de thi hoc sinh gioi toan 8 cap huyen

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Trường THPT Lê Hồng Phong Tổ toán ĐÁP ÁN – ĐỀ SỐ 1 Chuyên mục: DÀNH CHO CÁC BẠN HỌC SINH YÊU TOÁN Câu 1) (3 điểm) Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là một số chính phương: x4  2 x3  2 x2  x  3. Giải: 2 4 3 2 Đặt x  2 x  2 x  x  3 = y (1) với y   Ta thấy:. y 2 ( x 4  2 x 3  x 2 )  ( x 2  x  3) y 2 ( x 2  x ) 2  ( x 2  x  3) 2 2 2 2 Ta sẽ chứng minh a  y  (a  2) với a = x  x Thật vậy:. 1 11 y 2  a 2  x 2  x  3 ( x  ) 2   0 2 4 2 2 2 2 4 ( a  2)  y ( x  x  2)  ( x  2 x 3  2 x 2  x  3) 3x 2  3 x  1 1 1 3( x  ) 2   0 2 4 2 2 2 2 2 Do a  y  (a  2) nên y (a  1)  x 4  2 x 3  2 x 2  x  3 ( x 2  x  1) 2  x 2  x  2 0  x 1   x  2 2 Với x = 1 hoặc x = -2 biểu thức đã cho bằng 9 3. 4 3 3 Câu 2) ( 3 điểm) Giaûi phöông trình: 16 x  5 6 4 x  x. (1). 3 3 4 Giải: Vì 16 x  5  0 nên 6 4 x  x  0 , do đó x  0 . Aùp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương:. 4 x, 4 x 2  1, 2 , ta coù: 6 3 4 x3  x 3 3 4 x(4 x 2  1)2 4 x  4 x 2  1  2 4 x 2  4 x  3. (2). Từ (1) và (2) suy ra: 16 x 4  5 4 x 2  4 x  3  8 x 4  2 x 2  2 x  1 0  (2 x  1)2 (2 x 2  2 x  1) 0  (2 x  1)2 0. (3)(do 2 x 2  2 x  1  0 x ) 1 (2 x  1) 0  x  2 2 (thoûa maõn (1)) Lại vì (2 x  1) 0 x , nên từ (3) suy ra: 1 x 2 Vaäy phöông trình coù nghieäm duy nhaát Câu 3) ( 3điểm) Cho m ,n  N , n 3. Cmr:.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 1 1 1 1  2  ...  m 1  1 Cn Cn 1 Cn  m n  2. Ta có.  k  1 ! n  1 !   n  1  k  1 ! n  2  ! n  2 1    k 1 Cn  k  n k!  n  2   k  !.  n  1  k  1 ! n  2  !  k  1 ! n  2  !  n  1  k  1 ! n  2  ! n  k  k  2 ( n  k    k  2 )    n  2 n k! n  2 n k! n  k!      = =  n  1   k 1 ! n  2  !   k  2  ! n  2  !   n  1  1 1   k 2     k 1  n  2    n  k  1 !  n  k  !  =  n  2   C n  k  1 Cn  k  = m  n  1  1  1   n  1 . 1  1 1   k 1   n  2   Cn1 1 Cnmm2  n  2 Cn1 1 n  2 suy ra điều phải chứng minh. k 0 Cn  k   Câu 4:ta có cos( AB, AC ) > 0 nên góc A nhọn.. TH 1: d cắt đoạn BC tại M khi đó d(B,d) + d(C,d) = BH + CK  BM + CM = BC không đổi , dấu = xảy ra khi và chỉ khi d  BC . TH 2: d không cắt đoạn BC, Gọi I là trung điểm BC , ta có d(B,d) + d(C,d) = 2.d(I,d)  2AI không đổi. dấu = xảy ra khi và chỉ khi d  AI suy ra phương trình đt d. Mà do góc A nhọn nên BC < 2 AI suy ra đường thẳng d cần tìm là TH 2. A A d H M. B. C. B. I. C. K d Câu 5.. S Đặt SA = x, M. A. N. B O. I C                 1 2 AN b  c, BM  AM  AB  c  a AB a, AC b, AS c, c x, a  b 3a 2 Đặt và     1      b  c  c  a  0  bc  2ab  c 2  2ac 0 2  Giả thiết (1) IA 3a  Do cạnh bên tạo với cạnh đáy các góc  bằng nhau nên cos  = AS 2 x thay vào (1) . . . Ta tính được x , từ đó tính được SO là khoảng cách từ S đến mp(ABC).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 11 7   4 1 2   t  Câu 6:đặt x2 = t > 0 ta có y = t + 2t 2. 2 7  7 7 7    3   3.1  7.    9  7   1  2  16  1  2     t  t   t   t  Ta có . 7  1 7  3 t 7 41 2    3     t 3 t  dấu = xảy ra khi và chỉ khi 1  t  2 7 Suy ra 11 1  7 3  9 3 15  y t    3      t     2.3  2t 2  t 2  t 2 2 ( dấu = khi t = 3  x  3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>