Nguyen ham cua ham luong giac p1

<span class='text_page_counter'>(1)</span>LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng. Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân. Tài liệu bài giảng:. 07. NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P1 Thầy Đặng Việt Hùng I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC THƯỜNG SỬ DỤNG.
Các hằng đẳng thức lượng giác:.
Công thức góc nhân đôi:. sin 2 x + cos 2 x = 1 1 = 1 + tan 2 x cos 2 x 1 = 1 + cot 2 x 2 sin x tan x.cot x = 1. cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x = 2cos 2 x − 1 = 1 − 2sin 2 x sin 2 x = 2sin x.cos x. 1 + cos 2 x 2 1 − cos 2 x sin 2 x = 2 cos 2 x =.
Công thức hạ bậc hai:.
Công thức cộng:. sin ( a ± b ) = sin a.cos b ± sin b.cos a. cos ( a ± b ) = cos a.cos b ∓ sin a.sin b (Sin thì cùng dấu khác loài, Cos thì khác dấu nhưng loài giống nhau). Chú ý: sin 2a = 2sin a.cos a - Trong trường hợp a = b ta được công thức góc nhân đôi:  2 2 2 2 cos 2a = cos a − sin a = 2cos a − 1 = 1 − 2sin a sin 3a = 3sin a − 4sin 3 a - Trong trường hợp 2a = b ta được công thức góc nhân ba:  3 cos3a = 4cos a − 3cos a. 1 [cos(a + b) + cos(a − b)] 2 1 sin a.sin b = [ cos(a − b) − cos(a + b) ] 2 1 sin a.cos b = [sin( a + b) + sin(a − b)] 2 cos a.cos b =.
Công thức biến đổi tích thành tổng:. sin ( − x ) = − sin x cos ( − x ) = cos x. Chú ý: . Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên!. www.moon.vn.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng a+b a −b .cos 2 2 a+b a −b sin a − sin b = 2cos .cos 2 2 a+b a −b cos a + cos b = 2cos .cos 2 2 a+b a −b cos a − cos b = −2sin .sin 2 2 sin a + sin b = 2sin.
Công thức biến đổi tổng thành tích:. 2t  sin x =  x  sin x 2t 1+ t2
Công thức biến tính theo t = tan ⇒  ⇒ tan x = = 2 2  cos x 1 − t 2 1− t cos x =  1+ t2.
Một số các công thức cần nhớ nhanh sin 3 x + cos3 x = (sin x + cos x)(1 − sin x.cos x) ;. sin 3 x − cos3 x = (sin x − cos x)(1 + sin x.cos x). 1 3 1 sin 4 x + cos 4 x = 1 − 2sin 2 x.cos 2 x = 1 − sin 2 2 x = + cos 4 x 2 4 4 3 5 3 sin 6 x + cos6 x = 1 − 3sin 2 x.cos 2 x = 1 − sin 2 2 x = + cos 4 x 4 8 8 π π π π     sin x + cos x = 2 sin  x +  = 2 cos  x −  ; sin x − cos x = 2 sin  x −  = − 2 cos  x +  4 4 4 4     1 + tan a.tan b =. cos(a − b) 2 ; tan x + cot x = cos a.cos b sin 2 x. II. CÁC NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC THƯỜNG SỬ DỤNG.
I8 = ∫. dx 1 = tan ( ax ) + C 2 cos ( ax ) a.
I 2 = ∫ sin ( ax ) dx = − cos ( ax ) + C.
I9 = ∫. dx = − cot x + C sin 2 x.
I 3 = ∫ cos x dx = sin x + C.
I10 = ∫. dx 1 = − cot ( ax ) + C sin ( ax ) a.
I1 = ∫ sin x dx = − cos x + C. 1 a. 1 a.
I11 = ∫ tan x dx = ∫. sin x dx = − ln cos x + C cos x. 1 − cos2 x x sin 2 x dx = − +C 2 2 4.
I12 = ∫ cot x dx = ∫. cos x dx = ln sin x + C sin x. 1 + cos 2 x x sin 2 x dx = + +C 2 2 4.
I13 = ∫ tan 2 x dx = ∫ .
I 4 = ∫ cos ( ax ) dx = sin ( ax ) + C.
I 5 = ∫ sin 2 x dx = ∫.
I 6 = ∫ cos 2 x dx = ∫.
I7 = ∫. 2. dx = tan x + C cos 2 x.  1  − 1 dx = tan x − x + C 2  cos x .  1  − 1 dx = − cot x − x + C 2  sin x .
I14 = ∫ cot 2 x dx = ∫ . Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên!. www.moon.vn.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng III. CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP. Dạng 1. Nguyên hàm dùng công thức lượng giác thuần túy Ví dụ 1. Tính các nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ sin 2 2 x dx. b) I 2 = ∫ cos 2 4 x dx. c) I 3 = ∫ cos 2 x.sin 4 x dx. Hướng dẫn giải:. a) I1 = ∫ sin 2 2 x dx = ∫. x 1 1 − cos 4 x 1 1 1  dx = ∫ (1 − cos 4 x ) dx =  x − sin 4 x  + C = − sin 4 x + C. 2 2 2 4 2 8 . b) I 2 = ∫ cos 2 4 x dx = ∫. 1 + cos8 x 1 1 1 x 1  dx = ∫ (1 + cos8 x ) dx =  x + sin 8 x  + C = + sin 8 x + C. 2 2 2 8 2 16 . c) Sử dụng liên tiếp các công thức hạ bậc hai cho sin2x và cos2x ta được: cos 2 x.sin 4 x = cos 2 x.( sin 2 x ) = 2. 1 + cos 2 x  1 − cos 2 x  1 + cos 2 x 1 − cos 2 x 1 − cos 2 x 1 − cos 2 2 x 1 − cos 2 x = = . . .   = 2 2 2 2 2 4 2   2. 1 1 1 = sin 2 2 x.(1 − cos 2 x ) = sin 2 2 x − sin 2 2 x.cos 2 x 8 8 8 Khi đó I 3 = ∫ cos 2 x.sin 4 x dx = =. 1 1 1 1 − cos 4 x 1 sin 2 2 x dx − ∫ sin 2 2 x.cos 2 x dx = ∫ dx − ∫ sin 2 2 x d ( sin 2 x ) = ∫ 8 8 8 2 16. 1 1 1 sin 3 2 x 1 1 1 x − sin 4 x − . + C  → I 6 = x − sin 4 x − sin 3 2 x + C. 16 64 16 3 16 64 48. Ví dụ 2. Tính các nguyên hàm sau: a) I 7 = ∫ sin 3 x.cos x dx. b) I8 = ∫ cos 2 x.cos3 x dx. c) I 9 = ∫. dx sin 3x + sin x. Hướng dẫn giải:. a) Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng ta được sin 3 x.cos x = T ừ đó I 7 = ∫. 1 1 1 1 1 1 1 ( sin 4 x + sin 2 x ) dx = ∫ ( sin 4 x + sin 2 x ) dx =  − cos4x − cos 2 x  + C = − cos4 x − cos 2 x + C. 2 2 2 4 2 8 4 . b) I8 = ∫ cos 2 x.cos3x dx = ∫ c) I 9 = ∫. 1 ( sin 4 x + sin 2 x ) 2. 1 1 1 1 1 ( cos5 x + cos x ) dx =  sin 5 x + sin x  + C = sin 5 x + sin x + C. 2 25 10 2 . dx dx dx 1 sin x dx 1 d (cos x) =∫ =∫ = ∫ 2 =− ∫ 2 2 sin 3x + sin x 2sin 2 x.cos x 4sin x.cos x 4 sin x.cos x 4 (1 − cos 2 x ) .cos 2 x. Đặt cos x = t  → I9 = −. 2 2 1 dt 1 (1 − t ) + t 1  dt dt  = − dt = −  ∫ 2 + ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 4 (1 − t ) .t 4 (1 − t ) .t 4 t 1 − t 2 . dt. Mà. 1 = − + C1 t 1  1 1 1+ t  → I 9 = −  − + ln dt 1 (1 − t ) + (1 + t ) 1  dt dt  1 1 + t 4  t 2 1− t ∫ 1 − t 2 = 2 ∫ (1 − t )(1 + t ) dt = 2  ∫ 1 + t + ∫ 1 − t  = 2 ln 1 − t + C2. ∫t. 2.   + C. . 1 1 1 1 + cos x  Thay t = cosx vào ta được I 9 = −  − + ln  + C. 4  cos x 2 1 − cos x . Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên!. www.moon.vn.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Ví dụ 3. Tính các nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ sin x.sin 2 x.cos5 x dx. b) I 2 = ∫. sin 3 x.cos 4 x dx tan 2 x + cot 2 x. c) I 3 = ∫. sin 3 x dx 3sin 4 x − sin 6 x − 3sin 2 x. Ví dụ 4. Tính các nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ cos3 x.cos 3x dx. b) I 2 = ∫ cos 2 x.cos 2 x dx. c) I 3 = ∫ (sin 4 x + cos 4 x)(sin 6 x + cos 6 x)dx Ví dụ 5. Tính các nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ sin x cos 2 x dx. b) I 2 = ∫ sin 3x cos x dx. c) I 3 = ∫ (2sin 2 x − sin x.cos x − cos 2 x)dx. Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên!. www.moon.vn.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>