(Sáng kiến kinh nghiệm) một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải toán trắc nghiệm lớp 12

A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Năm học 2016-2017, Bộ Giáo dục và Đào tạo thực hiện đổi mới trong kỳ
thi Trung học Phổ thông Quốc gia (THPTQG). Trong đó mơn tốn được đổi từ
hình thức thi từ tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm. Việc thay đổi đã tạo nên
nhiều bỡ ngỡ cũng như khó khăn cho cả giáo viên và học sinh trong việc ơn
luyện. Hình thức thi trắc nghiệm mơn tốn địi hỏi một số cách tiếp cận vấn đề
mới so với hình thức thi tự luận.
Kỳ thi quốc gia 2019 được tổ chức với 2 mục đích xét tốt nghiệp THPT
và xét vào đại học, cao đẳng. Đề thi năm 2019, mơn Tốn thời gian làm bài 90
phút ( với 50 câu trắc nghiệm, nội dung nằm trong chương trình Tốn THPT mà
chủ yếu lớp 12). Năm 2019 là năm thứ 3 mơn Tốn được thi bằng hình thức trắc
nghiệm khách quan 100%, tuy nhiên đề thi năm 2018, mơn Tốn được đánh giá
là q khó, nên khơng phản ánh đầy đủ lực học của học sinh. Đề thi năm 2019,
theo thông tin của Bộ, là sẽ nhẹ nhàng hơn, dĩ nhiên phương án nhiễu sẽ tốt
hơn. Bởi vậy, trong quá trình giảng dạy giáo viên phải có phải chú ý rèn luyện
thêm cho học sinh kỹ năng làm bài trắc nghiệm mơn Tốn. Trong các tiết giảng
dạy hàng ngày cần dành thời gian để kiểm tra việc nắm kiến thức cơ bản, kỹ
năng của từng bài theo yêu cầu của chương trình qua việc chuẩn bị thật nhiều
các câu hỏi và bài tập trắc nghiệm kiểm tra lý thuyết lẫn bài tập để khắc sâu
kiến thức cho học sinh đồng thời phân tích cho học sinh thấy những sai sót cần
tránh và phân tích rõ cách làm bài trắc nghiệm sao cho hợp lý.
Tài liệu tham khảo trên thị trường tràn lan, nhiều về số lượng mà không
đảm bảo chất lượng. Với mong muốn giúp các em học sinh hiểu được những
những kiến thức căn bản, khắc phục được những sai lầm khi giải tốn từ đó tự
mình làm được những bài tập cơ bản, tiến tới giải quyết được những bài toán
nâng cao và thấy u thích mơn Tốn hơn, trên cơ sở tiếp thu một số kết quả
của đồng nghiệp đi trước và trong thực tế của quá trình giảng dạy, tơi đã chọn
đề tài nghiên cứu cho mình là: “ MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA
HỌC SINH KHI GIẢI TỐN TRẮC NGHIỆM LỚP 12”.
2. Mục đích nghiên cứu.

Đề tài này được nghiên cứu nhằm mục đích cải tiến nội dung và phương
pháp giảng dạy các tiết học lí thuyết và bài tập, từ đó:
- Giúp học sinh nhận thấy những sai lầm thường mắc phải khi giải các bài tốn
và cách khắc phục.
- Giúp cho học sinh có khả năng tư duy nhất quán nhưng linh hoạt và sáng tạo.
Giúp các em đạt kết quả cao hơn trong học tập mơn Tốn từ đó mà thấy say mê

1


mơn Tốn hơn. Đồng thời rèn luyện những đức tính tốt cho học sinh trong học
tập và nghiên cứu.
- Tích lũy kinh nghiệm giảng dạy cho giáo viên, tạo cảm hứng cho giáo viên
sáng tạo hơn nữa trong giảng dạy, thêm yêu ngành yêu nghề.
3. Đối tượng nghiên cứu.
- Lựa chọn các ví dụ ,các bài tập cụ thể và chỉ ra những sai lầm của học
sinh khi vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của
học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán.
4. Phương pháp nghiên cứu.
4.1. Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các sách, báo, tư liệu, các cơng trình
nghiên cứu các vấn đề có liên quan đến đề tài.
4.2.Phương pháp điều tra thực tế:
+ Điều tra GV và HS THPT về tình hình thực tiễn có liên quan.
+ Tham khảo ý kiến của giáo viên Toán về kinh nghiệm xây dựng và khai
thác các bài tốn có nội dung thực tiễn.
4.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm:
Sử dụng phương pháp thử nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi và
hiệu quả của giải pháp đề ra.

2

B. NỘI DUNG
1. Cơ sở lí luận.
G.Polya đã viết "Con người phải biết học từ những sai lầm và những thiếu
sót của mình". Thơng qua những sai lầm, nếu ta biết cách nhìn nhận ra nó, kịp
thời uốn nắn và sửa chữa nó thì sẽ giúp ta ghi nhớ lâu hơn tri thức đã được học,
đồng thời sẽ giúp ta tránh được những sai lầm tương tự và bồi dưỡng thêm về
mặt tư duy cho bản thân mỗi người.
Các kiến thức căn bản về Tốn học cấp THPT, ít nhiều học sinh cũng đã
được học từ bậc THCS, những em có lực học trung bình, yếu kém đều bị mất
gốc phần kiến thức này do đó dù ở câu mức độ nhận biết hay thơng hiểu thì cũng
sẽ bế tắc khi thực hiện lời giải. Còn với đa phần các em có học lực khá, giỏi tâm
lí chung khi gặp một bài tốn là nóng vội lao vào giải, tìm ra đáp số, thấy kết
quả gọn, đẹp là yên tâm, mà quên mất các thao tác quen thuộc: phân tích đề,
kiểm tra các điều kiện, kiểm tra các phép tính…Vì vậy những sai sót xảy ra là
điều tất yếu. Kinh nghiệm cũng cho thấy việc phát hiện ra lỗi sai của người khác
thì dễ cịn việc phát hiện ra lỗi sai của chính mình là rất khó. Trong q trình
dạy về phần kiến thức này, tôi cho các em chủ động tự làm theo lối tư duy logic
của riêng mình, để các em theo dõi nhận xét lời giải của nhau từ đó phát hiện
những lỗi sai và từ đó phân tích để các em hiểu được bản chất của vấn đề khắc
phục sai sót và tổng kết thành kinh nghiệm. Tuy nhiên, nếu cứ lúc nào cũng chỉ
ra những sai lầm của học sinh dễ khiến các em thấy nhàm chán, mất đi hứng thú
học tập. Vì vậy, tơi vận dụng nó linh hoạt trong các tiết dạy và có những gợi ý
cần thiết hỗ trợ cho các em tìm kiếm lời giải.
2. Thực trạng.
Năm học 2018-2019 Bộ giáo dục và đào tạo tiếp tục đổi mới thi THPT
Quốc gia. Để giúp học sinh đạt được kết quả tốt trong kỳ thi THPT Quốc gia
2019, giáo viên cần phải tích cực đổi mới phương pháp dạy học và kiểm tra
đánh giá theo định hướng phát triển năng lực của học sinh. Mơn Tốn thi trắc

nghiệm 100% (50 câu, thời gian 90 phút ). Để làm được bài thi học sinh phải
nắm thật vững kiến thức cơ bản và các kỹ năng cơ bản qui định trong chương
trình. Giáo viên phải có ý thức dạy kỹ và sâu kiến thức từng bài học, rèn luyện
thật chắc những kỹ năng theo yêu cầu của bài học, bên cạnh đó phải giáo dục
cho học sinh tính cẩn thận, làm việc có kế hoạch và biết hệ thống hóa kiến
thức từng bài học.
Thực tế trong kì thi quốc gia 2018 cho thấy rất nhiều em học sinh chỉ đạt
điểm từ 1,0 đến 3,0 điểm, mặc dù 50% các câu thuộc mức độ nhận biết- thơng
hiểu trong đề thi khơng khó, ngun nhân là do các em vẫn ''dính bẫy'' của
phương án nhiễu.
3


3. Các giải pháp.
Trong mỗi câu hỏi trắc nghiệm thường gặp hiện nay, có 4 phương án gồm
1 phương án đúng và 3 phương án nhiễu. Phương án nhiễu thường được xây
dựng dựa trên các sai lầm của học sinh. Vì vậy, học sinh phải nắm chắc kiến
thức mới có thể quyết định chọn phương án nào trong một thời gian rất ngắn.
Sau đây tôi sẽ trình bày một số sai lầm mà học sinh thường gặp khi giải toán trắc
nghiệm .
3.1. Nhầm lẫn các loại điều kiện, các khái niệm:
Ví dụ 1: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau:


x
0
4
y’
+
0 

0 +

y
5


3

Hàm số đạt cực đại tại điểm nào trong các điểm dưới đây?
A. x  3.
B. x  5.
C. x  4.
D. x  0.
Phân tích phương án nhiễu.
Phương án A: Sai do HS nhầm với giá trị cực tiểu của hàm số.
Phương án B: Sai do HS nhầm với giá trị cực đại của hàm số.
Phương án C: Sai do HS nhầm với điểm cực tiểu của hàm số
Lời giải đúng: Từ bảng biến thiên của hàm số ta có hàm số đạt cực đại tại
x  0, yCD  5; hàm số đạt cực tiểu tại x  4, yCT  3. Do đó phương án đúng là D.
Chú ý: Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực
đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu)
của hàm số, kí hiệu là fCD (fCT), cịn điểm M  x0; f  x0   được gọi là điểm cực đại
(điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
Ví dụ 2: Đồ thị hàm số nào dưới đây có đúng một đường tiệm cận ngang?
A. y 

2x  3
x 1
2

.

B. y 

3x  1
x  2x 1
2

.

x2
.
C. y 
2x  3

D. y 

4x  2
.
x  3x  2
2

Phân tích phương án nhiễu.
y  lim y  2. Nhưng thực chất
Phương án A: Sai do HS hiểu rằng xlim

x

lim y  lim

x

x

2x  3
x 1
2

 2 và lim y  lim
x

x

2x  3
x 1
2

 2 nên đồ thị hàm số y 

2x  3
x2  1

hai đường tiệm cận ngang.
y  lim y 
Phương án B: Sai do HS hiểu rằng xlim

x

3
. Nhưng thực chất

1 2

4

có


lim y 

x 

3x  1
3
3
; lim y 
nên đồ thị hàm số y 
có hai đường tiệm
x

1 2
1 2
x  2x2  1

cận ngang.
y  lim y  . Nhưng thực chất
Phương án C: Sai do HS hiểu rằng xlim

x
lim y  ; lim y   nên đồ thị hàm số khơng có đường tiệm cận ngang.
x

x

Lời giải đúng: Ta có xlim


4x  2
4x  2
 lim 2
 0 nên đường thẳng y = 0 là
x  3x  2 x x  3x  2
2

đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 

4x  2
. Chọn D
x  3x  2
2

Chú ý: Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng

 a,   , ;b hoặc  ;  ). Đường thẳng y  y0 là đường tiệm cận ngang (hay
tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f  x nếu ít nhất một trong các điều kiện
sau được thỏa mãn
lim f  x  y0, lim f  x  y0.

x

x

Ví dụ 3: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
1

1

4

dx
1
 ln  2 x  1 .
A. 
2x 1 2
0
0

B.


0

1

dx
1
C.   ln x 2 .
x
2

D.


4

4
dx
 2x  1 .
0
2x 1



dx

 cos
0

2

x

 tan x 04 .

Phân tích phương án nhiễu.
1

Phương án A: Sai do HS hiểu rằng

dx

 2x  1  ln 2x  1
0

đoạn  0;1 thì 2x 1 0 nên một nguyên hàm của
4

Phương án B: Sai do HS hiểu rằng



0


4



0



2x  1 ' 
dx
2x  1

1
).
2 2x  1

Nhưng

thực

. Nhưng thực chất trên

0

1
1
là ln(2x 1).
2x 1
2

dx
2x  1

chất

1



 2 2x  1



4
0

2x  1 ' 

(vì HS hiểu rằng

 2x  1 ' 

2 2x  1

1
nên
2x  1

4

 2x  1 .
0

Phương án D: Sai do HS nhớ nhầm rằng


4


dx
4.

cot
x
0 cos2 x
0

Cũng có thể học sinh chọn do nghĩ đề bài yêu cầu chọn phương án Đúng.

5


1

Lời giải đúng: Ta có
nguyên hàm của
Chú ý:



dx
 ln x
x
2



1
2

. Hơn nữa trên đoạn  2;1 thì x < 0 nên một

1
phải là ln( x) . Do vậy phương án sai là C.
x

ln x  C, x  0

dx
 ln x  C  
.
x
ln( x)  C, x  0

2
Ví dụ 4: Biết rằng tập nghiệm của bất phương trình log3  x  3x  5   2 là khoảng

 a; b  . Giá trị của biểu thức
A. 15.

a 2  b 2 bằng

B. 7.

C. 11.

D. 17.

2
2
2
Lời giải : Ta có log 3  x  3 x  5   2  x  3 x  5  9  x  3 x  4  0  1  x  4

Suy ra a  1; b  4. Do đó a 2  b 2  17 . Chọn D
Phân tích phương án nhiễu.
Phương án A: Sai do HS giải đúng được a  1; b  4 nhưng lại tính sai
a 2  b 2  15 hoặc do HS giải sai bất phương trình. Cụ thể:
log 3  x 2  3x  5   2  x 2  3 x  5  8

 x 2  3x  3  0 

Suy ra a 

3  21
3  21
x
.
2
3

3  21
3  21
,b 
. Do đó tính được a 2  b 2  15
2
3

Phương án B: Sai do HS giải sai bất phương trình. Cụ thể:
log 3  x 2  3 x  5   2  x 2  3 x  5  6
 x 2  3x  1  0 

Suy ra a 

3 5
3 5
 x
.
2

2

3 5
3 5
,b 
. Do đó tính được a 2  b 2  7
2
2

Phương án C: Sai do HS giải sai bất phương trình. Cụ thể:
log 3  x 2  3x  5   2  x 2  3 x  5  6

 x 2  3x  1  0 

Suy ra a 

3  13
3  13
x
.
2
2

3  13
3  13
,b 
. Do đó tính được a 2  b 2  11 .
2
2

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình chóp có đỉnh S  2;3;5 
và đáy là một đa giác nằm trong mặt phẳng  P  : 2 x  y  2 z  3  0 , có diện tích
bằng 12 . Tính thể tích của khối chóp đó.
A. 4 .
B. 24 .
C. 8 .
D. 72 .
Phân tích phương án nhiễu.

6


Phương án A: Sai do HS tính sai độ dài chiều cao của hình chóp. Cụ thể:
2.2  3  2.5  3

h  d  S, P  

22  12   2 

2

1

1
3

Suy ra thể tích khối chóp bằng V  .12.1  4
Phương án B: Sai do HS tính đúng độ dài chiều cao nhưng thiếu

1

trong cơng
3

thức tính thể tích của khối chóp.
Phương án D: Sai do HS tính sai độ dài chiều cao của hình chóp và thiếu

1
3

trong cơng thức tính thể tích của khối chóp.Cụ thể:
h  d  S, P  

2.2  3  2.5  3
 6 và V  S .h  72 .
22  12  22

Lời giải đúng: Chiều cao của khối chóp có độ dài bằng d  S ,  P    2 .
1
3

Suy ra thể tích khối chóp đã cho là V  .12.2  8 . Chọn C
y  2 , lim y   ,
Ví dụ 6: Cho hàm số y  f  x  xác định trên  \  1; 2 và có xlim

x2


lim y   . Khẳng định nào sau đây là sai?

x 1

A. Đồ thị hàm số có ít nhất một tiệm cận ngang là đường thẳng y  2 và hai
tiệm cận đứng là đường thẳng x  1 và x  2 ;
B. Đường thẳng x  1 là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số;
C. Đường thẳng x  2 là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số;
D. Hàm số có hai tiệm cận đứng là đường thẳng x  1 và x  2 ;
Trong ví dụ này học sinh sẽ gặp khó khăn trong việc lựa chọn phương án đúng
do khi đọc 4 phương án sẽ có cảm giác cả 4 khẳng định đều đúng. Trong sách
giáo khoa đưa ra định nghĩa về tiệm cận đứng (tiệm cận ngang) đều nêu rõ là
của đồ thị hàm số. Ở đây phương án D thiếu dữ kiện là đồ thị hàm số. Chọn
phương án D.
3.2. Xét thiếu trường hợp hoặc quên điều kiện
mx3
 (m  1) x 2  4 x  1 có cực
Ví dụ 6: Tập hợp các số thực m để hàm số y 
3
trị là
A. R \  1 .

B. R

C. R \  0;1 .

D. R \  0 .

Lời giải: Ta có y '  mx 2  2(m  1) x  4
Xét m  0, y '  2 x  4 đổi dấu khi qua x=2 nên hàm số có cực trị

7

Xét m  0,  '  (m  1) 2  0  m  1
Chọn A
Phân tích phương án nhiễu: Phương án B: Học sinh nhầm  '  0m
Phương án C: Học sinh quên không lấy kết quả m=0
Phương án D: Học sinh quên không lấy kết quả m=0 và nhầm  '  0m
x
x
Ví dụ 7: Với giá trị của tham số m thì phương trình 9  2  m  1 3  6m  3  0 có
hai nghiệm trái dấu?

A. m  1 .
D.

1
2

B. m  .

1
2

C. m  .

1
 m 1.
2

Lời giải:
t 2  2  m  1 t  6m  3  0

 * .
Đặt 3  t  0 . Phương trình đã cho trở thành: 144444444424444444443
x

f  t

u cầu bài tốn   * có hai nghiệm t1 , t2 thỏa mãn 0  t1  1  t2
 '  0
t  t  0
1
1 2

  m  1 Chọn D
2
t1.t2  0
(t1  1)(t2  1)  0
1
2

(hoặc có thể áp dụng f (0). f (1)  0   m  1 )
Phân tích phương án nhiễu: Phương án A: Học sinh thiếu điều kiện phương
trình (*) có 2 nghiệm phân biệt dương.
Phương án B: Học sinh nhầm điều kiện 2 nghiệm ẩn x trái dấu thành 2
1
2

nghiệm ẩn t trái dấu- tức là chỉ giải: 6m  3  0  m  , đây là sai lầm mà tương
đối nhiều học sinh mắc phải.
Phương án C: Tương tự phương án B, đồng thời nhớ sai điều kiện 2 nghiệm
thành cùng dấu.

Ví dụ 8: Sớ đường tiệm cận đứng của đờ thị hàm số y 
A. 3 .

B. 2 .

C. 0 .





x  3  2 sin x
x x
2

là

D. 1 .

Mẫu số có hai nghiệm phân biệt là 0 và 1 nhưng đồ thị không có đường tiệm
cận đứng vì:
8


lim





x  3  2 sin x
x2  x

x 0


lim



x  3  2 sin x

x 1

x x
2

sin x x  3  2
.
 2  3 khác vô cực;
x 0
x
x 1

 lim

 x  3  2  sin x
2

 lim

x 1





x  3  2  x  1 x



sin1
khác vô cực.
4

Chọn C
Chú ý: Đối với hàm phân thức thì x=a là nghiệm của mẫu thức nhưng khơng
là nghiệm của tử thức, khi đó đường thẳng x=a mới là tiệm cận đứng của đồ thị.
Ví dụ 9: Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số
y   x3  3x 2  3  m 2  1 x  3m 2  1 có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời

khoảng cách giữa các điểm cực trị đó khơng vượt q 30 13 . Số phần tử của tập
hợp S là
A. 7 .
B. 4 .
C. 6 .
D. 5 .
2
2
Lời giải: Ta có y '  3x  6 x  3  m  1 .

Đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu khi và chỉ khi phương trình
y '  0 có hai nghiệm phân biệt  m  0.
Gọi A, B là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì
A  1  m; 2  2m3  , B  1  m; 2  2m3  .

Từ giả thiết ta có AB  30 13  2 m2  4m6  30 13  4m6  m 2  2925  0
 m 2  9  3  m  3 .
Kết hợp với điều kiện ta có S   3; 2; 1;1; 2;3 .
Do đó phương án đúng là C.
Phân tích phương án nhiễu.
Phương án A: Sai do HS không đối chiếu điều kiện m  0 .
Phương án B: Sai do HS giải sai bất phương trình m 2  9  0  m  3 và không
đối chiếu với điều kiện m  0 nên tìm ra được 4 phân tử. Hoặc sai do HS hiểu sai
điều kiện khơng vượt q thành AB  30 13 và có đối chiếu với điều kiện m  0 .
Phương án D: Sai do HS hiểu sai điều kiện không vượt quá thành AB  30 13 và
không đối chiếu với điều kiện m  0 .
Ví dụ 10 : Đầu mỗi tháng bác An gửi tiết kiệm vào ngân hàng ACB một số tiền
như nhau với lãi suất 0, 45% /tháng. Giả sử rằng lãi suất hàng tháng không thay
đổi trong 3 năm liền kể từ khi bác An gửi tiết kiệm. Hỏi bác An cần gửi một
lượng tiền tối thiểu T (đồng) bằng bao nhiêu vào ngân hàng ACB để sau 3 năm
gửi tiết kiệm số tiền lãi đủ để mua được chiếc xe máy có trị giá 30 triệu đồng?
A. T  10050000.
B. T  25523000.
C. T  9493000.
D. T  9492000.
Lời giải: Giả sử bác An gửi số tiền tối thiểu hàng tháng là T (đồng).
9


Đặt r = 0, 45%

Hết tháng thứ nhất bác An nhận được số tiền cả gốc và lãi là
T1  T  T.r  T. 1 r  .

Hết tháng thứ hai bác An nhận được số tiền cả gốc và lãi là
T2  T. 2  r   T. 2  r  .r  T.  r  1   r  1  .


2

Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh được rằng sau n tháng gửi
tiết kiệm thì bác An nhận được số tiền cả gốc và lãi là
n
n1
Tn  T  1 r    1 r   ...   1 r   .


T
n
Dễ dàng tính được Tn  . 1 r  .  1 r   1 .
r

Suy ra số tiền lãi sau n tháng gửi tiết kiệm là
T
n
. 1 r  .  1 r   1  Tn.


r
Theo giả thiết, ta có n  36, L36  30 000 000. Suy ra T  9 493 000. Chọn C
Ln  Tn  Tn 

Phân tích phương án nhiễu.
Phương án A: Sai do HS tính chỉ gửi 35 tháng.
Phương án B: Sai do HS sử dụng cơng thức của bài tốn tính lãi kép và hiểu đề
bài yêu cầu số tiền thu được sau 3 năm đủ để mua xe máy có trị giá 30 triệu
đồng nên tìm được T  25523000.
Phương án C: Sai do HS giải đúng như trên nhưng lại làm trịn T  9492000.
Ví dụ 11: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực

nghịch biến trên ( - 1;1) .
A. m > 3 .

B. m < 3.

C. m £

1
.
3

m

3- x - 3
để hàm số y = - x
3 - m
1
3

D. m < .

3- x - 3
3- x - m
ổ
1 ử
ữ
do x (0;1) nờn t ẻ ççç ;3÷
÷
÷
è3 ø

Lời giải: Xét hàm sớ y =
Đặt t = 3- x
y=

t - 3 y¢= - m + 3
2
;
t- m
( t - m)

Ta có hàm số t = 3- x nghịch biến trên ( - 1;1)
3- x - 3
nghịch biến trên khoảng
3- x - m
ỉ
1 ư
t- 3
÷
y=
đờng biến trên khong ỗỗỗ ;3ữ

ữ
ữ
ố3 ứ
t- m

Do ú: Ham sụ y =

( - 1;1)

khi hàm số

10


ìï - m + 3 > 0
ïï
Û
1 ư
ĐK: ïíï m ẽ ổ
ữ
ỗ
ữ
;3
ỗ
ữ
ùù
ỗ
ữ
ố3 ứ
ợù

ỡù m < 3
ùù
ùù ộ
1
1
ớ ờm Ê m £ . Chọn C
ïï ê
3
3
ïï êm ³ 3
ë
ỵï ê

Phân tích phương án nhiễu : Phương án A: Học sinh nghĩ rằng chỉ cần y’ âm,
đây là sai lầm mà rất nhiều học sinh mắc phải.
Phương án B: Học sinh có suy nghĩ tốt hơn, xong lại quên điều kiện mẫu số
khác không
Phương án D: Học sinh lấy điều kiện chặt( dẫn đến sai)
Chú ý: Cho hàm số y  f (u ( x)) xác định trên K, hàm số t  u ( x) xác định trên J,
có tập giá trị T. Nếu hàm số t  u ( x) đồng biến trên J, thì hàm số y  f (u ( x)) đồng
biến(nghịch biến) trên K khi hàm số y  f (t) đồng biến(nghịch biến) trên T. Nếu
hàm số t  u ( x) nghịch biến thì ngược lại.
log 2 ( x 2  3 x)  2
 0 là
Ví dụ 12: Số nghiệm thực của phương trình
log 2 x
A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Nếu học sinh chỉ chú ý đến điều kiện x > 0 và giải phương trình
log 2 ( x 2  3 x)  2  0, có 2 kết quả là x  4 (không thỏa mãn x > 0) và x = 1 thì
chọn phương án B. Tuy nhiên, x = 1 không thỏa mãn điều kiện mẫu số khác 0.
Vì vậy phải chọn phương án A.
Ví dụ 13: Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số
1 3
x  mx 2  (m 2  4) x  3 đạt cực đại tại x  3 .
3
A. m  1;5 .
B. m  1 .
C. m  5 .

y

D. m  7 .

Phương án đúng là C:
1
Hàm số y  x3  mx 2  (m2  4) x  3 có y '  x 2  2mx  m 2  4 và y ''  2 x  2m .
3

Điều kiện cần để hàm số đạt cực đại tại x  3 là
m  1
y '  3  0  m 2  6m  5  0  
.

m  5

Thử lại: với m  1 thì y ''  3  2.3  2  4  0 nên hàm số không đạt cực đại tại x  3.
Với m  5 thì y ''  3  2.3  10  4  0 nên hàm số đạt cực đại tại x  3. Vậy giá trị
m cần tìm là m  5.
Phương án nhiễu A: Học sinh chỉ sử dụng điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại
x0 là y '  x0   0 mà không dùng điều kiện đủ để kiểm tra lại.

Phương án nhiễu B, D: Học sinh không biết cách giải quyết nên chọn bừa.

11


Ví dụ 14: Trong khơng gian Oxyz , cho hai điểm B (0, 2,0) và C(0,0,2) . Phương
trình mặt phẳng (P) và cách điểm M(1, 2, 1) một khoảng bằng

1
là:
2

A. y + z – 2 = 0;
1
1
2
2
1
1
C. 2 x  y  z  1  0 hoặc y – z + 2 = 0.
2
2

1
1
D. 2 x  y  z  1  0 hoặc y + z – 2 = 0.
2
2

B. 2 x  y  z  1  0

Trong ví dụ này học sinh thường có hướng giải theo phương trình mặt phẳng
theo mặt chắn. Gọi giao điểm của mặt phẳng (P) với trục Ox là điểm A(a;0;0).
Phương trình mặt phẳng (P) có dạng:
thiết: d  M ;  P   

|2a|
4  2a 2



x y z
   1  2 x  ay  az  2a  0 . Theo giả
a 2 2

1
1
a .
2
2
1
2

1
2

Phương trình mặt phẳng (P) là: 2 x  y  z  1  0 .
Khi giải đến đây học sinh thường mắc sai lầm lựa chọn phương án B mà quên
mất một trường hợp nữa là mặt phẳng (P) có thể khơng được viết dưới dạng
phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn. Ở đây học sinh cần phải xét thêm
một trường hợp nữa là (P)||Ox. Khi đó, véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)


 

được tính: n   AB, i    0; 2; 2  . Ta lập được phương trình mặt phẳng (P) theo
trường hợp này là: y + z – 2 = 0. Trường hợp này thỏa mãn yêu cầu bài tốn nên
phương án đúng là D.
Ví dụ 15: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình
log 3 ( x 2 + 3) +

m
log
2

x 2 +3

3 = 6 có hai nghiệm?

A. 3.
B. 4.
Lời giải đúng:
Phương trình đã cho tương đương với

log 3 ( x 2 + 3) +

C. 5.

m
- 6 =0 .
log 3 ( x 2 + 3)

Đặt t = log3 ( x 2 + 3) , khi đó phương trình trở thành
- t 2 + 6t = m .
Nhận xét:

D. 8.

(1)

(2)

12


+ Ta có t = log3 ( x 2 + 3) ³ 1 ;
+ Với mỗi t >1 , ta giải ra được hai nghiệm x , riêng t =1 , ta giải được một
nghiệm x = 0 .
Do đó, để (1) có hai nghiệm khi và chỉ khi (2) có đúng một nghiệm t >1 , nghiệm
cịn lại nếu (nếu có) phải nhỏ hơn 1. Dùng bảng biến thiên ta giải được m < 5 hoặc
m = 9 , suy ra có 5 giá trị m thỏa đề bài, chọn C.
Phân tích phương án nhiễu:
Phương án D: HS chỉ hiểu đơn giản để (1) có hai nghiệm Û (2) có hai nghiệm
Û  >0 ;

Phương án A: biết đến điều kiện t >1 nhưng chưa nắm được quan hệ giữa số
nghiệm t và số nghiệm x ;
Phương án B: giống phương án A nhưng điều kiện t ³ 1 .
2
Ví dụ 16: Số nghiệm thực của phương trình 2log 2  3 x  2   log 2 x là

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Vì có hệ số 2 ở vế trái nên học sinh có thể nghĩ ngay đến công thức
log 2 x 2  2log 2 x khi x dương, học sinh biến đổi về 3x  2  x  x  1. Giá trị
này không thỏa mãn điều kiện để có thể thực hiện được công thức
log 2 x 2  2log 2 x, học sinh có thể kết luận phương trình đã cho vô nghiệm.
Sai lầm ở đây là học sinh đưa ra điều kiện mới x > 0 để biến đổi và làm mất
nghiệm. Lời giải đúng như sau:
3 x  2  0

2log 2  3 x  2   log 2 x 2   x 2  0

2
2
log 2  3 x  2   log 2 x
2
2



x  3
x  3


1
 x  0
 x  0
 x .
2

8 x 2  12 x  4  0
2
2
3
x

2

x





Chọn B. Học sinh cần phải cảnh giác với những biến đổi dẫn đến phương
trình mới có tập xác định khác tập xác định của phương trình ban đầu.
Ví dụ 17: Cho a là một số thực dương và b là một số nguyên, 2  b  200 . Hỏi có
2018
bao nhiêu cặp số  a, b  thỏa mãn điều kiện  logb a   logb a 2018 ?

A. 198

B. 199

C. 398

D. 399

13


Lời giải sai:  log b a 

2018

 2018log b a   log b a 

2017

 2018 , tức là bỏ mất trường hợp

log b a  0 , từ đó dẫn đến chọn đáp án B.

Lời giải đúng : Ta có

 logb a 

2018

 logb a 2018   log b a 

2018

 log b a  0
 2018log b a  
2017
 2018
 log b a 

a  1
a  1


.

2017
2017
2018
 a  b 2018
log b a 

Do a là số thực dương nên với mỗi số nguyên b thỏa mãn điều kiện
2  b  200 thì sẽ tạo ra một cặp số  a; b  thỏa mãn yêu cầu đề bài

200  2 
 1  398 cặp. Vậy ta chọn C
 1



Do vậy có 2  

1
3

Ví dụ 18: Cho hàm số y   x3   m  m 2  2  x 2   3m 2  1 x  m . Tìm m để hàm số
đạt cực trị tại điểm x  2 .
A.
B.
C.
D.

m  1 hoặc m  3 .
m  1.
m  3.
Đáp án khác;

Trong ví dụ này học sinh dễ nhầm lẫn giữa phương án B và phương án C.
2
2
2
Đạo hàm của hàm số: y '   x  2  m  m  2  x   3m  1 .

Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x = -2 là y’(-2) = 0.
m  1
 4  4  m  m 2  2    3m 2  1  0  
m  3

Khi giải đến đây học sinh vội vàng lựa chọn phương án B mà quên mất việc xét

điều kiện đủ để làm số đạt cực trị tại x  2 .
Điều kiện đủ:
2
+ Với m  1 thì y '   x 2  4 x  4    x  2   0, x   . Bởi vậy hàm số nghịch biến

trên  nên khơng có cực trị.
+ Với m  3 thì y '   x 2  16 x  28 và y ''  2 x  16 .

14


Khi đó

y '  2   0


  hàm số đạt cực đại tại x  2 .
y ''  2   12  0 

Vậy m  3 thì hàm số đạt cực trị tại x  2 . Chọn phương án C.
3.3. Biến đổi sai biểu thức hoặc tính toán sai
Ví dụ 19: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
A  2;1; 3 , B  1;0; 1 và đường thẳng d :

x 1 y  2 z

 . Đường thẳng  vng
2
1
1

góc với cả hai đường thẳng AB và d thì có vectơ chỉ phương là vectơ nào trong
các vectơ dưới đây?




A. u1   1; 5;3 .
B. u2   1;5;3 .
C. u3   4; 2;3 .
D. u4   3;11;5  .


Lời giải đúng: Ta có AB   1; 1; 2  và đường thẳng d có vectơ chỉ phương là

u   2; 1;1 .
 
Ta có  AB, u    1;5;3 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng . Chọn B

Chú ý: Đường thẳng  vng góc với hai đường thẳng d1 và d 2 có vtcp lần lượt


 

 

là u1; u2 . Lúc này đường thẳng  có vtcp u   u1 ; u2  .
Phân tích phương án nhiễu.

 

Phương án A: Sai do HS tính sai  AB, u    1; 5;3 do sắp xếp sai thứ tự trong
cơng thức tính tích có hướng của hai vectơ.
Phương án C: Sai do HS xác định sai vectơ chỉ phương của d nên tính sai tọa


độ vectơ chỉ phương của  . Cụ thể : u   1; 2;0  là một vectơ chỉ phương của d.
 

Suy ra  nhận vectơ   AB, u    4; 2;3 làm một vectơ chỉ phương.


Phương án D: Sai do HS xác định sai tọa độ của vecto AB   3;1; 4  nên tính sai
 

tọa độ vectơ chỉ phương của  . Cụ thể  nhận vecto   AB, u    3;11;5  làm một
vectơ chỉ phương.
Ví dụ 20: Tìm số giá trị nguyên của tham số thực m để hàm số
y   x 2  mx  6 

A. 9.

3 2

xác định trên  .
B. 5.

Lời giải: Hàm số y   x 2  mx  6 

C. 10.

3 2

D. 6.

xác định trên  khi và chỉ khi

x 2  mx  6  0, x    m2  4.1.6  0  2 6  m  2 6.

Suy ra các giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là
4; 3; 2; 1; 0;1; 2;3; 4 . Vậy số 9 có giá trị nguyên tham số m . Chọn A
Phân tích phương án nhiễu.

15


Phương án B: Sai do HS tính sai biệt thức   m 2  6  0   6  m  6 nên tìm
được 5 giá trị .

Phương án C: Sai do HS đếm sai. Cụ thể là có 5 số nguyên thuộc 0; 2 6  ,
khoảng  2 6; 2 6  là khoảng đối xứng nên trong khoảng  2 6; 2 6  có 10 số
nguyên.
Phương án D: Sai do HS giải sai như phương án B nhưng đếm sai như phương
án C.
Chú ý: Tập xác định của hàm số lũy thừa y  x a tùy thuộc vào giá trị  . Cụ thể
-Với  nguyên dương, tập xác định là  ;
- Với  nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là  \  0 ;
- với  không nguyên, tập xác định là  0;   .
Ví dụ 21: Cho hình lập phương ABCD. ABC D . Gọi  là góc giữa đường thẳng
AC’ với mặt phẳng  ABCD  . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.

2

  .
9
4

B.



  .
4
3

C.


2
 
.
6
9

D.



  .
9

6

Lời giải: Ta có AC là hình chiếu vng góc của AC '
trên mặt phẳng  ABCD  .
Lại do CC '   ABCD  nên tam giác C ' AC vuông tại
C .



 




 ' AC   .
AC ', AC  C
Suy ra AC ',  ABCD   
.

Ta có tan  

CC '
2

2

  
AC
2
6

9

Phân tích phương án nhiễu

2
và cho rằng   .
4
2
AC


 2 nên suy ra   
Phương án B: Sai do HS tính sai tan  
.
AC '
4
3

Phương án A: Sai do HS tính được tan 

Phương án D: Sai do HS tính sai tan  


CC '
3

nên suy ra  
6
AC ' 3

3.4. Sai lầm do lỗi máy tính casio
Tình trạng học sinh quá tin tưởng vào máy tính và yên tâm dùng kết quả
được tìm nhờ máy tính cũng là một trong những sai lầm, khiến các em mất
điểm, đặc biệt là đối với bài tốn tính tích phân hoặc tính giới hạn .

16


100

Ví dụ 22: Tính tích phân I 


0

A. I 

100

2

4 x -1
dx.
2x  1

 100.ln 2  1
ln 2

16 25
B. I 

ln 2

2101  1
C. I 
2.ln 2

2100  1
D. I 
ln 2

Với bài toán này, nếu học sinh dùng máy tính để bấm thì kết quả ở
phương án nào cũng đúng(do máy tính làm trịn)
100

Lời giải đúng: I 


0

4 x -1
dx 
2x  1

100


0

100

2x
2100  100.ln 2  1
(2  1)dx  (
 x) 
.
ln 2
ln
2
0
x

Chọn A
Ví dụ 23: Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 2  3 x và
hai đường thẳng x  15; x  15 .
A. S  2250

B. S  2259

C. S  1259

D. S  259

Lời giải đúng:
Diện tích hình phẳng cần tính:
15

S



15

0

x 2  3x dx 

 x

2

15

3

15

0

3

 3x  dx    x 2  3x  dx    x 2  3x  dx  2259

Chọn phương án B.
Tuy nhiên đối với dạng bài tập kiểu này học sinh thường sẽ sử dụng máy tính
15

điện tử để tính S 



x 2  3 x dx . Khi sử dụng máy tính điện tử sẽ có hai khả năng

15

sau:
15

VINACAL: Ta tính: S 



x 2  3 x dx  2259. Đúng với kết quả tính tay.

15
15

CASIO: Ta tính S 



x 2  3x dx  2250 . Không đúng với kết quả tính tay.

15

Lý do nào hai loại máy tính này cho ta hai kết quả khác nhau, là bởi vì: Máy
CASIO “thường khơng đúng” cho tích phân trị tuyệt đối với hai cận chứa 3 đoạn
đối dấu trở lên.
Ví dụ 24: Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 2  x và
hai đường thẳng x  12; x  12 .

17


A. S  1152

B. S 

3457
2

C. S 

3457
3

D. S  1252

Lời giải thích đúng:
Diện tích hình phẳng cần tính:
12

S



12

0

x 2  x dx 



12

1

12

0

1

 x 2  x  dx    x 2  x  dx    x 2  x  dx 

3457
.
3

Chọn phương án C.
Tuy nhiên đối với dạng bài tập kiểu này học sinh thường sẽ sử dụng máy tính
12

điện tử để tính S 



x 2  x dx. , cả hai loại máy tính CASIO và VINACAL đều

12

cho ra cùng một đáp số là 1152. Kết quả này chỉ là kết quả gần đúng. Khi đó học
sinh dễ chọn phương án sai lầm là phương án A.
Một số học sinh còn quá tin vào các ”bí kíp’’ casio trên mạng dẫn đến
khơng hiểu bản chất tốn học, ảnh hưởng khơng tốt đến tư duy toán học.
Trên đây là một số sai lầm phổ biến mà học sinh mắc phải. Những sai lầm
này phần lớn xuất phát từ sự thiếu chắc chắn về kiến thức cộng với thói quen
làm bài thường gặp những “tình huống thuận lợi” dẫn tới tư tưởng chủ quan,
nóng vội, cẩu thả.
Để hạn chế những sai lầm trong giải toán trắc nghiệm, học sinh và giáo
viên cần chú ý
 Học cẩn thận các khái niệm, các định lí toán học. Chú ý các điều kiện
liên quan trong mỗi mệnh đề đúng đã biết để không bị lừa khi câu hỏi có
nội dung gần giống với các mệnh đề nhưng điều kiện đã thay đổi.
 Học cẩn thận các mệnh đề đúng về phương trình tương đương, hệ
phương trình tương đương và bất phương trình tương đương.
 Không ngộ nhận kết quả tổng quát thông qua một số trường hợp riêng.
 Biến đổi biểu thức cẩn thận và tính toán cẩn thận.
 Trong một số trường hợp, cần dùng máy tính bỏ túi để kiểm tra lại kết
quả, chứ khơng q phụ thuộc vào máy tính.
 Với loại câu hỏi trắc nghiệm có 4 phương án gồm 1 phương án đúng và
3 phương án nhiễu như hiện nay, cần kết hợp cả việc loại trừ phương án
nhiễu để tìm ra phương án đúng.
 Để khắc phục những sai lầm đó, ngồi những biện pháp đã nêu, người
giáo viên vẫn cần phải giúp các em học sinh rèn luyện các đức tính cẩn
thận, tỉ mỉ, kiên trì và đặc biệt là khắc phục những điểm yếu tâm lí khi

18

làm bài. Giáo viên cũng nên tạo cho học sinh thói quen “tự vấn”, “tự
phản biện” khi làm bài để phát hiện và hạn chế tối đa các sai lầm mắc
phải.
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
Qua đợt khảo sát chất lượng Lớp 12 của Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa, đề
thi hay, phù hợp và bám sát với thi THPT Quốc Gia.
Kết quả thu được như sau :
Điểm 1-3
3.2-4.8 5-6.4
6.6-7.8 8-8.8 9-9.8
10
Tổng
Lớp
12A1

số
0

0

2

20

20

6

0

48

19


C. KẾT LUẬN
1. Kết luận.
Nghiên cứu, phân tích một số sai lầm của học sinh khi giải tốn trắc
nghiệm có ý nghĩa rất lớn trong quá trình dạy- học vì khi áp dụng sáng kiến này
sẽ giúp học sinh nhìn thấy được những điểm yếu và những hiểu biết chưa thật
thấu đáo của mình về vấn đề này từ đó phát huy ở học sinh tư duy độc lập, năng
lực suy nghĩ tích cực chủ động củng cố trau rồi thêm kiến thức, kinh nghiệm từ
đó làm chủ được kiến thức, khắc phục được sai lầm, đạt được kết quả cao trong
quá trình học tập và sẽ hạn chế những sai lầm, đạt được điểm cao hơn trong kỳ
thi THPT Quốc gia sắp tới.
Bài viết chắc chắn còn nhiều thiếu sót rất mong được sự đóng góp ý kiến,
phản hồi của các đồng nghiệp.
2. Kiến nghị.
-Từ kết quả nghiên cứu đã đạt được trên đây, tôi xin mạnh dạn đề xuất một số
kiến nghị như sau:
Một là, đối với Sở giáo dục và đào tạo: Cần tổ chức tập huấn cho giáo viên
nhiều hơn nữa về việc đổi mới phương pháp dạy học, đặc biệt là tập huấn việc ra
đề trắc nghiệm.
Hai là, đối với nhà trường: cần tạo điều kiện thuận lợi về cơ sở vật chất, trang
thiết bị hỗ trợ giáo viên. Có chế độ khen thưởng kịp thời đối với giáo viên có
nhiều sáng kiến kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy.
Ba là, đối với giáo viên: Cần phối hợp nhiều phương pháp dạy học tích cực
trong quá trình dạy học, đổi mới phương pháp theo hướng tích cực hóa người
học, tích cực soạn giáo án liên mơn tích hợp và giảng dạy.
XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ

Hoằng Hóa, ngày 26 tháng 5 năm 2019.
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
khơng sao chép nội dung của người khác

Người viết

Nguyễn Văn Trường

20


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Đoàn Quỳnh(Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan(Chủ biên), Nguyễn Xuân
Liêm, Trần Phương Dung, Đặng Hùng Thắng(2007), Đại số và Giải tích 12;
Đồn Quỳnh(Tổng chủ biên), Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban- sách Hình
Học 12(nâng cao), NXB Giáo dục.
2. Đề minh họa, đề thử nghiệm mơn Tốn THPT Quốc Gia của Bộ giáo dục;
các đề thi thử của các Sở giáo dục, các trường THPT trên toàn quốc.
3. Giải một bài toán như thế nào, Tác giả G.Polya, NXB Giáo dục.
4. Các đợt tập huấn của Sở Giáo dục và đào tạo Thanh Hóa.
5. Các tài liệu tham khảo trên Internet, nhóm Diễn đàn giáo viên Tốn https://
www.facebook.com/groups/1928183394172415/

21


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 4

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH
KHI GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM LỚP 12

Người thực hiện: Nguyễn Văn Trường
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn

THANH HỐ NĂM 2019

22


MỤC LỤC
A. Mở đầu ……………………………………………. Trang 1
1. Lí do chọn đề tài…………………………………. Trang 1
2. Mục đích nghiên cứu…………………………….. Trang 1
3. Đối tượng nghiên cứu……………………………. .Trang 2
4. Phương pháp nghiên cứu…………………………..Trang 2
B. Nội dung…………………………………………….Trang 3
1. Cơ sở lí luận……………………………………….Trang 3
2. Thực trạng ………………………………….... .…..Trang 3
3. Các giải pháp …………..……………………... …..Trang 4
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm………….. …Trang 19
C. Kết luận…………………………………………. ..Trang 20
Tài liệu tham khảo…………………………………….

23

DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Nguyễn Văn Trường
Chức vụ và đơn vị cơng tác: Tổ phó tổ Tốn trường THPT Hoằng Hóa 4

TT

1.

Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá xếp
loại
(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh; Tỉnh...)

Ứng dụng số phức vào chứng Sở GD_ĐT

Kết quả
đánh giá
xếp loại
(A, B, hoặc C)

Năm học
đánh giá
xếp loại

C

2010-2011

C

2012-2013

C

2014-2015

C

2016-2017

minh đẳng thức và bất đẳng
2.

thức
Sử dụng phương pháp tọa độ Sở GD_ĐT
không gian vào giải một số

3.

bài toán đại số Lớp 12
Hướng dẫn học sinh sử dụng Sở GD_ĐT
máy tính bỏ túi giải một số
bài hệ phương trình trong các

4.

đề thi đại học
Một số kinh nghiệm hướng Sở GD_ĐT
dẫn học sinh Lớp 12 giải bài
toán trắc nghiệm thực tế

5.
...
----------------------------------------------------

24