Tài liệu Luyện phương trình từ khó đến cực khó P7 docx

www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng

______________________________________________________



Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn A
hướng dẫn giải bài tập
Bài 1:
+ đặt
+=x yS
điều kiện
≥
2
4SP
(*)



=xyP

+ Hệ trở thành
+=+1SP m

⇒ ,SP là nghiệm của pt


=SP m

()
−+ +=⇒

2
10XmXm
S= m; P=1
S=1; P=m
Câu a:
+ Khi m =2 ⇒ theo điều kiện (*) ta có S = 2; P=1⇒ x = y = 1 là nghiệm của hệ
Câu b:
+ Nếu S= m: P = 1 theo yêu cầu của bài toán ta có S > 0⇔ m > 0 và
≥
2
4
SP
⇔≥⇒≥⇒
2
42mm
kết hợp:
≥ 2m

+ Nếu S = 1; P=m
⇒>0m
và ≥
2
4SP
⇔ ≥14m
⇒< ≤
1
0
4
m
+ Kết luận:

≥ 2m

thì hệ có ít nhất 1 nghiệm x, y >0

<≤
1
0
4
m

Bài 2:
+ Đặt
=
−
1
2
u
xy
;
+=2x yv
với
≠ 0u
⇒ hệ trở thành

+=5uv

⇒ u,v là nghiệm của pt:
− +=
2
X5 0Xa (*)

=uv a
+ Biện luận:

=
−
1
5
2xy

=
1
10
x
- a = 0 ⇒ (*) có X = 0; X = 5 ⇒ ⇒

+ =20xy
=−
1
20
y
- khi
≠ 0a
:
∆=−≥⇒≤
25
25 4 0
4
aa
⇒

www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng

______________________________________________________



Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn A


±−
==
−
15254
22
a
u
xy

( ) ( )
+± + −
=
51 1254
4
aa a
x
a

⇒
⇔

−
=+ =
∓5254
2
2
a
vx y
( ) ( )
−−−
=
∓51 1254
8
aa a
y
a

+
>⇒
25
4
x
pt (*) vô nghiệm ⇒ hệ vô nghiệm
Bài 3:
Câu a: K=1 hệ có dạng
− +=
22
41xxyy

⇔

− =
2
34yxy
−=
2
34yxy
⇔ ⇔

()
( )( )
−+=−⇔− −=
222
44 3 4 30xxyyyxy xyxy
−=
2
34yxy = 1x x = -1

⇔ hoặc
= 4yx
= 4y y = -4
⇔

−=
2
34yxy
hệ vô nghiệm
x = 3y

Câu b:
+ Ta thấy y = 0 không có nghiệm pt (2)
+ (2) ⇒
−
=
2
4
3
y
x
y
(3) thế vào pt đầu ta được

()
+− −=
42
11 9 49 16 0yK y

vì
=− <
16
0
11
c
a
phương trình luôn có nghiệm >
2
0y ⇒ luôn tồn tại y ⇒ thế vào
(3) sẽ được x tương ứng . Vậy
∀K

hệ luôn có nghiệm.
Bài 37: hệ phuương trình hai ẩn (tiếp theo)
D. Hệ phương trình chứa căn thức;
1. ví dụ 1:
++ =
22
282xy xy
(1)
giải hệ phương trình: (I)

+ = 4xy
(2)
Giải: Nhân hai vế pt(1) với (2); bình phương hai vế pt(2):

++ =
22
22 4 16xy xy
Trừ từng vế 2 pt ta có:
www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng

______________________________________________________



Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn A
(I) ⇔ ⇒
+ =+
22
22x yxy

++ =416xy xy

⇒ Bình phương 2 vế:
()
−=⇔=
2
0x yxy
Thay vào (2) ta được:
=⇔==24 4xxy
+ Kết luận: hệ có 1 nghiệm x = y = 4
2. Ví dụ 2: Giải hệ
()
(
)
+= +
32 3 2
23x yxyxy

+=
33
6xy

Giải:
+ đặt
=
3
x u
;
=

3
yv
thì hệ trở thành
( )
( )
+ =+
33
23uv uvuv

⇔

+ =
6
uv


()
()
( )
++−= +
22
23u v u v uv uv u v
⇔

+=
6
uv


()


+− =

2
12 3 18uv uv uv

[ ]
−=12 36 3 18uv uv

⇔
⇔ ⇔

+=6uv

+ = 6uv


= 8uv

= 2u

= 4u

⇔ ⇔ hoặc ⇔


+=6uv
= 4v = 2v

= 8x

= 64x

⇔ hoặc


= 64y

= 8y

3. chú ý: có thể biến đổi trực tiếp đưa về quan hệ giữa x, y dưới dạng bậc nhất
rồi áp dụng phương pháp thế hoặc đặt ẩn phụ đưa về hệ không căn thức.
4. Ví dụ 4: tìm a để hệ
+ ++=12x ya


+ = 3x ya
có nghiệm
Giải: đặt
+=
1
x u
;
+=≥
20
yv
. Hệ đã cho trở thành
+=uv a
⇔ v= a -u

()
+= +
22
31
uv a

( )
= −+−−=
22
22 330
fu u au a a
(*)
u, v >0
⇒≤≤oua


+ Với
≤
0
a
pt +=uv a không thoả mãn ⇒ hệ vô nghiệm
www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng

______________________________________________________



Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn A
+ Với a>0 pt (*) cần có nghiệm
[ ]

∈
0,
ua
⇒ v = a – u
[ ]
∈
0,
a
(do vai trò u, v như
nhau) ⇒
()
=
0
fu
có cả 2 nghiệm tuộc đoạn
[ ]
0,
a
. Vậy ta có:




∆≥
'
0
⇔
≥2(0) 0f
;
()

≥
20
fa
⇔

<<0
2
a
a

−+ + ≥⇔− ≤≤+
2
6160 315 315aa a
⇔
−+
−−≥⇔≤ ≥
2
321 321
330 ;
22
aa a a
vì
() ()
=
(0)
fa f

⇔
+
≤≤+

321
315
2
a
0
+315



−315
−321
2

+321
2

+ Kết luận: với
+321
2
≤≤+315
a
hệ pt có nghiệm.
5. Ví dụ 4: Giải và biện luận hệ:
+ −=
21
x ym


+ −21
yx

Giải:
+ đặt
=−
1
ux
;
=−
1
vy
⇒≥,0
uv
. Hệ trở thành:
+= −
2
22
uvm
(1)
+= −
2
22
vum


Lấy hiệu hai vế của 2 pt ta có:
( )( )
− +−=
2210
uv u v

+ Trường hợp
−=⇔=0uv u v
thế vào 1 trong 2 pt trên ta có:
www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng

______________________________________________________



Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn A

++− =
2
220uu m
. Ta thấy nếu ptcó hai nghiệm âm; do đó để pt có nghiệm
không âm thì
−
=≤⇔≥⇒
12
2
02
2
m
uu m
≤ ≤
12
0
uu
và
−+ −

===
2
18 15
4
m
uu v

−+ −
⇒== += +



2
2
18 15
11
4
m
xyu

+ Trường hợp
−
+−⇒=
12
221
2
u
uv v
thế vào (1) ta có
()

=−+−=
2
42520
fx u u m
pt này có nghiệm
 
∈
 
 
1
1
0,
2
u (vì u, v
≥
0
và
−
=≥⇒≤
12 1
0
22
a
uu) và
 
=− = ∈
 
 
12
11

0,
22
vuu và
( )
=
0
fx
cũng cần có hai
nghiệm thuộc đoạn



1
0,
2
điều này tương đương với

∆≥
'
0

−≥⇔≥
19
8190
8
mm


()


≥≥


1
40 0;4 0
2
ff
⇔ − ≥⇔ ≤
5
52 0
2
mm ⇔

≤≤
21
0
82
( do
()

=


1
0
2
ff)
⇔
≤≤
19 5

82
m
và phương trình
( )
fu
cho hai nghiệm
=
1
uu hoặc =
2
uu
=
2
vu =
1
vu
với
±−
=
12
18 9
4
m
u và
=+=−
1; 1
uxvy

E. Hệ pt có chứa giá trị tuyệt đối
1. Ví dụ 1: cho hệ +−=

22
230xxyy

+=−
2
xx yy

+ y = 0 không nghiệm hệ vì khi đó
=
2
0x

= −
2
xx
vô nghiệm
+ đặt x = ty
()
⇒+−=⇔+−=⇒=−
22 2
23 0 230 1;3yt t t t t với:
t = 1
⇒=⇒ =−⇒=−=
22 1
x yyy y x

t = -3
⇒=− ⇒− − + =−⇒− =−
333 28 2
xy yyyy yy

==−
13
,
22
yx

+Kết luận: hệ có các nghiệm
= =−1xy