ON THI TICH PHAN

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Trường T HPT Tân Bình.. ÔN THI TÍCH PHÂN.. …TÍCH PHÂN … Nguyên hàm cơ bản. Nguyên hàm hợp bậc 1 1.  d ax  b   a ax  b  C.  dx  x  C . . dx  ln x  C  x  0  x. e . x. ax  C 0  a  1 ln a. .  sin xdx   cos x  C. . 2. x. 1.  sin. 2. x. 1 ax b e C a 1 k ax  b k ax b dx   C  0  k 1 a ln k 1 cos ax  b dx  sin ax  b   C a 1 sin ax  b dx   cos ax  b   C a 1 1 dx  tan ax  b   C a cos 2 ax  b . e. . 1.  C   1. dx 1  ax  b  a ln ax  b  C x  0.  cos xdx  sin x  C  cos.  1. a. dx  e x  C. a x dx .  du  u  C.  1. 1 ax  b    ax  b dx . x  1  C   1  1. x  dx . Nguyên hàm hợp. ax  b. dx . dx  tan x  C. . dx   cot x  C.  sin ax  b  dx   a cot ax  b   C. 1. 1. 2. u  1  C   1  1. . u  du . . du  ln u  C u  0  u. e . u. du  e u  C. a u dx . au  C 0  a  1 ln a.  cos udu  sin u  C  sin udu   cos u  C 1.  cos. 2. u. 1.  sin. 2. u. du  tan u  C du   cot u  C. A ) PHẦN HỮU TỶ. I >. BẬC CỦA TỬ NHỎ HƠN BẬC CỦA MẪU: 2 2 dx 1) I     ln x  1   ln 3 0 x 1 0 2. 2. dx 1 1  2) I     ln 2 x  1   ln 5 2x  1  2 0 2 0 1/ 2. 3) J .  0. dx  2 x 1. 2. 1/2.  0. 1/ 2. 1/ 2. dx 1  1 1   1 x 1  1      ln 3  dx   ln  ( x  1)( x  1) 2 0  x  1 x  1  2  2 x 1  0 2. 2. 2. dx dx 1  2x  1 5  2 4) J   2      ln  dx  ln 2 x  3x  1 0 ( x  1)(2 x  1) 0  2 x  1 x  1  x 1 0 3 0 1. 1. 1. 1. 1 1 2  x 1 6  1 5) J =  2 dx   dx      ln  dx  ln 2 x  5x  3 ( x  1)(2 x  3) x  1 2x  3  2x  3 0 5 0 0 0 2. 2. 2. xdx xdx 1 1 5  1  6) J   2     2  dx  ln 5  ln 2 x  3 x  1 0 ( x  1)(2 x  1) 0  2 x  1 2 x  3 x  1  2 3 0 1. 1. 1. 1. 4 x  11 4 x  12  1 dx dx 9 7) J   2 dx   dx  3   ln x  5x  6 ( x  2)( x  3) x2 0 x3 2 0 0 0 2. 2. 2 4x  3 d (2 x 2  3 x  1) 8) J   2 dx    ln 2 x 2  3x  1  ln15 2 0 2 x  3x  1 2 x  3x  1 0 0. 1. 1. 1. 1. dx dx 1 1 2 9) K   2   ( x  1) dx    x  2 x  1 0 ( x  1) 2 0 x 1 0 2 0 Gv: Lê Hành Pháp.. Trang 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Trường THPT Tân Bình.. ÔN THI TÍCH PHÂN..  1  1 2 dx     2 0   x  12  x  2 2  x  1 x  2  dx 2 0  x  3x  2    1. 1. dx. 10) K  . 1.  1 1 x 1  2 4     2ln   2ln  x2 0 3 3  x 1 x  2 1. 1. 1  1  xdx 1 1 11) K     ( x  1) 2  ( x  1) 3  dx      3 2 ( x  1)  x  1 2( x  1)  0 8 0 0 1. 12) H =.  (x 0. 2. 1 5x 5 5 dx =  ( x 2  4) 2 d ( x 2  4) =  = 2 2  4) 20 8 2 x  4 0. 2. 13) H =. 1. 1. 1  3x.  ( x  1). 2. dx . Ta có. 1 2. 1  3x 3x  3 4 4 3 .     2 2 2 2 ( x  1) ( x  1) ( x  1) ( x  1) x 1. 2. 4 4 2 Do đó I =   3ln( x  1) 1 =  3ln 2 x  1 1/2 3 2 2. 2. 14) I   1. dx xdx  2 2 2 x( x  1) 1 x ( x  1). x2 t 5 1 Đặt t  x 2  1  dt  2 xdx hay xdx  dt và x 2  t  1 . Đổi cận  2 x 1 t2 5. 5. 5. 1 dt 1  1 1 1 t 1 1 8 Do đó I =      dt  ln  ln 2 2 (t  1)t 2 2  t  1 t  2 t 2 2 5 1. dx . 2 1  x 0. 15) K  . Đặt x  tan t  dx  (1  tan 2 t )dt . Đổi cận  /4. Do đó K .  dt  t.  /4 0. . 0. 1. 16) K   0. x 1 t  / 4  x0 t 0.  4. 1. dx dx  2 x  2 x  2 0 ( x  1) 2  1. Đặt x  1  tan t  dx  (1  tan 2 t )dt . Đổi cận arctan 2. Do đó K . . arctan 2. dt  t  /4.  arctan 2 .  /4 1. x 1 t  arctan 2  x0 t  / 4.  4. 1. 2x  3 2 x  3 dx 17) H   dx   3 ( x  2) x  2 ( x  2) 2 0 0. Gv: Lê Hành Pháp.. Trang 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Trường T HPT Tân Bình. Đặt t . ÔN THI TÍCH PHÂN.. x 1 t 5 3 2x  3 dx  dt  . Đổi cận  2 x0 t 3 2 x2 ( x  2) 5/3. t2 Do đó H   tdt  2 3/2 1/4. 18) H .  0. 2011. 5/3. 19 72.  3/2. ( x  1) dx  (2 x  1) 2013. 1/4.  x 1  0  2 x  1 . 2011. dx (2 x  1) 2. 1 3 x t x 1 dx Đặt t  . Đổi cận  dt  4 2 2x  1 (2 x  1) 2 x0 t 1 3/2. Do đó H . t 1. 1. 19) I   0. Đặt :. 3/2. t 2012 32012  22012 dt   2012 1 2012.2 2012. 2011. 4x  2 dx . x  2 x2  x  2 3. 2 4x  2 A Bx  C x  A  B   x  2 B  C   2C  A     x  2  ( x 2  1) x  2 x 2  1  x  2  ( x 2  1). A  B  0  A  2   Do đó ta có hệ :  2B  C  4   B  2 .  2C  A  0 C  0   1 1 4x  2 2 2x   Vậy : I   2 dx      2  dx x  2 x  1 x  1 x  2      0  0 1.   2ln x  2  ln x 2  1   2ln 3  ln 2  ln 2  ln1  ln 0. 3. 4 9. 3. x 1 x 1 20) I   3 dx   2 dx . 2 x x x  x  1 2 2 x 1 A B C ( A  C ) x 2  ( B  A) x  B Đặt 2 .     x  x  1 x x 2 x  1 x 2 ( x  1).  A  C  0  A  2   Ta có hệ  B  A  1   B  1 .  B  1 C  2   3. 3. 2   x 1 1  4 1  2 1 Vậy : I     2    2ln   dx   2ln x x x 1  x x 2 3 2  2. Gv: Lê Hành Pháp.. Trang 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Trường THPT Tân Bình.. ÔN THI TÍCH PHÂN.. II >. BẬC CỦA TỬ BẰNG BẬC CỦA MẪU: 1 1 1 2x  1 3  3  1) I   dx    2   dx   2 x  3ln x  2  0  2  3ln x2 x2 2 0 0 2. 2 2  x 1  x 2 dx x2  1  1 1  dx     dx 2   2 x  3 x  1 ( x  1)(2 x  1) 2 x  1 ( x  1)(2 x  1)  0 0 0. 2) J  . III >. BẬC CỦA TỬ LỚN HƠN BẬC CỦA MẪU: 1 4 1 x  x3  x 2  2 1   1) I   dx    x 3  2 x 2  3x  3   dx x 1 x 1 0 0 1.  x 4 2 x3 3x 2  23     3 x  ln x  1     ln 2 3 2 12  4 0 1/ 2. 2) J .  0. x4  x  2 dx  x2  1. 1/2. 1/ 2.  x3  13 3 1   2   ln x  1  dx   x  ln x  1    0  24 2 x 1  3 0. 3. 3  x3 3 1  3) K   2 dx    x  2   dx  x  2x  1 x  1 ( x  1)2  0 0. 3.  x2 1  9  2 x  3ln x  1     3ln 4 2  x  1 0 4  1 2. 1 2. 1 2. 1. 5) I =  0. 2. 1.  x2 2 1 x 1 x  x 1 1  3  4) H =  2 dx =  dx    x   dx    ln x  1    ln x 1 x 1 x 1 2 2 0 8 0 0 0 3. x5 dx . x2  1. Đặt t  x 2  1  dt  2 xdx và x 4  (t  1) 2 . Đổi cận:. x 1 t2  . x0 t 1. 2. 2  1 (t  1) 2 1 t2 1 1 Do đó I =  dt    2t  ln t     ln 2 21 t 22 4 2 1. IV >. CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT – ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG. 1 3x 2 1) (Đề thi TN.THPT năm 2007). Tính tích phân I =  3 dx . x 1 0. x 1 t2 Đặt t = x + 1  dt = 3 x dx. Đổi cận:  . Do đó I = x  0 t 1 3. 2. 2. 2 dt  ln t  ln 2 1 t 1. 1. 2) (Đề thi TN.THPT năm 2008 Phân ban). Tính I =. 2. 3 4.  x (1  x ) dx . 1. Đặt t = 1 – x3  dt = –3 x 2 dx. Đổi cận:. Gv: Lê Hành Pháp.. x 1 t 0 .  x  1 t  2 Trang 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Trường T HPT Tân Bình.. ÔN THI TÍCH PHÂN.. 0. 2. 2. 1 4 1 4 t5 32 Do đó I =   t dt   t dt   32 30 15 0 15 1. 3) (Đề dự trữ năm 2002 – Khối D). Tính I = 1. 1. 1. 1. x 3dx 0 x 2  1. 1. xdx x2 xdx 1 xdx I =  xdx   2 . Đặt t  x 2  1  dt  2 xdx .   2   2 x 1 2 0 0 x 1 2 0 x 1 0 0 2. 2 x 1 t2 1 1 dt 1  1 1 1  Đổi cận:  . Do đó I =      ln t    ln 2 . x  0 t 1 2 2 1 t 2 2 1 2 2 3. 4) (Đề dự trữ năm 2004 – Khối B). Tính I =.  1. Đặt t  1  x 2  dt  2 xdx . Đổi cận: 4. x 3 x 1. dx  x  x3. . 3. xdx.  x (1  x ) 2. 2. 1. t4 . t2 4. 4. 1 dt 1  1 1 1 t 1 1 3 Do đó I =      dt  ln  ln 2 2 (t  1)t 2 2  t  1 t  2 t 2 2 2 2. 5) (Đề dự trữ năm 2004 – Khối A). Tính I =. x4  x  1 0 x 2  4 dx  2. 2. 2  x3  x 17  1 dx  2 2 x  4   dx   4 x  ln x  4  17 =    2 2 2 0   x 4 x 4 3 2 x  4  0 0 2. 16 1 dx   ln 2  17  2 . 3 2 x 4 0.  x2 t 2dt Đặt x = 2tant  dx  . Đổi cận:  4. x0 cos 2 t t 0  4. Do đó I = . 16 1 17 17 16 1  ln 2   dt    ln 2 3 2 2 0 8 3 2 1. 6) (Đề dự trữ năm 2007 – Khối D). Tính I   0 1. 1. x2  x dx = x2  4 1. 1.  1 x2  2  3ln 3  ln 4 xdx dx 2 0 dx  0 x 2  4  4 0 ( x  2)( x  2)   x  2 ln x  4  ln x  2   2 0 1. 7) (Đề thi CĐ năm 2010 – Khối A, B, D). Tính I = 1. 1. 1. 2x  1 0 x  1 dx = 1. 3  dx  0  2  x  1 dx  0 2dx  30 x  1  2 x  3ln x  1   2  3ln 2 0 Gv: Lê Hành Pháp.. Trang 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Trường THPT Tân Bình.. ÔN THI TÍCH PHÂN.. B ) PHẦN VÔ TỶ. I >. DẠNG CƠ BẢN: 1. 1) K   0. . . x  2 x 3  3 x 2 dx 1. 1. 2 3  2 3 2 2 5 3 3 5  19  6 2  1     x 2  2 x 2  x 3 dx   x  x  x   3 5 5 15  0  0. 1. 1. 1 2. 1 (2 x  3) 2 x  3dx   (2 x  3) dx  2 3/ 2 0. 2) K   0. 3 2. 1 1. 1 5 5 3 3  (2 x  3) 3  3 3 0 0. 1. 3) I   x x 2  4dx . 0. xdx. Đặt t  x 2  4  dt  5. 5. t3 Do đó I   t dt  3 2 2. 1. 4) I   0. xdx x2  4. 5. x2  4. hay xdx  tdt . Đổi cận. x 1 t 5  x0 t 2. 5 5 8 3.  2.  52 5. x 2  4dx  x. x x 2  4dx 5) I   1 x2 1 xdx Đặt t  x 2  4  dt  hay xdx  tdt và x 2  t 2  4 . 2 x 4 t 3 x 5  Đổi cận x 1 t 5 3. t2 Do đó I   2 dt  t 4 5.  t2   t  ln t  2    5. 6) I . x 1. 3. 4    1  t 2  4  dt  5. 3.  3  5  ln 5. dx x2  4. 5. . x. . 1. 1 .  1  t  2  t  2  dt  5. 94 5 5. xdx 2. x2  4 xdx. 1. Đặt t  x 2  4  dt  Đổi cận. 3. x2  4. hay xdx  tdt và x 2  t 2  4 .. t 3 x 5  x 1 t 5 3. 3. 1 t 2 dt 1  1 1  Do đó I   2     dt  ln t  4 4 5 t  2 t  2  4 t2 5 Gv: Lê Hành Pháp.. 3. 5. 1 94 5  ln 4 5 Trang 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Trường T HPT Tân Bình.. ÔN THI TÍCH PHÂN.. 1. 7) J   x 3 1  x 2 dx 0.  xdx. Đặt t  1  x 2  dt . 1 x Đổi cận. 2. hay xdx  tdt và x 2  1  t 2 .. x 1 t 0  x0 t 1 1. 1. 1.  t3 t4  2 Do đó I   (1  t )t dt   (t  t )dt       3 4  0 15 0 0 2. 2. 2. 4. 1. 8) J   x x  1dx 0. Đặt t  x  1  x  t 2  1  dx  2tdt . x 1 t 2 Đổi cận  x  0 t 1 2. 2. 2.  t5 t3  4 Do đó J   (t  1)t.2tdt  2  (t  t ) dt  2     15  5 3 1 1 1 2. 4. 2. . . 2 1. 1. x 2 dx 9) J   0 ( x  1) x  1 Đặt t  x  1  x  t 2  1  dx  2tdt và x 2  (t 2  1)2 . Đổi cận. x 1 t 2  x  0 t 1 2. Do đó J .  1. 2. 2 4  t3 (t 2  1) 2 2tdt t  2t 2  1 1 16  11 2 2 dt  2   2t    2 2 tt t t 1 3 3 1. 0. 10) J   x 3 x  1dx 1. Đặt t  3 x  1  x  t 3  1  dx  3t 2 dt . Đổi cận 1. x0 t 1  x  1 t  0 1. 1.  t7 t4  9 Do đó J    t  1 t.3t dt  3 (t  t )dt  3      28  7 4 0 0 0 3. 2. 11) J   0. 2. 6. 3. x3dx 3. x2  4. Đặt t  3 x 2  4  x 2  t 3  4  2 xdx  3t 2 dt . Đổi cận. t2 x2  x0 t34. 2. 2  3 3  t5 38  4 Do đó J   (t  4t )dt    2t 2     4 3 2  2 34 2 5  34 25. Gv: Lê Hành Pháp.. Trang 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Trường THPT Tân Bình.. ÔN THI TÍCH PHÂN.. 1. 12) I   1  x 2 dx 0. Đặt x = sint  dx = costdt và 1  x 2  1  sin 2 t  cos t ..  Đổi cận:  2. x0 t 0 x 1. t.  2.  2. . 1 1  sin 2t  2  Do đó I =  cos 2 tdt   1  cos 2t dt  t    4 2 2 2  0 0 0 2. 13) I =. x. 2. 4  x 2 dx .. 1. Đặt x = 2sint  dx = 2costdt. Đổi cận:  2.  16sin  6. 2. .  2.  2.  2. 6. 6. 6. 2 3  1  t .cos 2 tdt  4  sin 2 2tdt  2  (1  cos 4t ) dt  2 t  sin 4t    3 4  4   . 1. 14) I . x  2 t  / 2  . Do đó I = x 1 t  / 6. 1. x  x 2 dx . 1/2. 1 2 1   2 x  1 dx .  2 1/ 2 x 1 t  / 2  . x 1/ 2 t  0. Đặt 2 x  1  sin t  2dx  cos tdt . Đổi cận Do đó I . 1 4.  /2. . cos2 tdt . 0. 1 8.  /2. . (1  cos 2t ) dt . 0.  16. II >. CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT – ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG: 2 3 2 3 dx xdx 1) (Đề thi ĐH năm 2003 – Khối A). Tính I =    . 2 2 2 x x  4 x x  4 5 5 Đặt t =. x 2  4  dt =. xdx x2  4. và x 2 = t 2 – 4. Đổi cận:. x2 3 x 5. . t4 t 3. .. 4. 4. 4 4  1 t2 dt 1 1 1 1 5 Do đó I =  2   dx   dx   ln  ln t  4 4 3 t  2 t2  4 t2 3 4 3 3 3 1. 2) (Đề dự trữ năm 2003 – Khối A). Tính I =. x. 3. 1  x 2 dx. 0. Đặt t  1  x 2  dt .  xdx 1  x2. . Đổi cận:. x 1 t 0  . x  0 t 1. 1. 1.  t3 t5  2 Do đó I =  (1  t )t dt       3 5  0 15 0 2. Gv: Lê Hành Pháp.. 2. Trang 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Trường T HPT Tân Bình.. ÔN THI TÍCH PHÂN. 2. x dx . x  1 1 x  2 t 1 dx x  1  dt = và x = t 2 + 1. Đổi cận: .  x 1 t0 2 x 1. 3) (Đề thi ĐH năm 2004 – Khối A). Tính I = Đặt t =. 1. 1. 1. 1  t3 t2  11  12ln 2 t3  t 2   I = 2 = dt  2   t 2  t  2  dt 2   2t  2ln t  1     t 1 t 1 3 3 2 0 0 0. 7. x2 dx x 1 0 x7 t2 Đặt t  3 x  1  t 3  x  1  3t 2dt  dx . Đổi cận: .  x0 t 1. 4) (Đề dự trữ năm 2005 – Khối A). Tính I =. . 3. 2. 2. 2  t5 t2  t3  1 2 231 4 Do đó I =  3t dt  3  t  t  dt  3     t  5 2  1 10 1 1 10. dx 5 x  2 x 1 x  10 t 3 Đặt t  x  1  x  t 2  1  dx  2tdt . Đổi cận: .  x5 t2. 5) (Đề dự trữ năm 2006 – Khối B). Tính I  . 3. 3. 3  1 2tdt 1  1   Do đó I =  2  2   dt  2 ln t  1  2   1  2ln 2 t  2 t  1 t  1 ( t  1) t  1    2 2 2 6. dx 4x  1 2 2x  1  x6 t 5 t2 1 tdt Đặt t  4 x  1  x   dx  . Đổi cận:  . x2 t 3 4 2. 6) (Đề dự trữ năm 2006 – Khối A). Tính I  . 5. 5. 5  1 tdt 1  1  3 1  Do đó I =  2    dt  ln t  1   ln  2  t  2t  1 3  t  1 (t  1)  t  1 3 2 12  3 2. 7) (Đề dự trữ năm 2008 – Khối B). Tính I   0. x 1 dx 4x  1. x2 t 3 t2  3 2 dx Đặt t  4 x  1  dt  và x  1  . Đổi cận:  . x  0 t 1 4 4x  1 3. 3  11 1 2 1  t3 Do đó I =  (t  3) dt    3t   81 8 3 1 6. Gv: Lê Hành Pháp.. Trang 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Trường THPT Tân Bình.. ÔN THI TÍCH PHÂN.. C ) PHẦN LƯỢNG GIÁC. I >. DẠNG CƠ BẢN:  2. .  1  2 1 1) I   sin(2 x  )dx   cos(2 x  )  3 2 3 0 2 0  2. .  1  2 1 2) I   cos(2 x  ) dx  sin(2 x  )   6 3 6 0 3 0  2.  2. .  2.  2.  2. 1 1 1 2  3) I   cos 2 xdx   (1  cos 2 x) dx   x  sin 2 x   20 2 2 0 4 0 4) I   sin 2 xdx  0. 1 1 1   (1  cos 2 x)dx   x  sin 2 x    20 2 2 0 4.  2. 5)  (sin x  cos x ) 2 dx = 1  0.  2.  2.  2. 6) I   sin 2 x cos xdx  0.  2. 1 1 sin 2 x sin xdx    (cos3x  cos x )dx =  20 40 . 11 2 1   sin 3 x  sin x   43 0 3  2.  2. 7) I   cos 2 x sin 2 xdx  0.  2. 1 1  1  cos 4 x  cos 2 x 1  cos 2 x  dx    cos 2 x   dx  20 2 0 2 .  2. . 1 1 2   cos 2 x cos 4 x 1  1   dx  sin 2 x  sin 4 x  x       0  2 4 4 16 4 0 8 4  2.  2. 8) I   sin 2 x cos 2 xdx = 0. .  2.  2. 1 1 1 sin 2 x(1  cos 2 x) dx =  sin 2 xdx   sin 4 xdx =  20 20 40. . cos 2 x 2 cos 4 x 2   =0 4 0 16 0  2.  /2. . 1 11 1 2 9) I   sin 3x cos5 xdx = (sin8 x  sin 2 x ) dx = cos 2 x  cos8 x   =0 2 /2 22 6    2  2. 2.  2. . 1 11 1 2 10) I   sin 3x sin xdx     cos 4 x  cos 2 x  dx    sin 4 x  sin 2 x   0 20 2 4 2 0 0. Gv: Lê Hành Pháp.. Trang 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Trường T HPT Tân Bình.. ÔN THI TÍCH PHÂN.. . 11).  2. .  0. . 1  cos 2 xdx   2 cos x dx  2  cos xdx  2  cos xdx  0.  2. 0.     2 sin x 02  sin x    2 2 2  2. 12).  0 2. .  0. 2. 1  sin xdx .  0. x  2 cos    dx  2 2 4 3 /2. x   2 2 sin     2 4 0  2.  2. 0. 0. 2.   1  cos  x  dx  2  3 /2.  0.  0. x  2cos 2    dx 2 4 2. x  x  cos    dx  2  cos    dx 2 4 2 4 3 /2 2. x   2 2 sin    4 2  2 4  3 /2. 13) I   sin 3 xdx   sin x 1  cos 2 x  dx.  t 0 Đặt t  cos x  dt   sin xdx . Đổi cận 2 t 1 x0 x. 1. 1.  t3  2 Do đó I   (1  t )dt   t    3 0 3  0 2.  2.  2. 0. 0. 14) I   cos3 xdx   cos x 1  sin 2 x  dx.  t 1 Đặt t  sin x  dt  cos xdx . Đổi cận 2 t 0 x0 x. 1. 1.  t3  2 Do đó I   (1  t 2 )dt   t    3 0 3  0  3. 15). sin x dx 3 x.  cos 0.  1 t Đặt t  cos x  dt   sin xdx . Đổi cận 3 2 t 1 x0 x. 1. dt 1 Do đó I   3   2 2t 1 t 2. Gv: Lê Hành Pháp.. 1.  1 2. 3 2. Trang 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Trường THPT Tân Bình.. ÔN THI TÍCH PHÂN..  2. 16). cos x  sin 3 x dx 6.  t 1 2 Đặt t  sin x  dt  cos xdx . Đổi cận  1  t x 2 6 1 1 dt 1 3 Do đó I   3   2  2t 1 2 1 t x. 2. 2.  4.  4. . 4 tan x 1 1 2 17)  dx = tan xd (tan x ) = tan x = 0 cos 2 x 2 2 0 0. . . . . dx dx dx 1 x  18) I      d(  )  1  sin x 0 1  cos( x   ) 0 2cos 2 ( x   ) 0 cos 2 ( x   ) 2 4 0 2 2 4 2 4  x   t an     2  2 4 0  /2. 19) Tính I .  cos. 2. x sin 3 xdx .. 0. Đặt t = cosx  dt = –sinxdx và sin 2 x  1  cos 2 x  1  t 2 1. 1 1 x  / 2 t 0  t3 t5  2 Đổi cận: . Do đó I =  t 2 1  t 2  dt    t 2  t 4  dt       x0 t 1  3 5  0 15 0 0.  /2. 20) Tính I =.  cos. 3. x sin 2 xdx .. 0. Đặt t = sinx  dt = cosxdx và cos 2 x  1  sin 2 x  1  t 2 1. 1 1 x   / 2 t 1  t3 t5  2 Đổi cận:  . Do đó I =  t 2 1  t 2  dt    t 2  t 4  dt      x0 t 0  3 5  0 15 0 0.  /2. 21) Tính I .  cos. 5. xdx .. 0. Đặt t = sinx  dt = cosxdx và cos4 x  (1  sin 2 x) 2  1  2t 2  t 4. x   / 2 t 1 Đổi cận: . Do đó I =  x0 t 0  /2. 22) I . . sin 5 xdx . 0. 1. 1.  2t 3 t 5  8 0 1  2t  t  dt  t  3  5   15 0 2. 4. 8 15. Đặt t  cos x  dt   sin xdx và sin 4 x  (1  cos2 x) 2  1  2t 2  t 4 Gv: Lê Hành Pháp.. Trang 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Trường T HPT Tân Bình.. ÔN THI TÍCH PHÂN..  /2. 23) Tính I .  cos. 4. x sin 2 xdx . Ta có cos 4 x sin 2 x  cos 2 x sin 2 x cos 2 x. 0. 1  cos 2 x 2 1 1 1 1  sin 2 x  sin 2 x  cos 2 x sin 2 2 x  1  cos 2 x   cos 2 x sin 2 2 x 8 8 8 16 8  /2  /2 1 1 Do đó I  (1  cos 4 x )dx   cos 2 x sin 2 2 xdx  16 0 8 0 1  16.  /2.  0. 1 (1  cos 4 x ) dx  16.  /2.  sin. 2.  . 32. 2 xd (sin 2 x) . 0.  2. dx . cos x  sin x  1 0. 24) Tính I  . x 2t 1 t2 Đặt t  tan  sin x  và ; cos x  2 1 t2 1 t2 x   / 2 t 1 dx dx 2dt dt    dx  . Đổi cận:  . 2 x  0 t  0 2 x 1  cos x 1  t 2cos 2 1 1 2dt Do đó I =   ln 1  t 0  ln 2 2  2t 0  4.  4. cos x 1 dx dx  . 0 (tan x  1)3 cos2 x . (sin x  cos x )3 0. 25) I  . Đặt t  tan x  1  dt . x  / 4 t  2 dx . Đổi cận:  . x0 t 1 cos 2 x. 2. 2. dt 1 3 Do đó I =  3  2  t 2t 1 8 1  4.  4. 0. 0.  4.  4.  4. sin x d (cos x) dx   tan xd (tan x)   cos x cos x 0 0 0. 26) I =  tan 3 xdx   tan x 1  tan 2 x  dx   .  tan 2 x 4 1   ln cos x   (1  ln 2)  2 0 2  4. 27) I   tan 6 xdx 0. Đặt t  tan x  dt  (1  tan 2 x) dx hay dx  1. 6. 1. x   / 4 t 1 dt . Đổi cận: .  1 t2 x0 t 0 5. 3. 1.  4. t t  t dt 1  13    t4  t2 1 dt     t    du   2 2  1 t 1 t  15 4 5 3 0 0 0 0. Do đó I   Gv: Lê Hành Pháp.. Trang 13.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Trường THPT Tân Bình. ÔN THI TÍCH PHÂN. II >. CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT – ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG:  2. 1) (Đề dự trữ năm 2002 – Khối A). Tính I =. . 6. 1  cos3 x sin x cos5 xdx. 0.  t 1 Đặt t  1  cos x  dt  3cos x sin xdx . Đổi cận: . 2 t 0 x0 3. x. 2. 1. 1 1 1 7  1  6 76 6 136  1 16 1  16 12 6 Do đó I =  t 1  t  dt    t dt   t dt    t  t   . 30 30 13  0 91 0  3 7.  4. 1  2sin 2 x 2) (Đề thi ĐH năm 2003 – Khối B). Tính I =  dx . 1  sin 2 x 0  4.  4. cos 2 x 1 d (1  sin 2 x ) 1 I=  dx    ln 1  sin 2 x 1  sin 2 x 2 1  sin 2 x 2 0 0.  4 0. 1  ln 2 . 2. 2. 3) (Đề dự trữ năm 2004 – Khối D). Tính I =. . x sin xdx. 0 2. Đặt t  x  dt . t  x  dx . Đổi cận:  . t0 x0 2 x. . Do đó I = 2 t 2 sin tdt 0.  u  t  du  2tdt Đặt  . Do đó I = t 2 cos t  2  t cos tdt   2    2  0  dv  sin tdt v   cos t 0  /2 sin 2 x cos x 4) (Đề thi ĐH năm 2005 – Khối B). Tính I =  dx . 1  cos x 0 2.  /2. I=.  0. x  / 2 t 0 2sin x cos 2 x dx . Đặt t = cosx  dt = –sinxdx. Đổi cận:  . 1  cos x x0 t 1 1. 1. 1. t2 1   1 2  Do đó I = 2 dt  2  t  1   dt  2  t  t  ln t  1   2ln 2  1 1 t t 1 2 0 0 0  2. 5) (Đề thi ĐH năm 2005 – Khối A). Tính I =. sin 2 x  sin x dx . 1  3cos x 0. .  2. sin x (2cos x  1) 3sin xdx dx . Đặt t = 1  3cos x  dt   sinxdx = 1  3cos x 2 1  3cos x 0 x   / 2 t 1 2 2t 2  1 tdt và 2cos x  1  . Đổi cận:  3 3 x0 t 2. I=. . Gv: Lê Hành Pháp.. Trang 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Trường T HPT Tân Bình.. ÔN THI TÍCH PHÂN.. 2. 2. 2. 2  2t 2  1 2 2 2 34  Do đó I =   dt   (2t 2  1) dt   t 3  t    3 3  91 9 3  1 27 1  /2. 6) (Đề thi ĐH năm 2006 – Khối A). Tính I =. sin 2 x. . cos x  4sin 2 x. 0.  /2. I=. . 2sin x cos x 2. dx .. 2. dx . Đặt t = sin 2 x  dt = 2sinxcosxdx.. 1  3sin x x  / 2 t 1 Đổi cận:  . x0 t0 0. 1. Do đó I =.  0. 1. 1. dt 1 d (1  3t ) 2 2    1  3x  3 3 1  3t 3 0 1  3t 0.   sin  x   4  7) (Đề thi ĐH năm 2008 – Khối B). Tính I =  dx . sin 2 x  2(1  sin x  cos x ) 0  4.  4. 1 sin x  cos x dx . 2 0 2sin x cos x  1  2(sin x  cos x)  1 Đặt t = sinx + cosx  dt = –(sinx – cosx)dx và t 2 = 1 + 2sinxcosx.  x t 2 Đổi cận: . 4 t  1 x0 I=. 2 Do đó I = 2. 2.  1. dt 2  2 t  2t  1 2. 2.  1. dt 2 = 2 (t  1) 2. 2. d (t  1).  (t  1). 2. =. 1. 2. 2 1 43 2 .  2 t 11 4  6. tan 4 x 8) (Đề thi ĐH năm 2008 – Khối A). Tính I =  dx . cos 2 x 0.  3 x dt 1 t2 t Đặt t = tanx  dx = và cos2x = . Đổi cận: 6 3 . 1 t2 1 t2 x0 t 0 3 3. Do đó I =. t. 3 3. 4.  1 t. 2. dt . 0. . 3 3 1 1 t   ln 27 3 2 1 t. Gv: Lê Hành Pháp.. .   t. 3. 2. 0. 3 3.  0. 1 . 3 3.  t  1  1 dt     t   2  1 t  2  3 0. 3 3.  1. 1 .   1  t  1  t  dt. =. 0. 10 3 1 3  3 1 10 3  ln  ln(2  3)  27 2 3 3 2 27. Trang 15.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Trường THPT Tân Bình.. ÔN THI TÍCH PHÂN.  2. sin 2 xdx 3  4sin x  cos 2 x 0. 9) (Đề dự trữ năm 2008 – Khối A). Tính I    2.  2. sin 2 xdx sin x cos xdx  . 3  4sin x  cos 2 x 0 (sin x  1) 2 0. I .  t 1 Đặt t = sinx  dt = cosxdx. Đổi cận: . 2 t 0 x0 x. 1. 1. 1. 1. 1 tdt dt dt 1 1 Do đó I =     ln t  1 0   ln 2  2 2 (t  1) t  1 0 (t  1) t 1 0 2 0 0.  /2. 10) (Đề thi ĐH năm 2009 – Khối A). Tính I =.   cos. 3. x  1 cos 2 xdx .. 0.  /2.  /2.  (cos. I=. 5. 0. 2. x  cos x )dx .  1  sin x  2.  /2. cos xdx . 0.  /2. . 2. (1  2sin 2 x  sin 4 x )d (sin x ) . 0.  /2.  cos. 1 2.  0. dx . 1 2.  /2.  cos 2 xdx = 0.  /2. = 1  4. 11) (Đề thi ĐH năm 2011 – Khối A). Tính tích phân.  0.  4. I   dx   0.  4. 0. xdx =. 0.  /2.  sin 3 x sin 5 x  1 1  sin x  2    x  sin 2 x    3 5 0 2 2 0 .  4. 2. 2 1  8      3 5 4 5 4. x sin x  ( x  1) cos x dx x sin x  cos x. x cos x dx x sin x  cos x.  4.   2  d ( x sin x  cos x )     x  ln x sin x  cos x  4   ln   1  0 x sin x  cos x 4  0  2 4.   dx   0. Gv: Lê Hành Pháp.. Trang 16.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Trường T HPT Tân Bình.. ÔN THI TÍCH PHÂN.. D ) PHẦN LOGARIT & MŨ. I >. CÁC DẠNG CƠ BẢN: 1 1 1 2 x1 e 1 e2  1 2 x 1 1) I   e dx  e    2 2 2 e 2e 0 0 1. 1 3 x 1. 2) I   2 0. 1 23 x 1 1 4 1  dx  .     3 ln 2 0 3  ln 2 2ln 2 . 1. 1. 1. (2e) x 2e  1 3) I   2 .e dx   (2e) dx   ln(2e) 0 1  ln 2 0 0 x. x. x. 1. 1. 1.  6x  5  ln 6 4) I   2  2  3  dx   1  6  dx   x    ln 6  0 ln 6  0 0 x. x. ln 2. 5) I .  0. x. x. e 2 x1  1 dx = ex. 1. ln 2. e. ln 2 x 1. 0. dx . e. x. dx = e x1. ln 2 0.  e x. ln 2 0. = 2e  e . 0. 1 1  1= e  2 2. 1. 1. 1 1 e2 x  1  6) I   x dx    e x  e  x  dx   e x  x   e   2 e e 0 e  0 0 ln 2.  e. 7) I . x. 4.  1 e x dx. 0. Đặt t  e x  dt  e x dx . Đổi cận. x  ln 2 t2  x0 t 1. 2. 2. (t  1)5 211 Do đó I   (t  1) dt   5 1 5 1 4. 1. e x (1  x) 8) I =  dx . Đặt t = 1+ x e x  dt = ( e x + x e x )dx. x 1  xe 0 x 1 t 1 e Đổi cận  . Do đó I = x0 t 1. 1 e.  1. dt 1 e  ln t 1  ln(1 + e). t. 2. 9) I =.  xe. x2. dx . Đặt t = x 2 , dt = 2xdx.. 1 4 4 x2 t4 1 t 1 t e4  e Đổi cận:  . Do đó I =  e dt = e = x 1 t 1 21 2 1 2 ln 3. 10) I =. ln 3. ln 3. dx e x dx e x dx   ln 2 e x  e x  2 ln2 (e x )2  2e x  1 ln2 (e x  1)2 .. Đặt t  e x  1  dt  e x dx . Đổi cận: 2. x  ln 3 t2 .  x  ln 2 t 1. 2. dt 1 1 Do đó I =  2    t t1 2 1 Gv: Lê Hành Pháp.. Trang 17.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Trường THPT Tân Bình. e. ÔN THI TÍCH PHÂN.. ln x dx dx dx . Đặt t  ln x  dt  hay  2tdt x x 2 x ln x. 11) I   1. 1. 1 xe t 1 2t 3 2 2 Đổi cận . Do đó I   2t dt    x 1 t 0 3 0 3 0 e2. 12) I   e. t2 x  e2 dx dx . Đặt t  ln x  dt  . Đổi cận  . x ln x x t 1 xe 2. dt 2  ln t 1  ln 2 t 1. Do đó I   e3. dx dx dx . Đặt t  1  ln x  dt  hay  2dt . x 1  ln x 2 x 1  ln x x 1  ln x 1 2 2 t2 x  e3 2 Đổi cận  . Do đó I   2dt  2 dt  2t 1  2 t 1 x 1 1 1. 13) I  . e3. 14) I   1. 1  ln xdx dx dx . Đặt t  1  ln x  dt  hay  2tdt . x x 2 x 1  ln x 2. 2 2 t2 x  e3 2t 3 14 2 2 Đổi cận . Do đó I   2t dt  2 t dt    t 1 3 1 3 x 1 1 1. e3. 1  ln xdx dx dx . Đặt t  1  ln x  dt  hay  2tdt x ln x x 2 x 1  ln x e t2 x  e3 Đổi cận  . xe t 2. 15) I  . 2. 2. 2t 2 1   Do đó I   2 dt  2   1  2  dt  t  1 t  1   2 2.  t 1   2t  ln t  1    ln 8. 16) I . x. ln 8. e. ln 8. 17) I .  ln 3. 2. 2. . Đặt t  1  e x  dt . e x dx x. e x dx 2 1 e. 1 e x  ln8 t  3 Đổi cận .  x  ln 3 t  2. ln 3. 1 .  4  2 2  ln(9  6 2). ln 3. Do đó I . 1. .   2  t  1  t  1  dt =. 2. dx. . 2. 3. 3. x. 3. hay e x dx  2tdt. 3. 2tdt dt 1  t 1 3  1  2  2 2    dt  ln  ln  t 1 2  t 1 t  1 t 1 2 2 1  e x 2 (t  1)t 2 ln 8. ex 1  ex 1  e dx   dx . ex ln 3 x. Đặt t  1  e x  dt . e x dx 2 1 e. Gv: Lê Hành Pháp.. x. hay e x dx  2tdt Trang 18.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Trường T HPT Tân Bình.. ÔN THI TÍCH PHÂN.. x  ln8 t  3  . Do đó x  ln 3 t  2. Đổi cận 3. 3. 3. 3. 2t 2 dt t2 11 1 1   t 1  3  I  2  2 2 dt    2    2  ln  dt   2t  ln  t 1 t 1 t 1 t 1  t 1  2 2  2 2 2 ln 2. 18) I .  0. dx  x e (2  e  x ). ln 2.  0. dx  2e x  1. Đặt t  e x  dt  e x dx . Đổi cận 2. ln 2.  0. e x dx e x (2e x  1). x  ln 2 t2  x0 t 1 2. 2. dt 2  t 6 1 Do đó I       ln  dt  ln t (2t  1) 1  t 2t  1  2t  1 1 5 1 ln 2. 19) I .  0. ex ex  1 dx ex  5 e x dx. Đặt t  e x  1  dt . x. hay e x dx  2tdt và e x  5  t 2  4. 2 e 1 x  ln 2 t  1 Đổi cận  . x0 t 0 1. 1. 1. t 2 dt 4  1 1     2 1  2   dt  2  1   dt  2 t  4 t  4 t  2 t  2     0 0 0. Do đó I  2 . 1.  t2  2  t  ln  2  2ln 3 t  2  0  ln 3. 20) I . e. ln 2. e 2 x dx x. 1  ex  2. e x dx. Đặt t  e x  2  dt . x. hay e x dx  2tdt và e x  t 2  2  e x  1  t 2  1. 2 e 2 1 1 x  ln 3 t 1 (t 2  2)tdt 2t  1   Đổi cận  . Do đó I  2  2  2  t  1  2  dt = x  ln 2 t 0 t  t  1 t  t  1   0 0 1. 1. 1.  t2  d (t 2  t  1) 2 (t  1) dt  2 2  2   t  ln t 2  t  1   2ln 3  1 t  t 1 2 0 0 0 ln 2. 21) I . . ln 2 x. e  1dx . 0.  0. ex ex 1 dx . ex. Đặt t  e x  1  dt  1. e x dx 2 ex  1 1. hay e x dx  2tdt . Đổi cận. x  ln 2 t 1  x0 t 0. 1. t 2 dt 1  dt    2  1  2 Ñaët t  tan x   2   dt  2  2  2 2  t 1 t 1 1 t 2 0 0 0. Do đó I  2 . Gv: Lê Hành Pháp.. Trang 19.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Trường THPT Tân Bình. ÔN THI TÍCH PHÂN. II >. CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT – ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG: ln 5 (e x  1)e x dx 1) (Đề thi TN.THPT năm 2006. Tính tích phân I =  . ex  1 ln 2. e x  1  e x  t 2  1  e x dx  2tdt . 2 2 x  ln 5 t2 26 1 3  2 Đổi cận:  . Do đó I = 2 (t  2) dt  2  t  2t   x  ln 2 t  1 3 1 3 1 Đặt t =. e. ln 2 x 2) (Đề thi TN.THPT năm 2007. Tính tích phân I =  dx . x 1 1. 1 xe t 1 dx 1 1 Đặt t = lnx  dt = . Đổi cận: . Do đó I =  t 2 dt  t 3   x x 1 t 0 3 0 3 0 e. 4  5ln x dx . x. 3) (Đề thi TN.THPT năm 2011). Tính tích phân I   1. 5dx dx 2 Đặt t  4  5ln x  dt  hay  tdt x 5 2 x 4  5ln x 3. 3 xe t 3 2 2 2t 3 38 Đổi cận: . Do đó  I   t dt    x 1 t2 5 15 2 15 2 ln 2. 4) (Đề thi TN.THPT năm 2012). Tính tích phân I .  e. x. 2.  1 e x dx .. 1. Đặt t  e x  dt  e x dx . Đổi cận. x  ln 2 t  2  x 1 te. 2. 2. (t  1)3 1 (e  1) 3 1 Do đó I   (t  1) dt      2  3e  3e 2  e3  3 e 3 3 3 e 2. ln 3. 5) (Đề dự trữ năm 2002 – Khối B). Tính I =.  0. Đặt t  e x  1  dt  e x dx . Đổi cận: 4. e x dx (e x  1) 3. x  ln 3 t  4  x0 t2. 4. 3 2. 2 Do đó I =  t dt   1  2 t 2 2 . ln 5. 6) (Đề dự trữ năm 2003 – Khối B). Tính I =. . e 2 x dx. ex 1 x  ln 5 t2 e x dx Đặt t  e x  1  dt  . Đổi cận:  . x  ln 2 t 1 2 ex  1 ln 2. 2. 2.  t3  20 Do đó I = 2  t  1 dt  2   t   3 1 3 1 2. Gv: Lê Hành Pháp.. Trang 20.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> Trường T HPT Tân Bình.. ÔN THI TÍCH PHÂN. ln 5. e. 7) (Đề thi ĐH năm 2006 – Khối B). Tính I =. x. ln 3 ln 5. I=. e. ln 3. dx .  2e  x  3. x. 2x. x  ln 5 t  5 e dx . Đặt t = e x  dt = e x dx. Đổi cận: .  x  3e  2 x  ln 3 t  3 5. 5. 5. 5. dt dt dt t 2 3 Do đó I =     ln  ln (t  1)(t  2) 3 t  2 3 t  1 t 1 3 2 3 3. 8) (Đề thi ĐH năm 2009 – Khối D). Tính I =. e 1. x  3 t  e3 Đổi cận:  . Do đó I = x 1 te. e3. dx . Đặt t = e x  dt = e x dx. 1. x. e3. e3. dt 1 t 1  1 e t (t  1)  e  t  1  t  dt  ln t = e. ln(e3  1)  ln e3  ln(e  1)  ln e  ln(e 2  e  1)  2 e. 9) (Đề thi ĐH năm 2010 – Khối B). Tính I = Đặt t = 2 + lnx  dt = 3. ln x 1 x(2  ln x)2 dx .. xe t 3 dx . Đổi cận: .  x x 1 t2 3. 3. t 2 2 3 1 1 2   Do đó I =  2 dt     2  dt  ln | t |    ln  t t t  t2 2 3  2 2 1. 10) (Đề thi ĐH năm 2010 – Khối A). Tính I = 1. x 2  e x  2 x 2e x I=  dx = x 1  2 e 0. x 2  e x  2 x 2e x 0 1  2e x dx .. 1. 1  2 x 2 (1  2e x )  e x ex  dx  x  0 1  2e x 0  1  2e x  dx. 1. 1. 1  1 1 1  2e 1 d (1  2e x )  x 3 1 =  x dx   =   ln(1  2e x )    ln x 2 0 1  2e 3 3 2 0 3 2 0 2. Gv: Lê Hành Pháp.. Trang 21.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> Trường THPT Tân Bình.. ÔN THI TÍCH PHÂN.. E ) TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN. I >. CÁC DẠNG CƠ BẢN: e. 1) I   ln xdx . 1. dx  e u  ln x  du  e e Đặt   x . Do đó I  x ln x 1   dx   x ln x  x  1  1 dv  dx v  x 1  e. e 2. 2) K   ln x dx  2  ln xdx  2 I  2 . 1 e. 1. 3) J   ln 2 xdx . 1. 2ln xdx  e u  ln 2 x du  e 2 Đặt   x . Do đó J  x ln x 1  2  ln xdx  e  2 I  e  2 dv  dx  1 v  x e. 4) I   x ln xdx . 1. dx  e e du  e   x2 u  ln x x2 1 x2  e2  1  x Đặt  . Do đó I =  ln x  xdx  ln x     2 2 2 1 4 1 4  dv  xdx v  x  2 1  2 2. 5) I   (2 x  1)ln xdx 1. dx  u  ln x du  Đặt   x . dv  (2 x  1) dx  v  x 2  x  2. 2. 2   Do đó I  ( x  x)ln x   ( x  1) dx  ( x 2  x)ln x  x  x   ln 4  1 1 2 2  1 1 2. 2. 2. 6) I   x 5 ln xdx 1. dx  du   u  ln x  x Đặt  .  5 6 dv  x dx x  v   6 2. 2. 2. 1 1 1  1 32 7 Do đó I = x 6 ln x   x 5dx = x 6  ln x   = ln2 – 6 61 6  6 1 3 4 1. Gv: Lê Hành Pháp.. Trang 22.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> Trường T HPT Tân Bình.. ÔN THI TÍCH PHÂN.. 1. 7) I   xe x dx . 0 1 u  x  du  dx 1 x 1 Đặt  . Do đó I = xe   e x dx  ( x  1)e x  1 .  x x 0 0  dv  e dx v  e 0 1. 8) I   ( x  1)e x dx 0 1 u  x  1  du  dx 1 1 x1 x x x Đặt  . Do đó I = = =e  ( x  1) e  e dx ( x  1) e  e   x x 0 0 0 dv  e dx v  e   0. 1. 9) I   ( x 2  2 x  1)e  x dx 0. u  x 2  x  1 du  (2 x  1) dx Đặt   . x x  v  e  dv  e dx x. 1. 1. Do đó I =  e ( x  2 x  1)   (2 x  1)e  x dx = –1 2. 0. 0.  2. 10) I   x cos xdx 0.   u  x du  dx  2 Đặt   . Do đó I  x sin x 0  cos x 02   1 2  dv  cos xdx v  sin x  /2. 11) I .  ( x  1)sin xdx 0. u  x  1  du  dx Đặt  .   dv  sin xdx v   cos x  2.  2 0. . . Do đó I   ( x  1)cos x   cos xdx  ( x  1) cos x 02  sin x 02 = 1+ 1 = 2 0.  4. 12) I   x cos 2 xdx 0. du  dx u  x  Đặt   1  dv  cos 2 xdx v  sin 2 x  2  4.  4. . . 4 4  1 1 1 1 1 Do đó I  x sin 2 x   sin 2 xdx = x sin 2 x  cos 2 x =  2 20 8 4 2 4 0 0 0. Gv: Lê Hành Pháp.. Trang 23.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> Trường THPT Tân Bình.. ÔN THI TÍCH PHÂN..  2. 13) I   x 2 cos xdx 0. u  x 2 du  2 xdx Đặt    dv  cos xdx v  sin x  2.  2 0.  2 0.  2 0.  2. Do đó I  x 2 sin x  2  xd (cos x ) = x 2 sin x  2 x cos x  2  cos xdx = 0.  2 0. 0.  2 0. x 2 sin x  2 x cos x  2sin x.  2 0. 2. =.  –2 4.  2. 14) I   e x sin xdx . 0.  2.  u  sin x du  cos xdx x x Đặt  . Do đó I = e sin x   e cos xdx  e 2  J .  x x dv  e dx v  e   0 Tính J: u  cos x  du   sin xdx Đặt    x x  dv  e dx v  e  2 0.  2.  2.  2 0.  J   e x cos xdx  e x cos x   e x sin xdx  1  I 0. 0.  2.  2. Vậy I  e  ( 1  I )  I   2. 15). e 1 2.  2. u  x.  du  dx.  4 x sin x cos xdx   2 x sin 2 xdx . Đặt dv  2sin 2 xdx  v   cos 2 x 0. 0.  2.  2 0.  2. Do đó  2 x sin 2 xdx   x cos 2 x   cos 2 xdx  0. 0.  2.  1     sin 2 x   2 2 0 2.  2. u  e  x du  e  x dx 16) H =  3e sin 3 xdx . Đặt   dv  3sin 3 xdx  v   cos3x 0 x.  2 0. x.  2 x. x.  2 0. H = e cos3 x   e cos3 xdx = e cos3x  I 0.  2. u  e  x  du  e  x dx Với 3I =  3e cos3 xdx . Đặt   dv  3cos3 xdx  v  sin 3 x 0 x. Gv: Lê Hành Pháp.. Trang 24.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> Trường T HPT Tân Bình.. ÔN THI TÍCH PHÂN.  /2.  2 0. x. và 3I = e sin 3 x . e. x. sin 3 xdx. 0.  2. . . 2 2 3 1 3 1  Do đó H =  3e  x sin 3 xdx =  e  x cos3 x  e  x sin 3 x   e 2 4 4 4 4 0 0 0. 1. 1. 1. 1. 1 1 1 17)  ( x  2)e dx   ( x  2) d (e 2 x )  ( x  2)e 2 x   e 2 x dx  20 2 20 0 0 2x. 1. 1. 1 1 5  3e 2 ( x  2)e 2 x  e 2 x  2 4 4 0 0 1. 1. 1 1  1 1 1 1 1  18)  xe dx   xd (e3 x )   xe3 x   e3 x dx    xe3 x  e 3 x   0 30 3 3 0 0 0  3 3x. 1. 1 3x  1 e  x    2e3  1 3  3 0  /6.  /6.  /2. 21).  1 ( x  2)d (cos3 x )  ( x  2)cos3 x 06  3.  /6.  5 cos3 xdx  0 0 0  9 1 1 1 1  x 2 1   2 x 1  2 x 2 x x  2 xd  e  x   = 20)  x e dx    x d  e     e x  2 xe dx     x e 0 0 0 0  0   0  1 1 1   1 5   x 2e x  2 xe x   2 e x dx    x  x 2  2 x  2   2  0 e e 0  0  19). 1 (2  x )sin 3 xdx  3.  /2. x. 2. 2. 2.  2 0.  /2. sin xdx    x d  cos x    x cos x  2  x cos xdx . 0. 0. 0.  /2.  2 0.  2.  x cos x  2  xd  sin x     x cos x  2 x sin x  2cos x     2 2. 2. 0. 0. 1. 1 1  1 1 1 2 2 2x 2x   2 xe2 x dx  22)  ( x  1)e dx   ( x  1) d  e    ( x  1)e 0 20 2 0 0  2. 2x. 1 1 1  1 2  1 1 2 2x 2x 2x 2x   ( x  1)e   xd  e     ( x  1)e  xe    e2 x dx   0 0 2 0  2 0  1. 1 2x  2 3 3 e  x  x    (e 2  1) 2  20 4  2.     2 1 1  2x 2x 2x 2 x 23)  e cos3xdx   cos3xd  e    e cos3x 2  3 e sin 3xdx  0 20 2 0 0       2 1  2x 3 2 x   e cos3x 2   sin 3xd  e   0 2 20  . Gv: Lê Hành Pháp..  2. Trang 25.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> Trường THPT Tân Bình.. ÔN THI TÍCH PHÂN.  2.  2. 1 3 9    e 2 x cos3x  e 2 x sin 3x    e 2 x cos3xdx = 2 2 0 4 0  2. . 2  3e 9 2x 3e  2    e cos x3xdx  4 40 13 II >. CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT – ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG:  2. 1) (Đề thi TN.THPT năm 2005). Tính tích phân I =  ( x  sin 2 x) cos xdx . 0.  2. I=.  2.  x cos xdx   cos x sin 0. 2. xdx  J  K .. 0. u  x du  dx Tính J: Đặt   nên  dv  cos xdx v  sin x  2.  2 0. . .  1 2 0  t 1 x Tính K: Đặt t = sinx  dt = cosxdx. Đổi cận: . 2 t 0 x0 J   x sin x    sin xdx   x sin x  02   cos x  02 . 1. 1. t3 1 Do đó K =  t dt   . 30 3 0 2. Vậy I =.  2  2 3 1. 2) (Đề thi TN.THPT năm 2006). Tính tích phân I =  (2 x  1)e x dx . 0. u  2 x  1 du  2dx Đặt  . Do đó I =  x x dv  e dx v  e 1. x 1. x. 1. 1. x x  (2 x  1)e dx  (2 x  1)e  0  2 e dx  3e  1  2e 0  3e  1  2e  2  e  1 0. 0. e. x2  1 3) (Đề dự trữ năm 2003 – Khối D). Tính I =  ln xdx x 1 dx  du  u  ln x   x 2 Đặt   nên x 1  2 x dv   v   ln x x   2 e. e e  x2  1 1 e2  3 I = ln x   ln x    xdx   ln xdx  x 4  2 1 2 1 1. Gv: Lê Hành Pháp.. Trang 26.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> Trường T HPT Tân Bình.. ÔN THI TÍCH PHÂN. 3. 4) (Đề thi ĐH năm 2004 – Khối D). Tính I =  ln( x 2  x )dx . 2. 2x  1  3 3 u  ln( x 2  x )  du  2 dx 2x 1 2 Đặt   dx  x  x . Do đó I = x ln  x  x    2 x  1 dv  dx  2 v  x 3 3 3 1   2 2   x ln  x  x     2  dx  x ln x  x  2 x  ln x  1      2  3ln 3  2 2 x  1   2 2. 5) (Đề dự trữ năm 2004 – Khối D). Tính I =. . x sin xdx. 0.  t  x 2 dx Đặt t  x  dt  . Đổi cận: . Do đó I = 2  t 2 sin tdt  t 0 x0 2 x 0  u  t 2  du  2tdt 2 Đặt  . Do đó I = t cos t  2  t cos tdt   2    2  0  dv  sin tdt v   cos t 0 1. 6) (Đề thi ĐH năm 2006 – Khối D). Tính I =  ( x  2)e 2 x dx . 0. du  dx u  x  2  Đặt   1 2 x Nên I = 2x  dv  e dx v  e  2 1. 1. 1. 1. 1 2x 1 2 1 2 1 5  3e 2  x  2 2x   x  2 2x  1 2x  e  e dx  e  e   e  1  e  =   2   2   4  2 2 4 4 4 0 0 0 0 e. 7) (Đề thi ĐH năm 2007 – Khối D). Tính I =  x3 ln 2 xdx . 1. 1  du  dx  u  ln x  x Gọi J =  x3 ln xdx . Đặt   3 4  dv  x dx v  x 1  4 e. e. e. e. e. x4 x4 x4 e 4 e 4 1 3e 4  1 J= ln x   x3dx  ln x  =    4 4 4 4 16 16 16 1 1 1 1 2ln x  du  dx  u  ln x  x 3 2 I =  x ln xdx . Đặt   4 3 dv  x dx  1 v  x  4 2. e. e. e. x4 2 1 e 4 1 3e 4  1 8e 4  3e 4  1 5e 4  1 Do đó I = ln x   x 3 ln xdx =  .   4 2 4 2 16 32 32 1 1. Gv: Lê Hành Pháp.. Trang 27.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> Trường THPT Tân Bình.. ÔN THI TÍCH PHÂN. 2. 8) (Đề thi ĐH năm 2008 – Khối D). Tính I =. ln x dx . 3 x 1. . u  ln x du  2dx   Đặt   1 1  dv  x 3 dx v  2 x 2 2 2 2 2 ln x 1 dx ln x 1 ln 2 ln1 1 1 3  2ln 2 Do đó I =  2   3 =  2  2 =      . 2x 1 2 1 x 2x 1 4 x 1 8 2 16 4 16 3. 9) (Đề thi ĐH năm 2009 – Khối B). Tính I =. 3  ln x 1 ( x  1)2 dx .. 1  u  3  ln x du  dx    x Đặt   1 dv  ( x  1) 2 dx v  1  x 1  3. 3. 3. 3. 1 dx 3 1 dx dx Do đó I = = (3  ln x )     ln 3     x 1 x ( x  1) 4 4 x x  1 1 1 1 1 3. 3 1 x 3 1 3 1 3 1 3 1 27   ln 3  ln =  ln 3  ln  ln   ln 3  ln   3  ln  4 4 x 1 1 4 4 4 2 4 4 2 4 16  e. 3  10) (Đề thi ĐH năm 2010 – Khối D). Tính I =   2 x   ln xdx x 1 1  u  ln x e e 3   du  dx   2 Đặt  . Do đó I =  x  3ln x  ln x    x  ln x  dx x 3 1 x  1 dv  2 x  x v  x 2  3ln x  e. e e   x2 ln 2 x  e2  e  3    xdx  3 ln xd (ln x)  = e 2  3    3  1  2 2 2  1 1 1  2.  3. 1  x sin x dx 2 cos x 0. 11) (Đề thi ĐH năm 2011 – Khối B). Tính tích phân I    3.  3.  3 0.  3.  3. dx x sin xdx x sin xdx x sin xdx    tan x     3 2 2 2 cos x 0 cos x cos x cos 2 x 0 0 0. I . u  x  du  dx   Đặt  sin xdx   1 I= dv  v    cos 2 x cos x  3. 2 cos xdx 3  2 = 3 0 sin x  1. Gv: Lê Hành Pháp..  3. 3 0. x sin xdx = cos 2 x. 2 1 sin x  1 3  ln 3 2 sin x  1.  3. = 0. 3. 3.  3.  3. x dx  = cos x 0 0 cos x. 2 1 2  3  ln 3 2 2 3. Trang 28.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> Trường T HPT Tân Bình.. ÔN THI TÍCH PHÂN.  4. 12) (Đề thi ĐH năm 2012 – Khối D). Tính tích phân I   x(1  sin 2 x )dx 0.  4.  4.  2 4. x I   x (1  sin 2 x) dx    x  x sin 2 x  dx  2 0 0. 0.  4. 2   x sin 2 xdx  J 32 0.  du  dx u  x  Tính J: Đặt   . 1  dv  sin 2 xdx v   cos 2 x  2  4.  4. . 1 1 1  1 4 1 Do đó J   x cos 2 x   cos 2 xdx    x cos 2 x  sin 2 x   2 20 4  2 0 4 0 Vậy I =. 2 1  32 4 3. 1  ln( x  1) dx 2 x 1. 13) (Đề thi ĐH năm 2012 – Khối A). Tính tích phân I   3. 3. 3. 3. 1  ln( x  1) ln( x  1)  1 ln( x  1) 2  I  dx    x 2  dx   J  dx     2 2 2 x x x1 1 x 3  1 1. dx  u  ln( x  1)  du    x 1 Tính J: Đặt   dx  dv  x 2 v   1  x 3 3 3 1 dx 1 1  1 Do đó J   ln( x  1)    ln 2  ln 4      dx  x x ( x  1) 3 x x 1 1 1 1 3. 1 x 2 ln 2  ln 4  ln  ln 3  ln 2 3 x 1 1 3 2 2 Vậy I   ln 3  ln 2 3 3. Gv: Lê Hành Pháp.. Trang 29.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> Trường THPT Tân Bình.. ÔN THI TÍCH PHÂN.. F ) DIỆN TÍCH & THỂ TÍCH. I >. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG: 1) Tính diện tích hình (H) giới hạn bởi các đường y  x 3  3 x 2  x  3 , trục hoành và 2 đường x = –2; x = –1.. 1. Theo công thức tính diện tích, ta có S( H ) . x. 3.  3x 2  x  3 dx .. 2. Theo bảng xét dấu: 1. 1.  x4  x2 7 3 S( H )    x  3x  x  3 dx    x   3x   (đvdt) 2 4  2 4 2 2) Tính diện tích hình (H) giới hạn bởi các đường y  x3  3x 2  x  3 , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = –2. 3. 2. 0. Diện tích S( H ) . x. 3.  3x 2  x  3 dx .. 2. Theo bảng xét dấu: 1. S( H ) .  x. 0 3.  3x  x  3 dx    x3  3x 2  x  3 dx  2. 2. 1. 7 7 14   (đvdt) 4 4 4. 3) Tính diện tích hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x3  3x 2  x  3 với trục hoành. Hoành độ giao điểm của đồ thị với đường y = 0 là x 3  3 x 2  x  3  0  x  3, x  1, x  1 . 1. Diện tích S( H ) . x. 3.  3x 2  x  3 dx .. 3. Theo bảng xét dấu: 1. S( H ) . 1. 3 2 3 2   x  3x  x  3 dx    x  3x  x  3 dx  4  4  8 (đvdt) 3. Gv: Lê Hành Pháp.. 1. Trang 30.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> Trường T HPT Tân Bình.. ÔN THI TÍCH PHÂN.. 4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y   x 4  2 x 2  3 và. y  4 x2 .. Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là  x 4  2 x 2  3  4 x 2  x 4  2 x 2  3  0  x  1 . 1. Diện tích S( H ) .  x. 4.  2 x 2  3 dx .. 1. 1. 1.  x5 2 x3  64 Theo bảng xét dấu. S( H )     x 4  2 x 2  3 dx      3 x   (đvdt). 3  5  1 15 1 1 3 5) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y  x , y  x  và trục hoành. 2 2 Theo biến y, phương trình tung độ giao điểm của hai đồ thị là y 2  2 y  3 ( y  0)  y  3 . 3. Diện tích S( H )   y 2  2 y  3 dy . 0. Theo bảng xét dấu:. 3. 3. S( H ).  y3      y  2 y  3 dy     y 2  3x   9 (đvdt) 3 0 0. Gv: Lê Hành Pháp.. 2. Trang 31.

<span class='text_page_counter'>(32)</span> Trường THPT Tân Bình. 6) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: a) y = x 2 , y = x + 2 b) y = |lnx|, y = 1 c) y = ( x  6) 2 , y = 6x – x 2 . Hướng dẫn: a) Hoành độ giao điểm của hai đường là x = –1 và x = 2. 2. ÔN THI TÍCH PHÂN.. 2. 2.  x3 x 2  9 Do đó: S   x  x  2 dx    ( x  x  2)dx      2 x   3 2  1 2 1 1 1 b) Hoành độ giao điểm của hai đường là x = và x = e. e e 1 e 1 Do đó: S   1  ln x dx   (1  ln x) dx   (1  ln x )dx =  e – 2 e 1 1 1 2. 2. e. e. c) Hoành độ giao điểm của hai đường là x = 3 và x = 6. Do đó 6. 6 2. S   x  9 x  18 dx    ( x 2  9 x  18) dx  9 3. 3. 7) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x 2 + 1, tiếp tuyến với đường này tại M(2; 5) và trục Oy. Hướng dẫn: Phương trình tiếp tuyến là y = 4x – 3. Hoành độ giao điểm của hai đường là x = 0 2 6 8 2 và x = 2. Do đó S   x  1  4 x  3 dx    ( x 2  4 x  4) dx  3 0 3 8) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = sinx + 1, trục hoành, x = 0 7 và x = 6 7 /6 7 3 Hướng dẫn: S   (sin x  1) dx =  1 6 2 0 9) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: a) Đồ thị hàm số y = cos 2 x , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = π b) Đồ thị hai hàm số y = x và y = 3 x c) Đồ thị hai hàm số y = 2 x 2 và y = x 4 – 2 x 2 trong miền x  0 Hướng dẫn:   a) S =  cos 2 xdx = 2 0 b) Hai đường cong x = y 2 và x = y 3 giao nhau tại y = 0, y = 1. Trên khảng (0; 1) ta có y 2 – y 3 > 0 nên 1. 1.  y3 y 4  1 1 1 S    y  y  dy =    =   4  0 3 4 12 3 0 2. Gv: Lê Hành Pháp.. 3. Trang 32.

<span class='text_page_counter'>(33)</span> Trường T HPT Tân Bình. ÔN THI TÍCH PHÂN. c) Trong miền x  0, hai đường cong trên giao nhau tại x = 0 và x = 2. 2 64 4 2 2 Trên khảng (0; 2), ta có x – 2 x – 2 x < 0 nên S    4 x 2  x 4  dx  15 0 10) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: a) Đồ thị các hàm số y = x 2 – 4, y = – x 2 – 2x và hai đường thẳng x = –3, x = –2 b) Đồ thị hai hàm số y = x 2 – 4, y = – x 2 – 2x c) Đồ thị hàm số y = x3 – 4x, trục hoành, đường thẳng x = –2, x = 4. Hướng dẫn: a) Trên khoảng (–3; –2), ta có ( x 2 – 4) –( – x 2 – 2x) > 0 nên 2 11 S    x2  4  x2  2 x  = 3 3 b) Hai đường cong y = x 2 – 4, y = – x 2 – 2x giao nhau tại x = –2, x = 1 Trên khoảng (–2; 1), ta có ( x 2 – 4) – (– x 2 – 2x) < 0 nên 2. S   ( x 2  2 x  x 2  4)dx = 9 2 4. c) S . . 0. x 3  4 x dx =. 2. 2. 4. 3 3 3   x  4 x  dx    x  4 x dx    x  4 x dx = 44 2. 0. 2. 11) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:. x2 a) Đồ thị các hàm số y = x, y = 1 và y = trong miền x  0, y  1 4 b) Đồ thị hàm số y = x 4 – 4 x 2 + 4, y = x 2 , trục tung và đường thẳng x = 1 c) Đồ thị các hàm số y = x 2 , y = 4x – 4 và y = –4x – 4. Hướng dẫn:. a) (Hình) Trong khoảng (0; 1), ta có 1 – x > 0 và trong khoảng (0; 2), ta có 2. 2  x2   x3  4 x2 1 – > 0 nên S1   1  dx =  x    và 4 12  0 3 4  0 1. 1.  x2  1 S 2   (1  x) dx =  x    . Ta có S  S1  S 2 = 5/6. 2 0 2  0 b) Trong khoảng (0; 1), ta có 1 38 4 2 2 x – 4 x + 4 – x > 0. Do đó S =   x 4  5 x 2  4  dx  15 0. Gv: Lê Hành Pháp.. Trang 33.

<span class='text_page_counter'>(34)</span> Trường THPT Tân Bình.. ÔN THI TÍCH PHÂN.. 0. c) (Hình) S . 2.  x. 2. 16 3.  4 x  4  dx    x 2  4 x  4  dx =. 2. 0. 12) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: a) Đồ thị hai hàm số y = x 2 + 1 và y = 3 – x b) Các đường x = y 3 , y = 1 và x = 8 c) Đồ thị hai hàm số y = Hướng dẫn:. x , y = 6 – x và trục hoành. 1. a) Hai đường cong giao nhau tại x = 1 và x = –2. Ta có S   (2  x  x 2 ) dx  2 8. b) S   ( 3 x  1) dx  1. 17 ; 4. 4. c) (Hình) S   xdx  2  0. 9 2. 22 3. 13) Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi: a) Đồ thị các hàm số y = 4 – x 2 , y = –x + 2 b) Các đường cong có phương trình x = 4 – 4 y 2 và x = 1 – y 4 Hướng dẫn: a) Hoành độ giao điểm 4 – x 2 = –x + 2  x = –1, x = 2. 2. 2. Trên (–1, 2), ta có (4 – x ) – ( –x + 2) > 0 nên S   (4  x 2  x  2) dx  1. 9 2. b) Diện tích nằm trong góc phần tư thứ nhất là 1 4. 1 1  4  x2  2 8 4 28 28 56 4 S1     dx   (1  x ) dx    . Do đó diện tích S = 2.  4  3 5 15 15 15 0 0. Gv: Lê Hành Pháp.. Trang 34.

<span class='text_page_counter'>(35)</span> Trường T HPT Tân Bình.. ÔN THI TÍCH PHÂN.. 14) Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi: a) Parabol y = x 2 – 2x + 2, tiếp tuyến của nó tại điểm M(3; 5) và trục tung. b) Parabol y = – x 2 + 4x – 3, tiếp tuyến của nó tại điểm A(0; –3) và B(3; 0). Hướng dẫn: a) Tiếp tuyến tại M(3; 5)(P ) có phương trình y = 4x – 7. Do đó diện tích là 3. S   ( x 2  2 x  2  4 x  7)dx  9 0. b) Tiếp tuyến tại A(0; –3)(P ) và tại B(3; 0)(P ) có phương trình lần lượt là 3  y = 4x – 3 và y = –2x + 6. Giao điểm hai tiếp tuyến C  ;3  . 2  Gọi S1 , S 2 diện tích tam giác cong ACD và BCD. 3 2. 3. 9 9 Ta có: S1   (4 x  3  x 2  4 x  3) dx  , S2   ( 2 x  6  x 2  4 x  3) dx  . 8 8 3 0 2. 9 4 II >. THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY: 1) Tính thể tích hình cầu do hình tròn (C ) : x 2  y 2  R 2 quay quanh Ox. Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là x 2  R 2  x   R . Phương trình (C ) : x 2  y 2  R 2  y 2  R 2  x 2 Do đó S . R. R. R.  2 x3  4 R3 Do đó V     R  x  dx  2   R  x  dx  2  R x    (đvtt). 3 0 3  R 0 x2 y 2 2) Tính thể tích hình khối do ellipse ( E ) : 2  2  1 quay quanh Oy. a b 2 y Tung độ giao điểm của (E) và Oy là 2  1  y  b . b 2 2 x y a2 y 2 2 2 Phương trình ( E ) : 2  2  1  x  a  2 a b b 2. b. 2. 2. 2. R. b  2 a2 y 2    a 2 y3  4 a 2b a2 y 2  Do đó V     a  2  dy  2   a 2  2  dy  2  a 2 y  2   3b  0 3 b  b   b  0. Gv: Lê Hành Pháp.. Trang 35.

<span class='text_page_counter'>(36)</span> Trường THPT Tân Bình.. ÔN THI TÍCH PHÂN.. 3) Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 2 , y 2  x quay quanh Ox. 1 x  0 x  0 Hoành độ giao điểm  4 . Do đó V    x 4  x dx .  x  1 x  x 0 Theo bảng xét dấu. 1. 1. 1  3 1 V     x  x  dx    x5  x 2   (đvtt). 2  0 10 5 0 4) Tính thể tích khối nón tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox: a) y = 1 – x 2 , y = 0; b) y = cosx, y = 0, x = 0, x = π;  c) y = tanx, y = 0, x = 0, x = 4 Hướng dẫn: 4. 1. 1. 1.  2 x3 x5  16 a) V    (1  x ) dx =   1  2x  x dx =   x    =  3 5  1 15  1 1    1 2 1 b) V    cos 2 xdx =   (1  cos 2 x )dx =   x  sin 2 x   2 0 2 2 0 0 2 2.  4. 2. 4.  4.   1    4 =  1 c) V    tan 2 xdx      1 dx =  tan x  x      2 0 cos x  4  0 0. 5) Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = 0, x = 4 và y = x – 1. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành. 4 2 7 Hướng dẫn: V    x  1 dx  6 1 2 6) Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường x  , y = 1 và y = 4. Tính thể tích của y khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục tung. 4 4 Hướng dẫn: V    2 dy  3 y 1. . . 7) Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường x  5 y 2 , x = 0 và y = –1 và y = 1. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung. 1. Hướng dẫn: V    5 y 4 dy  2 1. 8) Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = x 2 , y = 0, x = 0 và x = 2. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành. 32 Hướng dẫn: V  5 Gv: Lê Hành Pháp.. Trang 36.

<span class='text_page_counter'>(37)</span> Trường T HPT Tân Bình. ÔN THI TÍCH PHÂN. 9) Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = cosx, y = 0, x = 0 và x =/4. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.  4. Hướng dẫn: V    cos 2 xdx  0.  (  2) 8 x 2. 10) Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = xe , y = 0, x = 0 và x = 1. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành. 1. Hướng dẫn: V    x 2e x dx   (e  2) 0. 11) Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường x  2sin 2 y , x = 0 và y = 0 và  y = . Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung. 2  2. Hướng dẫn: V    2sin 2 ydy  2 0. 2 x và hai trục tọa độ. Tính thể x 1 tích khối tròn xoay khi hình (H) quay quanh trục Ox. Hướng dẫn: 2 x Giao điểm của đồ thị hàm số y  với trục hoành là x = 2. x 1. 12) Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y . 2. 2. 2. 2  9  6 9   2 x Do đó V     =  dx =   x  6ln x  1   dx =   1  2 x 1  x  1 ( x  1)  x  1 0  0 0   8  6ln 3 (đvtt). III >. CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT – ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG: 1) (Đề thi TN.THPT năm 2003). Tính diện tích hình (H) giới hạn bởi đường 2 x 2  10 x  12 y= , y = 0. x2 Hướng dẫn: 2 x 2  10 x  12 Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = x2 2 2 2 x  10 x  12 2 x  10 x  12 và y = 0 là = 0  x = –1, x = 6. vì  0 x  1;6 . x2 x2 6 6 6 2 x 2  10 x  12 2 x 2  10 x  12 16   Do đó S =  dx    dx    14  2 x  dx = x2 x2 x2 1 1 1 . 6. 14 x  x 2  16ln x  2   63  16ln8 (đvdt) 1 2) (Đề thi TN.THPT năm 2004). Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường 1 y = x 3  x 2 , y = 0, x = 0, x = 3. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi 3 quay hình (H) quanh trục Ox. Gv: Lê Hành Pháp.. Trang 37.

<span class='text_page_counter'>(38)</span> Trường THPT Tân Bình. Hướng dẫn:. ÔN THI TÍCH PHÂN.. Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y =. 1 3 x  x2 , y = 0 3. b. là. 1 3 x  x 2 = 0  x = 0, x = 3. Ta có: V =   f 2 ( x) dx . 3 a 2. 3. 3. 3.  x 7 x6 x5  2 81 1  1  V =    x 3  x 2  dx     x 6  x 5  x 4  dx        (đvtt) 3 9 3 63 9 5 35      0 0 0 3) (Đề thi TN.THPT năm 2007). Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường  y = sinx, y = 0, x = . Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình 2 (H) quanh trục hoành. Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là sinx = 0  x = 0.  2.  2.  2. 1  1 2  Do đó V =   sin xdx    (1  cos 2 x) dx   x  sin 2 x   . (đvtt) 20 2 2 4 0 0 4) (Đề thi ĐH năm 2002 – Khối D). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các 3 x  1 đường y = và hai trục tọa độ. x 1 Hướng dẫn: 3x  1 1 Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường là =0x=– x 1 3 Do đó 2. 0. S= S.  . 1 3. 3x  1 dx  x 1. 0. 3x  1 1 x  1 dx . . 3. 0. . 4 .   3  x  1  dx. . 1 3. 4 (đvdt) 3 5) (Đề thi ĐH năm 2002 – Khối B). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường    3 x  4ln x  1 . 0. . 1 3.  1  4ln. x2 x2 y = 4 và y = . 4 4 2 Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là vì. 4. 4. x2 x2 =  x = 2 2 . 4 4 2. x2 x2  x   2; 2  . 4 4 2. Gv: Lê Hành Pháp.. Trang 38.

<span class='text_page_counter'>(39)</span> Trường T HPT Tân Bình. 2 2  x2 x2 x2 x2  4  dx    4    dx  4 4 2 4 4 2  2 2 . 2 2. Do đó S =. ÔN THI TÍCH PHÂN..  2 2. 2 2. 2 2. 1 1   16  x 2 dx  x 2dx =  2 2 2 4 2 2 2 2 2. 2 2. 1 1 x3 2 16  x dx  2 2 2 4 2 3. 2 2. 2 2. 1 8   16  x 2 dx  . 2 2 2 3. Đặt x = 4sint  dx = 4costdt. Đổi cận:. x2 2. . x  2 2. t  / 4 t   / 4. .. Do đó S =  4.  4. . 8 8 8 4  1 4   8  cos 2 tdt    4  1  cos 2t  dt    4 t  sin 2t   2  (đvdt) 3 3 3 3  2     . . 4. 4. 4. 6) (Đề thi ĐH năm 2002 – Khối A). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2  4 x  3 và y = x + 3. Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = x 2  4 x  3.  x2  4x  3  x  3 x  0 và y = x + 3 là x  4 x  3 = x + 3   2  . x  5 x  4 x  3   x  3   2 vì x + 3  x  4 x  3 x  0;5 . 2. Do đó S = 5. x  3  x. 2. . 1. 3. 5.  4 x  3 dx =  ( x  5 x) dx   ( x  3 x  6) dx   (  x 2  5 x )dx. 0. 2. 2. 0. 1. 1. 3. 3. 5.  x3 5 x 2   x3 3x 2   x3 5 x 2  109 =   = (đvdt)    6 x         2 0  3 2 2 3 6  3 1  3 7) (Đề dự trữ năm 2004 – Khối A). Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đường y  x sin x 0  x    . Hướng dẫn: Hoành độ giao điểm của đường y  x sin x với trục hoành là x  0 x sin x  0   x         1 2 V    x sin xdx   x 1  cos 2 x  dx   xdx   xd sin 2 x  20 20 40 0 .   x 2 x sin 2 x cos 2 x  3      2 2 2 4 0 4 Gv: Lê Hành Pháp.. Trang 39.

<span class='text_page_counter'>(40)</span> Trường THPT Tân Bình. ÔN THI TÍCH PHÂN. 8) (Đề thi ĐH năm 2007 – Khối B). Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = xlnx, y = 0, x = e. Tính thể tích khối tròn xoay hình thành khi quay hình (H) quanh trục Ox. Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là xlnx = 0  x = 1. b. e 2. Ta có: V =   f ( x) dx . Do đó V =   x 2 ln 2 xdx . a. 1. e. e. e. e. e. 1 1 1 e3 1 Với  x ln xdx   ln xd ( x3 )  x 3 ln x   x 2 dx   e3 = 31 3 31 3 9 1 1 1 2. e. e3 1 3 e3 e 3 1 2e 3  1  e     3 9 1 3 9 9 9. 2ln x  du  dx u  ln x  x 2 2 Nên V =   x ln xdx . Đặt   3 2  dv  x dx v  x 1  3 e e e  x3 2   e3 2 2e 3  1  2 2 5e3  2 2 2 V =   x ln xdx =   ln x   x ln xdx      .    . 27 3 3 3 9  3    1 1 1  9) (Đề dự trữ năm 2007 – Khối B). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2. e. y  x2 ; y  2  x2 Hướng dẫn:  x  1 Hoành độ giao điểm của hai đường x 2  2  x 2  x 4  x 2  2  0   . x  1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 S( H )   x  2  x dx   2  x dx   x dx   2  x 2 dx  Đặt 3 1 1 1 1 x  2 sin t  dx  2 cos tdt . Đổi cận:  /4. x 1 t  / 4 . Do đó I =  x  1 t   / 4  /4.  /4. 2 2  1 2  1  S( H )  2  cos tdt    1  cos 2t  dt   t  sin 2t     3  /4 3  2   /4 3 2 3  /4 10) (Đề thi ĐH năm 2007 – Khối A). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = (e + 1)x, y = (1 + e x )x. Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là (e + 1)x = (1 + e x )x  x(e – e x ) = 0  x = 0, x = 1. Ta có: (e + 1)x  (1 + e x )x x [0; 1]. 2. 1. Diện tích hình phẳng S =. 1 x. =e. x 2. 1.   xd (e x )  e 0. 0. Gv: Lê Hành Pháp.. 2 1. x 2. 1 x.  (e  1) x  (1  e ) x dx   x(e  e )dx  e xdx   x.e dx 0. 2 1. 1 x. 0. 0. 0. 1. 1 1 e  x.e x   e x dx  e  e  e  1   1 0 2 2 0 0. Trang 40.

<span class='text_page_counter'>(41)</span>