TÍNH nửa LIÊN tục của ÁNH xạ NGHIỆM của bài TOÁN cân BẰNG NGẪU NHIÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Tên đề tài: PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CHO
BÀI TỐN CÂN BẰNG NGẪU NHIÊN VÀ
ÁP DỤNG VÀO BÀI TOÁN TỐI ƯU NGẪU NHIÊN
Mã số: 233/HĐ-NCKHPTCN

Tên báo cáo chuyên đề: TÍNH NỬA LIÊN TỤC
CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN
CÂN BẰNG NGẪU NHIÊN

Chủ nhiệm đề tài: TS. Nguyễn Xuân Hải
Người chủ trì thực hiện chuyên đề: TS. Nguyễn Xuân Hải, Khoa Khoa
học tự nhiên

Bình Dương, Tháng 9 Năm 2015


Mục lục

Trang
Đặt vấn đề

1

Nội dung nghiên cứu và kết quả đạt được

1

Kết luận

5

Tài liệu tham khảo

6


1. Đặt vấn đề
Gọi X 

n

, 

s

và  Ω là tập tất cả các độ đo xác suất Borel trên . Gi

K: X () ă X l mt ỏnh xạ đa trị và f :  X  X   {  } sao cho, với mỗi

x, y  X , f (., x, y) là hàm đo được. Chúng tơi xét bài tốn cân bằng ngẫu nhiên phụ
thuộc tham số độ đo xác suất dưới đây:
(SEP) Tìm x  X sao cho x  K ( x,  ) và  f (, x, )  0 , y  K ( x,  ) ,
ở đây Ε f , x, y    f , x, y   (d) là giá trị kì vọng của f (., x, y) theo độ đo


.
Với bài toán (SEP), định nghĩa

S( )={x  X : x  K (x, ),  f , x, y   (d)  0, y  K (x, )}. (1)


Khi đó S xác định một ánh xạ đa trị từ  Ω vào X và được gọi là ánh xạ
nghiệm của bài toán (SEP).
Nội dung của chuyên đề này là nghiên cứu tính nửa liên tục của ánh xạ nghiệm

S ( ) theo tham số độ đo xác suất  .
2. Nội dung nghiên cứu và kết quả đạt được
Ta sử dụng các kết quả sau trong chuyên đề 1.
Bổ đề 2.1 Với mỗi   và y  X , nếu f (,., y) là lsc thì (, y) là tập đóng
trong X với mọi  () .
Từ bây giờ trở đi, với bài tốn (SEP) ta ln giả thiết thêm X là tập con compact
của

n

, ánh xạ đa trị K có các ảnh đóng, và f (,., y) là lsc với mọi (, y)  X .

Bổ đề 2.2 Với không gian ((),  ) , nếu ánh xạ K : X () ă X l liờn tc theo
bin th nhất thì nó là ánh xạ đóng và nửa liên tục dưới.
Bổ đề 2.3 Với không gian (p (), p ) , nếu ánh xạ K : X p () ¨ X là liên tục
theo biến thứ nhất thì nó là ánh xạ đóng và nửa liên tục dưới.
Bổ đề 2.4 Với không gian (p (), p ) , ánh x K :p () ă X c xỏc nh bi (2)
là đóng, và do K có các ảnh đóng nên K là nửa liên tục trên.
Đầu tiên ta có kết quả sau về tính chất tơpơ của tập nghiệm.


Cho  () , giả sử tập là E : {x  X : x  K ( x, )} đóng và

Mệnh đề 2.1

K (.,  ) là lsc và với mỗi   , f (,.,.) là lsc. Khi đó tập nghiệm S (  ) được xác
định bởi (1) là đóng.
Chứng minh. Giả sử {xn }n1  S (  ) là một dãy bất kì sao cho xn  x . Ta chứng tỏ

x  S (  ) . Bởi công thức (1), với mọi n, xn  E . Vì E đóng, ta có x  E , nghĩa là

x  K ( x, ) . Bây giờ lấy bất kì y  K ( x, ) . Vì K (.,  ) là lsc, tồn tại dãy { yn }n1 với
yn  K ( xn ,  ) sao cho yn  y . Từ tính nửa liên tục dưới của f (,.,.) và bổ đề Fatou
ta có:

 f (, x, y)(d)  liminf  f , x , y   (d)  0.
n



n

n

n



Vậy x  S (  ) .
Từ đây trở đi, với bài tốn (SEP) ta ln giả sử tất cả các điều kiện trong định
nghĩa của bài toán ở Mục 1, các điều kiện nói đến trong Mục 2; giả thiết thêm X là tập
con compact của

n

, ánh xạ đa trị K có các ảnh đóng, và f (,., y) là lsc với mọi

(, y)  X và các giả thiết trong Bổ đề 2.2-2.3 luôn được thỏa mãn. Ta giả thiết
thêm rằng, với mỗi   , f (,.,.) là liên tục.
Định lí 2.1 Với ánh xạ K : X ((), ) ă X , ỏnh xạ nghiệm S được xác định bởi
công thức (1), từ (),   vào X là nửa liên tục trên.
Chứng minh. Giả sử tồn tại 0 () sao cho S khơng usc tại o . Khi đó tồn tại lân
cận mở U của S ( 0 ) trong X và tồn tại các dãy n n1 ,xn n1 thỏa: n  0 và với




mọi n, xn S ( n ) nhưng xn U . Ta có

h  K  xn , n  , K  xn , 0   supxX h  K  x , n  , K  x , 0     n , 0  0.
Suy ra, với mọi n, tồn tại xn K( xn , 0 ) sao cho xn  xn  0 . Vì X là compact, do đó
ta có thể giả sử xn  x0 . Khi đó xn  x0 . Do Bổ đề 2.2, ánh xạ K là đóng. Hơn nữa,
với mọi

n, xn  K  xn , n  . Suy ra x0  K  x0 , 0  . Bây giờ giả sử tồn tại

y0  K  x0 , 0  sao cho



x0    0 , y0    x X :  f (, x, y0 ) 0 (d  )  0  .





1
Đặt   d  x0 , ( 0 , y0 )  . Vì K là lsc (Bổ đề 2.2), tồn tại dãy
2

 yn n1

với


yn K  xn , n  cho mọi n, và yn  y0 . Hơn nữa, ( 0 ,.) là liên tục (do f (, x,.) liên
tục). Vì vậy ta có :

h    n , yn  ,   0 , y0  
 h    n , yn  ,   0 , yn   h    0 , yn  ,   0 , y0 



 sup h    n , y  ,   0 , y   h    0 , yn  ,   0 , y0 
yX



  ( n , 0 )  h    0 , yn  ,   0 , y0   0.
Nhưng khi h    n , yn  ,   0 , y0    0 ta có

xn h    n , yn   B (  0 , y0  ,   với n đủ lớn.
Điều này mâu thuẫn với xn  x0 . Vậy x0   0 , y  với mọi yK  x0 , 0  . Do đó

x0 S ( 0 )  U . Điều này mâu thuẫn với xn  x0 và giả thuyết xn  U với mọi n.
Vậy S là usc.
Định lí 2.2 Với ánh xạ K : X (p (), p ) ă X , gi sử với mọi ,  và với
mọi x, y  X , f (,.,.) là nửa liên tục dưới, và

f (, x, y )  f (, x, y )     max{1, 

p 1

,

p 1

}.



(3)



Khi đó ánh xạ nghiệm S được xác định bởi công thức (1), từ p (), p vào X, là
nửa liên tục trên.
Chứng minh. Giả sử S không usc tại 0 p () . Thế thì tồn tại một lân cận mở U
của S  0  và các dãy n n1 ,xn n1 thỏa mãn: n  0 và với mọi n, xn S ( n )




nhưng xn U . Lý luận tương tự như phần đầu trong chứng minh định lí 3.1 ta có thể

giả sử xn  x0 K ( x0 , 0) . Bây giờ ta chứng minh

yK( x0 , 0 ),

 f ( , x , y ) 
0

0

(d)  0 .

(4)



Thật vậy, vì K là lsc (Bổ đề 2.3) với bất kỳ yK ( x0 , 0 ) , tồn tại dãy  yn  n1 với

yn K( xn , n ) với mọi n, và yn  y . Do (3), với mọi x, y  X , f (., x, y)  M p () .
Điều này cùng với tính nửa liên tục dưới của f (,.,.) và bổ đề Fatou ta có

 f , x , y    d   liminf  f (, x , y )  d 
0



0

n

n



n

0




 liminf   f (, xn , yn )(  n  0 )( d )   f (, xn , yn ) n  d   
n






 lim inf   f (, xn , yn )( n  0 )( d)   f (, xn , yn ) n  d   
n

 




 liminf  sup  g ()( n  0 )( d)   f (, xn , yn ) n  d  
n
 gM p ( ) 





 liminf  p ( n , 0 )   f (, xn , yn ) n  d   
n





 liminf   f (, xn , yn ) n  d     0.
n


Vậy (4) đúng. Do đó x0 S ( 0 ) và như vậy x0 U , mâu thuẫn với xn  x0 và xn  U
với mọi n.
Trong trường hợp K : X (p (), p ) ă X c xỏc định bởi (2) ta có kết quả
sau.
Định lí 2.3 Nếu ánh xạ đa trị T : X  (p (), p ) ă X c xỏc nh bi

T ( )={x  X : x  K ( ),  f , x, y   (d )  0}






là đóng, thì ánh xạ nghiệm S được xác định bởi cơng thức (1), từ p (), p vào X,
là nửa liên tục trên.
Chứng minh. Từ các điều kiện của Định lí 3.3 ta thấy các điều kiện trong Mệnh đề 3.1

thỏa mãn. Do đó, theo Mệnh đề 3.1, ánh xạ nghiệm S có các ảnh đóng trong tập
compact X. Ta có, với mọi  p () ,

S ( )=K ( )  {x  X :y  K ( ),  f , x, y   (d )  0}=K ( )  T (  ). (5)


Vì K là ánh xạ đóng (do Bổ đề 2.4) và T là đóng nên từ (5) suy ra S cũng là ánh xạ
đóng. Hơn nữa S có các ảnh compact nên suy ra nó là usc.
Nhận xét 2.1 Dùng bổ đề Fatou ta dễ dàng chứng minh được ánh xạ T trong Định lí
3.3 là đóng nếu K là liên tục và với mỗi  , f (,.,.) là nửa liên tục dưới.


3. Kết luận
Các kết quả trong chuyên đề này là nội dung chính của đề tài. Các kết quả này là
mới, và theo hiểu biết của chúng tơi thì chưa có những nghiên cứu trên thế giới về nội
dung này


4.Tài liệu tham khảo
[1] Cho, G.M., 1995. Stability of the Multiple Objective Linear Stochastic
Programming Problems. Bulletin of the Korean Mathematical Society. 32: 287296.
[2] Henrion, R. and W. Romisch, 1999. Metric Regular and Quantitative Stability
in

Stochastic

Programs

with

Probabilistic

Constraints.

Mathematical

Programming. 84: 55-88.
[3] Nemirovski, A. et al., 2009. Robust Stochastic Approximation Approach to
Stochastic Programming. SIAM Journal on Optimization. 19: 1574-1609.
[4] Rachev, S. T., 1991. Probability Metrics and the Stability of Stochastic Models.
Wiley, Chichester, U.K. 493pp.
[5] Rachev, S. T. and W. Romisch, 2002. Quantitative Stability in Stochastic
Programming: the Method of Probability Metrics. Mathematics of Operation
Reseach. 27: 792-818.
[6] Romisch, W. and R. J-B. Wets, 2007. Stability of ε-Approximate Solutions to
Convex Stochastic Programs. SIAM Journal on Optimization. 18(3): 961–979.
[7] Shapiro, A., 2008. Stochastic Programming Approach to Optimization under
Uncertainty. Mathematical Programming. 112(B): 183-220.

Người thực hiện chuyên đề

TS. Nguyễn Xuân Hải