Một nghiên cứu về dạng toán đếm hình hình học ở tiểu học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Võ Thị Ái Trinh

MỘT NGHIÊN CỨU VỀ DẠNG TỐN
ĐẾM HÌNH HÌNH HỌC Ở TIỂU HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Võ Thị Ái Trinh

MỘT NGHIÊN CỨU VỀ DẠNG TỐN
ĐẾM HÌNH HÌNH HỌC Ở TIỂU HỌC
Chun ngành: Giáo dục học (Giáo dục tiểu học)
Mã số:
60 14 01 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. DƯƠNG MINH THÀNH

Thành phố Hồ Chí Minh – 2017

LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi, được xuất phát từ yêu
cầu trong cơng việc để hình thành hướng nghiên cứu.
Các số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực, có nguồn gốc
rõ ràng, được thu thập trong q trình nghiên cứu và khơng trùng lặp với các đề tài
khác.
Người viết
Võ Thị Aí Trinh


LỜI CẢM ƠN
Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS. Dương Minh Thành, giảng
viên Khoa Giáo dục Tiểu học, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh.
Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy vì những hướng dẫn và nhận xét quý
báu của Thầy trong suốt quá trình nghiên cứu.
Em cũng xin cảm ơn các Thầy Cơ, Cán bộ thuộc phịng Sau Đại học, Trường
Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã hỗ trợ, tạo điều kiện cho em học tập và
nghiên cứu tại Trường.
Cuối cùng, xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu các trường tiểu học đã
giúp đỡ, tạo điều kiện cho em thực hiện một số khảo sát tại trường trong suốt quá trình
làm nghiên cứu.


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các bảng

Danh mục các hình
MỞ ĐẦU ...................................................................................................................... 1
Chương 1. CƠ SỞ LÍ THUYẾT CHUNG VÀ ĐẶC ĐIỂM TÂM LÍ LỨA TUỔI
TIỂU HỌC …………………………………………………...................9
1.1. Sơ lược về chương trình tốn tiểu học và chủ đề bài tốn đếm hình hình học
ở tiểu học .............................................................................................................. 9
1.1.1. Chương trình tốn tiểu học................................................................................... 9
1.1.2. Chủ đề hình học ở tiểu học................................................................................. 10
1.2. Các cấp độ tư duy hình học của Van Hiele và khái niệm về những sai lầm
của học sinh ............................................................................................................................ 10
1.2.1. Các cấp độ tư duy hình học của Van Hiele ...................................................... 20
1.2.2. Khái niệm về những sai lầm của học sinh........................................................ 20
1.3. Một số đặc điểm tâm lý lứa tuổi tiểu học ........................................................... 20
1.3.1. Tri giác .................................................................................................................. 20
1.3.2. Trí nhớ và sự phát triển nhận thức của học sinh tiểu học ............................... 20
1.3.3. Tư duy ................................................................................................................... 21
1.3.4. Tưởng tượng ........................................................................................................ 22
1.3.5. Nhân cách ............................................................................................................. 22
1.3.6. Ngôn ngữ .............................................................................................................. 23
Kết luận chương 1 ..................................................................................................... 25
Chương 2. HỆ THỐNG HĨA CÁC DẠNG TỐN ĐẾM HÌNH HÌNH HỌC Ở
TIỂU HỌC................................................................................................ 26


2.1. Hệ thống các dạng tốn đếm hình hình học trong chương trình sách giáo
khoa hiện hành trong nước (2006)...................................................................... 26
2.2. Hệ thống các dạng tốn đếm hình hình học trong một số sách tham khảo
trong nước mà hiện nay một số trường tiểu học đang sử dụng trong quá
trình ra đề kiểm tra định kì ................................................................................. 29
2.3. Hệ thống các dạng tốn hình học trong một số sách Tốn Tiểu học ở nước

ngồi ................................................................................................................... 34
2.3.1. Bộ sách Tốn Tiểu học của Singapore ............................................................. 34
2.3.2. Bộ sách toán tiểu học của Cambridge Primary Mathematics (Anh) ............. 36
2.3.3. Bộ sách toán tiểu học của Nhà xuất bản Oxford University (Mỹ) ............... 40
2.3.4. Bộ sách toán tiểu học của Nhà xuất bản Macmillan (Malaysia) ................... 41
2.3.5. Một số bài tập toán của bộ sách Cambridge (Anh) có liên quan đến
dạng tốn nhận diện hình và đếm hình ............................................................. 42
Kết luận chương 2 ..................................................................................................... 45
Chương 3. THỰC TIỄN DẠY VÀ HỌC BÀI TOÁN ĐẾM HÌNH HÌNH HỌC VÀ
NHỮNG KHĨ KHĂN CỦA HỌC SINH ............................................. 46
3.1. Thực tiễn dạy và học bài toán đếm hình hình học ở chương trình tốn tiểu
học nước ta hiện nay .................................................................................... 46
3.1.1. Thực tiễn việc dạy bài toán đếm hình hình học ............................................... 46
3.1.2. Thực tiễn việc học và làm bài tốn đếm hình hình học .................................. 57
3.2. Nguyên nhân dẫn đến những sai lầm ................................................................. 61
3.2.1. Khó khăn do nguồn tri thức ............................................................................... 62
3.2.2. Khó khăn từ cách hướng dẫn của giáo viên ..................................................... 63
3.2.3. Khó khăn từ phía học sinh.................................................................................. 63
Kết luận chương 3.................................................................................................... 65
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ..................................................................................... 66
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................... 68
PHỤ LỤC


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1.

Chương trình hình học ở tiểu học nước ta hiện nay ................................ 11

Bảng 2.1.

Hệ thống bài tập dạng đếm hình hình học lồng ghép vào nhau trong
chương trình Sách giáo khoa hiện hành. ................................................. 26

Bảng 2.2.

Hệ thống bài tập dạng đếm hình hình học lồng ghép vào nhau trong
một số sách tham khảo trong nước .......................................................... 29

Bảng 2.3.

Hệ thống chủ đề hình học trong chương trình Toán Tiểu học của
Singapore. ................................................................................................ 34

Bảng 2.4.

Hệ thống chủ đề hình học trong chương trình Tốn Cambridge
(Anh). ....................................................................................................... 36

Bảng 2.5.

Hệ thống chủ đề hình học trong chương trình Tốn tiểu học của
Nhà xuất bản Oxford University (Mỹ) .................................................... 40

Bảng 2.6.

Hệ thống chủ đề hình học trong chương trình tốn tiểu học của Nhà
xuất bản Macmillan (Malaysia) ............................................................... 41

Bảng 3.1.

Nhận định của giáo viên về mức độ khó - dễ khi dạy học sinh nhận
diện các hình tam giác, tứ giác riêng lẻ. .................................................. 46

Bảng 3.2.

Thống kê việc giáo viên lấy hình tam giác ngồi sách giáo khoa để
giới thiệu cho học sinh. ............................................................................ 46

Bảng 3.3.

Thống kê các kiểu hình tam giác, tứ giác giáo viên giới thiệu cho
học sinh .................................................................................................... 47

Bảng 3.4.

Thống kê các phương pháp giáo viên đang hướng dẫn học sinh đếm
các hình lồng ghép vào nhau. .................................................................. 47

Bảng 3.5.

Thống kê nguồn gốc các phương pháp giáo viên đang hướng dẫn
học sinh đếm các hình lồng ghép vào nhau. ............................................ 48

Bảng 3.6.

Thống kê cách giải quyết tình huống bài tập 6 của giáo viên ................. 48

Bảng 3.7.

Thống kê nhận định của giáo viên về mục đích của bài tốn đếm
hình. ......................................................................................................... 49

Bảng 3.8.

Thống kê việc giáo viên ra bài tốn đếm hình trong các kì kiểm tra. ..... 49

Bảng 3.9.

Thống kê khả năng nhận diện các hình tam giác, tứ giác riêng lẻ. ......... 58


Bảng 3.10.

Thống kê khả năng nhận diện các hình tam giác, tứ giác lồng ghép
vào nhau theo kiểu tăng dần độ phức tạp của các hình đồng dạng. ........ 60

Bảng 3.11.

Thống kê các kiểu hình tam giác, tứ giác mà học sinh được học. ........... 61

Bảng 3.12.

Thống kê khái niệm về hình tam giác, tứ giác mà học sinh được
học............................................................................................................ 62


DANH MỤC CÁC HÌNH
Hình 1.1. Hình tam giác học sinh được giới thiệu trong bài Hình tam giác - Lớp 1 .. 13
Hình1. 2. Hình tứ giác học sinh được giới thiệu trong bài Hình tứ giác - Lớp 2 ........ 13

Hình1.3. Một bài tốn đếm hình lồng ghép vào nhau trong Sách giáo khoa, Lớp
2, bài Ôn tập về phép cộng và phép trừ. ...................................................... 14
Hình1.4. Một bài tốn đếm hình lồng ghép vào nhau trong sách Tốn phát triển
trí thơng minh lớp 2-Nguyễn Đức Tấn-NXB Thành phố Hồ Chí Minh ...... 14
Hình1.5. Bài tốn đếm hình lồng ghép vào nhau trong đề Khảo sát học sinh lớp
3, năm học 2016 – 2017 của Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố Hồ Chí
Minh. ............................................................................................................ 14
Hình 1.6. Hình vng và hình thoi............................................................................... 15
Hình 2.1. Bài tốn liên quan đến dạng tốn đếm hình của chương trình
Cambridge .................................................................................................... 42
Hình 2.2. Bài tốn liên quan đến dạng tốn đếm hình của chương trình
Cambridge .................................................................................................... 42
Hình 2.3. Bài tốn liên quan đến dạng tốn đếm hình của chương trình
Cambridge .................................................................................................... 43
Hình 2.4. Bài tốn liên quan đến dạng tốn đếm hình của chương trình
Cambridge .................................................................................................... 43
Hình 2.5. Bài tốn liên quan đến dạng tốn đếm hình của chương trình
Cambridge .................................................................................................... 44
Hình 3.1. Biểu đồ thể hiện mức độ sai tăng dần theo độ phức tạp của các hình
đồng dạng ..................................................................................................... 60


1

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Ở bậc Tiểu học hiện nay, mơn Tốn được đánh giá là một mơn học quan trọng và
chiếm thời lượng đáng kể trong phân bố của chương trình. Mơn Tốn được chia thành
nhiều chủ đề khác nhau như số học, hình học, tốn có lời văn, đại lượng và đo đại
lượng, thống kê và các yếu tố đại số, trong đó chủ đề hình học là chủ đề được dạy

xuyên suốt từ lớp 1 cho đến lớp 5. Tuy nội dung kiến thức hình học ở chương trình
tiểu học hiện nay chỉ dừng lại ở việc giới thiệu những khái niệm hình học cơ bản như
điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, nhận diện một số hình hình học đơn giản như tam
giác, tứ giác, hình chữ nhật, … kèm với cách tính chu vi, diện tích, thể tích các hình
nhưng đây là một trong những chủ đề hay và hấp dẫn đối với học sinh tiểu học. Học
sinh dễ dàng nhận diện được các hình hình học, biết phân loại chúng, biết áp dụng
cơng thức để tính tốn những yếu tố của những hình đó. Tuy nhiên vẫn tồn tại một số
mảng kiến thức hoặc dạng bài tập hình học gây nhiều khó khăn cho học sinh, trong số
đó có dạng bài tập đếm các hình hình học tách rời hoặc lồng ghép vào nhau (tam giác,
tứ giác, …) ở các lớp đầu cấp tiểu học.
Ở những lớp đầu cấp tiểu học, bài toán đếm hình trong mảng hình học được đưa
vào như là một dạng bài tập nhằm rèn luyện kĩ năng nhận diện hình. Sau đó giáo viên
phát triển dạng bài tập này dưới dạng nâng cao bằng cách yêu cầu học sinh đếm số
đoạn thẳng, hình tam giác, tứ giác lồng ghép vào nhau có trong hình vẽ cho trước;
hoặc cho trước một hình, yêu cầu học sinh vẽ thêm các đoạn thẳng để được một số
hình mới. Do đó có thể xem bài tốn đếm hình như là một dạng tốn kết hợp giữa hình
học và số học nhưng ở mức độ phức tạp: kết hợp đơn lẻ hoặc lồng ghép trên các đối
tượng trừu tượng. Dẫn tới để làm được bài tốn đếm hình, học sinh cần có kĩ năng
nhận diện được hình trong các tình huống khác nhau, kể cả tình huống phải tưởng
tượng do các hình đang ở trong tư thế lồng ghép chứ không phải nằm đơn lẻ. Thực tế
dạy học cũng như từ trao đổi với nhiều giáo viên, chúng tôi nhận thấy rằng, học sinh
gặp khơng ít khó khăn đối với bài tốn đếm hình, kể cả học sinh ở trình độ khá, giỏi.


2

Yêu cầu của giáo viên đối với dạng toán này là các em phải đếm đúng, đủ, gọi tên
đúng các hình hình học được ghép với nhau trong cùng một hình. Trong khi đó, trong
q trình giảng dạy các hình hình học, giáo viên chỉ giới thiệu chúng một cách đơn lẻ,
cụ thể và trong một thời lượng ngắn. Thực tế dạy học cũng cho thấy, ở bậc tiểu học,

không ít giáo viên xem nhẹ việc dạy các yếu tố hình học, đặc biệt là vấn đề nhận diện
hình trong các tình huống khác nhau. Đơn cử giáo viên chỉ chú trọng vào việc dạy các
hình mẫu như trong sách giáo khoa mà không để ý đến việc dạy những kiểu hình khác
của cùng một dạng hình. Giáo viên chỉ tập trung vào việc dạy những hình được vẽ trên
bảng chứ không chú ý nhiều đến việc đề cập những hình đó được xuất hiện trong thực
tế ở đâu. Ngồi ra so với các mảng kiến thức khác như tính độ dài, chu vi, diện tích,
thể tích các hình, …thì bài tốn đếm hình rất ít được giáo viên dành nhiều thời gian,
học sinh thường phải tự làm chứ không được cung cấp một quy tắc đếm hoặc một quy
tắc để kiểm tra kết quả đếm được. Có thể giáo viên ngầm hiểu rằng nếu học sinh nhận
diện được hình, biết đếm thì có thể tự đếm được hình. Từ đó, dẫn đến việc học sinh
thường bị lúng túng khi gặp dạng tốn này, chẳng hạn các em bỏ sót hình khi đếm, viết
nhầm tên các hình hoặc một hình được đếm lặp nhiều lần. Thậm chí học sinh có thể
đếm được tồn bộ các hình nhưng khơng chắc chắn về kết quả đó.
Theo quan sát và hiểu biết của chúng tôi, mặc dù học sinh đã và đang gặp khó
khăn khi giải quyết các bài tốn đếm hình, nhất là dạng bài tập đếm các hình lồng ghép
vào nhau nhưng cho đến nay vẫn chưa có một nghiên cứu nào về những khó khăn đó
cũng như đề xuất cách thức hỗ trợ giáo viên giảng dạy và những biện pháp giúp đỡ
học sinh.
Vậy việc đưa bài tốn đếm hình vào chương trình tốn tiểu học nhằm mục tiêu
nào? Mức độ như thế nào được coi là phù hợp và cần thiết với học sinh tiểu học?
Việc tìm kiếm câu trả lời cho những câu hỏi trên đưa chúng tôi đến với đề tài
“Một nghiên cứu về dạng toán đếm hình hình học ở tiểu học”
2. Lịch sử nghiên cứu vấn đề
Có nhiều dạng bài tập về tốn đếm hình được giáo viên lựa chọn khi giảng dạy
trong chương trình toán ở tiểu học. Thực tế dạy học cho thấy đa số các dạng bài tập


3

đếm hình đều ít nhiều gây khó khăn cho học sinh. Việc nghiên cứu vấn đề dạy học về

bài toán đếm hình ở Tiểu học đã được quan tâm nhiều trong thời gian gần đây.
Năm 1998 tác giả Kate Kline cho xuất bản cuốn sách “Teaching Children
Mathematics” [11], trong đó bao gồm một số các bài tập đếm các hình rời rạc riêng lẻ,
mục đích giúp các em học sinh rèn luyện trí nhớ tốt. Bài tập chủ yếu dành cho trẻ Mẫu
giáo và lớp Một, và chưa thấy xuất hiện bài tốn đếm các hình lồng ghép vào nhau.
Trong bộ sách “Counting Activities to Try with Primary Students” của tác giả
Lynsey Gibbons và Kendra Lomax, xuất bản năm 2015 nói rằng để hỗ trợ trẻ trong
việc phát triển những ý tưởng đếm tốt nhất là bằng cách cung cấp nhiều cơ hội cho học
sinh đếm các đồ vật. Đây là một hoạt động đếm có cấu trúc, trong đó trẻ em làm việc
với một đối tác để đếm có bao nhiêu đồ vật trong một bộ sưu tập nào đó và sau đó ghi
lại con số đã đếm được của các em trên giấy. Bằng cách làm việc cùng nhau, học sinh
phát triển được những kỹ năng xã hội về cách đếm, cũng như tự tìm ra các chiến lược
toán học để rèn luyện kỹ năng như theo dõi, học tập các chuỗi đếm. Đếm là một cơ hội
tuyệt vời cho trẻ phát triển ý thức về số lượng và mở rộng hiểu biết của trẻ về dãy số.
Khi trẻ có được kinh nghiệm từ việc đếm các đồ vật trong các bộ sưu tập ngày càng
lớn hơn, các em có thể khám phá làm thế nào để việc đếm trở nên hiệu quả hơn, chẳng
hạn như đếm các nhóm hạng mục, sắp xếp các mục trong hàng và cột. Độc giả có thể
xem thêm ở Đếm bộ sưu tập (Schwerdtfeger và Chan, 2007) để biết thêm cách mô tả
các hoạt động, bao gồm cả hình ảnh và hoạt động của học sinh. Nhìn chung ý tưởng
của các tác giả là tập cho học sinh cách đếm các đồ vật giống nhau cùng nằm trong
một bộ sưu tập để hình thành kĩ năng đếm theo hàng, theo cột, theo dãy những đồ vật
hay hình ảnh được lặp lại đó. Tuy nhiên trong các tài liệu vẫn khơng có bất cứ một bài
nào về dạng bài tập đếm các hình lồng ghép vào nhau.
Ở Việt Nam, trong một sáng kiến kinh nghiệm của trường tiểu học Nguyễn Văn
Cừ trong năm 2011 có tên Phương pháp dạy học dạng tốn đếm hình cho học sinh
tiểu học, bên cạnh những phương pháp được đề xuất, tác giả Nguyễn Văn Hướng có
nói đến thực trạng một số khó khăn của học sinh tiểu học khi học dạng tốn đếm các
hình lồng vào nhau. Với những kinh nghiệm giảng dạy qua nhiều năm và tham khảo
thêm ý kiến của các giáo viên khác, tác giả cũng đã đưa ra được một số khó khăn

4

chung của giáo viên và học sinh khi học dạng tốn này. Tuy nhiên khó khăn mà tác
giả đưa ra chỉ mang tính dự đốn ban đầu, chưa được mổ xẻ và phân tích sâu sắc để
có cái nhìn tổng quát hơn về vấn đề cũng như tìm ra được hướng giải quyết triệt để
những khó khăn đó.
Năm 2012, tác giả Nguyễn Dũng có chia sẻ bài viết “Lớp 1-một số bài tốn đếm
hình tam giác” trong đó đề cập đến bài tốn đếm hình. Bắt nguồn từ những khó khăn
của học sinh khi giải quyết bài toán này trong thực tế giảng dạy, tác giả đã đưa ra một
số bài tốn đếm các hình tam giác lồng vào nhau. Mục đích là giúp các bé luyện tập
nhiều hơn về dạng tốn này. Vì thực ra đây cũng là khó khăn chung của nhiều học sinh
tiểu học ở nước ta hiện nay.
Theo ý kiến chia sẻ của một số giáo viên tiểu học, họ cho rằng trẻ em lớp đầu cấp
tiểu học chỉ nhận diện được các hình riêng lẻ, đơn giản. Các em chưa đủ khả năng tư
duy để phân tích và đếm đủ các hình lồng ghép vào nhau như các bài tập mà hiện tại
các em vẫn đang học.
Năm 2015, trên phương tiện thông tin đại chúng cũng có đăng một bài viết nói về
sự tranh cãi của nhiều người về tính phù hợp với lứa tuổi của các bài tốn đếm hình
trong chương trình tiểu học hiện nay. Tuy nhiên, cho đến thời điểm này vẫn chưa có
một nghiên cứu chính thức về bài tốn đếm hình, đặc biệt là đếm các hình lồng ghép
vào nhau và mức độ khó khăn của học sinh khi giải quyết bài tốn này.
3. Mục đích nghiên cứu
Việc nghiên cứu đề tài này nhằm mục đích giúp chúng ta nhìn bài tốn đếm hình
hình học ở góc độ hệ thống cũng như thấy được những khó khăn mà học sinh đang gặp
phải, qua đó tìm ra hướng giải quyết kịp thời cho vấn đề này. Cần thiết thì có thể xem
xét, cân nhắc kĩ khi lựa chọn đưa dạng toán này vào chương trình tốn ở tiểu học.
4. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu nghiên cứu của đề tài bao gồm:
- Đánh giá lại toàn bộ chủ đề liên quan đến bài tốn đếm hình ở bậc tiểu học

được giảng dạy trong sách giáo khoa toán tiểu học cũng như sự xuất hiện của
bài toán này trong các đề kiểm tra. Đồng thời tham khảo một số sách tham khảo
để hiểu biết thêm về cách giảng dạy bài tốn đếm hình ở tiểu học.


5

- Tiến hành tìm hiểu, phân tích một số sai lầm của học sinh tiểu học trong khi giải
bài toán đếm hình
- Khảo sát giáo viên về bài tốn đếm hình.
- Thu thập những dạng bài đếm hình khác khơng có trong chương trình trong đó
chú ý những bài phù hợp với trình độ của học sinh tiểu học.
- Hệ thống hóa các dạng bài tập đếm hình ở tiểu học theo các dạng bài tập khác
nhau dựa theo những tiêu chí nào đó.
- Khảo sát trên đối tượng học sinh về bài tốn đếm hình để phát hiện những sai
lầm, khó khăn của các em.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
Để thực hiện các mục tiêu nghiên cứu đề ra, chúng tôi tiến hành các công việc
nghiên cứu cụ thể như sau:
- Xem xét, thảo luận về những điều kiện thuận lợi và khó khăn khi tiến hành đề
tài này, dự tính cách thức và các bước tiến hành, đưa ra những kết quả dự kiến
để xem xét tính khả thi của đề tài.
- Sưu tầm, thu thập các tài liệu phục vụ cho cơng việc nghiên cứu, trong đó cần
có các tài liệu quan trọng: chương trình tốn ở bậc tiểu học, sách giáo khoa toán
tiểu học, chuẩn kiến thức-kĩ năng dành cho học sinh tiểu học, sách giáo viên,
những bài báo nói về những khó khăn của học sinh khi học dạng tốn đếm hình
ở tiểu học, sách tham khảo các bài tập đếm hình ở tiểu học.
- Nghiên cứu cơ sở lí luận của việc giảng dạy tốn ở tiểu học, tập trung vào dạy
học chủ đề bài tốn đếm hình trong mảng hình học, tham khảo một số quan
điểm ở nước ngoài về chủ đề này để mở rộng vấn đề. Ngoài ra phải tham khảo

thêm sách giáo khoa và một số sách tham khảo toán tiểu học.
- Tiến hành tìm hiểu một số cách thức tiến hành dạy bài tốn đếm hình ở thực tế
trường tiểu học, trao đổi, phỏng vấn, dự giờ một số giáo viên tiểu học để tìm
hiểu những khó khăn cũng như sai lầm của học sinh khi gặp dạng toán này. Chú
ý những kinh nghiệm giảng dạy và hỗ trợ học sinh của giáo viên.
- Tìm hiểu các cách thức, quy tắc hành động và phương pháp tư duy mà học sinh
đã sử dụng để tìm ra kết quả.


6

- Nếu điều kiện thực tế cho phép, tiến hành dạy thử và đánh giá kết quả giảng
dạy ở một khía cạnh nào đó.
6. Đối tượng và khách thể nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: cách dạy bài tốn đếm hình trong chương trình tốn tiểu
học.
Khách thể nghiên cứu: q trình giảng dạy toán ở trường tiểu học.
7. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu
- Giới hạn nghiên cứu: khó khăn của học sinh ở trường tiểu học là một chủ đề
rộng, bao hàm nhiều nội dung và liên tục thay đổi, phát triển. Để tìm hiểu một số khó
khăn cho một chủ đề nào đó cần phải nghiên cứu, thử nghiệm qua nhiều đợt, nhiều
thời điểm, trên nhiều đối tượng khác nhau. Trong đề tài này chúng tôi tiếp cận chủ đề
bài tốn đếm hình ở khía cạnh phân tích sự xuất hiện của chủ đề này trong chương
trình tốn ở tiểu học, sau đó hệ thống hóa các dạng bài tập và phân tích một số khó
khăn của học sinh đã và đang gặp phải. Mục đích của việc hệ thống và phân tích
những khó khăn như vậy là để tìm ra hướng giải quyết và cách thức hỗ trợ cho những
khó khăn của học sinh.
- Phạm vi nghiên cứu: chúng tơi khảo sát tồn bộ chương trình sách giáo khoa
toán tiểu học về chủ đề bài toán đếm hình tam giác và tứ giác. Quan sát, phỏng vấn,
sưu tầm và ghi lại những hoạt động dạy và học của giáo viên và học sinh.

8. Giả thuyết nghiên cứu
Chúng tơi cho rằng học sinh sẽ gặp nhiều khó khăn khi giải quyết bài tốn đếm
hình, đặc biệt là ở các bài tốn ứng với mức độ các hình lồng ghép nhau. Chúng tơi
cũng giả định rằng rất khó có thể hướng dẫn học sinh quy tắc đếm trong trường hợp
hình lồng ghép nhau. Do đó có khả năng mức độ lồng ghép các hình trong bài tốn
đếm hình là không phù hợp với học sinh tiểu học.
9. Phương pháp nghiên cứu
Chúng tơi thu thập, đọc, phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa các dạng bài tốn về
đếm hình nói chung và đếm hình ở tiểu học nói riêng. Ngồi ra chúng tơi tìm hiểu


7

thêm về tâm lý của lứa tuổi bậc tiểu học để làm cơ sở cho những lý giải về mức độ phù
hợp của từng dạng bài toán đối với học sinh tiểu học. Các tài liệu bao gồm: chương
trình tốn bậc tiểu học, sách giáo khoa toán bậc tiểu học, những tài liệu về tâm lý học
lứa tuổi tiểu học, những bài báo nói về những khó khăn của học sinh Tiểu học khi học
các dạng tốn đếm hình. Tham khảo một số quan điểm ở nước ngoài về vấn đề này để
mở rộng vấn đề. Ngoài ra phải tham khảo thêm sách giáo khoa và một số sách tham
khảo tốn tiểu học.
Chúng tơi tìm hiểu một số dạng bài tập đếm hình ở thực tế trường tiểu học, trao
đổi, phỏng vấn hoặc tìm hiểu trên internet những kinh nghiệm của giáo viên tiểu học.
Chú ý những đánh giá của họ về dạng toán này cũng như những sai lầm, khó khăn mà
học sinh mắc phải.
Sử dụng các cơng cụ thu thập những thông tin từ học sinh.
Thiết kế, xây dựng một số bài tập về chủ đề bài toán đếm hình ở Tiểu học, tiến
hành thử nghiệm và đánh giá kết quả bài làm của học sinh về mức độ hiểu bài, ghi nhớ
bài học, thái độ học tập, sự tích cực của học sinh. Sau đó tiến hành phân tích những
khó khăn mà học sinh đang thực sự gặp phải để từ đó tìm ra hướng giải quyết những
khó khăn đó.

10. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm 3 chương nội dung.
Chương 1. Cơ sở lí thuyết chung và đặc điểm tâm lí lứa tuổi tiểu học
Trình bày về chương trình tốn tiểu học của nước ta hiện nay và chủ đề hình học
ở tiểu học. Các cấp độ tư duy hình học của Van Hiele và khái niệm về những sai làm
của học sinh. Một số đặc điểm tâm lí lứa tuổi tiểu học.
Chương 2. Hệ thống hóa các dạng tốn đếm hình hình học ở Tiểu học
Dành để hệ thống dạng bài tập đếm hình hình học lồng ghép vào nhau của
chương trình, sách giáo khoa tốn ở Việt Nam hiện nay, một số sách tham khảo trong
nước và hệ thống chương trình hình học một số bộ sách nước ngoài. Khảo sát thực
trạng dạy và học dạng toán này ở nước ta hiện nay bên cạnh đó tham khảo một số đề
kiểm tra định kì các khối lớp 1, lớp 2, lớp 3 mơn tốn của các trường tiểu học nước ta


8

hiện nay để xem xét mức độ xuất hiện của bài tốn này trong các kì kiểm tra quan
trọng.
Chương 3. Thực tiễn dạy và học bài tốn đếm hình hình học và những khó
khăn của học sinh
Khảo sát tìm hiểu thực tiễn dạy và học bài tốn đếm hình hình học trong chương
trình tiểu học nước ta hiện nay. Đề cập đến những khó khăn học sinh và giáo viên gặp
phải khi gặp dạng toán này, đối tượng học sinh mắc phải và những nguyên nhân dẫn
đến khó khăn đó.


9

Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT CHUNG VÀ ĐẶC ĐIỂM TÂM
LÍ LỨA TUỔI TIỂU HỌC

1.1. Sơ lược về chương trình tốn tiểu học và chủ đề bài tốn đếm hình hình học ở
tiểu học
1.1.1. Chương trình tốn tiểu học
Mục tiêu dạy học mơn Tốn ở tiểu học được Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định
trong Chương trình giáo dục phổ thơng - cấp Tiểu học (năm 2006). Theo đó, mục tiêu
dạy học mơn Tốn ở tiểu học nhằm giúp học sinh:
-

Có những kiến thức cơ bản ban đầu về số học các số tự nhiên, phân số, số thập
phân; các đại lượng thơng dụng; một số yếu tố hình học và thống kê đơn giản.

-

Hình thành các kỹ năng thực hành tính, đo lường, giải bài tốn có nhiều ứng
dụng thiết thực trong đời sống.

-

Góp phần bước đầu phát triển năng lực tư duy, khả năng suy luận hợp lí và
diễn đạt chúng (nói và viết) cách phát hiện và cách giải quyết những vấn đề
đơn giản, gần gũi trong cuộc sống; kích thích trí tưởng tượng; gây hứng thú
học tập tốn; góp phần hình thành bước đầu phương pháp tự học và làm việc
có kế hoạch khoa học, chủ động, linh hoạt, sáng tạo. Ngồi ra mơn tốn góp
phần hình thành và rèn luyện phẩm chất các đạo đức của người lao động trong
xã hội hiện đại.
Để thực hiện những mục tiêu trên, chương trình mơn Tốn ở tiểu học đã đưa

vào một số nội dung kiến thức về các hình hình học, nhận diện và tính chu vi, diện tích
các hình như hình tam giác, tứ giác, hình chữ nhật, hình vng, hình bình hành, hình
thoi, hình trụ, hình cầu; giới thiệu một số yếu tố thống kê; bước đầu làm quen và sử

dụng máy tính, đại lượng và đo đại lượng, bài tốn tính tỉ số, tỉ lệ, tỉ số phần trăm, ...
Trong đó, dạng tốn nhận diện các hình hình học và đếm các hình hình học lồng ghép
vào nhau xuất hiện nhiều ở lớp 1, lớp 2, ít dần ở lớp 3 và từ lớp 4 trở đi khơng cịn
thấy dạng tốn này nữa.
Về cấu trúc, chương trình được sắp xếp theo nguyên tắc đồng tâm, mở rộng và
phát triển dần theo các vòng số, từ các số trong phạm vi 10, trong phạm vi 100, 1000,


10

100000 đến các số có nhiều chữ số, phân số, số thập phân đảm bảo tính hệ thống và
thực hiện ôn tập, củng cố kiến thức thường xuyên.
Về nội dung giảng dạy, dạy học số học tập trung vào số tự nhiên và số thập
phân, nội dung hình học tập trung vào việc nhận diện và tính tốn một số yếu tố hình
học, chủ đề đại số được lồng ghép vào việc dạy học số học góp phần làm nổi rõ dần
một số quan hệ số lượng và cấu trúc của các tập hợp số, tốn có lời văn được tách ra
thành một chủ đề riêng để cố gắng nhấn mạnh ứng dụng toán học trong thực tế, đại
lượng và đo đại lượng tập trung vào việc tính tốn, hốn đổi giữa các đơn vị đo. Ngoài
ra, học sinh được làm quen với thống kê đơn giản và tập xử lí số liệu chủ yếu trên
những bảng số liệu cho sẵn.
Như vậy, mục tiêu, nội dung chương trình Tốn tiểu học hiện tại đã chú ý đến
việc vận dụng các kiến thức toán học để giải quyết các bài toán thực tiễn. Tuy nhiên
việc thực hiện chúng như thế nào, phương pháp, hình thức, phương tiện dạy học có đủ
đáp ứng hay chưa vẫn là điều cần thảo luận và nghiên cứu.
Mục tiêu dạy học tốn tiểu học nói về mảng hình học đã nhấn mạnh đến việc
hình thành các kĩ năng nhận diện, thực hành tính tốn, đo lường các yếu tố hình học,
giải bài tốn hình học có gắn với việc ứng dụng trong đời sống, góp phần nhằm phát
triển năng lực tư duy, khả năng suy luận, diễn đạt, khả năng phát hiện và giải quyết
vấn đề đơn giản, gần gũi trong cuộc sống, gắn kiến thức toán học với ý nghĩa của
chúng, đưa toán học về gần hơn với đời sống thực tế. Do đó, xét đến việc đưa bài tốn

đếm các hình hình học lồng ghép vào nhau vào chương trình những lớp đầu cấp lớp 1,
lớp 2, lớp 3 nhằm hướng vào mục tiêu nào trong số các mục tiêu của chương trình tốn
tiểu học hiện nay thực sự là một vấn đề cần được làm sáng tỏ. Cụ thể hơn, những bài
toán dạng đếm các hình hình học như vậy sẽ mang lại cho học sinh lợi ích gì? Nhằm
phát triển những kĩ năng nào cho các em? Lý do tại sao dạng toán này học sinh chỉ gặp
ở những năm đầu cấp tiểu học mà không tiếp tục được phát triển cho các năm tiếp
theo? Ứng dụng của dạng toán này là gì trong thực tế cuộc sống hoặc nó giúp học sinh
tiếp cận và giải quyết nội dung toán học nào ở những cấp học cao hơn?
1.1.2. Chủ đề hình học ở tiểu học


11

Chủ đề hình học là chủ đề được xây dựng và phát triển song song cùng chủ đề
số học trong nội dung chương trình tốn ở tiểu học. Chủ đề này được giảng dạy chủ
yếu ở hai mảng kiến thức, kĩ năng: nhận diện một số hình cơ bản và tính tốn một số
yếu tố hình học, trong đó học sinh tập nhận diện những hình hình học đơn giản như
điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, hình tam giác, hình tứ giác, hình chữ nhật, hình
vng, hình trịn, ..., thực hành vẽ hình, vận dụng kiến thức về đại lượng đo lường
trong đo đạc và tính tốn một số yếu tố hình học như độ dài, chu vi, diện tích, thể tích
các hình hình học. Cụ thể như sau [2]:
Bảng 1.1. Chương trình hình học ở tiểu học nước ta hiện nay
Nội dung

Lớp

-

Nhận biết các hình: hình vng, hình trịn, hình tam giác.

-

Giới thiệu về điểm, đoạn thẳng, độ dài đoạn thẳng, điểm ở
trong hay ngồi một hình.

Lớp 1
-

Thực hành đo độ dài, vẽ hình tam giác từ 3 điểm khơng thẳng
hàng;

-

Thực hành vẽ đoạn thẳng, gấp hình, cắt hình

-

Giới thiệu về đường thẳng, 3 điểm thẳng hàng.

-

Tiếp tục các bài tốn về hình vng và hình tam giác (thêm yếu
tố đỉnh tam giác, đo độ dài đoạn thẳng).

Lớp 2
-

Hình chữ nhật, hình tứ giác, đường gấp khúc, học sinh vẽ hình,
gấp hình trên giấy ơ vng với đơn vị ơ vng cho trước; tính
chu vi tam giác;

Lớp 3

-

Giới thiệu về đỉnh, góc, cạnh của các hình đã học;

-

Đo độ dài, cộng trừ các đoạn thẳng;

-

Nhận biết các hình đơn giản: điểm, đoạn thẳng, đường thẳng,
đường gấp khúc, hình vng, hình chữ nhật, hình tứ giác, hình
trịn.


12

-

Hình trịn, tâm, đường kính, bán kính

-

Diện tích hình chữ nhật, diện tích hình vng

-

Chu vi hình tam giác, hình tứ giác. Giới thiệu về góc vng và
góc khơng vng, giới thiệu về ê ke, vẽ góc bằng thước thẳng
và êke, vẽ đường trịn bằng compa.

-

Góc nhọn, góc tù, góc bẹt.

-

Giới thiệu hai đường thẳng cắt nhau, vng góc với nhau, song
song với nhau.

Lớp 4

-

Giới thiệu về hình bình hành và hình thoi;

-

Tính diện tích hình bình hành, hình thoi;

-

Thực hành vẽ hình bằng thước thẳng và ê ke; cắt, ghép, gấp
hình.

-

Giới thiệu hình hộp chữ nhật; hình lập phương; hình trụ; hình
cầu;

Lớp 5

-

Giới thiệu hình thang;

-

Tính diện tích hình tam giác và hình thang;

-

Tính chu vi và diện tích hình trịn; tính diện tích xung quanh,
diện tích tồn phần, thể tích hình hộp chữ nhật, hình lập
phương;

Nhìn chung, ở tiểu học, việc học hình học vẫn dựa trên cơ sở trực giác và tính
tốn theo một số đặc điểm, quy tắc nhất định; chưa đòi hỏi phải tư duy, sử dụng các
ngôn ngữ lập luận chặt chẽ như ở những cấp cao hơn. Học sinh được cung cấp những
hiểu biết cần thiết về hình dạng của các hình đơn giản, xác định vị trí, nhận diện các
hình, tính tốn những đại lượng khơng q phức tạp.
Việc dạy hình học ở tiểu học thể hiện trên hai phương diện:
- Quan sát và hành động trên các đồ vật, hình ảnh; thu thập các thơng tin có liên
quan nhằm hình thành một số kĩ năng thao tác với các đối tượng hình: vẽ hình,


13

cắt ghép hình, đo đạc.
- Bước đầu trừu tượng hóa dẫn tới mơ hình tốn học đồng thời làm quen với
ngơn ngữ hình học.
Nội dung chương trình tốn học ở tiểu học đã thể hiện tính kế thừa, liên tục, mở
rộng, đi từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, góp phần hình thành các yếu tố hình
học cho học sinh tiểu học.
Tuy nhiên, nói về mảng kiến thức, kĩ năng nhận diện các hình hình học trong đó
có dạng tốn đếm các hình hình học lồng ghép vào nhau theo quan sát của chúng tơi,
chương trình sách giáo khoa, hình học được giảng dạy chủ yếu trên các hình trừu
tượng. Ví dụ, tam giác là một hình có 3 góc hoặc có ba cạnh khép kín, tứ giác là hình
có 4 góc hoặc 4 cạnh khép kín được vẽ trên giấy hoặc trên bảng. Ngay những lần đầu
tiên học sinh được giới thiệu về các hình như tam giác, tứ giác chỉ là những hình ảnh
hết sức đơn giản.

Hình 1.1. Hình tam giác học sinh được giới thiệu trong bài Hình tam giác - Lớp 1
Một điều cần để ý là kiểu hình tam giác mà học sinh được giáo viên giới thiệu là
kiểu tam giác “trống trơn”, tức là kiểu tam giác khơng có gì ở bên trong như là khơng
có thêm đường kẻ hay kí hiệu, biểu tượng nào đó trong hình. Tương tự hình tứ giác
hay các hình khác cũng vậy.

Hình1. 2. Hình tứ giác học sinh được giới thiệu trong bài Hình tứ giác - Lớp 2
Tình huống trên có thể dẫn đến khả năng là khi học sinh bắt gặp trường hợp 1
hình tam giác có thêm các đường kẻ bên trong sẽ khơng được các em chấp nhận đó là
hình tam giác. Điều này hồn tồn có lí, bởi vì nếu tiếp cận hình tam giác như là một
đường gấp khúc gồm 3 cạnh khép kín thì một hình tam giác với một đường kẻ nằm


14

bên trong sẽ phá vỡ cách tiếp cận này. Lúc đó rất khó giải thích để các em chấp nhận
hình như vậy vẫn được xem là hình tam giác.
Trên thực tế thì trong sách giáo khoa các lớp 1, 2, 3 và nhiều sách tham khảo
khác và đặc biệt là trên các đề kiểm tra định kì xuất hiện dạng tốn nhận diện các hình
theo kiểu đếm các hình hình học lồng ghép vào nhau một cách ngẫu nhiên không theo
một quy luật nào. Hệ quả là dẫn đến có những đánh giá khơng chính xác về kiến thức
cũng như kĩ năng nhận diện các hình hình học của học sinh.
Một số bài tốn minh họa:

Số hình tứ giác trong hình vẽ là:
A.1

B.2

C.3

D.4

Hình1.3. Một bài tốn đếm hình lồng ghép vào nhau trong Sách giáo khoa, Lớp 2,
bài Ôn tập về phép cộng và phép trừ.
Hình bên có …… hình tam giác.

Hình1.4. Một bài tốn đếm hình lồng ghép vào nhau trong sách Tốn phát triển trí
thơng minh lớp 2-Nguyễn Đức Tấn-NXB Thành phố Hồ Chí Minh [8].

Hình bên có bao nhiêu hình tam giác?
a. 6 hình tam giác
b. 4 hình tam giác
c. 5 hình tam giác
Hình1.5. Bài tốn đếm hình lồng ghép vào nhau trong đề Khảo sát học sinh lớp 3,

năm học 2016 – 2017 của Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh.


15

Xét ở khía cạnh ngơn ngữ và giao tiếp, giai đoạn tiểu học là giai đoạn ngơn ngữ
được hình thành một cách có hệ thống và có cấu trúc, bắt đầu từ giao tiếp, sau đó phát
triển trở thành cơng cụ để tư duy. Các khái niệm “tam giác”, “tứ giác”, … được xếp là
ngơn ngữ tốn học, ở giai đoạn đầu cấp tiểu học nên hạn chế sử dụng và tránh đi nhiều
vào các bài tập thao tác trên chúng ở góc độ trừu tượng. Việc đi nhanh và đi nhiều vào
ngôn ngữ chứa đựng yếu tố trừu tượng để sớm phục vụ cho việc tư duy có thể sẽ gây
nhiều khó khăn trong trẻ, làm hạn chế việc hình thành ngơn ngữ giao tiếp trong cuộc
sống hằng ngày, đồng thời khó kích thích trí tị mị, khó phát triển khả năng tìm tịi,
khám phá của trẻ, giảm sự hứng thú và dễ đi đến sự nhàm chán. Do đó, bất cứ một
dạng bài tập thuộc mảng kiến thức tốn nào khi được đưa vào chương trình cũng cần
có sự tính tốn, cân nhắc cẩn trọng.
1.2. Các cấp độ tư duy hình học theo quan điểm của Van Hiele và khaí niệm về
những sai lầm của học sinh
1.2.1. Các cấp độ tư duy hình học theo quan điểm của Van Hiele
Theo Van Hiele, có thể có 5 cấp độ về tư duy hình học như sau: [10]
Cấp độ 1 (cấp độ hình ảnh - visual level):
Ở cấp độ này, học sinh nhận dạng hình dựa vào hình ảnh, dựa vào dấu hiệu nổi
bật đường bao của các hình hoặc bằng cách so sánh với những vật mẫu hoặc dựa trên
kinh nghiệm của học sinh. Các hình hình học được xem như là “cái toàn bộ” hơn là
các thành phần, đặc điểm cấu thành chúng (số cạnh hay chiều dài của cạnh, số đo của
góc). Học sinh ở cấp độ này có thể gọi tên được các đồ vật có dạng hình hình học;
nhận biết các hình như hình tam giác, hình vng, hình chữ nhật, hình trịn nhưng
chúng có thể không cần nhận ra được các đặc điểm về số cạnh, số góc, số đo các cạnh
của hình. Một ví dụ dễ thấy để minh chứng cho điều này là ở những trẻ chưa biết đếm,
chúng vẫn nhận ra tam giác mà không cần phải dựa trên việc đếm số cạnh hay số góc.

Học sinh ở cấp độ này sẽ cho rằng hình 1.1 là hình vng, cịn hình 1.2 là hình
thoi (nếu đã được dạy) vì hình 1.1 giống viên gạch lát nền cịn hình 1.2 giống con diều.
Hình 1.6. Hình vng và hình thoi


16

Học sinh đánh giá về các hình dựa trên tri giác các đối tượng, không bằng suy
luận logic, không đồng nhất các hình hình học với các đồ vật giống chúng, biết sử
dụng các hình hình học như những hình chuẩn để so sánh, lựa chọn, xác định hình
dạng của mọi vật xung quanh
Cấp độ 2 (Cấp độ phân tích - analysis level):
Ở cấp độ này, ở học sinh bắt đầu xuất hiện khả năng phân tích hình hình học,
bắt đầu nhận thức các tính chất của hình hình học. Học sinh nhận ra hình hình học
được cấu thành bởi các thành phần về cạnh, góc; có thể nhận biết và phát biểu những
đặc điểm của các hình nhưng khơng thể nhận ra mối quan hệ giữa các tính chất đó.
Học sinh chưa thể đưa ra mối quan hệ giữa các hình hình học. Học sinh có thể nhận
biết chính xác các hình hình học mà khơng phụ thuộc vào vị trí sắp đặt của chúng
trong khơng gian
Ở ví dụ trên, học sinh có thể nhận biết hình 1.1 và 1.2 đều là hình vng vì
chúng có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc vng.
Cấp độ 3 (cấp độ suy luận khơng tường minh - infomal level):
Học sinh có thể đưa ra các phán đoán đúng về mối quan hệ giữa các hình hình
học, phát biểu các điều kiện cần và đủ để một hình là hình vng, hình chữ nhật, …
Bằng tri giác có thể nhận biết, tuy nhiên khơng thể chứng minh tồn bộ một bài tốn
nhận dạng hình, học sinh khơng hiểu logic của một bài chứng minh hình học, về giả
thiết, kết luận. Hơn nữa, tất nhiên rằng học sinh khơng nhận thức được vai trị của các
yếu tố đã cho. Ở cấp độ này học sinh có thể hiểu một hình vng là một trường hợp
riêng của hình chữ nhật nhưng chưa thể giải thích bằng logic khái niệm.
Cấp độ 4 (cấp độ suy luận logic- logic level):

Học sinh có thể xác định chính xác giá trị chân lý của một mệnh đề về mối
quan hệ giữa các hình hay giữa các tính chất của một hình hình học và các mệnh đề
đảo, phản, phản đảo của nó, có thể chỉ ra mối quan hệ giữa tiên đề, định nghĩa, định lý,
hệ quả. Học sinh ở cấp độ này đưa ra các phán đoán dựa trên suy luận logic hơn là từ
trực giác mang lại. Học sinh có thể suy luận ở dạng diễn dịch hay quy nạp, có thể phát
biểu các mệnh đề dạng “nếu…thì…”, “từ …suy ra…”, các liên từ “và”, “hoặc”, …
Cấp độ 5 (cấp độ hình học trừu tượng- abstract level):