Tiếp cận khái niệm đạo hàm trong dạy học toán THPT

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Trương Hữu Phúc

TIỆM CẬN KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM
TRONG DẠY HỌC TOÁN THPT

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Trương Hữu Phúc

TIỆM CẬN KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM
TRONG DẠY HỌC TOÁN THPT

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Chuyên ngành

: Lý luận và phương pháp dạy học bộ mơn Tốn

Mã số

: 60 14 01 11

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014


LỜI CẢM ƠN

Đâu liên, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu săc đên TS. Lê Thái Bào 1 hiên
Trung, người đã bỏ nhiêu công sức, tâm huyết, lòng kiên nhần và sự tận tụy. hướng
dẫn và giúp đờ tơi hồn thành luận văn này.
Tiếp đến. tơi muốn gửi lời cảm ơn trân trọng đến PGS. TS. Lê Văn Tiến. PGS.TS.
Lê Thị Hồi Châu, TS. Trần Lương Cơng Khanh. TS. Vũ Như Thư Hương. TS.
Nguyễn Thị Nga. Các Thầy Cô ấy đã bỏ nhiều thời gian và công sức giảng dạy. truyền
thụ cho chúng tôi những tri thức cần thiết và quan trọng của bộ mơn didactic Tốn.
Ngồi ra, tơi cũng cảm ơn những chỉ dẫn, giải thích của PGS. TS. Annie Bessot,
TS. Alain Birebent đã giúp chúng tơi hiểu rõ hơn về chun ngành này. Những định
hưóng và góp ý của hai giáo sư là những điều rất quý giá đối với tôi trên bước đường
nghiên cứu.
Tôi chân thành cảm ơn ban lãnh đạo và chuyên viên Phịng Sau dại học đã tạo
thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn này.
Cũng không thể không cảm ơn đên anh Nguyền Anh Quốc, thầy Phan Thanh Tuân
và tập thể lớp 11A2 trường THPT Long Kiến vì đã tạo điều kiện cho tôi thực hiện
quan sát lớp học phục vụ nghiên cứu của luận văn.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời biết ơn từ tận đáy lòng đến những người thân trong gia
đình. Ba mẹ và anh em là nguồn động lực lớn lao giúp tơi vượt qua những khó khăn
trong suốt hành trình đã qua.

Trưong Hữu Phúc

MỤC LỤC
I rang phụ bìa
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các thuật ngữ viết tắt
MỞ ĐÀU.............................................................................................................................1
Chuông 1.

TIÉP CẬN KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM TRONG THẺ CHÉ DẠY
HỌC VIỆT NAM...................................................................................... 15

1.1. Phân tích giáo trình Mỹ........................................................................................ 17
1.1.1. Các hoạt động tiếp cận khái niệm đạo hàm.................................................... 17
1.1.2. Định nghĩa và các ý nghĩa tường minh của đạo hàm.................................... 29
1.1.3. Tổ chức toán học............................................................................................. 33
1.1.4. Kết luận............................................................................................................39
1.2. Phân tích sách giáo khoa Việt Nam..................................................................... 42
1.2.1. Đạo hàrn trong sách giáo khoa Việt Nam.......................................................42
1.2.2. Sách giáo khoa chưcmg trình chuẩn (V3).......................................................43
1.2.3. Sách giáo khoa chương trình nâng cao (V4)...................................................53
1.3. Kết luận chương 1...................................................................................................58
Chng 2.

NGHIÊN CỦXl THỤC HÀNH GIẢNG DẠY CỦA GIÁO VIÊN
TRONG HOẠT ĐỘNG TIÉP CẬN KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM

61

2.1. Mục tiêu của chương............................................................................................. 61

2.2. Các tổ chức toán học được đề cập.........................................................................62
2.3. Các tổ chức didactic mà giáo viên sử dụng để tiếp cận khái niệm đạo hàm..... 63
2.3.1. Các tổ chức didactic xung quanh hoạt động kiểm tra bài cũ.........................63
2.3.2. Phân tích các tổ chức toán học xoay quanh KNV T3b.................................. 65
2.3.3. Phân tích tổ chức didactic xoay quanh kiểu nhiệm vụ T3r...........................73
2.3.4. Phân tích tổ chức didactic xoay quanh kiểu nhiệm vụ T3............................ 74
2.4. Kết luận chương 2...................................................................................................77
KÉT LUẬN...................................................................................................................... 79
TÀI LIÊU THAM KHẢO..............................................................................................31


DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ VIÉT TÁT
SGK

Sách giáo khoa

SGKVN

Sách giáo khoa Việt Nam

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

V,

Sách giáo khoa chỉnh lý hợp nhất 2000

V2

Sách giáo khoa thí điểm bộ 2

V3

Sách Đại số và Giải tích 11

G3

Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11

V4

Sách Đại số và Giải tích 11 nâng cao

G4

Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 nâng cao

LVT

Giáo trình Lê Văn Tiến. 2004

M

Calculus Early Transcendentals, James Steward

1^1

Luận văn Bùi Thị Thu Hiền

L2

Luận văn Lê Anh Tuấn

L3

Luận văn Ngô Minh Đức

KNV

Kiểu nhiệm vụ

l'r

Trang

N.

Nhóm nhiệm vụ X

ĐH

Đạo hàm

KNĐH

Khái niệm đạo hàm

TT

Tiếp tuyến

KNGH

Khái niệm giới hạn


MỞ ĐẦU

1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Trong thực tế. khái niệm đạo hàm (KNĐH) đóng một vai trị quan trọng trong thê
chè dạy học Tốn bậc THPT ở Việt Nam (VN). cụ thê là trong chương trình Giải tích
kVp 11 và 12 ở cà hai han cơ bản và nâng cao. KNĐH thê hiện rõ sự hiệu quả trong
việc giải quyết một số bài toán đặc thù như bài toán tiếp tuyến của đường cong, khảo
sát đồ thị của hàm số. Ngoài ra, đạo hàm (ĐH) cịn có quan hệ mật thiết với một số
khái niệm toán học quan trọng khác như vi phân và tích phân; có ứng dụng rộng rãi
trong các mơn khoa học tự nhiên như Vật lý với bài toán vận tốc, gia tốc tức thời; Hoá
học với bài toán tốc độ phản ứng tức thời.
Chính vì vai trị quan trọng ấy. ĐH trở thành đối tượng nghiên cứu chính của
nhiều luận văn giáo dục học. một số luận văn tiêu biểu như “Mối liên hệ giữa tiếp
tuyến và đạo hàm" của Bùi Thị Thu Hiền năm 2007, “Một nghiên cứu Didactic về
khái niệm đạo hàm ở lớp 11 phổ thông” của Lê Anh Tuấn năm 2009 và “ Khái niệm
dạo hàm trong dạy học toán và vật lý ở trường phố thông” cùa Ngô Minh Đức năm
2013. Nhăm .xác định rõ hướng nghiên cứu mới cho luận văn chúng tôi từ các kết quả
nghiên cứu của các luận văn trước đó. chúng tơi sẽ trình bày giản lược một số kết quả
nghiên cứu quan trọng từ ba luận văn trên.

Bùi Thị 'Thu Tíiền (2007), Mổỉ liên hệ giữa tiếp tuyển và đạo hàm, luận văn
thạc sỳ trường ĐHSP TP. Hồ Chí Minh. (Li)
Trong L|, tác giả Bùi Thị Thu Tỉiền đã:
+ Trình bày mối quan hệ giữa các KNĐH, tiếp tuyến (TT) và xẩp xi affine trong
các giai đoạn trong lịch sử.
+Phân tích các tiến trình đưa vào KNĐH và KNTT trong các SGK Pháp từ năm
1993 đên 1999. Qua đó, tác giả kết luận ‘T/é/? tuyến có khi là động cơ đê đưa đến khái
niệm đạo hàm, có khi nó lại được định nghĩa nhờ vào khái niệm đạo hàm".
+Đê phân tích rõ các tiến trình trên và làm cơ sở đối chiếu khi phân tích SGK
Việt Nam, tác giả tiến hành phân tích bộ SGK Pháp Déclic Math năm 2002. Các phân


lích chủ yếu tập trung vào mối quan hệ TT và ĐH cùng với mối quan hệ TT. ĐH và
xấp xỉ affine. Từ đó. lác giả đưa ra kết luận:
> Mối liên hệ giữa TT và ĐH được nhấn mạnh trong cả lí thuyết lẫn bài tập. Mối
quan hệ giữa phưong diện hình học và phưong diện số của số đạo hàm tức là mối quan
hệ giữa TT và xấp xỉ affine cũng được SGK Pháp làm rõ.
> TT được đưa vào theo quan điểm giải tích. Nhờ vậy, TT trở thành phưcmg tiện
để đưa vào KNĐH và nó cũng mang lại nghĩa cho KNĐH và xấp xỉ affine liên quan
đến giới hạn bậc nhất. Ngồi ra, TT cịn là cơng cụ để đi tìm số đạo hàm và chứng
minh sự tồn tại của ĐH.
> ĐH là công cụ cho việc tìm TT, số đạo hàm ngầm ấn giúp cho việc định nghĩa
tiếp tuyến. ĐH cũng là công cụ để xấp xỉ một hàm sổ bằng hàm affine và ngược lại.
+Sau khi phân tích SGK Pháp, tác giả phân tích hai bộ SGK Việt Nam là bộ
chinh lý hợp nhất năm 2000 (Vi) cùng với SGK thí điểm bộ 2 (V2). Các kết quả sau
khi phân tích hai bộ SGK này như sau:
> V| và V2 đều đưa vào KNTT theo quan diêm giải tích là vị trí giới hạn của cát
tuyến sau khi định nghĩa KNĐH của hàm số tại một diêm. Tuy nhiên, khác với trong
p. hai khái niệm này được đưa ra độc lập với nhau. Vi và V2 bỏ qua vai trị của TT
trong việc hình thành KNĐH đồng thời cũng bỏ qua vai trò của ĐH trong việc hình

thành KNTT.
> Bên cạnh đcí, KNTT được đưa ra hồn tồn mới mà khơng có hoạt động nối
khớp với TT ở THCS.
> Vi và V2 cũng đã hình thành được moi quan hệ giữa ĐH với TT và mối quan
hệ giữa ĐH với xấp xỉ affine. ĐH là cơng cụ để giải bài tốn tiếp tuyến và bài toán
xấp xỉ. Tuy nhiên, khác với trong p, TT và xấp xỉ affine khơng đóng vai trị cơng cụ
trong việc giải quyết bài toán ĐH.
> Mối quan hệ giữa TT và xấp xỉ affine không được V| và V2 đề cập tới.
+Từ các kết quả phân tích Pi, P2, Vi, V2, tác giả đưa ra giả thuyết nghiên cứu
“//ọc sinh thiết lập được mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm, giữa đạo hàm và
xấp xi affine nhimg mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine không hiện diện trong
moi quan hệ cá nhãn của họ


+ I hực nghiệm sư phạm kiểm tra giả thuN ẻt nghiên cứu trên.
Nhận xét:
+ 1-1 phân tích mối hên hệ giữa TT và ĐI ỉ. có dề cập đến việc xây dựng hai khái
niệm này trong hai thể chế SGK Pháp và Việt Nam . Tuy nhiên, tác giả chỉ dừng lại ở
việc phân lích vai trị của khái niệm này trong q trình xây dựng khái niệm cịn lại.
Viộc nghiên cứu quá trình liêp cận từng khái niệm một cách tông quát chưa được thực
hiện.
+Mặt khác, luận văn L] phân tích các bộ SGK Pháp Déclic Math (2002) cùng hai
bộ SGK Việt Nam là bộ chỉnh lý hợp nhất năm 2000 (Vi) và SGK thí điểm bộ 2 (V2).
SGK hiện hành có nhiều điểm thay đổi so với V1.V2. Những kết quả nghiên cứu từ L|
có cịn phù hợp với thè chế dạy toán hiện nay?
+ DÙ nghiên cứu của Bùi thị Thu Hiền trên V], V2 nhưng những nghiên cứu về
mối quan hệ giữa hai khái niệm TT và ĐH đã được thực hiện trong L| vẫn là nguồn
tham khảo quan trọng của chúng tôi khi tiến hành nghiên cứu luận văn của mình.

•i- Lê Anh Tn (2009), Một nghiên cửu Didactic về khái niệm đạo hàm ở lớp II

phô thông, luận văn thạc sỳ trường ĐHSP TP. Hồ Chí Minh. (L2)
ĩrong L2, tác giả Lê Anh tuấn dã:
+ Phân tích việc xây dựng KNĐH ở các giáo trình đại học. Từ đó, đưa ra các kết
luận:
> I rước khi xây dựng KNĐH , các giáo trình đã xây dựng một cách chặt chẽ
khái niệm giới hạn của hàm số và hàm số liên tục.
> Định nghĩa đạo hàm có quan hệ mật thiết với các khái niệm giới hạn hàm số,
hàm số liên tục, khái niệm vô cùng bé.
> Khái niệm đạo hàm bên trái, bên phải được định nghĩa thông qua giới hạn một
bên và có thể khơng cần đưa ra kí hiệu.
+Phân tích mối quan hệ thể chế với KNĐH thông qua hai bộ SGK chưcmg trình
chuẩn (V3) và nâng cao (V4) lớp 11, 12 hiện hành. Một số kết luận đáng lưu ý trong
q trình phân tích:
> Các bài tốn dẫn đến KNĐH trong SGKCl 1 và SHKNCl 1 có vai trị rất mờ
nhạt trong việc lĩnh hội khái niệm đạo hàm của học sinh. Khi cho các bài tốn tuong íir


4

như các bài loan dẫn dến KNĐH đã được đưa vào SGK thì học sinh lúng túng và
khơng giải quyết dược.
> Nhiều học sinh chưa hiêu và nam vững định nghĩa ĐH.
> Sự nối khớp giữa KNĐH và các khái niệm giới hạn hàm số, hàm sổ liên tục
cũng chưa được quan tâm lấm trong chương trình và SGK mới.
+ rìm thấy sự tồn tại của 4 quy tắc hợp đồng và đưa ra giả thuyết nghiên cứu sau:
> REl: Tính đạo hàm của một hàm số là sử dụng cơng thức đạo hàm đã có.
> RE2: Trong các bài tốn tính đạo hàm, HS khơng có trách nhiệm kiểm tra hàm
số có đạo hàm hay khơng mà chỉ việc tính đạo hàm.
> RE3: Tìm GTLN, GTNN của hàm sổ trên đoạn [a,h] là dùng quy tắc để giải”.
> RE4: Khi giải quyết các bài tốn tìm GTEN, GTNN của hàm số y=f(x) trên

|a,b], HS khơng có nhiệm vụ kiểm tra hàm sổ có liên tục trên [a,b] khơng, mà chỉ cần
dùng quy tăc đê giải.
> Giả thuyết nghiên cứu: "Khi giải quyết bài toán cực trị, HS cho rang một hàm
số chỉ

đạt

cực

trị

tại

các

điếm

mà

đạo

hàm

của

hàm

số

tại đó

Khi tính ĐH bằng định nghĩa, việc tính y’(xo) bàng lim X^Xq

f{x)-fiXo)

bằng 0".
+ Thực nghiệm kiểm chứng các kết luận và hợp đồng dạy học;
>

Định nghĩa ĐH có vai trị mờ nhạt đối với cá nhân học sinh.
X-Xo

chiếm ưu thế so với việc tính y’(xo) bằng lim^;(._^o
>

Bài toán dựa vào đồ thị xác định sự tồn tại của ĐH ít được học sinh quan
tâm. Để giải thích về sự tồn tại của ĐH tại một điểm nào đó bằng đồ thị
HS thường chỉ ‘"cảm giác” dựa trên nhiều quan niệm: đồ thị gãy, đồ thị
liền nét hay đồ thị có tiếp tuyến tại đó.

>

RElvàRE2.

Nhận xét:
+Trong L2, tác giả nghiên cứu về q trình xây dựng các lí thuyết liên quan đến
ĐH trong V3 và V4. Tuy nhiên, các phân tích chỉ dừng lại ở định nghĩa, kí hiệu, cách
tính đạo hàm theo định nghĩa, xây dựng đạo hàm một bên, đạo hàm trên một khoảng

\ .\... Việc nghiên cứu quá irinh liếp cận KNDH chưa được thực hiện.
+ Khi phân tích SGKCl 1 và SGKNCl 1. tác giả có kết luận "Các hài tốn dãn
dên khái niệm dọn hàm trong SGKCII vò SGKNCỈ ỉ có vai trị rát mờ nhạt trong việc
lĩnh hội khái niệm đạo hòm cua học sinh. Khi cho các bài toán tương tự như các bài
toán dán đên khái niệm đạo hàm đã được đưa vào SGK thì học sinh lúng túng và
không giải quyết được". Kết luận này cần được kiểm chứng, làm rõ qua thực nghiệm.
+ Tác giả khơng tiến hành nghiên cứu chi tiết q trình tiếp cận KNĐH nhưng
những kết quả nghiên cứu. phân tích thề chế đã được thực hiện sẵn là một cơ sở tham
khao quan trọng của chúng tôi.
i-Ngô Minh Đức (2013), Khái niệm đạo hàm trong dạy học toán và vật lý ở
trường phô thông, luận văn thạc sỹ trường ĐHSP TP. Hồ Chí Minh. (L3)
Trong L3. tác giả Ngơ Minh Đức đã:
+ Nghiên cứu lịch sử hình thành và phát triển của KNĐH, các đặc trưng cơ bản
và môi quan hệ của nó với Vật Lý. Thơng qua tìm hiêu q trình lịch sử. tác giả đưa ra
hai kết luận quan trọng ;
> Cỏ hai dộng lực chính thúc đây quá trình nảy sinh KNĐH. một đên từ hình
học và một đên lừ vật lí;
- Bài tốn xác định tiêp tuyến của một đường cong bất kì là động lực chù yếu
mà q trình giải quyết nó đã giúp đem lại một phương pháp mới đầy hiệu quả trong
đó ngầm ẩn xuât hiện khái niệm đạo hàm, cũng như dẫn Leibniz đi đến định nghĩa ĐH
như là tỉ số các vi phân.
- Trong khi đó, bài tốn tìm vận tốc của vật thể lại đưa Newton đến ý tường xây
dựng giải tích trên cơ sở của ‘'chuyến động“, trong đó đạo hàm được định nghĩa như là
tốc độ biến thiên tức thời của một đại lượng nào đó theo “thời gian”. Thời gian ở đây
được hiểu là một biến bất kì

X

nào đó biến thiên đều theo thời gian, nghĩa là sao cho

(x)-L
>

Trong lịch sử tiến triển của mình, ĐH và Vật lý có một mối quan hệ rất đặc

biệt. Vật lý khơng những đóng góp một phần động lực thúc đẩy việc hình thành khái
niệm mà cịn mang lại cho đạo hàm một ý nghĩa đầy trực quan và hữu ích, đó là thước
đo cho tốc độ thay đổi của một đại lượng theo biến của nó. Quan niệm náy <1: mở


dường cho các ứng dụng phong phủ và hiệu quả cua ĐH nói riêng và giải tích nói
chung trong vật lý. Hơn thê nữa. những bài toán đên từ vật lý còn lạo ra một động lực
mạnh mẽ lức thi giúp giải tích phát triên một cách vượt bậc.
+ Nghiên cứu mối quan hệ thể chế của đổi tượng tri thức đạo hàm trong thể chế
dạy học Vật Lý hiện nay ở nước la. Một số kết luận quan trọng mà tác giả rút ra từ quá
trinh nghiên cứu này:
> I rước khi KNĐH được đưa vào dạy chính thức ở chương trình tốn cuối năm
11. nó đã xuất hiện ngầm ẩn ở khá nhiều tính huống khác nhau trong Vật lí. ở các tinh
huống này. nó đặc trưng cho tốc độ biến đổi tức thời của một đại lượng u(t) nào đó
theo thời gian và được xác định băng tỉ sô — khi At rât bé (tiên dân đên 0).
> Do nhu cầu của mình. SGK vật lí đã sớm đưa vào khái niệm tốc độ biến thiên
tức thời và hiêu nó như là giới hạn của tơc độ biên thiên trung bình — khi dân vê
At

0. Diều này có thể sẽ tạo thời cơ cho việc hình thành được nghĩa tốc độ biến thiên khi
dạy học KNĐH trong chương trình mơn tốn nếu như chúng ta lận dụng dược mối
quan hệ liên môn này.
> I rong thê chê dạy học vật lí KNDH hiện diện với nghĩa tường minh là đặc
trưng cho tốc độ biến thiên của một đại lượng. Hơn nữa. đặc trưng này cũng chính là
cơ sờ cho những ứng dụng của đạo hàm trong các lĩnh vực khác nhau của vật lí.

> Học sinh cần phải hiểu được đặc trưng tốc độ biến thiên của DH thì mới có thể
ứng dụng cơng cụ tốn học này trong việc học tập các chủ đề vật lí. Mặt khác, nếu đặc
trưng này được hình thành thì nó sẽ được cùng cố và vận dụng trong nhiều chủ đề đa
dạng của chương trình vật lí phố thơng.
+ Phân tích thể chế dạy Tốn ở trường phổ thơng, mối quan hệ cá nhân giữa học
sinh và đạo hàm trong Toán và Vật lý, các ý nghĩa của đạo hàm được hình thành trong
Tốn và ảnh hưởng của các nghĩa này lên Vật lý. Các kết luận đáng lưu ý trong phân
tích này;


Q trình đưa ra và giải qut các bài tốn Vật lí chỉ nhăm mục lieu làm xuâl
hiện nhu càu phải tính giới hạn lim ^*—Zlfo) mà khơng giải thích ý nghĩa của giới
’
V—r
hạn này như là tôc độ biên thiên tức thời của hàm sơ theo biên của nó.
> Y nghĩa Vật lí của ĐH chỉ dừng lại ở một vài cơng thức cụ thê đê tính vận
tơc. gia tốc. hay cường độ dịng điện tức thời. Việc khơng thê chế hóa nghĩa tơc độ
biên thiên tức thời có thê ngăn cản việc ứng dụng khái niệm đạo hàm ở nhiêu tình
hng của Vật lí cân đên đặc trưng này.
+ riến hành hai thực nghiệm sư phạm trên đổi tượng học sinh cuối lớp

12

sau

khi đã học KNĐH và các ứng dụng của ĐH:
> rhực nghiệm 1:
- Kiêm tra sự tồn tại trong kiến thức học sinh đặc trưng xấp xỉ của đạo hàm.
- Kiêm tra xem đặc trưng tốc độ biên thiên liệu có xuất hiện hay khơng trong
mơi quan hệ cá nhân của các em học sinh đã học qua khái niệm đạo hàm.

> Thirc nghiệm 2: Xây dựng đồ án dạy học :
- Xây dựng tình huống giúp học sinh hình thành nghĩa “tốc độ biến thiên” và
nghĩa “xâp xỉ” của đạo hàm.
-

Từ việc hiểu được những nghĩa này. giúp các em soi sáng lại các ứng dụng

đạo hàm trong Vật lý.
Nhận xét:
+ Trong T3, Ngô Minh Đức cũng có nghiên cứu q trình xây dựng KNĐH
trong SGK hiện hành, trong đó có đề cập q trình tiếp cận ĐH. Tuy nhiên, các nghiên
cứu của L3 chủ yếu tập trung vào quan hệ liên môn của Vật Lý và Tốn trong dạy học
ĐI ỉ. chưa có một nghiên cứu tổng quát về quá trình tiếp cận KNĐH trong thể chế dạy
học toán.
+ Một trong những kết quả rút ra từ thực nghiệm 1 là “Đặc trưng tốc độ biển
thiên tức thời của đạo hàm không xuất hiện trong moi quan hệ cả nhân của học sinh
trong thê chế dạy học Tốn hiện nay". Kết quả này có thể xem như là sự kiểm chứng
cho kêt luận "Các hài toán dân đến khải niệm đạo hàm trong SGKCI1 và SGKNCI]
có vai trị rát mờ nhạt trong việc lĩnh hội khái niệm đạo hàm của học sinh. Khi cho các


hài toán tirơng tự như các bài toán dán dên khái niệm đạo hàm đã được đưa vào SGK
thì học sinh ì úng túng và khơng giai qut được' của l.ê Anh Tuân trong 1.2- Thật vậy.
nếu đặc trưng này không tồn tại trong mối quan hệ cá nhân học sinh với KNĐH. học
sinh có thể gặp khó khăn khi vận dụng nó để giải quyết các bài tốn tưong tự các bài
toán dẫn dắt vào khái niệm này. cũng như hiểu các ứng dụng ĐH trong Vật lý.
+ Dù nghiên cứu của luận văn không tập trung vào quá trình tiếp cận KNĐH
nhưng những nghiên cứu về KNĐH trong dạy học Toán. Vật lý cũng như mối quan hệ
liên môn đã được thực hiện sằn là một nguồn tài liệu tham khảo quan trọng cho chúng
tôi.

Nltư vậy, việc nghiên cứu quá trình tiếp cận khải niệm đạo hàm từ phương diện
thực hành của giáo viên sẽ cho phép làm rõ những kết luận đã rút ra từ các nghiên
cứu khác.
Theo Lê Văn Tiến, tác giả giáo trình "PhưoTig pháp dạy học mơn Tốn ở trường
phơ thơng", có đề cập đến tiến trình Cơng cụ-Đối tượng-Cơng cụ bao gồm ba giai
doạn. Giai đoạn "Công cụ ngầm ấn", khái niệm sẽ xuất hiện một cách ngâm ấn như là
công cụ giải các bài tốn (khái niệm đóng vai trị như một khái niệm tiền tốn học
chưa có tên. chưa có định nghĩa chính thức). Giai đoạn "Đối tượng", khái niệm được
nêu tên, định nghĩa khái niệm, nghiên cứu các thuộc tính, các tính chất cơ bàn của khái
niệm. Giai đoạn '‘Cơng cụ tường minh", khái niệm được sử dụng như là cơng cụ để
giải quyết các bài tốn khác nhau. Qua q trình tìm hiểu tiến trình Cơng cụ-Đối
tượng-Cơng cụ cùng phân tích những kết quả nghiên cứu của Li; L2 và L3, chúng tơi
nhận thấy khái niệm đạo hàm có điều kiện thuận lợi để tiếp cận theo tiến trình này.
Từ các kết quả nghiên cứu trong Li, L2 và L3 cùng với các nhận xét trên, chúng tôi
thấy ràng việc tiếp cận khái niệm đạo hàm trong các SGKVN, cụ thể là V3 và V4 chưa
được các luận văn giáo dục học khác nghiên cứu. Do đó, chúng tơi quyết định lựa
chọn đề tài nghiên cứu “Tiếp cận khái niệm đạo hàm trong dạy học tốn THPT".
Chúng tơi cũng đặt ra một số câu hỏi ban đầu như sau:
+ Khái niệm đạo hàm được tiếp cận thế nào trong SGKVN hiện hành? Q trình
tiếp cận này có sự khác biệt nào so với quá trình tiếp cận trong các giáo trình dạy học
ở các nước khác?


+ Cách tiếp cận trong SCÌKVN hiện hành mang lại những ý nghĩa gì cho dạo
hàm? Những kiêu nhiệm vụ nào được tìm thây xoay quanh các ý nghĩa cua dạo hàm?
+ ĩrong thực tê giảng dạy. GV có dùng cách tiếp cận như SGK đề nghị hay
khơng? Nếu có thì như thế nào? Nếu khơng thì tại sao?
2. Phạm vi lí thuyết tham chiếu và phưong pháp nghiên cứu
2.1 Lý thuyết tham chiếu
Chủng tơi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của Didactic Toán. Cụ thê. điểm

tựa lý thuyết sẽ là những khái niệm cơ bản của lý thuyết nhân chủng học. Chúng tơi sẽ
trình bày sơ lược các khái niệm này đồng thời cũng giải thích vì sao việc lựa chọn các
khái niệm trên là phù họp.
Môt số yếu tố của thuyết nhân học - Những thuât ngữ co bản
O: đối tuọng
X: cá nhân
I: thể chế
R(X, 0): quan hệ cá nhân của X vói o
R(I, 0): quan hệ thể chế vói o

Một đối tượng là một cái gì dó tồn tại ít nhất đối với một cá nhân hay với một thể
chế.
Quan hệ của cá nhân X với một đối tượng tri thức 0, ký hiệu R(X, O) là tập họp

o như; thao tác nó, sử dụng nó, nghĩ về nó,
R(X, O) chỉ rõ cách thức mà X biết về o, và tùy theo thời gian và hồn

những tác động qua lại mà X có thể có với
nói về nó...

cảnh mà mối quan hệ R(X, O) này có thể thay đổi.
"Theo thời gian, hệ thống các mối quan hệ cá nhân của X tiến triển: những
đổi tượng trước đáy không tồn tại đổi với X bây giờ bắt đầu tồn tại, một sổ
khác ngừng tồn tại, đổi với những đổi tượng khác thì quan hệ cá nhản của X


0

thay đôi. Trong sự tiên triên này. cải bất hiến là cá nhân, cái thay đôi là con
người " (Chavallard 1992)

1'heo quan điêm này. việc học tập của cá nhân X về đối tượng tri thức
điều chỉnh mối quan hệ của X đối với

o

là sự

o. hoặc quan hệ này bat đầu được thiết lập (nếu

nó chưa từng tồn lại), hoặc bị biến đổi (nếu nó đã tồn tại). Sự học tập này làm thay đổi
con người.
Thế nhưng, một cá nhân khơng thể tồn tại độc lập ở đâu đó mà ln ln phải ở
trong ít nhất một thể chế I, từ đó dẫn đến việc thiết lập hay biến đoi mối quan hệ
R(X.O) phải được đặt trong một thể chế I nào đó có sự tồn tại của X, như vậy giữa I và

o cũng phải có một quan hệ xác định gọi

là quan hệ thể chế với đối tượng

o, ký hiệu

là R(I. O). Quan hệ này là một ràng buộc (thể chế) đối với quan hệ của một cá nhân
với cùng đối tượng

o, khi cá nhân là chủ thể của thể chế I và nó phụ thuộc vào vị trí

mà cá nhân chiếm trong thể chế I.
Chevallard dùng thuật ngữ quan hệ thế chế I với tri thức o, ký hiệu R(I,0), đê
chi tập hợp các mối ràng buộc mà thể chế I có với tri thức

o. R(I, O) cho biết o xuất

hiện ở đâu, băng cách nào, tôn tại ra sao. đóng vai trị gì trong I. Trong một thê chê I,
quan hệ R(X.O) hình thành hay thay đổi dưới các ràng buộc của R(I.O).
Việc nghiên cứu R(I,0) sẽ giúp ta làm rõ hon R(X.O), cụ thể là mối quan hệ giữa
đổi tượng cá nhân là GV với đối tượng tri thức đạo hàm.
> Tổ chức toán học
Theo Chavallard, mỗi praxéologie là một bộ gồm 4 thành phần [ĩ, T, ớ, 0] trong
đó : T là một kiều nhiệm vụ phải giải quyết, T là kỹ thuật cho phép giải quyết T, 6 là
công nghệ cho phép giải thích kỹ thuật r ,

0

là lý thuyết giải thích cho 0, nghĩa là

công nghệ của công nghệ ỡ .
Một praxéologie mà trong đó T là kiểu nhiệm vụ tốn học được gọi là một tổ
chức toán học (organisation mathématique), ký hiệu là OM. Theo Bosch.M và
Chevallard.Y, việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế I với một đối tượng tri thức
thể được tiến hành thông qua nghiên cứu các tổ chức tốn học gắn liền với

o có

o.

“Mối quan hệ thể chế với một đổi tượng [...] được định hình và biển đỗi bởi
một tập hợp những rhiệm vụ mà cá nhân [chiêm một vị trí nào đó trong thê


chê này] phai thực hiện, nhờ vào những kỹ thuật xác định" (Bosch. M và

Chcvallard.Y. 1999).
Ilơn thè. cũng theo Bosch. M và Chevallard.Y. việc nghiên cứu các tơ chức tốn

o cịn cho phép ta hình dung được một số yếu tố của quan hệ cá nhân
cua một chủ thể X tồn lại trong o. bởi vì:
học gấn liền với

"Chinh việc thực hiện những nhiệm vụ khác nhan mà cả nhân phải làm
trong si cuộc đời mình trong những thê chê khác nhau, ở đó nó là một
chu thê (lần lirợt hay đồng thời), dân tới làm nay sinh moi quan hệ cá nhân
cùa nó với đối tượng nói trên
Tố chức didactic
Khi một OM cần dạy được xác định, vấn đê đặt ra là tô chức việc dạy học OM như
thế nào? Ta dứng trước nhiệm vụ giúp người học nghiên cứu một OM xác định.
Một praxéologie mà kiêu nhiệm vụ cấu thành nên nó thuộc loại DH hay nghiên
cứu dược gọi là tơ chức didactic (oranisation didactique), kí hiệu là OD. Nói cách
khác, một tơ chức didactic là câu trả lời cho câu hỏi “Dạy một tơ chức tốn học xác
định như thế nào?"
Như vậy nghiên cứu một tổ chức didactic là nghiên cứu cách mà người ta truyền bá
một tổ chức tốn học trong lớp học.
'Iheo Chelvallard, dù khơng phải là mọi tổ chức toán học đều được tổ chức tìm
hiểu theo một cách thức duy nhất, thì vẫn có những thời điểm mà tất cả các hoạt động
nghiên cứu đều phải trải qua. ơng cho rang, một tình huống học tập nói chung gồm

6

thời điểm.
fThịi điểm thứ nhất: là thời điểm gặp gỡ lần đầu tiên của tổ chức toán học OM,
dược xác định là mục tiêu đặt ra cho việc học tập lên quan đến đối tượng o.
Sự gặp gỡ như vậy có thể xảy ra theo nhiều cách khác nhau. Tuy nhiên, có một

o
cấu thành nên o.

cách gặp. hay “gặp lại", hầu như không thể tránh khỏi, trừ khi người ta nghiên cứu
rất hời hcyl, đó là cách gặp thông qua một hay nhiều kiểu nhiệm vụ
"Sự gặp gỡ đẩu tiên’" với kiểu nhiệm vụ

Tj

Tị

thê xảy ra qua nhiều lần, tùy vào mơi

trường tốn học và môi trường sư phạm tạo ra sự gặp gỡ này: người ta có thể khám


phá một kiêu nhiệm vụ giông như khám phá một người mà người ta nghĩ minh đã biêt
rõ.
+Thò’i điếm thứ hai ; là thời điểm nghiên cửu kiêu nhiệm vụ T, và xây dựng nên
một kỹ thuật Tị cho phép giải quyết kiểu nhiệm vụ này được diễn ra dưới các hình
thức: giáo viên thơng báo kỹ thuật và học sinh giải quyêt nhiệm vụ. học sinh tự xây
dựng kỳ thuật để giải quyết nhiệm vụ. ... Như thế. nghiên cứu một bài toán cá biệt,
làm mẫu cho kiểu nhiệm vụ cần nghiên cứu, là một cách thức tiến hành đề triển khai
việc xây dựng kỹ thuật tương ứng. Kỳ thuật này lại là phương tiện và công cụ để giải
quyết mọi bài tốn “cùng kiêu”.
+Thịi điếm thứ ba: là thời diêm xây dựng môi trường công nghệ - lý thuyết
[0/0] liên quan đến r,. nghĩa là lạo ra những yếu tố lý thuyết cho phép giải thích kỳ
thuật đã được thiết lập.
+Thòi điểm thứ tư: là thời điểm làm việc với kỹ thuật.

I hời diêm này là thời điểm hồn thiện kỹ thuật bằng cách làm cho nó trở nên hiệu
qua nhât. có khả năng vận hành tốt nhất-điều này nói chung thường địi hói chình sừa
cơng nghệ dã được xây dựng cho đến lúc đó. Đồng thời đây cũng là thời điềm làm
tăng khả năng làm chú kỳ thuật của người học, thời điểm thử thách kỳ thuật này địi
hỏi phải xét một tập hợp thích đáng cả về số lượng lẫn chất lượng các nhiệm vụ.
+Thòi điểm thứ năm: là thời điểm thể chế hóa.
Mục đích của thời điểm này là chi ra một cách rõ ràng những yếu tố của tổ chức
toán học cần xây dựng. Những yếu tố này có thể là kiểu bài tốn liên quan, kỹ thuật
được giữ lại để giải, cơ sở cơng nghệ-lý thuyết của kỹ thuật đó, cách ghi hay ký hiệu
mới. Đặc biệt, phải phân biệt những yếu tố tham gia vào quá trình xây dựng này với
những yếu tố thực sự của tổ chức toán học nhắm đến (sự phân biệt mà học sinh tìm
cách làm rõ khi thầy giáo hỏi có cần thiết “ phải biết” hay khơng một kết quả hay một
quy trình nào đó).
+Thịi điểm thứ sáu: là thời điểm đánh giá
Thời điểm đánh giá nối khớp với thời điểm thể chế hóa. Trong thực tế, việc dạy
học phải đi đến một thời điểm mà khi đó người ta phải “điểm lại tình hình”: cái gì có
giá trị, cái gì đã học được...


Sáu thời điêm nghiên cứu nêu trên cho phcp mô tá kỳ thuật thực hiện kiêu nhiệm
\ Ị1• /'p : dạy
•' một
• tơ chức tốn học
■ như thê nào?
l’hân tích một tổ chức didactic có nghĩa là phân tích cách thức mà sáu thời điểm
nghicn cứu trên đã được thực hiện (hay khơng được thực hiện). Trong đó ba thời diêm
đầu tưcmg ứng với giai đoạn nghiên cứu bài học của học sinh.
l óm lại, khái niệm tơ chức didactic với các thời điếm của nó là cơng cụ giúp nhà
nghiên cứu mơ tá và phân tích cách thức mà GV đã triển khai để truyền bá một tổ chức
toán học cụ thế trong lóp học. Luận văn muốn làm rõ cách GV tiếp cận dạy học

KNĐl I nên việc lựa chọn phân tích tơ chức didactic là hợp lý và cân thiêt.
> Phân tích thực hành dạy học của giáo viên
Pheo Chevallard, khi phân lích thực hành của GV, nhà phân tích phải trả lời hai
câu hỏi:
•

Những tơ chức tốn học nào được xây dựng trong lớp học?

•

Prong lớp học. GV đã tổ chức việc nghiên cứu các tổ chức toán học ấy như thế
nào?

2.2. Phưong pháp nghiên cứu
Trong nghiên cứu của chúng tôi, đối tượng o là tri thức “ Khái niệm đạo hàm”
trong bối cảnh tiếp cận tri thức này. Thể chế dạy học mà chúng tôi quan tâm là thể chế
dạy học tốn chương trình 11 hiện hành tại VN. Để thực hiện nghiên cứu, chúng tơi
tiến hành các phưcmg pháp;
Đầu tiên, chúng tơi phân tích quá trình tiếp cận khái niệm đạo hàm trong giáo trình
dùng cho sinh viên năm thứ nhất các ngành khoa học kĩ thuật và kinh tế ở Mỹ để làm
cơ sở tham chiếu cho phân tích q trình tiếp cận KNĐH trong SGKVN về sau. Trong
q trình này, các cơng cụ lí thuyết sẽ được chúng tơi sử dụng như sau:
f Nghiên cứu R(r,0) làm cơ sở tham chiếu cho nghiên cứu R(I,0) giúp chúng
tôi làm rõ những ràng buộc của thể chế I đem lại cho đối tượng tri thức ĐH trong quá
trình tiếp cận tri thức này.


14

+ Kêt quả nghiên cứu R(l.()) giúp chúng tôi làm rõ R|(X.()). cụ thê là môi quan

hộ giữa các đối tượng cá nhân HS. GV với dôi tượng tri thức đạo hàm trong thê che
dạ\ toán hiện hành ở Việt Nam.
+ Phân tích các tổ chức tốn học sẽ cho phép chúng tôi vạch rõ các quan hệ thể
chc R(1,0); đồng thời tìm ra sự chênh lệch nếu có của các tổ chức toán học cần dạy và
được dạy.
Cuối cùng, thông qua nghiên cứu thực nghiệm trên đôi tượng giáo viên và học
sinh, chúng tôi sẽ kiêm chứng những giả thuyêt được rút ra sau khi phân tích hai bộ
SGKVN lớp 11 chương trình chuẩn và nâng cao.
3. Câu hịi nghiên cứu
I rong phạm vi lí thuyết này và lừ các câu hỏi ban đầu, chúng tơi trình bày hệ thống
câu hòi nghiên cứu của luận văn như sau:
Cị; Quá trình tiếp cận KNĐH trong thể chế dạy học tốn lớp 11 hiện hành diễn ra
như thế nào? Sự khác biệt của quá trình này là gì khi so với quá trình tiếp cận trong
một thể chế dạy học tham chiếu?
Cii Giáo viên chọn cách tiếp cận dạy học khái niệm đạo hàm như thế nào? Có
lương dồng với tiến trình đã dược dề nghị bời Lê Văn Tiến (2005) không? Các ý nghĩa
nào của đạo hàm được giáo viên xây dựng và ý nghĩa nào chưa được xây dựng?


15

Chuông 1. TIÉP CẬN KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM
TRONG THẺ CHÉ DẠY HỌC VIỆT NAM

Mục tiêu của chương này là nghiên cứu quá trình tiếp cận khái niệm ĐH trong thề
chế dạy học Việt Nam nhàm tìm câu trả lời cho C|: Quá trình tiếp cận KNĐH trong
thế chế dạy học toán lớp II hiện hành diễn ra như thế nào? Sự khác biệt của quá
trình này tà gì khi so với quả trình tiếp cận trong một thế chế dạy học tham chiếu?
ỉ)è đạt được mục tiêu này. chúng tôi tiến hành các bước nghiên cứu sau:
Bị:

Phân tích q trình tiếp cận KNĐH trong giáo trình Calculus Early

Transcendentals, Sixth Edition, James Steward. McMASTER University (M), giáo
trình chúng tơi lựa chọn sử dụng làm cơ sở tham chiếu cho thể chế dạy học Việt Nam
trong nghiên cứu của mình.
ớ bước này. chúng tôi sẽ cố gắng làm rõ cách tiếp cận KNĐU trong giáo trình M,
các ý nghĩa của ĐH dược xây dựng trong M và những kiều nhiệm vụ xoay quanh các ý
nghĩa này. Phân tích ở B| sẽ là cơ sở tham chiếu cho phân tích q trình tiếp cận
KNĐU trong SGKVN ở [Ụ.
B?: o bước này, chúng tôi tiên hành phân tích hai bộ SGK hiện hành là SGK
chưtmg trình chuẩn (V3) và chương trình nâng cao (V4), làm rõ cách tiếp cận KNĐH
trong hai chương trình, các ỷ nghĩa đạo hàm được chính thức đưa vào V3, V4. Mặt
khác, chúng lơi sẽ tiến hành phân tích các tơ chức tốn học xoay quanh việc tiếp cận
ĐH và các ý nghĩa của nó.
B3: Kết luận về cách tiếp cận KNĐH và ý nghĩa của nó trong các SGK Việt Nam
từ việc đối chiếu với giáo trình Mỹ.
Trước khi bước vào nghiên cứu chưcmg I, chúng tôi xin giới thiệu đơi nét về giáo
trình M. Các tri thức và đối tượng toán học trong M được James Steward, tác giả giáo
trình, xây dựng trên tư tưởng dạy học mơ hình hố. Thật vậy,ơng đã trình bày định
nghĩa của mơ hình tốn học là một chu trình gồm có 4 bước như sau [M, tr.23].


k'.j.-k’.’ryic

MyiTcniuti-o^

Vathvriy.iijl

Roai-wofld

rroDit m

ruxỊol

I :)rKiu‘>i-:.-ns

pređiơions

FIGURE I

'

n’.:>(k‘iin(j prtxf^ss

MỞ đầu của chu trình là một vấn đề thực tế. Từ vấn đề này. bước đầu tiên cần làm
là đặt tên các biến độc lập và các biến phụ thuộc, đưa ra một số giả thuyết nham đơn
gian hoá vấn đề thực tế và thực hiện chuyển hố nó trở thành một vấn đề tốn học. Đe
thực hiện bước này. ta vận dụng kiến thức Vật lý và các kĩ năng Toán học đê lập
phương trình phản ánh sự liên quan giữa các biến. Trong trường hợp ko có quy luật
Vật Tý thích hợp đế thực hiện bước chuyển hố trên, chúng ta có thể tiến hành thu
thập dữ liệu từ các nguồn như thư viện. Internet hoặc tiến hành một số thí nghiệm và
lập báng dữ liệu. Sau đó. ta trình bày các dữ liệu này thơng qua một hàm số ( có thế đề
nghị một sổ công thức đại số phù hợp trong một vài trường hợp). Đen đây. một mơ
hình tốn học đã được xây dựng từ vấn đề thực tế ban đầu.
Bước thứ hai. ta sẽ vận dụng các tri thức toán học (các khái niệm, phép toán được
phát triển xuyên suốt trong M), nghiên cứu mơ hình tốn học. Từ đó, đưa ra một số kết
luận.
Bước ba, từ những kết luận trong bước hai, ta vận dụng chúng như một cơng cụ đề
đưa ra lời giải hoặc những dự đốn cho các vấn đề thực tế.

Cuối cùng, so sánh các kết quả trên với các dữ liệu thực te mới, nếu như giữa kết
quả và dữ liệu thực tế không tương thích, ta cần tiến hành điều chỉnh lại mơ hình hoặc
thực hiện lại từ đầu một chu trình mới để xây dựng một mơ hình thích hợp hơn.
Xu hướng dạy học mà James Steward đề ra trong giáo trình M là xu hướng dạy học
phổ biến hiện nay trong dạy giải tích ở Mỹ . Giáo trình M được chúng tơi lựa chọn là
một giáo trình tiêu biểu được sử dụng rộng rãi ở Mỹ và một số trường giảng dạy bằng
tiếng Anh ở Việt Nam.
Một số tài liệu đùng trong phân tích của chương:
+ Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 (cơ bản) (V3)
+ Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 (nâng cao) (V4)
+ Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 (G3)


17

+ Sách giáo viên Đại số và Giải lích 11 (G4)
+ Calculus

Early

Transcendentals.

Sixth

Edition,

.lames

Steward.

McMASTER University (M).
+ Phương pháp dạy học mơn Tốn ở trường phổ thông (TVT). I.ê Văn
l iến. 2005.
1.1. Phân tích giáo trình Mỹ
Do giới hạn phạm vi nghiên cứu của luận văn, chúng tơi chi trình bày những phân
tích vê đôi tượng tri thức ĐH xoay quanh phạm vi các hoạt động tiếp cận. định nghĩa
và các ý nghĩa tường minh của ĐH được hình thành trong M.
1.1.1. Các hoạt động tiếp cận khái niệm đạo hàm
1.1.1.1. Hoạt động tiếp cận đạo hàm thơng qua bài tốn xác định tiếp tuyến của
một đường cong
a) Khái niệm tiếp tuyến
I rong chưcmg 2 LIMIT AND DERIVATIVES (Giới hạn và đạo hàm), trước khi
đưa vào khai niệm dạo hàm ở mục 2.7. M đưa ra hoạt động 1 (HĐl) về tiếp tuyến
dường cong trong mục 2.1 THE TANGENT AND VELOCITY PROBLEM ( Bài
tốn tiêp tuyến và vận tơc). HĐl có vai trị giới thiệu bài tốn tìm tiêp tun dường
cong parabol như một vấn đề thực tiễn, việc giải quyết vấn đề này đòi hỏi sự vận dụng
các kiến thức sẽ được dạy trong chương 2. Bên cạnh đó, HĐl cịn giới thiệu quan
niệm mới về tiếp tuyên, khác với quan niệm cũ trước đó với các đặc trưng cơ bản là
“tiêp xúc” và “có một diêm chung”.
"'Từ tiêp tuyến trong tiếng Anh là tangent, băt nguồn từ một từ trong tiếng Latin, cỏ
nghĩa là "chạm" hay “tiếp xúc”. Như vậv, một tiêp tuyến của một đường cong là một
đ.cờng thăng íiêp xúc đường cong. Nói cách khác, một đường tiếp tuyên cân phải có
c::ng hướng với đường cong tại các điêm tiếp xúc. Làm thế nào ỷ tưởng này có thể
được thực hiện chính xác?
Trong trường hợp một đường trịn, chủng ta có thê phát biểu như Euclid rằng một
tiếp tuyến là một đường thảng giao với đường tròn tại một và chi một điếm như trong
hĩnh l (a). Đối với các đường cong phức tạp hơn định nghĩa này là không đủ. Cụ thể,
hĩnh 1(b) cho thảy hai đường thăng đi qua một diêm trên một đường cong c. Một

trong sô hai đường thăng đỏ căt c chi một lần. nhưng chắc chằn nỏ khơng giơng như
những gì chúng ta nghĩ là một tiêp tuyên. Đường thăng còn lại trỏng giỏng như một
tiêp tun nhưng nó căí c hai lân. " [M.tr.83]

y
(t,

FIGURE I

Qua phát biêu '"‘‘Trong trường họp một đường trịn, chúng ta có thê phát biêu như
Euclid rằng một tiếp tuyến là một đường thẳng giao với đường trịn tại một và chi một
diêm như trong hĩnh ì (a). Đôi với các đường cong phức tạp hơn, định nghĩa này là
không đù". M cho thấy nhu cầu về một khái niệm tiếp tuyến mới thay thế cho khái
niệm cũ.
HĐl có thê xem là hoạt động nối khcVp giữa hai khái niệm liếp tuyến. M không đưa
ra định nghĩa tiếp tuyến cụ thề mà chỉ mô tả bằng lời dẫn và hình ảnh trirc quan. Tuy
nhiên, sự khác biệt cơ bản giữa quan niệm tiếp tuyến mới và quan niệm tiếp tuyến cũ
với hai đặc trưng là “ tiếp xúc” và “có một điểm chung” vẫn được nhấn mạnh.
M cho ví dụ ‘"‘"Tim phương trình tiếp tuyển của đường cong parabol y=x^ tại điểm
p (1:1)”. Cũng như các công trình nghiên cứu tìm phương trình tiếp tuyến của các
nhà toán học Fermat, Descartes, John Wallis, Isaac Barrow từ trước thế kỷ XVII và
Isaac Newton the kỷ XVII, M cũng thông qua việc xem xét độ dốc của cát tuyến để
tìm phương pháp giải ví dụ này.
"Có thê viết phương trĩnh tiếp tuyển khi ta biết được hệ sổ góc m của nó. Điều gày
khó khăn ở đây là ta chỉ biết được tọa độ diêm p trong khi phải có tọa độ hai diêm để
tỉnh hệ sổ góc. Tuy nhiên, chủng ta có thể tính được một xấp xi của m bằng cách chọn
một điểm Q (x,x~) lân cận điểm p và tinh hệ sổ góc mpQ cùa đường thẳng PQ ”.
[M. tr83]

Q

Với x

] nên

p . Từ đó, ta tính được nipQ:
x'-l
x-1

Từ hai bảng thông số trên, M phát biểu: “ Khi giả trị của X càng lúc càng gần I tức
Q càng gần p thì giá trị của ntpo càng gần 2. Điêu này cho thấy có khả năng hệ sơ góc
cua tiếp tuyên tại p lù m=2
Cuối cùng, kết luận: “ Vậy ta nói hệ sổ góc cùa tiếp tuyến là giới hạn của hệ so góc
cát tuyến. Ta kí hiệu như sau: lim rUpf . = m và lim
Q^p

X'

-1

x-\

=

2

HĐl được xây dựng nhằm giới thiệu ứng dụng của khái niệm giới hạn nói chung
\ à ĐH nói riêng thơng qua bài toán tiếp tuyến đường cong. Các khái niệm này sẽ được
M dưa vào ở các mục sau mục 2.1. Do thiếu cơ sở lí thuyết, phương pháp tìm tiếp

tuyến trong HĐl cịn mang tính trực giác.
Nhận xét:
+ Tác giả chọn tiếp cận KNĐH bằng bài toán tiếp tuyến đường cong
y = / (x) = xT ở thời điểm này, ĐH chưa được gọi tên mà chỉ xuất hiện như một cơng
i

1

^ ■ iiOMCỊ 0ai-Ho^ ■ a.:-.

ì !-

Hố riil-ìvlii-^C

ị


20

, y- — I

CỊ1 ngam ân. thông qua giới hạn cua hàm so -—^ và bảng thông số. đưa ra kết quả hệ
.V -1

số góc tiếp tuyến tại .V = 1. Như vậy. ĐH lúc này dóng vai trị như một khái niệm tiền
tốn học chưa có tên. chưa có định nghĩa (protomathématique). Qua HĐl. ý nghĩa
hình học của ĐH cũng băt đâu được tác giả xây dựng.
+ Sự lựa chọn trên của tác giả là phù hợp với lịch sử phát triền của KNĐH. Thật
vậy. theo Bùi Thị Thu Hiền và Ngô Minh Đức trong Li và L3
> "Khải niệm tiếp tuyến xuất hiện triĩớc và rất lâu trong lịch sử rồi mới đến khái

niệm đạo hàm và vi phán. Nhu cáu tìm kiêm phxcơng pháp tơng qt xác định tiêp
tuyến đường cong ( mà qua đó khái niệm tiếp tuyến được ngầm định nghĩa) là động
lực thúc đáy cho việc hoàn thiện khái niệm tiếp tuyến và đong thời là một trong các
nhàn tổ dân đến sự nảy sinh khải niệm đạo hàm và vi phân. Bên cạnh đỏ. khải niệm
đạo hàm cũng sớm xuãt hiện như là cơng cụ cho việc tìm vận tơc tức thời trong chuvên
động cơ học. Khi khái niệm đạo hàm hĩnh thành và hồn thiện thì lại tác động ngược
lại dê giải quyêt hài toán tiêp tuyên một cách triệt đê." fL|. tr. 15j
"Bài toán xác định tiếp tuvên của một đường cong bất kĩ là động lực chủ yếu
mà quá trình giải quyêt nỏ đã giúp đem lại một phương pháp mới đây hiệu quả trong
đỏ ngầm ân xuất hiện khái niệm đạo hàm, cũng như dân Leibniz đi đến định nghĩa đạo
hàm như là ti sổ các vi phân ’’.Ị L3. tr.33]
+Hoạt động 1 được tác giả xây dựng nhàm giới thiệu trước một số bài tốn cần
tính giới hạn hàm số nói chung và KNĐH nói riêng trước khi đưa vào giáo trình.
Chính vì vậy, những suy luận trong hoạt động này cịn mang tính trực giác và chưa có
cơ sở lý thuyết đầy đủ (lý thuyết giới hạn).
+Bên cạnh việc giới thiệu ứng dụng của khái niệm giới hạn nói chung và ĐH nói
riêng thơng qua bài tốn tiếp tuyến đường cong, tác giả còn xây dựng hoạt động nối
khcVp giữa quan niệm tiếp tuyến cũ của Euclide và quan niệm tiếp tuyến mới trong
hình học giải tích. Mặc dù tác giả không đưa ra định nghĩa tiếp tuyến cụ thể mà chỉ mô
tả bàng lời dẫn và hình ảnh trực quan nhưng sự khác biệt cơ bản giữa quan niệm tiếp
tuyến mới và quan niệm tiếp tuyến cũ với hai đặc trưng là 'tiếp xúc' và "có một điểm
chung" vẫn được nhấn mạnh.