(Sáng kiến kinh nghiệm) rèn kĩ năng một số dạng toán chứa dấu giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp 7 trường THCS định tiến

TT

Nội dung

trang

1

Mục lục

1

2

2
2
2
2
2
2
3
3
3

5

1.
Mở đầu.
1.1.
Lí do chọn đề tài.
1.2.

Mục đích nghiên cứu.
1.3.
Đối tượng nghiên cứu.
1.4.
Phương pháp nghiên cứu.
1.5.Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm.
2.
Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
2.1. Cở sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến
kinh nghiệm.
2.3. Các sáng kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử
dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1.Tính giá trị của biểu thức và rút gọn biểu thức có
chứa dấu giá trị tuyệt đối.
2.3.2.Tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
2.3.3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất có chứa dấu giá trị
tuyệt đối.
2.3.4.Tìm x trong bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt
động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
3. Kết luận, kiến nghị
Kết luận
Kiến nghị
Tài liệu tham khảo

6

Danh mục

3

4

3
3
4
11
14
16
17
17
17
18
19

1


1.MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài:
Trong chương trình Tốn ở THCS, khái niệm giá trị tuyệt đối của một số
được gặp nhiều lần từ lớp 6 đến lớp 9. Ở lớp 6 học sinh được bắt đầu làm quen
qua bài học “§3 Thứ tự trong tập hợp các số nguyên” tiết 42,43. Học sinh hiểu
được cách tìm giá trị tuyệt đối của một số nguyên. Sang lớp 7 là bài “ §4 Giá trị
tuyệt đối của một số hữu tỉ” tiết 4. Lớp 8 là bài “§5 Phương trình chứa dấu giá
trị tuyệt đối” tiết 64. Đến lớp 9 là ứng dụng : đưa thừa số ra ngoài (vào trong)
dấu căn, khử mẫu của biểu thức lấy căn…
Qua theo dõi các kỳ thi học kỳ, các kỳ thi học sinh giỏi lớp 7, luôn vận
dụng kiến thức về giá trị tuyệt đối, phần lớn các em không làm được hoặc làm

không trọn vẹn bài tập liên quan.
Với thực tế đó, tơi được Nhà trường giao nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh
giỏi Tốn 7, tơi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm : “Rèn kĩ năng một số
dạng toán chứa dấu giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp 7 trường THCS Định
Tiến”. Với mong muốn góp phần làm phong phú thêm nguồn tài liệu ôn thi học
sinh giỏi lớp 7.
1.2 Mục đích nghiên cứu
Trao đổi với đồng nghiệp một số dạng toán liên quan đến giá trị tuyệt đối
của lớp 7. Giúp giáo viên có cái nhìn mới trong việc giải toánliên quan đến giá
trị tuyệt đối trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7.
Giúp cho học sinh có kiến thức, biết vận dụng kiến thức vào làm các bài
tập, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất, tìm x có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Từ
đó nâng cao hứng thú, kết quả học tập của học sinh.
1.3 Đối tượng nghiên cứu, phạm vi ứng dụng.
Đề tài này tôi nghiên cứu về một số phương pháp giải bài tốn có chứa
dấu giá trị tuyệt đối, ở chương trình lớp 7. Trên cơ sở lý thuyết học sinh được
học về định nghĩa, các tính chất về giá trị tuyệt đối ở lớp 6, lớp 7. Từ đó đúc kết
lại một số kinh nghiệm, hướng dẫn học sinh giải được các bài tập có liên quan
đến dấu giá trị tuyệt đối, mà trước đó các em thường lúng túng chưa giải được,
hoặc giải bài chưa suy luận logic…
1.4 Phương pháp nghiên cứu.
Phương pháp nghiên cứu tài liệu và phương pháp thu thập thơng tin. Để
hồn thành đề tài này tôi đã sử dụng nghiên cứu nhiều tài liệu như : Toán nâng
cao và phát triển Toán 7, của tác giả Vũ Hữu Bình, Tốn nâng cao và một số
chuyên đề Toán 7, của tác giả Bùi Văn Tuyên, các đề thi học sinh giỏi Toán 7
của huyện Yên Định…
Phương pháp thống kê để xử lý thông tin, đánh giá kết quả thực nghiệm
các đề thi học sinh giỏi lớp 7 cấp trường trong nhiều năm. So sánh kết quả đạt
được trước và sau khi áp dụng đề tài.
1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm.

Với tinh thần luôn nghiên cứu, học hỏi. Tôi thấy đề tài viết trong năm học 20162017 cần phải được chỉnh sửa hồn thiện hơn. Đó là cần phải thêm một dạng
tốn: “Tính giá trị của biểu thức và rút gọn biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt
đối”, vào phần đầu của giải quyết vấn đề. Vì học sinh có nắm được dạng toán
2


này thì mới làm tốt các dạng tốn liên quan phần sau. Bên cạnh đó các dạng
tốn, các bài tốn trong một dạng, rồi cách giải trình bày hợp lí hơn nữa, để học
sinh học tập đạt kết quả cao hơn. Vì vậy năm học này tơi mạnh dạn viết sáng
kiến kinh nghiệm này.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm.
a) Định nghĩa : Giá trị tuyệt đối của số thực a, là khoảng cách từ điểm 0 đến
điểm a trên trục số.
ìï a( vớ
i a ³ 0)
ï
a = ïí
ïï a( vớ
i a < 0)
ùợ

b) Tớnh cht:
1)
2)

a 0, " a ẻ R

.

a = - a , " a Ỵ R.
a +b £ a + b

3)
, dấu đẳng thức xảy ra khi ab ³ 0.
2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Đối với chương trình thời lượng dành cho giá trị tuyệt đối rất ít, đó là một
mục của bài “§4 Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ. Cộng,trừ, nhân, chia số thập
phân” tiết 4.
Đối với giáo viên: các bài tập về phần này kiến thức khơng khó, nhưng đơi
khi giáo viên chỉ quan tâm giải các bài toán cụ thể mà chưa chú trọng đến phân
loại các dạng toán và phương pháp giải cho từng dạng đó.
Đối với học sinh: khi gặp các dạng tốn liên quan đến giá trị tuyệt đối
thường la khó và ngại khơng làm. Đặc biệt là bài tập tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị
lớn nhất, tìm x có chứa dấu giá trị tuyệt đối, thường học sinh lúng túng, không
biết phá giá trị tuyệt đối chứa x như thế nào, tìm x xong khơng biết đối chiếu với
khoảng đang xét.
Từ thực tiễn dạy học, đặc biệt từ khi nhà trường giao nhiệm vụ bồi dưỡng
học sinh giỏi toán lớp 7, tơi nhận thấy phầnbài tập tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị
lớn nhất, tìm x có chứa dấu giá trị tuyệt đối là khó đối với học sinh lớp 7, mà thi
học sinh giỏi lớp 7 các năm thường hay có trong đề thi.
2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết
vấn đề.
2.3.1. Tính giá trị của biểu thức và rút gọn biểu thức có chứa dấu giá trị
tuyệt đối.
ch giả
i : Tùy vào giá trị của biến đề bài cho, ta thay giá trị của biến vào
* Caù
biểu thức để tính giá trị hoặc rút gọn các biểu thức.
Thí dụ 1: Tính giá trị của các biểu thức A, B,C ;

a) A = x + y- z

vớ
i x =- 1 ;y =2 vaøz =4.

b) B = x + x- 1 + x- 2

vớ
i x =- 0,25.

c) C =4x2 - 2x- 1

vớ
i x = 0,5.

3


Lời giải
a) Thay x =- 1; y = 2 vaøz =4 và
o biể
u thứ
c A ta cóA=- 1+ 2- 4 = - 3 = 3.

b) Thay x =- 0,25 vaø
o biể
u thứ
c B ta cóB=- 0,25 + - 0,25- 1 + - 0,25- 2 = 3,75.
c) Vì x = 0,5Þ x = ±0,5.
Nế

u x =0,5 thì C =4.0,52 - 2.0,5- 1=- 1.
2

Nế
u x = - 0,5 thì C=4.( - 0,5) - 2.( - 0,5) - 1= 1.
Vaä
y : C =- 1 neá
u x = 0,5 ;
C = 1 neá
u x =- 0,5.

Thí dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau:
a) A = x + x .
b) B =2.( 3x- 1) - 5- x .
c) C =2. 2x- 1 - 32x + 3.

a) Ta xé
t hai trườ
ng hợp:

Lời giải

Nế
u x ³ 0 thì x = x, ta cóA = x + x = 2x.
Nế
u x < 0 thì x =- x, ta cóA = x +( - x) = 0.
Vậ
y A = 2x nế
u x ³ 0 vàA = 0 nế
u x< 0 .

b) Ta xé
t hai trườ
ng hợp:
Nế
u x ³ 5 thì 5- x =- ( 5- x) = x- 5, ta coùB = 2( 3x- 1) - ( x- 5) = 5x + 3.
Nế
u x < 5 thì 5- x = 5- x, ta coùB = 2( 3x- 1) - ( 5- x) = 7x- 7.
Vaä
y B = 5x + 3 nế
u x ³ 5 vàB = 7x- 7 nế
u x< 5 .
c) Ta xé
t ba trườ
ng hợp:
Nế
u x ³ 0,5 thì 2x- 1 = 2x- 1 và2x + 3 = 2x+ 3, ta cóC =- 2x- 11.
Nế
u - 1,5 Nế
u x £ - 1,5 thì 2x- 1 = 1- 2x vaø2x + 3 =- ( 2x + 3) , ta cóC = 2x +11.
ìï - 2x- 11 nế
u x ³ 0,5
ïï
Vậ
y C = ïí - 10x- 7 nế
u - 1,5 ïï
u x £ - 1,5 .
ïïỵ 2x +1 nế

2.3

.2.Tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
· Phương pháp chung để tìm giá trị của biến trong đẳng thức chứa dấu giá trị
tuyệt đối là xét các khoảng giá trị của khoảng giá trị của biến rồi khử dấu giá trị
tuyệt đối.
· Ngoài cách giải chung đã nêu ở trên ta cịn có cách giải đơn giản hơn.

4


:

DẠNG 1

Cách giải:

f ( x) = m
f ( x) = m

( mlà một số cho trước).

f ( x) ³ 0 vớ
i " x.
Nếu m < 0 thì khơng có giá trị nào của x thỏa mãn vì
f ( x) = 0
Nếu m = 0 thì
.

f ( x) = m

f ( x) = - m
Nếu m > 0 thì
hoặc
.

Thí dụ 3:

Tìm x, bieá
t:

3
2
- 2x- 1 = .
2
3

Lời giải
3
2
3 2
5
- 2x- 1 = Û 2x- 1 = - Û 2x- 1 =
2
3
2 3
6
é
é
é
ê2x- 1= 5

ê2x = 11 êx = 11
ê
6 Û ê
6 Û ê 12
Û ê
ê
ê
ê
ê
5 ê
1
1
ê2x- 1=ê2x =
êx = .
ê
ê
6 ê
6
ë
ë
ë 12
ùỡ 1 11ùỹ
ùý.
Vaọ
y x ẻ ùớ ;
ùợù 12 12ùỵ
ù
Tỡm x, biế
t : x + 3 - 8 = 20.

Thí dụ 4:

Lời giải

éx + 3 - 8 = 20
x + 3 - 8 = 20 Û ê
Û
ê
x + 3 - 8 =- 20
ê
ë
éx + 3= 8
éx = 5
Û ê
Û ê
êx + 3=- 8 êx =- 11.
ë
ë
Vậ
y x Ỵ { - 11; 5} .

éx + 3 = 28
ê
Û x + 3 = 28
ê
êx + 3 =- 12( loaïi)
ë

f ( x) = g( x)
NG 2 :

DẠ
Vậ
n dụng tính chấ
t a = b Û a = ±b.
éf ( x) = g( x)
f ( x) = g( x) Û ê
êf x = - g x
( )
ê
ë( )
Cách giải: Tìm x thỏa mãn
T ìm x, biế
t x + 3 = 5- 2x .

Thí dụ 5 :

Lời giải
é
êx = 2
éx + 3 = 5- 2x
Û ê
3
x + 3 = 5 - 2x Û ê
ê
êx + 3 = - 5- 2x
x
=
8
(
)

ê
ê
ë
ë

5


2
x = ; x = 8.
3
Vậy

Nhận xét
Do kiến thức ở lớp 7 nên tôi không đưa ra cách giải:
f ( x) = g( x) Û f 2 ( x) = g2 ( x) .
NG 3:
DẠ

f ( x) =g( x)

( *)

Cách giải
Cách 1: Ta có hai trường hợp sau:

Nế
u f ( x) ³ 0 thì từ( *) ta cóf ( x) = g( x) .
Nế
u f ( x) < 0 thì từ( *) ta có- f ( x) = g( x) .

Ngồi cách giải trên cịn cách nào giải khác hay khơng?
Vì f ( x) ³ 0 vớ
i " x nê
n từ( *) ta cóg( x) ³ 0 do đóta cócá
ch giả
i sau:
Cách 2:

Điề
u kiệ
n g( x) ³ 0.
Ta cóhai trườ
ng hợp: f ( x) = g( x) hoặ
c f ( x) =- g( x)

Nhận xét:
Đối với học sinh lớp trên ta cịn cách giải khác:
ìï g( x) ³ 0
ï
f ( x) = g( x) Û í 2
ïï f ( x) = g2 ( x)
ïỵ
Tìm x, biế
t : 3x- 2x- 1 = 2

Thí dụ 6 :
( Đềthi học sinh giỏicấp cụm lớp 7 Y ên Định năm học 2013 - 2014)
3x- 2x- 1 = 2 ( *)

.

Lời giải

1
, từ( *) ta coù3x- ( 2x +1) = 2 Û x = 3( thỏ
a mã
n).
2
1
1
Vớ
i x <- , từ( *) ta có3x +( 2x +1) = 2 Û x = ( khô
ng thỏ
a mã
n).
2
5
Vậ
y x = 3.
Chúý: Bà
i toá
n thí dụtrê
n đãgiả
i theo cá
ch 1 ngoà
i ra cò
n giả
i theo cá
ch 2,

nhưng hai cá
ch giả
i lànhư nhau.
Vớ
i x³ -

Thí dụ 7 :

Tìm x, bieá
t : 2019- x- 2019 = x

Lời giải
2019- x- 2019 = x Þ x- 2019 = 2019- x Û x- 2019 £ 0 Û x £ 2019.
Chú ý:
6


a) f ( x) = f ( x) Û f ( x) ³ 0;
b) f ( x) = - f ( x) Û f ( x) £ 0.

Điều được đưa ra tranh cãi là có cho phép học sinh thực hiện cách giải 2 hay
không, một cách giải không được nêu trong sách giáo khoa ?
Để giải đáp thắc mắc tôi đưa ra hai thí dụ:
ỉ2 5÷
ư
÷
T ìm x, biế
t : xỗ
x
= x.

ỗ
ữ
ỗ
4ữ
ố
ứ

Thớ d 8 :
(Trớch bi tp 25b trang 14Bi tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 7”của
tác giả Bùi Văn Tuyên)
Lời giải
Rõ ràng nếu giải thí dụ 8 theo cách 1 thì thật là khó đối với hc sinh lp 7,
ổ2 5ử
ổ2 5ử
ỗ
ữ
ữ
xỗ
x - ữ

0
x
x - ữ
Ê 0.
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ

ữ
ữ
4ứ
4ứ
ố
ố
vỡ khi ú phi tỡm x sao cho
hoc

Ngc li nu giảithí dụ 8theo cách 2 thì thật dễ dàng.
Điề
u kiệ
n x³ 0.Ta giả
i hai trườ
ng hợp sau:
éỉ2 5ư ù
ỉ2 5÷
ư
ỉ2 9ử
ữ
ỗ
ỗ
ờ
ỳ
Trửụứ
ng hụùp 1: xỗ
x
=
x

x
x
1
=
0

x
x - ữ
=0
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ờ
ỳ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
4ứ
4
4
ố

ố
ứ
ố
ứ
ở
ỷ
* x = 0 ( thỏ
a mã
n) .
2

ỉư
9
3÷
3
3
* x - = 0 Û x2 = ç
÷
Û x = ± , kế
t hợp vớ
i x ³ 0, ta coựx = .
ỗ
ữ
ỗ
4
2
2
ố2ữ
ứ
2

ộổ2 5ử ự
ổ2 5ữ
ử
ổ2 1ử
ữ
ờỗ
ỳ= 0 xỗ
Trửụứ
ng hụùp 2: xỗ
x
=x

x
x
+
1
x - ữ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ= 0
ờ
ỳ
ỗ

ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
4ứ
4
4
ố
ố
ứ
ố
ứ
ở
ỷ
* x = 0 ( thỏ
a mã
n) .
2

ỉư
1
1÷
1
1
* x - = 0 Û x2 = ỗ
ữ

x
=

,
keỏ
t
hụù
p
vụự
i
x

0,
ta
coự
x
=
.
ỗ
ữ
ỗ
4
2
2
ố2ữ
ứ
ỡù 1 3ùỹ
x ẻ ùớ 0; ; ùý
ùợù 2 2ùỵ
ù.
Vy
ổ2 5ử

ữ
Tỡm x, bieỏ
t x = xỗ
x - ữ
.
ỗ
ữ
ỗ
ữ
4
ố
ứ
Thớ dụ 9 :
(1)
2

Lời giải
Ngược lại với thí dụ 8, giải theo cách 2 thì khá khó, nhưng theo cách 1 thì lại dễ.

7


* Với x ³ 0 thì (1) trở thành
éỉ2 5ư ự
ổ2 5ử
ờỗ
ữ
ữ
x = xỗ

x
- 1ỳ
ỗx - ữ
ỗx - ữ
ữ
ữ
ờ
ỳ= 0
ữ
ữ
ỗ
ỗ
4ứ
4
ố
ố
ứ
ờ
ỳ
ở
ỷ
ộx = 0
ộx = 0
ờ
ờ
ờ2
ờ
9
ờx =
ờx = 3

ê
ê
4
2
ë
ë

éx = 0
ê
ê2 5
êx - - 1 = 0
ê
4
ë

3
x = 0, x = .
2
Kết hợp với điều kiện x ³ 0 , ta được

* Với x < 0thì (1) trở thnh

ộổ2 5ử ự
ổ2 5ử
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
x = - xỗ

x - ữ x ờ
x - ữ
+ 1ỳ
ỗ
ữ
ờ
ỳ= 0
ỗ
ỗ
ữ
ữ
4ứ
4
ố
ố
ứ
ờ
ỳ
ở
ỷ

Kt hp vi iu kin x < 0, ta được
Thí dụ 10 : Tìm x, biết:

x =-

1
xỴ
.
2 Vậy

éx = 0
ê
ê
êx = ± 1
ê
2
ë

ïìï
1 3ïü
í 0;- ; ùý
ùợù
2 2ùỵ
ù.

3- 1- x = 2

Li gii
a) Theo chỳ ý a) ta có

3- 1- x = 2

é3- 1- x = 2
ê
Û ê
Û
ê3- 1- x = - 2
ë

é1- x = 1 I
( )
ê
ê
ê1- x = 5( II )
ë
é1- x = 1
éx = 0 éx = 0
ê
ê
1- x = 1 Û ê
Û
ê1- x = - 1 êx = 2 Û êx = ±2
(I )
ê
ê
ê
ë
ë
ë
Giải
é1- x = 5
éx = - 4
ê
1- x = 5 Û ê
Û ê
êx = 6 Û x = 6 Û x = ±6.
1- x = - 5
II )
(

ê
ê
ë
ë
Giải

Vậy

xỴ

{- 6;- 2;0;2;6} .

x2 + x - 1 = x2 + 2.

Thí dụ 11 : Tìm x, biết
( Đềthi học sinh giỏicấp cụm lớp 7 Y ên Định năm học 2012 - 2013)
Lời giải
n x +2>0 " Ỵ R. nên
Vì x ³ 0, " x Ỵ R nê
2

2

x2 + x - 1 = x2 + 2 Û x2 + x - 1 = x2 + 2 Û x - 1 = 2
éx - 1 = 2
éx = 3
ê
Û ê
Û ê
êx = - 1

x
1
=
2
ê
ê
ë
ë
Vậ
y x Ỵ { - 1; 3} .

8


- x- 5
x +5

=1 1
()

Thí dụ 12 : Tìm x, biết
(Violypic Tốn 7 vịng 16 năm học 2014-2015)
Lời giải
Mới nhìn bài tốn có vẻ khó, nhưng nếu học sinh nắm vững kiến thức thì lại dễ.
Điều kiện x ¹ - 5.

( 1) Û

- x - 5 = x + 5 Û x + 5 = x + 5 Û x + 5 > 0 Û x > - 5.

Với x ¹ - 5 thì
Vậy ta có x > - 5.
f ( x) + g( x) = 0.
DẠNG 4:

ìï f x = 0
ï ( )
f ( x) + g( x) = 0 Û ïí
Û
ïï g( x) = 0
ïỵ
Cách giải:
x + x +2 = 0

Thí dụ 13 : Tìm x, biết
Vì

ìï
ïí f ( x) = 0
ïï g( x) = 0
ïỵ

.
Lời giải

x ³ 0, x + 2 ³ 0, " x Ỵ R.

ìï x = 0
ï
x + x +2 = 0 Û í

Û
ïï x + 2 = 0
ïỵ
Nên

ïìï x = 0
Û
í
ïï x + 2 = 0
ỵ

ïìï x = 0
í
ïï x = - 2
ỵ
(loại)

Vậy khơng có giá trị nào của x thỏa mãn bài tốn.
Dạng tốn cịn được mở rộng cho các bài tốn:
Chú ý
f ( x) ,g( x) cò
n cóthểchứ
a thê
m cá
c biế
n khá
c.

Tìm x, biế
t : x2 + 2x + y2 - 9 = 0

Thí dụ 14 :
( Đềthi học sinh giỏicấp cụm lớp 7 Y ên Định năm học 2010 - 2011)
Lời giải
2

2

Ta coù x + 2x ³ 0, " x Î R; y - 9 ³ 0, " y Î R do đó x2 + 2x + y2 - 9 ³ 0, " x, y Ỵ R .
ìï x2 + 2x = 0 ìï
x( x + 2) = 0
ï
Để x + 2x + y - 9 = 0 Û ïí
Û ïí
Û
ïï y2 - 9 = 0
ïï y2 = 9
ïỵ
ïỵ
Vậ
y ( x, y) Ỵ { ( 0;3) ,( 0;- 3) ,( - 2;3) ,( - 2;- 3) } .
2

2

Tìm x, biế
t : x-

ïìï x =- 2, x = 0
í

ỵïï y = ±3.

1
2
+ y + + x2 + xz = 0
2
3

Thí dụ 15 :
( Đềthi học sinh giỏicấp cụm lớp 7 Y ên Định năm học 2009 - 2010)
Lời giải

9


Vì x-

1
2
³ 0, " x Ỵ R; y + ³ 0, " y Ỵ R; x2 + xz ³ 0," x, z Ỵ R;
2
3

1
2
+ y + + x2 + xz ³ 0, " x, z Ỵ R;
2
3
ìï
ìï

ïï x- 1 = 0
ïï x- 1 = 0
ïï
2
ïï
2
ïï
ïï
ï
1
2
2
2
Để x- + y+ + x2 + xz = 0 thì ïí y+ = 0 Û ïí y+ = 0
ïï
ïï
2
3
3
3
ïï
ïï
ïï x2 + xz = 0
ïï x( x + z) = 0
ïï
ï
ỵï
ïỵ
1
2

1
Û x = , y =- , z =- .
2
3
2
ổ1
2
1ử
ữ
Vaọ
y ( x, y, z) = ỗ
;
;
ữ
.
ỗ
ữ
ỗ
ữ
3
2ứ
ố2
do đóx-

Tìm x, biế
t : x- 8

2015

+( 5y+1)

2016

£ 0.
Thí dụ 16 :
( Đềthi học sinh giỏicấp cụm lớp 7 Y ên Định năm học 2015 - 2016)

Lời giải
x- 8 ³ 0 " x Ỵ R, do đóx- 8
nê
n x- 8

2015

+( 5y +1)

Màtheo đềbà
i x- 8
x- 8

2015

+( 5y+1)

2016

2015

2016

2015

³ 0 " x Ỵ R,( 5y+1)

2016

³ 0 " R

³ 0 " x, y Î R.

+( 5y +1)

2016

£ 0. Suy ra

2015
ìï
ïï x- 8 = 0
= 0Û í
Û
ïï 5y+1 2016 = 0
)
ïỵ (

ïìï x- 8 = 0

ớ
ùù 5y +1= 0
ợ

ổ
1ử
Vaọ
y ( x, y) = ỗ
8; - ữ
ữ
.
ỗ
ữ
ỗ
ữ
5ứ
ố

ỡù x = 8
ùù
ớ
ùù y =- 1
ùợ
5

DNG 5 : Tìm x chứa nhiều giá trị tuyệt đối
Cách giải:
· Tìm nghiệm của mỗi đa thức chứa trong dấu giá trị tuyệt đối.
· Lập bảng xét dấu trên mỗi khoảng để bỏ dấu giá trị tuyệt đối .
· Tìm nghiệm trên mỗi khoảng đó.
Ngồi ra, tùy theo đặc điểm của bài tốn ta có thể vận dụng các tính chất đã nêu.
Thí dụ 17 : Tìm x, biết

x - 1 + x - 3 = 6. ( 1)

Lời giải
Sử dụng phân chia khoảng để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

1
· Với x < 1 thì ( ) có dạng : 1- x + 3- x = 6 Û x = - 1(thỏa mãn).

10


1
· Với 1 £ x £ 3 thì ( ) có dạng : x - 1+ 3- x = 6 Û 0x = 4, khơng có giá trị

nào thỏa mãn.

1
· Với x > 3 thì ( ) có dạng : x - 1+ x - 3 = 6 Û 2x = 10 Û x = 5(thỏa mãn).
Vậy x = - 1, x = 5.

Thí dụ 18 : Tìm x, biết:
x - 12 + x - 14 + x + 101 + x + 991 + x + 1000 = 2017.

Lời giải
Vận dụng tính chất 3, ta có:
x - 12 + x + 1000 = 12 - x + x + 1000 ³ ( 12- x) + (x + 1000) = 1012
·

đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi - 1000 £ x £ 12.
x - 14 + x + 991 = 14 - x + x + 991` ³ ( 14 - x) + (x + 991) = 1005,

·
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi - 991 £ x £ 14.
·

,

x + 101 ³ 0, " x Ỵ R

, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = - 101.
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta có
x - 12 + x - 14 + x + 101 + x + 991 + x + 1000 ³ 2017,

đẳng thức xảy ra khi

ìï - 1000 £ x £ 12
ïï
ïí - 991 £ x £ 14 Û x = - 101.
ïï
ï x = - 101
và chỉ khi ïỵ
Vậy x = - 101.
x + 1 + x + 2 + x + 3 + ... + x + 2015 = 2016x.

Thí dụ 19 : Tìm x, biết:

(1)

Lời giải
Vì

x + 1 ³ 0, x + 1 ³ 0, x + 3 ³ 0,..., x + 2015 ³ 0, " x Ỵ R,

2016x ³ 0 Û x ³ 0.
x ³ 0 ( 1)

nên

Với
thì
có dạng :
x + 1+ x + 2 + x + 3 + ... + x + 2015 = 2016x
Û x
+x +
... + x3+ 1+ 2 + 3 + .... + 2015 = 2016x
144444
244444
2015

Û 2015x +

2015( 1+ 2015)

Û x = 2015.1008
Û x = 2031120
Vậy x = 2031120.

2

= 2016x

2.3.3.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Phương pháp giải:
- Phân chia khoảng, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất từng khoảng đó rồi
chọn ra kết quả.
11


- Sử dụng các tính chất đã nêu.
Thí dụ 20:Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a)

A = 3,7 + 4,3- x

C = 4x - 3 + 5y + 7,5 + 17,5

b)

B = 3x + 8,4 - 14,2

c)

.
Lời giải

a)

A = 3,7 + 4,3- x

4, 3- x ³ 0, " x ẻ R ị A = 3,7 + 4,3 - x ³ 3,7, " x Ỵ R

Vì
.
x
=
4, 3.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3,7 khi và chỉ khi
B = 3x + 8,4 - 14,2

b)

3x + 8, 4 0, " x ẻ R ị B = 3x + 8,4 - 14,2 ³ - 14,2, " x Ỵ R

Vì

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B  14, 2 khi và chỉ khi
c)

x =-

.
14
.
5

C = 4x - 3 + 5y + 7,5 + 17,5

4x - 3 ³ 0, " x Ỵ R; 5y + 7,5 0, " y ẻ R. ị 4x - 3 + 5y + 7,5 + 17,5 ³ 17,5

Vậ

3
3
x = ,y = - .
4
2
y giá trị nhỏ nhất của biểu thức C  17,5 khi và chỉ khi

Thí dụ 21:Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a)

A = 5,5- 2x - 1,5

b)

B = 4 - 5x - 2 - 3y + 12

1
2
C =x+ - x2
3

c)
(Đề thi học sinh giỏi lớp 7 Yên Định năm học 2011-2012)
Lời giải
a)

A = 5,5- 2x - 1,5

2x - 1,5 ³ 0, x Ỵ R Û - 2x - 1,5 £ 0, x Ỵ R Û 5,5- 2x - 1,5 £ 5,5; x Ỵ R.
3

x= .
4
Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức A  5,5 khi và chỉ khi
B = 4 - 5x - 2 - 3y + 12

b)

5x - 2 ³ 0, x Ỵ R; 3y + 12 ³ 0, " y Î R
Þ - 5x - 2 - 3y + 12 Ê 0, " x, y ẻ R.
ị 4 - 5x - 2 - 3y + 12 £ 4, " x, y Ỵ R.
2
x = , y = - 4.
5
Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức B = 4 khivà chỉ khi

12


c)

1
2
C =x+ - x2
3

1
2
1
2 7
2

C = x+ - x= x + +x - <
2
3
2
3 6
3 thì
Với
1
2
1
2 7
2
C =x+ - x=x+ - x+ =
x³
2
3
2
3 6
3
x<

Với

thì

7
7
2
C =
x³

6 mà
6 khi và chỉ khi
3.
Như vậy
7
2
C =
x³
6 khi
3.
Tóm lại giá trị lớn nhất của biểu thức
C £

Thí dụ 22:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
a)
b)

A = x - 2014 + x - 2015
B = x - 2013 + x + 2015 + x - 2017

C = x - a1 + x - a2 + ... + x - an

c)

trong đó a1 < a2 < ... < an .
Lời giải

A = x - 2014 + x - 2015

a)

Cách 1 :Xét từng khoảng giá trị của x
x - 2014 + x - 2015 = - x + 2014 - x + 2015 = - 2x + 4029

Nếu x < 2014, thì
Vì x < 2014nên - 2x + 4029 > 1.
Do đó :.

.

A = x - 2014 + x - 2015 > 1

.

x - 2014 + x - 2015 = x - 2014 - x + 2015 = 1
Nếu 2014 £ x £ 2015, ta có :
.
x - 2014 + x - 2015 = x - 2014 + x - 2015 = 2x - 4029

Nếu x > 2015,thì
Vì x > 2015 Û 2x > 4030 Û 2x - 4029 > 1.

.

A = x - 2014 + x - 2015 > 1

Do đó :.
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 1 khi và chỉ khi 2014 £ x £ 2015.
Cách 2 : Áp dụng tính chất 2 và 3, ta có
A = x - 2014 + x - 2015 = x - 2014 + 2015- x

³ x - 2014 + 2015- x = 1.

Từ đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 1 khi và chỉ khi

(x-

2014) ( 2015- x) ³ 0

hay 2014 £ x £ 2015.

13


x - 2014 ³ 0, x - 2015 ³ 0,
Lưu ý: * Khơng sử dụng được
vì dấu đẳng thức
ïì x - 2014 = 0
ïí
Û
ïï x - 2015 = 0
khơng xảy ra đồng thời : ïỵ

ïìï x = 2014
í
ïï x = 2015
ỵ
,nhưng 2014 ¹ 2015.

x - 2015 = 2015- x

* Điểm hay của cách này là sử dụng
để triệt tiêu x khi
đánh giá A.
B = x - 2013 + x + 2015 + x - 2017 = ( x + 2015 + x - 2017 ) + x - 2013
b)
.
Áp dụng tính chất 2 và 3 ta có:
* x + 2015 + x - 2017 = x + 2015 + 2017 - x ³ x + 2015 + 2017 - x = 4032.

Dấu bằng xảy ra khi

( x + 2015) ( 2017 - x) ³

* x - 2013 ³ 0, " x Î R.

0 Û - 2015 £ x £ 2017.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 2013.

ìï - 2015 £ x £ 2017
ï
Û x = 2013.
í
ï
x
=
2013
Do đó B ³ 4032. Mà B = 4032khi và chi khi ïỵ
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 4032 khi và chỉ khi x = 2013.

Lưu ý: Không thực hiện được cách ghép khác, chẳng hạn
B = x - 2013 + x + 2015 + x - 2017 = ( 2013- x + x + 2015 ) + x - 2017 ³ 4028.
ìï ( 2013- x) ( x + 2015) ³ 0 ìï - 2015 £ x £ 2013
ï
Û ïí
í
ï x = 2017
ï x = 2017
ỵï
Mà B = 4028 khi và chỉ khi ïïỵ

khơng có giá trị nào của x thỏa mãn.
Vậy B ³ 4028 nhưng dấu đẳng thức khơng xảy ra, do đó khơng tìm được giá trị
nhỏ nhất của B.
C = x - a + x - a + ... + x - a

1
2
n
c)
trong đó a1 < a2 < ... < an .
Vận dụng kết quả của các biểu thức A và B ta có
· Nếu n = 2k thì giá trị nhỏ nhất của

C = an + an- 1 + ... + ak+1 + ak - ... - a1

ak £ x £ ak+1.

C = an + an- 1 + ... + ak+2 - ak - ... - a1

x =a .

khi
· Nếu n = 2k + 1 thì giá trị nhỏ nhất của

k+1
khi
Thí dụ23:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A,biết

A = 7x - 5y + 2z - 3x + xy + yz + zx - 2000 .

Lời giải
Ta có
7x - 5y ³ 0, " x, y Ỵ R; 2z - 3x ³ 0, " x, z Ỵ R; xy + yz + zx - 2000 ³ 0, " x, y, z Ỵ R.

Suy ra

A = 7x - 5y + 2z - 3x + xy + yz + zx - 2000 ³ 0, " x, y, z Ỵ R.

7x - 5y = 2z - 3x = xy + yz + zx - 2000 = 0.
Mà A = 0khi và chỉ khi

14


x y
x
y
= Û
= ;

5 7
10 14
x z
x
z
* 2z - 3x = 0 Û 2z = 3x Û
= Û
= ;
2 3
10 15
* xy + yz + zx - 2000 = 0 Û xy + yz + zx = 2000.
* 7x - 5y = 0 Û 7x = 5y Û

x
y
z
=
=
=k
Từ đó ta có dãy tỉ số bằng nhau 10 14 15
.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có
x y
y z
z x
xy + yz + zx
2000
× = × = × =
=

= 4.
10 14 14 15 15 10 140 + 210 + 150
500
Ta có k = ±2 nên x = 20, y = 28, z = 30 hoặc x = - 20, y = - 28, z = - 30.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 0 khi
k2 =

( x, y, z) = ( 20;28;30) hoặc ( x, y, z) = ( - 20;- 28;- 30) .

2.3.4.Tìm x trong bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Khi tìm x trong bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, ở lớp 7, ta cần chú ý
những dạng sau:
f (x) £ a ( a > 0)

DẠNG 1 : a)
f ( x) £ a ( a > 0) Û - a £ f ( x) £ a.
Cách giải :
f ( x) £ g( x)
b)
f ( x) £ g ( x ) Û - g ( x ) £ f ( x ) £ g ( x ) .
Cách giải :
Thí dụ 24 : Tìm x, biết:
a

2x + 3 £ 7

b)
Lời giải

2x - 3 < x

2x + 3 £ 7 Û - 7 £ 2x + 3 £ 7 Û - 10 £ 2x £ 4 Û - 5 £ x £ 2.

a)
Vậy giá trị cần tìm của x là - 5 £ x £ 2.

ìï 2x - 3 ³ - x
2x - 3 < x Û - x £ 2x - 3 £ x Û ïí
Û
ïï 2x - 3 £ x
ỵ
b)
Vậy giá trị cần tìm của x là 1 £ x £ 3.

DẠNG 2 : a)

Cách giải :
b)
Cách giải : Với

ìï x ³ 1
ï
Û 1 £ x £ 3.
í
ïï x £ 3
ỵ

f (x) ³ a ( a > 0)

éf ( x) £ - a

f (x) ³ a ( a > 0) Û ê
êf x ³ a
ê
ë( )

f ( x) ³ g ( x )
f ( x) ³ 0

thì

f ( x) ³ g( x) Û f ( x) ³ g( x) .

15


f ( x) £ 0

Với
Thí dụ 25 : Tìm x, biết:
a)

thì

f ( x) ³ g( x) Û - f ( x) ³ g( x) .

2x - 3 > 5

2- x ³ 3x + 1

b)

Lời giải

é2x - 3 < - 5
2x - 3 > 5 Û ê
ê2x - 3 > 5 Û
ê
ë

é2x < - 2 éx < - 1
ê
ê
ê2x > 8 Û êx > 4
ê
ê
ë
ë
a)
Ta có các giá trị của x thỏa mãn bài toán là: x < - 1, x > 4.
b) Với 2- x ³ 0 Û x £ 2 thì
2- x ³ 3x + 1 Û 2- x ³ 3x + 1 Û 4x £ 1 Û x £

Với 2- x < 0 Û x > 2 thì

1
4 (thỏa mãn x £ 2 )

2- x ³ 3x + 1 Û - (2- x) ³ 3x + 1 Û 2x £ - 3 Û x £
x£

Ta có các giá trị của x thỏa mãn bài tốn là:

DẠNG 3 :Tìm x chứa nhiều giá trị tuyệt đối
Cách 1: Phân chia khoảng.
Cách 2: Sử dụng các tính chất.
Thí dụ 26 : Tìm x, biết:

- 3
2 (loại vì x > 2).

1
4.

x - 3 > x + 2 ( 1)

Lời giải

1
· Với x < - 2 thì ( ) có dạng: - x + 3 > - x - 2 Û 0x > - 5 ,đúng mọi x .
( 2)
x <- 2

Kết hợp với khoảng đang xét ta được ,
1
· Với - 2 £ x £ 3thì ( )

có dạng:

.

- x + 3> x +2 Û x <

1
2

1
- 2 £ x < . ( 3)
2
Kết hợp với khoảng đang xét ta được,

1
· Với x > 3 thì ( ) có dạng :, x - 3 > x + 2 Û 0x > 5, vơ lí.
1
x< .
2)
3)
(
(
2
Từ
và
ta có các giá trị cần tìm là,

Thí dụ 27: Tìm x, biết:

x - 1 + x - 2 > x + 3 ( 1)

Lời giải

1
· Với x < 1thì ( ) có dạng: 1- x + 2- x > x + 3 Û 3x < 0 Û x < 0, thỏa mãn

khoảng đang xét .

1
· Với 1 £ x £ 2thì ( ) có dạng : x - 1+ 2- x > x + 3 Û x < - 2, không thuộc

khoảng đang xét.
16


1
· Với x > 2thì ( ) có dạng : x - 1+ x - 2 > x + 3 Û x > 6, thỏa mãn khoảng

đang xét .
Ta có các giá trị cần tìm là, x < 0, x > 6.
Thí dụ 28: Tìm x, biết:

x - 1 + 2x - 6 > x - 7.

Lời giải
Cách 1: Phân chia khoảng
7
1- x + 6- 2x > x - 7 Û x < ,
2 kết hợp với khoảng đang xét
· Với x < 1, ta có
ta có x < 1 .
· Với 1 £ x £ 3 ta có x - 1+ 6- 2x > x - 7 Û x < 6, kết hợp với khoảng đang
xét ta có 1 £ x £ 3.
· Với x > 3 ta có x - 1+ 2x - 6 > x - 7 Û x > 0, kết hợp với khoảng đang xét ta
có x > 3.
Tóm lại giá trị cần tìm là, x Ỵ R.

Cách 2: Áp dụng tính chất 3, ta có
x - 1 + 2x - 6 = x - 1 + 6- 2x ³ x - 1+ 6- 2x = - x + 5 = x - 5 ³ x - 5 > x - 7
" x Ỵ R.

Tóm lại giá trị cần tìm là x Ỵ R.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Từ năm 2007 đến nay tôi được nhà trường tin tưởng giao nhiệm vụ bồi dưỡng
học sinh giỏi các khối khác nhau, năm nào tơi cũng có học sinh giỏi. Sau đây là
các năm học tôi bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7.
Năm học 2008- 2009 cùng với nhiệm vụ đổi mới phương pháp dạy học,
tôi lần đầu tiên được nhà trường giao nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn 7.
Tơi đã mạnh dạn áp dụng đề tài của sáng kiến kinh nghiệm này vào công tác bồi
dưỡng đã mang lại nhiều chuyển biến tích cực, các em đã có phương pháp học
tốt hơn và hứng thú đối với môn học.
Năm học 2008- 2009 học sinh giỏi cấp trường do phòng giáo dục tổ chức
có em Trịnh Văn Chiến đạt giải nhì,hai em Trịnh Thị Hồng và Nguyễn Thị Hải
đạt giải khuyến khích.
Năm học 2011- 2012 học sinh giỏi cấp trường do phịng giáo dục tổ chức
có em Nguyễn Văn Dũng đạt giải nhất, em Lê Minh Tiến đạt giải nhì và Lê
Hồng Mai đạt giải ba.
Năm học 2015- 2016 học sinh giỏi cấp trường do phịng giáo dục tổ chức
có em Nguyễn Thị Hồng May đạt giải nhì, em Lê Thị Thu Hằng đạt giải ba; các
em Vũ Đào Mai Tú, Nguyễn Thị Tuyền và Lê Minh Hồng đạt giải khuyến
khích.
Đề tài của tôi cũng đã và đang được đồng nghiệp hướng dẫn cho học sinh
giỏi khối 7 các năm học khác và đạt được giải cao.
17

Chính vì áp dụng đề tài này mà học sinh có hứng thú học tập do đó thành
tích học sinh giỏi Tốn khối 7 của nhà trường ln xếp thứ nhất, thứ nhì trong
cụm bốn trường.
Cũng chính áp dụng các sáng kiến của bản thân và sự học hỏi nghiêm túc
từ các đồng nghiệp năm học 2017- 2018 đã đạt được kết quả khả quan: đạt hai
giải khuyến khích mơn Toán lớp 9 cấp huyện, đồng đội đứng thứ 3 trên 29
trường trong huyện; mơn Tốn lớp 6, đạt một giải nhì và một giải khuyến khích
cấp cụm, đồng đội xếp thứ nhất.
3.KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.
3.1.Kết luận.
Trên đây là những dạng toán liên quan đến giá trị tuyệt đối ở lớp 7 và chỉ
là kinh nghiệm của tôi trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7. Đề tài này
tơi vẫn cịn tiếp tục nghiên cứu và cùng đồng nghiệp áp dụng trong quá trình bồi
dưỡng học sinh giỏi.
Đây mới chỉ là kinh nghiệm của bản thân nên còn khiếm khuyết, tôi rất
mong các đồng nghiệp quan tâm và góp ý để đề tài được hồn chỉnh hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn.
3.2.Kiến nghị.
Nhà trường mua thêm tài liệu như: toán học tuổi thơ, toán học tuổi trẻ…để
giáo viên và học sinh tham khảo hiểu biết hơn nữa về phần giá trị tuyệt đối.
Phòng giáo dục cần phổ biến hơn nữa những sáng kiến đã được xếp loại
cấp huyện, cấp tỉnh cho giáo viên như tôi, cũng như các giáo viên các trường
học tập kinh nghiệm.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Yên Định, ngày 20tháng 3 năm 2019.
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung

của người khác.
Người viết

Mai Văn Toàn

Tài liệu tham khảo
1. Sách giáo khoa, sách bài tập Toán 7, nhà xuất bản giáo dục.
18


2. Các đề thi học sinh giỏi cấp trường huyện Yên Định.
3. Toán nâng cao và phát triển Toán 7, tác giả Vũ Hữu Bình.
4. Tốn nâng cao và một số chuyên đề Toán 7, tác giả Bùi Văn Tuyên.
5. Các đề thi Violympic toán 7.

DANH MỤC
19


CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ
CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Mai Văn Toàn
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Định Tiến

TT

Tên đề tài SKKN

1.

Một số dạng toán chia hết
toán 6.
Một số phương pháp giải toán
về số nguyên tố.
Các phương pháp và một số
dạng Tốn xác định một đa
thức.
Một số tính chất và dạng tốn
số chính phương.
Hướng dẫn học sinh giải
phương trình nghiệm nguyên
lớp 9.
Hướng dẫn học sinh giải
phương trình nghiệm nguyên
Hướng dẫn học sinh một số
phương pháp giải bài tốn có
chứa dấu giá trị tuyệt đối ở
lớp 7.
Hướng dẫn học sinh một số
phương pháp giải bài toán
chia hết trong tập hợp số
nguyên ở lớp 8

2.
3.
4.
5.
6.

7.

8.

Kết quả
Cấp đánh
đánh giá
Năm học
giá xếp loại
xếp loại đánh giá xếp
(Phòng, Sở,
(A, B,
loại
Tỉnh...)
hoặc C)
cấp Huyện
A
2008-2009
cấp Huyện

B

2009-2010

cấp Huyện

C

2010-2011

cấp Huyện

C

2011-2012

cấp Huyện

B

2013-2014

cấp Huyện

C

2014-2015

cấp Huyện

B

2016-2017

cấp Huyện

B

2017-2018

20