số nguyên tố.
a) Hãy tìm các mệnh đề đúng.
b) Tìm các cặp số a, b thỏa mãn các mệnh đề đúng.
Câu 2 (4 điểm): Giải phương trình
22
2
22
2
2
bx
x

a
xb
b
xax
−
=+
−
−−
Với a ≠ ±1 và b ≠ 0.
Trang 2
Câu 3 (4 điểm): Cho a, b, c là ba số khác nhau, c ≠ 0. Chứng minh rằng: Nếu hai phương trình
x
2
+ ax + bc = 0 và x
2
+ bx + ac = 0 có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm còn lại của
chúng thỏa mãn phương trình x
2
+ cx + ab = 0.
Câu 4 (4 điểm): Cho D, E, F theo thứ tự là 3 điểm nằm trên 3 cạnh BC, AC, AB của ∆ABC
hoặc trên các đường thẳng chứa các cạnh đó. Chứng minh rằng: Điều kiện cần và đủ để ba
điểm D, E, F thẳng hàng là:
DB EC FA
. . 1
DC EA FB
=
Câu 5 (4 điểm): Cho ∆ABC cân tại A có cạnh bên bằng m và cạnh đáy bằng n. Qua điểm M
trên cạnh đáy BC kéo dài ta kẻ một đường thẳng p bất kỳ cắt AB và AC ở S và T.
a) Chứng minh rằng hiệu
BM CM

BS CT
-
không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng p và điểm
M
b) Qua S kẻ SS’ // AC và qua T kẻ TT’ // AB (S’, T’∈BC). Chứng minh rằng: Tích MS’.TT’
không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
c) Hãy kẻ đường thẳng k đi qua A cắt AB (không kéo dài) sao cho tổng các khoảng cách từ
B và C đến k là nhỏ nhất.
NĂM HỌC 2003 – 2004
Câu 1 (4 điểm): Cho hai số tự nhiên có 2 chữ số thỏa mãn tính chất sau: mỗi số bằng bình
phương thiếu của tổng các chữ số của nó. Tìm hai số đó biết số thứ hai lớn hơn số thứ nhất 50
đơn vị.
Câu 2 (4 điểm): Cho biểu thức M = a
2
+ b
2
biết rằng a và b là nghiệm của phương trình 5a
2
+
5b
2
+ 8ab = 18. Tìm những giá trị của a và b để :
a) M đạt giá trị lớn nhất.
b) M đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 3 (4 điểm): Cho phương trình x
2
+ px + q = 0 (1). Hãy tìm các giá trị nguyên của p và q sao
cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và một nghiệm gấp 4 lần nghiệm kia.
Câu 4 (4 điểm): Cho hai đường thẳng xx’ và yy’ vuông góc với nhau tại A. Đường tròn bán
kính R không đổi có tâm là điểm O di động trên xx’. Một đường tròn thứ hai có tâm là điểm C

di động trên yy’, bán kính CA, đường tròn này tiếp xúc ngoài với đường tròn tâm O tại T.
a) Chứng minh rằng tiếp tuyến chung của hai đường tròn kẻ từ T đi qua một điểm cố định.
b) Đặt OA = d. Hãy tính giá trị của d theo R để hai đường tròn bằng nhau. Trong trường hợp
hai đường tròn bằng nhau hãy tính diện tích hình giới hạn bởi hai đường tròn với đường thẳng
xx’.
Bài 5 (4 điểm): Hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong ∆ABC cho trước. Đỉnh M di động trên
cạnh AB, đỉnh N trên cạnh AC, các đỉnh P và Q theo thứ tự trên cạnh BC. Tam giác ABC có
đường cao AH = h, cạnh đáy BC = a.
a) Tính giá trị lớn nhất của diện tích hình chữ nhật MNPQ theo h và a.
b) Xác định vị trí của M để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất.
NĂM HỌC 2004 – 2005
Trang 3
Câu 1 (4 điểm): Tìm tất cả các số tự nhiên khác 0 sao cho khi viết thêm chữ số 0 vào giữa chữ
số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì số đó được gấp lên 9 lần.
Câu 2 (4 điểm): Giải phương trình sau
2 2
2 2
2 2 2 2
b x
x a x a
b x x b
- - + =
- -
Câu 3 (4 điểm): Hãy tìm các giá trị nguyên của a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
(x, y) với x, y là những số nguyên:



=+++
=+−+

04)1(2
0)23(
yax
ayaax
Câu 4 (4 điểm): Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH và đường tròn (O) ngoại tiếp ∆HAC.
Gọi D là điểm đối xứng của B qua H, nối A với D cắt đường tròn (O) tại E. Chứng minh:
a) CH là tia phân giác của góc ACE.
b) HO // EC.
c) Cho AB = a,
·
ACE
= 60
0
. Tứ giác AHEC là hình gì? Tính diện tích của tứ giác AHEC
theo a.
Câu 5 (4 điểm): Cho hình thang ABCD có AB // CD, CD > AB, hai đường chéo AC và BD cắt
nhau tại O. Cho biết S
∆
AOB
= S
1
; S
∆
DOC
= S
2
. Tính diện tích hình thang ABCD.
NĂM HỌC 2005 – 2006
Câu 1 (2 điểm): Cho biểu thức A(x) = (x
2

– 4x + 3)
2005
.(x
2
+ 4x + 3)
2006
Gọi S là tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức đã cho.
Hãy tính S.
Câu 2 (3 điểm): Chứng minh rằng không thể tìm được hai số lẻ mà tổng các bình phương của
chúng bằng bình phương của một số nguyên.
Câu 3 (5 điểm): Cho a > 0.
a) Chứng minh rằng: Nếu
a
a
a
a
11
−=−
thì:
5
1
=−
a
a
b) Tính giá trị của a.
Câu4 (5 điểm): Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh rằng: ba bất đẳng thức sau không thể
đồng thời xảy ra:
a + b < c + d (1)
(a + b)(c + d) < ab + cd (2)
(a + b)cd < (c + d)ab (3)

Câu 5 (5 điểm): Cho ∆ABC cho các cạnh BC = a, AC = b, AB = c. Diện tích ∆ABC bằng S.
Phân giác của góc A cắt BC ở D và cắt đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ở E.
a) Chứng minh: AD
2
= AB.AC – BD.DC
b) Chứng minh:
cb
a
AB
BD
+
=
c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC theo a, b, c, S.
Trang 4
NĂM HỌC 2006 – 2007
Bài 1: Cho
A 2005 2007= +
;
B 2 2006=
. A lớn hơn hay nhỏ hơn B? Hãy chứng minh.
Bài 2: Cho 1 ≤ m ≤ 2 và 1 ≤ n ≤ 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
3 3
(m n)
A
m n
+
=
+
.

Bài 3: Giải phương trình:
x x 2 2 x 1+ − = −
(1)
Bài 4: Cho hàm số y = x
2
có đồ thị là đường cong (P) và hai điểm M, N thuộc (P) có hoành độ
lần lượt là -1 và 2.
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua M, N.
b) Vẽ đồ thị (P) trên hệ trục tọa độ xOy và tìm tọa độ điểm E thuộc đoạn đường cong M, N
của đồ thị (P) sao cho ∆MNE có diện tích lớn nhất.
Bài 5: Độ dài các cạnh của một tam giác là các số nguyên liên tiếp không nhỏ hơn 3 đơn vị độ
dài. Chứng minh rằng đường cao hạ xuống cạnh có độ dài lớn thứ hai thì chia cạnh này thành
hai phần có hiệu độ dài bằng 4.
NĂM HỌC 2007 – 2008
Bài 1 (4 điểm). Cho a là một số tự nhiên lẻ, b là số tự nhiên. Chứng minh rằng các số a và ab +
4 không có ước số chung khác ±1
Bài 2 (4 điểm). Cho hệ phương trình
ax by 15
ay bx 15
+ =


+ =

(a, b là số nguyên dương và a ≠ b). Tìm
tất cả các cặp giá trị của a, b để hệ phương trình có nguyệm số nguyên dương
Bài 3 (3 điểm). Giải phương trình:
2 2 2 2
3x 7x 9 x 2 3x 5x 1 x 3x 13− + − − = − − − − +

(1)
Bài 4 (5 điểm).
a) Cho ∆v.ABC có các cạnh góc vuông là a, b và cạnh huyền là c. Chứng minh rằng:
a b
c
2
+
≥
. Với điều kiện nào của a, b thì
a b
c
2
+
=
, khi đó tính giá trị của c theo a và b
b) Cho 2 số thực a, b thỏa mãn điều kiện a
2
+ b
2
≤ 2. Chứng minh rằng: a + b ≤ 2
Bài 5 (4 điểm). Cho ∆ABC trung tuyến AM. Một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC
lần lượt tại D và E, BE cắt CD tại O. Chứng minh rằng ba điểm A, O, M thẳng hàng
Trang 5