tuyen tap cac bao toan ve tu giac noi tiep

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề tứ giác nội tiếp. Chuyên đề: tứ giác nội tiếp I) C¸c kiÕn thøc cÇn nhí. 1) Kh¸i niÖm:. B. Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đờng tròn đợc gọi là tứ giác nội tiếp đờng tròn (Gọi t¾t lµ tø gi¸c nét tiÕp). A. C. O. 2) §Þnh lÝ - Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 -Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giácD đó nội tiếp đờng tròn. 3) DÊu hiÖu nhËn biÕt (c¸c c¸ch chøng minh) tø gi¸c néi tiÕp - Tứ giác có tổng số do hai góc đối diện bằng 1800. - Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. - Tứ giác có bón đỉnh cách đều một điểm(mà ta có thể xác định đợc). Điểm đó là tâm đờng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c. - Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới một góc a.. II) Bµi tËp. Bµi tËp 1 : Cho Δ ABC vu«ng ë A. Trªn AC lÊy diÓm M và vẽ đờng tròn đờng kính MC. Kẻ BM cắt đờng tròn t¹i D. §êng th¼ng DA c¾t §êng trßn t¹i S. Chøng minh r»ng: a) Tø gi¸c ABCD néi tiÕp. · · b) ABD = ACD · c) CA lµ ph©n gi¸c cña SCB Bµi tËp 2: Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp đờng tròn đờng kính AD. Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau t¹i E. VÏ EF vu«ng gãc víi AD. Chøng minh: a) Tø gi¸c ABEF, tø gi¸c DCEF néi tiÕp b) CA lµ ph©n gi¸c cña ÐBCF. c) Gäi M lµ trung ®iÓm cña DE. Chøng minh tø gi¸c BCMF néi tiÕp. Bài tập 4: Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD . Hai đờng chéo AC , BD cắt nhau tại E . Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F . Đờng thẳng CF cắt đờng trßn t¹i ®iÓm thø hai lµ M . Giao ®iÓm cña BD vµ CF lµ N . Chøng minh : a, CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp . b. Tia FA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BFM . c. BE . DN = EN . BD. S. M. C B C. E M A. Bµi tËp 3: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A   ( AB < AC ). LÊy ®iÓm I thuéc c¹nh AC sao cho ABI C . Đờng tròn tâm O đờng kính IC cắt đờng thẳng chứa BI ở D, c¾t BC ë M. Chøng minh r»ng a, Tứ giác ABCD nội tiếp một đờng tròn  b, CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BCD c, BI. BD + CI. CA = BC2 d, AD là tiếp tuyến của đờng tròn ( O ). D. A. D. F. A D I O B. C. M B C. E N A. F. D. M. Lª V¨n LÜnh. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Chuyên đề tứ giác nội tiếp. Bµi tËp 5: Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A vµ mét ®iÓm D nằm giữa A và B . đờng tròn đờng kính BD cắt BC tại E . Các đờng thẳng CD , AE lần lợt cắt đờng tròn tại các điểm thø hai F , G . Chøng minh : a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD . b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp đợc trong một đờng trßn . c) AC song song víi FG . d) Các đờng thẳng AC , DE và BF đồng quy .. A D. G C. Lª V¨n LÜnh. F. B. E. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Chuyên đề tứ giác nội tiếp 0 Bµi tËp 6: Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( ÐA 90 ; AB > AC) vµ mét ®iÓm M n»m trªn ®o¹n AC (M kh«ng trïng víi A vµ C). Gäi N vµ D lÇn lît lµ giao ®iÓm thø hai cña BC và MB với đờng tròn đờng kính MC; gọi S là giao điểm thứ hai giữa AD với đờng tròn đờng kính MC; T là giao ®iÓm cña MN vµ AB. Chøng minh: a. Bốn điểm A, M, N và B cùng thuộc một đờng tròn. b. CM lµ ph©n gi¸c cña gãc ÐBCS . TA TC  c. TD TB . Bài tập 7: Cho đờng tròn (O) và điểm A nằm ngoài đờng tròn. Qua A dựng hai tiếp tuyến AM và AN với đờng tròn (M, N là các tiếp điểm) và một cát tuyến bất kì cắt đờng trßn t¹i P, Q. Gäi L lµ trung ®iÓm cña PQ. a/ Chứng minh 5 điểm: O; L; M; A; N cùng thuộc một đờng tròn.. T D. A M. S C. B. N. M. A. ·. b/ Chøng minh LA lµ ph©n gi¸c cña MLN c/ Gäi I lµ giao ®iÓm cña MN vµ LA.Cminh MA2 = AI.AL d/ Gäi K lµ giao ®iÓm cña ML víi (O). Cminh KN // AQ. e/ Chøng minh Δ KLN c©n.. P I L Q. N K. Bài tập 8: Từ một điểm S ở ngoài đờng tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB và cát tuyến SCD của đờng tròn đó. Gọi E lµ trung ®iÓm cña d©y CD. a. Chøng minh 5 ®iÓm S, A, E, O, B cùng thuộc một đờng tròn b.NÕu SA = AO th× SAOB lµ h×nh g×? t¹i sao?. AC.BD BC.DA  c)cmr:. A. S. AB.CD 2. O. C E. D. Bµi tËp 9: Cho đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng d tại A. Trên d lấy điểm H không trùng với điểm A và AH <R. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với d, đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểm E và B ( E nằm giữa B và H) 1. Chứng minh  ABH   EAH. 2. Lấy điểm C trên d sao cho H là trung điểm của đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB tại K. Chứng minh AHEK là tứ giác nội tiếp. 3. Xác định vị trí điểm H để AB= R . Bài tập 10: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O). Các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đờng tròn (O) lần lợt tại M,N,P.Chminh rằng: a.C¸c tø gi¸c AEHF, BFHD néi tiÕp . b. Bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đờng tròn. c.AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. d. H và M đối xứng nhau qua BC. e.Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF. B. C H. E. B. K A. O. P. A N. F E H O. C. D. B. M. Lª V¨n LÜnh. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Chuyên đề tứ giác nội tiếp. Bài tập 11: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiÕp tam gi¸c AHE. 1.Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp . 2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn. 1 3.Chøng minh ED = BC. 2 4. Cminh DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O). 5.Tính độ dài DE biết DH = 2 cm, AH = 6 cm.. A O. E H. C. B. D. Bài tập 12: Cho ABC không cân, đờng cao AH, nội tiếp trong đờng tròn tâm O. Gọi E, F thứ tự là hình chiếu của B, C lên đờng kính AD của đờng tròn (O) và M, N thứ tự lµ trung ®iÓm cña BC, AB. Chøng minh: a. Bốn điểm A,B, H, E cùng nằm trên đờng tròn tâm N và HE// CD. b,M là tâm đờng tròn ngoại tiếp HEF.. A. N O F C. H. B. M E D. Bài tập 13: Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đờng trßn. C¸c tia AC vµ AD c¾t Bx lÇn lît ë E, F (F ë gi÷a B vµ E). 1.Chứng minh AC. AE không đổi. 2. Chøng minh Ð ABD = Ð DFB. 3.Chøng minh r»ng CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp.. E C F D. A. B. O. Bài tập 14: Trên đờng thẳng d lấy ba điểm A,B,C theo thứ tự đó. Trên nửa mặt phẳng bờ d kẻ hai tia Ax, By cùng vu«ng gãc víi dt. Trªn tia Ax lÊy I. Tia vu«ng gãc víi CI tại C cắt BI tại K. đờng tròn đờng kính IC cắt IK tại P. 1) Chứng minh tứ giác CBPK nội tiếp đợc 1 đờng tròn . 2) Chøng minh AI.BK = AC.CB 3) Giả sử A, B, I cố định hãy xác định vị trí điểm C sao cho diÖn tÝch h×nh thang vu«ng ABKI lín nhÊt. Bài tập 14 Cho ABC vuông tại A. Kẻ đờng cao AH, vẽ đờng tròn đờng kính AH, đờng tròn này cắt AB tại E, cắt AC t¹i F. a) Chøng minh AEHF lµ h×nh ch÷ nhËt. b) Chøng minh:BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp . c) Chøng minh: AB.AE = AC.AF. A F E B. Bµi tËp 15 :Từ điểm M ngoài đường tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến MA và MB. Trên cung nhỏ AB lấy 1 điểm C. Vẽ CD  AB; CE  MA; CF  MB. Gọi I là giao điểm của AC và DE; K là giao điểm của BC và DF. Chứng minh rằng: a) Tứ giác AECD; BFCD nội tiếp b) CD2 = CE.CF c) IK  CD. Lª V¨n LÜnh. C. H A E. I D O. C. M. K F. B. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Chuyên đề tứ giác nội tiếp. Bài tập 16: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn (O). M là điểm di động trên cung nhỏ BC. Trên đoạn thẳng MA lÊy ®iÓm D sao cho MD = MC. a) Chứng minh DMC đều. b. ) Chøng minh MB + MC = MA. c) Chøng minh tø gi¸c ADOC néi tiÕp. d) Khi M Di động trên cung nhỏ BC thì D di động trên đờng cố định nào ?. A. O D C. B M. Bài tập 17: Cho đờng tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đờng thẳng d lấy điểm M bÊt k× ( M kh¸c A) kÎ c¸t tuyÕn MNP vµ gäi K lµ trung ®iÓm cña NP, kÎ tiÕp tuyÕn MB (B lµ tiÕp ®iÓm). KÎ AC  MB, BD  MA, gäi H lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD, I lµ giao ®iÓm cña OM vµ AB. 1.Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp. 2.Chøng minh n»m ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn một đờng tròn . 3.Chøng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2. 4. Chøng minh OAHB lµ h×nh thoi. 5.Chøng minh ba ®iÓm O, H, M th¼ng hµng 6.Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đờng th¼ng d. Bài tập 18: Cho 3 điểm A; B; C cố định thẳng hàng theo thứ tự. Vẽ đờng tròn (O) bất kỳ đi qua B và C (BC không là đờng kính của (O)). Kẻ từ các tiếp tuyến AE và AF đến (O) (E; F lµ c¸c tiÕp ®iÓm). Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC; K lµ trung ®iÓm cña EF, giao ®iÓm cña FI víi (O) lµ D. Chøng minh: 1.AE2 = AB.AC 2.Tø gi¸c AEOF néi tiÕp 3.Năm điểm A; E; O; I; F cùng nằm trên một đờng tròn. 4.ED song song víi AC. 5.Khi (O) thay đổi tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác OIK luôn thuộc một đờng thẳng cố định.. µ. M C D H. N K. A. O. E. D. O K A. I. B. C. F. A 45 0 D E. H C. B. Bài 20 Cho tam giác nhọn PBC. Gọi A là chân đờng cao kẻ từ P xuống cạnh BC. đờng tròn đờng kính BC cắt PB, PC lần lợt ở M và N. Nối N với A cắt đờng tròn đờng kính BC ë ®iÓm thø hai E a/ Chøng minh r»ng: 4 ®iÓm A, B, N, P cïng n»m trªn một đờng tròn. Hãy xác định tâm và bán kính đờng tròn Êy. b/ Chøng minh: EM vu«ng gãc víi BC c/ Gọi F là điểm đối xứng của N qua BC. Chứng minh r»ng AM.AF = AN.AE. P. I. 0. Bài tập 19: Cho ABC có các góc đều nhọn và A = 45 . Vẽ đờng cao BD và CE của ABC. Gọi H là gia điểm cña BD vµ CE. a.Chøng minh tø gi¸c ADHE néi tiÕp. b..TÝnh tØ sè DE BC c) Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC. Chứng minh OA  DE. B. P. N. M. B. C. A E F. Lª V¨n LÜnh. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Chuyên đề tứ giác nội tiếp 0 Bµi tËp 21 Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( ÐA 90 ); trªn ®o¹n AC lÊy ®iÓm D (D kh«ng trïng víi c¸c ®iÓm A vµ C). Đờng tròn đờng kính DC cắt BC tại các điểm thứ hai E; đờng thẳng BD cắt đờng tròn đờng kính DC tại điểm F (F kh«ng trïng víi D). Chøng minh: a. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDC. b. Tứ giác ABCF nội tiếp đờng tròn. c. AC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc EAF.. Bµi tËp 22 Cho h×nh thang c©n ABCD (AB>CD; AB//CD) nội tiếp trong đờng tròn (O). Tiếp tuyến với đờng tròn (O) tại A và D cắt nhau tại E. Gọi I là giao điểm của hai đờng chÐo AC vµ BD a/ Chøng minh: Tø gi¸c AEBI néi tiÕp b/ Chøng minh AD//EI c/ §êng th¼ng EI c¾t c¹nh bªn AD vµ BC cña h×nh thang t¬ng øng ë R vµ S. Chøng minh: * I lµ trung ®iÓm cña RS * 1 1 2 + = AB CD RS Bài tập 23 Cho đờng tròn (O; R) có hai đờng kính AOB vµ COD vu«ng gãc víi nhau. LÊy ®iÓm E bÊt k× trªn OA, nối CE cắt đờng tròn tại F. Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đờng tròn, qua E dựng Ey vuông góc với OA. Gọi I là giao ®iÓm cña Fx vµ Ey a/ Chứng minh I; E; O; F cùng nằm trên một đờng tròn. b/ Tø gi¸c CEIO lµ h×nh g×? v× sao? c/ Khi E chuyển động trên AB thì I chuyển động trên đờng nµo?. F. A D. B. C. E. D. A I. E. R. S O. B. C. A. F y. I. E. x C. D. O. B. Bài tập 24 Cho nửa đờng tròn đờng kính BC bán kính R và điểm A trên nửa đờng tròn (A khác B và C). Từ A hạ AH vu«ng gãc víi BC. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê BC chøa điểm A vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB tại E, nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC tại F. a. Tø gi¸c AFHE lµ h×nh g×? T¹i sao? b. Chøng minh BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp. c. Hãy xác định vị trí của điểm A sao cho tứ giác AFHE có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó theo R.. A F E B. C. H. Bµi tËp 25: Cho 3 ®iÓm M, N, P th¼ng hµng theo thø tù đó. Một đờng tròn (O) thay đổi đi qua hai điểm M, N. Từ P kẻ các tiếp tuyến PT, PT’ với đờng tròn (O) 1.Chứng minh: PT2 = PM.PN. Từ đó suy ra khi (O) thay đổi vẫn qua M, N thì T, T’ thuộc một đờng tròn cố định. 2.Gäi giao ®iÓm cña TT’ víi PO, PM lµ I vµ J. K lµ trung ®iÓm cña MN. Chøng minh: C¸c tø gi¸c OKTP, OKIJ néi tiÕp. 3.Chứng minh rằng: Khi đờng tròn (O) thay đổi vẫn đi qua M, N thì TT’ luôn đi qua điểm cố định. 4.Cho MN = NP = a. Tìm vị trí của tâm O để góc é TPT’ = 600.. Lª V¨n LÜnh. T. O. I P. N. J. M. K T'. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Chuyên đề tứ giác nội tiếp. Bµi tËp 26: Cho ABC vu«ng ë A. Trªn AC lÊy ®iÓm M (M≠A và C). Vẽ đờng tròn đờng kính MC. Gọi T là giao điểm thứ hai của cạnh BC với đờng tròn. Nối BM kéo dài cắt đờng tròn tại điểm thứ hai là D. Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai S. Chứng minh: 1.Tø gi¸c ABTM néi tiÕp. · 2. Khi M chuyển động trên AC thì ADM có số đo không đổi. 3.AB//ST. Bµi tËp 27: Cho  ABC vuông tại A (AB < AC). H bất kỳ nằm giữa A và C. Đường tròn (O) đường kính HC cắt BC tại I. BH cắt (O) tại D. a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp. b) AB cắt CD tại M. Chứng minh 3 điểm H; I; M thẳng hàng c) AD cắt (O) tại K. Chứng minh CA là tia phân giác  của KCB Bài tập 28: Cho đờng tròn (O), đờng kính AB cố định, ®iÓm I n»m gi÷a A vµ O sao cho AI = 2/3 AO. KÎ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i I, gäi C lµ ®iÓm tuú ý thuéc cung lín MN sao cho C kh«ng trïng víi M, N vµ B. Nèi AC c¾t MN t¹i E. a.Chøng minh tø gi¸c IECB néi tiÕp b.Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM. c.Chøng minh AM2 = AE.AC. d.Chøng minh AE. AC – AI.IB = AI2 . e.Hãy xác định vị trí của C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.. A. D. S. M. B. C. T M D. A. K. H. B. C. I. M C E I. A. B. O. N. Bµi tËp 29: Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB, dây AC. Gọi E là điểm chính giữa cung AC bán kính OE cắt AC tại H, vẽ CK song song với BE cắt AE tại K. a.Chứng minh tứ giác CHEK nội tiếp. b. Chứng minh KH  AB c.Cho BC = R. Tính BK.. K E. C H. A. O. B. Bài tập 30: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bµng tiÕp gãc A , O lµ trung ®iÓm cña IK. 1.Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đờng tròn. 2.Chøng minh AC lµ tiÕp tuyÕn cña ®trßn (O). 3. Tính bán kính đờng tròn (O) Biết AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm Bài tập 31: Cho điểm A bên ngoài đờng tròn (O ; R). Từ B A vẽ tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE đến đờng tròn (O). Gäi H lµ trung ®iÓm cña DE. a) Chøng minh n¨m ®iÓm : A, B, H, O, C cïng n»m trªn một đờng tròn.  O b) Chøng minh HA lµ tia ph©n gi¸c cña BHC . 2 c) DE c¾t BC t¹i I. Chøng minh : AB AI.AH . R OH= 2 . TÝnh HI theo R. d) Cho AB=R 3 vµ. Lª V¨n LÜnh. A D. I. E. H C. 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Chuyên đề tứ giác nội tiếp. Bài tập 32: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và M điểm M bất kì trên nửa đờng tròn ( M khác A,B). Trên nửa F mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kể tiếp tuyến Ax. Tia BM c¾t Ax t¹i I; tia ph©n gi¸c cña gãc IAM c¾t nöa ®I êng trßn t¹i E; c¾t tia BM t¹i F tia BE c¾t AI t¹i H, c¾t AM t¹i K. K a) Chøng minh r»ng: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp. b) E H 2 Chøng minh r»ng: AI = IM . IB. c)Chøng minh BAF lµ tam gi¸c c©n. A B d) Chøng minh r»ng : Tø gi¸c AKFH lµ h×nh thoi. e) Xác định vị trí của M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc một đờng tròn. Bµi 33: Cho hai đường tròn (O1), (O2) có bán kính bằng nhau và cắt nhau ở A và B. Vẽ cát tuyến qua B không vuông góc với AB, nó cắt hai đường tròn ở E và F. (E Î (O1); F Î (O2)). 1.Chứng minh AE = AF. 2.Vẽ cát tuyến CBD vuông góc với AB ( CÎ (O1); D Î (O2)). Gọi P là giao điểm của CE và DF. Chứng minh rằng: Các tứ giác AEPF và ACPD nội tiếp được đường tròn. 3.Gọi I là trung điểm của EF chứng minh ba điểm A, I, P thẳng hàng. 4.Khi EF quay quanh B thì I và P di chuyển trên đường nào? Bµi tËp 34: Cho h×nh vu«ng ABCD. Trªn c¹nh BC, CD A B 0  EAF  45 lÇn lît lÊy ®iÓm E, F sao cho . BiÕt BD c¾t 45 0 AE, AF theo thø tù t¹i G, H. Chøng minh: a.ADFG, GHFE lµ c¸c tø gi¸c néi tiÕp G b. CGH vµ tø gi¸c GHFE cã diÖn tÝch b»ng nhau E. H D. Bài tập 35: Cho đờng tròn tâm O bán kính R, hai điểm C và D thuộc đờng tròn, B là trung điểm của cung nhỏ CD. Kẻ đờng kính BA; trên tia đối của tia AB lấy điểm S, nối S víi C c¾t (O) t¹i M; MD c¾t AB t¹i K; MB c¾t AC t¹i H. a. Chứng minh: éBMD = éBAC , từ đó suy ra tứ giác AMHK néi tiÕp. b. Chøng minh: HK // CD. c. Chøng minh: OK.OS = R2.. C. F S. A. M H. K O. D. C B. Bài tập 36: Cho ba điểm A, B, C trên một đờng thẳng theo thø tù Êy vµ ®ưêng th¼ng d vu«ng gãc víi AC t¹i A. Vẽ đờng tròn đờng kính BC và trên đó lấy điểm M bất kì. Tia CM cắt đờng thẳng d tại D; Tia AM cắt đờng tròn tại điểm thứ hai N; Tia DB cắt đờng tròn tại điểm thứ hai P. a.Chứng minh: Tứ giác ABMD nội tiếp đợc. b.Chøng minh: TÝch CM. CD kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ ®iÓm M. c.Tø gi¸c APND lµ h×nh g×? T¹i sao? d.Chøng minh träng t©m G cña tam gi¸c MAB chạy trên một đờng tròn cố định.. D M N. A. B. C. P. Lª V¨n LÜnh. 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Chuyên đề tứ giác nội tiếp. Bài tập 37: Cho đờng tròn (O) và điểm A nằm ngoài đờng tròn. Các tiếp tuyến với đờng tròn kẻ từ A tiếp xúc với đờng tròn ở B và C. Gọi M là điểm tuỳ ý trên đờng tròn (M khác B và C). Gọi H; K; I lần lợt là chân các đờng vuông gãc kÎ tõ M xuèng BC; CA; AB. a/ Chøng minh: Tø gi¸c MHBI, MHCK néi tiÕp.. B I. · · b/ Chøng minh: MHI = MK H .. N. O. A M. H E. c/ Chøng minh: MH = MI.MK. d/ Chøng minh NE  HM 2. K C. Bài tập 38: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R. Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đờng tròn (O) tại A. M và Q là hai điểm trên (d) sao cho M≠A, M≠Q, Q≠A. Các đờng thẳng BM và BQ lần lợt cắt đờng tròn (O) tại các điểm thứ hai là N vµ P. Chøng minh: 1. Tích BN.BM không đổi. 2,Tø gi¸c MNPQ néi tiÕp. 3. Bất đẳng thức: BN + BP + BM + BQ > 8R. M N Q P A. Bài tập 39: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tròn t©m O vµ P lµ trung ®iÓm cña cung AB kh«ng chøa C vµ D. Hai d©y PC vµ PD lÇn lît c¾t d©y AB t¹i E vµ F. C¸c d©y AD vµ PC kÐo dµi c¾t nhau t¹i I, c¸c d©y BC vµ PD kÐo dµi c¾t nhau t¹i K. Chøng minh r»ng: a. Gãc CID b»ng gãc CKD. b. Tứ giác CDFE nội tiếp đợc một đờng tròn. c. IK // AB.. B. O. D. C. O. F. A. E. B. P I. Bài tập 40:Trên đờng tròn (O; R) đờng kính AB, lấy hai ®iÓm M, E theo thø tù A, M, E, B (hai ®iÓm M, E kh¸c hai ®iÓm A, B). AM c¾t BE t¹i C; AE c¾t BM t¹i D. a. Chøng minh MCED lµ mét tø gi¸c néi tiÕp vµ CD vu«ng gãc víi AB. b.Gäi H lµ giao ®iÓm cña CD vµ AB. Chøng minh BE.BC = BH.BA. c.Chứng minh các tiếp tuyến tại M và E của đờng tròn (O) cắt nhau tại một điểm nằm trên đờng thẳng CD. 0 0 d.Cho biÕt ÐBAM 45 vµ ÐBAE 30 . TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC theo R.. Lª V¨n LÜnh. K. C. M. A. E D. H O. B. 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Chuyên đề tứ giác nội tiếp. Bài tập 41: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. Một cát tuyÕn MN quay xung quanh trung ®iÓm H cña OB. Gäi I lµ trung ®iÓm cña MN. Tõ A kÎ Ax vu«ng gãc víi MN t¹i K. Gäi C lµ giao ®iÓm cña Ax víi tia BI. a/ Chøng minh r»ng: BN// MC b/ Chøng minh r»ng: Tø gi¸c OIKC lµ h×nh ch÷ nhËt c/ Tiếp tuyến Bt với đờng tròn (O) cắt tia AM ở E, cắt tia Ax ë F. Gäi D lµ giao ®iÓm thø hai cña tia Ax víi (O). Chøng minh r»ng: tø gi¸c DMEF néi tiÕp. E. F M. D K. C I A. O. B. H N. Bµi tËp 42 Cho  ABC c©n (AB = AC) vµ gãc A nhá h¬n 600; trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC. a. Tam gi¸c BCD lµ tam gi¸c g×? t¹i sao? b.Kéo dài đờng cao CH của  ABC cắt BD tại E. Vẽ đờng trßn t©m E tiÕp xóc víi CD t¹i F. Qua C vÏ tiÕp tuyÕn CG của đờng tròn này. Chứng minh: Bốn điểm B, E, C, G thuộc một đờng tròn. c.Các đờng thẳng AB và CG cắt nhau tại M, tứ giác AFGM lµ h×nh g×? T¹i sao? d.Chøng minh:  MBG c©n.. D. A F E. H. B. C G. M. Bài tập 43: Cho BC là dây cung cố định của đờng tròn (O; R) (0 < BC < 2R). A là một điểm di động trên cung lớn BC sao cho Δ ABC nhọn. Các đờng cao AD; BE; CF c¾t nhau t¹i H (D BC; E CA; F AB) 1.Chứng minh: Tứ giác BCEF nội tiếp. Từ đó suy ra AE.AC = AF.AB 2.Gäi A' lµ trung ®iÓm cña BC. Chøng minh r»ng: AH = 2OA' 3.Kẻ đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn (O) tại A. Đặt S lµ diÖn tÝch Δ ABC, 2p lµ chu vi Δ DEF. Chøng minh: a. d // EF b. S = p.R. Bài tập 44: Cho đờng tròn (O) bán kính R, đờng thẳng d không qua O và cắt đờng tròn tại hai điểm A, B . Từ một điểm C trên d (C nằm ngoài đờng tròn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đờng tròn (M, N thuộc (O)). Gọi H là trung điểm của AB, đờng thẳng OH cắt tia CN tại K. a. Chứng minh bốn điểm C, O, H, N cùng nằm trên một đờng tròn. b. Chøng minh KN.KC = KH.KO. c. Đoạn thẳng CO cắt đờng tròn (O) tại I, chứng minh I cách đều CM, CN và MN. d. Một đờng thẳng đi qua O và song song với MN cắt các tia CM, CN lần lợt tại E và F. Xác định vị trí của C trên d sao cho diÖn tÝch tam gi¸c CEF lµ nhá nhÊt.. Lª V¨n LÜnh. d A E F. H O. B. D. A'. C. E M. I. O. C. A B. H. F. KN. 1.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Chuyên đề tứ giác nội tiếp. Bài tập 45: Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD và đáy nhỏ BC nội tiếp trong đờng tròn tâm O; AB và CD kéo dài cắt nhau tại I. Các tiếp tuyến của đờng tròn tâm O tại B và D c¾t nhau t¹i ®iÓm K. a. Chøng minh c¸c tø gi¸c OBID vµ OBKD lµ c¸c tø gi¸c néi tiÕp. b. Chøng minh IK song song víi BC. c. Hình thang ABCD phải thoả mãn điều kiện gì để tứ giác AIKD lµ h×nh b×nh hµnh.. Bài tập 46: Cho đờng tròn (O;R) và một điểm A nằm trên đờng tròn. Một góc xAy = 900 quay quanh A và luôn thoả mãn Ax, Ay cắt đờng tròn (O). Gọi các giao điểm thứ hai của Ax, Ay với (O) tơng ứng là B, C. Đờng tròn đờng kính AO c¾t AB, AC t¹i c¸c ®iÓm thø hai t¬ng øng lµ M, N. Tia OM cắt đờng tròn tại P. Gọi H là trực tâm tam giác AOP. Chøng minh r»ng a. AMON lµ h×nh ch÷ nhËt 1.MN//BC 2. Tø gi¸c PHOB néi tiÕp 3.Xác định vị trí của góc xAy sao cho tam giác AMN có diÖn tÝch lín nhÊt.. I. K C. B. O A. D. x B. O y M. C. H. P. N A. Bài tập 47: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. điểm I nằm gi÷a A vµ O (I kh¸c A vµ O). KÎ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i I. Gäi C lµ ®iÓm tuú ý thuéc cung lín MN (C kh¸c M, N kh¸c B). Nèi AC c¾t MN t¹i E. Chøng minh: a) Tø gi¸c IECB néi tiÕp. b) AM2 = AE.AC c) AE.AC – AI.IB = AI2. M. C. E A. I. B. O. N. Bài tập 48: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB và hai điểm C, D thuộc nửa đờng tròn sao cho cung AC nhỏ hơn 900 và góc COD = 900. Gọi M là một điểm trên nửa đờng trßn sao cho C lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung AM. C¸c d©y AM, BM c¾t OC, OD lÇn lît t¹i E, F a) Tø gi¸c OEMF lµ h×nh g×? T¹i sao? b) Chøng minh: D lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung MB. c) Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn tại M và c¾t c¸c tia OC, OD lÇn lît t¹i I, K. Chøng minh c¸c tø gi¸c OBKM và OAIM nội tiếp đợc. d) Giả sử tia AM cắt tia BD tại S. Hãy xác định vị trí của C và D sao cho 5 điểm M, O, B, K, S cùng thuộc một đờng trßn. Bài tập 49: Cho đờng tròn (O) và hai điểm A, B phân biệt thuộc (O) sao cho đờng thẳng AB không đi qua tâm O. Trên tia đối của tia AB lấy điểm lấy điểm M khác A, từ M kẻ hai tiếp tuyến phân biệt ME, MF với đờng tròn (O) (E, F lµ c¸c tiÕp ®iÓm). Gäi H lµ trung ®iÓm cña d©y cung AB. Các điểm K và I theo thứ tự là giao điểm của đờng thẳng EF với các đờng thẳng OM và OH. a)Chứng minh 5 điểm M, O, H, E, F cùng nằm trên một đờng tròn. b) Chøng minh: OH.OI = OK. OM c) Chứng minh: IA, IB là các tiếp tuyến của đờng tròn (O). S K M I. D. C F. E A. O. B. E. O. K. H. A. B. M. F I. Lª V¨n LÜnh. 1.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Chuyên đề tứ giác nội tiếp. Bài tập 50: Cho đờng tròn (O) đờng kính AC. Trên bán kÝnh OC lÊy ®iÓm B tuú ý (B kh¸c O, C ). Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n AB. Qua M kÎ d©y cung DE vu«ng gãc víi AB. CD cắt đờng tròn đờng kính BC tại I. 1.Chøng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp . 2.Chøng minh tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi. 3.Chøng minh BI // AD. 4. Chøng minh I, B, E th¼ng hµng. 5.Chứng minh MI là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính BC.. D. I. A. M. C. B. O. E. Bài tập 51: Cho đờng tròn (0) và một điểm A nằm ngoài đờng tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN với đờng tròn (B, C, M, N thuộc đờng tròn và AM < AN). Gäi E lµ trung ®iÓm cña d©y MN, I lµ giao ®iÓm thø hai của đờng thẳng CE với đờng tròn. 1.Chứng minh: Bốn điểm A, 0, E, C cùng thuộc một đờng trßn. 2.Chøng minh: gãc AOC b»ng gãc BIC 3. Chøng minh: BI // MN 4.Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lín nhÊt. Bài tập 52: Cho đờng tròn (O) có tâm O, đờng kính AB. Trên tiếp tuyến của đờng tròn O tại A lấy điểm M (M kh«ng trïng víi A). Tõ M kÎ c¸t tuyÕn MCD (C n»m gi÷a M vµ D; tia MC n»m gi÷a tia MA vµ tia MO) vµ tiÕp tuyÕn thứ hai MI (I là tiếp điểm) với đờng tròn (O). Đờng thẳng BC và BD cắt đờng thẳng OM lần lợt tai E và F. Chứng minh: a. Bốn điểm A, M, I và O nằm trên một đờng tròn. b. ÐIAB ÐAMO . c. O lµ trung ®iÓm cña FE. I. B. N. E M. O. A. C M I C. E. A. B. O F D. Bài tập 53: Cho nửa đờng tròn (0) đờng kính AB, M thuéc cung AB, C thuéc OA. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB cã chøa M kÎ tia Ax,By vu«ng gãc víi AB .§êng th¼ng qua M vu«ng gãc víi MC c¾t Ax, By t¹i P vµ Q .AM c¾t CP t¹i E, BM c¾t CQ t¹i F. a/ Chøng minh : Tø gi¸c APMC, EMFC néi tiÕp b/ Chøng minh : EF//AB c/ Tìm vị trí của điểm C để tứ giác AEFC là hình bình hµnh. x. y. P. M Q E. A. Bài tập 54: Cho đờng tròn (O) và đờng thẳng xy ngoài đờng tròn. Đờng thẳng đi qua O vuông góc với xy tại H cắt đờng tròn (O) tại A và B. M là điểm trên (O), đờng thẳng AM cắt xy tại E, đờng thẳng BM cắt xy tại F, tiếp tuyến tại M cắt xy tại I, đờng thẳng AF cắt (O) tại K. Nối E với K. a. Chøng minh: IM = IF b.Chứng minh: 4 điểm E, M, K, F cùng thuộc một đờng trßn. c.Chøng minh: IK lµ tiÕp tuyÕn cña (O). d.Tìm tập hợp tâm đờng tròn ngoại tiếp Δ AMH khi M di động trên (O). Lª V¨n LÜnh. F C. B. O B. O M A. K. x. y F. I. H E. 1.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Chuyên đề tứ giác nội tiếp. Bài tập 55 : Cho đờng tròn (O; R) có đờng kính AB; điểm I nằm giữa hai điểm A và O. Kẻ đờng thẳng vuông góc với AB tại I, đờng thẳng này cắt đờng tròn (O; R) tại M và N. Gọi S là giao điểm BM và AN. Qua S kẻ đờng thẳng song song với MN, đờng thẳng này cắt các đờng thẳng AB và AM lÇn lît ë K vµ H. H·y chøng minh: 1) Tø gi¸c SKAM lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ HS.HK=HA.HM. 2) KM là tiếp tuyến của đờng tròn (O; R) 3) Ba ®iÓm H; N; B th¼ng hµng. S. M. K A. N. H. Bài 56: Cho đờng tròn (0; R), một dây CD có trung điểm M. Trên tia đối của tia DC lấy điểm S, qua S kẻ các tiếp tuyến SA, SB với đờng tròn. Đờng thẳng AB cắt các đờng th¼ng SO ; OM t¹i P vµ Q. 1.Chøng minh tø gi¸c SPMQ, ABOM néi tiÕp. 2.Chøng minh SA2 = SD. SC. 3.. Chøng minh OM. OQ kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ ®iÓm S. 4.Khi BC // SA. Chøng minh  ABC c©n t¹i A 5.Xác định vị điểm S trên tia đối của tia DC để C, O, B th¼ng hµng vµ BC // SA.. B. O. I. Q A M. C. D. S. P. O. B. Bài tập 57: Cho nửa đờng tròn (0) đờng kính AB, M là mét ®iÓm chÝnh gi÷a cung AB. K thuéc cung BM ( K kh¸c M vµ B ). AK c¾t MO t¹i I. a. Chứng minh : Tứ giác OIKB nội tiếp đợc trong một đờng tròn. b.Gäi H lµ h×nh chiÕu cña M lªn AK. Chøng minh : Tø gi¸c AMHO néi tiÕp . c.Tam gi¸c HMK lµ tam gi¸c g× ? d. Chøng minh : OH lµ ph©n gi¸c cña gãc MOK. e.Xác định vị trí của điểm K để chu vi tam giác OPK lớn nhÊt (P lµ h×nh chiÕu cña K lªn AB) Bài tập 58: Cho tam giác ABC với ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (0). Tia phân giác trong của góc B, góc C cắt đờng tròn này thứ tự tại D và E, hai tia phân giác này cắt nhau t¹i F. Gäi I, K theo thø tù lµ giao ®iÓm cña d©y DE víi c¸c c¹nh AB, AC. a.Chøng minh: c¸c tam gi¸c EBF, DAF c©n. b) Chøng minh tø gi¸c DKFC néi tiÕp vµ FK // AB c) Tø gi¸c AIFK lµ h×nh g× ? T¹i sao ? d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AEFD là hình thoi đồng thời có diện tích gấp 3 lần diện tích tứ giác AIFK. Bài tập 59: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O;R) (AB < CD). Gäi P lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung nhá AB ; DP c¾t AB t¹i E vµ c¾t CB t¹i K ; CP c¾t AB t¹i F vµ c¾t DA t¹i I. 1.Chứng minh: Tứ giác CKID nội tiếp đợc 2. Chøng minh: IK // AB. 3.Chứng minh: Tứ giác CDFE nội tiếp đợc 4. Chøng minh: AP2 = PE .PD = PF . PC 5.Chứng minh : AP là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam gi¸c AED. 6.Gọi R1 , R2 là các bán kính đờng tròn ngoại tiếp các tam gi¸c AED vµ BED.Chøng minh: R1 + R2 = √ 4R2 − PA 2. M K I. A. H. B. O A K. I. D. E F O C. B. C. D O. E. F. B. P. A. K I. Lª V¨n LÜnh. 1.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Chuyên đề tứ giác nội tiếp. Bài tập 60: Cho hình vuông ABCD cố định , có độ dài c¹nh lµ a. E lµ ®iÓm ®i chuyÓn trªn ®o¹n CD (E kh¸c D), đờng thẳng AE cắt đờng thẳng BC tại F, đờng thẳng vuông góc với AE tại A cắt đờng thẳng CD tại K. 1.Chứng minh ABF = ADK từ đó suy ra AFK vuông c©n . 2.Gọi I là trung điểm của FK, Chứng minh I là tâm đờng trßn ®i qua A , C, F , K. 3.TÝnh sè ®o gãc AIF, suy ra 4 ®iÓm A, B, F, I cïng n»m trên một đờng tròn Bµi tËp 61: Cho điểm A bên ngoài đường tròn (O ; R). Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE đến đường tròn (O). Gọi H là trung điểm của DE. a) Chứng minh năm điểm : A, B, H, O, C cùng nằm trên một đường tròn.  b) Chứng minh HA là tia phân giác của BHC .. A. K. C. E. D I. F. B. E H I. O. D A. 2 c) DE cắt BC tại I. Chứng minh : AB AI.AH .. Bài tập 62: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O . Đờng phân giác trong của góc A , B cắt đờng tròn tâm O tại D và E , gọi giao điểm hai đờng phân giác là I , đờng thẳng DE cắt CA, CB lần lợt tại M , N . 1.Chøng minh tam gi¸c AIE vµ tam gi¸c BID lµ tam gi¸c c©n . 2.Chøng minh tø gi¸c AEMI lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ MI // BC . 3.Tø gi¸c CMIN lµ h×nh g× ?. B. C A E. I. M. O. B. C. N D. Bµi tËp 63: Cho tam giaùc ABC coù ba goùc nhoïn (AB < AC). Đường tròn đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự taïi E vaø F. Bieát BF caét CE taïi H vaø AH caét BC taïi D. a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và AH vuông góc với BC. b) Chứng minh AE.AB = AF.AC. c) Gọi O là tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC và OK K là trung điểm của BC. Tính tỉ số BC khi tứ giác BHOC noäi tieáp. d) Cho HF = 3cm , HB = 4cm , CE = 8cm vaø HC > HE. Tinh HC. ( §Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 TP Hå ChÝ Minh 06 - 07 ) Bài tập 64: Cho (O) đờng kính AB = 2R, C là trung điểm cña OA vµ d©y MN vu«ng gãc víi OA t¹i C. Gäi K lµ ®iÓm tuú ý trªn cung nhá BM, H lµ giao ®iÓm cña AK vµ MM . 1.CMR: BCHK lµ tø gi¸c néi tiÕp. 2. TÝnh AH.AK theo R. 3.Xác định vị trí của điểm K để (KM+KN+KB) đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó. A E O B. H. C. D. K. M. F. K. H A. C. O. B. N. Lª V¨n LÜnh. 1.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Chuyên đề tứ giác nội tiếp. Bài tập 65: Cho đờng tròn tâm O và cát tuyến CAB ( C ở ngoài đờng tròn ) . Từ điểm chính giữa của cung lớn AB kẻ đờng kính MN cắt AB tại I , CM cắt đờng tròn tại E , EN cắt đờng thẳng AB tại F 1.Chøng minh tø gi¸c MEFI lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2.Chøng minh gãc CAE b»ng gãc MEB . 3.Chøng minh : CE . CM = CF . CI = CA . CB. M. E O I B. F. C. A. N. Bµi tËp 66: Cho  ABC cã 3 gãc nhän AC > BC néi tiÕp (O) . VÏ c¸c tiÕp tuyÕn víi (O) t¹i A vµ B, c¸c tiÕp tuyÕn nµy c¾t nhau t¹i M . Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña O trªn MC. CMR a/ MAOH lµ tø gi¸c néi tiÕp b/ Tia HM lµ ph©n gi¸c cña gãc AHB c/ Qua C kẻ đờng thẳng song song với AB cắt MA, MB lÇn lît t¹i E, F. Nèi EH c¾t AC t¹i P, HF c¾t BC t¹i Q. Chøng minh r»ng QP // EF.. A. M O H B. Bµi tËp 67: Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A vµ mét ®iÓm D nằm giữa A và B . Đờng tròn đờng kính BD cắt BC tại E . Các đờng thẳng CD , AE lần lợt cắt đờng tròn tại các điểm thø hai F , G . Chøng minh : a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD . b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp đợc trong một đờng trßn . c) AC song song víi FG . d) Các đờng thẳng AC , DE và BF đồng quy .. C. A F. D G. Bài tập 68: Cho đờng tròn tâm O. Từ một điểm P ở ngoài đờng tròn kẻ hai tiếp tuyến phân biệt PA, PC (A, C là tiếp điểm) với đờng tròn (O). a. Chứng minh PAOC là tứ giác nội tiếp đờng tròn. b. Tia AO cắt đờng tròn (O) tại B; đờng thẳng qua P song song víi AB c¾t BC t¹i D. Tø gi¸c AODP lµ h×nh g×? c. Gäi I lµ giao ®iÓm cña OC vµ PD; J lµ giao ®iÓm cña PC vµ DO; K lµ trung ®iÓm cña AD. Chøng tá r»ng c¸c ®iÓm I, J, K th¼ng hµng.. C. E. B. A. O. K P J. B D. C. I. Bµi 69: Cho nửa đường tròn đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn. Gọi C là điểm trên nửa đường tròn sao cho cung AC bằng cung CB. Trên cung CB lấy điểm D khác C và B. Các tia AC, AD cắt Bx lần lượt tại E và F. a,Chứng minh ABE vuông cân b, Chứng minh  ABF ~  BDF c, Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp d, Chứng minh AC.AE = AD.AF. Lª V¨n LÜnh. E. C F D. A. O. B. 1.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Chuyên đề tứ giác nội tiếp. Bài tập 70: Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B và C ở trên nửa đờng tròn đờng kính AD, tâm O. Hai đờng chéo AC vµ BD c¾t nhau t¹i E. Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña E xuèng AD vµ I lµ trung ®iÓm cña DE. Chøng minh r»ng: a. Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp đợc; b.E là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BCH; c) Năm điểm B, C, I, O, H nằm trên một đờng tròn. B. I A. O. 0. Bµi tËp 71: Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC; ÐB  45 ), một đờng tròn (O) tiếp xúc với AB và AC lần lợt tại B và C. Trªn cung nhá BC lÊy mét ®iÓm M (M kh«ng trïng víi B và C) rồi hạ các đờng vuông góc MI, MH, MK xuống c¸c c¹nh t¬ng øng BC, CA, AB. a. Chỉ ra cách dựng đờng tròn (O). b. Chøng minh tø gi¸c BIMK néi tiÕp. c. Gäi P lµ giao ®iÓm cña MB vµ IK; Q lµ giao ®iÓm cña MC vµ IH. Chøng minh PQ  MI .. C. E. D. H. A. K. Q. P. B. H. M. C I O. Bài tập 72: Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đờng tròn tâm O, bán kính R. Hạ các đờng cao AD, BE của tam gi¸c. C¸c tia AD, BE lÇn lît c¾t (O) t¹i c¸c ®iÓm thø hai lµ M, N. Chøng minh r»ng: 1.Bốn điểm A,E,D,B nằm trên một đờng tròn. Tìm tâm I của đờng tròn đó. 2. MN// DE 3.Cho (O) và dây AB cố định, điểm C di chuyển trên cung lớn AB. Chứng minh rằng độ dài bán kính đờng tròn ngoại tiếp CDE không đổi.. A. N O. E. D C. B M. Bài tập 73: Cho điểm A ở ngoài đờng tròn tâm O . Kẻ hai tiếp tuyến AB , AC với đờng tròn (B , C là tiếp điểm ) . M lµ ®iÓm bÊt kú trªn cung nhá BC ( M ¹ B ; M ¹ C ) . Gäi D , E , F t¬ng øng lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M trªn các đờng thẳng AB , AC , BC ; H là giao điểm của MB và DF ; K lµ giao ®iÓm cña MC vµ EF . 1) Chøng minh : a) MECF lµ tø gi¸c néi tiÕp . b) MF vu«ng gãc víi HK . 2) Tìm vị trí của M trên cung nhỏ BC để tích MD . ME lín nhÊt .. B D. H O. F. M K A E. C. Bµi tËp 74: Cho  ABC vuông cân tại A. AD là trung tuyến thuộc cạnh BC. Lấy M bất kì thuộc đoạn AD (M không trùng A, D). Gọi I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB, AC. H là hình chiếu vuông góc của I trên đoạn DK a/Tứ giác AIMK là hình gì? b/ A, I, M, H, K thuộc một đường tròn. Tìm tâm đường tròn đó. c/ B, M, H thẳng hàng.. Lª V¨n LÜnh. A I. K H. M B. C. D. 1.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Chuyên đề tứ giác nội tiếp. Bài tập 75: Cho tam giác ABC (có ba góc nhọn). Hai đờng cao AD và BF gặp nhau tại H a/ Chứng minh tứ giác DHFC nội tiếp đợc đờng tròn. Xác định tâm của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác b/ Gọi CK là đờng cao còn lại của tam giác ABC; KD cắt đờng tròn ngoại tiếp tứ giác DHCF tại E. Chứng minh r»ng gãcEFH = gãc KBH c/ Gi¶ sö CH = AB. TÝnh sè ®o cña gãc ACB. A F K H. E B. Bµi tËp 76: Cho tø gi¸c ABCD (AB // CD) néi tiÕp trong đờng tròn (O). Tiếp tuyến tại A và tiếp tuyến tại D của đờng tròn (O) cắt nhau tại E. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Chøng minh: 1 ÐCAB  ÐAOD 2 a. . b. Tø gi¸c AEDO néi tiÕp. c. EI // AB. Bµi tËp 77: Cho đường tròn tâm O đường kính AC. Trên AC lấy điểm B , vẽ đường tròn tâm O’ đường kính BC. Gọi M là trung điểm của AB. Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt đường tròn tâm O tại D và E. Nối DC cắt đường tròn tâm O’ tại I. Chứng minh: a/ AD // BI. b/ BE // AD; c/I, B, E thẳng hàng. d/ MD = MI. e/ DM2 = AM.MC. f/ Tứ giác DMBI nội tiếp. Bµi tËp 78: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A. Trªn AC lÊy mét ®iÓm D, dùng CE vu«ng gãc víi BD. a. Chứng minh tứ giác ABCE nội tiếp đờng tròn. b. Chøng minh AD.CD = ED.BD. c. Tõ D kÎ DK vu«ng gãc víi BC. Chøng minh r»ng AB, DK, EC đồng quy tại một điểm và éDKE éABE .. C. D. D. C. E. I O A. B. D I. A. M B. C. O'. E. A E D. B. Bài tập 79: Cho hai đờng tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B, tiếp tuyến chung với hai đờng tròn (O1) và (O2) về phÝa nöa mÆt ph¼ng bê O1O2 chøa ®iÓm B, cã tiÕp ®iÓm thø tù lµ E vµ F. Qua A kÎ c¸t tuyÕn song song víi EF c¾t đờng tròn (O1), (O2) thứ tự tại C, D. Đờng thẳng CE và đờng thẳng DF cắt nhau tại I. a. Chøng minh IA vu«ng gãc víi CD. b. Chóng minh tø gi¸c IEBF lµ tø gi¸c néi tiÕp. c. Chứng minh đờng thẳng AB đi qua trung điểm của EF. O. C. K. I. E. C. F A D O1. O2 B. Lª V¨n LÜnh. 1.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Chuyên đề tứ giác nội tiếp. Bµi tËp 80: Cho đường tròn tâm O và cát tuyến CAB (C ở ngoài đường tròn). Từ điểm chính giữa của cung lớn AB kẻ đường kính MN cắt AB tại I, CM cắt đường tròn tại E, EN cắt đường thẳng AB tại F. 1.Chứng minh tứ giác MEFI là tứ giác nội tiếp. 2. Chứng minh góc CAE bằng góc MEB. 3.Chứng minh: CE.CM = CF.CI = CA.CB. M. E O. B. F. I. A. C. N. Bµi tËp 81: Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A vµ cã AB > AC, đờng cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB tại E, vẽ nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC tại F. a. Chøng minh tø gi¸c AEHF lµ h×nh ch÷ nhËt. b. Chøng minh AE.AB = AF.AC c. Chøng minh BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp.. A F E B. C. H. Bài tập 82: Cho đờng tròn (O) đờng kính BC. Điểm A thuộc đoạn OB (A không trùng với O và B), vẽ đờng tròn (O') đờng kính AC. Đờng tròn đi qua trung điểm M của đoạn thẳng AB và vuông góc với AB cắt đờng tròn (O) tại D và E. Gọi F là giao điểm thứ hai của CD với đờng tròn (O'), K là giao điểm thứ hai của CE với đờng tròn (O'). Chøng minh: a. Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi. b. AF // BD. c. Ba ®iÓm E, A, F th¼ng hµng. d. Bốn điểm M, F, C và E cùng thuộc một đờng tròn. e. Ba đờng thẳng CM, DK, EF đồng quy Bài tập 83: Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PM và PN với đờng tròn (O) (M, N là tiếp điểm). Đờng thẳng đi qua điểm P cắt đờng tròn (O) tại hai ®iÓm E vµ F. §êng th¼ng qua O song song víi PM c¾t PN t¹i Q. Gäi H lµ trung ®iÓm cña ®o¹n EF. Chøng minh r»ng: a. Tứ giác PMON nội tiếp đờng tròn. b. Các điểm P, N, O, H cùng nằm trên một đờng tròn. c. Tam gi¸c PQO c©n. d. PM2 = PE.PF. e. ÐPHM ÐPHN .. D F M B. A. C. O K. E. M F. H E. O. P. Q N. D. Bài 84: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB . Trên đờng trßn lÊy mét ®iÓm C ( C kh«ng trïng víi A,B vµ CA > CB ) . Các tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại A , tại C cắt nhau ë ®iÓm D, kÎ CH vu«ng gãc víi AB ( H thuéc AB ), DO c¾t AC t¹i E . 1, Chøng minh tø gi¸c OECH néi tiÕp . 2, Đờng thẳng CD cắt đờng thẳng AB tại F. Chứng minh :. Lª V¨n LÜnh. C K. E. A. M. O. H. B. F. 1.

<span class='text_page_counter'>(19)</span>   2 BCF  CFB 900 .. Chuyên đề tứ giác nội tiếp. 3, BD c¾t CH t¹i M . Chøng minh EM // AB . ( §Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 tØnh H¶i D¬ng 08 - 09 ) Gîi ý gi¶i 0 0   a.DÔ thÊy OD lµ trung trùc cña AC => DO  AC => CEO 90 L¹i cã CHO 90 ( theo gi¶ thiết )=> E; H thuộc đờng tròn đờng kính OC hay tg OECH nội tiếp .    b.Ta cã : COB 2 BCF ( gãc ë t©m vµ gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cïng ch¾n BC cña (O) ) 0  OC  CF ( tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn )XÐt tam gi¸c vu«ng OCF cã : OCF 90 0 0     => COF  CFB 90 hay : 2 BCF  CFB 90 . c.KÎ tiÕp tuyÕn t¹i B cña (O) c¾t DF t¹i K Theo gi¶ thiÕt : AD // CH // BK ( cïng vu«ng gãc víi AB ) MH BH  (1) áp dụng hệ quả định lí Ta let cho các tam giác ADB ; DBK có : AD AB CM BK CM CK CK BH    (2)  (3) DC DK AD DK ( TÝnh chÊt tiÕp tuyÕn c¾t nhau )L¹i cã : DK AB MH CM  AD => MH = CM . Tõ (1) ; (2) ; (3) suy ra : AD XÐt tam gi¸c ACB cã :E lµ trung ®iÓm AC ( theo 1, )M lµ trung ®iÓm CH ( theo trªn ) => EM là đờng trung bình của tam giác => EM // AB . Bµi 85: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A. LÊy ®iÓm D trªn cạnh AC (sao cho AC > 2DC) làm tâm vẽ đờng tròn tiếp xóc víi BC t¹i E. Tõ B kÎ tiÕp tuyÕn thø hai BF, c¾t AD t¹i I vµ c¾t AE t¹i K. Trung tuyÕn AM cña tam gi¸c ABC c¾t BF t¹i N. a) Chứng minh rằng A, B, E, D, F cùng nằm trên một đờng tròn.. IF BF   b) Chøng minh IK BK 0   c) Cho AEC 130 , tÝnh ANB . ( §Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 tØnh VÜnh Phóc 08 - 09 ) Gîi ý gi¶i     b.Trên đờng tròn ( ) , hai dây cung DE và DF bằng nhau nên DE DF  FAD EAD IF AF  (1) Suy ra AI là phân giác trong của tam giác FAK do đó IK AK AF BF  (2) - V× AB  AI nªn AB lµ ph©n gi¸c ngoµi cña tam gi¸c FAK nªn AK BK      c.Ta cã NFA  AFB  ADB  AEB (cïng néi tiÕp ch¾n cung AB cña ( ) )     DBC cã ADB lµ gãc ngoµi nªn ADB DBC  DCB . DBC = DAF (theo lËp luËn phÇn b)). M lµ   trung ®iÓm c¹nh BC nªn MAC c©n t¹i M hay DCB DAN      NFA ADB DAF  DAN NAF , hay  NAF c©n t¹i N. 0 0 0    AFN  AEB 1800  1300 500 , từ đó ANB NFA  NAF 50  50 100 .. Lª V¨n LÜnh. 1.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Chuyên đề tứ giác nội tiếp Bµi 86: Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến K MCD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O), ở đây A, B là các tiếp điểm và C nằm giữa M, D. A D a) Chứng minh MA2 = MC.MD. I b) Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh rằng 5 điểm C M, A, O, I , B cùng nằm trên một đường tròn. O c) Gọi H là giao điểm của AB và MO. Chứng minh tứ M H giác CHOD nội tiếp được đường tròn. Suy ra AB là phân giác của góc CHD. d) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của B đường tròn (O). Chứng minh A, B, K thẳng hàng. ( §Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 TP Hå ChÝ Minh 08 - 09 ) c)  Ta có MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và OA = OB = R(O). Do đó MO là trung trực M của AB  MO  AB.Trong MAO vuông tại A có AHKlà đường cao  MA2 = MH.MO. Mà MA2 = C MH MC  MC.MD (do a))  MC.MD = MH.MO  MD MO E(1). I Xét  MHC và MDO có:ÐM chung, kết hợp với (1) ta suy ra MHC và MDO đồng dạng (c.g.c)  Ð MHC = Ð MDO  Tứ giác OHCD nội tiếp. B N A H O  Ta có: + OCD cân tại O  Ð OCD = Ð MDO + Ð OCD = Ð OHD (do OHCD nội tiếp) Do đó Ð MDO = Ð OHD mà Ð MDO = Ð MHC (cmt)  Ð MHC = Ð OHD D là phân giác của Ð CHD hay AB là  900 – Ð MHC = 900 – Ð OHD  Ð CHA = Ð DHA  HA phân giác của Ð CHD. d) Tứ giác OCKD nội tiếp(vì Ð OCK = Ð ODK = 900) Ð OKC = Ð ODC = Ð MDO mà Ð MDO = Ð MHC (cmt) Ð OKC = Ð MHC  OKCH nội tiếp  Ð KHO = Ð KCO = 900.  KH  MO tại H mà AB  MO tại H  HK trùng AB  K, A, B thẳng hàng. Bài 87: Cho tam giác ABC vuông tại A.Kẻ đờng cao AH A và đờng phân giác BE ( H ẻ BC, E ẻ AC). Kẻ AD vuông gãc víi BE ( D Î BE) E a, CM tứ giác ADHB nội tiếp. Xác định tâm O của đtr D I b, CM tø gi¸c ODCB lµ h×nh thang O c, Gäi I lµ giao ®iÓm cña OD vµ AH. Chøng minh 1 1 1 C  2 2 2 4.AI AB AC B H d, Cho gãc ABC = 600, AB = a. TÝnh theo a diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi AC, BC vµ cung nhá AH cña (O) ( §Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 tØnh Kh¸nh Hoµ 08 – 09) Bµi 88: Cho đường tròn tâm O. Lấy điểm A ở ngoài M đường tròn (O), đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại 2 điểm B, C (AB < AC). Qua A vẽ đường thẳng không đi B O A C qua O cắt đường tròn (O) tại hai điểm phân biệt D, E (AD < AE). Đường thẳng vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng CE tại F. D 1) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp. E 2) Gọi M là giao điểm thứ hai của đường thẳng FB với đường tròn (O). Chứng minh DM  AC. 3) Chứng minh CE.CF + AD.AE = AC2. ( §Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 tØnh H¶i D¬ng ( 08 – 09) F Bµi 89: Cho đường tròn (O) đường kính AB bằng 6cm. Gọi H là điểm nằm giữa A và B sao cho AH = 1cm. Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với AB, đường thẳng này cắt đường tròn (O) tại C và D. Hai đường thẳng BC và DA cắt nhau tại M. Từ M hạ đường vuông góc MN với. M. K E. Lª V¨n LÜnh. C I. 2 N. A. H. O. B.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> D. Chuyên đề tứ giác nội tiếp đường thẳng AB (N thuộc đường thẳng AB). a) Chứng minh MNAC là tứ giác nội tiếp.. ·. b) Tính độ dài đoạn thẳng CH và tính tg ABC . c) Chứng minh NC là tiếp tuyến của đường tròn (O). d) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt NC ở E. Chứng minh đường thẳng EB đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH. ( §Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 tØnh Qu¶ng Nam 08 – 09). · · · · · · · c) Lí luận được: ACN=AMN ; ADC=ABC = BCO ; ADC=AMN 0 · · · Suy ra được ACN=BCO Lí luận NCO=90 Kết luận NC là tiếp tuyến của đtròn (O). d) Gọi I là giao điểm của BE và CH và K là giao điểm của tiếp tuyến AE và BM. Lí luận được OE//BM. Từ đó lí luận suy ra E là trung điểm của AK IC IH BI  EK EA (cùng bằng BE ) Mà EK = EA. Lý luận được Do đó IC = IH. Kết luận: Đường thẳng BE đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH. A. Bµi 90: Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường kính AD. Gọi M là trung điểm của AC, I là trung điểm của OD. 1/ Chứng minh OM // DC. 2/ Chứng minh tam giác ICM cân. 3/ BM cắt AD tại N. Chứng minh ( §Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 tØnh H¶i D¬ng 07 – 08). M O. N. I B. C. D. Bµi 91: Cho tam giác ADC vuông tại D có đường cao DH, đường tròn tâm O đường kính AH cắt cạnh AD tại điểm M ( M A); đường tròn tâm O’ đường kính CH cắt cạnh DC tại điểm N ( N C). Chứng minh rằng: 1. Tứ giác DMHN là hình chữ nhật. 2. Tứ giác AMNC nội tiếp được trong một đường tròn. 3. MN là tiếp tuyến chung của đường tròn đường kính AH và đường tròn đường kính OO’. ( §Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 tØnh Thanh Ho¸ 07 – 08). D N. M A. O. H. C. O'. Bµi 92: Cho hai đường tròn , có bán kính bằng nhau và cắt nhau ở A và B. Vẽ cát tuyến qua B không vuông góc với AB, nó cắt hai đường tròn ở E và F. (E ;F ). 1/ Chứng minh AE = AF. 2/ Vẽ cát tuyến CBD vuông góc với AB (C ;D ). Gọi P là giao điểm của CE và DF. Chứng minh rằng: a/ Các tứ giác AEPF và ACPD nội tiếp được đường tròn. b/ Gọi I là trung điểm của EF chứng minh ba điểm A, I, P thẳng hàng. 3/ Khi EF quay quanh B thì I và P di chuyển trên đường nào? (§Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 tØnh H¶i Phßng 07-08). Lª V¨n LÜnh. 2.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> Chuyên đề tứ giác nội tiếp Bµi 94:Cho đường tròn (O; R) và dây AC cố định không đi qua tâm. B là một điểm bất kì trên đường tròn (O: R) (B không trùng với A và C). Kể đường kính BB’. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. 1/ Chứng minh AH//B’C. 2/ Chứng minh rằng HB’ đi qua trung điểm của AC. 3/ Khi điểm B chạy trên đường tròn (O; R) (B không trùng với A và C). Chứng minh rằng điểm H luôn nằm trên một đường tròn cố định. (§Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 tØnh H¶i D¬ng 07-08 ). B. H. O C. A B'. Bµi 95: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By của nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là điểm tùy ý thuộc nửa đường tròn (khác A và B). Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn cắt Ax tại D và cắt By tại E. a/ Chứng minh rằng là tam giác vuông. b/ Chứng minh rằng: . c/ Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) sao cho diện tích của tứ giác ADEB nhỏ nhất. (§Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 tØnh Thõa Thiªn HuÕ 07- 08) Bµi 96: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, và AH là đường cao. Gọi M là trung điểm của cạnh AC, các đường thẳng MH và AB cắt nhau tại điểm N. Chứng minh: a) Tam giác MHC cân b) Tứ giác NBMC nội tiếp được trong một đường tròn. c) (§Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 tØnh Thanh Ho¸ 06 -07) Bµi 97:Cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A, AD là trung tuyến thuộc cạnh BC. Lấy điểm M bất kì trên đoạn AD (M khác A, M khác D). Gọi I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên AB, AC; H là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng DK. 1/ Tứ giác AIMK là hình gì? 2/ Chứng minh rằng 5 điểm A, I, M, H, K cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn đó. 3/ Chứng minh các điêm B, M, H thẳng hàng. (§Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 tØnh H¶i Phßng 06-07). Lª V¨n LÜnh. y E. x M D. A. B. O A. M. B C. H N. A I. K H. M B. C. D. 2.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> Chuyên đề tứ giác nội tiếp Bài 98: Cho đường tròn tâm (O) ,đường kính AC .Vẽ dây BD vuông góc với AC tại K ( K nằm giữa A và O).Lấy điểm E trên cung nhỏ CD ( E không trùng C và D), AE cắt BD tại H. a.Chứng minh rằng tam giác CBD cân và tứ giác CEHK nội tiếp. b.Chứng minh rằng AD2 = AH . AE. c.Cho BD = 24 cm , BC =20cm .Tính chu vi của hình tròn (O). d.Cho góc BCD bằng α . Trên mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A , vẽ tam giác MBC cân tại M .Tính góc MBC theo α để M thuộc đường tròn (O). ( Tuyển sinh vào lớp 10 Quảng Nam năm 2009 – 2010 ). B' M B. A. O. K. C. H. D M'. E D'. Gợi ý d)Tính góc MBC theo α để M thuộc đường tròn (O). Giải: ΔMBC cân tại M có MB = MC suy ra M cách đều hai đầu đoạn thẳng BC  M Î d là đường trung trực BC ,(OB=OC nên O Î d ),vì MÎ (O) nên giả sử d cắt (O) tại M (M thuộc cung nhỏ BC ) và M’(thuộc cung lớn BC ). * Trong trường hợp M thuộc cung nhỏ BC ; M và D nằm khác phía BC hay AC a ·BDC DBC · · (1800  DCB ) : 2 900  2 do ΔBCD cân tại C nên Tứ giác MBDC nội tiếp thì ·BDC  ·BMC 1800  ·BMC 1800  ·BDC 1800  (900  a ) 1800  900  a 900  a 2 2 2 * Trong trường hợp M’ thuộc cung lớn BC ΔMBC cân tại M có MM’ là đường trung trực nên MM’ là phân giác góc BMC ·BMM ' ·BMC (900  a ) : 2 450  a ¼ ' (900  a ) BM  2 4  sđ 2 (góc nội tiếp và cung bị » · chắn) sđ BD 2BCD 2a (góc nội tiếp và cung bị chắn). 2a  900 . a.  2a . a.  900  3a  1800  00  a  600 »BD  BM ¼ ' 2 2 + Xét suy ra tồn tại hai điểm là M thuộc cung nhỏ BC (đã tính ở trên )và M’ thuộc cung lớn BC . ·BDC ·BM 'C 900  a 2 (cùng chắn cung BC nhỏ) Tứ giác BDM’C nội tiếp thì a. a. 0 0 0 0 »BD BM ¼ '  2a 90  2  2a  2 90  3a 180  a 60 + Xét thì M’≡ D không thỏa mãn điều kiện đề bài nên không có M’ ( chỉ có điểm M tmđk đề bài). » ¼ + Xét BD  BM ' . 2a  900 . a 2.  2a . a 2.  900  3a  1800  600  a 900. (khi BD. · » qua tâm O và BD  AC  BCD a 90 )  M’ thuộc cung BD không thỏa mãn điều kiện đề bài nên không có M’ (chỉ có điểm M tmđk đề). 0. Lª V¨n LÜnh. 2.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> Chuyên đề tứ giác nội tiếp. Bài 99: Cho đường tròn(O; R) từ một điểm M ngoài A đường tròn (O; R). vẽ hai tiếp tuyến A, B. lấy C bất kì E trên cung nhỏ AB. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu I N O vuoâng goùc cuûa C teân AB, AM, BM. D C a/ cm AECD Nội tiếp một đường tròn . K ^A D E=C B b/ cm: C ^ F B c/ cm : Goïi I laø trung ñieåm cuûa AC vaø ED, K laø giao ñieåm cuûa CB , DF. Cm IK// AB. d/ Xaùc ñònh vò trí c treân cung nhoû AB deå (AC2 + CB2 ) nhỏ nhất. tính giá trị nhỏ nhất đó khi OM =2R ( Tuyển sinh vào 10 tỉnh Khánh Hoà năm 2009 – 2010 ) Gợi ý 4d)Xác định vị trí điểm C trên cung nhỏ AB để CA2 + CB2 đạt GTNN. Gợi ý : Xây dựng công thức đường trung tuyến của tam giác. Gọi N là trung điểm của AB. Ta có: AC2 + CB2 = 2CD2 + AD2 + DB2 =2(CN2 – ND2) + (AN+ND)2 + (AN – ND)2 = 2CN2 – 2ND2 + AN2 + 2AN.ND + ND2 + AN2 – 2AN.ND + ND2. = 2CN2 + 2AN2 = 2CN2 + AB2/2 2 AB /2 ko đổi nên CA2 + CB2 đạt GTNN khi CN đạt GTNN ó C là giao điểm của ON và cung nhỏ AB. => C là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Khi OM = 2R thì OC = R hay C là trung điểm của OM => CB = CA = MO/2 = R Do đó: Min (CA2 + CB2 ) = 2R2 . Bài 100: Cho tam giaùc vuoâng ABC noäi tieáp trong đường tròn tâm O đường kính AB. Kéo dài AC (về phía C) đoạn CD sao cho CD = AC. 1. Chứng minh tam giác ABD cân. 2. Đường thẳng vuông góc với AC tại A cắt đường tròn (O) tại E. Kéo dài AE (về phía E) đoạn EF sao cho EF = AE. Chứng minh raèng ba ñieåm D, B, F cuøng naèm treân moät đường thẳng. 3. Chứng minh rằng đường tròn đi qua ba điểm A, D, F tiếp xúc với đường tròn (O). ( Tuyển sinh vào 10 tỉnh Bình Định năm 2009 – 2010) Gợi ý b)Chứng minh rằng ba điểm D, B, F cùng nằm trên một đường thẳng.  Vì CAE = 900, nên CE là đường kính của (O), hay C, O, E thẳng hàng. Ta có CO là đường trung bình của tam giác ABD Suy ra BD // CO hay BD // CE (1) Tương tự CE là đường trung bình cuûa tam giaùc ADF Suy ra DF // CE (2) Từ (1) và (2) suy ra D, B, F cùng nằm trên 1 đường thẳng c)Chứng minh rằng đường tròn đi qua ba điểm A, D, F tiếp xúc với đường tròn (O). Ta chứng minh được BA = BD = BF Do đó đường tròn qua ba điểm A,D,F nhận B làm tâm và AB làm bán kính . Vì OB = AB - OA > 0 Nên đường tròn đi qua ba điểm A, D, F tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại A. Lª V¨n LÜnh. 2.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> Chuyên đề tứ giác nội tiếp Bài 101: Cho ®iÓm M n»m ngoµi ®ưêng trßn (O;R). Tõ M A kẻ hai tiếp tuyến MA , MB đến đường tròn (O;R) ( A; B D lµ hai tiÕp ®iÓm). C a.Chøng minh MAOB lµ tø gi¸c néi tiÕp. E b.TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c AMB nÕu cho OM = 5cm vµ R = O M 3 cm. c. KÎ tia Mx n»m trong gãc AMO c¾t ®ưêng trßn (O;R) t¹i hai ®iÓm C vµ D ( C n»m gi÷a M vµ D ). Gäi E lµ giao B ®iÓm cña AB vµ OM. Chøng minh r»ng EA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CED. ( Tuyển sinh vào 10 tỉnh Quảng Ninh năm 2009 – 2010) Gợi ý c) XÐt  AMO vu«ng t¹i A cã MO  AB. ¸p dông hÖ thøc lưîng vµo tam gi¸c vu«ng AMO ta cã: 1    MA2 = ME. MO (1) mµ : ADC MAC = 2 S® AC ( gãc néi tiÕp vµ gãc t¹o bëi tiÕp tuyÕn vµ d©y MA MD  cung cïng ch¾n 1 cung)  MAC   DAM (g.g) => MC MA => MA2 = MC . MD (2) MD ME  Tõ (1) vµ (2) => MC . MD = ME. MO => MO MC MD ME     MDO  MCE   MDO ( c.g.c) ( M chung; MO MC ) => MEC ( 2 gãc tøng) ( 3) OA OM OA OM OD OM  t/ tù:  OAE OMA (g.g) => OE = OA => OE = OA = OE OD ( OD = OA = R) OD OM     Ta cã:  DOE   MOD ( c.g.c) ( O chung ; OE OD ) => OED ODM ( 2 gãc t øng) (4)     AED  OED  Tõ (3) (4) => OED MEC . mµ : AEC  MEC =900;    =900 => AEC  AED => EA lµ ph©n gi¸c cña DEC Bµi 102: Cho tam gi¸c PQR vu«ng c©n t¹i P. Trong gãc F PQR kÎ tia Qx bÊt kú c¾t PR t¹i D (D kh«ng trïng víi P vµ D không trùng với R). Qua R kẻ đờng thẳng vuông góc với Qx t¹i E. Gäi F lµ giao ®iÓm cña PQ vµ RE. P a.Chứng minh tứ giác QPER nội tiếp đuợc trong một đờng trßn. b.Chøng minh tia EP lµ tia ph©n gi¸c cña gãc DEF x E c.TÝnh sè ®o gãc QFD. D d.Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng QE. Chøng minh rằng điểm M luôn nằm trên cung tròn cố định khi tia Qx M thay đổi vị trí nằm giữa hai tia QP và QR Q R ( TyÓn sinh vµo 10 tØnh Qu¶ng B×nh n¨m 2009 – 2010) Gîi ý c.V× RP QF vµ QE RF nªn D lµ trùc t©m cña tam gi¸c QRF suy ra FD QR ⇒ ∠ QFD = ∠ PQR (gãc cã c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc) mµ ∠ PQR = 450 (tam gi¸c PQR vu«ng c©n ë P) ⇒ ∠ QFD = 450 d.Gọi I là trung điểm của QR và N là trung điểm của PQ. (I,N cố định) Ta có: MI là đờng trung bình của tam giác QRE ⇒ MI//ER mà ER QE ⇒ MI QE ⇒ D 0 ∠ QMI = 90 ⇒ M thuộc đờng tròn đờng kính QI. A Khi Qx QR th× M I, khi Qx QP th× M N. O Vậy: khi tia Qx thay đổi vị trí nằm giữa hai tia QP và QR thì M lu«n n»mH trªn cung NI của đờng E I tròn đờng kính QI cố định. O P Bài 103: Tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O. Trên K Q cung AC kh«ng chøa ®iÓm B lÊy ®iÓm D bÊt kú ( D ≠ A, D O C ≠ C). P lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB ( kh«ng chøa C). B Đờng thẳng PC cắt các đờng thẳng AB, AD lần lợt ở K và F E. Đờng thẳng PD cắt các đờng thẳng AB, BC lần lợt ở I vµ F.Chøng minh : a) Góc CED bằng góc CFD. Từ đó suy ra CDEF là tứ giác 1. 2. Lª V¨n LÜnh. 2.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> Chuyên đề tứ giác nội tiếp. néi tiÕp. b) EF // AB. c) PA là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADI d) Khi D thay đổi thì tổng bán kính của đờng tròn ngoại tiếp các tam giác AID, BID không đổi. Gîi ý. 1 1   - s®AP);    - s® BP)  CED = (s®CD CFD = (s® CD     2 2 Mµ PA = PB ( gt) => CED = CFD.   => CDEF lµ tø gi¸c néi tiÕp => DFE = ECD 1  = 1 (s® AP  + s® AD)  s® PD ECD  2 = 2 = AID. 1     PAI ADI  AO 1 I AO1 H 2 O    H  IAO   PAI  IAO1 AO 1 1 90 => gãc EFD = gãc AID => EF//AB KÎ O1 H  AI =>PA là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác AD Cm tt : PB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp BDI.Kẻ đờng kính PQ của (O) => Tâm O1 của (ADI) thuéc AQ T©m O2 cña (BDI) thuéc QB     Chøng minh: O1 AI = O1 IA; O 2 IB = O 2 BI ; gãc QAB = gãc QBA => O1I//O2Q ; O2I//O1Q => O1IO2Q là hình bình hành => O1I + O2I = QA không đổi Bài 104: Cho đờng tròn (O;R), đờng kính AB cố định và E CD là một đờng kính thay đổi không trùng với AB. Tiếp tuyến của đờng tròn (O;R) tại B cắt các đờng thẳng AC và AD lÇn lît t¹i E vµ F. 1) Chøng minh r»ng BE.BF = 4R2. C 2) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp đợc đờng tròn. 3) Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD. Chứng minh rằng tâm I luôn nằm trên một đờng thẳng cố định. ( Nghệ An năm 2009 – 2010 ) A. B. O. D F. Bài 105: Cho A là một điểm trên đờng tròn tâm O, bán kính R. Gọi B là điểm đối xứng với O qua A. Kẻ đờng thẳng d đi qua B cắt đờng tròn (O) tại C và D (d không đi qua O, BC < BD). Các tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại C vµ D c¾t nhau t¹i E. Gäi M lµ giao ®iÓm cña OE vµ CD. KÎ EH vu«ng gãc víi OB (H thuéc OB). Chøng minh r»ng: a) Bốn điểm B, H,M, E cùng thuộc một đờng tròn. b) OM.OE = R2 c) H lµ trung ®iÓm cña OA. ( Hưng Yên năm 2009 – 2010 ). E. D M. C. B. A. H. O. Bµi 106: Cho hình vuông ABCD, điểm M thuộc cạnh BC (M khác B, C). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DM, đường thẳng này cắt các đường thẳng DM và DC theo thứ tự tại H và K. 1. Chứng minh: Các tứ giác ABHD, BHCD nội tiếp đường tròn;  2. Tính CHK ;. Lª V¨n LÜnh. 2.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> Chuyên đề tứ giác nội tiếp 3. Chứng minh KH.KB = KC.KD; 4. Đường thẳng AM cắt đường thẳng DC tại N. 1 1 1   2 2 AM AN 2 . Chứng minh AD ( Thái Bình năm 2009 – 2010 ) Bài 107: Cho (O), dây BC cố định và một điểm A thay đổi trªn cung BC lín sao cho AC > AB vµ AC > BC. Gäi D lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung BC nhỏ. Các tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại D và C cắt nhau tại E. Gọi P, Q lần lợt là giao điểm của các cặp đờng thẳng. A. O. AB víi CD ; AD vµ CE. a. Chøng minh DE // BC b. Tø gi¸c PACQ néi tiÕp c. Gäi giao ®iÓm cña c¸c d©y AD vµ BC lµ F. Chøng. B. C. F E. D P. 1 1 1   minh: CE CQ CF. Q.   c) +.Tø gi¸c APQC néi tiÕp => CPQ CAQ ( 2 gnt cïng ch¾n cung CQ)     +. CAQ CDE ( 2 gnt cïng ch¾n cung CD cña (O)) => CPQ CDE DE CE DE QE   PQ CQ CF CQ => DE //PQ => Mµ DE // BC => DE DE CE  QE CQ    1 PQ CF QC CQ Ta cã. 1 1 1   => PQ FC DE (1).       L¹i cã : CPQ CDE (cmt) mµ CDE ECD => CPQ PCQ => Tam gi¸c QPC lµ tam gi¸c c©n t¹i Q => PQ = QC (2) L¹i cã : ED = EC (3) 1 1 1   Tõ (1) (2) (3) => CQ FC CE Bµi 108: Cho tam giác ABC vuông tại A. Một đường tròn (O) đi qua B và C cắt các cạnh AB, AC của tam giác ABC lần lượt tại D và E ( BC không là đường kính của đường tròn tâm O). Đường cao AH của tam giác ABC cắt DE tại K 1. Chứng minh rằng góc ADE bằng góc ACB 2. Chứng minh K là trung điểm của DE 3. Trường hợp K là trung điểm của AH. Chứng minh đường thẳng DE là tiếp tuyến chung ngoài của đường tròn đường kính BH và đường tròn đường kính CH ( Hải Phòng năm 2009 – 2010 ) Bài 109: Cho tam giác MNP cân tại M có cạnh đáy nhỏ h¬n c¹nh bªn néi tiÓp (O;R). TiÕp tuyÕn t¹i M, N c¾t tia MP,MN t¹i E, D. 1. Chøng minh r»ng : NE2=EP.EM 2. Chøng minh: Tø gi¸c DEPN néi tiÕp. 3. Qua P kẻ đờng thẳng vuông góc với MN cắt đờng. Lª V¨n LÜnh. 2.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> Chuyên đề tứ giác nội tiếp 2. 2. 2 trßn t¹i K. C.m.r : MN  NK 4R ( Hải Dương năm 2009 – 2010 ) ) Bài 110: Cho đờng tròn (O; R) Và điểmA nằm ngoài (O; R) .Đờng tròn đờng kính AO cắt đờng tròn (O; R) Tại M và N. §êng th¼ng d qua A c¾t (O; R) t¹i B vµ C ( d kh«ng ®i qua O; ®iÓm B n»m gi÷a A vµ C). Gäi H lµ trung ®iÓm cña BC. 1) Chøng minh: AM lµ tiÕp tuyÕn cña (O; R) vµ H thuộc đờng tròn đờng kính AO. 2) §êng th¼ng qua B vu«ng gãc víi OM c¾t MN ë D. Chøng minh r»ng: a) Gãc AHN = gãc BDN b) Đờng thẳng DH song song với đờng thẳng MC. c) HB + HD > CD ( Nam Định năm 2009 – 2010 ) Bài 111: Cho (O) đờng kính AB = 2R, C là trung điểm cña OA vµ d©y MN vu«ng gãc víi OA t¹i C. Gäi K lµ ®iÓm tuú ý trªn cung nhá BM, H lµ giao ®iÓm cña AK vµ MM .a,CMR: BCHK lµ tø gi¸c néi tiÕp. b.TÝnh AH.AK theo R. c.Xác định vị trí của điểm K để (KM+KN+KB) đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó . ( Hà Nội 2006 – 2007 ). m e c. d b. h. a. o. n. M. K. H A. C. B. O. N. Bài 112: Cho đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng d tại A. Trên d lấy điểm H không trùng với điểm A và AH < R. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với d, đường thẳng này cắt đường tròn tai hai điểm E và B ( E nằm giữa B và H ). 1/ Chứng minh và 2/ Lấy điểm C trên d sao cho H là trung điểm của đoạn thẳng AC, đường thẳng CE cắt AB tại K. Chứng minh AHEK là tứ giác nội tiếp. 3/ Xác định vị trí điểm H để . ( Hà Nội 2007 – 2008 ) Bài 113: Cho ®ưêng trßn (O; R) vµ A lµ mét ®iÓm n»m bªn ngoµi ®ưêng trßn. KÎ c¸c tiÕp tuyÕn AB, AC víi ®ưêng trßn (B, C lµ c¸c tiÕp ®iÓm). 1.Chøng minh ABOC lµ tø gi¸c néi tiÕp. 2.Gäi E lµ giao ®iÓm cña BC vµ OA. Chøng minh BE vu«ng gãc víi OA vµ OE.OA=R2. 3.Trªn cung nhá BC cña ®ưêng trßn (O; R) lÊy ®iÓm K bÊt k× (K kh¸c B vµ C). TiÕp tuyÕn t¹i K cña ®ưêng trßn (O; R) c¾t AB, AC theo thø tù t¹i c¸c ®iÓm P vµ Q. Chøng minh tam giác APQ có chu vi không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC. 4.§ưêng th¼ng qua O, vu«ng gãc víi OA c¾t c¸c ®ưêng th¼ng AB, AC theo thø tù t¹i c¸c ®iÓm M, N. Chøng minh PM+QN ≥ MN. ( Hà Nôi 2009 – 2010 ). Lª V¨n LÜnh. B. O. K E. d. H. A. M. B. C. P A. O Q N. C. 2.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> Chuyên đề tứ giác nội tiếp Bài 114: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Đường tròn đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F. Biết BF cắt CE tại H và AH cắt BC tại D. a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và AH vuông góc với BC. b) Chứng minh AE.AB = AF.AC. c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và K là trung điểm của BC. Tính tỉ số. OK BC. A F E H. D. B. C. K. khi tứ. giác BHOC nội tiếp. d) Cho HF = 3 cm, HB = 4 cm, CE = 8 cm và HC > HE. Tính HC ( Thành Phố Hồ Chí Minh 2007 – 2008 ) Bài 115: Cho tam gi¸c ABC (AB<AC) cã ba gãc nhän néi tiÕp ®ưêng trßn (O) cã t©m O, b¸n kÝnh R. Gäi H lµ giao ®iÓm cña ba ®ưêng cao AD, BE, CF cña tam gi¸c ABC. Gäi S lµ diÖn tÝch tam gi¸c ABC. a) Chóng minh r»ng AEHF vµ AEDB lµ c¸c tø gi¸c néi tiÕp ®ưêng trßn. b) VÏ ®ưêng kÝnh AK cña ®ưêng trßn (O). Chøng minh tam giác ABD và tam giác AKC đồng dạng với nhau. Suy AB.BC.CA 4R ra AB.AC = 2R.AD vµ S = . c) Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC. Chøng minh EFDM lµ tø gi¸c néi tiÕp ®ưêng trßn. d) Chøng minh r»ng OC vu«ng gãc víi DE vµ (DE + EF + FD).R = 2 S. ( Thành Phố Hồ Chí Minh 2009 – 2010 ). A. O F B. E. H. D. C. M K. Bài 116: Cho đường tròn (O) tròn đường kính AB = 2R. Lª V¨n LÜnh. 2.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> Chuyên đề tứ giác nội tiếp F. và điểm C thuộc đường tròn đó (C khác A, B). Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E, tia AC cắt tia BE tại điểm F.. I. E. C. 1) Chứng minh FCDE là tứ giác nội tiếp.. D. 2) Chứng minh DA.DE = DB.DC. 3) Chứng minh góc CFD = góc OCB Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE, chứng minh IC là tiếp tuyến của đường tròn (O).. A. B. O.  4) Cho biết DF = R, chứng minh tg AFB = 2. ( Hà Nội năm 2010 – 2011 ). Bài 117: Cho đường tròn tâm O đường kính AB=2R. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đường tròn (O) khác A và B. Các tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau tại E. Vẽ MP vuông góc với AB (P thuộc AB), vẽ MQ vuông góc với AE (Q thuộc AE). 1,Chứng minh rằng AEMO là tứ giác nội tiếp đường tròn và APMQ là hình chữ nhật. 2,Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh O, I, E thẳng hàng. 3,Gọi K là giao điểm của EB và MP. Chứng minh hai tam giác EAO và MPB đồng dạng. Suy ra K là trung điểm của MP. 4,Đặt AP = x. Tính MP theo R và x. Tìm vị trí của M trên (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn nhất. (Hồ Chí Minh năm 2010 – 2011 ) Bài upload.123doc.net: Cho hai đường tròn (C) tâm O, bán kính R và đường tròn (C') tâm O', bán kính R' (R > R') cắt nhau tại hai điểm A và B. Vẽ tiếp tuyến chung MN của hai đường tròn (M Î (C), N Î (C')). Đường thẳng AB cắt MN tại I (B nằm giữa A và I). 1,Chứng minh rằng góc BMN = góc MAB 2, Chứng minh rằng IN2 = IA.IB 3, Đường thẳng MA cắt đường thẳng NB tại Q; đường thẳng NA cắt đường thẳng MB tại P. Chứng minh rằng MN song song với QP. ( Đà nẵng năm 2010 - 2011 ) Bài 119: Cho hình vuông ABCD cạnh a, lấy điểm M bất kỳ trên cạnh BC (M khác B và C). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng DM tại H, kéo dài BH cắt đường thẳng DC tại K. 1, Chứng minh : BHCD là tứ giác nội tiếp. 2, Chứng minh : KM  DB. 3, Chứng minh KC.KD = KH.KB 4, Ký hiệu SABM, SDCM lần lượt là diện tích của tam giác ABM, DCM. Chứng minh tổng (SABM + SDCM) không đổi. 2 2 Xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC để ( S ABM  S DCM. E M. Q. K. I x. A. O. M. B. P. I. N A Q. P. C'. C B. A. B H M. D. K. C. ) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó theo a. ( Khánh Hoà năm 2010 - 2011 ). Lª V¨n LÜnh. 3.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> Chuyên đề tứ giác nội tiếp Bài 120: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC, đường cao AH. Đường tròn đường kính AH cắt AB ở P, cắt AC ở Q. 1,Chứng minh góc PHQ bằng 900. 2,Chứng minh tứ giác BPQC nội tiếp. 3,Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BH, HC. Tứ giác EPQF là hình gì ? 4,Tính diện tích tứ giác EPQF trong trường hợp tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC bằng a và góc ACB bằng 300.( Hải Phòng năm 2010 - 2011 ) Bài 121: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Điểm H cố định thuộc đoạn thẳng AO (H khác A và O). Đường thẳng đi qua điểm H và vuông góc với AO cắt nửa đường tròn (O) tại C. Trên cung BC lấy điểm D bất kỳ (D khác B và C). Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại D cắt đường thẳng HC tại E. Gọi I là giao điểm của AD và HC. 1,Chứng minh tứ giác HBDI nội tiếp đường tròn. 2,Chứng minh tam giác DEI là tam giác cân. 3, Gọi F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ICD. Chứng minh góc ABF có số đo không đổi khi D thay đổi trên cung BC (D khác B và C). ( Nghệ An năm 2010 - 2011 ) Bài 122: Cho đường tròn (O) bán kính R, đường thẳng d không qua O và cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Từ một điểm C trên d (C nằm ngoài đường tròn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đường tròn (M, N thuộc (O) ). Gọi H là trung điểm của AB, đường thẳng OH cắt tia CN tại K. 1,Chứng minh các tứ giác CHOM, COHN nội tiếp. 2,Chứng minh KN.KC = KH.KO. 3,Đoạn thẳng CO cắt đường tròn (O) tại I, chứng minh I cách đều CM, CN và MN. 4,Một đường thẳng đi qua O và song song với MN cắt các tia CM, CN lần lượt tại E và F. Xác định vị trí của C trên d sao cho diện tích tam giác CEF là nhỏ nhất. ( Hải Phòng năm 2010 - 2011 ) Bài 123: Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm ngoài sao cho OM=2R. Đường thẳng d qua M tiếp xúc với (O; R) tại A. Gọi N là giao điểm của đoạn thẳng MO với đường tròn(O; R) . 1,Tính độ dài đoạn thẳng AN theo R .Tính số đo của góc NAM. 2, Kẻ hai đường kính AB và CD khác nhau của (O;R). Các đường thẳng BC và BD cắt đường thẳng d lần lượt tại P và Q . a, Chứng minh tứ giác PQDC nội tiếp b, Chứng minh 3BQ  2 AQ  4 R. A Q. P B. E. C. F. H. E. C D I A. H. B. O. E. M. B H. A. O. I. C. N. K. F. Q. A. D. O. N. M P. B. C. ( Nam Định năm 2010 - 2011 ). Lª V¨n LÜnh. 3.

<span class='text_page_counter'>(32)</span> Chuyên đề tứ giác nội tiếp Bài 124: Cho tam giác ABC vuông tại A, Kẻ đường cao AH và phân giác BE của góc ABC (H thuộc BC, E thuộc AC), Kẻ AD vuông góc với BE (D thuộc BE). 1,Chứng minh rằng tứ giác ADHB là tứ giác nội tiếp, xác định tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADHB (gọi là đường tròn (O)). · · = HBD 2,Chứng minh EAD và OD song song với HB. 0 · 3, Cho biết số đo góc ABC = 60 và AB = a (a > 0 cho trước). Tính theo a diện tích phần tam giác ABC nằm ngoài đường tron (O). ( Quảng Trị năm 2010 - 2011 ) Bài 125: Cho hình vuông ABCD, điểm M thuộc cạnh BC (M ¹B và M ¹ C). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với tia DM cắt các đường thẳng DM, DC theo thứ tự tại E và F. 1,Chứng minh các tứ giác: ABED và BDCE nội tiếp đường tròn. 2,Tính góc CEF. 3,Đường thẳng AM cắt đường thẳng DC tại N. Chứng 1 1 1 2 2 2 minh đẳng thức: AD = AM + AN . ( Hà Tĩnh năm 2010 - 2011 ) 0  Bài 126: Cho tam giác ABC ( AC>AB; BAC  90 ), I, K theo thứ tự là các trung điểm của AB, AC. Các đường tròn đường kính AB, AC cắt nhau tại điểm thứ hai D; tia BA cắt đường tròn ( K) tại điểm thứ hai E; tia CA cắt đường tròn tâm (I) tại điểm thứ F. a.Chứng minh B, C, D thẳng hàng b.Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp. c.Chứng minh AD, BF, CE đồng quy. d.Gọi H là giao điểm thứ hai của tia DF với đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF. Hãy so sánh độ dài DH và DE. ( Hưng Yên năm 2010 - 2011 ) Bài 127: Cho (O) đường kính AB .Vẽ bán kính OC vuông góc với AB.Gọi K là điểm nằm giữa B và C.Tia AK cắt đường tròn (O) ở M 1,Tính các góc ACB , AMC. 2,Vẽ CI vuông góc AM (Î AM ) . Chứng minh AOIC là tứ giác nội tiếp. 3,Chứng minh hệ thức : AI.AK = AO .AB 4,Nếu K là trung điểm của CB.Tính tgMAB. ( Quảng Nam năm 2010 - 2011 ) Bài 128: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Kẻ các đường cao BB` và CC` (B` Î cạnh AC, C` Î cạnh AB). Đường thẳng B`C` cắt đường tròn tâm O tại hai điểm M và N ( theo thứ tự N, C`, B`, M). a) Chứng minh tứ giác BC`B`C là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh AM = AN. c) AM2 = AC`.AB ( Bình Định năm 2010 - 2011 ). Lª V¨n LÜnh. A E D B. C. H. H F. E A. I. K. B. C. D. C K. M. I A. B. O. A. N. C'. M B' O. B. C. 3.

<span class='text_page_counter'>(33)</span> Chuyên đề tứ giác nội tiếp Bài 129: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của AC. Đường tròn đường kính CM cắt BC ở điểm thứ hai là N. BM kéo dài gặp đường tròn tại D. 1) Chứng minh 4 điểm B, A, D, C nằm trên một đtròn. 2) Chứng minh MN.BC = AB.MC 3) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại M của đtròn đường kính MC đi qua tâm của đtròn ngoại tiếp tứ giác BADC.. A D M. B. C. N. ( Lào Cai năm 2010 - 2011 ) Bài 130: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn. By thay đổi cắt nửa đường tròn O tại điểm C. Tia phân giác của góc ABy lần lượt cắt nửa đường tròn O tại D, cắt Ax tại E, cắt AC tại F. Tia AD và BC cắt nhau tại H. 1. Chứng minh tứ giác DHCF nội tiếp. 2. Chứng minh tứ giác AEHF là hình thoi. 3. Tìm vị trí điểm C để diện tích tam giác AHB lớn nhất. ( Bắc Giang năm 2010 - 2011 )   Bài 131: Cho đường tròn (O,R) và đường thẳng không qua O cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Từ một điểm M trên ( Δ ) ( M nằm ngoài đường tròn tâm O và A nằm giữa B và M ), vẽ hai tiếp tuyến MC, MD của đường tròn (O) . (C, D Î (O) ) Gọi I là trung điểm của AB, tia IO cắt MD tại K . a) Chứng minh năm điểm M, C, I, O, D cùng thuộc một đường tròn . b) Chứng minh : KD. KM = KO .KI c) Một đường thẳng đi qua O và song song với CD cắt các tia MC và MD lần lượt tại E và F . xác định vị trí của M trên ( Δ ) sao cho diện tích Δ MEF đạt giá trị nhỏ nhất . ( Phú Yên năm 2010 - 2011 ) Bài 132: Cho tam giác ABC vuông tại A, tia Cx nằm  O có tâm O giữa hai tia CA và CB. Vẽ đường tròn thuộc AB, tiếp xúc với CB tại M, tiếp xúc với Cx tại N. Gọi E là giao điểm của AM và CO. Chứng minh rằng: 1) Tứ giác ONAC nội tiếp được trong một đường tròn. 2) EA.EM=EC.EO. 3) Tia AO là phân giác của góc MAN . ( An Giang năm 2010 - 2011 ). Lª V¨n LÜnh. H C D. E. F B. O. A E. C. B I. A. M. O. D F K. N. A. O E B. C. M. 3.

<span class='text_page_counter'>(34)</span> Chuyên đề tứ giác nội tiếp Bài 133: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Trên tiếp tuyến Ax của đường tròn, lấy điểm M sao cho AM = 2R. Vẽ tiếp tuyến MC đến đường tròn. (C là tiếp điểm) 1,Chứng minh: BC // MO. 2. Giả sử đường thẳng MO cắt AC ở I. Tính đoạn MC và AI theo R. 3. Giả sử đường thẳng MB cắt đường tròn tại N (khác B). Chứng minh tứ giác MNIA nội tiếp được đường tròn. ( Đồng Nai năm 2010 - 2011 ). Bài 134: Cho tam giác PQR có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O,các đường cao QM,RN của tam giác cắt nhau t ại H. 1.Ch ứng minh t ứ gi ác QRMN là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn. 2. Kéo dài PO cắt đường tròn O tại K.Chứng minh tứ giác QHRK là hình bình hành. 3. Cho cạnh QR cố định, P thay đổi trên cung lớn QR sao cho tam giác PQR luôn nhọn.Xác định vị trí điểm P để diện tích tam giác QRH lớn nhất. ( Thanh Hoá năm 2010 - 2011 ). M. N. C. I A. B. O. P M N. H O R. Q. K. Bài 135: Một hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn Tâm O bán kính R . Một điểm M di động trên cung ABC , M không trùng với A,B và C, MD cắt AC tại H. 1, Chứng minh tứ giác MBOH nội tiếp được trong đường tròn và DH.DM = 2R2 . 2, Chứng minh tam giác MDC đồng dạng với tam giác MAH . 3,Hai tam giác MDC và MAH bằng nhau khi M ở một vị trí đặc biệt M’. Xác định điểm M’. Khi đó M’D cắt AC tại H’. Đường thẳng qua M’ và vuông góc với AC cắt AC tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của H’C . ( Bình Dương năm 2010 - 2011 ) Bài 136: Cho đường tròn tâm O, bán kính R = 3 và A là điểm nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 5. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn tâm O (B, C là các tiếp điểm). a) Chứng minh OA  BC b) Đường thẳng CO cắt đường tròn (O) tại D. Chứng minh BD // AO c) Tính chu vi tam giác ABC ( Vĩnh Long năm 2010 - 2011 ). B. A. O. M H I. D. C. B. D. A. O. C. Lª V¨n LÜnh. 3.

<span class='text_page_counter'>(35)</span> Chuyên đề tứ giác nội tiếp Bài 137: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại H. Vẽ đường kính BM của đường tròn tâm O 1,Chứng minh tứ giác EHDB là tứ giác nội tiếp. 2,Chứng minh tứ giác AHCM là hình bình hành. 3,Cho số đo góc ABC bằng 600. Chứng minh BH = BO. ( Ninh Bình năm 2010 - 2011 ). A E. H M O. B. A. Bài 138: Cho tam giác đều ABC có đường cao AH (H thuộc BC). Trên cạnh BC lấy điểm M ( M không trùng với B , C, H). Gọi P và Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên hai cạnh AB và AC. a) Chứng minh rằng 5 điểm A, P, H, M, Q cùng nằm trên một đường tròn tâm O. b) Chứng minh rằng tam giác OHQ đều. Từ đó hãy suy ra OH vuông góc với PQ. c) Chứng minh rằng MP + MQ = AH. ( Lạng Sơn năm 2010 - 2011 ). O Q P B. Bài 139: Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB>AC) Trên cạnh AC lấy điểm M (khác A và C). Đường tròn đường kính MC cắt BC tại E và cắt đường thẳng BM tại D ( E khác C ; D khác M). 1) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp.   2) Chứng minh ABD MED 3) Đường thẳng AD cắt đường tròn đường kính MC tại N ( N khác D). Đường thẳng MD cắt CN tại K, MN cắt CD tại H. Chứng minh KH song song với NE. ( Vũng Tàu năm 2010 - 2011 ). C. D. M. C. H. K A D. M. H. N. B E. C. Bài 140: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn .Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB; AC tại D và E .Gọi H là giao điểm của BE và CD . 1, Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp được đường tròn . 2, Gọi I là trung điểm của AH .Chứng minh IO vuông góc với DE. 3, Chứng minh AD.AB=AE.AC. ( Phú Thọ năm 2010 - 2011 ). A. D. I. E H. B. Lª V¨n LÜnh. C. 3.

<span class='text_page_counter'>(36)</span> Chuyên đề tứ giác nội tiếp Bài 141: Cho nửa đường tròn có tâm O và đường kính AB. Gọi M là điểm chính giữa của cung AB, P là điểm thuộc cung MB (P không trùng với M và B); đường thẳng AP cắt đường thẳng OM tại C, đường thẳng OM cắt đường thẳng BP tại D. 1, Chứng minh OBPC là một tứ giác nội tiếp. 2, Chứng minh hai tam giác BDO và CAO đồng dạng. 3, Tiếp tuyến của nửa đường tròn ở P cắt CD tại I. Chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng CD. ( Đắc Lắc năm 2010 - 2011 ). D. I M C. A. Lª V¨n LÜnh. P. O. B. 3.

<span class='text_page_counter'>(37)</span>