Tài liệu Luyện phương trình từ khó đến cực khó P5 docx

www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng

______________________________________________________



Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn A
Hướng Dẫn Giải Bài Tập
Bài 1: + đặt
1
0
4
x t+=≥
⇒ x = t
2
-
1
4


+ phương trình trở thành t
2
-
1
4

+
2
1
4
tta

+ +=

⇔ t
2
-
1
4
+ t +
1
2
= a

t
2
+ t +
1
4
= a
⇔ (t +
1
2
)
2
= a ⇔ t +
1
2
=
a

t +

1
2
= - a loại do t ≥ 0
+
giải phương trình: t = a
-
1
2
≥ 0
⇒ đk a
≥
1
4

⇒ x +
1
4

= ( a
-
1
2
)
2

x = a - a

+
Kết luận:
- nếu a <

1
4

phương trình vô nghiệm
- nếu a
≥
1
4

phương trình có nghiệm x = a - a
bài 2 + đặt đk x > a (cho vế phải)
+ bình phương 2 vế ; chuyển vế: f(x) = x
2
+ 2ax + 3 – a
2
< 0
+ biện luận: ∆
’
= 2a
2
– 3
- ∆
’
≤ 0 ⇔
a

≤
6
2

bất phương trình vô nghiệm
- ∆
’
> 0 ⇔
a
>
6
2

⇒

- a -
2
23a −

< x < -a +
2
23a −

chú ý: f(a) = 2a + 3 > 0
⇒ a ∉ (x
1
; x
2
) ; và để bất phương trình có nghiệm cần có

3
2
a>⇔
-a > a ⇔ a < 0

+ Kết luận :
- nếu a >
6
2
bất phương trình vô nghiệm
- nếu a < -
6
2

bất phương trình có nghiệm x: x
1
< x < x
2

bài 3: + đặt u =
2
2x m−

v =
2
1x −

đk u, v
≥ 0

v
2
– u
2
= 2m-1

3v
2
+ u
2
+ 4uv = 1 đây là hệ đẳng cấp. giải hệ này ta có kết quả cuối cùng
u,v
≥ 0

www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng

______________________________________________________




Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn A


+ Kết luận: - nếu m < 0 hoặc m >
2
3
phương trình vô nghiệm
-
nếu 0 ≤ m ≤
2
3

phương trình có nghiệm duy nhất
x =
2

21
m
m
−
−

bài 4: + nhận xét x = a là nghiệm ⇔ a = 0 lúc đó phương trình có nghiệm x =
0
+ khi a ≠ 0 ⇒ x = a không nghiệm phương trình ⇒ chia cả hai vế của phương
trình cho
2
3
()x a−
ta được
2
33
() (1)
x axa
mm
x axa
++
+= +
−−

+ đặt
3
xa
t
xa
+

=
−

⇒

phương trình: t
2
+ (m +1)t + m = 0
⇒ t = 1; t = m
t= 1 ⇒
1
xa
xa
+
=
−

vô nghiệm do a # 0
t = m ⇒

3
xa
m
xa
+
=
−
⇒

(m

3
- 1)x = (m
3
+ 1)a (*)
nếu m # 1 ⇒ x =
3
3
1
()
1
m
a
m
+
−

nếu m = 1 ⇒

phương trình (*) vô nghiệm
kl: a = 0 với mọi m phương trình đúng với mọi x
a # 0; m # 1 phương trình có nghiệm duy nhất x =
3
3
1
()
1
m
a
m
+

−


a # 0; m =1 phương trình vô nghiệm
bài 5: + bình phương 2 vế, chuyển vế rút y làm nhân tử chung và chia ta được
8y = 2x – 9 +
9
21
x +


+ nếu x , y nguyên suy ra 2x + 1 phải là ước của 9
⇔ 2x + 1 = ± 1 2x + 1 -1 1 -3 3 -9 9
2x + 1 = ± 3
2x + 1 = ± 9 x -1 0 -2 1 -5 4

y ∉ z 0 -2 ∉ z ∉ z ∉ z

www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng

______________________________________________________




Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn A



vậy phương trình có các nghiệm nguyên là

x = 0 x = -2
y = 0 y = -2


Chuyên đề VI Hệ phương trình - hệ bất phương trình
vấn đề 1: Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn
Hệ phương trình có chứa 1 phương trình bậc nhất
A, các tiêu chuẩn biện luận cho hệ pt bậc nhất hai ẩn, ở trong chương trình đại
số lớp 10 từ trang 62 – 66 sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000. Sau đây chúng ta
xét một số ví dụ với một số dạng bài cụ thể
B, một số ví dụ
1, dạng bài giải và biện luận
a, ví dụ 1: giải và biện luận hệ
ax + by = a + 1 (1)
bx + ay = b + 1 (2)

giải : * Nếu a = b = 0 hệ (I) có dạng õ + oy = 1 vô nghiệm
•
tính D = a
2
– b
2
= (a – b)(a + b)
D
x
= (a - b)(a + b + 1)
D
y
= (a - b)

+ biện luận:
- Nếu D # 0 ⇔ a # ± b hệ (I) có 1 nghiệm duy nhất x =
1
ab
ab
+ +
+

; y =
1
ab+

- Nếu D = 0 ⇔ a = ± b
2, với a = b ⇒ D = D
x
= D
y
= 0 hệ có dạng ax + ay = a + 1
khi a # 0 ⇒ y =
1ax
a
a
+−

lúc đó hệ có vô số nghiệm x = k tuỳ ý
y =
1ak
a
a
+−

(a = 0 đã xét trường hợp đầu tiên)
b , a = -b ≠ 0 ⇒ D
x
≠ 0 hệ vô nghiệm
Kết luận: - nếu a = b = 0 hệ vô nghiệm
- nếu a = b 3 0 hệ có vô số nghiệm
- nếu a = -b ≠ 0 hệ vô nghiệm
- nếu a ≠ ± b hệ có một nghiêm duy nhất

x =
1
ab
ab
++
+
; y =
1
ab+

www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng

______________________________________________________




Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn A

b , chú ý: khi biện luận với những trường hợp cụ thể của tham số; nên thay

trực tiếp vào hệ thì việc trả lời cho các trường hợp đó tránh được sự nhầm
lẫn.
2, Dạng tìm điều kiện để hệ thoả mãn một điều kiện cho trước
a, ví dụ 1: cho hệ mx + y = 2m
x + my = m + 1
a, xác định m để hệ có nghiệm duy nhất. Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y độc lập
với m
b, tìm m ∈ z để hệ có nghiệm duy nhất và là số nguyên
giải: câu a:
+ tính D = m
2
– 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ ± 1 hệ sẽ có nghiệm duy nhất
+ gọi x
0
, y
0
là nghiệm duy nhất của hệ ⇒
mx
0
+ y
0
= 2m ⇔ m(x
0
- 2) = - y
0

x
0
+ my
0

= m + 1 m (y
0
- 1) = 1 – x
0


m (x
0
- 2)(y
0
- 1) = - y
0
(y
0
- 1)
⇔ m (x
0
- 2)(y
0
- 1) = (1 – x
0
) (x
0
- 2)
⇒ (1 – x
0
) (x
0
- 2) + y
0

(y
0
- 1) = 0 đây là biểu thức liện hệ giữa x
0
, y
0
là nghiệm
duy nhất của hệ không phụ thuộc vào m
* chú ý : có thể làm theo nguyên tắc chung như sau:
tìm nghiệm x =
21 1
12
x
D
mx
m
Dm x
+−
=⇒=
+−



y =
1
y
D
m
Dm
=

+

⇒ y =
1
1
2
1
1
1
2
x
x
x
x y
x
x
−
−
−
=⇔−=
−
−
−
đây cũng là 1 biểu thức liên hệ giữa x , y không
phụ thuộc m
câu b + ta có nghiệm duy nhất của hệ là
x =
21 1
2
11

m
mm
+
=−
++

do đó x, y, m ∈ z ⇔ m + 1 = ± 1 ⇔ m = 0 với m = 2

y =
1
1
11
m
mm
=−
++


+ kiểm tra qua đk m ≠ ± 1 ⇒ m = 0 với m = -2 là các giái trị cần tìm
c, hệ có chứa một phương trình bặc nhất
1, ví dụ 1: giải và biện luận hệ x+ y = a
x
4
+ y
4
= a
4

www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng

______________________________________________________




Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn A

giải : + nhận thấy x = 0 ⇒ y = a là nghiệm của hệ
+ nếu x ≠ 0 ⇒ đặt y = tx; hệ trở thành
x + tx = a x(1+t) = a
x
4
+ t
4
x
4
= a
4
⇔

x
4
(1+t
4
) = a
4


x (1+ t) = a
x

4
(1 + t)
4
= x
4
(1 + t
4
) ⇔ x
4
[(1 + t)
4
– (1 + t
4
)
]
= 0

⇔ x
4
. 2t (2t
2
+ 3t + 2) = 0 ⇔ t = 0
⇒ y = 0 ⇒ x = a
kết luận: hệ luôn có nghiệm x = 0 x = a
và chỉ có các nghiệm đó y = a y = 0
2, ví dụ 2: cho hệ phương trình x
3
– y
3
= m (x - y)

x + y = -1
a, giải hệ khi m = 3
b, tìm m? để hệ có 3 nghiệm (x
1,
y
1
) ; (x
2
, y
2
) ; (x
3
, y
3
)
sao cho x
1
, x
2
, x
3
lập thành cấp số cộng và có hai số với giái trị tuiyệt đối lớn
hơn 1
giải : Câu a : + hệ trên ⇔ (x - y)(x
2
+ xy + y
2
- m) = 0
x + y = - 1
x – y = 0 x = y = -

1
2

x + y = -1 y = -1 – x thế vào phương trình*
x
2
+ xy + y
2
– m = 0
x + y = -1 x
2
+ x + 1 – m = 0 (* *)
+ khi m = 3 thì (* *): x
2
+ x – 2 = 0 ⇔ x = 1 ; x = -2
vậy nghiệm của hệ khi m = 3 là x = y = -
1
2


x = 1 ; y = -2
x = -2 ; y = 1
câu b, + ta thấy để hệ đã cho có 3 nghiệm thì (* *) phải có 2 nghiệm phân biệt
không trùng với x = -
1
2

(luôn là nghiệm của hệ); lại có x
1
, x

2
là nghiệm của (* *)
thì x
1
+ x
2
= - 1 = 2 (-
1
2
) ⇒ chứng tỏ nếu tồn tại x
1
, x
2
thì x
1
, -
1
2
,
x
2
là một cấp
số cộng lại có
1
x

> 1 ;
2
x

> 1 điều này tương đương với x
1
< -1 < 1< x
2
hoặc

x
2
< -1 < 1< x
1
t ương đ ương với
f(1) < 0 3 – m < 0
f(-1) < 0 1 – m < 0 ⇔ m > 3