(Sáng kiến kinh nghiệm) giúp học sinh vận dụng tốt một bất đẳng thức đơn giản vào giải một số bài toán bất đẳng thức

MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU.
1.1. Lí do chọn đề tài.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận .
2.2. Thực trạng vấn đề.
2.3. Các giải pháp thực hiện.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến.
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
TÀI LIỆU THAM KHẢO

Trang
2
2
2
3
3
3
3
3
4
5
17
18
20

I. MỞ ĐẦU

1.1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Toán học là một bộ mơn khoa học địi hỏi khả năng tư duy có chiều sâu và sự
quan sát tinh tế của người học thì mới giải quyết được các yêu cầu của bài tốn
đề ra, tốn học ln khơng ngừng phát triển theo thời gian, chính vì vậy người
1


dạy càng phải tìm tịi và sáng tạo những phương pháp dạy học mới để đáp ứng
được nhu cầu của người học.
Chúng ta đều biết một bài tốn dù có khó, phức tạp đến đâu lời giải của nó
cũng có thể đưa được về các bước suy luận đơn giản, việc giải các bài tốn phức
tạp đều có thể đưa về việc áp dụng, tiền đề là các bài toán đơn giản. Nên việc
thường xuyên ứng dụng, khai thác các bài tốn đơn giản để giải các bài tốn khó
là một cách nâng cao dần khả năng suy luận, tư duy sâu cho học sinh, đồng thời
tạo hứng thú cho học sinh trong quá trình học tập.
Qua những năm trực tiếp giảng dạy, bản thân tôi thấy một thực tế hầu hết các
em học sinh sau khi giải xong một bài toán là tỏ ra thoả mãn yêu cầu. Thậm chí
cả đối với một số học sinh khá, giỏi cũng vậy. Điều đó thật đáng tiếc và cuối
cùng chính nó làm tơi suy nghĩ và tìm tịi biện pháp để hướng các em hãy dành
một lượng thời gian vừa đủ để suy xét tiếp một bài tốn mà mình vừa giải xong.
Sau khi suy nghĩ như vậy và hướng dẫn các em học sinh theo hướng khai thác,
phát triển ở một bài toán để trở thành một “họ” của bài tốn đó hay ta có một
“chùm” bài tốn hay làm tôi rất tâm đắc bởi các em đã được tha hồ phát huy trí
sáng tạo của mình, tìm tịi mọi góc độ xung quanh một bài tốn xuất phát, qua
đó các em khắc sâu được kiến thức. Và điều quan trọng hơn cả là thông qua
cách hướng dẫn này phù hợp với phương pháp dạy học tích cực hiện nay, các
em học sinh là người chủ động sáng tạo trong việc tiếp thu kiến thức, làm chủ
tình huống, từ đó càng u thích và say mê học tốn hơn.
Xuất phát từ những suy nghĩ ấy tôi đã trăn trở và mạnh dạn đưa ra một hướng
“Giúp học sinh vận dụng tốt một bất đẳng thức đơn giản vào giải một số bài

toán bất đẳng thức”. Nhằm giúp các em tạo ra một thói quen tốt sau khi giải
một bài tốn, đồng thời giúp các em u thích bộ mơn tốn có thêm điều kiện để
phát triển thêm về năng lực tư duy.
1.2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Nhằm nâng cao chất lượng dạy và học: Trước hết giáo dục nhà trường phải
hình thành và bồi dưỡng cho học sinh năng lực tự học, tự giải quyết vấn đề. Việc
trang bị tốt năng lực này là một trong những hoạt động trọng tâm của việc đổi
mới phương pháp dạy học trong điều kiện đổi mới chương trình phổ thơng. Vì
thế cốt lõi của đổi mới phương pháp dạy học là hướng tới hoạt động học tập tích
cực, chủ động, sáng tạo của học sinh, chống lại thói quen học tập thụ động. Đổi
mới phương pháp dạy học bao gồm đổi mới nội dung và hình thức hoạt động
của giáo viên và học sinh, đổi mới hình thức tổ chức dạy học, đổi mới hình thức
tương tác xã hội trong dạy học, đổi mới kĩ thuật dạy học với định hướng: Bám
sát mục tiêu giáo dục phổ thông, phù hợp với nội dung dạy học cụ thể, phù hợp
với đặc điểm lứa tuổi học sinh, các điều kiện dạy học của nhà trường, ứng dụng
công nghệ thơng tin.
Khai thác và phát triển bài tốn từ một bất đẳng thức đơn giản, để các em học
sinh vận dụng một cách linh hoạt, sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh.

2


Phát huy năng lực tư duy tích cực, độc lập sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện
và giải quyết vấn đề, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn của
học sinh.
Giúp giáo viên có thêm một tư liệu tham khảo bổ ích về vấn đề này.
1.3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Q trình dạy tốn nói chung và dạy bồi dưỡng học sinh giỏi phần bất đẳng
thức nói riêng ở trường THCS Thành Tâm.
Phương pháp khai thác và phát triển bài toán từ một bất đẳng thức đơn giản.

1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu qua tài liệu: Tham khảo tài liệu chun mơn có liên quan đến bất
đẳng thức.
- Nghiên cứu qua thực hành giải bài tập của học sinh.
- Nghiên cứu qua theo dõi kiểm tra.
- Nghiên cứu từ thực tế giảng dạy, học tập của từng đối tượng học sinh.
1.5. NHỮNG ĐIỂM MỚI CỦA SKKN
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1.Cơ sở lý luận
Đặc điểm của lứa tuổi HS THCS là muốn vươn lên làm người lớn, muốn tự
mình khám phá, tìm hiểu trong quá trình nhận thức. Các em có khả năng điều
chỉnh hoạt động học tập, sẵn sàng tham gia các hoạt động học tập khác nhau
nhưng cần phải có sự hướng dẫn, điều hành một cách khoa học và nghệ thuật
của thầy, cơ giáo. Hình thành và phát triển tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo cho
HS là một quá trình lâu dài.
Trong tốn học, q trình xác nhận hay bác bỏ một phán đốn nào đó dựa vào
các phán đốn đã biết từ trước gọi là phép chứng minh.
Để rèn luyện kỹ năng giải bài toán bất đẳng thức cho học sinh, tơi sử dụng
phép phân tích trong q trình tìm lời giải và phép tổng hợp trong trình bày lời
giải. Phép phân tích là phương pháp chứng minh đi từ cái chưa biết đến cái đã
biết, từ điều cần tìm đến điều đã cho.
Vì khi dạy cho học sinh giải bài tập, người giáo viên không chỉ đơn thuần cung
cấp lời giải mà quan trọng hơn là: Dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ tìm ra
con đường hợp lý để giải bài toán.
Hai phương pháp được sử dụng để khai thác bài tốn bất đẳng thức:
1. Tìm thêm cách giải khác
2. Xây dựng bài toán mới từ các bài toán ban đầu.
2.2.Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN
-Thực trạng chung:
Các dạng toán về chứng minh bất đẳng thức là bài tốn khó vì phạm vì

kiến thức rộng đặc biệt là với học sinh THCS vì công cụ để chứng minh bất
đẳng thức trong khuôn khổ chương trình cịn hạn chế, các bài tốn về chứng
3


minh bất đẳng thức ngồi việc địi hỏi các em nắm vững kiến thức, các phương
pháp chứng minh mà còn địi hỏi học sinh phải có tư duy tốt biết vận dụng và
khai thác tốt các bất đẳng thức đã biết vào việc chứng minh, hiện nay các bài
toán về chứng minh bất đẳng thức thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học
sinh giỏi các cấp, các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 đặc biệt thi vào các trường
chuyên, lớp chọn nhằm phân loại học sinh nên thường rất khó.
- Đối với giáo viên:
Một số giáo viên chưa thực sự quan tâm đến việc khai thác, phát triển, sáng
tạo bài tốn trong các tiết dạy nói riêng cũng như trong cơng tác dạy học nói
chung.
Chưa chú trọng đến việc phân tích bài tốn theo nhiều khía cạnh đề tạo ra các
phương pháp và lời giải khác nhau, cũng như chưa phát triển bài toán cụ thể
thành bài toán tổng quát hay sử dụng phương pháp, kết quả tìm được cho các bài
toán khác.
Bắt học sinh giải nhiều bài tập nhưng ít hiệu quả làm cho học sinh coi việc
giải toán là gánh nặng. Chưa chú ý đến việc lựa chọn một hệ thống bài tập đa
dạng đầy đủ mà còn đơn điệu, lặp lại khiến học sinh nhàm chán, chỉ giải một
cách qua loa đại khái.Chưa gây được hứng thú cho học sinh thông qua việc giải
các bài tốn.
Chưa chun sâu một vấn đề nào đó, chưa liên hệ được các bài toán với
nhau và chưa khai thác phát triển một bài toán tốt để giúp cho học sinh khắc sâu
được kiến thức.Quan trọng hơn nữa là chưa nâng cao được tư duy cho các em
học sinh.
Trước thực trạng trên địi hỏi phải có các giải pháp trong phương pháp dạy và
học sao cho phù hợp.

- Đối với học sinh:
Đa số học sinh, sau khi tìm được một lời giải đúng cho bài tốn thì các em hài
lịng và dừng lại, mà khơng tìm lời giải khác, khơng khai thác thêm bài tốn,
khơng sáng tạo gì thêm nên khơng phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo
của bản thân.
Khơng ít học sinh thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù
hợp, chưa chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập chưa cao.
Học không đi đôi với hành, làm cho bản thân học sinh ít được củng cố, khắc
sâu kiến thức, ít được rèn luyện kĩ năng để làm nền tảng tiếp thu kiến thức mới,
do đó năng lực cá nhân khơng được phát huy hết.
Các em khi giải dạng tốn về bất đẳng thức thường lúng túng, một mặt là khó
mặt khác các em khơng biết bắt đầu từ đâu, chưa định hình được phương pháp
giải nên đa số các em thường học kém và không hứng thú học dạng toán này.
Học sinh thường ngại học toán bất đẳng thức vì kiến thức khơng liền mạch,
phương pháp giải hạn chế, các bài tốn bất đẳng thức thường khó, phải áp dụng
các kiến thức khó như: quy nạp tốn học, phản chứng, sử dụng bất đẳng thức có
sẵn... nên học sinh hay ngại học.
4


Do đó phát triển năng lực tư duy cho học sinh thơng qua việc giải tốn bất
đẳng thức là rất cần thiết. Trong những năm giảng dạy thực tế ở trường THCS
Thành Tâm tơi đã tích luỹ được một số kiến thức và kinh nghiệm về toán bất
đẳng thức.
2.3.Các giải pháp thực hiện
Sau khi đã trang bị cho học sinh một vốn kiến thức cơ bản, các phương pháp
chứng minh đẳng thức. Tôi mới áp dụng đề tài này và thấy rằng nó rất hiệu quả.
Qua những bài tốn mà học sinh đã giải được, tôi định hướng cho các em tư
duy, tập trung nghiên cứu thêm về lời giải, về kết quả bài tốn đó. Bằng các hình
thức như:

- Kiểm tra kết quả. Xem xét lại các lập luận.
- Nghiên cứu, tìm tịi, … với việc tập trung giải quyết các vấn đề như:
Liệu bài tốn cịn có cách giải khác hay khơng? Có thể thay đổi dữ kiện bài cho
để đề xuất bài tốn mới khơng? Bài tốn đã cho có liên quan với các bài tốn
nào khác không? …
Trong đề tài này, tôi xin minh hoạ bằng cách khai thác, phát triển từ kết quả
một bất đẳng thức rất đơn giản. Nhằm giúp học sinh thấy được cái hay, cái đẹp,
sự thú vị trong học tốn nói chung và trong giải tốn về bất đẳng thức nói riêng.
Từ đó, giúp học sinh tự tin, tích cực, sáng tạo hơn trong học tốn, giúp học sinh
thêm u thích, nâng cao chất lượng, kết quả học tập mơn tốn.
Trước hết chúng ta hãy bắt đầu từ một bất đẳng thức đơn giản sau:
Bài toán 1 (Bài toán xuất phát): Cho a, b là hai số bất kì và x, y là hai số
dương. Chứng minh rằng:

Chứng minh: Việc chứng minh bất đẳng thức này rất đơn giản.
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:



Bất đẳng thức sau cùng hiển nhiên đúng.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Ta không dừng lại ở đây mà vận dụng bất đẳng thức đơn giản này ta có thể giải
được những bài tốn phức tạp hơn.
+ Bài tốn cịn có thể giải quyết theo hướng nào hay hơn khơng ?
+ Bài tốn này nếu giữ ngun giả thiết ấy thì cịn kết luận thêm được gì nữa?
+ Bài tốn này nếu đặc biệt hóa giả thiết (và ngược lại tổng quát hóa giả thiết)
một số điều kiện ( nếu được) thì thu được những kết luận mới nào?
5

Từ những vấn đề như trên mà sau mỗi bài tốn tơi đã cố gắng cho học
sinh suy nghĩ, tìm tòi các cách chứng minh khác nhau và hướng dẫn cho học
sinh biết khai thác kết quả của bài toán thu được một chuỗi các bài toán liên
quan.
Quay lại với bài tốn 1 đã trình bày ở trên, tơi tiếp tục những hướng khai thác
khác và đã thu được một vài kết quả như sau:
Bài toán 2. Chứng minh rằng với mọi số dương x, y ta có:

Giải: Sử dụng BĐT (*) ta được:

Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi; x = y.
Áp dụng bất đẳng thức (*) hai lần, ta dễ dàng chứng minh được bài toán 3.
Bài toán 3: Với ba số dương x, y, z chứng minh rằng:

Vậy qua các bài toán trên, ta mạnh dạn xây dựng bài toán sau:
Bài toán 4. Cho a,b,c là ba số bất kì và ba số dương x, y, z. Chứng minh rằng:

Chứng minh: Sử dụng bất đẳng thức (*) hai lần ta nhận được:

Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi

Giúp học sinh biết vận dụng tốt các BĐT đơn giản trên theo cả hai chiều thuận
và ngược vào giải một số bài toán trong các đề thi học sinh giỏi bậc THCS,
tuyển sinh vào lớp 10 trong những năm gần đây:
Bài toán 5:Cho hai số a, b bất kì. Chứng minh rằng:
Chứng minh: Sử dụng BĐT (*) hai lần ta có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.
6

Bài toán 6: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn:

Chứng minh rằng :

Giải: Áp dụng BĐT (*) hai lần ta được:

Chứng minh tương tự, ta được:

Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta được:

Suy ra: (đpcm)
Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi:
Qua bài toán này chúng ta có thể vận dụng linh hoạt bất đảng thức (*) theo chiều
thuận và chiều ngược, tùy theo yêu cầu của mỗi bài toán.
Vận dụng cách làm tương tự ta có lời giải bài tốn 7.
Bài tốn 7: Cho ba số dương x, y, z. Chứng minh rằng:

( Đề thi vào lớp 10 THPT trường ĐHSP TP. Hồ Chí Minh năm 2013 – 2014)
Có những bài BĐT có thể ta chưa thể áp dụng BĐT (*), phải lưu ý giả thiết của
bài toán, và phải qua các phép biến đổi ta mới sử dụng được.
Bài toán 8: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:

7


Chứng minh: Sử dụng BĐT (**) với lưu ý abc =1  a2b2c2 = 1 ta có:

Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số dương ab ; bc ; ca ta có :

Do đó :

Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi a = b = c= 1
Bài toán 9: Cho a, b, c > 0 và
. Chứng minh rằng:

(Đề thi học sinh giỏi mơn tốn 8 huyện Thạch Thành năm học 2018 – 2019)
Chứng minh:
Ta có:

Áp dụng BĐT ở bài tốn 3 ta có :

( vì
Mà :

Do đó:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Ta đề xuất được bài toán mới:
Bài toán 10:Cho a, b, c > 0 và
thức:

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

8


Bài toán 11: Cho 2 số dương x, y thỏa mãn
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

.

(Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn 8, huyện Bá Thước năm học 2018 – 2019)
Bài toán 12: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
(Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn 8 huyện Quảng Xương năm học 2018 – 2019)
Chứng minh:
Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với 2 ta được:





Sử dụng BĐT (**) ta được:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Bài toán 13: : Cho hai số dương a, b thỏa mãn a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
(Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn 8 huyện Như Thanh năm học 2018 – 2019)
Đây là bài tốn tìm cực trị, ta dễ dàng hướng dẫn học sinh tìm được giá trị nhỏ
nhất bằng sử dụng BĐT bài tốn 2.
Giải:
Ta có:
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương a, b ta có:
Sử dụng BĐT bài tốn 2 ta có:

9


Do đó :
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 6 khi
Bài toán 14: Cho các số thực dương a, b, c biết a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 mơn tốn tỉnh Thanh Hóa năm học 2018 – 2019)
Giải:Ta có:

Sử dụng BĐT (**) ta được:

Mà:
Suy ra :
Suy ra :

10


Do đó:

Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi

.

Bài toán 15: Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
Chứng minh: Sử dụng BĐT (**) ta có:

Vì thế ta chỉ cần chứng minh BĐT:

( ln đúng)
Từ đó suy ra BĐT cần chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b =c .
Bài toán 16: Cho các số dương a, b, c, p, q. Chứng minh rằng:

Với p = q = 1 ta trở về bài tốn trên.
Chứng minh: Sử dụng BĐT (**) ta có:

Vì thế ta chỉ cần chứng minh:
Và BĐT này đã được chứng minh trong lời giải bài toán trên.
Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
11


Bài toán 17: Cho ba số dương x; y; z. Chứng minh rằng:

Chứng minh: Sử dụng BĐT (**) ta có:

Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.
Bài toán 18: Cho các số thực dương thỏa mãnx + y + z = 3 .Chứng minh rằng:

Chứng minh: Sử sụng BĐT (**) ta có:

Mà : 3 = x + y + z
Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1.
Bài toán 19: 1.Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng :
(Đề thi học sinh giỏi mơn tốn 8, huyện Hoằng Hóa năm học 2018 – 2019)
Giải:
1.Làm tương tự như bài toán 6.
2.

12

Áp dụng BĐT Cauchy cho các số thực dương ta có :

Áp dụng BĐT ở bài tốn 3, ta được :

Từ (1) và (2) suy ra:

Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Bài toán 20: Cho ba số thực x, y, z dương thỏa mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

( Đề thi vào lớp 10 THPT Chuyên Lam Sơn năm học 2016 -2017)
Khi đứng trước một bài toán, chúng ta thường hay lúng túng khơng biết giải
quyết bằng cách nào, bài tốn này ta có thể biến đổi tử số về bình phương của
một số, đến lúc này ta có nghĩ ngay đến việc vận dụng BĐT (**) hay không?
Vận dụng BĐT đơn giản trên ta vẫn có thể giải thêm những bài tốn hay và khó
sau:
Giải:

13


Áp dụng BĐT (**) ta có:

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương ta có:

Suy ra:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 0,5.
Vậy minP = 7,5.

Bài toán 21: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:

(Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Hưng Yên năm học 2015 -2016)
Giải: Ta có:

14


Áp dụng BĐT ở bài toán 3, ta được:

Suy ra:

Suy ra:
.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Vậy maxP = 4.
Bài toán 22: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:
(Đề thi vào lớp 10 THPT chun Thái Bình năm học: 2016 – 2017 vịng
1)
Giải: Ta có:


(vì xyz =
1)





Áp dụng BĐT ở bài tốn 3 ta có:

Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số dương, ta có:

Suy ra:

15


BĐT (I) đúng.
Vậy:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1.
Bài toán 23: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc + a + b = 3ab.
Chứng minh rằng:

(Đề thi chọn HSG mơn tốn lớp 9 tỉnh Phú Thọ năm học 20112012)
Giải:Ta có:
Đặt
thì x, y, z dương và x + y + z = 3. BĐT cần chứng minh trở thành:

Ta có:
Suy ra:
với mọi x,y.
Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1. Do đó:

Tương tự:

Gọi vế trái của (1) là A, ta có:

Áp dụng BĐT ở bài tốn 3, ta có:

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1 hay a = b = c = 1.
* Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng:

16


Bài 2: Cho 2 số không âm thỏa mãn
biểu thức:

. Tìm giá trị nhỏ nhất của

Bài 3: Cho các số dương x, y, z. Chứng minh rằng:

Bài 4: Cho a, b là hai số dương thỏa mãn a + b
biểu thức:

.Tìm giá trị nhỏ nhất của

Bài 5: Cho các số dương a, b, c, d, e. Chứng minh rằng:
Bài 6: Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm min của biểu thức:

Bai 7:Cho các số dương a, b, c thỏa mãn: 3(ab + bc + ca) = 1. Chứng minh rằng:

Bài 8:Cho các số dương x, y, z thỏa mãn

Bài 9:

. Chứng minh rằng:

Cho x, y, z là các số thực dương và x + y + z = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

( Đề thi học sinh giỏi mơn tốn lớp 9 tỉnh Hà Tĩnh năm học 2012-2013)
Bài 10: Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn
Chứng minh rằng:
(Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên tỉnh Thái Bình năm học 2013 -2014)
Bài 11:Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
(Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên ĐHSP Hà Nội năm học 2014 – 2015)
Bài 12: Cho a, b , c là các số dương thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 3.
17


Chứng minh rằng:
(Đề thi vào lớp 10 THPT toán chung chuyên Lam Sơn năm học 2012-2013)
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Qua khảo sát mức độ hứng thú học giải toán Bất đẳng thức của một số học
sinh và kết quả của đội tuyển học sinh giỏi lớp 8 ở trường THCS Thành Tâm
năm học 2018-2019 trước khi áp dụng sáng kiến.
Bảng 1. Mức độ hứng thú của học sinh khi giải tốn Bất
đẳng thức
Lớp Tổng số
Hứng thú
Bình thường
Khơng hứng thú
SL
%
SL
%
SL

%
8
12
1
8,3
3
25,0
8
66,7
Bảng 2. Kết quả khảo sát đội tuyển học sinh giỏi
Lớp Tổng số Biết khai thác bài toán
Chưa biết khai thác bài toán
SL
%
SL
%
8
6
1
16,6
5
83,4
Qua việc áp dụng sáng kiến vào giảng dạy học sinh lớp 8 và ôn luyện đội
tuyển học sinh giỏi lớp 8 trong năm học 2018 - 2019, thì mức độ hứng thú và kết
quả học giải toán bất đẳng thức đã đạt hiệu quả rõ rệt thể hiện ở các điểm sau:
- Học sinh có kỹ năng làm các bài toán một cách hợp lý, các em nhìn nhận
bài tốn dưới nhiều khía cạnh khác nhau. Đặc biệt nhiều em học sinh đã vận
dụng phương pháp khai thác bài toán một cách hợp lý nên đã tạo ra được nhiều
bài tốn hay, bài tốn khó và có những lời giải độc đáo.
- Quan trọng hơn nữa là tạo hứng thú cho các em tìm tịi, sáng tạo, áp

dụng toán học vào đời sống thực tế. Do đó chất lượng học tốn của học sinh
nâng lên rõ rệt. Tỷ lệ học sinh khá giỏi tăng lên.
Kết quả điều tra và khảo sát học sinh sau khi áp dụng sáng kiến như sau:
Bảng 3. Mức độ hứng thú của học sinh khi giải toán Bất đẳng thức
Lớp Số lượng
Hứng thú
Bình thường
Khơng hứng thú
SL
%
SL
%
SL
%
8
12
7
58,3
5
41,7
0
0
Bảng 4. Kết quả khảo sát đội tuyển học sinh giỏi
Lớp
Tổng số Biết khai thác bài toán
Chưa biết khai thác bài toán
SL
%
SL
%

8
6
6
100
0
0
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1.Kết luận
Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm trên vào thực tế giảng dạy ở trường
THCS Thành Tâm tôi đã thu được kết quả như sau:
18


- Học sinh đã có hứng thú về dạng tốn bất đẳng thức, nắm vững và biết vận
dụng bất đẳng thức đơn giản vào giải toán.
- Đối với học sinh giỏi các em đã biết vận dụng để giải được các bài tốn bất
đẳng thức ở dạng khó hơn. Qua đó giúp học sinh hứng thú khi gặp loại bài tốn
này nói riêng và học mơn tốn nói chung.
- Qua quá trình hướng dẫn một cách cụ thể như vậy, học sinh đã biết vận dụng
một cách linh hoạt bất đẳng thức cơ bảnvào giải các bài tập cụ thể từ đơn giản
đến phức tạp.
- Với phương châm tìm được thêm một cách giải hay đề xuất được một bài toán
tương tự là một “phát minh” sáng kiến đã tiến hành áp dụng rất thành công ở đội
tuyển học sinh giỏi lớp 8 trường THCS Thành Tâm. Cùng với sự đổi mới
phương pháp giảng dạy, “Khai thác và phát triển bài toán” đã và đang thu hút
sự quan tâm đặc biệt của các em học sinh, đây chính là một trong các yếu tố tạo
động cơ học tập nhằm giúp các em tự lực nắm bắt kiến thức một cách hứng khởi
khơng ép buộc mà đích cuối cùng là nâng cao chất lượng dạy và học bộ môn.
2. Kiên nghị
Qua quá trình nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm và kết quả đã thu được từ

thực tế, để học sinh làm được dạng toán bất đẳng thức một cách linh hoạt sáng
tạo. Mỗi giáo viên chúng ta cần:
- Có sự đầu tư cho bài dạy, tích cực sưu tầm tài liệu có liên quan trên các
phương tiện thơng tin đại chúng để có phương pháp dạy thích hợp.
- Trong q trình dạy học phải có yêu cầu cao đối với học sinh trong việc tự
trình bày lời giải.
- Phải nắm bắt và phân loại được từng đối tượng học sinh, đặt mình vào đối
tượng học sinh từ đó có kế hoạch và đề ra những phương pháp dạy học phù hợp.
Toán bất đẳng thức là một dạng tốn khó đối với học sinh. Để giải loại toán
này cần phải biến vận dụng nhiều phương pháp khác nhau một cách linh hoạt.
Trên đây là vận dụng từ một bất đẳng thức đơn giản mà trong quá trình giảng
dạy thực tế hay được sử dụng để giải một số bài toán bất đẳng thức, cho dù đã
cố gắng và cẩn thận bao nhiêu thì cũng khơng tránh khỏi những thiếu sót. Tơi rất
mong được sự góp ý của q thày cơ cùng các bạn đồng nghiệp để sáng kiến
kinh nghiệm được hoàn chỉnh hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thành Tâm,ngày 19 tháng 4 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung
của người khác.
Người viết

19


Vũ Văn Đoàn

TÀI LIỆU THAM KHẢO
TT

Tên tài liệu

Tác giả
Tổng biên tập:

1

Toán học và tuổi trẻ

TS.Trần Hữu Nam
Nhà xuất bản giáo dục

2

Tuyển chọn đề thi HSG Tốn 6, 7,8

Dỗn Thị Tâm

3

Tài liệu chun Tốn THCS lớp 8; 9

Vũ Hữu Bình

20

DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ
CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Vũ Văn Đoàn
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Thành Tâm Thạch Thành -Thanh Hóa.
TT
Tên đề tài SKKN
Cấp đánh giá
Kết quả
xếp loại
đánh giá
xếp loại
1.
Rèn luyện năng lực tư duy cho học
Sở GD&ĐT
sinh qua việc khai thác và phát
tỉnh Thanh Hóa
C
triển một bài toán đại số lớp 8
2

3.
4

Rèn luyện năng lực tư duy cho học
sinh qua việc khai thác và phát
triển một bài tốn đại số lớp 8

Phịng

GD&ĐT huyện
Thạch Thành

Hướng dẫn học sinh lớp 7 tìm x
trong đẳng thức có chứa dấu giá trị
tuyệt đối
Một số phương pháp hướng dẫn học
sinh tìm cực trị dại số bậc THCS

Phòng
GD&ĐT huyện
Thạch Thành
Phòng
GD&ĐT huyện
Thạch Thành

Năm đánh
giá xếp loại
2011

A

2011

B

2013

B

2015

21


22