(Sáng kiến kinh nghiệm) rèn luyện phương pháp tư duy quy lạ về quen cho học sinh lớp 10 thông qua một lớp bài toán áp dụng các tính chất của hàm

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Dạy học môn Toán theo định hướng phát triển năng lực của học sinh trong
nhà trường THPT là mục tiêu đổi mới giáo dục ở nước ta hiện nay. Luật giáo dục
điều 28 đã ghi rõ: “Phương pháp dạy học phổ thông phải phát huy tính tích cực,
tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với từng đặc điểm của từng lớp
học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến
thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho
học sinh”.
Trong dạy học mơn Tốn, phương pháp tư duy của học sinh phần lớn được
hình thành và được rèn luyện trong q trình giải tốn, thơng qua hoạt động này
học sinh hoạt động tích cực để tìm tịi, khám phá và chiếm lĩnh tri thức mới. Trong
tác phẩm nổi tiếng “ Giải toán như thế nào”, G.Polya cho rằng: “Ví như dịng sơng
nào cũng bắt nguồn từ những con suối nhỏ, mỗi bài tốn dù khó đến đâu cũng có
nguồn gốc từ những bài tốn đơn giản, có khi rất quen thuộc đối với chúng ta”. Là
giáo viên dạy Toán, việc hướng dẫn và rèn luyện cho học sinh biết cách chuyển từ
bài toán mới về những bài tốn quen thuộc, bài tốn “khó” trở về bài toán “dễ” là
điều rất cần thiết và thiết thực.
Hơn nữa, kiến thức hàm số giữ một vị trí trung tâm trong chương trình tốn ở
trường phổ thơng, việc dạy và học toán đều xoay quanh nội dung kiến thức này.
Do vậy việc phát triển tư duy hàm cho học sinh ở trường phổ thông là rất cần thiết
đặc biệt ngay từ lớp 10, nó sẽ là tiền đề cho các em học sinh phát triển tư duy tốt
hơn khi giải tốn hàm số ở chương trình lớp 11, lớp 12.
Với những lý do trên cùng với kinh nghiệm giảng dạy tôi đã quyết định chọn
đề tài: “Rèn luyện phương pháp tư duy quy lạ về quen cho học sinh lớp 10
thơng qua một lớp bài tốn áp dụng các tính chất của hàm số bậc hai’’ làm đề
tài sáng kiến kinh nghiệm của bản thân trong năm học 2018– 2019. Rất mong
nhận được sự đóng góp ý kiến, nhận xét và đánh giá của đồng nghiệp để đề tài
được hồn thiện hơn.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là rèn luyện phương pháp tư duy quy lạ về

quen thơng qua một lớp các bài tốn sử dụng các tính chất của hàm số bậc hai
nhằm rèn luyện các kỹ năng toán học và định hướng phát triển cho học sinh những
năng lực sau:
- Năng lực tư duy, năng lực tính tốn, năng lực tự học và giải quyết vấn đề.
- Năng lực sử dụng máy tính cầm tay casio.
- Năng lực sử dụng ngơn ngữ Toán học.
- Kỹ năng vận dụng kiến thức về hàm số.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là lớp các bài tốn ở chương trình học lớp 10
sử dụng tính chất của hàm số bậc hai để rèn luyện các kỹ năng và phát triển các
năng lực Toán học của học sinh.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1


Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Dựa vào sách giáo khoa
Đại số 10 - Nâng cao và Cơ bản, sách bài tập Đại số 10- Nâng cao và Cơ bản, tài
liệu phân phối chương trình, tài liệu về dạy học theo định hướng phát triển năng
lực học sinh.
- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê và xử lý số liệu trên lớp
thực nghiệm và lớp đối chứng để qua đó thấy được hiệu quả của đề tài.

2


2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Rèn luyện thao tác tư duy cho học sinh trong dạy học giải Tốn có vai trò

quan trọng trong việc phát triển khả năng tư duy của học sinh, để từ đó có khả
năng thích ứng khi đứng trước một vấn đề cần giải quyết
Vận dụng tốt phương pháp phù hợp để giải các bài tốn sử dụng tính chất của
hàm số, học sinh sẽ tiết kiệm được thời gian, bài giải gọn.
Khi vận dụng phương pháp phù hợp, học sinh sẽ biến đổi nhanh gọn bất
ngờ, đầy hứng thú, kích thích và phát triển tinh thần say mê , thích thú học tốn.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trường THPT Triệu Sơn 3 là một trường nằm ở phía tây của huyện, có nhiều
xã miền núi, đặc biệt khó khăn thuộc vùng V135, V134, có nhiều học sinh là con
em dân tộc thiểu số nên điểm đầu vào thấp. Tư duy của học sinh chậm, điều kiện
kinh tế cịn khó khăn, đường đi học cịn xa và khó đi nên ảnh hưởng rất nhiều đến
kết quả học tập của các em.
Trong chương trình toán lớp 10, Sử dụng tính chất hàm số bậc hai để giải
quyết các bài toán cực trị - bài toán chứa tham số…là một công cụ rất hiệu quả.
Tuy nhiên nhiều giáo viên mới chỉ dừng lại ở mức trang bị lý thuyết và giao nhiệm
vụ cho học sinh một vài bài bài tập cụ thể mà chưa khai thác kiến thức ở nhiều
dạng toán khác nhau, chưa thể hiện rõ được vai trị quan trọng của hàm số trong
chương trình. Ngồi ra số tiết theo phân phối chương trình dành cho phần này ở
lớp 10 rất ít nên ảnh hưởng khơng nhỏ đến việc dạy học.
Kỹ năng giải tốn cịn chậm; Khả năng phát hiện vấn đề nảy sinh trên cơ sở
đã có, khả năng quy lạ về quen cịn nhiều hạn chế. Do đó học sinh gặp nhiều lúng
túng, sai lầm khi gặp các bài tốn có sự thay đổi dạng.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Hệ thống kiến thức cần dùng cho học sinh.
2
*) GTLN, GTNN của hàm số f ( x)  ax  bx  c (a  0) trên tập D
2
*) Cho hàm số f ( x)  ax  bx  c (a  0)
+) Số nghiệm của phương trình f ( x)  m phụ thuộc vào số giao điểm của đồ
thị hàm số y  f ( x) với đường thẳng y  m

max f ( x)  m
+) Bất phương trình f ( x)  m có nghiệm x  D khi D
min f ( x)  m
+) Bất phương trình f ( x)  m có nghiệm x  D khi D
min f ( x)  m
+) Bất phương trình f ( x)  m nhận x  D là nghiệm khi D
max f ( x)  m
+) Bất phương trình f ( x)  m nhận x  D là nghiệm khi D
2.3.2. Hướng dẫn và rèn luyện cho học sinh phương pháp tư duy quy lạ
về quen thông qua một số dạng bài tập:
3


2.3.2.1. Dạng 1: Giải biện luận phương trình chứa tham số bằng phương
pháp cô lập tham số và lập BBT của hàm số bậc 2
 Tư tưởng:
- Cô lập tham số để biến đ ổi phương trình về dạng f  t   g  m  , với

t  t  x   D   , f  t  là hàm số bậc 2. Đưa bài tốn về tìm GTLN, GTNN của
hàm số bậc hai
 Các ví dụ minh họa:
2
Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x  2 x  m  3  0
có nghiệm x   0;5 .
A. m  4
B. -4  m  12
C. -12  m  4
D. -12GV định hướng: Cô lập tham số m, chuyển bài toán về sự tương giao của 2 đồ thị

hàm số
PT  x 2  2 x  3  m  1

2
Số nghiệm của phương trình  1 là số giao điểm của đồ thị hàm số y  x  2 x  3
với đường thẳng y  m
Phương trình  1 có nghiệm x   0;5 thì đường thẳng y   m cắt đồ thị hàm số

y  x 2  2 x  3 trên  0;5

2
Lập BBT của hàm số y  x  2 x  3 trên  0;5 ta được kết quả: Đáp án C
Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình:

2 x 2  7 x  m  x  2  0  1 có nghiệm.
25
m
B. m  6
C. m  6
4
A.

Đây là phương trình vơ tỷ dạng cơ bản
trình để đưa về dạng quen thuộc.

D. m  6

f ( x)  g ( x) , học sinh biến đổi phương

x2


PT (1)  2 x 2  7 x  m  x  2   2
 x  3x  4  m (2)

Phương trình  1 có nghiệm khi phương trình  2  có nghiệm x  2 .

Bài tốn trở thành: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình  2  có
nghiệm x  2 .
2
Từ BBT của hàm số y  x  3x  4 trên  2;  , ta có để phương trình có nghiệm
thì m  6  m  6
Các sai lầm của học sinh khi chọn đáp án sai

4


- Học sinh chọn đáp án A vì khơng chú ý đến điều kiện tương đương, biến đổi hệ
quả mà vẫn cho là tương đương.
PT  2 x 2  7 x  m  x 2  4 x  4  x 2  3 x  4   m  2 
Lập luận: PT  1 có nghiệm khi PT  2  có nghiệm.
- Học sinh chọn đáp án B vì khơng chú ý đến dấu của tham số m .
- Học sinh chọn đáp án D vì khơng cẩn thận.
Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình:
x 2  4 x  2 x 2  4 x  5  m  1  0  1 có nghiệm x   0;5
B. m  -5
C. -5  m  76
A. -5  m  6  2 10

D. -5  m  11

Hướng dẫn:
2
Đặt t  x  4 x  5 điều kiện 1  t  10
(GV lưu ý cho học sinh cách tìm điều kiện của biến mới t : Lập BBT của hàm số
y  x 2  4 x  5 trên  0;5 )

Bài toán trở về dạng quen thuộc: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương
t  1; 10 
2
trình t  2t  4  m có nghiệm
.
2
1; 10 
.
Xét hàm số f (t )  t  2t  4 trên 
2
1; 10 
 , ta có kết quả:
Dựa vào BBT của hàm số f (t )  t  2t  4 trên 
-5  m  6  2 10
Lời bình: Để bài tốn trở về với dạng quen thuộc thì học sinh chỉ cần đặt ẩn phụ
t  x2  4 x  5
Vấn đề đặt ra ở đây là nhiều học sinh vẫn còn lựa chọn sai đáp án, GV cần phân
tích chỉ ra những lỗi sai cho học sinh , từ đó khắc sâu kiến thức cho học sinh.
- Học sinh khơng tìm điều kiện cho ẩn t mà sử dụng điều kiện của ẩn x , sẽ
chọn đáp án D
- Học sinh lấy điều kiện t  0 , chọn đáp án B
2
- Học sinh biết cách xét hàm số y  x  4 x  5 trên  0;5 để lấy điều kiện

của t nhưng quên lấy căn mà điều kiện 1  t  10 , chọn đáp án C.
Ví dụ 4: Có bao nhiêu giá trị ngun khơng dương của tham số m để phương
1  
1

2  x 2  2   3  x    2m  1  0
x  
x
trình 
có nghiệm.
A. 1
D. 2
B. 0
C. 3
Hướng dẫn:
5


1
x . Điều kiện t  2 hoặc t  2.
Đặt
2
Bài tốn trở thành: Tìm m để phương trình 2t  3t  3  2m có nghiệm
t   ; 2   2;   .
t  x

2
Dựa vào BBT của hàm số f  t   2t  3t  3 trên  ; 2   2;   , ta có kết quả:
1
m

2
 x 2  4 x  2   x 2  4 x  5  m  1 .
Ví dụ 5: Cho phương trình:
Tìm m để phương trình  1 có 4 nghiệm phân biệt.

9
9
9
  m  2
  m  2
m
4
A.
B. 4
C. 4
D.
Lời bình: Ở bài tốn này nếu khơng khéo léo thì học sinh sẽ nhân tung ra thành
phương trình bậc 4 đầy đủ, khi đó bài toán trở nên phức tạp. Giáo viên cần định
hướng giúp học sinh phát hiện vấn đề và đưa bài toán trở về dạng quen thuộc.
2
2
Đặt t  x  4 x  2 . Phương trình trở thành t  3t  m  2  .
m

9
4

?1. Điều kiện của t ?
2
Lập BBT của hàm số t  x  4 x  2 trên R , từ đó suy ra điều kiện t  2

?2. Xác định điều kiện để phương trình  2  có nghiệm t  2 .

GV hướng dẫn, gợi ý: Phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì cần tìm ĐK của t
để mỗi t cho 2 giá trị phân biệt x
Lời giải:
2
2
Đặt t  x  4 x  2 (t  2) . Phương trình trở thành t  3t  m  2  .
Nhận thấy: +) Với t  2 thì cho ta một giá trị của x  2 .
+) Với t  2 thì mỗi giá trị của t cho ta 2 giá trị của x.
Để phương trình  1 có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình  2  có 2 nghiệm
phân biệt t  2
9
  m  2
2
Dựa vào BBT của hàm số f (t )  t  3t , ta có kết quả: 4
Ví dụ 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên m   10;10 để phương trình :
3 x  1  m x  1  2 4 x 2  1 có nghiệm.
A. 1
B. 11
C. 10
Hướng dẫn:

D. 2

6


ĐKXĐ: x  1.
Chia 2 vế của phương trình cho

phụ là 0  t  1 .

x  1 và đặt

t

4

x 1
x  1 , với điều kiện của ẩn

2
Tìm m để PT m  3t  2t có nghiệm t   0;1 .Lập BBT của

Bài toán trở thành:
hàm số f  t   3t  2t trên  0;1 sẽ được điều kiện của m là:
2

1  m 

1
3

Nhận xét:
Qua các ví dụ trên học sinh chỉ cần khéo léo, linh hoạt một chút thì bài tốn
trở nên quen thuộc và các em khơng cịn bị lúng túng khi giải quyết vấn đề.
Đối với những bài toán mà ta có thể tách tham số độc lập với biến số thì ta
nên sử dụng tính chất liên quan đến giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
(phương pháp hàm số)
Tổng quát:

min f ( x)  g (m)  max f ( x)
D
Phương trình f ( x)  g (m) có nghiệm x  D khi D
.
Bài tập rèn luyện:
2
Bài 1: Cho phương trình x  4 x  2m  3  0.
Có bao nhiêu giá trị ngun của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thuộc
 3;1 .
A. 4

B. 9

D. 0

C. 1

2
2
Bài 2: Cho phương trình x  2 x  4 x  2 x  3  m  5  0 .

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm x   1;5  .
C. m  12
A. 12  m  30  4 38 B. m  12
D. 4 38  30  m  12
Bài 3:

x
Cho phương trình:

2

 4 x  2   x 2  4 x  5   m  1

Tìm m để phương trình  1 có 2 nghiệm phân biệt.
9
C. m  2
 m  2
m

4
A.
9
m  
4
B. 

x
Bài 4: Cho phương trình:

2

.

 2 x  5   x 2  2 x  5   m  1  1

Tìm m để phương trình  1 có 4 nghiệm phân biệt.

D. m  2

.

7


A. m  24

B. m  23

C. 24  m  23

D. 24  m  23

2 x 2  2 x  5  3  x 2  2 x   3m  1  0
Bài 5: Tìm m để phương trình
có
nghiệm.
49
49
8
B. m  8
m
m
m
3
9
3
A.
C.
D.

Bài 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên không âm của tham số m để phương trình
2

 x2 
2 x2
m0

 
 x 1 x 1
có đúng bốn nghiệm?
D. Vơ số
B. 1
C. 2
A. 0
Bài 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên m   2019;2019 để phương trình
2 x 2  8 x  2  x 2  4 x  5  m  0 có đúng 4 nghiệm phân biệt.
B. 1
A. 0
C.  2010
D. 2009
Bài 8: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình sau có nghiệm:
x 2  3 x  2m  x  m
( Đề thi thử THPTQG lần 2 của trường chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai)
A. 10
B. 9
C. vô số
D. 8
2.3.2.2. Dạng 2: Bất phương trình chứa tham số có nghiệm x  D
 Tư tưởng:
- Cô lập tham số để biến đổi bất phương trình về dạng

f  t   g  m  , f  t   g  m  với t  t  x   D   , f  t  là hàm số bậc 2. Đưa bài
tốn về tìm GTLN, GTNN của hàm số bậc hai.
- Ở dạng này, học sinh tiếp cận và khắc sâu nội dung kiến thức:
max f ( x)  m
+) Bất phương trình f ( x)  m có nghiệm x  D khi D
min f ( x)  m
+) Bất phương trình f ( x)  m có nghiệm x  D khi D
 Các ví dụ minh họa:
2
Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình x  2 x  2m  1  0 có
2
nghiệm thỏa mãn bất phương trình x  5 x  0
A. m  8
B. 0  m  8 .
C. m  16 .
D. 0  m  16 .
2
2
x

2
x

2
m

1

0


x
 2 x  1  2m  1
Hướng dẫn:

Bất phương trình  1

max f ( x)  2m
x

0;5


có nghiệm
thì  0;5
với

f ( x)  x 2  2 x  1
2
Dựa vào BBT của hàm số f ( x)  x  2 x  1 trên  0;5 , ta có: 2m  16  m  8 .

8


Lỗi sai của học sinh khi chọn các đáp án:
- Học sinh chọn đáp án B vì nhầm với điều kiện có nghiệm của phươngtrình
- Học sinh chọn đáp án C vì khơng chú ý đến VP là 2m .
- Học sinh chọn đáp án D vì nhầm với điều kiện có nghiệm của phươngtrình và
khơng chú ý đến VP là 2m .
Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình
x 2  4 x 2  1  2m  3  0 có nghiệm x   0;3

A. m  8.

B. m  4

1
4  m  .
2
D.

C. 8  m  1.

Hướng dẫn:





t  1; 10
2
Đặt ẩn phụ t  x  1 và xác định điều kiện của ẩn mới
.
2
Bài tốn trở thành: Tìm m để bất phương trình t  4t  2m  4  0  2  có
nghiệm



t  1; 10

Bpt (2) có nghiệm

 . Bpt  2   t  4t  4  2m .
t   1; 10   min f ( x)  2m
 
2

1; 10

.





2
1; 10
Dựa vào BBT của hàm số f (t )  t  4t  4 trên
, ta có:
2m  8  m  4 .

Ví dụ 3: Cho bất phương trình

x  1  m x  1  2 4 x2  1

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m   2019;2019 để bất phương trình có
nghiệm.
A. 2020
B. 2018
C. 2019
D. 2021

Hướng dẫn:
ĐK x  1 .
Đặt

t

4

BPT 

x 1
x 1

x 1
x 1
 m  24
(1)
x 1
x 1

(0  t  1) . Bất phương trình trở thành t 2  2t  m (2)

Bài tốn trở thành: Tìm tất cả các giá trị của m để bpt (2) có nghiệm t   0;1 .
2
BBT của hàm số f (t )  t  2t trên  0;1

9


Dựa vào BBT, để bpt (2) có nghiệm t   0;1 thì

max f (t )  m   m  0  m  0
 0;1
. Vậy có 2020 giá trị của m   2019;2019

x
Ví dụ 4: Cho bất phương trình:

2

 1  x 2  4 x  3  m  1

.

Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình có nghiệm.
A. m  16 .
B. m  16
C. Khơng có giá trị của m.
D. m  R
Ở ví dụ này nhiều học sinh không nghĩ đến việc đặt ẩn phụ đưa về dạng quen
thuộc vì cho rằng hai biểu thức ở hai nhân tử khơng có gì liên quan và ràng buộc.
Giáo viên hướng dẫn gợi mở cho học sinh thấy được điểm mấu chốt của bài tốn,
từ đó để các em thấy được sự xuất hiện của bài toán quen thuộc trong bài tốn
“khó” này.
Hướng dẫn:
Phân tích:
 x 2  1  x 2  4 x  3   x  1  x  1  x  3  x  5    x 2  4 x  5   x 2  4 x  3
2
Đặt t  x  4 x  5 . Với x  R thì t   9;  
2
Bài tốn trở thành: Tìm m để bpt f (t )  t  8t  m có nghiệm t   9;  

2
Dựa vào BBT của hàm số f (t )  t  8t trên  9;   , ta có để bất phương trình

có nghiệm thì

min f (t )  m  m  16

 9; 

Ví dụ 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m   2019;2019  để hệ bất phương

x  6  x2  5x  9

 2
2
 x  3x  2   x  7 x  12   2m  1
trình:
có nghiệm.
A. 2010
B. 2018
C. 2019
D. 2020
Hướng dẫn:
(1)  1  x  3

(2)  ( x  1)( x  2)( x  3)( x  4)  2m  1 ( x 2  5 x  4)( x 2  5 x  6)  2m  1) (*)
 9 
t

  4 ;0 

2
t

x

5
x

4.
Đặt
Bất phương trình (*) trở thành t.(t  2)  2m  1

10


Bài tốn trở thành : Có bao nhiêu giá trị nguyên của m   2019;2019  để bất
 9 
t    ;0 
 4 
phương trình f (t )  t  2t  2m  1 có nghiệm
2

min f (t )  2m  1  f ( 1)  2m  1  1  2m  1  m  1.

 9 
  4 ;0

Vì m   2019;2019  nên có 2019 giá trị nguyên của m .
Bài tập rèn luyện:
2

Bài 1: Cho bất phương trình: x  2 x  m  5  0 . Có bao nhiêu giá trị ngun
dương của m để bất phương trình có nghiệm x   0;5

A. 11

B. 16

x
Bài 2: Cho bất phương trình:

C. 9

2

 4 x  2   x 2  4 x  5   m  1

D. 10
.

Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình có nghiệm.
9
m
4
A.
B. m  R
C. m  2.
D. Khơng có giá trị của m.
Bài 3: Có bao nhiêu giá trị ngun khơng dương của m để bất phương trình
x 2  4 x  2 x 2  4 x  4  m  2  0 có nghiệm x   2;7  .
A. 8

B. m  10

C. 9

D. 11

2

 x2 
4x2
 m  1  0 (1)

 
x 1 x 1

Bài 4: Cho bất phương trình:
.
Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình có nghiệm.
A. m
B. m  1
C. m  3
D. Khơng có giá trị của m .

x
Bài 5: Cho bất phương trình:

2

 4 x  2   x 2  4 x  5   m  1

Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình có nghiệm.
9
m
4.
B. m  2
C. Khơng có giá trị của m .
A.

.

D. m  R

2
2
Bài 6: Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình x  4 x  1  2m  3  0
có nghiệm x   0;3 .

A. m  1 .

B. m  1.

C.

m

1
2

1

m .
2
D.
11


2.3.2.3. Dạng 3: Bất phương trình chứa tham số nhận x  D là nghiệm.
 Tư tưởng:
- Cô lập tham số để biến đổi bất phương trình về dạng
f  t   g  m  , f  t   g  m  với t  t  x   D   , f  t  là hàm số bậc 2. Đưa bài
toán về tìm GTLN, GTNN của hàm số bậc hai.
- Ở dạng này, học sinh tiếp cận và khắc sâu nội dung kiến thức:
min f ( x)  m
+) Bất phương trình f ( x)  m nhận x  D là nghiệm khi D
max f ( x)  m
+) Bất phương trình f ( x)  m nhận x  D là nghiệm khi D
 Các ví dụ minh họa:
2
Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình x  2 x  m  5  0 nhận
x   0;5 là nghiệm.
A. m  4.
B. 4  m  20.
C. m  20.
D. m  4.
Lỗi sai của học sinh khi chọn đáp án sai:
- Học sinh chọn đáp án B vì nhầm với điều kiện có nghiệm của phươngtrình
- Học sinh chọn đáp án C vì nhầm với điều kiện để bất phương trình có nghiệm
- Học sinh chọn đáp án D vì nhớ nhầm điều kiện
Hướng dẫn:
Bpt  x 2  2 x  5  m

min f ( x)  m
2

x

0;5
f
(
x
)

x
 2x  5


0;5

Bpt nhận
là nghiệm khi và chỉ khi
với
2
Dựa vào BBT của hàm số f ( x)  x  2 x  5 trên  0;5 , ta có kết quả m  4
Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m   2019;2019 để bất phương trình
x 2  2 x  4 x 2  2 x  1  2m  0 nhận x   0;5 là nghiệm.
A. 2015 .
B. 2024
C. 2021
D. 2014
Hướng dẫn:

2
Đặt t  x  2 x  1 . Với x   0;5 thì t   1;6 .
2
Bài tốn trở thành: Tìm m để bpt t  4t  1  2m nhận t   1;6 là nghiệm.
2
Dựa vào BBT của hàm số y  t  4t  1 trên  1;6
2
Để bpt t  4t  1  2m nhận t   1;6 là nghiệm thì
Có 2014 giá trị thỏa mãn.

Ví dụ 3: Cho bất phương trình

max y  2m  m 
 1;6

11
2 .

1  x  8  x  4  1  x  8  x  m 1  0

12


Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình nhận x   8;1 là nghiệm.
151
m

m

3

2

17
A. m  4
B.
D. m  3 2  17
8
C.
Hướng dẫn:
Đặt t  1  x  x  8

(3  t  3 2) .
2
Bất phương trình trở thành: t  2(t  9)  1  m
Bài toán trở thành: Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình
t  2(t 2  9)  1  m nhận t  3;3 2  là nghiệm
2
3;3 2 
 , ta có để bất phương
Dựa vào BBT của hàm số f (t )  2t  t  19 trên 
2
t  3;3 2 
trình t  2(t  9)  1  m nhận
là nghiệm thì :
min f (t )  m  m  3 2  17

3;3 2 



Ví dụ 4: Có bao nhiêu giá trị ngun khơng âm của m để bất phương trình:

4x2
4x

2m0
2
4
1  2x  x 1  x2
nhận x   1;1 là nghiệm.
A. 2
B. 1
C. 5
D. 6
Hướng dẫn:
2x
t 2
x  1 t   1;1 . Bất phương trình trở thành: t 2  2t  2  m
Đặt
Bài toán trở thành: Có bao nhiêu giá trị ngun khơng âm của m để bất phương
2
trình t  2t  2  m nhận t   1;1 là nghiệm.
2
Để bất phương trình f (t )  t  2t  2  m nhận t   1;1 là nghiệm thì
min f (t )  m

 1;1

2
Dựa vào BBT của hàm số f (t )  t  2t  2 trên  1;1 , ta có: m  1 .

Ví dụ 5: Có bao nhiêu giá trị ngun m   2019;2019 để bất phương trình

2 x 2  5 x  4   x 2  5 x   8  x 2  5 x   12  m
2

A. 2015
Hướng dẫn:

x
Ta có:

2

B. 2016

nhận x   1;4 là nghiệm.
C. 2017
D. 4039

 5x   8 x2  5x    x2  5x  4  4
2

2

13


9

0  t  

4  . Bất phương trình trở thành: t 2  2t  m  4


t  x  5x  4
2

Đặt

Bài tốn trở thành: Có bao nhiêu giá trị nguyên m   2019;2019 để bất phương
 9
t   0; 
2
 4  là nghiệm.
trình t  2t  m  4 nhận
 9

t

 0; 4 
2

t

2
t

m

4
Để bất phương trình

nhận
là nghiệm thì :
max f (t )  m  4
 9
0; 4 

.

 9
0; 4 
f
t


t

2
t


Dựa vào BBT của hàm số
trên
, ta có m  4  1  m  5
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình
2

1  
1


2  x 2  2   3  x    2m  1  0
x  
x

nhận x  0 là nghiệm.
A.

m

1
2

B.

m

1
2

C. m  1

m

11
2

D.
2
Bài 2: Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình x  2 x  2m  1  0 nhận
x thỏa mãn bất phương trình x 2  5 x  0 là nghiệm.

A. m  0
B. m  8
C. 0  m  8
D. m  8
Bài 3: Tìm m để bất phương trình

3

 2  x  4  x  

A. m  6  3



2  x  4  x  2m  3  0

nhận x   4;2 là nghiệm.

B. m  6  3

3 6
2

Bài 4: Tìm m để bất phương trình
x  R là nghiệm.
A.

m

8

3

B.

m

8
3

m

m

3 6
2

C.
D.
2 x 2  2 x  5  3  x 2  2 x   3m  1  0

C.

m

8
3

D.

m

nhận

8
3

2

 x2 
6x2
 2m  3  0 (1)

 
x 1 x 1

Bài 5: Cho bất phương trình
14


Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình nhận x  1 là nghiệm.
5
5
m
m
C. m
D. m  3
2
2
A.
B.

2
Bài 6: Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình: x  3  x  6 x  m nhận
x  R là nghiệm.
37
37
37
m
m
m
C. m  9
4
4
4
A.
B.
D.
Lời bình:
Ba dạng tốn trên, ở ví dụ 1 là bài tốn cơ bản, thơng qua ví dụ 1 để học
sinh tạo nên những thao tác cần thiết cho giải các bài tốn khác. Khi học sinh đã
hình thành các thao tác giải tốn cơ bản thì GV cần nâng dần mức độ u cầu của
dạng tốn. Địi hỏi học sinh phải suy nghĩ, tìm tịi vận dụng kiến thức, kỹ năng
thao tác giải bài tập cơ bản để giải các bài tập ở mức độ cao hơn, đó là các bài
phân hoá với sự đa dạng phức tạp.
Quá trình làm bài tập để lựa chọn đáp án của bài tốn cịn nhiều học sinh
mắc sai lầm trong lời giải, do đó GV cần phân tích chỉ ra những lỗi sai cơ bản
cho học sinh, từ đó khắc sâu kiến thức cho học sinh.
2.3.2.4. Dạng 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số
 Tư tưởng:
- Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách “dồn biến” đưa về tìm
GTLN, GTNN của hàm số bậc hai trên một đoạn hoặc một khoảng

 Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho các số thực a, b thoả mãn ab  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
a 2 b2 a b
P  2  2   1
b
a b a .
thức:
5
3
min P  
min P 
B. min P  1
C. min P  3
4
4
A.
D.
Hướng dẫn:
a b a b
a b
a b
t     2
. 2
t 
b
a
b
a
b
a

b a . Ta có
Đặt
,

a 2 b2
a 2 b2 2


2


t 2
b2 a2
b2 a 2
2
2
Ta có P  t  2  t  1  t  t  1 .
t2 

2
Bài tốn trở thành: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f (t )  t  t  1 trên
 ; 2   2;  
2
Từ bảng biến thiên của hàm số f (t )  t  t  1 trên  ; 2   2;   :

15


a b
 ab

 ;2  2; 

b
a
t

2
ta có
khi
hay
.
Ví dụ 2: Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện a  b  c  3 . Gọi
M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

min P 

2

f (t )  1

min

P   a 2  b 2  c 2   4(ab  ac  bc )  3
2

A. 16
Hướng dẫn:

B. 32

. Tính giá trị M  m
C. 68

D. 84

1
0  ab  ac  bc  (a  b  c) 2  3
3
Ta có
Đặt t  ab  ac  bc thì t   0;3 và

a 2  b 2  c 2  (a  b  c)2  2(ab  ac  bc)  9  2t
2
2
Khi đó P  f (t )  (9  2t )  4t  3  4t  40t  84, t   0;3
2
Bài tốn trở thành: Tìm GTLN, GTNN của hàm số f (t )  4t  40t  84 trên
 0;3
2
f
(
t
)

4
t
 40t  84 trên  0;3 , ta có:
Dựa vào BBT của hàm số

min P  min f  t   0

, khi t  3  a  b  c  1
a  3
a  0
a  0



t  0  b  0
b  3
b  0
max P  max f  t   84
c  0


 0;3

, khi
hoặc c  0 hoặc c  3
Ta có: M  m  84
Nhận xét: Khi thực hành “ dồn biến” ta phải chú ý đến điều kiện ràng buộc
( điều kiện của bài toán) và khéo léo đánh giá điều kiện của biến mới.
x2  y 2
xy 
2
2
2
Một số đánh giá cơ bản: Với x, y  R ta có: x  y  2 xy ;
 0;3

2

 x y
xy  

 2 
Với x, y khơng âm, ta có:
2
2
Ví dụ 3: Cho các số x, y thoả mãn: x  y  1  xy . Gọi GTLN, GTNN của biểu
4
4
2 2
thức: P  x  y  x y lần lượt là M , m . Tính giá trị 2 M  9m .
A. 4
B. 12
C. 3
D. 8
Hướng dẫn:
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
P

(
x


y
)

3
x
y

1

xy

3
x
y


2
x
y  2 xy  1


Ta có
2
Đặt t  xy , khi đó P  2t  2t  1

16


 x 2  y 2  2 xy
 1  xy  2 xy

1
1
   xy  1
 2


 t 1
2
1  xy  2 xy
3
Vì  x  y  2 xy nên 
. Do đó 3
.
2
Bài tốn trở thành: Tìm GTLN là M , GTNN là m của f (t )  2t  2t  1 trên
 1 
  3 ;1
. Tính giá trị 2 M  9m
 1 
  3 ;1
f
(
t
)


2
t

2

t

1
Dựa vào BBT của hàm số
trên
, ta có:
1
3
min f (t )   P  max f (t ) 
 1 
 1 
9
2
  3 ;12 
  3;1
. Ta có: 2M  9m  4
2
2
Ví dụ 4: Cho x, y là các số thực thoả mãn: 2( x  y )  xy  1 .
2

4
4
2 2
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức : P  7( x  y )  4 x y .
( Đề thi HSG lớp 10 năm học 2018- 2019 .Tỉnh Hà Nam)
189
70
70




 max P  2

max P  66
max P  33
max P  33

69



min P 

50
 min P  7
 min P  18
 min P  69
D. 
50
25
4
A. 
B. 
C. 
Hướng dẫn:
2
7( x 4  y 4 )  4 x 2 y 2  7  x 2  y 2   2 x 2 y 2   4 x 2 y 2



Ta có:
 xy  1  2

1
1
2
2 2
2 2
2
 7 
  2 x y   4 x y   33  xy   14 xy  7    33t  14t  7  ,
4
4
 2 

vớ
t

xy
i
.

Ta có

xy  1  2( x 2  y 2 )  4 xy  xy 

1
3

2( x 2  y 2 )  xy  1  2  x  y   5 xy  1  xy  

2

Mặt khác

Bài toán trở thành: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
 1 1
  5 ; 3 
trên
Dựa vào BBT của hàm số

f  t 

1
33t 2  14t  7 

4
trên

1
5

f  t 

1
33t 2  14t  7 

4

 1 1
  5 ; 3 

, ta có:

17


70
7
18
1
khi t 
min f  t  
khi t  
 1 1
33
33  1;1 
25
5
  5 ; 3 
,  5 3
.
Ví dụ 5: Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x  y  1 . Gọi giá
S   4 x 2  3 y   4 y 2  3 x   25 xy
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
lần
lượt là M , m . Tính giá trị 4M  16m .
A. 251
B. 239
C. 295
D. 241
Hướng dẫn:

S  16 x 2 y 2  12  x 3  y 3   9 xy  25 xy
x

y

1
Do
nên
3
 16 x 2 y 2  12  x  y   3 xy  x  y    34 xy  26 x 2 y 2  2 xy  12


.
2
Đặt t  xy , ta được: S  16t  2t  12
2
 1
x  y

1
0  xy 
  t   0;  .
 4
4
4
Vì
2
Bài tốn trở thành: Tìm GTLN, GTNN của hàm số f  t   16t  2t  12 trên
max f  t  

 1
0; 4 
.
 1
0; 4 
f
t

16
t

2
t

12


Dựa vào BBT của hàm số
trên đoạn
, ta có:
25
1
1 1
max S 
khi t=   x; y    ;   M  25
2
4
2 2
2


2 3 2 3
;
 x; y   

4
4
191
1



min S 
khi t=  
16
16
  x; y    2  3 ; 2  3 

  m  191

4
4



16
Vậy: 4 M  16m  241
Nhận xét:
Trong thực tế có một số bài tốn nếu ta biết cách thay đổi hình thức của bài
tốn thì sẽ dễ hơn hoặc có lời giải dễ hơn, từ đó tìm được phương án lựa chọn
nhanh hơn.

Việc rèn luyện giải tốn có tính chất quan trọng, nhưng việc rèn luyện khả
năng tìm lời giải của bài tốn là khâu có tính chất quyết định trong tồn bộ cơng
việc rèn luyện giải toán. Do vậy, khi dạy học sinh giải tốn, giáo viên ngồi việc
cung cấp lời giải của bài toán, cần dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ, tư duy tìm
ra con đường hợp lý để giải tốn.Trong q trình giải một bài tốn cụ thể nào đó,
2

18


học sinh cần phải suy nghĩ để vận dụng những kiến thức nào, cần xem xét đến mối
liên hệ nào để tìm ra lời giải của bài tốn.
Bài tập rèn luyện:
2
2
Bài 1: Cho x, y là các số thực thỏa mãn x  y  x  y . Tìm giá trị lớn nhất, giá
3
3
2
2
trị nhỏ nhất của biểu thức P  x  y  x y  xy  x  y .
Đáp số: max P  6 đạt được khi t  2 hay x  y  2 và xy  1  x  y  1.
min P  0 khi t  0 hay x  y  0 .
2
2
Bài 2: Cho các số x, y thoả mãn: x  y  1  xy .

1
3
 x4  y 4  x2 y 2 

2.
Chứng minh rằng 9

2  x 2  y 2   xy  1
x
,
y
Bài 3: Cho
là các số thực thỏa mãn:
. Gọi M là GTLN và
4
4
2 2
m là GTNN của biểu thức: P  7  x  y   4 x y . Tính 33M  25m .
Đáp số: 88
2
2
Bài 4: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn 2(a  b )  ab  ( a  b)(ab  2) .
 a2 b2   a b 
P   2  2   3    2
a  b a
b
Tìm GTNN của biểu thức
a b
 3
P


4
b

a
min
Đáp số:
khi
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
2.4.1. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục
Để đánh giá hiệu quả của đề tài, tôi tiến hành kiểm nghiệm theo các bước sau:
Bước 1: Đánh giá và so sánh năng lực học tập của lớp đối chứng và lớp thực
nghiệm trước khi tác động.
Bước 2: Thực hiện việc tác động đối với lớp đối chứng và lớp thực nghiệm.
Bước 3: Đánh giá và so sánh kết quả giữa lớp đối chứng và lớp thực nghiệm
sau khi tác động.
Cụ thể:
a) Trước tác động: Tôi lấy kết quả điểm kiểm tra học kì I mơn Tốn (90 phút) do
tổ chun môn ra đề, được tổ chức kiểm tra tập trung cho tồn khối, tổ chun
mơn chấm bài theo đáp án đã xây dựng:
Bảng 1: Bảng thống kê kết quả bài kiểm tra trước khi tác động
Điểm
Lớp
Số bài
0–2
3
4
5
6
7
8
9
10

Lớp đối
sl
0
2
3
7
9
16
7
1
0
chứng 45
35. 15.
%
0
4.4 6.6 15.6 20
2.2
0
10B35
6
6

19


Lớp thực
nghiệm –
10D35

44

sl

0

2

2

8

%

0

4.5

4.5

18.2

8
18.
2

17
38.
7

6

13.
6

1

0

2.3

0

Bảng 2: Bảng so sánh kết quả bài kiểm tra trước khi tác động
Nội dung so sánh
Lớp đối chứng
Lớp thực nghiệm
10B35
10D35
Điểm trung bình
6.38
6.32
Chênh lệch điểm trung bình
0.06
Như thơng tin trong các Bảng 1 và Bảng 2 đã chứng minh rằng, sự chênh lệch
điểm trung bình của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng trước tác động là không
đáng kể, hai lớp được coi là tương đương .
b) Sau tác động: Tôi ra đề kiểm tra theo chuyên đề ôn tập (Phụ lục 2): Các bài
tập trong đề kiểm tra được soạn từ sách tham khảo, đề thi khảo sát kiến thức thi
THPT Quốc Gia lớp 10 của một số trường THPT. Kết quả bài khảo sát kiến thức
về chuyên đề “ Phương trình – Bất phương trình chứa tham số” được thống kế như
sau:

Bảng 3: Bảng thống kê kết quả bài kiểm tra sau khi tác động
Lớp
Lớp đối
chứng 10B35

Số bài
sl
45 %

0-2
0

3
6

4
7

0

13.
3
0
0

15.
6
2
4.5

Điểm
5
6
14
10
31.
2
4
9.1

7
6

8
2

22. 13. 4.4
2
3
Lớp thực
sl
0
12
11
9
nghiệm - 44 %
0
27. 24. 20.
10D35
3

9
5
Bảng 4: Bảng so sánh kết quả bài kiểm tra sau khi tác động

9
0

10
0

0

0

5
11.
4

1
2.3

Nội dung so sánh
Lớp đối chứng
Lớp thực nghiệm
Điểm trung bình
5.2
6.9
Độ lệch chuẩn
1.97
2.68

Chênh lệch giá trị trung
0.86
bình chuẩn (SMD)
Từ Bảng 3 và Bảng 4 cho thấy, sau tác động sự chêch lệch giữa điểm trung
bình của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng rất có ý nghĩa, tức là chênh lệch kết
quả điểm trung bình của lớp thực nghiệm cao hơn điểm trung bình của lớp đối
chứng là không phải ngẫu nhiên mà do kết quả của tác động. Kết quả của bài kiểm
tra sau tác động của lớp thực nghiệm 10D35 là điểm trung bình bằng 6.9 và kết
quả bài kiểm tra của lớp đối chứng 10B35 là điểm trung bình bằng 5.2. Độ chênh
lệch điểm số giữa hai lớp là 1.7. Điều đó cho thấy điểm trung bình của lớp đối
chứng và lớp thực nghiệm đã có sự khác biệt rõ rệt, lớp được tác động có điểm
trung bình cao hơn lớp đối chứng.
20


2.4.2. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với với bản thân, đồng
nghiệp và nhà trường
Qua thực tế giảng dạy tơi thấy rằng cách làm này đã góp phần nâng cao chất
lượng giảng dạy mơn Tốn nói chung cũng như phân mơn Đại số 10 của bản thân,
góp phần chung vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy môn Toán của nhà
trường, đặc biệt là đã rèn luyện cho học sinh lớp 10 phương pháp tư duy quy lạ về
quen, tư duy logic, kỹ năng tính tốn .

21


3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Từ kinh nghiệm thực tiễn của bản thân trong quá trình dạy học, sự giúp đỡ
đồng nghiệp, thông qua việc nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đề tài đã hồn

thành và đạt được những kết quả chính sau đây:
+ Đề tài đã đưa ra giải pháp thiết thực trong việc rèn luyện phương pháp tư
duy quy lạ về quen cho học sinh lớp 10 khi gặp các bài toán “mới”
+ Đề tài đã nêu được các ví dụ minh chứng điển hình cho các giải pháp.
+ Đề tài đã đưa ra một số bài tập áp dụng trên cơ sở các dạng bài tập quen
thuộc và hệ thống các bài tập luyện tập được trích từ các đề thi học sinh giỏi lớp
10, các đề thi khảo sát kiến thức thi THPT Quốc Gia của khối 10, của Sở giáo dục
ở một số tỉnh, thành phố trên cả nước để học sinh được rèn luyện kỹ năng giải trắc
nghiệm Toán.
3.2. Kiến nghị
Trên đây là một số sáng kiến và kinh nghiệm của tôi đã thực hiện tại đơn vị
trong các năm học vừa qua. Rất mong đề tài này được xem xét, mở rộng hơn nữa
để áp dụng cho mọi đối tượng học sinh, giúp học sinh yêu thích và say mê học
Tốn hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp trong tổ chuyên môn, trong nhà
trường và các em học sinh đã giúp đỡ tơi hồn thành sáng kiến kinh nghiệm này.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 11 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung của
người khác.
Người viết

Trịnh Thị Thanh Huyền

22