Tài liệu Luyện phương trình từ khó đến cực khó P6 ppt

www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng

______________________________________________________



Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn An

Hướng dẫn giải bài tập
Bài1:
Nhận xét 6a; 2-a; a-1; -a không đồng thời bằng 0
Câu a: Tính D; Dx;Dy
Biện luận
• a≠-1 và
2
5
hệ có 1nghiệm duy nhất:
x =
(4)
(1)(25)
a
aa
−+
+−
; y=
3(1 3 )
(1)(25)
a
aa
+
+−

a=-1
⇒ D=0; Dx
≠
0 Hệ vô nghiệm
a≠
2
5


(6 ) 3 2x ya y− =−

Câu b: (x,y) là nghiệm của hệ ⇒

()2x ya x− =+



⇒
632
2
x yy
x yx
−−
=
−+
đpcm.
Bài2:

ax+y=0

Câu a: hệ có dạng

2
x ay c c+=+
Tính D=
2
1a −
; Dx=
2
()
cc−+;Dy=
2
()
ac c+
Biện luận:

22
22
()
1;
11
cc acc
axy
aa
++
≠± ⇒ =
−−
x tuỳ ý

1a =
và c=0 hoặc
1c =−
hệ có vô số nghiệm

yx= −

x tuỳ ý


1a =−
và c=0 hoặc
1c =−
hệ có vô số nghiệm

yx=


1a =±
và
0c ≠
và
1c ≠−
hệ vô nghiệm
Câu b:
Nếu
1a ≠±
⇒
hệ luôn có nghiệm duy nhất không phụ thuộc b
Nếu a=1

⇒
hệ có nghiệm
⇔
Dx=Dy=0

⇔

2
0ccb+−=
có nghiệm c
14 0b⇔ ∆= + ≥


1
4
b ≥−

www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng

______________________________________________________




Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn An



Nếu
1a =−

⇒
hệ có nghiệm
⇔
Dx=Dy=0
2
1
0140
4
ccb b b⇔++=⇔∆=−≥⇒≤

Kết hợp các trường hợp ta có với
11
44
b− ≤≤
thì với
a∀
luôn tìm được c để hệ có
nghiệm
3. Bài 3:
•
Thế
ymx=−
vào phương trình (2) được:
2
2( 1) 2
mx m+ =+
(3)
•

1m =−

⇒
(3) vô nghiệm
⇒
hệ vô nghiệm
•

1m ≠−
⇒
(3) có nghiệm duy nhất
2
2
2( 1)
m
x
m
+
=
+

2
22
2( 1)
mm
y
m
+−
=
+

4. Bài 4:

•
Từ (1)
2(1)
yax⇒= − +
thế vào (2) được f(a)

22
22(21)3640
xaxaa−−+−+=
(3) có nghiệm

'2
2
28702
2
aa⇔∆ =− + − ≥ ⇔ −

•
Có
()
()
2
22 2
13
32 ()
22
xyxyxy aafa

=+−+=−+=


1 2 -
2
2
2
2
2

•

()f a
có a
đ
=1 nên trên khoảng
22
22
22
a+− ≤ ≤ +
hàm đồng biến
⇒

min
2
() (2 )
2
fa f=−

Kết luận với
2
2
2

a =−
thì xy min.
vấn đề 2: hệ phương trình bậc hai hai ẩn
Một số loại hệ phương trình bậc hai hai ẩn thường gặp và cách giải chúng.
Hệ phương trình đối xứng loại 1: là hệ phương trình có tính chất từng phương
trình không thay đổi khi ta thay ẩn x bằng ẩn y và ẩn y bằng ẩn x. Cách giải loại
nay: ta có thể giải bằng phương pháp chung như: bằng phương pháp thế…Ngoài
ra còn phương pháp riêng là đặt
x y+ =
S;
xy =
P với điều kiện

x yS+=

S
2
≥
4P(khi đó hệ mới có nghiệm x,y)

xyP=

Xét một số ví dụ:
x yxym+ +=

1. Ví dụ 1: cho hệ phương trình (I)

22
x ym+ =

a.Giải hệ khi m=5
b. Tìm m để hệ có nghiệm
www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng

______________________________________________________



Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn An

Giải:
x ys+=

Đặt

22
x yP+=




SPm+=

PmS= −

⇒
hệ trở thành:
⇔
(*)

2
2
SPm−=

2
23 0
SSm+ −=

Câu a: Khi m=5
5
S = −

Phương trình (*) trở thành:
2
S2150
S+ −=⇔


3
S =

Với
510SP=− ⇒ =
không thoả mãn điều kiện
2
4
SP≥
nên loại trường hợp này
Với
32SP=⇒ =

không thoả mãn điều kiện
2
4
SP≥


3xy+=


⇒

⇒
x,y là nghiệm của pt:
2
320
XX− +=


3
xy =


1
x =
thì
2
y =


⇒

12
1; 2X =

⇒


2
x =
thì
1y =

⇒
hệ có 2 nghiệm.
Câu b: hệ (I) có nghiệm
⇔
phương trình (*) có nghiệm thoả mãn điều kiện
2
4
SP≥


'
13 0
m∆= + ≥

⇔

⇒
1

3
m ≥−


2
4
SP≥

Phương trình (*) cho các nghiệm:

1
113Sm=− − +
;
2
113Sm=− + +

•
Nếu
1
113Sm=− − + ⇒

1
1113Pm m=++ +
.
Kiểm tra điều kiện:
2
4SP≥
ta thấy:
()()
2

113 4 113mm m−− + ≥ ++ + ⇔
( )
2213mm−+≥ +
vô nghiệm do
1
2
3
mm≥− ⇒ >−
( )
20 2 0mm⇒+>⇒− + <

•
Nếu
( )
222
113 113SmPmSmm=− + + ⇒ = − = + − +
. Kiểm tra điều kiện
2
4
SP≥
⇒
()()
2
2
113 4 113 213 2 8 0 0 8mm m mmmm m−+ + ≥ +− + ⇔ + ≥ + ⇔ − ≤ ⇔ ≤ ≤
K
ết hợp điều kiện
1
08
3

mm≥− ⇒ ≤ ≤
là giá trị cần tìm
2. Ví dụ 2: Cho hệ phương trình
( )
22
21x ya+ =+

www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng

______________________________________________________



Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn An



()
2
4xy+ =

a.Giải hệ khi a=1
b. Tìm các giá trị a để hệ có đúng hai nghiệm.
Giải:
Câu a:

( )
22
21x ya+ =+

x+y= 2±

Khi a=1 hệ trở thành
⇔

⇒



( )
22
4xy+ =

0xy =

⇒
Hệ có các nghiệm:
()( ) ( ) ( )
0, 2 ; 0, 2 ; 2,0 ; 2,0−−

Câu b: Nhận xét thấy rằng nếu
( )
00
,x y
là nghiệm của hệ thì
( )
0
,;
o
x y−−

()
00
,yx−
cũng là nghiệm của hệ; lại thấy nếu
( )
00
,x y
( )
00
,x y≡− −
⇒
0
20x =
và
0
20y =
00
0xy⇒==
nhưng
( )
0, 0
không là nghiệm của hệ. Vậy hệ có 2 nghiệm thì
()
00
,x y
()
0
,
o

yx≡
và
()( )
00 00
,,x yyx−− ≡−−
điều này xảy ra khi
00
x y=
. Hệ trở thành

()
2
0
221x a=+

0a =


⇔



2
0
4x 4=

2
0
1x =

ngược lại
0a =
hệ có dạng
22
2xy+ =


⇔


()
2
4xy+ =


2
xy+=±
x=
1±
x=1

⇔

⇔

⇒
Hệ có hai nghiệm

1xy =

1y = ±
y=1

1x =−



1y =−

Kết luận với a=0 hệ chỉ có 2 nghiệm
B. Hệ phương trình đối xứng loại 2:
Là hệ pt khi thay ẩn x bằng ẩn y và ẩn y bằng ẩn x thì phương trình này trở thành
phương trình kia và ngược lại. Đối với hệ pt này ngoài cách giải thông thường còn
có cách giải riêng bằng cách xét pt hiệu của pt trong hệ. ta xét một số ví dụ sau:
1.Ví dụ 1: Giải và biện luận hệ sau:

2
10xay−+=
(1)


2
ax+1=0y −
(2)
www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng

______________________________________________________

Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn An

Giải: lấy pt (1) trừ pt (2) ta có:
( ) ( )( )
22
00xyaxy xyxya− +−=⇔− ++=⇔


x y=

⇔


yxa=− −

•
Trường hợp 1:y=x
⇒
thế vào (1):
2
x ax+1=0−
pt có nghiệm
⇔
2
40a∆= − ≥ ⇔
IaI
2
≥
và nghiệm:
2

1,2 1,2
4
2
aa
x y
±−
==

•
Trường hợp 2:
yxa=− −
thế vào (1) ta có:
22
xax+a10
+ +=
có
2
340
a∆=− − <
vô nghiệm
•
Kết luận: - Với IaI<2 hệ vô nghiệm
- Với IaI
2
≥
hệ có nghiệm

2
4
2

aa
xy
+ −
==
và
2
4
2
aa
xy
− −
==

2. Ví dụ 2: Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất

23 2
4ax
yx x=− +
(1)


23 2
4
x yyay=− +
(2)
Giải:- Điều kiện cần: Giả sử (x,y) là nghiệm của hệ suy ra (y,x) cũng là nghiệm của
hệ; do đó để hệ nghiệm duy nhất thì y=x thế vào pt (1) ta có:

0x =

()
23 2 2
x4axxx50
xx xa=− +⇔ −+=⇔


2
50xxa− +=

Để hệ có nghiệm duy nhất thì pt
2
50
xxa− +=
hoặc vô nghiệm, hoặc có nghiệm
kép bằng 0
25 4 0
a⇔∆= − <

25
4
a⇔>
(trường hợp nghiệm kép bằng o không xảy
ra vì
5
0
22
b
a
−=≠
)

-Điều kiện đủ: Với
25
4
a >
hệ đã cho tương đương hệ sau:

23 2
4ax
yx x=− +
(1)


() ( )
22
33 0
xyx xy y ya

−+−+−+=

(*)
x=y
(*)
⇔


()
22
330xxy y ya+−+−+=

có:

()
()
2
22
34 3 3 6490
x
yyyayya∆= − − − + =− + − − <