(Sáng kiến kinh nghiệm) ứng dụng phương pháp toạ độ để giải bài toán khoảng cách trong hình học không gian tổng hợp, giúp học sinh kh

PHẦN 1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài.
Phần hình học khơng gian là phần học khó với học sinh, ngồi việc tổng quan được
hình vẽ của bài tập, học sinh còn vận dụng nhiều tư duy, nhiều suy luận lơgic, các
phương pháp luận để hình thành nên cách giải của mỗi bài toán.
Trong phần kiến thức trong các đề thi THPT quốc gia, trong phần hình học khơng
gian tổng hợp thì phần khoảng cách là phần học khó hơn cả. Để tính được khoảng cách
bằng phương pháp tổng hợp thuần túy, học sinh phải dựng và chứng minh khoảng
cách, sau đó dùng các kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác, thể tích để tính độ dài
khoảng cách. Với những bài tập khoảng cách đơn giản (ở mức độ 1, mức độ 2) thì
khơng gây khó khăn nhiều cho học sinh, nhưng ở những bài tập của những mức độ cao
hơn thì đó quả là một vấn đề khó, đặc biệt là trong bài thi trắc nghiệm, khi thời gian là
áp lực lớn cho học sinh.
Trong khi đó, Phương pháp tọa độ trong khơng gian lại có những ưu điểm bổ trợ,
khắc phục được những vấn đề khó khăn mà nếu sử dụng phương pháp hình học tổng
hợp thuần túy học sinh gặp phải. Để tính được khoảng cách, học sinh không phải dựng
khoảng cách mà chỉ cần xác định nhanh tọa độ của những điểm cần thiết và sử dụng
công thức, không cần phải suy luận nhiều. Do vậy, phương pháp tọa độ thích hợp với
mọi đối tượng học sinh, đặc biệt là những học sinh có học lực trung bình. Điểm gây
khó khăn cho học sinh của phương pháp tọa độ trong không gian là việc tính tốn,
nhiều cơng thức tương tự. Vấn đề này sẽ được khắc phục nhanh bằng việc sử dụng
thành thạo máy tính cầm tay.
Chương Phương pháp tọa độ trong khơng gian ở chương trình 12 lại chủ yếu vào
các bài tập về tọa độ điểm, phương trình đường thẳng, phương trình đường trịn …,
khơng có bài học riêng thể hiện sự ứng dụng của phương pháp tọa độ giải các bài tốn
hình học khơng gian. Vì vậy, nếu giáo viên khơng thu xếp dành một khoảng thời gian
nhất định truyền đạt đến các em học sinh thì hầu như học sinh khơng biết, do đó có rất
nhiều bài tập học sinh không thể làm được hoặc không đủ thời gian nếu sử dụng
phương pháp tổng hợp.
Trước yêu cầu ngặt về thời gian của đề trắc nghiệm, yêu cầu cần được tiếp thu của
học sinh, qua thời gian giảng dạy và tìm hiểu tơi đã lựa chọn đề tài này để hồn thiện

hơn kinh nghiệm của mình, là tư liệu để đồng nghiệp có thể tham khảo và trên hết là để
học sinh có tài liệu để mở rộng kiến thức, hồn thành tốt các đề thi THPT quốc gia.
Trong khuôn khổ của đề tài Sáng kiến kinh nghiệm, tôi chọn đề tài: “Ứng dụng
phương pháp tọa độ để giải bài toán tính khoảng cách trong hình học khơng gian tổng
hợp, giúp học sinh lớp 12 hoàn thành tốt các đề thi THPT quốc gia năm 2018”
1


1.2. Mục đích nghiên cứu:
Như đã nói ở trên, mục đích nghiên cứu của đề nhằm hồn thiện hơn kinh nghiệm
của mình, là tư liệu để đồng nghiệp có thể tham khảo và trên hết là để học sinh có tài
liệu để mở rộng kiến thức, hoàn thành tốt các đề thi THPT quốc gia.
Từ đây, có thể hình thành cho học sinh tư duy liên môn, thấy được các mối quan
hệ liên môn giữa các môn học mà lâu nay học sinh khơng để ý tới, từ đó giúp học sinh
có kỹ năng tốt hơn để giải quyết tốt các bài tốn ở mơn khác, ở thực tiễn đời sống sau
này.
1.3. Đối tượng nghiên cứu của đề tài:
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là giúp học sinh hình thành các kỹ năng vận dụng,
chuyển các bài tốn tính khoảng cách theo yêu cầu của phương pháp tổng hợp thành
các bài tốn tính khoảng cách mà sử dụng phương pháp tọa độ.
Cụ thể:
+ Các cơng thức tính khoảng cách bằng tọa độ
+ Các dạng bài tốn có thể áp dụng phương pháp tọa độ để tính khoảng cách.
+ Các bài tập minh họa và các bài tập củng cố.
1.4. Các phương pháp nghiên cứu của đề tài:
+ Phương pháp thống kê, thu thập số liệu:
+ Phương pháp nghiên cứu, xây dựng cơ sở lý thuyết: Vì chưa có một đề tài nghiên
cứu hồn chỉnh, chuẩn kiến thức nên tơi đã tìm hiểu qua nội dung của các bài tốn,
tham khảo ở một số ý tưởng của một số tác giả và bằng sự hiểu biết của mình để hình
thành nên phương pháp luận, xây dựng thành cơ sở lý thuyết để học sinh học tập.

+ Phương pháp điều tra thực tế: Bằng việc quan sát học sinh làm bài tập tại lớp,
bằng việc thống kê số lượng học sinh có sử dụng tọa độ trong các bài tốn tính khoảng
cách và một số bài toán khác trong các đề thi, các bài kiểm tra, để từ đó mình điều
chỉnh các dạy, định hướng cho học sinh có thể sử dụng kết hợp linh hoạt cả 2 phương
pháp: Phương pháp tổng hợp và phương pháp tọa độ.
1.5. Những điểm mới của đề tài:
Các bài tốn có sử dụng phương pháp tọa độ để giải ở sách giáo khoa, các tài liệu
luyện thi đại học, … chủ yếu ở dạng bài tập, ở đó chỉ có lời giải chi tiết mà chưa có sự
giải thích, chưa có sự sắp xếp, tổng hợp. Trong khi đó chưa có một đề tài hồn chỉnh,
chưa có sự phân tích, sắp xếp các nội dung kiến thức để từ đó học sinh tự học, tự
nghiên cứu, tự lĩnh hội được tri thức. Và đề tài này sẽ giải quyết được những vấn đề
trên.
2


PHẦN 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Chương học: Phương pháp tọa độ trong khơng gian ở Hình học lớp 12 chiếm gần
như tồn bộ lượng thời gian (cho phần hình học) ở học kỳ 2, từ đó ta thấy lượng kiến
thức rất nhiều. Trong khuôn khổ giới hạn của đề tài, tơi chỉ trình bày những kiến thức
liên quan đến đối tượng nghiên cứu của đề tài.
2.1.1. Xác định tọa độ điểm trên hệ trục tọa độ.
Khi đã thiết lập được hệ trục tọa độ, việc xác định tọa độ các điểm liên quan trong
hình vẽ rất quan trọng. Học sinh cần phải nhớ các kiến thức sau:
Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M. Để xác định tọa độ điểm M ta thực hiện
các bước sau:

Bước 1. Dựng M’ là hình chiếu của M lên mặt phẳng (Oxy) (MM’ // Oz)
Bước 2. Dựng M1 là hình chiếu của M’ lên trục Ox (M’M1 // Oy)
 OM 1  x là hoành độ của điểm M

Bước 3. Dựng M2 là hình chiếu của M’ lên trục Oy (M’M2 // Ox)
 OM 2  y là tung độ của điểm M
Bước 4. Dựng M3 là hình chiếu của M lên trục Oz (MM3 // M’O)
 OM  z là cao độ của điểm M
Vậy M OM 1 ; OM 2 ; OM 3 
3

2.1.2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Bài toán: Cho đường thẳng  đi qua điểm M và có véc tơ chỉ phương
Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng  là:
d(A/) =

u

.

u.MA

u

3


Cụ thể: Ứng dụng tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC là:
d(A/BC) =

 BC.BA
BC

2.1.3. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Bài toán: Cho điểm A(x0; y0; z0) và mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0.
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) là:
d(A/(P)) =

ax0  by0  cz 0  d
a2  b2

Cụ thể:
Bài tốn: Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD).
Để tích khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) ta có thể tính bằng các cách
sau:
Cách 1:
+ Viết phương trình mặt phẳng (BCD) đi qua 3 điểm B, C, D
+ Dùng công thức, tính d(A/(BCD))
Cách 2:

+ Tính diện tích của tam giác BCD:





1
AB.AC AD
6
1
SBCD = 2 BC.BD

+Tính thể tích tứ diện ABCD: VABCD =





3V

A. BCD
Khi đó: d  A /  BCD    S
BCD

2.1.4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Bài toán: Cho hai đường thẳng chéo nhau 1 và 2, biết:
1 đi qua điểm M1 và có véc tơ chỉ phương
2 đi qua điểm M2 và có véc tơ chỉ phương
Khoảng cách giữa hai đường thẳng 1 và 2 là:
 u1 .u2 .M 1 M 2
d(1,2) =
 u1 .u2 


u1

u2

Cụ thể:
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và CD là:
d(AB,CD) =

 AB.CD . AC
 AB.CD 

Như vậy, để tính các khoảng cách, ta khơng cần sử dụng các kiến thức tổng hợp
như dựng khoảng cách, sử dụng các kiến thức hệ thức lượng trong tam giác để tính
4


khoảng cách mà chỉ cần thiết lập hệ trục tọa độ vào hình vẽ, tìm tọa độ các điểm và áp
dụng một trong các công thức trên.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Như đã nói ở trên, Hình học khơng gian tổng hợp là một mơn học khó, đặc biệt là
phần tính các loại khoảng cách. Chính vì vậy mà trong các đề thi đại học của những
năm trước đây, câu phần hình học khơng gian gồm 2 ý, một ý thường là tính thể tích
khối đa diện, phần này ở mức độ 2 (thơng hiểu), ý cịn lại là tính khoảng cách, phần
này ở mức độ 3 (vận dụng thấp - cao). Những học sinh có học lực trung bình, hoặc
trung bình – khá thường bỏ qua phần này hoặc rất vất vả nhưng không chắc chắn đúng
hay sai. Điều này dẫn đến việc học sinh khơng dành thời gian thích đáng để ôn tập
phần này, đã kém phần này lại càng học kém hơn.
Tuy nhiên, khi được triển khai ứng dụng phương pháp tọa độ để giải các bài tốn
hình học khơng gian, đặc biệt là phần tính khoảng cách, học sinh có hứng thú học tập
hơn hẳn, thậm chí một số học sinh còn dành thời gian rất nhiều để nghiên cứu phần
kiến thức này như là để bù lại sự thiếu sót trong hệ thống kiến thức ơn luyện thi. Có
những học sinh, mỗi khi giải các bài tốn hình học không gian là nghĩ ngay đến
phương pháp tọa độ, thậm chí vẫn dùng phương pháp tọa độ để giải những bài toán
đơn gian, rất đơn giản khi áp dụng phương pháp tổng hợp thuần túy.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết
vấn đề.
Trước thực trạng trên của học sinh trong quá trình học hình học khơng gian dẫn
đến sự cần thiết phải truyền thụ kiến thức cho học sinh về ứng dụng phương pháp tọa
độ trong không gian để giải các bài tốn hình học khơng gian theo u cầu của phương
pháp tổng hợp thuần túy. Bên cạnh đó, phân phối chương trình khơng dàng thời lượng

cho việc triển khai này nên việc triển khai phải thực hiện lồng ghép, thường xuyên
trong mỗi tiết dạy lý thuyết, mỗi tiết dạy bài tập. Cụ thể :
2.3.1. Trong bài 1. Hệ trục tọa độ trong khơng gian: Ta có thể lồng ghép, bắt đầu
truyền thụ dần kiến thức về ứng dụng phương pháp tọa độ giải bài tốn hình học khơng
gian cho học sinh như:
2.3.1.1. Các dấu hiệu nhận biết bài tốn hình học khơng gian có thể giải được
bằng phương pháp tọa độ.
+ Tại một đỉnh có 3 cạnh đơi một vng góc với nhau.
+ Hình lập phương; hình hộp chữ nhật; hình lăng trụ đứng có đáy là hình thoi, hình
thang vng, tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều …
5


+ Hình chóp có đáy là tam giác vng, tam giác cân, tam giác đều; hình vng;
hình chữ nhật … và có cạnh bên, mặt bên vng góc với mặt phẳng đáy.
+ Một vài hình chưa có sẵn 3 đường thẳng đơi một vng góc với nhau nhưng có
thể tạo ra được 3 đường thẳng vng góc với nhau như: có 2 đường thẳng vng góc
với nhau hoặc 2 mặt phẳng vng góc với nhau.
2.3.1.2. Thiết lập hệ trục tọa độ.
Vấn đề quan trọng nhất trong việc giải bài toán hình học khơng gian bằng phương
pháp tọa độ là thiết lập hệ trục tọa độ phù hợp. Sau đây là một số gợi ý để thiết lập hệ
trục tọa độ:
+ Với hình có sẵn 3 đường thẳng đơi một vng góc với nhau: Việc thiết lập hệ
trục tọa độ thực rất đơn giản, gốc tọa độ là điểm đồng quy, các trục tọa độ lần lượt
trùng với các đường thẳng đơi một vng góc với nhau.
+ Hình chóp đều: Hệ trục tọa độ được thiết lập dựa trên gốc tọa độ trùng với tâm
của đa giác đáy và trục Oz trùng với đường cao của hình chóp.
+ Hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt đáy: Thường chọn trục Oz trùng
(hoặc song song) với cạnh bên vng góc với mặt đáy và gốc tọa độ O thường trùng
với chân đường vng góc.

+ Hình hộp chữ nhật, hình lập phương: Chọn gốc tọa độ là một đỉnh, các trục tọa
độ lần lượt trùng với ba cạnh kích thước của hình hoặc chọn gốc tọa độ là tâm của đáy,
các trục tọa độ song song với ba cạnh kích thước.
+ Hình lăng trục đứng: Chọn gốc tọa độ là một đỉnh của đáy, trục Oz trùng với
cạnh bên. Tùy thuộc vào tính chất của đa giác đáy, chọn các trục Ox, Oy phù hợp.
+ Hình lăng trục xiên: Dựa vào đường cao và tính chất của đa giác đáy để thiết lập
hệ trục tọa độ.
2.3.1.3. Xác định tọa độ các điểm liên quan:
Để thuận lợi và giúp học sinh hình thành kỹ năng xác định tọa độ điểm khi đã thiết
lập được hệ trục tọa độ cần hình thành cho học sinh mạch tư duy, tiến trình thực hiện
như sau:
+ Xác định tọa độ các điểm nằm trên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.
+ Xác định tọa độ các điểm nằm trên các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Oxz).
+ Xác định tọa độ các điểm dựa vào tính chất của hình, tọa độ của véc tơ, ...
2.3.1.4. Các bước giải bài tốn hình học khơng gian bằng phương pháp tọa độ.
+ Bước 1. Chọn gán hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp và tìm tọa độ các điểm liên
quan tới bài toán.
+ Bước 2. Chuyển yêu cầu bài toán đã cho về bài tốn hình học giải tích.
6


+ Bước 3. Tiến hành giải bài tốn hình học giải tích trên.
+ Bước 4. Chuyển kết luận của bài tốn hình học giải tích sang tính chất hình học
tương ứng.
2.3.2. Trong bài 2. Phương trình mặt phẳng:
Trong bài này, học sinh được học về cơng thức tính khoảng cách từ một điểm đến
một mặt phẳng, ta sẽ lồng ghép, giới thiệu vè yêu cầu học sinh giải các bài tốn về tính
khoảng từ một điểm đến mặt phẳng ở hình học tổng hợp thuần túy bằng phương pháp
tọa độ.
Với những bài tốn tính khoảng cách dễ dàng thực hiện được bằng phương pháp

tổng hợp thuần túy sẽ có nhiều những học sinh có học lực khá – giỏi làm rất nhanh ra
kết quả. Tuy nhiên ta vẫn yêu cầu học sinh giải toán bằng phương pháp tọa độ để
những học sinh có học lực yếu hơn tiếp thu tốt. Sau đó, cần có những bài tập mà việc
tính khoảng cách bằng phương pháp tổng hợp thuần túy sẽ gặp khó khăn nhưng lại
được giải quyết dễ dàng bằng phương pháp tọa độ. Vấn đề này được triển khai sẽ gây
được sự thích thú nhất định đối với tất cả các đối tượng học sinh, học sinh khá giỏi sẽ
thấy được cái hay, cái ích của phương pháp tọa độ; học sinh trung bình sẽ tìm được
"phao" để giải tốn.
Trong khuôn khổ của đề tài, không thể triển khai hết các bài tập minh họa cho ý
kiến trên, chỉ xin gới thiệu một ví dụ sau:
Ví dụ 1 . Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = 3a, AA’ = 2a.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AD, BB’; P là điểm thuộc cạnh B’C’ sao cho
B’P = 2P’C. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (MNP).
Bài giải
* Phân tích:
Việc tính khoảng cách từ điểm C đến mặt
phẳng (MNP) bằng phương pháp tổng hợp rất
khó khăn.
Tuy nhiên, giả thiết cho ABCD.A’B’C’D’ là
hình hộp chữ nhật, các điểm M, N, P được xác
định cụ thể trên các cạnh của hình hộp nên việc
sử dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán này
dễ dàng và là hợp lý nhất.
* Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho A là gốc tọa độ, B thuộc tia Ax, D thuộc tia Ay và
A’ thuộc tia Az.
7


Khi đó:

B’(a; 0; 0), A(0; 0; 2a), B(a; 0; 2a),
D(0;3a; 2a), C(a; 3a; 2a), M(0;

3a
2

;2a), N(a; 0; a), P(a; 2a; 0)
3a


MN   a;
; a  ,
2




 a

MP   a; ;2a 
2


 7a
  MN .MP   2


2



; a 2 ;2a 2 


2






 (MNP) đi qua N(a; 0; a), có VTPT là n = a 2 MN .MP   7;2;4
 (MNP) có phương trình: 7x + 2y + 4z – 11a = 0



d (C ; ( MNP )) 

10a 69
69

2.3.3. Trong bài 3. Phương trình đường thẳng trong không gian:
Trong bài này, học sinh đã được tiếp thu về cơng thức tính khoảng cách từ một
điểm đến một đường thẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Vẫn với ý
tưởng như trên, tôi sẽ lồng ghép để giới thiệu một số ví dụ nhằm củng cố, kích thích
thêm sự thích thú, ham tìm hiểu của học sinh với việc ứng dụng phương pháp tọa độ để
tính khoảng cách trong cá bài tốn hình học khơng gian tổng hợp bằng một số ví dụ
như sau:
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD =
2a. Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a 3 . Gọi M thuộc cạnh SD sao
cho MD = 3SM, N là trung điểm của BC. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường

thẳng MN.
Bài giải
* Phân tích:
+ Với bài tốn này, bằng phương pháp tổng hợp, muốn tính khoảng cách từ điểm A
đến đường thẳng MN ta phải dựng H là hình chiếu của A lên MN và tính độ dài đoạn
thẳng AH. Vì tam giác AMN khơng có tính chất đặc biệt nên vị trí của điểm H khơng
đặc biệt, việc tính AH phải dựa vào diện tích tam giác AMN, khi đó AH =

2S AMN
.
MN

Nhưng tính độ dài đoạn thẳng MN, diện tích tam giác AMN khơng phải việc dễ dàng,
không phải học sinh nào cũng làm được.

8


+ Tuy nhiên, tại đỉnh A có 3 đường thẳng đơi
một vng góc với nhau, đây là dấu hiệu đầu tiên,
dễ nhận thấy để thiết lập hệ trục tọa độ. Việc tìm
các tọa độ S, D, B, C, N rất đơn giản, sử dụng
SD  4 SM tìm tọa độ điểm M cũng khơng có gì là
khó khăn.
* Vì vậy, cách giải như sau:
Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho A là
gốc tọa độ, B thuộc tia Ax, D thuộc tia Ay và
S thuộc tia Az.
Khi đó, ta có :
A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; 2a; 0),

S(0; 0; a 3 ), C(a; 2a; 0)
N là trung điểm của BC  N(a; a; 0)
Gọi M(x; y; z)
SM   x; y; z  a 3  ,




SD  0;2a; a

3



Theo giả thiết 

SD  4 SM



4 x  0

4 y  2 a

4 z  a



3





a

3




x  0

a

 y 
2


3a

z

4



3

a 3a 3 


4 


 M  0; 2 ;


Khi đó:
 a
3a 3 

MN  
 a; 2 ; 4  , NA    a; a;0 



 d(A/MN) =

MN .NA

Vậy d(A/MN) =

MN

a

29
46

a

 3a
 MN .NA    4
2



3 3a 2 3
a2
;
;
4
2






29
46

.

Ví dụ 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a.
Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là
trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
(Đề thi Đại học khối B năm 2007)
* Nhận xét :
Với bài toán trên, nếu ta sử dụng

phương pháp tổng hợp ta phải tiến hành
dựng mặt phẳng chứa MN và song song với
AC hoặc dựng mặt phẳng chứa AC và song
song với MN. Sau đó sử dụng khoảng cách
từ một điểm đến một mặt phẳng để tính,
9


thường quy các khoảng cách cần tính này về tính khoảng cách từ điểm O là chân
đường cao của hình chóp. Từ hình vẽ, ta có thể nhận thấy, nếu sử dụng phương pháp
này thì việc tính khoảng cách gặp rất nhiều khó khăn.
Tuy nhiên, nếu sử dụng phương pháp tọa độ trong khơng gian, việc tính khoảng
cách giữa MN và AC rất đơn giản, cụ thể:
* Bài giải
Dựng hệ trục tọa độ Oxyz có O là gốc tọa độ, C thuộc tia Ox, D thuộc tia Oy và S
thuộc tia Oz, khi đó:
OC =

a 2
2



a 2

 a 2

 a 2 

a 2 








C
 2 ;0;0  , A  2 ;0;0  , D 0; 2 ;0  , B 0; 2 ;0  .









Gọi SO = h  S  0;0; h 
Khi đó ta tìm được:
 a 2
h

I
  4 ;0; 2 



là trung điểm của SA

Vì I là trung điểm của DE 



 a 2

a 2
E  
;
; h 
2
2



Vì M là trung điểm của AE 

 a 2
a 2 h
M  
;
; 
2
4
2


Vì N là trung điểm của BC 

a 2

a 2 

N
 4 ; 4 ;0 



 3a 2
h

MN  
 4 ;0; 2  , AC  a





Khi đó d(MN,AC) =

MN.AC .AM
MN.AC 

2 ;0;0


a

,



a 2 h
AM   0;
; 
4
2


2
4

Như vậy, qua 3 ví dụ trên ta nhận thấy rằng phương pháp tọa độ trong khơng gian
có rất nhiều ưu việt mà ta có thể sử dụng trong rất nhiều bài tập khó. Đặc biệt, với
những học sinh có học lực trung bình – khá, thường rất sợ và học không tốt về hình
học khơng gian nên khơng tự tin, và vì thế càng khơng dành nhiều thời gian cho hình
học khơng gian. Khi đó Phương pháp tọa độ là một "phao" cứu.
Sau đây là một số ví dụ trong các đề thi thử THPT Quốc gia ở một số trường
THPT trên toàn quốc trong năm học 2017 – 2018.
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B, BC  2a, SA
vng góc với mặt phẳng đáy và SA  2a 3. Gọi M là trung điểm của AC. Khoảng
cách giữa hai đường thẳng AB và SM bằng:
A.

2a 39
13

B.

a 39
13

C.

2a 3
13

D.

2a
13

(Đề thi thử trường THPT Chuyên Thái Bình năm 2018 – lần 2)
10


Bài giải
Chọn hệ trục tọa độ Bxyz sao cho B là gốc tọa
độ, C thuộc tia Bx, A thuộc tia By và trục Bz như
hình vẽ :
Khi đó:
B(0; 0; 0), A(0; y ; 0), C(2a; 0; 0), S(0; y; 2a 3
)

 M(a;


y
2

; 0)




AB  (0; y;0) , SM   a;



AS  0;0;2a

3



Khi đó: d(AB,SM) =

y

;2a 3  ,
2


 AB.SM . AS
 AB.SM 



2a 39
13

 chọn đáp án A.

Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  2a, BC  a.
Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB, CD. K là điểm trên cạnh AD sao cho KD  2 KA . Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng MN và SK.
A.

a
2

B.

a 2
3

C.

a 3
7

D.

a 21
7

(Đề thi thử THPT quốc gia năm 2018 – trường THPT Nguyễn Huệ - Ninh Bình – lần 1)

Bài giải
Gọi O = AC  BD. Theo giả thiết
 SO  (ABCD)
Ta có: BD  AB 2  AD 2  a 5




BO 
SO 

1
a 5
BD 
2
2
SB 2  BO 2 

a 3
2

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.
Khi đó:

a 
a 3

 a 
,
M  0; ;0  , N  0; ;0  , S  0;0;
2 
2 

 2 




a 

K   a; ;0 
6 


11






a

MN   0; a;0  , SK  
  a;  6 ; 


 d(MN,SK) =

MN .SK .MK
MN .SK 



a 
a 3

 , MK  
  a; ;0 
2 
3 



a

21
7

 Chọn đáp án D

Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và

ˆ D  60 0 .
BA

Hình chiếu vng góc của S trên mặt phẳng  ABCD  trùng với trọng tâm của tam giác
ABC. Góc giữa mặt phẳng  SAB  và  ABCD  bằng 60. Khoảng cách từ điểm B đến
mặt phẳng  SCD  bằng
21a
14

A.

B.

21a

7

C.

3 7a
14

D.

3 7a
7

Bài giải
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, I là hình chiếu của G lên AB
   SAB  ,  ABCD    SIˆG  60 0
Ta có


IG
BG 1


AD BD 3

SG  IG. tan 60 0 



IG 

1
a
AD 
3
3

a 3
3

Vì BAˆ D  60 0  tam giác ABD là tam giác đều
cạnh a
 BD = a, AC = 2AO = a 3
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, ta có:
 a 3 
a

 a

;0 
D ;0;0  , B  ;0;0  , C  0;
,
2
2

 2



 a
a 3


S
  6 ;0; 3 





 a a 3 
 2a
a 3

DC    ;
;0  , DS  

;0;

2
3
3 
 2




a a 3 a 3
  DC.DS    2 ; 6 ; 3 
2

2

2





 (SCD) có phương trình:
 d(B;(SCD)) =

3a 7
14

3x  y  2 z 

a 3
0
2

 Chọn đáp an C.

Ví dụ 7. Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có các mặt bên đều là hình vng cạnh a.
Gọi D, E , F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , A ' C ', C ' B '. Tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng DE và AB ' .
12


A. d 

a 2

4

B. d 

a 3
4

C. d 

a 2
3

D. d 

a 5
4

(Đề thi thử THPT quốc gia năm 2018 – trường THPT Ba Đình – Thanh Hóa – lần 1)
Bài giải
Từ giải thiết, ta dễ dàng chứng minh được
ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các
cạnh bằng a.
Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ.
Khi đó:
 a 3

 a

a


a

;a
A'   ;0;0  , B '  ;0;0  , C  0;
B ;0; a  ,
,

2
 2

2

2



 a 3 
 a

;0 
A  ;0; a  , C '  0;
,
2
 2






a a 3

 a a 3 



D
 4 ; 4 ; a  , E   4 ; 4 ;0 







AB '   a;0; a 



d  AB '.DE  

,

 3a a 3 
 a

;
;0 
DE    ;0; a  , AD  


4
 2

 4


 AB'.DE . AD
 AB'.DE 



a

3
4

Sau đây là một số bài tập tự luyện từ các đề thi có thể giải được bằng sử dụng
phương pháp tọa độ thay cho phương pháp tổng hợp thuần túy.
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, AB  a , ABC  60 , tam
giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc
giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD) bằng 450 . Gọi M, H, N lần lượt là trung điểm
của AO, AB, BC.
a) Chứng minh rằng: AC   SHM 


0

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DN và SC.
(Đề thi KTBD học kỳ 2 – khối 11 – trường THPT Hậu Lộc 1, năm học 2017 - 2018)

Bài 2. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 'B 'C ' D ' có  AB  a, AD  2a, AA '  3a. Gọi
M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, C ' D ' và DD '. Tính khoảng cách từ A đến mp

 MNP  .

15
9
3
15
a
B. a
C. a
D. a
22
11
4
11
(Đề thi THPT QG 2018 - Mơn Tốn - Trường THPT Đống Đa – Hà Nội - Lần 1)

A.

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh 2a . Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH  3a
và vng góc với mặt đáy (ABCD). Khoảng cách giữa hai đường thẳng MD và SC là
13


12a 15
a 61
12a 61

6a 61
B.
C.
D.
.
.
.
.
61
61
61
61
(Đề thi THPTQG Năm 2018 - Mơn Tốn - THPT Hàn Thun – Bắc Ninh - Lần 1)

A.

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Khi đề tài được áp dụng vào thực tiễn giảng dạy, với ý tưởng của đề tài, trong hơn
15 năm kinh nghiệm giảng dạy của mình tơi thấy có tác dụng, có ý nghĩa thực sự rõ rệt,
cụ thể:
- Đối với học sinh: Các em có hứng thú rõ rệt với mơn học hình học khơng gian,
đặc biệt là những em có học lực trung bình, khơng gây áp lực giải toán cho các em,
nâng cao điểm thi trong các kỳ thi thử đại học và thi đại học của những năm trước và
thi THPT quốc gia ở những năm gần đây. Thậm chí, có những học sinh tâm sự với tơi
rằng: "Hễ gặp các bài tốn chứng minh, tính thể tích, tính khoảng cách, tính góc trong
hình học không gian là em nghĩ ngay đến dùng tọa độ, nếu không dùng được bằng tọa
độ được (không thiết lập được hệ trục tọa độ) là em bỏ, không làm, khơng nghĩ".
- Đối với bản thân: Nó thành kim chỉ nam, thành nội dụng quan trọng để trong quá
trình giảng dạy, tùy từng đối tượng học sinh để truyền thụ kiến thức tính khoảng cách

bằng phương pháp tổng hợp thuần túy phù hợp, tránh gây khó khăn, nản lịng ở học
sinh và sẽ được hoàn thiện, bổ sung khi lồng ghép triển khai tính khoảng cách bằng
phương pháp tọa độ, mà Phương pháp tọa độ lại phù hợp với tất cả các đối tượng học
sinh.
- Đối với đồng nghiệp: Đề tài cũng là một nguồn tham khảo hữu ích, về cả nội
dung, ý tưởng và một số ý kiến phân tích, lập luận của tác giả trong q trình trình bày
ở mỗi ví dụ để hồn thiện ý tưởng, giáo án giảng dạy của mình.
PHẦN 3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận.
Như vậy, qua các nội dung ta nhận thấy rằng đề tài sáng kiến kinh nghiệm này
hoàn toàn áp dụng được vào thực tiễn giảng dạy ở trường THPT, phù hợp với mọi đối
tượng học sinh, thậm chí cả những học sinh có học lực yếu, bởi những ưu điểm sau :
- Giúp việc giải một số bài tốn tính khoảng cách trong hình học khơng gian trở
nên đơn giản hơn khi giải bằng phương pháp tổng hợp thuần túy.
- Lượng kiến thức và kỹ năng để giúp học sinh để giúp học sinh giải các bài toán
này bằng phương pháp tọa độ không nhiều, chủ yếu là các kiến thức về tọa độ véc tơ,
phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng, các cơng thức tính khoảng cách.

14


Phương pháp này khơng q khó nên đối với học sinh có học lực trung bình nên là
phương pháp chủ yếu giúp đối tượng học sinh này giải tốt các bài tốn khoảng cách, có
động lực để học hình học không gian và nâng cao điểm thi THPT quốc gia.
+ Bên cạnh đó phương pháp tọa độ cũng có những hạn chế, cụ thể:
- Không phải tất cả các bài tốn về hình học khơng gian đều có thể sử dụng
phương pháp tọa độ để giải, chỉ với những hình đặc biệt có những cạnh có quan hệ
vng góc với nhau thì mới có thể sử dụng được phương pháp này.
- Để làm tốt bài tập, yêu cầu học sinh phải có tính cẩn thận, tính chính xác vì chủ
yếu là tính tốn, đặc biệt là các dữ kiện trong đề bài tồn chứa tham số. Các cơng thức

tương tự nhau nên rất dễ nhầm lẫn.
Chính vì vậy, trong q trình triển khai, ngay từ bài đầu tiên giáo viên cần u cầu
học sinh cẩn trọng trong tính tốn, làm bài cẩn thận từ bài đơn giản nhất đến bài phức
tạp nhất.

3.2. Kiến nghị.
+ Kiến nghị với nhà trường: Sau khi hoàn thành đề, tác giả rất muốn sáng kiến
kinh nghiệm được lưu trong thư viện của nhà trường để đồng nghiệp, học sinh tham
khảo và học tập.
+ Kiến nghị với Sở Giáo dục và Đào tạo: Sau mỗi năm, nhiều đề tài sáng kiến kinh
nghiệm có chất lượng cần được triển khai rộng rãi để cán bộ giáo viên tham khảo. Vì
vậy trong mục Quản lý SKKN của Trang điện tử của Sở cần có thêm phần tổng hợp tất
cả các SKKN để cán bộ giáo viên có thể tải về tham khảo.
Trong khuôn khổ hạn hẹp của đề tài, với năng lực có hạn của bản thân khơng tránh
khỏi những thiếu sót, rất mong được sự góp ý, chia sẻ của đồng nghiệp và học sinh.
Tôi xin cam đoan với Hội đồng khoa học nhà trường THPT Hậu Lộc 1, Hội đồng
khoa học Sở GD&ĐT Thanh Hóa, Sáng kiến kinh nghiệm này do chính tơi viết từ
chính kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, không sao chép từ bất cứ tài liệu nào. Tơi
xin chịu hồn tồn trách nhiệm với lời cam đoan của mình.
Trân trọng cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05 năm 2018
TÁC GIẢ

15


Phạm Thế Quyết

16