(Sáng kiến kinh nghiệm) rèn kĩ năng giải một số bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 4

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN KĨ NĂNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN CỰC TRỊ
SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC

Người thực hiện: Hà Thị Thảo
Chức vụ:
Giáo viên
SKKN thuộc mơn: Tốn

THANH HÓA NĂM 2018


MỤC LỤC

NỘI DUNG

TRANG

I. Mở đầu……………………………………………...1
1.Lí do chọn đề tài………………………………….1
2. Mục đích nghiên cứu…..………………………...1
3. Đối tượng nghiên cứu …………………………. .1
4. Phương pháp nghiên cứu …. …………………... 1
II. Nội dung……………………………………………2
1.Cơ sở lí luận

……………………………………2

2. Thực trạng của vấn đề……………………………3
3. Giải pháp giải quyết vấn đề.. …………………...3- 12
4. Kết quả nghiên cứu…. ………………………….. 12
III. Kết luận, kiến nghị …………….………………… 12
1 Kết luận………………………………………… .12
2. Kiến nghị………………………………………...13
- Tài liệu tham khảo: …………………..…………. 13


I. MỞ ĐẦU:
1. Lí do chọn đề tài:
Trong chương trình đổi mới nội dung Sách giáo khoa, số phức được
đưa vào chương trình tốn học phổ thơng và được giảng dạy ở cuối lớp 12. Ta
biết sự ra đời của số phức là do nhu cầu mở rộng tập hợp số, số phức là cầu
nối hoàn hảo giữa các phân mơn Đại số, Lượng giác, Hình học và Giải tích .
Số phức là vấn đề hồn tồn mới và khó đối với học sinh, địi hỏi người dạy
phải có tầm nhìn sâu, rộng về nó. Mặt khác thời lượng chương trình cịn ít, và
học sinh chưa có thói quen liên hệ kiến thức về số phức với kiến thức của các
phần khác nên gặp khó khăn trong q trình giải tốn. Do những tính chất đặc
biệt của số phức nên khi giảng dạy nội dung này giáo viên có nhiều hướng
khai thác, phát triển bài toán để tạo nên sự lôi cuốn, hấp dẫn người học. Bằng
việc kết hợp các tính chất của số phức với một số kiến thức đơn giản khác về
lượng giác, giải tích, đại số và hình học giáo viên có thể xây dựng được khá
nhiều dạng tốn với nội dung hấp dẫn và hồn tồn mới mẻ.
Một trong các vấn đề tôi xây dựng là ''RÈN KĨ NĂNG GIẢI MỘT SỐ
BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC "
trên cơ sở khai thác tính chất của số phức với một số nội dung hình học.
2. Mục đích nghiên cứu:

Trên cơ sở nghiên cứu và tìm hiểu những khó khăn của học sinh lớp 12
trong q trình giải tốn số phức đặc biệt là một số bài tốn liên quan đến
hình học, bước đầu tìm ra những biện pháp giúp học sinh tháo gỡ những khó
khăn đó nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học và kết quả thi THPT
quốc gia môn toán lớp 12.
3. Đối tượng nghiên cứu:
Rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải một số bài toán cực trị số phức
bằng hình học.
4. Phương pháp nghiên cứu:
4.1 Phương pháp phân tích và hệ thống hóa các tài liệu
1


Nhằm phân tích các tài liệu có liên quan đến nội dung đề tài trong đó
chú trọng đến sách giáo khoa, các câu hỏi về số phức trong các đề minh họa,
đề THPT quốc gia 2017, đề khảo sát chất lượng lớp 12 của các trường trong
cả nước.
4.2 Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin
Trên cơ sở tìm hiểu học sinh khối 12 để phát hiện những khó khăn của học
sinh khi giải các bài toán về số phức.
4.3 Phương pháp thực nghiệm
Nhằm khẳng định hiệu quả các biện pháp giúp đỡ học sinh khi thực hành
giải toán.
4.4 Phương pháp sử dụng toán học để xử lí số liệu
Áp dụng một số cơng thức thống kê để xử lí các số liệu thực tế thu thập
được.
II. NỘI DUNG:
1. Cơ sở lý luận:
Đổi mới phương pháp dạy học với mục đích phát huy tốt nhất tính tích
cực, sáng tạo của người học. Nhưng khơng phải thay đổi ngay lập tức bằng

những phương pháp hoàn toàn mới lạ mà phải là một quá trình áp dụng
phương pháp dạy học hiện đại trên cơ sở phát huy các yếu tố tích cực của
phương pháp dạy học truyền thống nhằm thay đổi cách thức, phương pháp
học tập của học sinh chuyển từ thụ động sang chủ động.
Do sự thay đổi của BGD về hình thức thi từ tự luận sang trắc nghiệm mới
chỉ được một năm nên tài liệu còn hạn chế, đặc biệt là các câu hỏi trong phần
vận dụng. Để giúp học sinh có cái nhìn sâu, rộng hơn về số phức, trong q
trình giảng dạy tơi ln tìm tịi, sưu tầm, chắt lọc trong các tài liệu, khai thác
và kết hợp các kiến thức khác về toán học để xây dựng các dạng bài tập mới
cho học sinh tư duy, giải quyết. Một trong các vấn đề tôi xây dựng là ''RÈN
KĨ NĂNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC BẰNG
2


PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC" trên cơ sở khai thác một số tính chất của số
phức và liên hệ giữa số phức và hình học .
2. Thực trạng của vấn đề:
Hình thức thi trắc nghiệm mơn Tốn đang cịn là mới mẻ với học sinh
THPT, đặc biệt với mơn Tốn có khối lượng kiến thức khá nhiều, để làm tốt
bài thi đòi hỏi các em phải nắm chắc kiến thức các phần đồng thời phải có tư
duy tổng hợp, tuy nhiên đa phần học sinh sự liên hệ tổng hợp của các em cịn
chưa tốt nên q trình làm bài chưa được điểm số cao. Bên cạnh đó, lượng bài
tập cũng như các dạng bài tập về số phức trong SGK còn nhiều hạn chế, mặt
khác trong nhiều đề thi: đề minh họa của BGD, đề KSCL của các trường
THPT, phần số phức có nhiều câu hỏi ở mức độ vận dụng, vận dụng cao. Với
thời lượng cho phép dạy trên lớp mơn tốn có hạn. Số phức trở thành một
phần học khá trừu tượng đối với học sinh phổ thông trung học. Đối với các
đối tượng là học sinh khá giỏi thì câu hỏi mà học sinh thường đưa ra là số
phức đưa ra để làm gì?...Do trong thực tế cuộc sống hằng ngày không dùng
đến tập số phức. Do vậy hứng thú đối với phần học số phức là hạn chế.

3. Giải pháp giải quyết vấn đề:
1.1 Tổng hợp một số kiến thức lý thuyết:
a) Biểu diễn hình học của số phức:




Nếu điểm A biểu diễn số phức z  OA cũng biểu diễn số phức z



u biểu diễn số phức z  u  z



Nếu điểm A biểu diễn số phức z, điểm B biểu diễn số phức z’  AB biểu







diễn số phức z’- z
b) Tính chất của môđun số phức:


zz '  z z '



z' z'
 ( z  0)
z
z
3




z  zz



z  z '  z  z ' . Dấu « = » xảy ra khi hai véc tơ biểu diễn z và z’ cùng
hướng

c) Một số kết quả về tập điểm biểu diễn số phức:


z  a  bi  z  a ' b ' i thì tập điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng.



z  a  bi  m (m  0) thì tập điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm
I(a ;b) bán kính R = m
z  a  bi  z  a ' b ' i  k . Nếu A(a ;b), B(a’ ;b’) và AB < k thì tập



điểm biểu diễn z là Elip có 2 tiêu điểm A, B và độ dài trục lớn k.
z  a  bi  z  a ' b ' i  k (k > 0) . Nếu A(a ;b), B(a’ ;b’) và AB > k thì tập



điểm biểu diễn z là Hypebol có 2 tiêu điểm A, B và độ dài trục thực k.
1.2

Một số dạng bài tập:

Dạng 1: Tập điểm biểu diễn số phức là đường thẳng và một số bài tập
liên quan:
Bài 1: Trong số các số phức z thỏa mãn z  2  4i  z  2i . Tính tổng phần thực
và phần ảo của số phức z sao cho số phức đó có mơđun nhỏ nhất.
A. 3

B. 4

C. 6

Giải: Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Từ giả thiết

D. 5
z  2  4i  z  2i

suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng (D) có phương trình
x + y – 4 = 0  z min khi điểm biểu diễn z là hình chiếu của O trên (D) suy
ra M(2; 2). Ta có đáp án A.
Bài 2: (Câu 48 - Đề thi thử chuyên đại học Vinh lần 2– 2017).
Cho các số phức z, w thỏa mãn z  2  2i  z  4i , w  iz  1 . Giá trị nhỏ

nhất của w là :
A.

2
2

B.2

C.

3 2
2

D. 2 2
4


Giải : Gọi M là điểm biểu diễn z, vì z  2  2i  z  4i nên tập điểm biểu
diễn z là đường thẳng có phương trình x + y – 2 = 0 (  ). Mặt khác :
1
w  iz  1  w  i z   w  z  i . Gọi I(0 ;1) , khi đó z  i  MI nên
i
w min  d (I, ) 

2
2

Bài 3:( Câu 48 - Đề minh họa BGD lần 3– 2017)
Xét các số phức z thỏa mãn z + 2 -i + z - 4 - 7i = 6 2 . Gọi m, M lần lượt là
giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của. Tính P = m + M.

5 2  2 73
2

A. P  13  73

B. P 

C. P  5 2  73

D. P 

5 2  73
2

Giải : Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Khi đó :
z + 2 -i + z - 4 - 7i = 6 2  MA  MB  6 2 với A(-2 ;1), B(4 ;7).
Mặt khác AB = 6 2 nên M thuộc đoạn AB. Ta có z -1+ i = MI với I(1,-1).
Phương trình đường thẳng AB là: x – y + 3 = 0

5 2
5 2
m  dmin  d  I ; AB  
; IA = 13; IB = 73  
2
Có d(I;AB) =
2
M  d
max  IB  73


Vậy P  m  M 

5 2  2 73
2

Nhận xét : Nếu tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng thì z - z' min
khi điểm biểu diễn z là hình chiếu của điểm biểu diễn z’ trên đường thẳng đó.
Dạng 2: Tập điểm biểu diễn số phức là đường tròn và một số bài tập liên
quan:
Bài 1 : Gọi z là số phức thỏa mãn z  3  2i  3 . Khi đó tập hợp điểm biểu
diễn số phức w sao cho w  z  1  3i là:
5


A. Đường tròn tâm I(–2;5), R= 3

B. Đường tròn tâm I(–3;2), R= 3

C. Đường tròn tâm I(–1;3), R= 3

D. Đường tròn tâm I(3; –2), R= 3

Giải: w  z  1  3i  z  w  1  3i thay vào giả thiết
z  3  2i  3  w 1  3i  3  2i  3  w  2  5i  3 . Vậy tập hợp điểm biểu
diễn số phức w là đường tròn tâm I(–2;5), R= 3.
Nhận xét: Với các bài tập tương tự giáo viên nên hướng cho học sinh thay z
bởi w vào giả thiết ta sẽ có kết quả nhanh chóng.
Bài 2: ( Thi thử chuyên KHTN lần 2 – 2017)
Cho các số phức z thỏa mãn (1  i) z  1  7i  2 . Tìm GTLN của z
A. z max  4

B. z max  3

D. z max  6

C. z max  7

Giải : Gọi M là điểm biểu diễn số phức z.

(1  i) z  1  7i  2  1  i z 

1  7i
 2  z  3  4i  1 . Nên tập hợp
1 i

điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(3;4) , bán kính R = 1. Vậy

z max  OI  R  6
Bài 3 ( Thi KSCL trường THPT Nam Trực – Nam Định 2018)
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

z  1 . Giá trị lớn nhất của

T  z 1  3 z 1

A. 2 5

B. 2 10

C. 3 5

D. 3 10

Giải : Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Vì z  1 nên M thuộc đường trịn
(C) tâm O(0;0), bán kính R = 1. Khi đó T = MA +3 MB với A(-1 ; 0), B(1;0).
Ta có T2 = ( MA + 3MB)2  10(MA2 + MB2). Nhận thấy A, B thuộc đường
tròn (C). Mặt khác AB = 2 nên AB là đường kính của đường tròn suy ra
(MA2 + MB2) = AB2 = 4. Vậy T  2 10
Bài 4( Câu 46 - Đề minh họa BGD – 2018)
6


Xét các số phức z = a + bi ( a, b  R ) thỏa mãn z  4  3i  5 . Tính
P = a + b khi z  1  3i  z  1  i đạt giá trị lớn nhất.
A. P =10

B. P = 4

C. P = 6

D. P = 8

Giải : Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Vì z - 4 -3i = 5 nên M thuộc
đường tròn (C) tâm I ( 4 ; 3), bán kính R =

5 . Khi đó : T = MA + MB với

A(-1 ; 3), B( 1 ; -1). Ta có T2 = ( MA + MB)2  2(MA2 + MB2).
M

MA2  MB 2 AB 2
2
Gọi E( 0;1) là trung điểm AB  ME 

.
2
4

Do đó T 2  4ME 2 + AB2 . Mà ME  R + IE = 3 5

I

.

2

Suy ra T 2  4(3 5) 2 + (2 5)  200 . Vậy T  10 2
Dấu « = » xảy ra khi MA = MB và M là giao điểm của
IE với đường tròn (C). Suy ra M(6 ;4) nên P = a + b =10

A

E

B

Bài 5 : ( Câu 48 Đề KSCL lần 2 trường THPT Hậu Lộc 2 – Thanh Hóa 2018)
Cho hai số phức z 1, z2 thỏa mãn z1  1  i  2 và z2  iz1 . Tìm giá trị nhỏ
nhất m của biểu thức z1  z 2
A. m =

2 1

B. m = 2 2

C. m = 2

D. m = 2 2  2

Giải:
Từ z2 = iz1 suy ra điểm biểu diễn z 2 là ảnh của điểm biểu diễn z1 qua phép
quay tâm O, góc quay 900.
Tập hợp điểm biểu diễn z1 là đường tròn (C1): (x + 1)2 + (y – 1)2 = 4
Tập hợp điểm biểu diễn z2 là đường tròny(C2): (x + 1)2 + (y + 1)2 = 4
Ta có z1  z2 nhỏ nhất bằng A1A2 với A1, A2 lần lượt là giao điểm của đường
thẳng y = - x và y = x với đường trịn (CA
1)1 và (C2). Ta có :
A1 (1  2;1  2), A2 ( 1  2; 1  2)O A1 A2  2x 2 2

A2

7


1
2

Bài 6: Cho z1  

3

1
3
i, z 2   
i và z là số phức thỏa mãn
2
2 2

3z  3i  3 . M, m lần lượt là GTLN, GTNN của T  z  z  z1  z  z2 .

Tính w với w = M + mi.
A.

2 21
3

B. P  13

C.

4 3
3

D. 4

Giải: Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Ta có :
3z  3i  3  z 

3
3
i 

nên tập điểm biểu diễn số phức z là đường
3
3

O

3
3
tròn (C) tâm I (0; ) bán kính R 
3
3
 T  z  z  z1  z  z2  MO  MA  MB

I
J

1 3
1 3
với O là gốc tọa độ A( ; ), B(- ; ) .
2 2
2 2

A

Nhận thấy 3 điểm O, A, B đều thuộc

B
M

đường tròn (C) và tam giác OAB đều .

Không mất tổng quát, giả sử M thuộc cung nhỏ AB. Vẽ hai tam giác đều MAI
và MBJ ta có MO + MA + MB = MO + MI + MJ = 2MO suy ra
4 3
khi M là trung điểm của cung AB và Tmin  2OA  2 khi
Tmax  4 R 
3
2

4 3
2 21
M trùng A hoặc B.  w  2  
 3   3


2

8


Nhận xét : Khi gặp các bài toán mà tập điểm biểu diễn số phức z là đường
tròn tâm I, bán kính R, để tìm các mơđun lớn nhất, nhỏ nhất, trước tiên ta
kiểm tra xem các mơđun đó là khoảng cách từ điểm M đến các điểm nào và vị
trí giữa các điểm đó với đường trịn.
Khi đó nếu A là điểm biểu diễn z’ thì z  z ' max  IA  R, z  z ' min  IA  R
Dạng 3: Tập điểm biểu diễn số phức là đường Elip và một số bài tập liên
quan:
Bài 1:( Thi thử toán học và tuổi trẻ lần 5- 2017)
Xét các số phức z thỏa mãn z  4  z  4  10 .GTLN và GTNN của z lần
lượt là :
A.10 và 4

B. 5 và 4

C. 4 và 3

D. 5 và 3

Giải : Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Vì z  4  z  4  10 nên M thuộc
(E) có 2 tiêu điểm là F1(-4 ;0), F2(4 ;0). Độ dài trục lớn 2a = 10 nên a = 5 và
 z min  b  3


b = 3. z = OM  

 z max  a  5

Bài 2:(Đề KSCL lần 2 trường THPT Nghèn – Hà Tĩnh 2018)
Cho số phức z thỏa mãn z  1  3i  z  2  i  8 . GTNN m của 2 z  1  2i là :
A. m = 4

B. m = 9

C. m = 8

D.m = 39

Giải: Gọi M là điểm biểu diễn số phức z.
Vì z  1  3i  z  2  i  8  MF1  MF2  8 với F1(1 ;-3), F2(-2 ;1). Mặt khác
F1F2 = 5 < 8 tập hợp điểm biểu diễn M là (E) có hai tiêu điểm F1, F2.
1

2

1
2

Khi đó 2 z  1  2i  2 z   i  2 MI với I ( ; 1) . Nhận thấy I là trung điểm
F1F2 nên I là tâm của (E) trên nên 2MImin = 2b = 39
Trên đây tôi đã chia ra một số dạng toán cơ bản thường gặp khi học sinh
giải toán phần này. Tuy nhiên khi vận dụng học sinh cần linh hoạt có thể liên
hệ được với các kiến thức hình học khác. Thơng qua các bài tập ở trên, học
9


sinh đã làm quen được với dạng tốn tìm cực trị trong số phức bằng phương
pháp hình học. Từ đó phát triển tư duy hơn và có khả năng liên hệ giữa hình
học và đại số. Một số bài tập tiếp theo nhằm củng cố kiến thức, và kiểm tra
khả năng tư duy vận dụng của học sinh
Bài tập áp dụng:
Câu 1: ( Đề KSCL lần 2 trường THPT Nguyễn Trãi – Hải Dương 2017)
Cho số phức z thỏa mãn z  2  2i  1 . Số phức z – i có mơđun nhỏ nhất là :
A.

5 1

B.

5 1

C.

5 2

D. 5  2

Câu 2: (KSCL trường THPT Hoằng Hóa 4-Thanh Hóa lần 2 – 2017)
Cho số phức z thỏa mãn z  1  z  i . Tìm số phức w = z + 2i -3 có mơ
đun nhỏ nhất .
1 3
A. w   i
2 2

1 1
B. w   i
2 2

1 1
C. w    i
2 2

1 3
D. w    i
2 2

Câu 3: (Thi thử trường đại học Hồng Đức – Thanh Hóa 2017)
Cho số phức z thỏa mãn z 

1
 2m , trong đó m là số thực dương tùy ý.
m2

Biết rằng với mỗi m, tập hợp các điểm biểu diễn số phức

w  (2i  1)(i  z )  5  3i là một đường trịn có bán kính r. Tìm giá trị nhỏ
nhất của r.
A. 3 2

B. 2 3

C. 3 5

D. 5 3

Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn z  2  z  2  2 . Tìm số phức có mơđun
nhỏ nhất.
A. 1  3i

B. 1  3i

C. 1

D.

3 i

Câu 5:(Câu 44 Đề KSCL lần 3 - THPT Quảng Xương 1- Thanh Hóa 2018)
Cho số phức z thỏa mãn

z 1
1


. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
z  3i
2
10


P  z  i  2 z  4  7i
A. 8

B.10

C. 2 5

D. 4 5

Câu 6: (Câu 47 Đề KSCL lần 3 trường chuyên đại học Vinh 2018)
Cho các số phức z, w thỏa mãn w  i 

3 5
và 5w = ( 2 + i)(z – 4). Giá trị
5

lớn nhất của biểu thức P  z 1  2i  z  5  2i bằng :
A. 4 13

B. 4  2 13

C. 2 53

D. 6 7

Câu 7: Cho z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M, M’.
z (4 + 3i) và liên hợp có điểm biểu diễn là N, N’. Biết M, M’, N, N’ là 4 đỉnh
hình chữ nhật. Tìm GTNN của z  4i  5
A.

1
2

B.

1
2

C.

2
5

D.

4
3

Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn z  3  4i  5 . Gọi M, m là GTLN và
2
2
GTNN của biểu thức P = z + 2 - z -i . Tính w với w = M + mi

A. 1258

B. 15

C.

394
2

D.

193
3

Câu 9: (Câu 41 Đề KSCL lần 3 THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội 2018)


Cho số phức z thỏa mãn z 1  2i  5 . Phép tịnh tiến theo vectơ v(1; 2) biến
tập điểm biểu diễn số phức z thành tập hợp điểm biểu diễn số phức z’. Tìm

P = max z - z'
A. P = 15

C. 20  5

B. P = 12

D. P  10  5

Câu 10: (Câu 50 Đề KSCL Sở giáo dục và đào tạo Ninh Bình 2018)
Xét các số phức z = a + bi (a,b  R) có mơđun bằng 2 và phần ảo dương. Tính

giá trị biểu thức S   5( a  b)  2

2018

khi biểu thức P  2  z  3 2  z đạt giá

trị lớn nhất.
A. S = 0

B. S = 1

C. S = 22018

D. S = 21009
11


Đáp án
Câu

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Đáp án

A

C

C

C

B

C

B

A

D

A

4. Kết quả nghiên cứu:
Kết quả thử nghiệm cuối năm học 2017 - 2018, tôi đã chọn 3 lớp 12 để khảo
sát và kết quả cụ thể như sau:
Lớp thực nghiệm
Lớp
12A4

Sĩ số
40

Giỏi
8

Tỉ lệ
20%

Khá
12

5,3%
7,7%

Khá
10
10

Tỉ lệ
30%

TB
17

26,3 %
25,6%

TB
20
19

Tỉ lệ
Yếu
42,5%
3

Tỉ lệ
7,5%

Lớp đối chứng
Lớp
12A5
12A6

Sĩ số
38
39

Giỏi
2

3

52,6 %
48,7%

Yếu
6
15,8%
7
18%

Rõ ràng khi thực hiện đề tài này, kết quả là học sinh học phần số phức có tiến
bộ rõ rệt.
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ:
1. Kết luận:
Việc viết sáng kinh nghiệm là một trong những vấn đề cấp thiết nhất cho
gian đoạn hiện nay, giai đoạn công nghiệp hóa hiện đại hóa đất nước, một đất
nước đang phát triển như Việt Nam ta nói chung, riêng đối với ngành giáo
dục cần phải đổi mới nhanh chóng, song ở mỗi bộ môn đặc biệt các môn tự
nhiên điều cốt lõi mà chương trình lớp trên kế thừa và áp dụng thì mỗi giáo
viên chúng ta nên chỉ ra và tạo mọi điều kiện để các em nắm bắt được kiến
thức cũng thấy được ứng dụng của kiến thức đó vào thực tiễn một cách sinh
động. Có như vậy, các môn học tự nhiên mới trở thành niềm đam mê ở các
em học sinh. Hy vọng rằng với đề tài này có thể giúp học tự học và thích học
phần số phức .
2. Kiến nghị:

12

Đề tài này cần thiết giới thiệu rộng rãi cho học sinh và đồng nghiệp dạy
12. Tuy nhiên các ví dụ cũng cần được sưu tập thêm, với sự cộng tác của độc
giả chắc chắn đề tài sẽ đem lại nhiều lợi ích . Ngồi ra phương pháp giải các
ví dụ có thể chưa tối ưu cần sự góp ý bổ sung của bạn đọc.
TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1.Báo toán học và tuổi trẻ.
2.Phân dạng và phương pháp giải toán số phức của thầy : Lê Hồnh Phị
3.Các đề minh họa của BGD năm 2017, 2018 , đề thi KSCL của các trường
THPT trên cả nước.

Xác nhận của hiệu trưởng

Thanh Hóa ngày 25 tháng 5 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung của
người khác.
Người viết

Hà Thị Thảo

DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN
KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH
VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Hà Thị Thảo
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Hoằng Hóa 4
TT

Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá
xếp loại
(Ngành GD cấp

Kết quả
Năm học đánh
đánh giá xếp
giá xếp loại
loại

13


huyện/tỉnh; Tỉnh...)

1.

2.

(A, B, hoặc C)

"Tổng hợp một số phương
pháp giải phương trình vơ tỉ "
SGD&ĐT

Loại C

2009 -2010

SGD&ĐT

Loại C

2015-20116

" Ứng dụng cấp số nhân để
giải một số bài toán vật lý,
sinh học, địa lý và thực tiễn "

14