Phuong phap tinh tich phan cac ham so luong giac vavo ti

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TÍCH PHÂN CHỨA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I. KIẾN THỨC 1. Thuộc các nguyên hàm :   1 sin  ax+b  dx  cos  ax+b    a a/    1 cos  ax+b  dx  sin  ax+b    a c/ . . b/. . . d/. sin  ax+b . cos  ax+b  dx  ln cos  ax+b  cos  ax+b . sin  ax+b  dx ln sin  ax+b . .  .  . . 2. Đối với :. I f ( x)dx . R  sin m x; cos n x . a/ Nếu f(x)= thì ta chú ý : - Nếu m lẻ , n chẵn : đặt cosx=t ( Gọi tắt là lẻ sin ) - Nếu n lẻ , m chẵn : đặt sinx=t ( Gọi tắt là lẻ cos ) - Nếu m,n đều lẻ thì : đặt cosx=t hoặc sinx =t đều được ( gọi tắt lẻ sin hoặc lẻ cos ) - Nếu m,n đề chẵn : đặt tanx=t ( gọi tắt là chẵn sinx , cosx ) b/ Phải thuộc các công thức lượng giác và các công thức biến đổi lượng giác , các hằng đẳng thức lượng giác , công thức hạ bậc , nhân đôi , nhân ba , tính theo tang góc chia đôi .... 3. Nói chung để tính được một tích phân chứa các hàm số lượng giác , học sinh đòi hỏi phải có một số yếu tố sau : - Biến đổi lượng giác thuần thục - Có kỹ năng khéo léo nhận dạng được cách biến đỏi đưa về dạng đã biết trong nguyên hàm . II. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1. Tính các tích phân sau :  2. sin 2x  sin x I  dx 1  3 cos x 0 a. (ĐH, CĐ Khối A – 2005)  2. b.. ĐH, CĐ Khối B – 2005 . Giải  2. sin 2x cos x I  dx 1  cos x 0. KQ: 2 ln 2  1. . 2  2 cos x  1 s inx dx 1 sin 2 x  sin x I  dx    1  3cos x 1  3cos x 0 0 a.  t2  1 2 c osx= ;s inxdx=- tdt  3 3 t  1  3cos x    x 0  t 2; x   t 1  2 Đặt :.  t2  1  2  1 1  2 3 2t 2  1 21  2   2 34   I  dt   t 3  t     tdt  2 t 9 93  3   1 27 2 1 Khi đó :  2. b..  2. 2.  2. sin 2 x cos x 2sin x cos x cos 2 x I  dx  dx 2  s inxdx 1  cos x 1  cos x cosx+1 0 0 0.  1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span>   dt=-sinxdx, x=0  t=2;x= 2  t 1  t 1  cosx   2  f ( x )dx  t  1 dt  t  2  1  dt    t t  Đặt :  2. 1 1  1 2 I 2 f ( x )dx  2 t  2   dt 2  t 2  2t  ln t  2ln 2  1 t 2 1 0 2 Do đó : Ví dụ 2. Tính các tích phân sau.  2. a. ĐH- CĐ Khối A – 2006 .. I  0. sin 2x cos x  4 sin x 2. 2. dx. 2 KQ: 3.  2. cos 3x I  dx sin x  1 0. b. CĐ Bến Tre – 2005 .. KQ: 2  3ln 2 Giải.  2. I . sin 2x cos2 x  4 sin 2 x. dx. 2 2 2 2 2 . Đặt : t  cos x  4sin x  t cos x  4sin x 2   2tdt   2sin x cos x  8sin x cos x  dx 3sin 2 xdx  sin 2 xdx  3 tdt   x 0  t 1; x   t 2 2 Do đó : . a.. 0.  2. Vậy :. I f ( x)dx  0. 2 2 2 tdt 2 2 2 2  dt  t    31 t 31 3 1 3.  2. b.. cos 3x I  dx sin x  1 0. Ta có :. . cos3x=4cos3 x  3cos x  4 cos 2 x  3 cosx=  4-4sin 2 x  3  cosx=  1-4sin 2 x  cosx. 1  4sin 2 x   cos3x f ( x)dx  dx  cosxdx  1 1+sinx 1  s inx Cho nên :   dt=cosxdx,x=0  t=1;x= 2  t 2  t 1  s inx    1  4  t  1 2     dt  8  4t  3  dt    f ( x)dx  t t   Đặt :  2. 2 2 3  I f ( x)dx  8  4t   dt  8t  2t 2  3ln t  2  3ln 2 1 t 0 1 Vậy : Ví dụ 3. Tính các tích phân sau.  2. a. CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005 .. sin xdx I  x 0 sin 2 x  2 cos x.cos 2 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>  2. sin x  cos x I  dx 1  sin 2x  b. CĐ Y Tế – 2006 .. KQ: ln 2. 4. Giải  2.  2. .  2 sin xdx s inx I    dx  ln 1  cosx 2 ln 2 x  sin 2 x  cos x.  1  cosx   1+cosx 0 sin 2 x  2 cos x.cos 2 0 0 0 2 a.. b.. sin xdx.  2.  2.  2. 4. 4. 4. sin x  cos x sin x  cos x sin x  cos x I  dx  dx  dx 2 s inx+cosx 1  sin 2x    s inx+cosx  .  1.          s inx+cosx= 2 sin  x   ; x    x  3  sin  x    0 4 4 2 2 4 4 4   Vì : s inx+cosx s inx+cosx Do đó : d  s inx+cosx   cosx-sinx  dx Mặt khác :   2 d  s inx+cosx  1 I   ln s inx+cosx 2   ln1  ln 2   ln 2  sinx+cosx 2  4 4 Cho nên : Ví dụ 4. Tính các tích phân sau  2. cos 2x. I  0. a. CĐ Sư Phạm Hải Dương – 2006 ..  sin x  cos x  3.  4. b. CĐ KTKT Đông Du – 2006 .. cos 2x I  dx 1  2sin 2x 0. 3. dx. 1 KQ: 32. 1 ln 3 KQ: 4. Giải  2. a.. cos 2x. I  0.  sin x  cos x  3 f ( x )dx . Cho nên :. 3. dx. . Vì : cos2x.  sinx-cosx+3. cos 2 x cos 2 x  sin 2 x  cosx+sinx   cosx-sinx . dx  3.  cosx-sinx   sinx-cosx+3. 3.  cosx+sinx  dx.   dt=  cosx+sinx  dx; x 0  t 2, x  2  t 4 t s inx-cosx+3    f ( x )dx t  3 dt  1  3 1  dt 2  t3 t3  t Đặt :  2. 4. 1 1  1 314 1 I f ( x) dx  2  3 3  dt    2   t t   t 4 t  2 32 0 2 Vậy :.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 1  dt 4 cos 2 xdx  cos2xdx= 4 dt t 1  2sin 2 x   cos 2x  x 0  t 1; x   t 3 I  dx 1  2sin 2x  4 0 b. . Đặt :  4.  4. 3 3 1 cos 2x 1 dt 1 I  dx    ln t  ln 3 1  2sin 2x 41 t 4 1 4 0 Vậy : Ví dụ 5. Tính các tích phân sau :.  2. 4sin3 x I  dx 1  cos x 0. a. CĐ Sư Phạm Quảng Ngãi – 2006 .. KQ: 2.  6. sin 3x  sin3 3x I  dx 1  cos3x 0 b. CĐ Bến Tre – 2006 . Giải  2. a..  2.  2.  1  cos2 x 4sin 3 x 1 2 I  dx 4  s inxdx=4  1  cosx  s inxdx=4.  1  cosx  2 2 1  cos x 1  cosx 2 0 0 0 0. . .  6. sin 3x  sin 3 3x I  dx 1  cos3x 0 b. . Ta có :. sin 3x  sin 3 3 x sin 3x  1  sin 2 3 x  sin 3 x.cos 2 3 x. .. 1  dt=-3sin3xdx  sin3xdx=- 3 dt t 1  cos3x    x 0  t 2; x   t 1  6 Đặt :  6. 1. 2. 2. 1  t  1 1  1 1 1 f ( x)dx   dt   t  2   dt   t 2  2t  ln t  32 t 3 1 t 3 2 0. Vậy : Ví dụ 6. Tính các tích phân sau  2 3. . a. I.  =3. 1 1 2  1   ln 2 6 3 .   x) 4 dx    sin(   x) 4 b. I = 2 si cos 2 x (¿ n4 x +cos 4 x ) dx  2. 3. sin x  sin x cot gx dx sin x.  2. 4 sin x dx. sin(. π 2. c. I = 0. d. I =. ¿ 0. Giải. 1   s inx 3  1   sin x  sin x sin 2 x   cot gx dx   cot xdx  sin x s inx    2 3. a. I = 3. 3.  2. 3.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>  2.  2. 1    3  1   cot xdx  sin 2 x     3. 3. cot 2 x cot xdx. 3.    x) 2 cosx-sinx 4 dx  dx     sin(   x)  cosx+sinx  2 4 b. I = 2  2. sin(.  d  cosx+sinx   ln cosx+sinx 2 0   cosx+sinx   2 2  2.  2.  2.  2. 2. 1  cos2x  1  1  cos4x   dx   1  2cos 2x   dx 2 4 2   0 0.  4 sin x dx . c. I = 0  2.  1 1 1 3 3 1  3     cos2x+ cos4x  dx  x  sin 2x  sin 4x  2  2 8 4 32  8  0 16 08 si cos 2 x (¿ n4 x +cos 4 x ) dx π 2. d. I =. . Vì :. sin 4 x  cos 4 x 1 . 1 2 sin 2 x 2. ¿ 0. Cho nên :  2.  2.  2.   1 1 1 3  1 2  2 I  1  sin 2 x  cos2xdx= cos2xdx- sin 2 x cos 2 xdx  sin 2 x 2  sin 2 x 2 0 2 20 2 3  0 0 0 0 Ví dụ 7. Tính các tích phân sau  2.  4. . 5. sin xdx. a. I = 0.  3. b. I. 2. sin x cot gx. dx.  2. 2.  tg x  cot g x  2dx. c. I.  =6. 1 2. 3 3 ( cos x  sin x )dx.  =6. d. */I = 0 Giải.  2.  2. a. I = 0. 0. 2.  2. 5 2 2 4 sin xdx  1  cos x  sinxdx=- 1  2cos x  cos x  d  cosx  0.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>  2 1 5  2  3   cosx+ cos x  cos x  2  3 5   0 15  4. 1. . b. I.  =6. 2. sin x cot gx. dx .. 1 1  2tdt  dx  dx  2tdt 2   sin x sin 2 x 2 t  cot x  t cot x    x   t  3; x   t 1  6 4 Đặt : 1 3 2tdt 3 I   2 dt 2t 2 3  1 t 1 1 3 Vậy :. . .  3.  3.  3.  =6.  6.  6. 2 2 2  tg x  cot g x  2dx    t anx-cotx  dx  t anx-cotx dx. c. I. sinx cosx sin 2 x  cos 2 x cos2x tanx-cotx=    2  2 cot 2 x cosx sinx s inxcosx sin2x Vì :     t anx-cotx<0;x   ;    3 3  6 4       x   ;   2 x   ; 2   cot 2 x    ;     6 3  3 3     3 3   t anx-cotx>0;x   ;   4 3  Cho nên :  3.  4.  3.  4. I   t anx-cotx  dx   t anx-cotx  dx   6. Vậy :.  4.  1  ln sin 2 x  4  2  ln sin 2 x  6.  6. cos2x cos2x 1 dx   dx  sin2x 2  sin2x 4.  3 ln 2  4.  2. 3 3 ( cos x  sin x )dx. d. I = 0. (1).    x   t  dx  dt , x 0  t  ; x   t 0 2 2 2 Đặt :  0.    I  3 cos   t    2   . 2   3 3 sin  t     dt   sin t   2  0. 2 Do đó : Lấy (1) +(2) vế với vế : 2 I 0  I 0 Ví dụ 8 . Tính các tích phân sau. . 3. .  2. . cost dt  3 sin x  0. 3. . cosx dx.  2.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>  3. 4 tan xdx. a..  4.  2.  4. (Y-HN-2000). b.. cos2x dx  sinx+cosx+2  0 . d.. sin 2 x dx 6  c os x 0. (NT-2000).  2.  4. ( GTVT-2000) e.. c.. cos 6 x  4 dx  sin x 4. (NNI-2001).  4. sin 2 x dx 2  4  c os x 0. f.. 1  2sin 2 x dx  1  sin 2 x 0. (KB-03). Giải  3. a.. tan . 4. xdx. 4. 2. 2 sin 4 x  1  cos x  1 1 f ( x) tan x  4   4 2 1 4 cos x cos x cos x cos 2 x . Ta có : 4.  1 dx  1  3 I f ( x )dx  2  1 dx  1  tan 2 x    2 tan x  x  4 2 2  cos x  cos x    cos x  4 4 4 4 Do đó :  1    4    2    3   t anx+ tan 3 x    2 3  2    2 3     2 3  2     3 12   3  12  3 12    4 * Chú ý : Ta còn có cách phân tích khác : f ( x) tan 4 x tan 2 x  tan 2 x 1  1 tan 2 x  1  tan 2 x   tan 2 x tan 2 x  1  tan 2 x    tan 2 x 1 1  3.  3.  3.  3.  3. dx I  tan 2 x  1  tan 2 x    tan 2 x  1  1 dx tan 2 x.  cos 2 x Vậy :.  4.  4. 1  I  tan 3 x  t anx+x  3   4. b..  3. dx.  3.   dx  cos x 2. 4. 4.    1  2  3 1  3 3  3      1      3 3 3 4  3 12 4. cos2x.  sinx+cosx+2  dx 0. f ( x)  Ta có :  4. ..  sinx+cosx+9 .  cos x  sin x   cosx-sinx   cosx+sinx   2. cos2x 3. 2.  sinx+cosx+9 . 3.  sinx+cosx+9 . 3.  4.   cosx+sinx   I f ( x)dx   cosx-sinx  dx  1 3    0 0   sinx+cosx+2   Do đó :   cosx+sinx=t-2.x=0  t=3;x= 4  t  2  2, t s inx+cosx+2    dt  cosx-sinx  dx  f ( x )dx  t  2 dt  1  2 1  dt 2 t3 t3  t  Đặt : Vậy :   2 2 1 1 1 1  1 1  2 2      1  1  2  1 2 I    2  2 3  dt    2       2  t t   t t  3 3   2 2 2 2   3 9 3 2 2  . . . . . 2.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> .  sin t  cost   sin t  cost+9 .  sin t  cost    dt  .  sin t  cost   sin t  cost+9 .  cost  sin t  dt  f ( x).  2. c.. cos 6 x  4 dx   sin x 4 3. 2 cos6 x  1  sin x  1  3sin 2 x  3sin 4 x  sin 6 x 1 1 f ( x)  4    4  3 2  3  sin 2 x 4 4 sin x sin x sin x sin x sin x Ta có :.  2. I  1  cot 2 x   4. Vậy :.  2.  2.  2. 4. 4. 4. dx dx  1  cos2x   3 2  3dx    dx 2 sin x  sin x  2   . 1 1  1    cot 3 x  3cot x  3x  x  sin 2 x  2 4  3   4. d..  4. 2. sin x. 2. 1  cos x. cos x dx  cos x 6. 6. 0. 0.  4.  1  tan 2 x  0. 2.  2  5  23  8 12 4.  4.  4. 1  1 1  1 dx   dx  4 dx  6 4  cos x cos x  cos x cos 2 x 0 0. 1 dx  cos2 x.  4.  4. 1.  1  tan x  cos x dx  1  2 tan 2. 2. 0. 2.  4. dx.  1  tan x  cos x 2. 2. 0. x  tan 4 x  d  tan x  . 0.  4.  1  tan x  d  t anx  2. 0.   2 3 1 5 1 3  1 5  8  1 3  t anx+ tan x  tan x  t anx- tan x  4  tan x  tan x  4  3 5 3 5   0 3  0 15  2.  2.  2.  2.  d  7  cos2x  sin 2 x sin 2 x 2sin 2 x 3 dx  dx  dx    ln 7  cos2x 2 ln 2  1  cos2x 4  cos x 7  cos2x 7  cos2x 4 0 0 4 0 0 0 2 e.     2 4 4 1  2sin x cos2 x 1 4 d  1  sin 2 x  1 1 dx  dx    ln 1  sin 2 x 4  ln 2  1  sin 2 x 1  sin 2 x 2 0 1  sin 2 x 2 2 0 0 0 f. Ví dụ 9. Tính các tích phân sau :  2. a.. sin. x cos 4 xdx b.. 0.  6. c.. 3.  2. 2.  6. 2. sin 3 x. 1  2cos3x dx 0. 5.  3. sin x cos x cos2x I  dx  J  dx  K   dx s inx+ 3 c osx s inx+ 3 c osx cosx3 s inx  0 0 3 2. Giải  2. a.. sin 0. 3.  2.  2. 0. 0. x cos 4 xdx  1  cos 2 x  cos 4 x.s inxdx  cos 6 x  cos 4 x  d  cosx .

<span class='text_page_counter'>(9)</span>  1 2 1 7 5   cos x  cos x  2  5 7  0 35  2. . .  sin 3 x 1 2  3sin 3 x 1 2 d  1  2 cos 3 x  1 1 dx   dx     ln 1  2 cos 3 x  2  ln 3  1  2cos3x 6 0 1  2 cos 3 x 6 0 1  2 cos 3 x 6 6 0 0 b.  6. 2.  6. 2.  6. sin x  cos x 1 1 1 1 I  J  dx   dx   dx  201 20  3 0 s inx+ 3cosx sin  x   s inx+ cosx 3  2 2 c. Ta có :   x   d  tan     1 1 1 1  2 6    .     x    x  x  x  sin  x   2sin    cos  x+  tan    2cos 2    tan    3 6  2 6  2 6 2 6 2 6 Do :   x   d  tan      1 1 1 x   2 6  1  I   ln tan    6  ln 3  ln 3 20 2 4 x  2 6 0 2 tan    2 6 Vậy : (1)  6.  6.  6. . sin x  sin x  3cos x I  3 J  dx  0 s inx+ 3cosx 0 - Mặt khác :  6. Do đó :. 2. 2. . 3cosx sin x  3cosx s inx+ 3cosx.  I  3J  s inx- 3cosx dx   cosx- 3 s inx 6 1  3 0 0. . . .  dx. . (2).  3 3 1  I  ln 3   16 4  3   J  1 ln 3  3  1  16 4 Từ (1) và (2) ta có hệ :     t x  3  dt dx  x 3 ; t 0.x 5  t  2 2 3 6 Để tính K ta đặt 1   I  J  ln 3 4    I  3 J 1  3 .  6. . 6 cos  2t+3  cos2t 1 K  dt   dt I  J  ln 3    8  0 cos  t+3 0 sint+ 3cost    3 sin  t+3  2 2   Vậy : Ví dụ 10. Tính các tích phân sau ..  4. a.. 1. 1  sin 2 x dx 0.  2. c..  2.  sin 0. ( CĐ-99). b.. 10. x  cos10 x  sin 4 x cos 4 x  dx. 0. (ĐH-LN-2000). 1 dx   s inxsin  x+  6 6  (MĐC-2000)  d..  . (SPII-2000) Giải. dx. 2  s inx+cosx  3. 31 2.

<span class='text_page_counter'>(10)</span>  4.  4.  4.  1 1 1   dx  dx  dx tan  x   4 1 2   1  sin 2 x 4  0 0  s inx+cosx  0 2 cos 2  x  0   4  a.  2. b.. dx. 2  s inx+cosx 0. t tan Đặt : 1. .. x 1 1 x 2 dt   dt  dx   1  tan 2  dx;  dx  ; x 0  t 0, x   t 1 2 x 2 2 2 1 t 2 2 cos 2 2 1. 1. 1. 2 2dt 2dt I  . dt  2    2 2 2 2t 1 t 1 t  t  2t  3 0  t  1 2  2 0 0 2  1 t2 1 t2 Vậy :  1 2 du; t 0  tan u  ; t 1  tan u  2 dt  2 2 cos u 2  t  1  2 tan u   2 2  f (t )dt  2dt  du  2du 2 2  cos 2u 2 1  tan u t  1  2      Đặt : u2. Vậy :  2. c.. I   2du  2u.  sin. u1. 10.   u2 2  2  u2  u1   2  arxtan  arctan 2  u1 2  . x  cos10 x  sin 4 x cos 4 x  dx. 0. sin10 x  cos10 x  sin 4 x cos 4 x  sin 2 x  cos 2 x   cos 4 x  sin 4 x   cos 6 x  sin 6 x  Ta có :  cos 2 x  sin 2 x   cos 2 x  sin 2 x   cos 4 x  sin 4 x  cos 2 x sin 2 x  1 1  cos4x 1  cos8x 15 1 1  1  cos 2 2 x  1  sin 2 2 x  cos 2 2 x  sin 2 4 x     cos4x+ cos8x 16 2 32 32 2 32  4     2 1 15  1 1 15  15 1  I   cos4x+ cos8x  dx   sin 4 x 2  sin 8 x 2  32 2 32 32 2 8 32.8 64  0 0 0 Vậy :  3. 1 dx   s inxsin  x+  6 6 .  d.       x    x   sin   x    6 6 6  Ta có : .  .    1   x  sin  x   cosx-sinxco  x   =  * 6 6 2   .     1 sin  x   cosx-sinxco  x   1 6 6  2 f ( x)  2 2           s inxsin  x+  s inxsin  x+  s inxsin  x+  6 6 6    Do đó :.

<span class='text_page_counter'>(11)</span>         cos  x+  cos  x+   3 3  cosx cosx 6 6        I f ( x)dx 2   dx 2  ln s inx  ln sin  x+    sinx 6       sinx  sin  x   sin  x     6 6 6 6   .  s inx 3 1 2 3 3 I 2 ln ln  ln . 2 ln 2 2 3 2    sin  x+  6 6  * Chú ý : Ta còn có cách khác 1 1      3  sin 2 x 1 s inxsin  x+  s inx  s inx+ cosx  6  2 2   f(x)=  3.  3. I   6. 2d. 2 1 dx   2 3  cot x sin x . Vậy : Ví dụ 11. Tính các tích phân sau. 6. . . 3  cot x 3  cot x. . . a..  4.  2. c.. (HVBCVT-99). sin 4 x. 6. 0. x. b.. dx (ĐHNT-01). 3  cot x. d.. 2. cos x cos 0.  4. cos x  sin 6. . .  3 3  2 ln 3  cot x 2 ln  2 6.  2. s inxcos3 x dx 2  1  c os x 0. 2. 2 xdx ( HVNHTPHCM-98). dx. cos x 4. 0. 2. (ĐHTM-95). Giải  2. a..  2. 3. s inxcos x 1 cos 2 x dx  (sin 2 x)dx 2 2   1  c os x 2 1  c os x 0 0.  1. dt  2sin x cos xdx  sin 2 xdx  t 1  cos x   2  cos x t  1; x 0  t 2; x  2  t 1 Đặt : 1 2 2 ln 2  1 1  t  1 1 1  1 I    dt     1 dt   ln t  t   1 22 t 2 1t  2 2 Vậy : 2.  2. b.. 2. cos x cos 0. 2. 2 xdx .. 1  cos2x 1  cos4x 1 f ( x) cos 2 x cos 2 2 x  .   1  cos2x+cos4x+cos4x.cos2x  2 2 4 Ta có : 1 1 1 1  1 3   1  cos2x+cos4x+  cos6x+cos2x     cos2x+ cos4x+ cos6x 4 2 4 8  4 8  2.  1 1 3 1 1  1 3  1  I   cos2x+ cos4x+ cos6x  dx  x  sin 2 x  sin 4 x  sin 6 x  2  4 8 4 8 16 16 48  4  0 8 0 Vậy :.   3   6.

<span class='text_page_counter'>(12)</span>  4. c.. sin 4 x. cos x  sin 6. 6. 0. x. dx .. d  sin x  cos x   6sin 5 x cos x  6cos5 x sin x  dx 6sin x cos x  sin 4 x  cos 4 x  Vì :  d  sin 6 x  cos 6 x  3sin 2 x  sin 2 x  cos 2 x   sin 2 x  cos 2 x  dx  3sin 2 x cos 2 xdx 6. 6. 3 2 sin 4 xdx  sin 4 xdx  d  sin 6 x  cos 6 x  2 3. .  4. .  6 6 sin 4 x 2 4 d  sin x  cos x  2 4 6 6 dx    ln sin x  c os x  ln 2 4   6 6  6 6 c os x  sin x 3 3 3 sin x  c os x   0 0 0 Vậy :     4 4 4 dx 1 dx 1 3  4  2  2  1  tan x  d  t anx   t anx+ tan x  4  4 2  cos x 0 cos x cos x 0 3   0 3 0 d. Ví dụ 12. Tính các tích phân sau .  4. . a.  4. c.. sin 0. 11. xdx ( HVQHQT-96). b.. sin. 2. x cos4 xdx. 0. (NNI-96).  2. cos x cos 4 xdx 0. (NNI-98 ). d..  1  cos2x dx 0. (ĐHTL-97 ). Giải . sin. 11. xdx. a. 0 Ta có :. 5. sin11 x sin10 x.s inx=  1-cos 2 x  s inx=  1-5cos 2 x  10 cos 3 x  10 cos 4 x  5cos5 x  cos6 x  s inx . I  1-5cos 2 x  10 cos3 x  10 cos 4 x  5cos5 x  cos 6 x  s inxdx. 0 Cho nên : 5 5 5 1    118  cos 7 x  cos 6 x  2 cos5 x  cos 4 x  cos 3 x  cosx   6 2 3 21 7  0.  4. sin. 2. x cos4 xdx. b. 0 Hạ bậc : 2.  1  cos2x   1  cos2x  1 2 sin x cos x      1  cos2x   1  2 cos 2 x  cos 2 x  2 2 8    1   1  2 cos 2 x  cos 2 2 x  cos2x-2cos 2 2 x  cos3 2 x  8 1 1 1+cos4x  1+cos4x     1  cos2x-cos 2 2 x  cos 3 2 x    1  cos2x cos2x   8 8 2 2   1 1 cos6x+cos2x    1  cos2x-cos4x+cos4x.cos2x    1  cos2x-cos4x+  16 16  2  1  2  3cos 2 x  cos6x-cos4x  32 2. 4.

<span class='text_page_counter'>(13)</span>  4.  1 3 1 1  1  I   2  3cos 2 x  cos6x-cos4x  dx  x  sin 2 x  sin 6 x  sin 4 x  4  32 64 32.6 32.4  32  0 0 Vậy  2        2 1  cos2x dx  2 cos xdx  2 cosx dx  2  cosxdx  cosxdx    0 0 0 0   2  d.      2  s inx 2  s inx    2  1  1 2 2  0 2   III. MỘT SỐ CHÚ Ý QUAN TRỌNG 1. Trong phương pháp đổi biến số dạng 2. b. * Sử dụng công thức : Chứng minh :. b. f ( x)dx f (b  x)dx 0. 0.  x 0  t b    x b  t 0 Đặt : b-x=t , suy ra x=b-t và dx=-dt ,. . b. 0. b. b. f ( x)dx f (b  t )( dt ) f (b  t )dt f (b  x)dx. b Do đó : 0 thuộc vào biến số Ví dụ : Tính các tích phân sau. .  2. a/. 0. 0.  2. 4sin xdx.  s inx+cosx . 3. 0. b/.  4. c/. 5cos x  4sin x.  s inx+cosx . 3. dx. 0.  2. log 2  1  t anx  dx. d/. 0. 1. e/. . Vì tích phân không phụ. sin 6 x dx  sin 6 x  cos6 x 0.  2. n. m x  1  x  dx. f/. 0. sin 4 x cos x dx  sin 3 x  cos3 x 0. Giải  2. a/. I  0. 4sin xdx.  s inx+cosx . 3. .(1) . Đặt :    dt  dx, x 0  t  2 ; x  2  t 0       4sin   t  t   x x  t   4 cos t 2  2 2  f ( x )dx  dt   dt  f (t )dt 3  3 cost+sint           sin  2  t   cos  2  t         Nhưng tích phân không phụ thuộc vào biến số , cho nên : 0.  2. I f (t )dt   2. 0. 4cosx.  sinx+cosx . 3. dx.  2.

<span class='text_page_counter'>(14)</span>  2. Lấy (1) +(2) vế với vế ta có :.  2. 4  s inx+cosx  1 2 I  dx  I 2  dx 3 2 0  s inx+cosx  0  s inx+cosx .  2.  1    I 2  dx tan  x   2 2  4   2  0 2 cos 0 x  4   2. b/. 5cos x  4sin x I  dx 3 s inx+cosx   0. . Tương tự như ví dụ a/ ta có kết quả sau :.  2.  2. 0. 5cos x  4sin x 5sin t  4 cos t 5sin x  4cosx I  dx   dt  dx 3 3 3   cost+sint  0  s inx+cosx  0  s inx+cosx .  2. 2.  2. 1. 2 I  0.  2.  s inx+cosx . Vậy :. 2.  1 1  1  dx  dx  tan  x   2 1  I   2 4 2  0 2 cos 2  x  0   4 .  4. log  1  t anx  dx 2. c/. Hay:. . Đặt :    dx  dt , x 0  t  ; x   t 0  4 4    x x  t  4  f ( x)dx log 2  1  t anx  dx log 2  1  tan     4  2  1  tan t  f (t ) log 2  1    dt  log 2 2  log 2 t    dt  log 2 1  tan t  1  tan t . Vậy :.    I f (t )dt dt  log 2 tdt  2 I t 4   I  4 8  0 0 0 4. 0.  t 4.  4. 0.  4.  2. d/. sin 6 x I  6 dx sin x  cos6 x 0. (1).    sin 6   t  2 cos6 x 2  d  t  dx I    6   cos 6 x  sin 6 x  6  0 sin   t   cos   t  2 2  2  (2)    2 2 cos 6 x  sin 6 x   2 I  6 dx dx x 2   I  6 cos x  sin x 2 4 0 0 0 Cộng (1) và (2) ta có : 0. 1 m. e/. x  1  x  0. 0. Do đó :. n. dx . Đặt : t=1-x suy ra x=1-t . Khi x=0,t=1;x=1,t=0; dt=-dx m. 1. 1. I  1  t  t (  dt ) t (1  t ) dt x n (1  x) m dx 1. n. n. 0. m. 0.  t     dt  .

<span class='text_page_counter'>(15)</span> MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN  2. 1..  4. 2. 4sin x. 1  cosx dx. 2.. 0. 3.. s inxcos3 x dx  1  cos 2 x 0 1 5. 5.. dx (ĐHKT-97 ). 6.. s inx+2cosx. 0. ( CĐSPHN-2000). 8.. x sin x dx  9  4 cos 2 x 0. dx ( HVNHTPHCM-2000 ). x sin x. 2  cos x dx 2. 0. ( AN-97 ).  1  s inx . ln  1+cosx  dx 0. ( CĐSPKT-2000 ).  2. . 9.. 2. 0.  2. 3sin x  cosx dx. x  s inx.  cos x . 0.  4. 7.. 3 6. x  1  x . 4.. (XD-98 ). 0.  3.  2. cosx+2sinx. 4 cos x  3sin x dx. (ĐHYDTPHCM-2000 ) 10.. sin 4 x cos x dx  sin 3 x  cos3 x 0. . * Dạng :. asinx+bcosx+c I  dx a 's inx+b'cosx+c'  Cách giải : B  a ' cosx-b'sinx  asinx+bcosx+c C dx  A    a 's inx+b'cosx+c' a 's inx+b'cosx+c'  a 's inx+b'cosx+c' . Ta phân tích : - Sau đó : Quy đồng mẫu số - Đồng nhất hai tử số , để tìm A,B,C . - Tính I :   B  a ' cosx-b'sinx  C I  A   a 's inx+b'cosx+c' a 's inx+b'cosx+c' .    dx dx  Ax+Bln a 's inx+b'cosx+c'  C    a 's inx+b'cosx+c'    VÍ DỤ ÁP DỤNG. Ví dụ . Tính các tích phân sau :  2. a..  4. s inx-cosx+1. s inx+2cosx+3 dx 0. ( Bộ đề ). b..  2. c.. cosx+2sinx. 4 cos x  3sin x dx 0.  2. s inx+7cosx+6 dx  4sin x  3cos x  5 0. ( XD-98 ). 4 cos x  3sin x  1. 4 sin x  3cos x  5 dx. d. I = 0 Giải.  2. s inx-cosx+1. B  cosx-2sinx  s inx-cosx+1 C A   s inx+2cosx+3 s inx+2cosx+3 s inx+2cosx+3 a. 0 . Ta có : Quy đồng mẫu số và đồng nhất hệ số hai tử số :. s inx+2cosx+3 dx. f ( x) .  1.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> 1   A  5  A  2 B 1  A  2 B  s inx+  2A+B  cosx+3A+C   3   f ( x)   2 A  B  1   B  s inx+2cosx+3 5 3 A  C 1   4  C  5  . Thay vào (1)  2.  2.  2.  3 d  s inx+2cosx+3 4 1  3 4  1 I    dx     dx   ln s inx+2cosx+3 2  J 5 5 0 s inx+2cosx+3 5 0 s inx+2cosx+3 10 5 5 0 0  3 4 4 I   ln  J  2  10 5 5 5 - Tính tích phân J : 1 dx   ; x 0  t 0, x   t 1 dt  2 x 2 cos 2  1 x 2dt  2 t tan    J  2 1 2 dt 2 dt 2  0  t  1  2 f ( x) dx    2t 1 t2 1  t 2 t 2  2t  3 2 3  1 t2 1 t2 Đặt : . (3)  du 2 .t 0  tan u  u1 ; t 1  tan u  2 u2 dt  2 2 cos u 2  t  1  2 tan u   1 2du 2  du  f (t )dt  2 2 cos u 2  cos 2u  Tính (3) : Đặt :  2 u2 2 2  3 4 4 2  tan u1  j=  du   u2  u1   I I   ln   u2  u1   2 2 2 10 5 5 5 2 u  tan u  2  2 Vậy :  4. b.. cosx+2sinx. 4 cos x  3sin x dx;. f ( x) . 0. B  3cos x  4sin x  cosx+2sinx C A     1 4 cos x  3sin x 4 cos x  3sin x 4 cos x  3sin x. 2 1 A  ; B  5 5 ;C=0 Giống như phàn a. Ta có :  4.   2 1  3cos x  4sin x   1  1 4 2 2  I    dx  x  ln 4cos x  3sin x  4   ln 5 5 4 cos x  3sin x  5 7 5  0 10 5 0 Vậy : Học sinh tự áp dụng hai phần giải trên để tự luyện . BÀI TẬP  2 3. . 1..  3  2. 3.. 2. 5. 5. 4.. 3cosx  4sin x dx 2 x  4 cos 2 x. 3sin 0.  2.  cos x  sin x  dx 0.  2. sin 3 x  s inx cot x dx sin 3 x. 1  sin 2 x sin x dx sin 2 x.   6.

<span class='text_page_counter'>(17)</span>  2.  4. s inx-cosx dx  1  sin 2 x 0 5.  2. 7.. 6.. 2. 2. 2. dx. 2. a cos x  b sin x. 0. .  a, b 0  8.. tan. 10.. 6. tan x. cos2x dx  2. 13.. 15.. . ( KA-08).  cos x  1 cos xdx 2. 12.  4. 2. . (KA-09 ). 0.   sin  x   4  dx  sin 2 x  2  1  s inx+cosx  0. 14.. x sin x   x  1 cosx dx x sin x  cosx. 0.  2. . . 1  x sin x dx cos 2 x 0. . (KB-2011). x sin 2 x dx  sin 2 x cos 2 x 0. 16.. 0. . (KB-08). . (KA-2011 ). sin 2 x cos 2 x  4sin 2 x. dx . (KA-06).  2. . CĐST-05). 18.. sin 2004 x dx  sin 2004 x  cos 2004 x 0. .( CĐSPHN-05).  3. sin 3 x  sin x dx 1  cos3x 0. . sin 2 x  1  sin x  2. dx   s inxsin  x+  6 3  . CĐSPHN-06)  20..  . 3.  2. 21.. 2.  3.  6. 19.. .  cos4x.cos2x.sin2xdx. .  3. 17.. xdx.  4. 4. 11. 0. 6. 0. ln  s inx  dx  cos 2 x   6. 3x cos 3 xdx. 0.  3. 9.. 4. 2.  3. s inxcosx. .  15sin. . ( CĐHY-06) 3. dx . ( CĐKT-06). 0. Bài 5. ( Tiết 3) TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ I. KIẾN THỨC 1. Cần nhớ một số công thức tìm nguyên hàm sau : f '( x ) 2 f ( x) dx  f ( x)  C -. . 1 2. x b. dx ln x  x 2  b  C u '( x). u. 2. du ln u ( x )  u 2 ( x)  b  C. ( x)  b - Mở rộng : 2. Rèn luyện tốt kỹ năng phân tích hàm số dưới dấu tích phân , nhất là kiến thức về căn thức II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP  1 I  dx  a 0  2 ax  bx  c  1. Tích phân dạng :.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> a. Lý thuyết : b  x u   b    2a  2 f(x)=ax  bx  c a   x     du dx   2a  4a 2      K  2a Từ : Khi đó ta có : 2. - Nếu.   0, a  0  f ( x) a  u 2  k 2  . f ( x)  a . u 2  k 2. (1). a  0 2 b     0  f ( x) a  x     b 2a    f ( x )  a x  2a  a . u  - Nếu : (2)   0 - Nếu : . f ( x) a  x  x1   x  x2   f ( x)  a .  x  x1   x  x2  +/ Với a>0 : (3) f ( x )  a  x1  x   x2  x   f ( x )   a .  x1  x   x2  x  +/ Với a<0 : (4) Căn cứ vào phân tích trên , ta có một số cách giải sau : b. Cách giải . *. Trường hợp : Khi đó đặt :.   0, a  0  f ( x) a  u 2  k 2  . f ( x)  a . u 2  k 2.  t2  c 2 x  ; dx  tdt  2 b  2 a b  2 a  bx  c  t  2 ax   ax 2  bx  c t  a .x     x   t t0 , x   t t1  t2  c t  a .x t  a b2 a  a  0 2 b     0  f ( x) a  x     b 2a    f ( x )  a x  2a  a . u  *. Trường hợp :. .  1 b  b  ln  x   : x  0  2a   2a a  1 1 1  I  dx  dx    1  b b a b  b   x a x  ln  x   : x  0 2a 2a 2a   2a a    Khi đó : *. Trường hợp :   0, a  0 . .   x  x1  t ax 2  bx  c  a  x  x1   x  x2     x  x2  t - Đặt : *. Trường hợp :   0, a  0   x1  x  t ax 2  bx  c  a  x1  x   x2  x     x2  x  t - Đặt : 3. VÍ DỤ MINH HỌA 1 dx I  2 x  2 x  5 . ( a>0 ) 1 Ví dụ 1. Tính tích phân sau : Giải -Ta có :  '  4  0, a 1  0. .

<span class='text_page_counter'>(19)</span> - Đặt :. x 2  2 x  5 t  x  t  x  x 2  2 x  5  t  1  x  1  x 2  2 x  5 ..   x 1 t dt dx  dt  1  dx    dx  2 2 2 t1 x  2x  5  x  2x  5 x  2x  5  - Khi : x=-1,t= 8  1 ,x=1,t=3 3 2 dt I ln t  1 ln ln  I    2 21 2 21 x 2  2 x  5 2  2  1 t  1 1 Do đó: Vậy 2 1 I  dx 2 1  2 x  x 0 Ví dụ 2. Tính tích phân sau . . ( a<0 ) Giải 1 1 1 f ( x)   (*)  2 2 1  2x  x 2   x  1 2 1  x 2  1 x Ta có : . * Nếu theo phương pháp chung thì : 1. 3. dx. . . - Đặt :. . 2 1  x. .  . . .   2 1  x    2 1 t  2 1  x. 2  1 x . 2 1  x t . . . . . 2 1. . . 2  1  x t 2. . 2 1  x. . 2. 2. . .  . 2  1 x . . 2 1  x t. 2. 1 t2 . ... - Nói chung cách giải này dài . Học sinh thử giải xem ( theo cách đã hướng dãn ) * Ta có thể sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1.    dx  2costdt.x=0  t=- 4 ; x 2  t  4  x  1  2 sin t   1 2costdt=dt  f ( x) dx     t   ;   cost>0 2  1  sin 2 t    4 4 - Đặt : . Vì :   4    I  dt t 4     4 4 2    4 4 - Vậy : . 2. Tích phân dạng : Phương pháp :. I . f ( x) . . mx  n ax 2  bx  c. mx  n. dx. A.d. .  a 0  ax 2  bx  c. . B.  1 2 2 2 ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c b.1 : Phân tích b.2 Quy đồng mẫu số , sau đó đồng nhất hệ số hai tử số để suy ra hệ hai ẩn số A,B b.3 Giải hệ tìm A,B thay vào (1)   1 2 A ax 2  bx  c  B dx 2  ax  bx  c  b.4. Tính I = (2)  1 dx  a 0   2 ax  bx  c  Trong đó đã biết cách tính ở trên VÍ DỤ MINH HỌA. . . .

<span class='text_page_counter'>(20)</span> 1. Ví dụ 1. Tính tích phân sau. x2  2x  5. 1. x2. f ( x) . x2. I . A  2x  2. . 2. . . (a>0) Giải B. . 1. 1.  x  1 dx. 1. 2. 2 Ax  B  2 A. x  2x  5 x  2x  5 x  2x  5 x2  2x  5 - Ta có : - Đồng nhất hệ số hai tử số ta có hệ : 1 1   2x  2 2 A  1 A   1  2  3 2  f ( x)  2  2 x  2x  5 x  2x  5  B  2 A 2  B 3 I  f ( x )dx . 2. dx.  1. 1. dx 2 2 x  2 x  5 x  2 x  5 1 1 1 - Vậy : . Theo kết quả trên , ta có kết quả : 1 I  x2  2x  5  3ln 2  1 2  2 2  3ln 2  1 1. . . . . 2. Ví dụ. 2 Tính tích phân sau.  3. I  0. . 2x  3 1 2x  x2. . dx Giải. 2x  3. B. . 1  2 x  x2 1  2 x  x2  2 A 2   2 A  B  3  - Đồng nhất hệ số hai tử số ta có : - Ta có :. 1  2x  x2. . A  2  2x . 2. - Vậy :. I  2 0.  1  x  dx 1  2x  x2. 2. . 1.  1 2x  x 0. 2. . 1  2x  x2  A  1   B  1. dx  2. I .  2.  2 Ax   2 A  B . . 1  2x  x2. . 2  0. 2. 1.  1  2x  x 0. 2. dx.  2. Theo kết quả đã tính ở ví dụ trên ta có : 1  x  4  dx I  x2  4 x  5 . 0 Ví dụ 3. Tính tích phân sau Giải - Học sinh tự giải theo hướng dẫn . - Sau đây là cách giải nhanh .  x  4   x  2  2 f ( x)  x2  4x  5 x2  4 x  5 x2  4 x  5 +/ Ta có : 1 1  x  4  dx 1 1 2  x  2  dx  2 1 1 1 I  dx  ln x 2  4 x 1  2 J   2 0 2 x2  4x  5 2 0 x2  4 x  5 0 0  x  2 1 +/ Vậy : (1)  x  2    t 2  t  x  2   x  2   1  dt  1  dx  dx 2 2   x  2  1 x  2  1       +/ Tính J : Đặt dt dx  2 t x  2 1  Hay : . Khi x=0, t=2+ 5 ; x=1, t=3+ 10 ..

<span class='text_page_counter'>(21)</span> 3 10.  3  10  3  10 dt ln t ln   t 2  5  2 5  2 5 +/ Do đó : . Thay vào (1) ta tìm được I  3  10  I  10  5  2ln    2 5  J. . . 3. Tích phân dạng : Phương pháp :. 1. I  .  mx  n . ax 2  bx  c. 1. dx.  a 0  1. . n  m  x   ax 2  bx  c m  b.1. Phân tích : . (1)  1  n 1  y  x  t  t  m   dy  x  t dx   1 n  x    2 y m  x  1  t  ax 2  bx  c a  1  t   b  1  t   c      y y  y   b.2 Đặt :.  mx  n . ax 2  bx  c. '. b.3 Thay tất cả vào (1) thì I có dạng : tính . 3. Ví dụ 1. Tính tích phân sau.  x  1 2. I  '. dy 2. Ly  My  N. . Tích phân này chúng ta đã biết cách. VÍ DỤ MINH HỌA dx  x2  2x  3. Giải 1 1   x 1  y ; dx  y 2 1 x 1   y  x 2  y 1; x 3  y  1  2 - Đặt : - Khi đó : 2.  1  1 1 4 y2  1  x  2 x  3   1    2  1    3  2  4   y y y y2   2. 1 2. I   1. - Vậy :.  x2  2x  3 . 1 1 1 dy 1 1 1 2    ln y  y  1  ln 2  3 2 4 2 4 y  1 2 1 y2  1 2 2 2 4 dy. . 4 y2  1 y. . 1. Ví dụ 2. Tính tích phân sau.  3x  2  dx  x 2  3x  3 0  x  1. Giải - Trước hết ta phân tích : 3  x  1  3x  2  1 3 1      x  1 x 2  3x  3  x  1 x 2  3x  3  x  1 x 2  3 x  3 x 2  3x  3  x  1 x 2  3 x  3 * Học sinh tự tính hai tích phân này . 52 7 2 7 I 3ln  ln 32 3 32 3 Đáp số :.

<span class='text_page_counter'>(22)</span>    x I R  x; y  dx R  x; m x      4. Tích phân dạng :.   dx . ( Trong đó : R(x;y) là hàm số hữu tỷ đối với hai biến số x,y và  ,  , ,  là các hằng số đã biết ) Phương pháp : x m b.1 Đặt : t=  x   (1) b.2 Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế của (1) ta có dạng  '  t  dt b.3. Tính vi phân hai vế : dx= và đổi cận  '  x  R  x; m  x    dx ' R    t  ; t   '  t  dt    b.4. Cuối cùng ta tính : VÍ DỤ MINH HỌA 2 x dx  1  x  1 1 Ví dụ 1. Tính tích phân sau. x   t . Giải  x t  1; dx 2tdt; x 1  t 0, x 2  t 1  x  1 t   t2  1 t3  t 2   f ( x ) dx  2 tdt  2 dt  t 2  t  2   dt  1 t t 1 t 1    2. - Đặt : 2. 1. x 2  11  dx  t 2  t  2   dt   4 ln 2  t 1  3 0 - Vậy : 1 1  x  1 Ví dụ 2. Tính các tích phân sau : 3. 2. x a.  dx x 1 1 x 3. d.. x5  2 x3. . x2 1. 0. b.. 3 2 x 1  x dx. 9. c.. 0. 4. dx. e.. . 1. 2dx x 5  4. x. 3. 1  xdx. 1. 2. f..  0. x4 x5  1. GIẢI 2. a.. x  1. x dx x 1 .. . Đặt :. . 1 1  dx 2tdt t2  1  t  x  1  x t 2  1    I  2 2tdt 2 t  x  1  t  0, x  2  t  1 t  1 1  0 0 1 1 I 2  t 2  ln t  1 2 0 Vậy :. 3. b.. 3. x 0. . 3. 2. 1  x dx  x 2 1  x 2 xdx 0. .. 2  xdx tdt t  1  x 2  x 2 t 2  1    I  t 2  1 t 2 dt 1  x 0  t 1, x  3  t 2 Đặt :. 1  dt t. dx.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> 2. 1  2 58 1 I  t 4  t 2  dt  t 5  t 3   3  1 15 5 1 Vậy :.  9. c.. 3. x. 1  xdx .. 1. 2  dx  2tdt t  1  x  x 1  t    I   1  t 2  t.   2tdt  x  1  t  0, x  9  t  2  0 Đặt : 0 1  0 112 1 I 2  t 2  t 4  dt 2  t 3  t 5   5  2 15 3 2 Vậy : 2.   3. d.. x5  2 x3. . 3. x 2  x 2  2  xdx. dx  . . x2 1 Đặt :. . 2 2 t 2  1  t 2 1 t.2tdt  x 2 t 2  1; xdx tdt  t  x 1    I  2 t 4  1 tdt t  x 0  t 1, x  3  t 2 1 1 1  2 59 1 I 2  t 5  t 2   2 1 5 5 Vậy :. 0. 0. x2 1. 2. 4. e.. 2dx x 5  4 .. . 1. 3 3  x t 2  5, dx 2tdt 2.2tdt 4   t  x 5    I  4 1  dt  t 4 t 4   x  1  t 2, x 4  t 3 2 2 Đặt : 3 6 I 4  t  4 ln t  4  4  4  ln 6  ln 7  4  4 ln 2 7 Vậy :.  . 5 2 2 2 1 d  x  1 2 5 dx    x 1  0 5 5 0 x5  1 5 x5  1. 2. f.. x4.  0. . . 33  1. Ví dụ 3. Tính các tích phân sau : 3. 1 5 2 x 1  x dx. a.. b.. 0.  1 x. 2. .x3dx. 0. 2. c.. x. 2. 4  x 2 dx. 0. 2. d..  1. xdx 2x  2 x. 0. e.. x. 1  xdx. 1. 1. f.. x. 3. x 2  3dx. 0. GIẢI 1. a.. x 0. . 1 5. 1  x 2 dx x 4 1  x 2 xdx 0. Đặt : 0 1  x 2 1  t 2 ; xdx  tdt 2 2 t  1 x    I  1  t  t.   tdt  t 2  t 4  2t 2  1 dt  x 0  t 1, x 1  t 0 1 0 2.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> 2 1 1 8 1 I  t 7  t 5  t 3   5 3  0 105 7 Vậy :.  3. b.. 3.  1 x 0. 2. 3. .x dx  x 2 1  x 2 xdx 0. 2 2  x 2 t 2  1; xdx tdt t  1  x2    I  t 2  1 t.tdt  t 4  t 2  dt  x 0  t 1, x  3  t 2 1 1 Đặt : 1  2 58 1 I  t 5  t 3   3  1 15 5 Vậy :.   2. c.. x. 2. 4  x 2 dx .. 0.    dx 2costdt ; 4  x 2  cost 2 2  2 x 2sin t    I 4sin t.2 cos t.2 cos tdt 4sin 2 2tdt  0 0  x=0  t=0.x=2  t= 2 Đặt :   2   1  I  1  cos4t  dt  t  sin 4t  2   4  0 2 0 Vậy :. .  2. d..  1. 2. 2 1 1 1 2  x dx    2  x  2   2  x  2  dx 21  3 2  2 22   2  x 2    3 3  1 9. xdx 1   2 x  2 x  2 x 2 1. 3 12 I    2  x 2 23 - Vậy :. . . 0. e.. x. 1  xdx. 1. 1 1  x t 2  1; dx 2tdt 2 t  1 x    I  t  1 t.2tdt 2 t 4  t 2  dt x  1  t  0, x  0  t  1  0 0 Đặt : 1 1 4 1  1 1 I 2  t 5  t 3  2     3 0 15 5  5 3 Vậy :.   1. f.. 1. 3 2 2 2 x x  3dx x x  3.xdx 0. 0. 2 2  x 2 t 2  3; xdx tdt t  x 3    I   t 2  1 t.tdt   t 4  t 2  dt  x 0  t  3, x 1  t 2 3 3  Đặt : 1  2 56  12 3 1 I  t 5  t 3   3  3 15 5  Vậy : Ví dụ 4. Tính các tích phân sau : 10 3 dx x 3 b.  a.  dx 5 x 2 x 1  1 3 x 1  x  3 2.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> 1. c.. . 0 3. x2  x.  x  1. 3. dx. 2. d.. x. 5. x 2  1dx. 0. 1. e.. x. 3. 1  x 2 dx. 0. GIẢI 3. a.. 3. 1. x 3 dx x 1  x  3.  dx 2tdt t  x  1  x t 2  1    x  1  t 0; x 3  t 2 Đặt : Vậy : 2 2 2 t  t  2  t  2 t2  4 3   1 2 2 I  2 2tdt 2  dt 2 t  3   dt 2  t  3t  3ln t  2  0 t  3t  2 t  1  t  2  t 2 2  0 0  0 Do đó : I 6 ln 2  8.  .  10. b.. 10. 10. dx dx dx    5 x 2 x 1 5 x  1  2 x  1 1 5 x 1 1. . . 2.  x t 2  1; dx 2tdt.x 5  t 2; x 10  t 3   1 dx 2tdt 1  t  x 1  f ( x)dx    2    dt 2 2   t  1  t  1 2  t  1  x  1  1    - Đặt : 10 3  1 1  1 3  I  f ( x) dx 2    dt 2  ln t  1   2 2 ln 2  1 2   t  1 t  1   t  1   5 2   - Vậy :. . 1. c.. . 0 3. 1. x2  x.  x  1. 2. x  x  1 dx. dx  0. 3.  x  1. 2. . 1. 3. x 3  x  1 dx.  0. 3.  x  1. 2. 1. x 3 x  1dx 0. (1)  x t 3  1, dx 3t 2 dt.x 0  t 1; x 1  t  3 2 t  3 x 1   3 2 6 3 3  f ( x )dx  x x  1dx  t  1 t.3t dt  3t  3t  dt - Đặt : 3 1 2  3 7 3 4  3 2 33 2 9 6 3 I f ( x)dx   3t  3t  dt  t  t    4  1 14 28 7 0 1 - Vậy : 3. d.. 3. 5 2 4 2 x x 1dx  x x  1xdx 0.  1 .. 0.  xdx tdt.x 0  t 1, x  3  t 2 t  x  1  x t  1   2 4 2 2 5 3  f ( x )dx x x  1xdx  t  1 .tdt  t  2t  t  dt - Đặt : 3 2 1 1 2 9 1 I  x 4 x 2  1xdx  t 5  2t 3  t  dt  t 6  t 4  t 2   2 2 1 2 6 0 1 - Vậy : 2. 1. e.. 2. 2. 1. 3 2 2 2 x 1  x dx x 1  x xdx 0. 0.  1 ..

<span class='text_page_counter'>(26)</span>  x 2 1  t 2 ; xdx  tdt.x 0  t 1, x 1  t 0 t  1 x   2 2 2 2 4  f ( x)dx x 1  x xdx  1  t  t   tdt    t  t  dt - Đặt : 1 0 1 1 1 2 1 2 2 2 4 I x 1  x xdx   t  t  dt  t 2  t 4  dt  t 3  t 5   5  0 15 3 0 1 0 - Vậy : 2. Ví dụ 5. Tính các tích phân sau 2 1. 2. x 1 dx  x  1 0 1. ( ĐHXD-96). 2.. 7 3. 4.. x2  1. 2 3.  2. x 1 dx  3 3 x  1 0 3. (GTVT-98 ). dx. x x. x 2 1 x 2 1. 2. ( BK-95) dx ( HVBCVT-97 ). Giải. . . x 1 x 2  1  x  1  x 1 x  1 dx f ( x )    x  1 x  1 x x  x  x  1  x  1 x  1 x  1 0 1. . Ta có : 1 1 2 1 2 1 1 I f ( x)dx  x x  x  x  1 dx  x 2 x  x x  x 2  x   3 2 5  0 15 0 0 Vậy : 1. 2. . 2. 2.. x 2 3. . . . 2. dx. xdx  2 x  1 2 x x2  1 2.  1. 3. 2 1  2 2  x t  1, xdx tdt. x  3  t  3 , x  2  t 1  t  x2  1   xdx tdt dt  f ( x) dx   2  2  x 2 x 2  1  t  1 t t  1 - Đặt : 1 2 1 dx dt    I   2 acr tan t 1    2 4 6 12 2 x x  1 1 t 1 3 3 3 -Vậy :  t3  1 7 2  x  3 , dx t dt , x 0  t 1; x  3  t 2  7 t  3 3x 1   3 3 x 1  f ( x)dx  x  1 dx  t  2 t 2 dt 1  t 4  2t  dt dx 3 3  3t 3 3x  1 3. 0 3 x  1 . Đặt : 7 3. 2 x 1 1 1 1  2 46 I 3 dx   t 4  2t  dt   t 5  t 2   3 3 5 3x  1  1 15 0 1 - Vậy :  2  2 x2 1 x2 1 dx  xdx  1 2   2 x x x  1 2 4.  2.  x 2 t 2  1  xdx tdt.x  2  t  5, x  2  t  3  t  x2 1   x2 1 t 1   1 1 1   xdx  2 tdt  1  2  dt  1     f ( x )dx   dt 2 x t 1 t  1 2  t  1 t  1      - Đặt :.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> - Vậy :  2. 3.  1 1 1   1 t 1 3 f ( x) dx   1     3   dt  t  ln   2  t  1 t 1    2 t 1  5 2 5.  . 1 5  ln 2.  3  1  3 1.  5  1. 5 1. Ví dụ 6. Tính các tích phân sau 1. 1.. x3. . 0. x 2 1. x. 3. . 7. 3. dx. I. ( HVNHTPHCM-2000).. 2.. 3. 0. 2/2. 2. x  2x  xdx. 3. 0. 1 x. 0. 4.. 1  x2. x2. . . (ĐHTL-2000). x9. 2. dx. (ĐHTM-97). dx . (HVTCKT-97). Giải 1. I  0x. x. 1. x3 2. x 1. 3. dx . . 2. x 1  x 2. x 1  x. 0. 2.  dx x 1. 2. x 2  1xdx . 0. 1. x. 4. dx. 0.  x 2 t 2  1, xdx tdt; x 0  t 1; x 1  t  2 t  x 1   2 4 2  f ( x )dx  t  1 t.tdt  t  t  dt Vậy : Đặt 2. 1. x. Suy ra :. 0. 2. 2. 1  2 4 1 x  1xdx   t 4  t 2  dt  t 5  t 3   3  1 15 5 1. 1. 2. 4. ;. 1. x dx 5 x 0. 5. 1 1  0 5. .. 4 1 1 I   15 5 15 - Do đó : 7. I. 2.. 3. 0. x9 1  x2. 2 4.  x  xdx  1 x 7. dx. =. 0. 3. 2. .. 3 2  2 3 2  x t  1, 2 xdx 3t dt  xdx  2 t dt.x 0  t 1; x  7  t 2  t  3 1  x2   4 3  t 3  1 2 4 3 3  t dt  t  t 3  1 dt  t  t 12  4t 9  6t 6  4t 4  dt  f ( x )dx  2t 2 2 - Đặt : 2 3 3 1 4 3 2 2 I   t 13  4t 10  6t 7  4t 5  dt   t 14  t11  t 8  t 6   21 2  14 11 4 3  1 . ( Học sinh tự tìm kết quả - Vậy : ) 3. . 3. x 3  2x 2  xdx. 3. 0. 1. =0 1. . . 3. .  I  x  x x dx   x x  0. 3. x  1 xdx  1  x  xdx   x  1 xdx. 1. 0. 1. 2 2 2 1 2 3 8 3 x dx  x x  x 2 x    x 2 x  x x   5 3 5 3  0 5 1. .  2   t dx costdt.x=0  t=0;x=  2 4 2/2 x sin t   2 x2  f ( x) dx  sin t costdt=  1-cos2t  dt dx    2  cost  2  1 x 4. 0 . Đặt :   14 1 1   I   1  cos2t  dt   t  sin 2t  4  20 2 2  0 8 - Vậy : Ví dụ 7. Tính các tích phân sau :.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> 1. 1/ 3. dx. . . 2. 1.  11  x  1  x . (HVQS-98). a. x. 2. 2. 2.. 0. dx (2x 2  1) x 2  1 . (HVQS-99) 4. 2. x  a dx. ,a  0. 3. 0.  .(AN-96).. 4.. 7. dx x x 2  9 . (AN-99). Giải 1. . dx 2. 1.  11  x  1  x . * Chú ý : a. Một học sinh giải cách này , các em tham khảo . Nhân liên hợp ta được : 1  x  1  x2 1  1  1  x2 1  1 1  x2     1    1  x  2x 2 x  2x 2  x x2  - f(x)= 1 1 1 1 1 1 1  1 1  x2 1 I  f ( x )dx     1 dx   2 xdx   ln x  x   J 1 2 2 x  2 1 x 2 1 1  - Vậy :.  1.  x 2 t 2  1.xdx tdt ; x  1  t  2; x 0  t 1  t  1  x2     t t2 1  dt  f ( x )dx  2 tdt  2 dt  1  t 1 t 1 t  1  t  1     * Tính J : Đặt * Học sinh thử tính thử xem có được không ? Nếu không được thì giải thích xem tại sao ? ( Theo điều kiện tồn tại tích phân ) b. Một học sinh giải theo cách khác : 1    dx  cos 2t dt , x  1  t  4 ; x 1  t  4  x tan t   1 dt dt  2  f ( x )dx  1 cos t  sin t  cost+1 cost 1  tan t   cost  - Đặt : - Sau đó áp dụng cách giải tích phân chứa các hàm số lượng giác , nhưng cũng không được , do hàm số không khả tích với t=0 . * Đây là cách giải đúng : t2  1 1  1 t  x  1  x 2  t  x  1  x 2  t 2  2tx  x 2 1  x 2  x   t  , 2 t 2 t  . - Đặt: 1 1  dx   2  dt  2 2t  - Suy ra : - Đổi cận : x=-1, thì t= 2  1 ;x=1 thì t= 2  1 -Do đó : 1 1   2 1   dt 1 2 1 dt 1 2 1 1 1 2 2t 2   I      2 dt  ln  t  1 1 t 2 2  1 t  1 2 2  1 t  t  1 2 21 1 1  t 1  I  ln 1  2  ln   2 2  t . . Hay :. . 2 1. 1 2  1 2t . 2 1 2 1. . 2 1 1  21 2. . ln 1  2 . 1 ln 2. . 2 1. 1.   t. 2. . 2 1. . 2. 2 1 . 1 1    dt t t 1  1   2  1 2.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> 1/. 3. . dx 2. 2 2. 0 (2x  1) x  1 . * Chú ý :. 1 1  dt; x 0  t 0; x   t 2 cos t 6 3 -Cách 1. Đặt 1 dt dt cost du f ( x)dx    dt  2 2 2 2 1 cos t  2sin t  cos t  1+sin t 1 u2  2 tan 2 t 1 cost   cost cos 2t   - Suy ra : . 1 1 2 du 1 I  arctanu 2 arctan 2 1 u 2 0 0 - Vậy : x t ant  dx=. 2 * Học sinh tự tìm hiểu : Tại sao lại không đặt t  1  x để giải .. a. 2 2 2 x x  a dx. a. ,a  0  x x 2  a 2 .xdx . 3. 0 . 0 * Học sinh thử làm theo cách này có được không ? du dx u  x 1    I x  1 2 3 2 3 v  3  1  x  dv  x 1  x - Đặt : a I 3 - Do đó : * Cách khác :. 2 3. 1 a . 1  J 3. . 1  x2 a.  1. . Tính tích phân J :. . 3. . a 1a  1 x2 0 3 0. J  1  x 2 0. . 3.  dx. 3.  dx. a    dx  cos 2t dt.x 0  t 0; x a  t  4 x a.tan t   4  f ( x)dx a 2 .tan 2 t. a . a dt  a sin 2 tdt  cost cos 2t cos5t - Đặt :   2 du costdt.t=0  u=0;t=  t  4 2  u sin t   2 sin t u2 4  f (t )dt a 4 . c ostdt=a du 3 2 2 3  1  sin t 1  u      - Nếu lại đặt 3 2 1-  1-u 2      1 1 f(u)=     2 3 1  u 1  u     1-u    1  u  1  u     - Ta lại có : * Với : 3 3   1 1 1 1  1 1 1 1 1   1 g (u )      3        8  1  u 1  u  8   1  u  3  1  u  3  1  u   1  u   1  u 1  u    1 u   1 u   2 1 1 1 3 1 1   1 1 1 3 1 1 1 1                   8   1  u  3  1  u  3 2  1  u 1  u   8   1  u  3  1  u  3 2   1  u  2  1  u  2 1  u 1  u     1 1 1  3 1 1 1 1           3 3 2 2 8   1  u   1  u   16   1  u   1  u  1  u 1  u  (1).

<span class='text_page_counter'>(30)</span> 2.   1 1 1 1 1 1  h(u )         2 2 1 u  1 u   4  1 u   1  u  1  u 1  u    (2) 2 2. 2 2. I  g (u )du . Vậy :. 0. 2 2. h(u )du. (3). 0. 2 2.   1  1 1  3 1 1 1 1  g (u )du            du  8  0   1  u  3  1  u  3  16   1  u  2  1  u  2 1  u 1  u   0   2 11 1 1  3 1 1 1 u  3 2  2 11 85 2 2  2   2ln       ln    2 ln    2 2 8  2   1  u  2 64 64 2  1  u   16  1  u 1  u 1  u   0 2  2 2. 2 2. 2  1 1 1 1  1 1 1 1 u  2 2      ln 2 ln 1   du   2  2 2   4  1 u 1 u 1 u  2  1  u  1  u 1  u  0  1 u  0 149 I 64 Thay kết quả tìm được vào (3). Vậy : 1 h(u )du   4 0. 4. dx. 4. xdx  2 x2  9 . 7 x 4. 7 x x  9 .  x 2 t 2  9.xdx tdt ; x  7  t 4; x 4  t 5  t  x2  9   tdt dt 1 1 1   f ( x) dx  t 2  9 t   t  3  t  3   6  t  3  t  3  dt    - Đặt : 5 1 1 1  1 t 3 5 1 1 1 1 7 I      ln  ln   ln  dt  ln 6  4 t  3 t 3 6 t 3 4 6  4 7 6 4 - Vậy : Ví dụ 8. Tính các tích phân sau. . 2. 1. 2/2. x3. . dx. 2. 1. 0 x . x 1. . . (HVNGTPHCM-2000). 1. 3. 3.. 0. 2.. 2. x  1dx. . . 1 x. 2. 1. x3. . 1. 0 x . 2. x 1. 1. dx. - Với :. =0. x 1  x 2.  1  x 2.  dx . 1.  x 0. 3. . x 2  1  x 4 dx (1). 1 3. x 2  1dx x 2 x 2  1xdx. .  x t  1.xdx tdt. x 0  t 1; x 1   2 t  x2 1   2 2 2 4 2  g ( x )dx  x x  1xdx  t  1 t.tdt  t  t  dt 0. 0. 2. Đặt :. .  x. 1. x. x. 2. 2. .(HVTCKT-97). . (YHP-2000). Giải 3. dx. (1  x 2 )3 dx. 4. 0. .(YHN-2001). 2. x2.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> 1. 2. 1  2 26 2 1 x 2 x 2  1xdx   t 4  t 2  dt  t 5  t 3    3  1 15 5 0 1. - Cho nên : (2) 1 1 1 1 6 2 2 1 6 2  1 x 4 dx  x 5  I     5 0 5 15 5 15 . -0 . (3). Thay (2) và (3) vào (1) ta có :  2   t= dx costdt.x=0  t=0;x= 2 4 2/2 x sin t   x2 2 dx  f ( x) dx  sin t .costdt= 1-cos2t dt  2  cost 2 1 x 2. 0 . Đặt :   4 1  cos2t 1 1 1 1   2  I  dt   t  sin 2t  4      2 2 2 8  0 2 4 2 0 - Do đó : 3. 3.I= Vậy :. . 2. 2. x  1dx x. x  1 =. 2 3. I 5 2  I . 1. . x2  1. 2. 3 2. 3. .  2. 3. x2 x2  1. dx 5 2 . 3. . 2. x  1dx . 2. dx  2 I 5 2  ln x  x 2  1. 3 2.  2. 5 2  ln. . 1 x2  1. . dx. 2 1  I . 5 2 1  ln 2 2.   dx  c ostdt.x=0  t=0;x=1  t=  2 1 x sin t   2 2 3  f ( x)dx  cos6tcostdt=cos 4tdt   1  cos2t  dt  (1  x ) dx  4 4. 0 . Đặt : Vậy : . .  1 2 1  cos4t  12 1 1 3  I   1  2 cos 2t  dt   3  4 cos 2t  cos4t  dt   3t  2sin 2t  sin 4t  2  4 0 2 80 8 4   0 16 Ví dụ 9. Tính các tích phân sau a. x. 2. 2. 1. 2. a  x dx (a  0). . 1. 0. (SPIHN-2000)2. 0. 0. 4. dx x4  x2. . 3.  1 a. x. 1. 0. 2. (CĐSPHN-2000). dx x 1  x dx. x(1 . 4. 1 Giải. . (QG-97). x). . (CĐSPKT-2000). a 2  x 2 dx (a  0) ..   dx a.costdt.x=0  t=0;x=a  t= x a.sin t   2  f ( x)dx a 2 sin 2 t.a.cost.a.costdt=a 4 sin 2 t cos 2 tdt  - Đặt :    4 2 2 1 a a4  1  a4  4 2 I a sin 2tdt   1  cos4t  dt   t  sin 4t  2  4 8 0 8  4  0 16 0 - Vậy :. . . 2 1.

<span class='text_page_counter'>(32)</span> 1. . 2. 0 0. . 3.  1. Vậy :. 1 1 dx x 1  x   2  dx  x  1  x  dx  x  1  x 0  x  1  x 3 0. .  x  1. 3. . x3. . 1 2  2 2 1 0 3. . 0 dx  x  4  x  2  dx 1 0 x  4  x  2 dx    x  4  x  2  1  x  4   x  2 2  1. 1 2 I . 2 3. .  x  4. 3. .  x  2. 3.  01 13  8  2 2  3 3 1 9  2 23  3 3.  x  t  1 2 .dx 2  t  1 dt ; x 1  t 2; x 4  t 3  4 t 1  x   dx 2  t  1 dt 2  1 1  dt 2    dt  f ( x)dx  x(1  x ) 2 t t  1 t  1 t    t  1 t     4. 1 . Đặt : 3 t1 3 1 4  1 1  2 I 2    dt 2ln 2  ln  ln  2ln t1 t t 2 2 3  3 2 - Vậy : Ví dụ 10. Tính các tích phân sau 1. 2. (x 2  x)dx. . x 2  1 .(ĐHHĐ-99) 2 3 2 x 1 2 3 x x  1dx   x  1 dx 0 0. . 1. 0. 3.. / 2. 2  (x  1)sin xdx . 4. 0 1. 2. 7. dx 2  x 1. .(ĐHĐN-97). .(ĐHCT). 3 5. . 0. x  2x 3 x 2 1. (x 2  x)dx. dx . ( ĐHTSNT-2000) Giải. 1 1  x2  2 1 x  1    dx  x 1  dx  x 2  1  2  2      0 x 1 x2 1  x2 1  x 1 0 0 1. 0 1 1   x 2  1dx  arctanx  2  1  J   2  1  1 0 4 0 - Tính J ( Sử dụng phương pháp tích phân từng phần ) 1 1 1 1 x2  2 1 1  2 2 x  1 dx  x x  1  dx  2  x  1  dx  2  I  arctanx     0  0 x2 1 x2 1  0 0 0. - Do đó :. 2I  2 . . .  2   I  4 2 8.  x t 2  2.dx 2tdt.x 7  t 3; x 2  t 2  dx t  2 x   2tdt 1    2  x 1  f ( x)dx  t  1 2  1  t  1  dt    2. 7 . Đặt : 2 2 1    4  I 2  1   dt 2  t  ln t  1  3 2  2  ln 3   3  ln 4   2  ln  1 t 1   3  3  - Do đó : 2. .

<span class='text_page_counter'>(33)</span> 2. x. 2. 3. 3. x  1dx . 3. 0 2. a.. 2 3 x 1  x dx  0. 1 1   24   I  3  2 3. 8 8 1 1 1  udu   u 1 u   0 30 3 . 8.  0. x2 1  x  1 dx 0 8. 8  1 u 1 du  24  1  udu      2  3  0 2 1 u 0. 8.  0. du 1u.    . 8 8 du   7 1 du 1 1 26 52 8  1  u 8  1    I     I 8   0 6 6 0 1 u 3 3 3 7 1  u   2. 3.  x 1  2  x  1  2 dx 1 x2 1 dx     x  1 x  1 0 0 b. . 2  x  1 t ; dx 2tdt.x 0  t 1; x 3  t 2  t  x 1   t 2  2t  2 2tdt  2t 2  4t  4  dt  f ( x) dx  t  - Đặt : 2 2 2 8 I  2t 2  4t  4  dt  t 3  2t 2  4t   3  1 3. 1 - Vậy : / 2.  (x. 2. 3 5.  1)sin xdx . 4. 0  2. . x  2x 3. 0  2. x 2 1  2. dx  2.   x 1 s inxdx x s inxdx  s inxdx x d   cosx   cosx 2 J 1  1  0 0 0 0 0 a.        2  2 2 2   2 2 J x d   cosx   cosx.x 2  2 x.cosxdx 2.x.d  s inx  2  x.s inx 2  sin xdx  0 0   0 0 0 0   - Tính J:     2  cosx 2    2  I   1  2  0   . 2 3 5 3 2 3 x  x  2 x  2x I  dx   xdx 2 2 x  1 x  1 0 0 b. . 2 2  x t  1; xdx tdt; x 0  t 1; x  3  t 2  t  x2 1    t 2  1  t 2 1 tdt  t 4  1 dt  f ( x) dx    t  - Đặt : 2 1  2 26 I  t 4  1 dt  t 5  t   5 1 5 1 - Vậy : 2. 2. 2. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1. x. 1. 0. 1. 1  xdx. x. (ydtphcm-2000). 2. 0. 3. 1  x 2 dx . (ĐHNGT-2000).

<span class='text_page_counter'>(34)</span> 1. 3.. 2 3. x dx 2 x 1.  0. 4.. 1. 5.. x. 2. 1  x dx .(DB-2003). 0. 1  3ln x.ln x dx x .(KB-2004).  1 6. 9.. 6. 7. 8.. 0. 10.. 5. 3  2 ln x x 1  2 ln x dx 11. 1 .(DB-06) x5  1. 0. ln 2 x x ln x  1 dx 14. 1 .(DB-05). dx .(CĐSPKT-04) 4. 1. 15.. 5x  3. . 2 x2  8x 1. 0. dx 2 x  1 .(DB-06) 3 5 x  2x 3  2 dx 12. 0 x  1 .(CĐSPHN-04) e3. x4. . .(DB-2005). x . e. 2. 1. x2. 10. 4x  1 . (DB-2006). 2. x dx x  1 .(KA-2004). 1 . 3 x  1dx. dx. 2x  1 . 13.. x x 2  4 . (KA-2003). 5 2. 3. e. 7.. dx. . . dx 16.. 7 2. 3x  4  x2  6x  8 1. a. 17.. x. 2. 2. a  x dx. 1 4. 19*.. . a. 21..  1. 2. dx 1 x x 2. x a dx x.  1. 20*.. x3  1 dx x4. 22*.  8. 1  x2 x2.  1 x   1. 3. 2. dx. x 3. 3. 2. 23*+.. 0. 18.. 0. 3. . 2. dx.  0. 2 3. 2. dx. 1  x6 dx x dx.  1 x . 24. 0. . 1 x.

<span class='text_page_counter'>(35)</span>