Day du cac dang toan LTDH

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (582.05 KB, 70 trang )

(1)CHỦ ĐỀ 1: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆUVÀ TÌMCỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 1. Xét tính đơn điệu của hs y = f(x) nhờ đạo hàm: Hs y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a;b) <=> y’  0 (y’  0)  x  (a;b) ( y’ chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc khoảng (a;b)) 2. Phương pháp tìm cực trị của hàm số y = f(x): * PP1: B1: Tìm TXĐ ' ' ' B2: Tìm y và các điểm tới hạn x0 ( x0  TXĐ mà y ( x0 ) = 0 hoặc y ( x0 ) không XĐ) B3: Lập bảng biến thiên B4: Tìm cực trị nếu có / Chú ý: Khi x vượt qua x0 mà y đổi dấu từ (+) sang (-) thì tại x0 hs đạt giá trị cực đại. y / đổi dấu từ (-) sang (+) thì tại x0 hs đạt giá trị cực tiểu y / không đổi dấu thì tại x0 hs không đạt cực trị.. * PP2: B1: Tìm TXĐ ' ' ' B2: Tìm y và các điểm tới hạn x0 ( x0  TXĐ mà y ( x0 ) = 0 hoặc y ( x0 ) không XĐ). B3: Tìm y”, y”( x0 ) và tìm cực trị nếu có Chú ý: Nếu y”( x0 ) < 0 thì tại x0 hs đạt giá trị cực đại Nếu y”( x0 ) > 0 thì tại x0 hs đạt giá trị cực tiểu Nếu y”( x0 ) = 0 thì ta chuyển về PP1 để tìm cực trị / 3. Hàm số y = f(x) có n điểm cực trị <=> y = 0 có n nghiệm phân biệt ..  f / ( x0 ) 0  // x 0 4. f(x) đạt cực đại tại nếu  f ( x0 )  0 ; f(x) đạt cực tiểu tại x0 nếu  f / ( x0 ) 0 x  x0    f ( x0 ) c 5. f(x) có đạo hàm và đạt cực trị bằng c tại.  f / ( x0 ) 0  //  f ( x0 )  0. * BÀI TẬP: (1) Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của Hs sau: 16 3 x  x4 2/ y = 16x + 2x - 3 2 4/ y = ( x 1) (5  x). 4 3 1/ y = x  8x  5 2 3 3/ y = (1  x ) 2. 5/ y = (x + 2) (x – 3) x 2 7/ y = x  x  1 2. 9/ y =. 3. x 2 .( x  5). 3 11/ y = (7  x). x  5. 13/ y = 15/ y =. x 2  2x  3 2. x  x  20. x3. 17/ y =. x2  6. 2. 3. x 1 2 6/ y = x  8 x 4  48 x 8/ y = 3 2 10/ y = x - 6. x. 12/ y =. x .( x  3). 14/ y =. 25  x 2. x 16/ y = x  100 x 2 18/ y = 10  x.

(2) 20/ y = sin 2x. 19/ y = cosx - sinx (2) Chứng minh bất đẳng thức:  a/ tanx > x (0<x< 2 )  c/ sinx + tanx > 2x ( 0 < x < 2 ) 1 x2 x 1 x   1 x 1 2 8 2 ( 0 < x < + ) e/. (3) Cho hàm số:. 3 2 y = x  mx  m. x3 b/ tanx > x + 3 3x 2sinx  2 t anx  2 2 d/ 2 a3 g/ a - 6 < sina < a. 1.  (0<x< 2 )  (0<x< 2 ). ( a >0 ). (m: tham số). a/ Tùy theo m, hãy xét sự biến thiên của y. b/ Tìm m để hàm số nghịch biến trong khoảng (1; 2) (4) Tìm m để hàm số: x3  (m  2) x 2  (2m  7) x  3m a/ y = 3 x3 x2   (3m  1)  (2m 2  2m) x  m 2 b/ y = 3 (2m  1) x  2m  2 mx + m 2  1 (5) Tìm m để hàm số: y =. đồng biến trong khoảng (0; +  ) đồng biến trong khoảng (0; 2) nghịch biến trên từng KXĐ của nó. (6) Tìm m để hs: a/ y =. . x3  (m 2  m  2) x 2  (3m 2  1) x  m 3 2. 4. 2. 2. đạt cực trị tại x = -2. b/ y = (m  1) x  3mx  m  8. có ba điểm cực trị. 1 3 x  mx 2  (m 2  m  1) x  1 c/ y = 3. đạt cực đại tại x = 1. 4. 2. (7) Tìm a ; b để hs : y = x + ax + b. 3 có một cực trị bằng 2 khi x = 1. 1 y  x3  mx 2  x  m  1 (Cm ) 3 (8) Cho hàm số .. a. CMR : với mọi m hàm số đã cho luôn có cực trị . b. Hãy xác định m sao cho khoảng cách từ các điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất 4. 2. 4. (9) Cho hàm số y  x  2mx  2m  m . Tìm m để hàm số luôn có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của tam giác đều 4 2 (10) Tìm m để hàm số y x  (m  1) x  1  m có một cực trị 4. 2. (11) Cho hàm số y  x  2mx  m . Xác định m để hàm số có CĐ, CT thoả mãn a) Lập thành một tam giác đều b) Lập thành một tam giác vuông c) Lập thành một tam giác có diện tích bằng 4 5 2 3 a x  2ax 2  9x + b 3 (12) Tìm a; b để hs : y = 5 x 0 = - 9 là điểm cực đại.. có cực đại, cực tiểu là những số dương và.

(3) x 3 2. (13) Cho hàm số: y = x  1 a/ Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số. 2 b/ Tùy theo m, biện luận số nghiệm của phương trình: x + 3 = m x  1. CHỦ ĐỀ 2: GIÁ TRỊ CỰC TRỊ VÀ ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM CỰC TRỊ y  f ( x ) ax 3  bx 2  cx  d (a 0). * HÀM BẬC BA:. /. /. (C). 2. y  f ( x) 3ax  2bx  c .. Để Hs có cực trị thì y’ = 0 phải có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 ( / Chia f(x) cho f/(x) ta được y  f ( x )  f ( x ).q ( x )   x  .  y'. > 0).  y1  x1    y  x2   1 1 2 2 Gọi (x ;y ), (x ;y ) là hai điểm cực trị, ta có:  2. => Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị: y  x   . y. * HÀM HỮU TỈ: y/ . Ta có:. ax 2  bx  c a1 x  b1. ( aa1 0). aa1 x 2  2ab1 x  bb1  a1c (a1 x  b1 ) 2. 2 Hàm số có cực trị khi phương trình g(x) = aa1 x  2ab1 x  bb1  a1c = 0. b  1 có hai nghiệm phân biệt khác x0 = a1 <=>.  /  0   g ( x0 ) 0. 2ax1  b   y1  a  1   y  2ax2  b  2 a1 1 1 2 2 Gọi (x ;y ), (x ;y ) là hai điểm cực trị, ta có: y. => Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị: * BÀI TẬP: (14) Tìm cực trị của Hs sau: x3  2x 2  x  1 a/ y = 3 3 2 (15) Cho hàm số : y = x  3mx  9 x  3m  5. 2ax  b a1. x 2  2x+3 x-1 b/ y =. a/ Xác định m để đồ thị có 2 điểm cực trị. b/ Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị. 3 2 (16) Cho hàm số : y = x  6 x  3(m  2) x  m  6 Xác định m để : a/ Hàm số có 2 cực trị. b/ Hàm số có 2 cực trị cùng dấu 3 2 c/ Phương trình x  6 x  3(m  2) x  m  6 = 0 3. 3. 3. có ba nghiệm phân biệt.. (17) Cho y = f(x) = ( x  a )  ( x  b)  x a/ Các số a, b thỏa mãn điều kiện gì để hàm số có cực đại và cực tiểu..

(4) 3. 3. 3. b/ Chứng minh với mọi a, b phương trình: ( x  a)  ( x  b)  x = 0 không thể có 3 nghiệm phân biệt. CHỦ ĐỀ 3: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ (C) : y = f(x) 1/ Phương pháp tìm tiệm cận: - Đứng: - Ngang: - Xiên: 2/ BÀI TẬP: (18) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số: 2x 2  5x +1 x -2 a) y = 3x 3  4 2 b) y = ( x  1).( x  2). 2 d) y = 2x + x  1. e) y =. x2  2 x + 2 x -1. x 2  x 1. 3x +1. c) y = (37) Tùy theo m, tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:. g) y =. x 2  x 1. m 2 x 2  2mx  3 x 1 b) y =. x+2 2 a) y = x  4x + m. (19) Tìm m để đồ thị hs: mx 2  2m(m  1) x  3m 2  m  2 x2 a) y = có tiệm cận xiên đi qua điiểm A(-1; -3) 2 x  mx  1 x -1 b) y = có tiệm cận xiên tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8 -3x 2  mx  4 4x  m c) y = có tiệm cận vuông góc với tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 0. CHỦ ĐỀ 4: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HS y = f(x) B1: Tập xác định B2: Giới hạn- Tiệm cận (nếu có) B3: Chiều biến thiên: (Tìm y’; nghiệm của y’; lập bảng biến thiên) B4: Điểm uốn (Tìm y’’ ; xét dấu y’’ ; suy ra khoảng lồi lõm và điểm uốn) B5: Vẽ đồ thị: (Tìm điểm đặc biệt, vẽ tiệm cận, vẽ đồ thị hs, nx dạng đồ thị) CHỦ ĐỀ 5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐỒ THỊ Cho 2 đường: (C1) : y = f(x) và (C2) : y = g(x). Pt hoành độ giao điểm của hai đường là : f(x) = g(x) Số nghiệm của Pt (*) là số giao điiểm của hai đường (C1) & (C2). (*).  f ( x ) g ( x )  Điều kiện tiếp xúc: để (C1) tiếp xúc (C2), điều kiện là hệ Pt :  f '( x) g '( x) có nghiệm. * BÀI TẬP: 4. 2. (20) Cho (C) : y = x - 5x + 4 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs 2. b) Tìm m để (C) tiếp xúc với (P) : y = x + m . Tìm tọa độ các tiếp điểm.

(5) 4. 2. 2. (21) Cho (C) : y = x - (m + 10)x + 9 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs với m = 0 b) CMR với m 0, đồ thị luôn cắt Ox tại 4 điểm phân biệt. Trong các giao điểm đó có hai điểm nằm trong khoảng (-3 ; 3) và có hai điểm nằm ngoài khoảng (-3 ; 3) 3. 2. (22) Cho (C m ) : y = 2x + 3(m – 3)x + 11 – 3m 19 a) Tìm pt các đường thẳng qua A( 12 ; 4) và tiếp xúc với đồ thị (C 2 ) của hs. b) Tìm m để (C m ) có 2 cực trị, đồng thời các điểm cực trị M 1 ; M 2 và B(0 ; -1) thẳng hàng 3. (23) Cho (C) : y = 2x - x. 2. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs 2 2 2 b) Tìm m để (d): y = m cắt (C) tại ba điểm có hoành độ x 1 ; x 2 ; x 3 . Tính tổng: x1  x2  x3 ?. 2 x 1 (24) Cho (C) : y =  x  1. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Tìm m để đường thẳng (d): y = mx + 2m - 1 cắt (C) tại hai điểm trên cùng một nhánh. x +1 (25) Cho hs : y = x -1. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) CMR đường thẳng (d): 2x – y + m = 0 luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B trên 2 nhánh của (C) c) Tìm m để đoạn AB ngắn nhất  2 x 1 (26) Cho (C) : y = x  1. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Tìm m để đường thẳng (d): y = – x + 3m cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB = 2 2 . Tìm tọa độ của A ; B 2 x 1 (27) Cho (C) : y = x  2. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Tìm m để đường thẳng (d): y = mx – m + 5 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A(x 1 ;y 1 ), B(x 2 ;y 2 ). Tìm hệ thức giữa x 1 ; x 2 độc lập với m CHỦ ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI Đ/CONG y = f(x) 1. Điều kiện tiếp xúc : Cho hai hs : y = f(x) và y = g(x) có đồ thị lần lượt là (C) và (C’).  f ( x )  g ( x)  (C) tiếp xúc với (C’) <=>  f '( x)  g '( x) có nghiệm x 0 (x 0 là hoành độ tiếp điểm). 2. Các dạng bài tập về Phương trình tiếp tuyến (pttt) : Dạng 1 : Viết pttt với (C) : y = f(x) tại điểm M 0 ( x0 ; y0 ) PPG :. - Tìm y’(x 0 ) => Pttt : y = y’(x 0 ).(x - x 0 ) + y 0. Dạng 2 : Viết pttt với (C) : y = f(x) biết tt đi qua điểm A( xA ; yA ) PPG : - Pttt có dạng : y = k.(x - x A ) + y A.

(6)  f ( x ) k.(x - x A ) + y A  f '( x ) k - Áp dụng điều kiện tiếp xúc . để tìm k => Pttt Dạng 3 : Viết pttt với (C) : y = f(x) biết tt có hệ số góc bằng k PPG : - Pttt có dạng : y = k.x + b  f ( x ) k.x + b  - Áp dụng điều kiện tiếp xúc  f '( x ) k. để tìm b => Pttt. * BÀI TẬP : y x3  3x2  2. (C ). (28) a. Cho hàm số Viết pttt của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với  : 3 x  5 y  4 0 y  x 4  x 2  2 (C ). b. Cho hàm số Viết pttt của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với  : 6 x  y  1 0 1 1 y  x 4  x 2 , (C ) 2 2 c. Cho hàm số . Viết pttt kẻ từ gốc toạ độ đến đồ thị của hàm số x2 y , (C ) x 2 d. Cho hàm số . Viết pttt đi qua điểm A(-6;5) với đồ thị của hàm số 3( x  1) y , (C ) x 2 (29) Cho hàm số .. a. Viết pttt đi qua điểm O(0 ; 0) với đồ thị của hàm số b. Tìm các điểm trên (C) có tọa độ là các số nguyên (30) 3. a. Cho hàm số y  x  3 x, (C ) . Tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm mà từ đó c1. Kẻ được 1 tiếp tuyến với (C) c2. Kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) c3. Kẻ được 3 tiếp tuyến với (C) 4. 2. b. Cho hàm số y  x  2 x  1, (C ) . Tìm trên trục tung những điểm mà từ đó d1. Kẻ được 1 tiếp tuyến với (C) d2. Kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) d3. Kẻ được 3 tiếp tuyến với (C) d4. Kẻ được 4 tiếp tuyến với (C) 1 m 1 y  x3  x2  3 2 3 (31) Cho hàm số. (Cm ). a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m = 2 b) Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng – 1 . Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x – y = 0. 3 (32) Cho hs : y = 4x  3x 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs 3 b) Viết phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc với (C) tại điểm A(- 2 ; 1) và tìm giao. điểm B (khác A) của (d) và (C) 1 5 y  x 4  3x 2  2 2 (33) Cho hàm số. c) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs d) Gọi M là điểm thuộc (C) có hoành độ x M = a . Tìm a để tiếp tuyến của (C) tại điểm M cắt (C) tại hai điểm khác M..

(7) 3. 2. (34) Cho hs : y = 2x  3x  1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs 2 b) CMR qua điểm A(- 27 ; -1) ta kẻ được ba tiếp tuyến với (C), trong đó có hai tiếp tuyến. vuông góc với nhau 3 2 (35) Cho hs : y = x  3x a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Tìm trên trục hoành các điểm từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến với (C) ; trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau 3 2 (36) Cho hs : y = x  3x  2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs 23 b) Lập Pttt với (C) đi qua điểm A( 9 ; -2). c) Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm từ đó có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau 3. 2. (37) Cho hs : y = x  3x  mx +1 có đồ thị là (C m ) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs khi m = 0 b) Tìm m để (C m ) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm A(0 ; 1), B, C sao cho tiếp tuyến của (C ) tại B và C vuông góc với nhau 3 2 (38) Cho hs : y =  x  3x  2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Tìm điểm M  (C) sao cho qua M ta kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với (C) m. x 2 (39) Cho hs : y = x  1. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Viết Pttt (  ) với (C) tại điểm A(a ; y) với a -1 c) Tính khoảng cách từ M(-1 ; 1) tới (  ). Tìm a để khoảng cách đó lớn nhất x 3 (40) Cho hs : y = x  1. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Tiếp tuyến tại điểm S  (C) cắt hai tiệm cận tại P và Q. Chứng minh S là trung điểm của PQ 1 3 x  3x  m 2 (41) Cho 2 hs : y = 3 và y = x. a) Tìm m để đồ thị các hs trên tiếp xúc nhau b) Viết Pttt chung của hai đồ thị ứng với m tìm được. CHỦ ĐỀ 7 : BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT : F(x,m) = 0 BẰNG ĐỒ THỊ * Chú ý : Số nghiệm của pt : f(x) = g(x) là số giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x) 3 2 (43) Cho hs : y = x  2x  x a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs 3 2 b) Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm và xét dấu các nghiệm của Pt : x  2x  m 0 2. (44) Cho hs : y = - (x +1) (x + 4) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs 2 2 b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của Pt : (x +1) (x + 4) = (m +1) (m + 4).

(8) 2. (45) Cho hs : y = (x +1) (2  x ) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs 2 2 b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của Pt : (x +1) (2  x) = (m +1) (2  m). CHỦ ĐỀ 8 : ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Từ đồ thị (C) của hàm số y  f ( x) , suy ra: 1. Đồ thị hàm số (C1):. y1  f ( x ). .. y f ( x) f ( x). Ta có 1 : đây là hàm số chẵn nên (C1) nhận trục tung làm trục đối xứng. Đồ thị (C1) được suy ra từ đồ thị (C) bằng cách:  Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy  Bỏ phần đồ thị (C) bên trái trục Oy và lấy đối xứng phần bên phải của (C) qua trục Oy. 2. Đồ thị hàm số (C1):. y1  f ( x).  y nêu f(x) 0 y1  -y nêu f(x) 0 Ta có:. Vì y1 0 nên (C1) ở phía trên của trục Ox. Đồ thị (C1) được suy ra từ đồ thị (C) bằng cách:  Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên trục Ox  Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox và lấy đối xứng của phần đồ thị này qua trục Ox 3. Đồ thị hàm số. y1  f ( x).  Nếu y1 0  y1  f ( x) : (C1 ) (C ) ở trên trục Ox.  Nếu y1 0  y1  f ( x ) : (C1 ) đối xứng với (C) ở trên trục Ox qua Ox. Đồ thị (C1) được suy ra từ (C) bằng cách  Giữ nguyên phần đồ thị của (C) ở phía trên Ox  Bỏ phần đồ thị ở dưới Ox và lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở trên trục Ox qua trục Ox. P( x) Q( x) có đồ thị (C) 4. Cho hàm số  P ( x) nêu Q(x) > 0 P ( x )  Q( x) y1   Q( x )  P(x) nêu Q ( x)  0  Q(x) a. Vẽ đồ thị (C1): y. Đồ thị (C1) được suy ra từ đồ thị (C) bằng cách:  Phần đồ thị (C) ở miền Q ( x )  0 giữ nguyên  Bỏ phần đồ thị (C) ở miền Q( x)  0 và lấy đối xứng của phần này qua trục Ox.  P( x) nêu P(x) 0 P( x)  Q( x) y1   Q( x)  P(x) nêu P ( x) 0  Q(x) b. Vẽ đồ thị (C1):. Đồ thị (C1) được suy ra từ đồ thị (C) bằng cách:  Phần đồ thị (C) ở miền P( x) 0 giữ nguyên  Bỏ phần đồ thị (C) ở miền P( x) 0 và lấy đối xứng của phần này qua trục Ox. * BÀI TẬP: 3 (46) Cho hs : y = x - 3x + 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs.

(9) x 3 - 3x + 1. 2. b) Tìm m để Pt : - 2m + m = 0 có 6 nghiệm phân biệt 4 2 (47) Cho hs : y = - x  2x a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs 3 2 2 2 b) Tìm m để Pt : 1 - 3m + 2m - (1 - x ) = 0 có 4 nghiệm phân biệt 4 2 (48) Cho hs : y = - x  x  2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs x 4 + x 2  2  m2  3m. b) Tìm m để Pt : = 0 có 4 nghiệm phân biệt 3 2 (49) Cho hs : y = x - 3mx + (m – 1)x + 2 a) Tìm m để hs có cực tiểu tại x = 2. khảo sát và vẽ đồ thị với m tìm được 2. b) Biện luận số nghiệm của Pt : (x - 2x – 2).. x 1. = k theo tham số k.. x 1 (50) Cho hs : y = 2x + 1. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs 2 b) Tìm m để Pt : 2m 4x  4x+1 = x - 1 có đúng một nghiệm. 3x 1 (51) Cho hs : y = x - 2. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Tìm trên (C) hai điểm M ; N đối xứng nhau qua điểm A(-2 ; -1) c) Từ (C) suy ra đồ thị hs y =. 3 x 1 x -2. CHỦ ĐỀ 9: BIỆN LUẬN SỐ GIAO ĐIỂM CỦA (C) VỚI TRỤC HOÀNH 3 2 I. Hàm số bậc ba: y  f ( x, m) ax  bx  cx  d 1. Tìm m để (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.  y / 0 c ó 2 nghiêm x1 ; x2    f ( x1 ). f ( x2 )  0 ĐK. PP1: PP2:. (C). Giải hệ này tìm m.. - Đoán nhận x 0 là một nghiệm của f(x; m) = 0 -. (1). Chia f(x; m) cho (x - x 0 ) đưa (1) về dạng: (x - x 0 ).g(x) = 0 ;   0   g ( x0 ) 0. trong đó g(x) là một tam thức bậc hai thỏa Giải hệ này tìm m. 2. Tìm m để (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương  y / 0 c ó 2 nghiêm x1 ; x2   f ( x1 ). f ( x2 )  0   0  x1  x2  a. y (0)  0  PP1: ĐK ĐK. PP2: -. Giải hệ này tìm m.. Đoán nhận x 0 >0 là một nghiệm của f(x; m) = 0. (1). Chia f(x; m) cho (x - x 0 ) đưa (1) về dạng: (x - x 0 ).g(x) = 0 ;. trong đó g(x) là một tam thức bậc hai thỏa:.   0 P  0   S  0  g ( x0 ) 0. Giải hệ này tìm m..

(10)  y / 0 co 2 nghiêm x1  x2   y .y  0   max min a. y (0)  0 x  x  0  1 2 3. Tìm m để (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm  y / 0 co 2 nghiêm x1  x2   y .y  0   max min a. y ( )  0   x  x  1 2 4. (C) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ lớn hơn   y / 0 co 2 nghiêm x1  x2   y .y  0   max min a. y ( )  0 x  x    1 2 * (C) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ nhỏ hơn   y / 0 co 2 nghiêm x1  x2   y .y  0   max min a. y (0)  0 x  0  1. * (C) cắt Ox tại 3 điểm, trong đó có hai điểm có hoành độ âm.  y / 0 co 2 nghiêm x1  x2   y .y  0   max min a. y (0)  0 x  0  2 * (C) cắt Ox tại 3 điểm, trong đó hai điểm có hoành độ dương. 5. Tìm m để (C) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt PP1:.  y / 0 c ó 2 nghiêm x1 ; x2    f ( x1 ). f ( x2 ) 0 ĐK. PP2: -. Đoán nhận x 0 là một nghiệm của f(x; m) = 0. -. Giải hệ này tìm m. (1). Chia f(x; m) cho (x - x 0 ) đưa (1) về dạng: (x - x 0 ).g(x) = 0 ;  0 hoac  g ( x0 ) 0  trong đó g(x) là một tam thức bậc hai thỏa.   0   g ( x0 ) 0 Giải hệ tìm m.. 6. Tìm m để (C) cắt Ox tại 1 điểm. PP1:.   y' 0     y / 0 c ó 2 nghiêm x1 ; x2    f ( x1 ). f ( x2 )  0 ĐK. PP2: -. Đoán nhận x 0 là một nghiệm của f(x; m) = 0. -. Giải tìm m. (1). Chia f(x; m) cho (x - x 0 ) đưa (1) về dạng: (x - x 0 ).g(x) = 0 ;.   0   0 hoac   g ( x0 ) 0 Giải hệ tìm m. trong đó g(x) là một tam thức bậc hai thỏa 7. Tìm m để (C) có hai điểm cực trị M 1 ( x1 ; y1 ); M 2 ( x2 ; y2 ) nằm khác phía đối với đường  y / 0 c ó 2 nghiêm x1 ; x2   ( Ax1  By1  C )( Ax2  By2  C )  0 thẳng (D): Ax  By  C 0.

(11) 8. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x1 ; x2 thỏa mãn hệ thức F ( x1; x2 ) 0 (1)  Điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu là:  a 0     y /  0 => điều kiện của tham số m y / 0 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 b   x1  x2  a  c    x1.x2  a   F ( x1 ; x2 ) 0    x1 và x2 thỏa mãn hệ thức (1).  Giải hệ suy ra m. So sánh điều kiện nhận hay loại giá trị của m Chú ý:. Để tính ymax ; ymin ta nên làm theo thứ tự sau: 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số y  x   2. Nếu x1 ; x2 đơn giản thì tính thẳng x1 ; x2 . Khi đó ymax . ymin ( x1   )( x2   ) 3.. Nếu x1 ; x2 phức tạp thì sử dụng định lí Viet ymax . ymin ( x1   )( x2   )  2 P   S   2. 4 2 II. HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG: y ax  bx  c.  x 0    2 y / 4ax3  2bx 2 x(2ax 2  b) . Cho y / 0  2 x(2ax 2  b) 0  2ax  b 0. (1) (2).  Hàm số có 3 cực trị <=> (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0 <=> a.b < 0  Hàm số có 1 cực trị <=> (2) VN hoặc có 1 nghiệm bằng 0 hoặc có một nghiệm kép  a 0 & b 0    a 0 & ab 0 ax 2  bx  c y / b x  c/ III. HÀM SỐ HỮU TỈ y / 0  g ( x) ab / x 2  2ac / x  bc /  cb / (b / x  c / 0) / ab 0   /  g  0 y  0 1. Hàm số có cực đại và cực tiểu <=> có 2 nghiệm phân biệt / 2. Hàm số không có cực trị  y 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép. 3. Đ.thị có 2 cực trị nằm cùng phía với Ox. 4. Đ.thị có 2 cực trị nằm 2 phía với Ox * BÀI TẬP:. ab / 0 ab / 0     g  0    g  0    y 0 co 2 nghiêm phân biêt  ymax . ymin  0. ab / 0  ab / 0    g  0    y 0 vô nghiêm   ymax . ymin  0. m 1 3 2 (52) a. Tìm m để hs : y = 3 x + mx + (3m – 2)x cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt 3. 2. b. Tìm m để pt : x + 3x - 9x + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt 3 2 (53) a. Tìm m để hs : y = x - 3x - 9x + m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. Tìm cấp số cộng đó.

(12) 3. b. Tìm a, b để pt : x + ax + b = 0 có 3 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng. Tìm cấp số cộng đó 3 2 2 (54) a. Giả sử pt : x - x + ax + b = 0 có 3 nghiệm phân biệt. CMR : a + 3b > 0 3. 2. d. Tìm a để pt : x - x + 18ax – 2a = 0 có 3 nghiệm dương phân biệt 3. 2. b. Tìm a để pt : x - 3x + a = 0 có 3 nghiệm phân biệt, trong đó có hai nghiệm lớn hơn 1 3. 2. 2. c. Cho HS: y = x - 3(m + 1)x + 2(m + 4m + 1)x – 4m(m + 1). (C m ). Tìm m để (C m ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1 3. 2. 2. 2. e. Cho HS: y = x - 3mx + 3(m - 1)x – m + 1. (C m ). Tìm m để (C m ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm 3. 2. (55) Cho HS: y = x - mx + (2m + 1)x – (m + 2). (C m ). Tìm m để (C m ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt A(1 ; 0) ; B ; C thỏa : 2. 2.  OA   OA  19      48  OB   OC  1 2 3 2 (56) Cho HS: y = 3 x - mx - x + m + 3. (C m ). Tìm m để (C m ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x 1 ; x 2 ; x 3 thỏa : x12  x22  x32 > 15 3. 2. (57) Cho HS: y = 2x - 3(m + 2)x + 6(m + 1)x – 3m + 6. (C m ). a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs khi m = - 1 b) Tìm m để (C m ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt 3. 3. (58) Cho hs : y = (x + a) + (x + b) - x. 3. (1). a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs khi a = 1 , b = 2 b) Tìm điều kiện đối với a, b để hs (1) có cực đại cực tiểu 3 3 3 c) CMR  a, b phương trình (x + a) + (x + b) - x = 0 không thể có 3 nghiệm phân biệt 4. 2. (59) Cho hs : y = x - 2(m + 1)x + 3(m – 1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs khi m = 0 b) Tìm m để đồ thị hs cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. Tìm cấp số cộng đó 4. 2. (60) Cho hs : y = - x + 2(m + 1)x - 2m – 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs khi m = 0 b) Tìm m để đồ thị hs cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. Tìm cấp số cộng đó CHỦ ĐỀ 10: BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH 1. Các công thức : * Khoảng cách giữa hai điểm A(x 1 ; y 1 ) ; B(x 2 ; y 2 ) là : AB =. (x 2 - x1 )2 + (y 2 - y1 ) 2.

(13) -. Nếu AB // Ox thì AB =. x2  x1. -. Nếu AB // Ox thì AB =. y2  y1. Ax 0  By0  C. * Khoảng cách từ M( x 0 ; y0 ) tới đường thẳng (  ): Ax + By + C = 0 là: d =. A2  B 2. 2. BÀI TẬP: 2 x 1 (61) Cho hs : y = x + 1. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs. b) Tìm điểm M  (C) mà tổng khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận bé nhất x 1 (62) Cho hs : y = x - 1. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs. b) CMR đường thẳng 2x – y + m = 0 luôn cắt đồ thị tại hai điểm A, B trên 2 nhánh của (C) c) Tìm m để đoạn AB ngắn nhất x 1 (63) Cho hs : y = x + 1. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs. b) Tìm điểm M  (C) mà tổng khoảng cách từ đó đến hai trục tọa độ bé nhất 2 x 1 (64) Cho hs : y = x - 1. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs. x b) Tìm điểm M  (C) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng (  ): y = 1 - 3 đạt giá trị bé nhất. Trong trường hợp này, c/m (  ) song song với tiếp tuyến của (C) tại M. 3. 2. (65) Cho hs : y = x + 3x - 2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs. b) Gọi A, B là hai điểm cực trị của (C). Tìm m để tổng k/c từ A và B đến đường thẳng (  ): 3mx + 3y + 2m + 2 = 0 đạt GTLN, NN. CHỦ ĐỀ 11: TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ 1. Kiến thức liên quan : - Tập D được gọi là đối xứng nếu x  D thì –x  D - Hàm số y = f(x) được gọi là hs chẵn nếu thỏa 2 ĐK : 1. Tập xác định D đối xứng 2. f(–x) = f(x) - Hàm số y = f(x) được gọi là hs lẻ nếu thỏa 2 ĐK : 1. Tập xác định D đối xứng 2. f(–x) = – f(x) - Đồ thị hs chẵn nhận Oy làm trục đối xứng ; Đồ thị hs lẻ nhận gốc O làm tâm đối xứng 2. BÀI TẬP:.

(14) (66) Xác định tính chẵn, lẻ của hs : a/ y = (x – 1). 2010. + (x + 1).  1 x    b/ y = log  1  x . 2010. 2011. c/ y = sinx + cosx. (67) CM đồ thị hs : b có trục đối xứng là đường thẳng x = - 2a. 2. a/ y = ax + bx + c (a  0) b/ y = (x – a). 2010. c/ y = (x – a). 2010. d/ y = (x – a). 2011. 4. 3. + (x – b). 2010. + (x – b). 2010. + (x – b). 2011. a b có trục đối xứng là đường thẳng x = 2 a b có trục đối xứng là đường thẳng x = 2 a b có tâm đối xứng là I( 2 ; 0). 2. e/ y = x - 4x - 2x + 12x - 1 có trục đối xứng là đường thẳng x = 1 Tìm giao của đồ thị với trục hoành 4. 3. g/ y = x - 4x + 8x + 3. có trục đối xứng là đường thẳng x = 1 Tìm giao của đồ thị với trục hoành. x 1 (68) Cho hs : y = x + 1. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs. b) CMR đường thẳng (d): y = x + 2 là trục đối xứng của (C) BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI ĐH : y. mx 2  (3m 2  2) x  2 (1), x  3m với m là tham số thực.. Câu 1 : (A08) Cho hàm số a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 b. Tìm các giá trị của tham số m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) tạo với nhau một góc bằng 450.  1 : ax  by  c 0  / / / HD: b. Tìm hai đường tiệm cận:  2 : a x  b y  c 0 3 2 Câu 2: (B08) Cho hàm số y 4 x  6 x  1 (2). =>. cos(1 ;  2 ) . 2 2. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (2), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M(-1;-9) 3. 2. Câu 3: (D08) Cho hàm số y  x  3x  4 (3) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (3) b. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1;2) với hệ số góc (k > -3) đều cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB. HD: b) Gọi d là đường thẳng đi qua I và có hệ số góc k Lập phương trình hoành độ giao điểm của d với (C) Điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có ba nghiệm thỏa điều kiện x A  xB 2 xI x 2  2(m  1) x  m 2  4m y (1), x2 Câu 4: (A07) Cho hàm số với m là tham số thực..

(15) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = - 1 b. Tìm tham số m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời hai điểm cực trị của đồ thị cùng với góc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông  tại  O. - Giải phương trình OA.OB 0 => m là giá trị cần tìm.. HD:b) – Tìm hai điểm cực trị A; B ; 3. 2. 2. 2. Câu 5: (B07) Cho hàm số y  x  3x  3(m  1) x  3m  1 (1), m là tham số. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. b. Tìm tham số m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ. HD: b) Tìm hai điểm cực trị A; B. Giải phương trình OA OB => m là giá trị cần tìm. y. 2x x  1 (1). Câu 6: (D07) Cho hàm số a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) b. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tại 1 A, B và tam giác OAB có diện tích bằng 4 1 1 AO . OB  4 => điểm M HD: Gọi M ( x0 ; y0 )  (C ) => tọa độ điểm A, B => 2 3 2 Câu 7: (A06) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y 2 x  9 x 12 x  4 3. a. Tìm tham số m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt. 2 x  9 x 2  12 x m. 3. HD: Vẽ đồ thị của hs. y 2 x  9 x 2  12 x. , biện luận số giao điểm của (C) với đường thẳng y = m. 2. y. x  x 1 x  2 (1). Câu 8: (B06) Cho hàm số b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) b) Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (1), biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên của đồ thi 3. Câu 9: (D06) Cho hàm số y x  3x  2 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) b. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M(3;20) và có hệ số góc là m. Tìm m để đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt. 1 y mx  (1), x Câu 10: (A05) Cho hàm số m là tham số m. 1 4. c. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi b) Tìm m để hàm số (1) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (C m) đến tiệm cận 1 xiên của (Cm) bằng 2. HD:b) – Tìm điểm cực tiểu ; - Tìm tiệm cận xiên của (Cm) => y. x 2  (m  1) x  m  1 (1) x 1. d (M , d ) . 2 2. Câu 11: (B05) Cho hàm số a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 b. Chứng minh rằng với mọi m đồ thị (Cm) luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách hai điểm đó bằng. 20. 1 m 1 y  x3  x 2  , (1) 3 2 3 Câu 12(D05) Cho hàm số.

(16) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2 b. Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng – 1. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x – y = 0.  x 2  3x  3 y (1) 2( x  1) Câu 13: (A04) Cho hàm số. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) b. Tìm tham số m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại 2 điểm A, B sao cho AB = 1 1 y  x3  2 x 2  3 x(1) 3 Câu 14: (B04) Cho hàm số. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) b. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng  là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. HD:b) – Tìm tiếp tuyến  / - Gọi M ( x0 ; y0 )  (C ) , chứng minh f ( x0 ) hsg . 3. 2. Câu 15: (D04) Cho hàm số y  x  3mx  9 x  1(1) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2 b. Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + 1 mx 2  x  m y (1) x 1 Câu 16(A03) Cho hàm số. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -1 b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương. 3. 2. Câu 17(B03) Cho hàm số y x  3x  m(1) a. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ O b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2 HD: a) Gọi A(x;y) => B(-x; -y) .Vì A,B thuộc (C) suy ra hệ pt => m y. x2  2x  4 (1) x 2. Câu 18: (D03) Cho hàm số a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) b. Tìm m để đường thẳng dm: y mx  2  2m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt. 2 x2  4 x  3 y (1) 2x  2 Câu 19: (DBA03) Cho hàm số. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) b. Tìm m để phương trình. 2 x 2  4 x  3  2m x  1 0 2. y. có hai nghiệm phân biệt.. 2. x  (2m  1) x  m  m  4 2( x  m). Câu 20: (DBA03) Cho hàm số a. Tìm m để hàm số có cực trị và tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. y. 2x  1 x  1 (1). Câu 21(DBB03) Cho hàm số b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) c. Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM. Câu 22: (DBD03) cho hàm số. y. x2  5x  m2  6 (1) x 3.

(17) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 b. Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (1; ) / min g ( x) m2 , x 1  m2 16 HDb): ĐK y 0 x 1 ; Đs: x 1 4. 2. 2. Câu 23: (DBA04) Cho hàm số y  x  2m x  1(1) d. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 e. Tìm mđể đồ thị của hàm số (1) có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của tam giác vuông cân. HDb) ĐK: OA.OB 0. y. x 2  2mx  1  3m 2 (1) x m có (Cm). Câu 24: (DBA05) Cho hàm số a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 b. Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung. / HDb) ĐK: y 0 có hai nghiệm phân biệt thỏa: x1  0  x2  P  0.

(18) Chủ đề 12: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HS I. PP sử dụng Đạo hàm: 1/ Tìm GTLN; GTNN của hs y = f(x) liên tục trên [a;b]: - Tìm y’ và các nghiệm x i  [a;b] của pt y’ = 0 - Tính f(a) ; f(b) ; f(x i ), từ đó suy ra GTLN; GTNN của hs y = f(x) trên [a;b] 2/ Tìm GTLN; GTNN của hs y = f(x): - Tìm TXĐ - Tìm y’ và các nghiệm x i  [a;b] của pt y’ = 0 - Lập bảng biến thiên, từ đó suy ra GTLN; GTNN của hs y = f(x) * BÀI TẬP : (1). Tìm GTLN; GTNN của hs : x 1 .a/ y = x  x  1 2. 2 2 .b/ y = (1  2x )(1  x ). .c/ y = x + 12  3x 4 4 .d/ y = x + (1 – x). 2. 4 4 e/ y = 1  x  1  x. g/ y = cos3x + 2cos2x + 3cosx – 2 h/ y = sin2x + 2sinx. 2 trên [0 ; 3 ] 3 trên [0 ; 2 ]. 1 1 i/ y = 1 + cosx + 2 cos2x + 3 cos3x. k/ y = (1 - cosx)(2 - cosx)(3 - cosx)(4 - cosx) l/ y = cosx – sinx – sin2x +1 m/ y = (1 + cosx).sinx n/ y = 2sin2x + 3(sinx + cosx) – 3 o/ y = s inx  cosx. x HD : Đặt t = tan 2  trên [0 ; 2 ]  trên [0 ; 2 ]. s inx. p/ y = 3cos2x +6 (2) Cho 2 số thực x, y 0. Tìm GTNN của biểu thức :  x y x2 y2  2  3   2  y x a/ A = y x x4 y 4  x2 y 2  x y       y 4 x4  y 2 x2  y x b/ B =. x y  HD: đặt t = y x (t -2 v t 2) rồi tìm minA(t) x y  HD: đặt t = y x (t -2 v t 2) rồi tìm minA(t). (3) Cho 2 số thực a, b không âm thỏa: a + b = 1. Tìm GTLN, NN của biểu thức : a b  C = 1 b 1 a. HD: thay b = 1 – a, tìm maxC(a); minC(a) (4) Cho 2 số thực a, b > 0 thỏa: a + b = 1. Tìm GTNN của biểu thức :.

(19) 2. 1  1   a   b   a  b D= . 2. 25 HD: đặt a =x, b=1-x, x  (0;1)=> tìm minD(x)= 2 2. 2. 2. (5) Cho 3 số thực a, b, c > 0 thỏa: a + b + c = 1. Tìm GTNN của biểu thức : a b c  2  2 2 2 2 E = b  c c  a a b 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. HD: thay b +c =1-a ; c +a =1-b ; a +b =1-c Xét maxf(x) trog (0;1) => MinE (6) Cho 2 số thực a, b không âm. Tìm GTNN của biểu thức : x2  a  b. y=. (9) Giả sử x, y là nghiệm của hệ pt: Tìm GTLN,NN của biểu thức P = xy. . . a  b  ab.  x  y 2a -1  2 2 2  x  y a  2a -3. (7) Giả sử x, y là nghiệm của hệ pt: Tìm a để biểu thức P = xy đạt GTNN (8) Giả sử x, y là nghiệm của hệ pt: Tìm a để biểu thức P = xy đạt GTLN. x.  x  y a 1  2 2 2  x  y 2a  2  x  y 2a 1  2 2 2  x  y a  4a. (10) Giả sử x, y là nghiệm của hệ pt: 2 2 Tìm a để biểu thức F = x + y.  x  y a -1  2  xy a  7a  14. a/ đạt GTLN;. b/ đạt GTNN. 2. (11) Cho đường cong (C): y = x  9 và đường thẳng (  ): 4x – 5y – 32 = 0 Tìm tọa độ M (C) để khoảng cách d(M;  ) ngắn nhất 1. 1. 3. 4 3x và điểm A(0;1) (12) Cho đường cong (C): y = Tìm tọa độ M (C) để độ dài đoạn AM ngắn nhất 4 2 (13) Cho pt: x - 2x - 2a + 2 = 0 Tìm GTNN của a để pt có nghiệm (14) Tìm tất cả các giá trị của m để PT sau có nghiệm 4 3 2 x + mx + x + mx + 1 = 0 (15) Tìm tất cả các giá trị của m để BPT sau nghiệm đúng với mọi x 4 4 sin x + cos x + sinx.cosx  m (16) Tìm tất cả các giá trị của m để BPT sau nghiệm đúng với mọi x  2 1 x - 2x - (m – 1)x + m  x (4  x)(2  x)  2 3. 2. (17) Cho Bpt: - 4 x - 2x + m – 18 a/ Giải Bpt khi m = 6 b/ Tìm tất cả các giá trị của m để BPT sau nghiệm đúng với mọi x  [- 2; 4] x 1 (18) Cho pt : (x – 3)(x + 1) + 4(x – 3) x  3 = m. (1). a/ Giải pt khi m = -3 b/ Tìm m để pt (1) có nghiệm (19) Cho pt :. 2x 2  (m  2) x  8 = 2 - x. (1). 2.

(20) a/ Giải pt khi m = 7. b/ Tìm m để pt (1) có nghiệm. . . x -1 + 1. (20) Cho BPT: 2x + 1  a. a/ Giải Bpt khi a = 1 b/ Tìm a để Bpt (1) có nghiệm (21) Cho Bpt: cos2x + (m-1)cosx + 3m – 2  0 a/ Tìm m để Bpt có nghiệm b/ Tìm m để Bpt nghiệm đúng với mọi x (22) Tìm tất cả các giá trị của m để BPT sau có nghiệm x x 4 - m.2 + m + 3  0 (23) Tìm tất cả các giá trị của m để PT sau vô nghiệm. (1). 2.  x2  x2  2  2 x 1  a/  + 2(m – 2). x  1 + m = 0 x. x. b/ 5.16 + 2.81 = m.36. x. 3x 2  1  2x-1  ax (24) Cho pt: 2x-1. a/ Giải pt khi a = 0 b/ Tìm a để pt có nghiệm duy nhất (25) Cho Pt: cos4x + 6sinx.cosx = m a/ Giải pt khi m = 1    0;  b/ Tìm m để pt có hai nghiệm phân biệt trên đoạn  4 . (26) Trong tất cả các khối nón có đường sinh bằng a, tìm khối nón có thể tích lớn nhất. Tính đường cao khối nón đó II. PP dùng Miền giá trị hàm:  B1: Xem y = f(x) là phương trình ẩn x và tham số y  B2: Tìm điều kiện của y để phương trình y = f(x) có nghiệm  B3: Kết luận Miny và Maxy. ax 2  bx + c 2 2 * Hs y = a'x  b ' x  c ' có TXĐ D = R được biến đổi về dạng : Ax + Bx + C = 0 (1). - Với A = 0, tìm nghiệm x của pt (1)  Miny m   - Với A 0, ĐK để Pt có nghiệm là   0, suy ra m  y  M  Maxy = M. * Hs y = f(sinx ;cosx) có TXĐ D = R và được biến đổi về dạng a.cosx + b.sinx = c (2)  Miny m   2 2 2 ĐK để Pt (2) có nghiệm là a  b c . Từ đó suy ra m  y  M  Maxy = M. * BÀI TẬP : (27). Tìm GTLN; GTNN của hs : x 1 a/ y = x  x  1 2x 2  4x+5 x 2 1 b/ y = 2  cosx c/ y = 2 - cosx - sinx 2.

(21) 2sinx + 3cosx - 1 sinx + 2 d/ y = 2x 2  ax + b 2 (28) Tìm a, b để hs y = x  x  1 có GTLN bằng 5 và GTNN bằng 1 m.cosx + sinx - 3 (29) Tìm m để hs y = cosx - 2sinx + 4 có GTNN bằng -2 m.cosx + m - 1 1 (30) Tìm m để BPT 3  cosx + sinx nghiệm đúng x  R 2. 2. (31) Cho pt : sin x + (m – 1)sin2x – (m + 1)cos x = m a/ Giải pt khi m = -2 b/ Tìm m để pt có nghiệm III. PP dùng Bất đẳng thức: 1/ Bất đẳng thức Cauchy : Cho n số dương a 1 , a 2 , …, a n ta có: n a .a ... a a1+ a 2 + … + a n  n 1 2 n. * Nếu tích a1.a 2 ... a n = p không đổi thì n tổng a 1 + a 2 + … + a n đạt GTNN bằng n. p  a 1 = a 2 = … = a n =. n. p. * Nếu tổng a 1 + a 2 + … + a n = S không đổi S   đạt GTLN bằng  n . n. S  a1 = a 2 = … = a n = n 2 2 2 2 2 2/ Bất đẳng thức Bunhiacôpski: (AC + BD)  (A + B )(C + D ). thì tích a1.a 2 ... a n 2. 2. 2. 2. 2. 2. Trong đó: A + B = k ; C + D = m , với k, m đều là hằng số dương  Max(AC + BD) km A B     Min(AC + BD) = - km với đk : C D. Chú ý: Phải xét dấu = xảy ra trong tất cả các bất đẳng thức đã dùng trong quá trình giải. * BÀI TẬP : (32) Cho 2 số thực a, b > 0. Tìm GTNN của biểu thức:  1 1    A = (1 + ab)  a b  ; m.  a 1  C=  b +.  1 1    B = (a + 4)(b + 4)  a b  ; m.  b 1   a  ; m Z ;. ( a  b)3 2 D= a b. (33) Cho 3 số thực a, b, c > 0. Tìm GTNN của biểu thức:  1 1 1     D = (a + b + c)  a b c  ; ( a  b)(b  c)(c  a) abc H= ;.  a  b  c 1  1  1  G =  b  c  a b c c a a b   b c K= a. (34) Cho 2 số thực a, b > 0. Tìm GTNN của biểu thức: ( x  a )( x  b) x a/ y = trên miền (0; +  ) b b/ y = ax + x  a trên miền (-a; +  ).

(22) (35) Cho 2 số x, y thỏa 0  x  1 ; 0  y  2. Tìm GTLN của biểu thức: M = (1 - x)(2 - y)(4x + y) x. y. (36) Cho 2 số dương x, y thỏa x + y = 2. Tìm GTNN của biểu thức: N = 3 + 3 + 1.

(23) (37) Cho 3 số dương a, b, c thỏa a + b + c = 1. Tìm GTLN của biểu thức:  1  1  1 1  1   1  P =  a  + b  + c . (38) Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: Q = ax + by + c 2 2 Trong đó a, b, c là các số cho trước và 2 số x, y thỏa x + y = 1 (39) Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: S = y – 4x + 8 1 Trong đó x, y là hai số thỏa : 4x + y = 4 2. 2. (40) Cho 3 số không âm a, b thỏa a + b + c = 1. Tìm GTLN của biểu thức: a b c; cos 2 x  s inx.cosx 1+ sin 2 x (41) Tìm GTLN, GTNN của hs: y =. U=. V=. 4. a4b4c. IV. PP dùng Lũy thừa với số mũ chẵn: 2n 2m 1/ Nếu f(x) = C + A + B , trong đó C là hằng số; n,m  Z  A 0   f(x)  C => Mìnf(x) = C   B 0 2n. 2/ Nếu f(x) = C - A - B. 2m. , trong đó C là hằng số; n,m  Z.  A 0    f(x) C => Maxf(x) = C   B 0. * BÀI TẬP : 2 2 (42) Tìm GTNN của biểu thức : A = 2x + 2y + 2xy – 2x + 2y + 1 2 2 (43) Tìm GTLN của biểu thức : B = 4 - 5x - 2y + 2xy + 8x + 2y (44) Tìm GTNN của biểu thức : C = 4sin3x + cos2x – cos6x + 5 1 11 (45) Tìm GTNN của biểu thức : D = cosx + cosy + 2 cos(x + y) - 2.

(24) Chủ đề 13: P.TRÌNH VÀ BẤT P.TRÌNH SIÊU VIỆT * CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Định nghĩa và các công thức của luỹ thừa, logarít. 2. Tính chất của hàm số mũ và hàm lôgarít. 3. Các phương trình và bất phương trình mũ và lôgarít  Với mọi số dương m thì a x m  x log a m(0  a 1)  x  log a m, a  1 a x  m    x  log a m, 0  a  1.  Với mọi số thực m thì log a x m  x a m  x  am , a 1 log a x  m   m  x  a ,0  a 1 a x  m, log a x  m. Trường hợp:. xét tương tự như các trường hợp trên. 4. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI THƯỜNG GẶP  Phương pháp đưa về cùng cơ số: a f ( x ) a g ( x )  f ( x ) g ( x) log a f ( x) log a g ( x)  f ( x) g ( x )  0  f ( x)  g ( x ), a  1 a f ( x )  a g ( x )    f ( x)  g ( x ), 0  a  1  f ( x)  g ( x)  0, a  1 log a f ( x)  log a g ( x)    0  f ( x)  g ( x ), 0  a  1.  Phương pháp đặt ẩn số phụ: Mục đích đặt ẩn số phụ là đưa các phương trình hay bất phương trình về dạng phương trình hay bất phương trình hữu tỷ mà ta đã biết cách giải . f ( x) f ( x) Dạng: (a  b ) (a  b ) c( c) f (x) Ta đặt t (a  b ). Với (a  b )(a  b ) 1 2 f ( x)  b.(uv ) f ( x )  c.v 2 f ( x ) 0 Dạng: a.u. u t ( ) f ( x ) v Ta chia hai vế phương trình cho v rồi đặt . 2 g (x) Khi biến đổi phương trình về dạng: a. f ( x)  b. f ( x)  c 0 ( > 0) với f ( x) m hoặc f ( x) log m g ( x) , ta đặt t = f(x) để đưa phương trình hay BPT về bậc hai ẩn t. 2 f (x).  Phương pháp Lôgarit hoá: Phương pháp Lôgarit hoá rất có hiệu quả khi hai vế của phương trình có dạng tích các luỹ thừa nhằm chuyển ẩn số khỏi số mũ. a f ( x ) b  f ( x) log a b(0  a 1, b  0) a f ( x ) b g ( x )  log a a f ( x ) log a b g ( x )  f ( x) g ( x).log a b. Hoặc lấy lôgarit hai vế của pt hay bpt theo cơ số b.  Phương pháp nhẩm nghiệm và c/m duy nhất nghiệm: Sử dụng tính chất của hàm số mũ: Nếu PT có 1 nghiệm x0, một vế của PT là đồng biến , còn một vế là nghịch biến (hoặc là hàm hằng) thì nghiệm x0 là duy nhất..

(25) * BÀI TẬP: Bài 1: Giải các phương trình sau: 1) 2. x2  x  8. 1  3x. 4. x 1 x 2 x 5 3) 2 .5 2.10. x1. 5) 7. 3 x. 7) 2  2. x 2. -5. x 1. 3x. 2. 9) 7 + 9.5. =3. x 2. 2x. x 4. -5. x. 3  3 2x. x3. x 1. = 5 + 9.7. 3. 2) 4). 2 x.3x  1.5 x  2 12. 6) 3 x 2. 2x. 5 2. x2  6 x . 2. x1. 8) 9  2 10) 2. x2  1. x 2. +3. x. x. 16 2. 1 2. -3. 2. x. x2. -3 =3. x 3. 3 2. +3. x 4. = 750.  32 x  1. x2  1. -2. x2 2. Bài 2: Giải các phương trình sau: 1) 3. 2x-5. =4. x 3) 2. 2. 3x  2. 4. x 1. x. 5) 5 . 7). 4. x. x. x 1 x. x. x x 2. 4) 5 . 8. 8x = 100. x. x2. 2) 2 . 3 = 1. 6) 3 . 8. = 500 =6. 4. x x x. Bài 3: Giải các phương trình sau: x x 1) 2.16  15.4  8 0 4 x 8. 3) 3. 2 x 5.  4.3.  27 0. 2. 2. x  2x  x  7.3 x  2 x  x  1 2 5) 9 x x x 7) 3.16  2.8 5.36. 9) 4. x 1. x. 2. x 4. 11) 3 + 3. 2. x 2.  16. 2 x 6 x 7 2) 2  2  17 0. 2 x. 4) 8  2. =6.  12 0. x x x 6) 3.49  2.14  4 0 x x x 8) 8.3  3.2 24.6. . 1 x. 10) 2.4  6. . x. 1 x. 3.9.  3 +  3 12) 5. 3 2x. 3 x 3 x. 10. . 1 x. x 10. = 84. x. . 2. 3.   . 2 3. . x. 4. x x 13) (4  15)  (4  15) 62. 14). x x 15) (7  4 3)  3(2  3)  2 0. x x x3 16) (3  5)  16.(3  5) 2. Bài 4: Giải các phương trình sau: x 1) 3  x  4 0. 2) 7. x x x 3) 3  4 5 2x 2x x x 5) 5 3  2.5  2.3. x2. 7) 3 = cosx x x 9) 3. 4 + (3x – 10). 2 + 3 – x = 0. 6 x. = x+2. x 2. x 4) 3  1 2 2 x 1 2x 2 x 1 x x 1 x2 6) 2  3  5 2  3  5 x 2. x 2. 8) 3. 25 + (3x – 10). 5 + 3 – x = 0 2 x x 10) x - (3 - 2 ).x + 2( 1 - 2 ) = 0. Bài 5: Giải các phương trình sau: 2 x 1) ( x  x  1).  3). x  x2. . 2. x 2. 1. 1. 1. 2 2) ( x  2 x  2). 4) ( x  1). x 3. 4 x2. 1. 1.

(26) x. 5). x 2  2x. =1. 6). x 3. x2  x. = (x – 3). 2. 2 x  1  2 x  2 1. 7). Bài 6: Giải các phương trình sau: 2) log5 x  log 25 x log 0.2 3. 1) log 5 x log5 ( x  6)  log 5 ( x  2) 2 3) log x (2 x  5 x  4) 2. 5). 4). log 3 (2 x  1)  log 1 (3  x) 0. 6). 3. 1 l o g(5 x  4)  l o g x  1 2  l o g 0,18 7) 2 x. x. 9) log 2 (4.3  6)  log 2 (9  6) 1. (432). log 2 x  10 log 2 x  6 0. 11). 8). l o g( x 2  2 x  3)  l o g log 3 ( x  1) . x 3 0 x 1. 4 x2. log x2 16  log 2 x 64 3. (422). 1 2  1 10) 4  l o g x 2  l o g x 12) 3log x 16  4 log16 x 2log 2 x. (423). 1 log 3 (log 9 x   9 x ) 2 x l o g(l o g x)  l o g(l o g x  2) 0 (432) 2 14) (434) 2 2 log 3 x log3 x 3 x 162 (439) 16) x  l o g( x  x  6) 4  l o g( x  2) (441-nham) log5 ( x 3) log 3 ( x  1)  log 5 (2 x  1) 2 x (442-nhẩm) 18) 2 (443-nham) 1 log12 ( x  4 x )  (log9 x ) 3x 3  log5 x 2 20) 3. 13) 15) 17) 19). Bài 7: Giải các bất phương trình sau 6 x x 2 1) 9  3 x x x 3) 5.4  2.25  7.10 0. x x 2) 3  9.3  10  0 x x x 4) 25.2  10  5  25 x 1. 5) 5. 2 x. 5 5. 1 x. x. 2. 7) 9) 2. 1 x. 1  2 0 2x  1. 1 2 x 1. (381) (384). 10) 1  5. 1. 2 3 x 1. 11) ( 5  1) 13). 5. x 1 x 1 6) ( 5  2) ( 5  2) 1 1  x 1 x 8) 3  1 1  3. x.  x2  x. 2.  x 2  x 1.  3.( 5  1).  x2  x. 2x. 12) 3  8.3 14) 3. 2.2 x  5  2 x  1  4. x2  x. x2  4. (378) (381).  25 x x4. (384)  9.9. 2.  ( x  4)3. x 2. x 4. 0. 1. x 1. 2 x 15) ( x  x  1)  1. 17). ( x 2  1) x. 2. 2 x.  x2  1. (383). 2 x 1 16) ( x  2 x  3)  1. 3. (385). Bài 8: Giải các bất phương trình sau 2 1) log8 ( x  4 x  3) 1. 3). log 1 [ log 4 ( x 2  5)]  0 3. 2) 4). log 3 x  log 3 x  3  0. log 1 ( x 2  6 x  8)  2 log 5 ( x  4)  0 5.

(27) 5). log. log3 x  x2 (3  x)  1. (465). 2 7) log 2 x  log 2 x 0. 6) 8). 3x. (x2 . x 2 1. 5 x  1) 0 2. log 3 (log 1 x) 0. 9) 6. x. log 6 x. 12. (471). x x 2 11) log5 (4  144)  4 log 5 2  1  log 5 (2  1). (464). 2 3. log62 x. 10). x 2  log 2 22  log 2 x . 1 x. 6 4  3 2 log 2 x log x 2 2 12). Baì 9: Giải các hệ phương trình mũ và Lôgarit  x  1  2  y 1  2 3 2) 3log 9 (9 x )  log 3 y 3. 2 x.3 y 12  x y 1) 3 .2 18 log x (3 x  2 y) 2  log (3 y  2 x) 2 3)  y. 4). 4 x  y 128  3 x 2 y 3 1 5) 5. 5x  y 125  ( x  y )2  1 1 6) 4. 7). 2x y 3  2 77  x y 3  2 7. 5log 2 x  3log 4 y  8  2 10 log 2 x  log 4 y  9. 8). 2 x  2 y 12   x  y 5. 2). l o g( x 2  y 2 ) 1  3l o g 2  l o g( x  y )  l o g( x  y ) l o g 3. 4). log 3 x  log 3 y 1  log 3 2   x  y 5. Bài 8: Giải các hệ phương trình sau 1). l o g x  l o g y 1  2 2  x  y 29. 3).  xy  xy 4 32  log 3 ( x  y ) 1  log 3 ( x  y ). log x xy log y x 2  2log y x 4 y  3 6)  y. log 4 x  log 2 y 0  2 2 5)  x  5 y  4 0. Bài 9: Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất: 1). log3 ( x 2  4ax)  log 1 (2 x  2a  1) 0 3. l o g(ax ) 2 l o g( x  1) 2). Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm (m  4).9 x  2(m  2).3x  m  1 0 x 1 x Bài 6: Cho bất phương trình sau: 4  m(2  1)  0. 16 m 9 a/ Giải bất phương trình khi. b/ Định m để bất phương trình thoả x  R. (466). (471).

(28) Chủ đề 14: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG  CHỦ ĐỀ 1: BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM Hàm số sơ cấp x 1  x dx  c   1 dx  x ln x  c x. e dx e x a dx . x. Hàm số hợp : u = u(x) u 1  u du  c   1 du u ln u  c.    1  x 0 . u. c. ax c ln a. e dx e u a dx .  0  a 1. cos x.dx sin x  c sin x.dx  cos x  c dx. cos. 2. x. dx. sin. 2. x. u.    1  x 0 . c. au c ln a.  0  a 1. cos u.du sin u  c sin u.du  cos u  c du. tan x  c. cos.  cot x  c. sin. 2. u. du 2. u. tan u  c  cot u  c. Công thức suy rộng  (kx + b) dx =. dx. 1 (kx + b) +1 . C k  +1. 1. kx + b  k . ln. kx + b  C. 1 k.x + b .e C k 1 a k.x + b k.x + b a d x = . C  k ln a 1 cos(kx + b)dx = k sin (kx + b) + C 1 sin (kx + b)dx =  k cos(kx + b) + C dx 1 cos2 (kx + b)  k tan(kx + b) + C dx 1 sin 2 (kx + b)  k cot(kx + b) + C dx 1 x a x 2  a2  2a ln x  a  C. e. k.x + b. dx =.  CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN b. I f ( x)dx. DẠNG 1: Xét tích phân. a. / Phương pháp: * Đặt x  (t )  dx  (t )dt  x a  t   * Đổi cận:  x b  t  b. a). Các dạng thường gặp. a. 2.  x 2 .dx. b. dx. a. b).  a. a2  x2. b. c). a a. 2. dx  x2 b. DẠNG 2: Xét tích phân. I f ( x)dx a. đặt x a sin t đặt x a sin t đặt x a tan t. . Suy ra:. I f   (t )   '(t )dt .

(29) Phương pháp:. / * Đặt t u ( x)  dt u ( x)dx  x a  t   * Đổi cận:  x b  t .  . Suy ra. I g (t )dt G (t )  .  CHỦ ĐỀ 3: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN b. Công thức:. b a. b.  udv=[ uv ] − vdu a. a. * BÀI TẬP:. 1/ Tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau 1 4 1 3 a/ f (x)=x +cos x − b/ g(x)=5 x − 2 x + 2 x cos x 3 2 x 2 c/ h( x )=− 4 + x + 5sin x d/ m( x)=4 − tg x+ 2 x 4 x 3 − 3 x2 +2 2 x 3 −3 ¿2 n( x )= e/ g/ p(x )=¿ x2 3 4 h/ y=√ x + √ x + √ x i/ y= x2 (5 –x )4 2/ Tìm caùc nguyeân haøm sau cos x a/  sin x ⋅ e dx b/  sin 7 x ⋅ cos 5 xdx c/ 2 x+ 3 2 dx dx d/  e/  2 4 x −3 x +3 x +7  (cos 4 x +sin 4 x ) dx.  (tg6 x+ tg4 x )dx g/. 3/ Tìm nguyeân haøm cuûa haøm soá a/ f (x)=sin 2 x cos x. bieát raèng nguyeân haøm naøy baèng 0 khi. 3 x 4 −2 x 3 +5 ;(x ≠ 0) , bieát raèng nguyeân haøm naøy baèng 2 khi x = 1 x2 x  f ( x) 2 cos(  ) 2 6 c/ bieát raèng nguyeân haøm naøy baèng 0 khi x = 0 3 2 d/ f ( x)=2 x − vaø F(1) = 4 x π F( )=1 e/ f(x) = cos5x.cos3x vaø 4 4/ Chứng minh rằng F(x) là 1 nguyên hàm của hàm số f(x) b/ f ( x)=. a/ F(x) = (4x –5).ex + 6 ; b/ F(x) = tg4x + 3x –5 ; x 2+ 4 c/ F(x) = ln( 2 ) ; x +3 5/ Tính caùc tích phaân sau. f(x) = (4x –1). ex f(x) = 4 tg5x + 4tg3x + 3 −2x f(x) = 2 (x + 4)( x 2 +3). 2. a/. 2. b/.  xdx 1 8.  dx 3 2 1 √x 2 x2 −2 x  x dx. d/ g/ 1. 1 3. 2.  x + 9 xx++31 x −5 dx 0. c/.  √ x dx. 1. 2. e/.  dx x3. 4.  (x2 −3 x)dx. f/. 1. 2. h/. 1. 2.  2 x +6− x2 x−3 4 x 1.  (2 √ x + 3x )dx. 3. dx. k/. x=. π 3.

(30) π 3. 3. 2− cos  cos 2 x. p/. x. π 4. tg x − 2 dx  sin 2 x. q/. dx. π 6.  dx 2 x π 4. sin. 2. cos2. i/. π 6 π 3. π 3. j/. π 2. 2. π 4. cos 2 x dx  1− 1+cos 2 x. t/. x 2.  cot g2 xdx. π 6. 6/ Tính caùc tích phaân sau 4. a/. 3. b/. |x −2|dx 0. 4. |x. 2. c/. −4|dx. −4.  √ x 2 − 6 x +9 dx. d/. 2. 3.  3 √ 4 −| x|dx −1. 1 −|x| (¿)dx. e/. 3π 4. f/. 1. ¿. 3. g/.  √ cos 2 x +1 dx π 4. −1 0. |x 2 − 3 x+2|dx. h/. 0.  √ x2 + 4 x+ 4 dx −3. 7/ Tính caùc tích phaân sau 3 x −2 ¿5 dx ¿. a/. 1. ¿. 2. b/. 6. x +1 ¿ dx x¿. ¿. d/.  x √ x + 3 dx. 1. 0. 1. 2.  2−x x3 dx. f/. −1. g/. 0. 2.  x . e x dx. h/. 0. √x.  2e√ x dx 1. 1 2 −x. k/. 2 x2 dx √1+ x 3. . −1. 0. 9. 2. 0.  x 2x+1 dx. e/. c/. 1. 0. 1. 0. x e. 3. 2. e. l/. dx. e. x dx  2+ln x 1. −1. m/.  dx x 1+ln x e. π 6. √. n/.  (sin 2 x +cos 2 x)dx 0. 8/ Tính caùc tích phaân sau π. a/. e. 1 2.  x cos xdx 0. b/. 3x.  xe. dx. c/. 0.  ln x dx 1 e. d/. π.  e x sin xdx 0. π 2. 2. e/.  (2 x +1)ln x dx 1. f/. xdx  sin 2 x π 4. π 4. 4. g/.  e √ x dx 1. h/.  tgxdx −. π 4.

(31) 4. 7.  √ x − 3 dx. i/. k/. 3.  0. dx. 2. 25  3 x. m/. e x dx  2+ e x −1. n/. 4.  dx x2 −3 x +2 3. 9/ Tính caùc tích phaân sau. a/. π 3. 1. 1.  (x +3)e x dx. b/. −1. x( x  1). 2011. dx c/. 0.  x cos xdx. d/. π 6. 1 2 8. x .. 1  xdx. 0. 2. e/. f/.  (2 x −1)ln xdx 1. π 6. e.  2 √1+ 4 sin 3 x cos 3 xdx. g/.  e x cos 2 xdx. 0. 0. e.  dx3. h/. 1. x √ ln x+ 2. Trích một số bài tich phân trong các đề thi ĐH: Tính các tích phân sau: tan 4 x I  dx cos 2 x 0. (A08). 2. M  0. sin 2 x cos 2 x  4sin 2 x. (D08). 0. (A06). (D06). (B05) (A04) (D04).  4. 1  2sin 2 x L  dx 1  sin 2 x 0 Y  0. (A05). E 2 (esin x  cos x ) cos xdx 0. L  1. 1  3ln x .ln x dx x. K 5. (A05) (B04). dx x x2  4. (A03). 2. (B03). x. e dx (e x  1)3. (B06). sin 2 x  sin x Q  dx 1  3cos x 0. 2 3. 2. ln 3. dx N  x e  2e  x  3 ln 3. e. 3. B ln( x 2  x) dx. (D07). 1.  2. 2. x F  dx x 1 1 1. L x 3 ln 2 xdx.  2.  2. sin 2 x cos x H  dx 1  cos x 0. (B08). ln 5. dx. 1. P ( x  2)e 2 x dx. sin( x . e. ln x K  3 dx x 1  2.  )dx 4 J  sin 2 x  2(1  sin x  cos x) 0  4.  6. X x 2  x dx 0. (D03). 0. (DBA02). Z  x (e 2 x  3 x  1)dx 1. (DBB02).

(32)  2. A 6 1  cos3 x .sin x cos5 xdx 0. ln 3. C . (DBD02). e dx ex  1. (DBB03). 4. x  x 1 E  2 dx x 4 0. 0. (DBA02). (DBD04). (DBA05). (DBD03). dx F  x  x3 1. (DBB04). H sin 2 x tan xdx 0. (DBA05). L (tan x  esin x cos x) dx 0. (DBB05).  2. (DDB05). N (2 x  1) cos 2 xdx 0. (DBD05). 10. 6. dx O  2 2 x 1  4 x 1. 0.  4. e3. ln 2 x M  dx 1 x ln x  1. 2. D x 3e x dx.  3. 7. x2 K 3 dx x 1 0. (DBA03). 3. 2. G   x sin xdx. x B  dx 1  cos 2 x 0 1. 2x. ln 2 2.  4. (DBA06). dx Q  5 x 2 x 1. (DBB06).

(33)  CHỦ ĐỀ 4: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1/ Diện tích hình phẳng: * Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường: y = f(x); y = 0; x = a; x = b: b.  f ( x) dx. S= a * Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = f(x); y = g(x); x = a; x = b: b. S=.  f ( x )  g ( x ) dx a. 2/ Thể tích vật thể tròn xoay: * Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường: y = f(x); y = 0; x = a; x = b quay xung quanh trục hoành ta được một khối tròn xoay. Thể tích KTX đó được tính theo công thức : b. 2.  . f ( x ) dx. V= a * Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường: x = g(y); x = 0; y = a; y = b quay xung quanh trục tung ta được một khối tròn xoay. Thể tích KTX đó được tính theo công thức : b. V=. 2.  . f ( y )  dy a. * BÀI TẬP: 1/ Cho haøm soá y = f(x) = x3 –3x +2 a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số b/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), đường thẳng (D): y = x + 2 , x = -1 , x = 2 c/ Viết phương trình tiếp tuyến (D1) với (C) tại điểm có hoành độ bằng –2 và phương trình tiếp tuyến (D2) với (C) tại điểm uốn I của (C) d/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) , (D1) và x = -1 e/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) , (D1) và (D2) 2/ Cho haøm soá y = f(x) = -x3 + 3x2 a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số b/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) với trục Ox c/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và (P) : y = x2 d/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), (P) : y = x2 , x = 1 , x = 3 e/ Viết phương trình tiếp tuyến (D) với (C) tại điểm A(3;0) . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) , (D) và x = 2, x = 4 3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: a/ y = x3 ; x + y = 2 và trục hoành b/ y = 2x – x2 ; x + y = 0 x2  x  2 c/ y = x  1 và y = 2x – 2 2. d/ (P): y = x - 2x +2, tiếp tuyến của (P) tại A(3; 5) và trục Oy e/ y = x. 2. và y =. x. +2. g/ y = 1  cos2x ; y = 0 ; x = 0 ; x =  3. 2. 4/ Cho hs: y = x + 3x + 3x + 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và 2 trục tọa độ.

(34) 2. 4. 5/ Cho hs: y = 2x - x a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox c) Cho hình phẳng trên quay xung quanh trục hoành. Tính thể tích KTX tạo thành 4 6/ Cho hs: y = x - 4. a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C); tiệm cận ngang, trục Oy và tiếp tuyến với (C) đi qua điểm A(2 ; 0) c. Cho hình phẳng trên quay xung quanh trục hoành. Tính thể tích KTX tạo thành 2x + 2 7/ Cho hs: y = x - 1. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và 2 trục tọa độ c) Cho hình phẳng trên quay xung quanh trục tung. Tính thể tích KTX tạo thành 8/ Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường :   6. 6. y = sin x  cos x ; y = 0 ; x = 8 ; x = 4 xung quanh trục hoành 9/ Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường : x y = x - e ; y = 0 ; x = 0 và đường thẳng x = ln2 xung quanh trục hoành 10/ Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường : x 1 y = e ; y = e ; x = 0 xung quanh trục tung.

(35) Phần 5 : BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy a 6 (ABC) . Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC) theo a, biết rằng SA = 2 Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE. Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a . Gọi I là trung điểm của SC và M là trung điểm của AB . 1. Chứng minh IO  ( ABCD) 2. Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng CM. Bài 4: Cho tứ diện SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B và AC = 2a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a. 1. Chứng minh (SAB)  (SBC ) . Tính khoảng từ A đến (SBC) 2. Gọi O là trong điểm của AC. Tính khoảng cách từ O đến (SBC) Bài 5: Cho tứ diện SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 2a, BC = a 3 , SA  ( ABC ) , SA = 2a. Gọi M là trung điểm của AB. 1. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) 2. Tính đường cao AK của tam giác AMC 3. Tính góc  giữa hai mặt phẳng (SMC) và (ABC) 4. Tính khoảng cách từ A đến (SMC) Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  ( ABCD ) và SA = a . Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng : a) SA và AD b) SC và BD c) SB và CD Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = SC = SD = a 2 Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AD và BC 1. Chứng minh (SIJ )  (SBC ) 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB Bài 8: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với BC, AD = a và khoảng cách từ D đến BC là a . Gọi H là trung điểm của BC và I là trung điểm của AH . 1. Chứng minh BC  ( ADH ) và DH = a 2. Chứng minh DI  ( ABC ) 3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và BC Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc A bằng 60 0, đường cao SO = a. 1. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = b, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh rằng tam giác AMB cân tại M và tính diện tích tam giác AMB theo a. Bài 11: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a và góc BAC = 1200, cạnh bên BB' = a. Gọi I là trung điểm CC'. Chứng minh rằng tam giác AB'I vuông ở A. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I)..

(36) Bài 12: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, có cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc. . . . bằng  0    90 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC). Bài 13: Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a, BC = b. Hai mặt phẳng (BCD) và (ABC) vuông góc với nhau và góc BDC = 90 0. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCD theo a và b. Bài 14: Cho tứ diện ABCD có  ABC vuông tại A, AD vuông góc với mp(ABC) và AD = a, AC = b, AB = c. 1) Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c 2) Chứng minh rằng:. 2S  abc(a  b  c). Bài 15: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA; OB; OC đôi một vuông góc. Gọi ; ;  lần lượt là các góc giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (OBC); (OCA) và (OAB). Chứng minh rằng :. cos   cos   cos   3. Bài 16: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tam giác tại OD . a 6 3 . Gọi điểm giữa của BD và DC lần lượt là M, N.. tâm O, lấy điểm D sao cho 1) Tính góc giữa các đường thẳng AM và BC 2) Tính tỷ số thể tích giữa các phần của khối ABCD được phân chia bởi thiết diện AMN 3) Tính thể tích khối ABCMN Bài 17: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA = OB = OC = a và đôi một vuông góc với nhau, góc OCB =  . 1) Chứng minh rằng tứ diện có các cạnh đối vuông góc và hình chiếu của O xuống mặt phẳng (ABC) là trực tâm của tam giác ABC a3 3 2) Tính thể tích V của tứ diện OABC. Xác định  để thể tích V = 24. 3) Tìm tâm và bán kính R của hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Bài 18: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Cạnh SA = a và vuông góc với đáy 1) Tính thể tích và diện tích toàn phần của tứ diện SBCD 2) Gọi MNPQ là thiết diện của hình chóp và một mặt phẳng song song với mặt đáy. Trong đó M ở trên cạnh SA và AM = x. Tính diện tích thiết diện MNPQ theo a và x 3) Tính thể tích khối ABCDMNPQ theo a và x Bài 19: Cho hình vuông ABCD cạnh a và I là điểm giữa của cạnh AB. Qua I dựng đường vuông góc với mặt phẳng hình vuông và lấy điểm S sao cho 2 IS a 3 . 1) Chứng minh rằng SAD là tam giác vuông. 2) Tính diện tích xung quanh hình chóp SABCD. 3) Tính thể tích hình chóp SACD, từ đó tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAD Bài 20: Đáy của hình chóp SABC là tam giác cân ABC có AB = AC = a và B = C =  .Các cạnh bên cùng nghiêng với đáy một góc  . 1) Tính thể tích hình chóp SABC 2) Tính diện tích thiết diện tạo bởi hình chóp với mặt phẳng qua đỉnh B và đường cao SO của hình chóp.

(37) Bài 21: Cho tam giác cân ABC (AB = AC = 2b; BC = 2a). Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A lấy AS = a. 1) Tính thể tích hình chóp SABC 2) Tính diện tích tam giác SBC và suy ra khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) 3) Tìm trên AS điểm M sao cho thiết diện MBC chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. Bài 22: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có chiều cao bằng h, góc ASB bằng 2  . Tính thể tích khối chóp Bài 23: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, cạnh bên SA vuông góc  với đáy, SB = a, góc giữa (SBC) và đáy bằng  (0<  < 2 ) a/ Tính thể tích khối chóp b/ Tìm  để thể tích khối chóp lớn nhất Bài 24: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có khoảng cách từ A tới mp(SBC) bằng 2a, góc giữa  mặt bên và đáy bằng  (0<  < 2 ) a/ Tính thể tích khối chóp b/ Tìm  để thể tích khối chóp nhỏ nhất Bài 25: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA = 2a. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD. mp(AB’D’) cắt SC tại C’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ Bài 26: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a; AC = BD = b; AD = BC = c Tính thể tích khối tứ diện Bài 27: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’, biết cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng h. Tính thể tích khối tứ diện ABC’A’ Bài 28: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, diện tích một mặt bên bằng diện tích đáy. a/ Tính thể tích khối chóp b/ Lấy điểm M tùy ý ở miền trong khối chóp. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ M tới các mặt khối chóp không phụ thuộc vào vị trí điểm M Bài 29: Cho điểm M di động trên đường tròn đường kính AB. Trên đường thẳng vuông góc với mp chứa đường tròn tại A, lấy điểm S. Mp (P) qua A vuông góc với SB tại K cắt SM tại H. Tìm vị trí M để thể tích khối chóp S.AHK lớn nhất Bài 30: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD, SC. C/m rằng mp(MNP) chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau Bài 31: Khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. M, N lần lượt là trung điểm của C’B’,C’D’ a/ Dựng thiết diện tạo bởi mp(AMN) và khối lập phương b/ Tính tỉ số thể tích hai phần của khối lập phương bị chia bởi mp(AMN) Bài 32: Cho tứ diện ABCD. Kẻ đường cao AH (H  (BCD)) a/ CMR nếu H là trực tâm của tam giác BCD và AB  AC thì AB  AD và AC  AD b/ Giả sử BC = CD = DB; AB = AC = AD, K là chân đường vuông góc kẻ từ H tới AD. Đặt AH = h, HK = d. Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo h và d. Bài 33: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’, biết độ dài đường chéo của mặt bên bằng 5; khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A’D bằng 2 Tính thể tích khối lăng trụ Bài 34: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều. Biết diện tích  A’BC bằng 8, 0 góc giữa mp(A’BC) và đáy bằng 30 . Tính thể tích khối lăng trụ Bài 35: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có chiều cao bằng 2, đáy là hình bình hành có góc 0 0 0 BAD = 45 . Các đường chéo AC’, DB’ lần lượt tạo với đáy góc 45 và 60 . Tính thể tích khối lăng trụ.

(38) Bài 36: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng a, Các góc A’AB, BAD, 0 0 A’AD bằng nhau và bằng  (0 <  <90 ). Tính thể tích khối hộp 3,. Bài 37: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bên bằng 1; đáy là hình chữ nhật; AB =. AD = 7 . Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy góc 45 và 60 . Tính thể tích khối hộp Bài 38: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có khoảng cách giữa cạnh CC’ và mặt bên (ABB’A’) bằng 7, diện tích mặt (ABB’A’) bằng 4. Tính thể tích khối lăng trụ 0. Bài 39: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, biết AB =. 0. 2,. AA’ = 3 , mp(AA’B) vuông góc với mp(ABC), góc giữa (AA’C) và (ABC) bằng 60 , góc A’AB nhọn. Tính thể tích khối lăng trụ Bài 40: Cho tứ diện ABCD, biết AB = AC = BC = BD = a, AD = b, hai mặt (ACD) và (BCD) vuông góc với nhau a/ Chứng minh  ACD vuông b/ Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Bài 41: Cho tam giác đều ABC cạnh a, đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với mp(ABC). Gọi S là điểm bất kỳ trên (d), S khác A a/ Biết SA = h, tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện SABC b/ Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua tâm mặt cầu nói trên. CMR khi S thay đổi trên (d) thì A’ thuộc một đường thẳng cố định Bài 42: Cho tứ diện ABCD, biết BC = a; BD = b, góc CBD bằng  , AB  (BCD). Gọi B’, C’ lần lượt là hình chiếu của B trên AC và AD. CMR các điểm B, C, D, B’, C’ cùng thuộc một mặt cầu và tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó theo a, b,  . Bài 43: Một mặt cầu bán kính R tiếp xúc với các cạnh của hình chóp S.ABC và có tâm I nằm trên đường cao SH của hình chóp a/ C/m S.ABC là hình chóp đều 0. b/ Biết SI = R 3 , tính độ dài đường cao SH. Bài 44: Cho hai tia Ax, By chéo nhau và vuông góc với nhau, AB là đường vuông góc chung. Trên Ax, By lần lượt lấy các điểm C, D. Biết AB = a, AC = b, BD = c a/ Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD b/ Khi C, D thay đổi trên Ax, By sao cho AC + BD = CD. Chứng minh CD luôn tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB Bài 45: Biết thiết diện qua trục của một hình trụ là một hình vuông cạnh a. a/ Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình trụ b/ Mp(  ) song song với trục hình trụ, cắt đáy hình trụ theo một dây cung có độ dài bằng bán kính đáy hình trụ. Tính diện tích các thiết diện tạo bởi mp(  ) với hình trụ và khối cầu ngoại tiếp hình trụ Bài 46: Cho hình nón có bán kính đáy là R, góc giữa đường sinh và đáy bằng  . Mp(P) song song với đáy hình nón, cách đáy hình nón một khoảng bằng h, cắt hình nón theo đường tròn (C) a/ Tính bán kính đường tròn (C) theo R, h,  b/ Tính diện tích và thể tích phần hình nón nằm giữa đáy hình nón và mp(P) Bài 47: Cho hình nón có bán kính đáy là R, chiều cao bằng 4R. a/ Tính diện tích toàn phần hình trụ nội tiếp hình nón, biết bán kính đáy hình trụ bằng r b/ Tính bán kính đáy r và chiều cao h của hình trụ nội tiếp hình nón theo R để diện tích toàn phần hình trụ đạt giá trị lớn nhất Chủ đề 16 : TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN  Vấn đề 1: CÁC CÔNG THỨC VỀ TỌA ĐỘ:.

(39)     j OM i k * Điểm M(x; y; z)  = x. + y. + z. A x ; y ; z , B x ; y ; z , C x ; y ; z , D  xD ; y D ; z D  * Cho bốn điểm :  A A A   B B B   C C C   AB  xB  x A ; yB  y A ; z B  z A . 1). 2. 2). AB  ( xB  xA ) 2   yB  y A    zB  z A . 2.  x  x y  yB zB  z A  I A B ; A ;  2 2   2. 3) I là trung điểm của đoạn AB, ta có:. ( x + x3 + x ; y + y3 + y ; z + z3 + z ) x +x +x +x y + y + y + y ; 5) Trọng tâm của tứ diện ABCD là: E ( 4 4   4) Trọng tâm của  ABC là:. A. G. B. C. A. * Cho  2 vectơ : 6). a (a1 ; a2 ; a3 ). A. B. b (b1 ; b2 ; b3 ). ,. B. C. C. D. A. A. B. B. , ta có:. a  b  a1 b1 ; a2  b2 ; a3 b3   m.a  m.a1 ; m.a2 ; m.a3 . 7) 8) |a|=√ a21 + a22+ a23 9) Tích vô hướng :. a . b=a1 . b1 + a2 . b2 +a 3 . b3   a1.b1  a2b2  a3b3 cos a; b  2 a1  a22  a32 . b12  b22  b32. . . 11) Góc :  của  hai  vectơ  12) a  b a. b 0  a1b1  a2b2  a3b3 0 13) a  b  a1 b1 ; a2 b2 ; a3 b3.  a a a a a a   a. b   2 3 ; 3 1 ; 1 2     b2 b3 b3 b1 b1 b2  10) Tích có hướng:. Chú ý: o o o. 14) 15) 16) 17).    a. b    a. b     a ;   b ;      a. b   a . b .sin a; b        a. b   b. a    =-  .  .  a1 a2 a3 hay a1 : a2 : a3  b1 : b2 : b3      a   b   b1 b2 b3     a; b  0         a .b . c Ba véctơ a; b; c đồng phẳng    = 0 1   AB; AC   Diện tích  ABC: S = 2  1     . AB; AC  . AD Thể tích khối tứ diện ABCD: V = 6      AB; AD  . AA '  . 18) Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’: V =  Vấn đề 2: MẶT PHẲNG. C. C. D. ;. z A + zB + zC + zD 4. ).

(40)   n 1) Véctơ pháp tuyến của mp: là 0 , có giá vuông   góc  với mp 2) Cặp véctơ chỉ phương của mp: là cặp vectơ a ; b 0 , không cùng phương và có giá cùng. phương với mp Chú ý: Biết cặp vtơ chỉ phương.   a (a1 ; a2 ; a3 ) b (b1 ; b2 ; b3 ). ,. =>Vectơ  pháp tuyến:.    n  a ; b . 3) Phương trình mp: mp (  ) đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có vtpt n ( A; B; C ) => Phương trình mp(  ): A(x - x 0 ) + B(y - y 0 ) + C(z - z 0 ) = 0. Hoặc : Ax + By + Cz + D = 0, trong đó D = -Ax 0 - By 0 - Cz 0 * Đặc biệt:     . D=0  (  ) đi qua gốc O C = 0, D  0  (  ) // Oz ; C = 0, D = 0  (  ) chứa Oz B = C = 0, D  0  (  ) // (Oyz) ; B = C = 0, D  0  (  )  (Oyz) ; ( các trường hợp khác suy ra tương tự) o Phương trình mp(Oxy) : z = 0 o Phương trình mp(Oyz) : x = 0 o Phương trình mp(Oxz) : y = 0 4) Vị trí tương đối của hai mặt phẳng: Cho 2 mặt phẳng: (  ): Ax + By + Cz + D = 0; (  ) : A’x + B’y + C’z + D’ = 0  (. A B C D    )  (  ) <=> A ' B ' C ' D ' A B C D     ) // ( ) <=> A ' B ' C ' D ' ) cắt (  ) <=> A : B : C  A’ : B’ : C’ )  (  ) <=> AA’ + BB’ + CC’ = 0.  (  (  ( 5) Chùm mặt phẳng: Cho 2 mp cắt nhau: (  ): Ax + By + Cz + D = 0; (  ) : A’x + B’y + C’z + D’ = 0 Tập hợp các mp đi qua giao tuyến của hai mp (  ), (  ) được gọi là một chùm mp. Mỗi mp thuộc chùm (  ;  ) đều có phương trình dạng: t1 (Ax + By + Cz + D) + t2 (A’x + B’y + C’z + D’) = 0, trong đó t12  t22 0.  Vấn đề 3: ĐƯỜNG THẲNG   a 1) Véctơ chỉ phương của đường thẳng : là 0 , có giá cùng phương với đường thẳng. * Một đường thẳng được hoàn toàn xác định khi biết một điểm và một véctơ chỉ phương của nó 2) Phương trình của đường thẳng :  Cho đường thẳng (  ) đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) , có véctơ chỉ phương a (a1 ; a2 ; a3 ).  x  x0  ta1   y  y0  ta2  z z  ta 0 3 - Phương trình tham số của đường thẳng (  ):  (t  R) x  x0 y  y0 z  z0   2 2 2 a2 a3 - Phương trình chính tắc của đường thẳng (  ): a1 với a + b + c 0.

(41) 3) Giao tuyến của 2 mặt phẳng:. . Cho 2 mặt phẳng cắt nhau: (  ) : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 có vtpt n1 = (A 1 ;B 1 ;C 1 )   n 2 2 2 2 ( ) : A x + B y + C z + D = 0 có vtpt 2 = (A 2 ;B 2 ;C 2 ) A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0  A x + B2 y + C 2 z + D 2 = 0  Giao tuyến của 2 mặt phẳng là đường thẳng ( ) có pt :  2    a  n1 ; n 2  Véctơ chỉ phương của (  ) là :. 4) Vị trí tương đối của hai đường thẳng:.  a (a1 ; a2 ; a3 ) ( x ; y ; z ) 0 0 0  Cho 2 đường thẳng: ( ) đi qua điểm M , có véctơ chỉ phương  (  ’) đi qua điểm M’ ( x '; y '; z ') , có véctơ chỉ phương b (b1 ; b2 ; b3 )     a ; b  .MM '  0  (  ) & (  ’) chéo nhau       a ; b  .MM '   (  ) & (  ’) cùng nằm trong một mp   =0      a ; b  .MM ' 0        a ; b  0  (  ) & (  ’) cắt nhau         a ; b  0         a ; MM ' 0  (  ) // (  ’)           a ; b   a ; MM ' 0     (  )  (  ’)  .   Chú ý: Có thể xét VTTĐ của 2 đường thẳng (  ), (  ’) bằng cách giải hệ  ' - Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì (  ) cắt (  ’), nghiệm tìm được là tọa độ giao điểm - Nếu hệ có vô số nghiệm thì (  )  (  ’) - Nếu hệ vô nghiệm thì (  ) // (  ’) khi 2 VTCP cùng phương hoặc (  ) chéo (  ’) khi 2 VTCP khác phương. 5) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:.  a ( x ; y ; z ) Cho đường thẳng: (  ) đi qua điểm M 0 0 0 , có véctơ chỉ phương (a1 ; a2 ; a3 ) n ( A; B; C )  và mặt  phẳng: ( ): Ax + By + Cz + D = 0, có vtpt  (  ) cắt (  )  a. n 0  a. n 0    (  ) // ( )   M ( )  a. n 0   M ( )   .  ( ) ( ) Có thể c/m (  )  (  ) bằng cách lấy hai điểm A và B thuộc (  ) rồi c/m A, B cùng thuộc (  )  Vấn đề 4: GÓC 1/ Góc giữa 2 mặt phẳng: Cho 2 mp: (  ): Ax + By + Cz + D = 0; (  ): A’x + B’y + C’z + D’ = 0. AA' + BB' + CC'. Gọi  là góc giữa 2 mp, ta có: cos  =. A 2  B 2  C 2 . A' 2  B ' 2  C ' 2.

(42)  a 2/ Góc giữa 2 đường thẳng: Cho 2 đường thẳng: (  ) có véctơ chỉ phương (a1 ; a2 ; a3 ) (  ’) có véctơ chỉ phương b (b1 ; b2 ; b3 )  a .b   a .b Gọi  là góc giữa 2 đường thẳng, ta có: cos  =. 3/ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:   a (a1 ; a2 ; a3 )  n  Cho đường thẳng: ( ) có véctơ chỉ phương và mp: ( ) có vtpt = (A; B; C) Gọi  là góc giữa (  ) & (  ), ta có:  Vấn đề 5: KHOẢNG CÁCH. sin  =.  a .n   a . n. 1/ Khoảng cách từ điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) tới mp (  ): Ax + By + Cz + D = 0: Ax 0 + By0 + Cz 0  D. d(M 0 ;  ) =. A2  B2  C 2. 1 ( x1 ; y1 ; z1 ) tới đường thẳng (  ) đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) , có véctơ chỉ 2/ Khoảng  cách từ điểm M. phương a (a1; a2 ; a3 ) là:.    M 0M1, a     a. d(M 1 ;  ) = 2/ Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau :.  a ( x ; y ; z ) Cho 2 đường thẳng chéo nhau: (  ) đi qua điểm M 0 0 0 , có véctơ chỉ phương (a1; a2 ; a3 ) (  ’) đi qua điểm M’ ( x '; y '; z ') , có véctơ chỉ phương b (b1 ; b2 ; b3 )     a ; b  .MM '      a ; b   => Khoảng cách giữa 2 đường thẳng là : d(  ;  ’) =.  Vấn đề 6 : MẶT CẦU 2. 2. 2. 2. 1) Phương trình tổng quát của mặt cầu: (x – a) + (y – b) + (z – c) = R Trong đó: tâm I(a; b; c) bán kính R 2 2 2 2) Phương trình mặt cầu dạng khai triển: x + y + z - 2ax - 2by – 2cz + d = 0 2. 2. 2. Trong đó: tâm I(a; b; c) bán kính R = a  b  c  d với a  b  c  d > 0 3) Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu: Cho mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) bán kính R và mp(  ): Ax + By + Cz + D = 0 2. 2. 2. Aa + Bb + Cc  D. * Tính  d(I;  d(I;  d(I;. d(I;  ) = )>R  )=R  )<R . A2  B2  C 2. (  ) và (S) không có điểm chung (  ) tiếp xúc với (S) (  ) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có tâm H là hình chiếu. 2 2 vuông góc của I trên (  ); bán kính r = R  d 4) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu:. x  x0 y  y0 z  z0   a a a3 1 2 Cho mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) bán kính R và đường thẳng (  ):.

(43) * Tính d(I; (  ))  d(I; (  )) > R  (  ) và (S) không có điểm chung  d(I; (  )) = R  (  ) tiếp xúc với (S)  d(I; (  )) < R  (  ) cắt (S) tại hai điểm phân biệt * BÀI TẬP: Bài 1: Cho A( 1;1;0), B(3;-1;1), C(5;1;3) a. Tìm độ dài đường phân giác trong của góc A b. Tìm tâm và bán kính đường tròn nội tiếp ABC Bài 2: Cho A( 0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(0; 2; 0), A’( 0; 0; 3) a. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của A’B’, BC, CD, DD’. C/m M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng b. Tính khoảng cách từ C’ đến mp(MNPQ) Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng () trong các trường hợp sau: a. () vuông góc với AB tại A, biết A(1;0;2), B(2;1;1). b. () qua ba điểm M(2;1;3), N(4;2;1), P(1;2;3). c. () qua M(0;2;1) và song song với mặt phẳng (): x  3z + 1 = 0. d. () qua A(3;1;1), B(2;1;4) và vuông góc với mặt phẳng ():2x  y + 3z + 1 = 0. x  1 y 1 z   1 2 e. () qua M(1;1;1) và vuông góc với đường thẳng : 3 2 Bài 4: Tìm m để khoảng cách từ M(m;0;1) đến mặt phẳng (): 2x + y  2z + 2 = 0 bằng 3 .. Bài 5: Viết phương trình đường thẳng  trong các trường hợp sau: a.  qua hai điểm A(2;1;3), B(4;2;1). b.  qua điểm M (1;0;2) và vuông góc với mặt phẳng (): 2x  y + z  1 = 0. x y 3 z  2   3 . c.  qua M(1;2;1) và song song với đường thẳng d: 2  1. d.  qua M(0;3;1) và song song với trục Ox. x  1 x 1 z   1 3 và điểm M(3;4;5). Bài 6: Cho đường thẳng :  2. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M trên  và tính khoảng cách từ M đến . Bài 7: Viết phương trình tham số đường vuông góc chung của hai đường thẳng :. x 7 y 3 z 9   1 2 1. và.  x 3  7t   ' :  y 1  2t  z 1  3t . ..     O D  4 i  2 j  5k . Bài 8: Trong kgOxyz cho A(4;1;2), B(1;2;2), C(1;1;5), và. a. Chứng minh ABCD là một tứ diện đều. b. Tính thể tích tứ diện ABCD. c. Tính cosin của góc hợp bởi hai cạnh AB và CD. c. Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. d. Viết phương trình tiếp diện với mặt cầu (S) tại A. x y z 1   x  y  z  1  0 Bài 9: Trong kgOxyz cho (): và đường thẳng d: 1 1  1 . Tính thể tích khối tứ  . diện ABCD, biết A, B, C là giao điểm tương ứng của mặt phẳng với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz; còn D là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng tọa độ Oxy. Bài 10: Trong kgOxyz cho A(1;4;2) và mặt phẳng (P): x + 2y + z  1 = 0. a. Viết phương trình đường thẳng d qua A và vuông góc với mặt phẳng (P). b. Tìm tạo độ giao điểm H của đường thẳng d và mặt phẳng (P)..

(44) c. Viết phương trình mặt cầu tâm  mặt phẳng (P).  và tiếpxúc  với  A. Bài 11: Trong kgOxyz cho A(1;2;1), OB  j  k , OC i  4k . a. Chứng minh ABC là tam giác vuông. b. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB. c. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC). Bài 12: Trong kgOxyz cho D(3;1;2) và mp() qua ba điểm A(1;0;11), B(0;1;10), C(1;1;8). a. Viết phương trình tham số của đường thẳng AC. b. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (). c. Viết phương trình mặt cầu (S) tâm D bán kính R = 5. Chứng minh (S) cắt (). d:. x 1 y z 2   2 1 2. Bài 13: Trong kgOxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d. b) Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến ( ) lớn nhất. Bài 14: Trong kgOxyz, cho 3 điểm A(0;1;2); B(2;-2;1); C(-2;0;1) a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) b) Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng 2 x  2 x  z  3 0 sao cho MA MB MC Bài 15: Trong kgOxyz, cho 4 điểm A(3;3;0); B(3;0;3); C(0;3;3); D(3;3;3) a) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D b) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. x y  1 z 2 d1 :   & 2 1 1. Bài 16: Trong kgOxyz, cho hai đường thẳng.  x  1  2t  d 2 :  y 1  t  z 3 . a) Chứng minh rằng d1 & d 2 chéo nhau b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( P) : 7 x  y  4 z 0 và cắt hai đường thẳng d1 & d 2 . 2 2 2 Bài 17: Trong kgOxyz, cho mặt cầu ( S ) : x  y  z  2 x  4 y  2 z  3 0 và mp ( P) : 2 x  y  2 z  14 0 . a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) và cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính bằng 3 b) Tìm tọa độ M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất. Vấn đề 6 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG  Vấn đề 1: CÁC CÔNG THỨC VỀ TỌA ĐỘ:    OM i * Điểm M(x; y)  = x. + y. j  ABC biết : A  xA ; y A  , B  xB ; y B  , C  xC ; yC  * Cho  AB  xB  xA ; yB  y A . 1) 2). AB  ( xB  xA ) 2   yB  y A . 2. 3) I là trung điểm của đoạn AB, ta có:.  x  x y  yB  I A B ; A  2   2.

(45) 4) 5) 6). x A  k .x B  x  M  1 k   y  y A  k . yB   M 1 k Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỉ số k  MA k .MB    x  x  x y  y B  yC  G A B C ; A  3 3   G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có:   AC A, B, C thẳng hàng  AB cùng phương  với  Tứ giác ABCD là hình bình hành  AB DC. (k 1). 7) 8) Tính chất đường phân giác: Gọi AD, AE lần lượt là đường phân của góc A (D  BC; E  BC), ta có:  giác trong và ngoài . 9) Diện tích  ABC: S =. DB  AB AC ; DC 1 xB  x A y B  y A . 2 xC  x A yC  x A. EB  AB EC AC. 1 1 abc S  aha  ab sin C   pr  p ( p  a )( p  b)( p  c ) 2 2 4R Công thức khác:. * Cho :  2 vectơ . 1 p  ( a  b  c) 2 (Với a, b, c là ba cạnh, ha là đường cao thuộc cạnh a, ,  R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp ABC)  a (a1 ; a2 ) b (b1 ; b2 ). ,. , ta có:. a  b  a1 b1 ; a2 b2   m.a  m.a1; m.a2  11)  a  a12  a22 12)     a . b  a . b .cos(a; b)  a1.b1  a2 .b2. 10). 13) Tích vô hướng :.   cos a; b . . . a1.b1  a2b2 2 1. a  a22 . b12  b22 14) Góc giữa hai vectơ :     a  b  a. b 0  a1b1  a2b2 0 15)  . 16) a  b  a1 b1 ; a2 b2. a1 a2      b b2 với b1.b2 0 a , b a  k . b 1 17) cùng phương  . * BÀI TẬP:.        Bài 1: Cho lục giác đều ABCDEF. Hãy biểu diễn AC ; AD; AF; EF theo các vectơ u AB ; v AE. Bài 2: Cho ba điểm A(0;2), B(1;1), C(1;-2), . 1. Tìm tọa độ đỉnh D của hình bình hành: a) ABCD b) ACBD. . c) CABD. 1 2. Tìm tọa độ các điểm C’, A’, B’ lần lượt chia các đoạn thẳng AB, BC, CA theo tỉ số -1; 2 ; -2. Chứng minh A’, B’, C’ thẳng hàng 3. Tìm điểm E đối xứng với A qua C. 4. Tìm điểm M sao cho: 2 MA  3MB BC.

(46) Bài 3: Cho ba điểm A(-3;0), B(3;0), C(2;6). 1. Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H, tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 2. C/m G; H; I thẳng hàng Bài 4: Cho ba điểm A(2;6), B(-3;-4), C(5;0). 1. Tìm độ dài đường phân giác trong và ngoài của góc A 2. Tìm tọa độ tâm I đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bài 5: Cho ba điểm A(1;2), B(-2;6), C(4;2). 1. Tìm độ dài đường cao AA’ của tam giác ABC 2. Tính diện tích tam giác ABC 3. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bài 6: Tìm điểm P  Ox sao cho tổng khoảng cách từ đó đến hai điểm A(1;2), B(3;4) nhỏ nhất  Vấn đề 2: ĐƯỜNG THẲNG:   a 1) Véctơ chỉ phương của đường thẳng : là  0 , có giá cùng phương với đường thẳng Véctơ pháp tuyến của đường thẳng: là n 0 , có giá vuông góc với đường thẳng. 2) Phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng :.  a ( x ; y ) 0 0 * Cho đường thẳng (  ) đi qua điểm M , có véctơ chỉ phương (a1; a2 )  x x0  ta1  y  y0  ta2 - Phương trình tham số của đường thẳng (  ):  (t  R) x  x0 y  y0  2 2 a a2 1  - Phương trình chính tắc của đường thẳng ( ): với a + b 0 0. 3) Phương trình tổng quát của đường thẳng :.  ( x ; y ) n 0 0 0  * Đường thẳng ( ) đi qua điểm M và có véctơ pháp tuyến ( A; B). => Phương trình tổng quát của đường thẳng (  ): A(x - x 0 ) + B(y - y 0 ) = 0 Hoặc : Ax + By + D = 0, trong đó D = -Ax 0 - By 0 4) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(x A ;y A ), B(x B ;y B ):. x  xA y  yA  xB  x A y B  y A. 5) Phương trình đường thẳng đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ) , có hệ số góc k: y - y 0 = k(x- x 0 ). Chú ý: - Đường thẳng (  ) có véctơ chỉ phương a (a1; a2 ) => véctơ pháp tuyến n ( a2 ; a1 )  a (a1 ; a2 ). -. a2 => hệ số góc k = a1. Đường thẳng (  ) có véctơ chỉ phương Đường thẳng (  ) tạo với chiều dương trục hoành góc  => hệ số góc k = tan  Đường thẳng (  ) có phương trình: y = ax + b => hệ số góc k = a Nếu đường thẳng (  ) có hsg k và đường thẳng (  ’) có hsg k’ , ta có: (  ) // (  ’)  k = k’ (  ) cắt (  ’)  k  k’ (  )  (  ’)  k . k’= - 1 6) Khoảng cách từ điểm M’(x’;y’) tới đường thẳng (  ): Ax + By + C = 0 là: Ax' + By' + C 2. 2. A B d(M’;  ) = 7) * Góc giữa hai đường thẳng:(  ): Ax + By + C = 0 và (  ’): A’x + B’y + C’ = 0 là: cos  ;  '  . A. A ' B.B ' A 2  B 2 . A '2  B '2. (Công thức cosin).

(47) * Góc giữa hai đường thẳng:(  ): y = k 1 x + b và (  ’): y = k 2 x + b’ là: (;  ') . tan. k2  k1 1  k1.k2. (Công thức tan). * BÀI TẬP: Bài 1: Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm ba cạnh AB, BC, CA của  ABC. Biết M(3;-2), N(-1;1) P(5;2). a) Lập phương trình tham số, chính tắc, tổng quát của các cạnh của  ABC. b) Lập phương trình các đường trung trực của các cạnh  ABC. Bài 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng 4x + 7y – 2 = 0 và 8x + y – 13 = 0, đồng thời song song với đường thẳng x – 2y = 0 Bài 2: Cho  ABC có đỉnh A(2;2) và phương trình các đường cao kẻ từ B, C lần lượt là: 9x – 3y – 4 = 0 ; x+y–2=0 a) Lập phương trình các cạnh của  ABC. b) Lập phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với AC. Bài 2: Lập phương trình các cạnh của  ABC biết đỉnh B(2;5) và hai đường cao có phương trình: 2x + 3y + 7 = 0 ; x – 11y + 3 = 0 Bài 2: Cho  ABC có cạnh AB: 5x – 3y + 2 = 0 và các đường cao xuất phát từ A; B lần lượt có phương trình: 4x – 3y + 1 = 0 và 7x + 2y – 22 = 0. Lập phương trình các cạnh còn lại và đường cao thứ ba Chủ đề 17: LƯỢNG GIÁC Dạng 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. 1. Phương trình lượng giác cơ bản  cosx = cos   x  k 2  x   k 2 sin x sin     x     k 2   tan x tan   x   k  cot x cot   x   k 2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác 2 t sin x, t 1  a sin x  b sin x  c 0. Đặt 2. t cos x, t 1.  a cos x  b cos x  c 0. Đặt 2  a tan x  b tan x  c 0. Đặt t tan x 2  a cot x  b cot x  c 0. Đặt t cot x 3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: a sin x  b cos x c(*) 2 2 2 Điều kiện có nghiệm a  b c a 2  b 2 ta được a b c sin x  cos x  2 2 2 2 2 a b a b a  b2 a b cos   ;sin   a 2  b2 a 2  b2 Đặt c c sin x cos   cos x sin    sin( x   )  2 2 2 a b a  b2 Phương trình trở thành: 4. Phương trình đối xứng: a(sin x  cos x)  b sin x cos x  c 0.  Phương pháp: Chia hai vế phương trình cho.

(48) t sin x  cos x  2 cos( x .  ), ÐK : t  2 4. Phương pháp: Đặt 2 Khi đó: t  1 2sin x cos x . Thay vào phương trình ta được phương trình bậc hai đối với t  Chú ý: a(sin x  cos x)  b sin x cos x  c 0 .  t sin x  cos x  2.sin( x . ) , ÐK : t  2. 4 Đặt: 5. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx..  x   k a sin x  b sin x cos x  c cos x 0 2 Điều kiện Chia hai vế phương trình cho cos x ta được phương trình bậc hai đối với tan x 2. 2. 6. Hệ thức lượng trong tam giác: a b c   2 R sin A sin B sin C. a. Định lí HS sin: 2 2 2 b. Định lí HS cosin: a b  c  2bc cos A. c.. d. e.. b 2 a 2  c 2  2ac cos B c 2 a 2  b 2  2ab cos C 2b 2  2c 2  a 2 ma2  4 Định lí đường trung tuyến: A 2bc cos 2 la  b  c Định lí đường phân giác: 1 1 abc S  aha  ab sin C   pr  p ( p  a )( p  b)( p  c ) 2 2 4R Diện tích tam giác: A B C r ( p  a ) tan ( p  b) tan ( p  c ) tan 2 2 2 Bán kính đường tròn nội tiếp:. f. Bài tập thường gặp trong các kì thi Giải các phương trình sau. 2 1. (1  sin x ) cos x  (1  cos x)sin x 1  sin 2 x 1 1 7  4sin(  x) sin x sin( x  3 ) 4 2 2. (A08). 1 cos x.cos 2 x.sin 3 x  sin 2 x 4 3.. 4. 5. 6. 7. 8.. 1  cos8 x sin 2 x.sin x  cos 5 x.cos 2 x  2  sin 6 x  cos6 x 2sin 2 ( x  ) 4 sin 2 x  cos 2 x  3sin x  cos x  2 0  2 3  sin x sin 2 ( x  )  sin 2 ( x  )  3 3 2 cos 3x.tan 5 x sin 7 x 1 1    2 sin( x  ) cos x sin x 4. 9. 3 3 10. 2sin x  4 cos x 3sin x 4 4 11. cos x  sin x  cos 4 x 0.

(49) 12. 1  sin x  cos x  tan x 0  1  sin x 3tan 2 ( x  ) 2( ) 2 sin x 13. 14. sin 3x  3 cos 3x 2sin 2 x 3 3 2 15. cos x  sin x  2sin x 1 2 2 2 16. (2sin x  1) tan 2 x  3(2 cos x  ) 0. 17.. cos 3 x cos 3 x  sin 3 x.sin 3 x . 23 2 8. 3 sin x  x)  2 2 1  cos x 18.  cos 2 x  1 tan(  x)  3tan 2 x  2 cos 2 x 19. tan(. 2 2 3 20. sin x cos 2 x  cos x(tan x  1)  2sin x 0 3 2 x 2. 21.. 4sin. 2. . 3 cos 2 x 1  2 cos ( x . 4. ). trên khoảng (0;  ). 1 1   2 2 cos( x  ) 4 22. cos x sin x 3 3 23. 4(sin x  cos x) cos x  3sin x. 24.. cot x tan x  (2 . 25. 26.. 2cos 4 x sin 2 x. x  3) cos x  2sin 2 (  ) 2 4 1 2 cos x  1. tan 4 x  1 . (2  sin 2 2 x) sin 3 x cos 4 x. sin 4 x  cos 4 x 1 1  cot 2 x  5sin 2 x 2 8sin 2 x 27.. 28. Tìm nghiệm của phương trình sau trong [0;14] cos 3 x  4 cos 2 x  3cos x  4 0 2 2 2 2 29. sin 3x  cos 4 x sin 5 x  cos 6 x cos 3x  sin 3x ) cos 2 x  3 1  2sin 2 x 30. . Tìm nghiệm của pt thuộc khoảng (0; 2 ) 6 2 31. 3cos 4 x  8cos x  2cos x  3 0 32. 3  tan x(tan x  2sin x)  6cos x 0 5(sin x . x  x sin 2 (  ) tan 2 x  cos 2 0 2 4 2 33. 2 cot x  tan x  4sin 2 x  sin 2 x 34. cos 2 x 1 cot x  1   sin 2 x  sin 2 x 1  tan x 2 35. 36. (2 cos x  1)(2sin x  cos x) sin 2 x  sin x 2 37. 5sin x  2 3(1  sin x) tan x  4 4. 38.. cos x  sin x  cos( x . 4. )sin(3 x .  3 )  0 4 2.

(50) 39. 1  sin x  cos x  sin 2 x  cos 2 x 0 2 2 40. cos 3 x cos 2 x  cos x 0 41. cos 3 x  cos 2 x  cos x  1 0 x cot x  sin x(1  tan x tan ) 4 2 42. 2(cos 6 x  sin 6 x)  sin x cos x 0 2  2sin x 43. x x (sin  cos )2  3 cos x 2 2 2 44. 2 45. 2sin 2 x  sin 7 x  1 sin x 2. 2. 46. (1  sin x) cos x  (1  cos x)sin x 1  sin 2 x 47. 2sin x(1  cos 2 x)  sin 2 x 1  2 cos x 3 3 2 2 48. sin x  3 cos x sin x cos x  3 sin x cos x. Dạng 2: ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2 2 2  Phương trình A sin x  B cos x C có nghiệm  A  B C  Sử dụng các phương pháp thường gặp như trong đại số.. Bài tập    0; 2  2(sin x  cos x )  cos 4 x  2sin 2 x  m  0 1. Tìm m để pt có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn . 2sin x  cos x  1 a 2. Cho phương trình sin x  2 cos x  3 (1) (a là tham số) 1 a 3 a. Giải phương trình (1) khi 4. 4. b. Tìm a để phương trình (1) có nghiệm. Dạng 3: BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC.  Sử dụng công thức trong tam giác tương ứng  Nhận dạng tam giác bằng cách rút gọn hệ thức đã cho hay chứng tỏ hệ thức đó là điều kiện dấu bằng xảy ra của bất đẳng thức. Bài tập 1. Cho tam giác ABC không tù, thỏa mãn điều kiện: cos 2 A  2 2 cos B  2 2 cos C 3 . Tính A,B,C. A B C  sin 2 A  2 2 sin cos  1 0 2 2sin A  2 2(cos B  cos C )  2  0 2 2 HD: ĐK <=> (*) A  2 A A B C cos cos  VT sin 2 A  4sin cos cos 1 2 4 2 => 2 2 2 Vì ABC không tù nên B C 2 B C (sin A  cos )  sin 2 0 2 2   A  , B C  2 4 =>KQ:. 2. Xét tam giác ABC có độ dài AB = c, BC = a, CA = b. Tính diện tích tam giác ABC biết rằng b sin C (b cos C  c cos B) 20.

(51) 3. Gọi A, B, C là 3 góc của tam giác ABC, chứng minh rằng để tam giác ABC đều thì điều kiện cần và đủ là :. cos 2. A B C 1 A B B C C A  cos2  cos 2  2  cos cos cos 2 2 2 4 2 2 2. 2 2 2 4. Tìm góc A, B, C của tam giác ABC để biểu thức : Q sin A  sin B  sin C đạt giá trị nhỏ nhất. 2 2 5. Xác định hình dạng của tam giác ABC, biết rằng: ( p  a)sin A  ( p  b) sin B c sin A sin B. Chủ đề 18: PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TY  VẤN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – TAM THỨC BẬC HAI. I. Phương trình bậc hai:. ax 2  bx  c 0 (1) (a 0). 2 / /2 Biệt thức  b  4ac (hay  b  ac)    0 : (1) vô nghiệm.   0 : (1) có nghiệm kép. x1 x2 . b b/ (hay x = - ) 2a a. b  x1;2  2a    0 : (1) có 2 nghiệm phân biệt.  Đặc biệt: Nếu Nếu. ( hay x1;2. a  b  c 0  (1)  x 1; x  a  b  c 0  (1). .  b/  /  ) a. c a. x  1; x . c a. 2 Nếu (1) có hai nghiệm x1 ; x2  ax  bx  c a ( x  x1 )( x  x2 ).

(52) 2 2. Định lí Viet: Nếu phương trình bậc hai: ax  bx  c 0(1) (a 0) có hai nghiệm x1 ; x2. b   S  x1  x2  a   P  x x  c 1 2  a. II. Dấu của tam thức bậc hai: 2 Cho tam thức f ( x) ax  bx  c 0 (a 0) ta có:.  b 2  4ac (hay  / b / 2  ac)  Nếu   0  af ( x)  0, x  R  Nếu  0  af ( x)  0, x 0 a. f ( x)  0, x  (  ; x1 )  ( x2 ; )   0   a.f(x) < 0, x  ( x1 ; x2 )  Nếu.  VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO 1. Định Lý:BEZOUT n. n 1. Cho đa thức: P( x) a0 x  a1 x  ...  an  1 x  an ( a0 0) Số  là nghiệm của phương trình P(  ) = 0 thì P(x) chia hết cho x   2. Sơ đồ HORNER: n n 1 Chia đa thức P( x) a0 x  a1 x  ...  an  1 x  an (a0 0) cho x   ta có P( x) ( x   )(b0 x n  1  b1 x n  2  ...  bn  1  bn ) Chia bằng sơ đồ Horner. 3. Định lí VIET: 3 2 1. Phương trình bậc 3: ax  bx  cx  d 0 có 3 nghiệm: b  x  x  x  1 2 3  a  c   x1 x2  x2 x3  x3 x1  a  d   x1 x2 x3  a . 2. Phương trình bậc 4:. ax 4  bx3  cx 2  dx  e 0 có 4 nghiệm: b   x1  x2  x3  x4  a  x x  x x  x x  x x  x x  x x c  1 2 2 3 3 4 1 3 1 4 2 4 a   x x x  x x x  x x x  x x x  d  1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4 a  e  x1 x2 x3 x4  a .  VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA TUYỆT ĐỐI I. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: .  A nêu A 0 A  -A nêu A < 0.

(53) .  A B A  B    A  B. .  B 0  A B    A B   A  B . II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI  . A  B  A2  B 2. A   B A  B   A  B AB A  B   A B.   VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC 2n.  2n.  .  B 0 A B   2n  A B  B 0(hay A 0) A 2 n B   A= B. 2 n 1. A 2 n 1 B  A B. .   A 0  A  B  C 0   B 0  C  ( A  B)  AB   2. . B  0  A  B   A 0  A  B2 . .  B  0   A 0 A  B    B 0    A  B 2  B 0 A  B   A  B.   Phương pháp chung:  Đặt điều kiện chung cho các căn thức có nghĩa  Chuyển thành hai vế không âm đối với căn bậc chẵn  Luỹ thừa hai vế để khử căn .  A B A  B    B 0 `  B 0 A B   2  A B.   Phương pháp đặt ẩn phụ.

(54)  Quy về phương trình hữu tỷ  Dạng: af ( x)  b f ( x )  c 0 Đặt t  f ( x); t 0  Dạng: a ( x      x )  b x     x  c 0 Đặt t  x      x  Quy về hệ phương trình hữu tỉ  Dạng:. n. a  f ( x) k b  f ( x) c. n k Đặt u  a  f ( x), v  b  f ( x). u n  v k a  b  Giải hệ pt: u v c n n  Dạng: x a. ax  b  b n n Đặt y  ax  b  y ax  b ; rồi giải hệ:. n  x ay  b  n  y ax  b. (Hệ đối xứng loại2). Dạng bài tập trong các đề thi thường gặp: 1. Giải phương trình. 2 x  1  x 2  3 x  1 0. 2. Giải bất phương trình: 5 x  1 . x  1  2x  4. 3. Giải phương trình 2 x  2  2 x  1  2( x 2  16). 4. Giải bất phương trình 5. Giải phương trình. x 3. x  1 4.  x 3 . 7 x x 3. x  4  x  4 2 x  12  2 x 2  16. 2 2 6. Giải bất phương trình ( x  3x) 2 x  3x  2 0. 7. Giải phương trình 3x  3  5  x  2 x  4 2 8. Giải bất phương trình 8 x  6 x  1  4 x  1 0. 9. Giải bất phương trình. 2x  7 . 5  x  3x  2. 2 10. Giải phương trình 3 x  2  x  1 4 x  9  2 3 x  5 x  2 2 11. Giải phương trình x  2 7  x 2 x  1   x  8 x  7  1 2 2 12. Giải phương trình 3 x  5 x  10 5 x  x. 13. Giải bất phương trình. x  1  x  1 4.

(55) 14. Giải phương trình 3 x  7 . x  1 2.  xy  x  y  x 2  2 y 2  x 2 y  y x  1 2 x  2 y 15. Giải Hệ phương trình:   x  1  2  y 1  2 3 16. Giải Hệ phương trình 3log9 (9 x )  log 3 y 3  x  y  xy 3  x  1  y  1 4 17. Giải Hệ phương trình   3 x  y  x  y  x y  x y2 18. Giải Hệ phương trình . 19. Giải Hệ phương trình.  2 x  y  1   3x  2 y 4. x  y 1.  x y  y x 6  2 2 20. Giải Hệ phương trình  x y  y x 20. 21. Tìm tham số m để hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt 4. 2 x  2 x  2 4 6  x  2 6  x m. 4 2 22. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: 3 x  1  m x  1 2 x  1. 23. Chứng minh rằng với mọi m > 0, phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt x 2  2 x  8  m( x  2). 24. Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt. x 2  mx  2 2 x  1. 25. Xác định m để phương trình sau có nghiệm: m( 1  x 2  1  x 2  2 2 1  x 4  1  x 2  1  x 2. 26. Chứng minh rằng với m > 0 thì phương trình sau có nghiệm x 2  (m 2 . 5 ) x 2  4  2  m3 0 3. 27. Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm dương 28. Tìm m để phương trình sau có nghiệm. x 2  2 x  3  m 0. 29. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực 2 x  1  x  m. x 2  4 x  5 m  4 x  x 2.

(56)  x  y 1  x y  y x 1  3m 30. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm . Chuyên đề 18: PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN: .  A1 x  B1 y C1 .Voi A12  B12  A22  B22 0   A2 x  B2 y C2 D. Tính. A1 B1 A2 B2 Dy .  A1 B2  A2 B1 C1 A1 C2 A2. Dx . C1 B1 C2 B2. C1 B2  C2 B1. C1 A2  C2 A1. Dx   x  D   y  Dy D  Nếu D 0 hệ phương trình có duy nhất nghiệm   D 0 :  Dx 0( Dy 0)   Nếu hệ vô nghiệm.  Nếu. . D Dx Dy. : hệ vô nghiệm.  f ( x, y ) 0  Đối xứng loại I:  g ( x, y) 0 .. S x  y ÐK : S 2 4 P  Đặt  P  xy , giải hệ tìm S, Giải phương trình => x, y là nghiệm của 2 phương trình X  SX  P 0. .  f ( x, y ) 0(1)  Đối xứng loại II:  f ( y, x) 0(2).  y  x(a ) ( y  x )h ( x, y ) 0    h( x, y ) 0(b) Lấy (2) – (1) vế theo vế ta được:  (a ), (1)  Kết hợp:  (b), (1). *BÀI TẬP: Bài 1: Giải hệ phương trình:.

(57)  x 2  xy  y 2 4  1)  x  xy  y 2.  x  xy  x 3  2 2 2)  x y  xy 2. 1 3   2x + y  x   2 y  1  3  x y 2) .  x y 7   1  x xy  y  x xy  y xy 78 4)    1  ( x  y ).  1   5 xy     ( x 2  y 2 ).  1  1  49    x2 y 2   . 1 1   x  y  x  y 4    x 2  y 2  1  1 4  x2 y 2 5) . 6).  x 2  y 2  2xy 8 2  x  y 4 7) .  x y  y x 30  x x  y y 35 8) .  x 2  2xy  3y 2 0  x x  y y  2 9) .  2( x  y ) 3 3 x 2 y  3 xy 2    3 x  3 y 6 10) .   x  y  z 9   xy  yz  xz  27 1 1 1    1 11)  x y z. 12). .  x  y m  1  2 2 2 Bài 2: Cho hệ phương trình:  x y  xy 2m  m  3. a) Giải hệ phương trình khi m = 3 b) CMR hệ phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m  x  1  y  2 m  Bài 3: Tìm m để hệ phương trình:  x  y 3m. Bài 4: Cho hệ phương trình:. có nghiệm.  x  y 2  m  2  xy  2x + y = 2m  m  1. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) với x -1 và y 2 2 xy  2x  y 2  m  Bài 5: Cho hệ phương trình: 2 x + y = 2(2m  1). .

(58) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) với x -1 và y 2 ( x  1) 2  y  m  2 Bài 6: Tìm m để hệ phương trình: ( y  1) x  m. có nghiệm duy nhất. x  4 x  4  x  4  x m. Bài 4: Cho phương trình:. a) Giải phương trình khi m = 6 b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 4: Cho phương trình:. 3 x  6 x . (3  x)(6  x) m. a) Giải phương trình khi m = 3 b) Tìm m để phương trình có nghiệm 2 Bài 4: Giải và biện luận phương trình: x  x  3 x  2 m. Bài 4: Giải và biện luận phương trình:. 1 1 x  x   x  m 2 4. 2 Bài 4: Tìm m để phương trình: x + 3 = m x  1. Bài 4: Tìm m để phương trình:. có nghiệm. 1  x 2  2. 3 1  x 2 = m. Bài 4: Biện luận số nghiệm của phương trình theo m:. có nghiệm duy nhất x2  4x  m . 4. x 4  4x  m 6. Bài 1: Giải bất phương trình: 1). 5x 2  10x  1 7  2x  x 2. 3). x 4  2x 2  1 1  x. 5). x 2 . x 1  x. 1. 6). 2x 2  3x  5. . 1 2x  1. 2). 5x  1 . 4). x 1  3 . 4x  1 3 x. x4. 3 2 6) ( x  1)  ( x  1)  3x. x + 1  0.

(59) Dạng bài tập trong các đề thi thường gặp: 5  2 3 2  x  y  x y  xy  xy  4   x 4  y 2  xy (1  2 x )  5 4 1. Giải Hệ phương trình   x 4  2 x 3 y  x 2 y 2 2 x  9  2 2. Giải Hệ phương trình  x  2 xy 6 x  6. 3. Giải Hệ phương trình. 1  1 x  x y  y  2 y  x .  y2  2 3 y   x2   2 3x  x  2  y2 4. Giải Hệ phương trình   x 2  y 2  x  y 4  5. Giải Hệ phương trình  x( x  y 1)  y( y  1) 2. 6. Giải Hệ phương trình. 2  x  1  y ( x  y ) 4 y  2 ( x  1)( y  x  2)  y. ( x  y )( x 2  y 2 ) 13  2 2 7. Giải Hệ phương trình ( x  y )( x  y ) 25.

(60) 8. Giải Hệ phương trình. 2 2  x  xy  y 3( x  y )  2 2 2  x  xy  y 7( x  y ).  x 3 2 y  x  2  3 9. Giải Hệ phương trình  y 2 x  y  2. 10. Giải phương trình. 2008  x. 2009.  2009  x. 2008. 1. 5 2 11. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có đúng một nghiệm: x  x  2 x  1 0. 1 1   x  x  y  y 5    x 3  1  y 3  1 15m  10  x3 y3 12. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: . 13. Tìm m để hệ phương trình sau vô nghiệm.  x  y  xy m  2 2  x y  xy m  1.  x  my 1  14. Tìm m để hệ phương trình mx  y 3 có nghiệm thỏa mãn xy < 0.  CHUYÊN ĐỀ 19: PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH MỘT BẤT ĐẲNG THỨC 1. Phương pháp biến đổi tương đương. Bài 1: Chứng minh bất đẳng thức sau 2. a 2  b2  a b     2  2 . a, b  R. Bài 2: Chứng minh với mọi a,b,c ta có: a ) a 2  b 2  1  ab  a  b; c). b) a 2  b 2  4  ab  2(a  b ). a2  b 2  c 2  ab  ac  2bc 4 a 1; b 1. Bài 3: Chứng minh với. ta luôn có:. a  b  1  ab. 1 1 2   2 1  ab Bài 4: Cho a b 1. Chứng minh rằng: a  1 1  b   Bài 5: Cho a > 0 ; b > 0, m > n , m N, n N. Chứng minh rằng 2. a m  b m a n  bn  a m  b m a n  bn a c a ab  cd c  .  2  2 d Bài 6: Cho b d Chứng minh rằng: b b  d. 2. Sử dụng phương pháp Bất đẳng thức Côsi (Cauchy) Với ai 0, i 1, 2,3,..., n ta có:. a1  a2  a3  ...  an  n. n. a1.a2 ...an.

(61) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: a1 = a2 = … = an Với n = 2 : a  b  2 ab.  a b  ab     2  hoặc. a, b 0. 2. 3. 3 Với n = 3 : a  b  c 3. abc. a 0 => a .  a b c  abc    3   hoặc a b a,b 0 =>  2 b a *. , a, b, c 0. 1 2 a. Hệ quả: * Bài 1: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: a) (a  b)( ab  1) 4ab b) ( a  b)(b  c)(c  a) 8abc. 1 1 1 (a  b  c)(   ) 9 2 2 2 2 2 2 a b c c) d) a (1  b )  b (1  c )  c (1  a ) 6abc 1 1 1 1  3 3  3  3 3 3 e) a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc. Bài 2: Chứng minh rằng: x2  2. x 8 6 , x  1 2 x  1 x  1 a) b)  0 Bài 3: Chứng minh rằng: với a, b, c, d ta có: a b c  d 4  abcd 4 a) 2 , x  R. 3.  a b c    abc 3  b)  .. Áp dụng tìm GTNN của A = tg .tg  .tg với  ,  ,  là ba góc nhọn của một tam giác. Bài 4: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng a) (1  a)(1  b)(1  c) 8abc 1 1 1 (1  )(1  )(1  ) 64 a b c b). Bài5: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh rằng: a b c (1  )(1  )(1  ) 8 b c a a) 2 2 a b c2 a b c    2 b) b  c c  a a  b. 3. Sử dụng phương pháp Bất đẳng thức Bunhiacôpski Cho hai bộ n số : a1 , a2 ,..., an ; b1 , b2 ,..., bn 2. Ta có:. (a1b1  a2b2  a3b3  ...  anbn ) (a  a  a32  ...  an2 )(b12  b22  b32  ...  bn2 ) a a1 a2  ...  n bn Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi : b1 b2. Bài 1:a) Cho x, y thoả x2 + y2 = 1. b) Cho x, y thoả x2 + y2 = 1.. 2 1. 2 2. Chứng minh rằng: Chứng minh rằng:. 2 x  3 y  13 x  2y  5. 2 x  3 y 5 c) Cho x, y thoả 2x2 + 3y2 5 . Chứng minh rằng:.

(62) Bài 2: a) Cho x, y thoả. 4x2  9 y2 . 4x – 6y = 1. Chứng minh: 2. 1 8. 2. b) Cho x, y thoả 3x + 4y = 10. Chứng minh: x  y 4 Bài 3: Cho x,y,u,v thoả: x2 + y2 = u2 + v2 = 1 . Chứng minh rằng: a). xu  yv 1. u ( x  y )  v( x  y )  2. b) Bài 4: Cho a > c > 0, b > c > 0. Chứng minh: (a  c)(b  c )  (a  c)(b  c ) 2 ab 2 2 2 2 Bài 5: Cho a + b + c + d = 4 . Chứng minh: a  b  c  d 4. 1 1 25 ( a  ) 2  (b  ) 2  , a, b  0 a b 2 Bài 6: Chứng minh rằng:.  CHUYÊN ĐỀ 20: GIẢI TÍCH TỔ HỢP  n, k  N   QUY ƯỚC: n k , n 1.  Mỗi cách sắp xếp n phần tử của tập X theo một thứ tự nhất định là một hoán vị. Số hoán vị của n phần tử là: Pn n ! n(n  1)(n  2)...3.2.1  Mỗi cách sắp xếp k phần tử của tập X ( 0 k n ) theo một thứ tự nhất định là một chỉnh hợp Ank . n! (n  k )!. chập k của n phần tử đó. Số chỉnh hợp chập k của n là :  Mỗi tập con gồm k phần tử của X (không phân biệt thứ tự) tạo thành một tổ hợp chập k của n Ank n! C   k ! k !(n  k )! phần tử đó. Số tổ hợp chập k của n là k n. ( 0 k n ). n.  Công thức khai triển nhị thức Newton. (a  b) n  Cnk a n  k b k. k n k  Các công thức thường dùng: Cn Cn ;. k 0. Cnk  Cnk 1 Cnk11. Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cnn 2n Cnk  2Cnk 1  Cnk 2 Cnk22 Cnk  3Cnk 1  3Cnk 2  Cnk 3 Cnk33.   Tính tổng :. Các dạng toán thường gặp trong các kỳ thi. 1. Tính số hạng không chứa x trong khai triển. (3 x . 2 n ) 6 7 8 9 8 x , biết rằng Cn  3Cn  3Cn  Cn 2Cn 2 .. 13 2. Hãy tìm hệ số có giá trị lớn nhất trong khai triển (2 x  1) 0 1 2 3 k k 3. Rút gọn biểu thức sau: S = Cn  Cn  Cn  Cn  ...  ( 1) Cn , k n, n  1. 1 1 1 S Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cnn 2 3 n 1 4. Tính tổng.

(63) 5. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể viết được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau mà chữ số 1 không đứng cạnh chữ số 2? 6. Có bao nhiêu cách bố trí 10 em học sinh cầm tay nhau xếp thành một vòng tròn? 7. Một lớp có 30 học sinh . a) Có bao nhiêu cách bầu ra 3 em làm ban cán sự lớp? b) Có bao nhiêu cách chọn 3 em mà 1 em làm lớp trưởng ,1 em làm lớp phó phụ trách học tập và 1 em làm lớp phó phụ trách lao động? 8. Cho 100 điểm phân biệt trên mặt phẳng. c) Có bao nhiêu vectơ mà điểm gốc và điểm ngọn là các điểm đã cho? d) Có nhiều nhất bao nhiêu tam giác mà 3 đỉnh là các điểm đã cho ? Số tam giác ít nhất là bao nhiêu? Ax44 15  9. Giải bất phương trình sau: ( x  2)! ( x  1)!. 10. Có 4 lá thư viết cho 4 người sẽ bỏ vào 4 phong bì đã ghi địa chỉ người nhận. Có bao nhiêu cách cho các lá thư vào 4 bì, mỗi phong bì chứa 1 lá thư để cả 4 lá thư không đến trùng người nhận? Chuyên đề 6 : TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI:  Định nghĩa: Cho hàm số y  f ( x) xác định trên D.  Nếu f ( x) M ; x  D & x0  D / f ( x0 ) M thì M được gọi là GTLN của hàm Max f ( x) M số y  f ( x) trên D. Kí hiệu: xD.  Nếu f ( x) m; x  D & x0  D / f ( x0 ) m thì m được gọi là GTNN của hàm số f ( x) m y  f ( x) trên D. Kí hiệu: Min xD.  Chú ý:. GTLN A Max  GTLNA , GTNNA . ;. GTNN A Min  GTLNA , GTNNA .  Phương pháp:  Tìm GTLN & GTNN bằng phương pháp khảo sát trực tiếp Để tìm GTLN & GTNN của hàm số y = f(x)  B1: Tìm TXĐ: D  B2: Tính y/ và giải phương trình y/ = 0  B3: Lập bảng biến thiên của hàm số trên D  Dựa vào BBT kết luận GTLN & GTNN của hàm số  Tìm GTLN & GTNN của hàm số trên một đoạn Để tìm GTLN & GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a;b]  Tính f/(x) , giải phương trình f/(x) = 0 với x  [a;b]. Giả sử có nghiệm x1;x2; …  Tính f(a); f(b) ; f(x1); f(x2); …  So sánh các kết quả trên và kết luận : Min = Min{f(a); f(b); f(x1);… }.

(64) [a;b] Max = Max{f(a); f(b); f(x 1);… } [a;b]  Tìm GTLN & GTNN của hàm số băng phương pháp tìm miền giá trị (lớp10)  B1:Xem y = f(x) là phương trình ẩn x và tham số y  B2: Tìm điều kiện của y để phương trình y = f(x) có nghiệm  Kết luận Miny và Maxy.  Dùng bất đẳng thức: Dùng bất đẳng thức đại số để chặn biểu thức f(x) rồi dùng định nghĩa GTLN, GTNN để tìm đáp số. Lưu ý: Phải xét dấu = xảy ra trong tất cả các bất đẳng thức đã dùng trong quá trình giải. Dạng bài tập trong các đề thi thường gặp: 3 4 1) Tìm GTLN & GTNN của hàm số y 4 x  3 x. 2) Tìm GTLN & GTNN của hàm số : a). y x2 . 2 x. khix  0. ; b). y. x 2  3x  1 x. khix  0. 3) Tìm GTLN & GTNN của hàm số : y  x  2  4  x 4) Tìm GTLN & GTNN của hàm số : y  cos x  sin x 3 5) Tìm GTLN & GTNN của hàm số y x  3x  1 trên đoạn [0;3] 2 6) Tìm GTLN & GTNN của hàm số y  x  2  x.      2 ; 2  y  sin x  x 7) Tìm GTLN & GTNN của hàm số : trên đoạn sin x y 2  cos x trên đoạn  0;   8) Tìm GTLN & GTNN của hàm số : x 1 y x 2  1 trên đoạn [-1 ; 2] 9) Tìm GTLN & GTNN của hàm số : x2  x 1 20 x 2  10 x  3 y  f ( x)  2 y x  x  1 ; b) 3x 2  2 x  1 10)Tìm GTLN & GTNN của hàm số : a) 3sin x y 1  x   0;   2  cos x 11)Tìm GTLN & GTNN của hàm số : a) ; sin x  2 cos x  1 y  f ( x)  sin x  cos x  2 b) 3 3 12) Tìm GTLN & GTNN của hàm số : a) y  x  1  2  x ; b) y  1  x  1  x. 2 2 13) Xác định m để GTNN của hàm số : y 4 x  4mx  m  2m trên [- 2 ; 0] bằng 2. ln 2 x y  1;e3  x 14) Xác định m để GTNN của hàm số trên đoạn 2 2( x  6 xy ) 2 P ; x  y 2 1 1  2 xy  2 y 15) Xác định m để GTNN của 2 16) Xác định m để GTNN của hàm số y  x  4  x. y. 17) Xác định m để GTNN của hàm số. x 1 x 2  1 trên đoạn   1; 2.

(65) 18) Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện. x y . 5 4.. 4 1 S  x 4y Xác định m để GTNN của biểu thức  x  my 2  4m  19) Gọi (x, y) là nghiệm của hệ phương trình mx  y 3m 1 . Tìm GTLN của biểu thức A x 2  y 2  2 x khi m thay đổi. 6 2 3  1;1 20) Xác định m để GTNN của hàm số y x  4(1  x ) trên đoạn . Tứ Diện lăng trụ Bai 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM. Bai 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a; AD = a 2 ; SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. 1. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). 2. Tính thể tích của khối tứ diện ANIB. Bài 50: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy, . Gọi M là trung điểm của SB. 1. Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC). 2. Tính thể tích khối tứ diện MABC. Bài 49: Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và a. Tính độ dài các cạnh còn lại của tứ diện và chứng minh rằng tam giác ABC vuông. b. Chứng minh Bài 47: Cho hình chóp tam giác S.ABC, SA = x, BC = y, các cạnh còn lại đều bằng 1. 1. Tính thể tích hình chóp theo x, y. 2. Với x, y nào thì thể tích hình chóp lớn nhất? Bài 45: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật ..

(66) Lấy M, N lần lượt trên các cạnh SB, SD sao cho 1. Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC tại P. Tính tỷ số. . .. 2. Tính thể tích hình chóp S.AMPN theo thể tích V của hình chóp S.ABCD.. Bai 4: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O', bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O' lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO'AB. Bai 5: Cho hai nửa đường thẳng Ax, By chéo nhau và vuông góc nhau. Có AB là đường vuông góc chung, AB = a. Ta lấy các điểm M trên Ax, N trên By với AM = x, BN = y. 1. Chứng minh rằng các mặt của tứ diện ABMN là các tam giác vuông. 2. Tính thể tích và diện tích toàn phần của tứ diện ABMN theo x, y. Bai 6: Cho hình lăng trụ đứng. có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc. .Gọi M là trung điểm cạnh AA' và N là trung điểm cạnh CC'. Chứng minh rằng bốn điểm B', M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA' theo a để tứ giác B'MDN là hình vuông. Bai 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, góc nhọn tạo bởi hai đường chéo AC và BD là , các tam giác SAC và SBD là các tam giác đều cạnh a. Tính thể tích hình chóp theo a. Bai 9: Cho ABC là tam giác vuông tại C. Trên đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S (khác với A). Chứng minh rằng các mặt của thiết diện S.ABC đều là tam giác vuông . Bai 10 : Cho hình nón có đường cao h. Một mặt phẳng đi qua đỉnh S của hình nón tạo với mặt đáy hình nón một góc , đi qua hai đường sinh SA, SB của hình nón và cắt mặt đáy của hình nón theo dây cung AB, cung AB có số đo bằng . Tính diện tích thiết diện SAB. Bai 15 : Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABD); AC = AD = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (ACD). Bai 16 : Cho hình chóp đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là các trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC). Bai 18 : Cho tứ diện ABCD có: AC = AD = BC = BD = a, AB = 2m , CD = 2n. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và CD . a. Chứng minh rằng IK là đoạn thẳng vuông góc chung của 2 cạnh đối nhau AB và CD. b. Tính IK theo a, m và n..

(67) Bai 19 : Cho hình lập phương .. cạnh . Gọi. Tính thể tích khối tứ diện. là tâm của hình vuông. .. Bai 20 : Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB và A'B'.. .. 1. Tính thể tích khối đa diện ABA'B'C' 2. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (CEB') Bai 21 : Cho khối lăng trụ đứng . Đường chéo góc . a. Tính độ dài đoạn. có đáy của mặt bên. là một tam giác vuông tại tạo với mặt phẳng. một. .. b. Tính thể tích của khối lăng trụ . Bai 22 : Cho hình chóp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy, góc ACB = , BC = a , SA = . Gọi M là trung điểm cạnh SB. Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC). Tính thể tích khối tứ diện MABC. Bai 23 : Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác ABC vuông tại A , góc vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA tạo với đáy (ABC) một góc . Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B trên SA, SC. a. Tính thể tích của hình chóp S.ABC b. Chứng minh rằng A, B, C, E, F cùng thuộc một mặt cầu, xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó. Bai 24 : Cho hình chóp. có đáy. là tam giác vuông tại . Tính khoảng cách từ. Bai 25 : Cho tứ diện . Một mặt phẳng tương ứng tại các điểm 1.Chứng minh rằng tứ giác 2.Xác định vị trí của. song song với .. Bai 27 : Cho hình chóp. , cắt các cạnh. đạt giá trị lớn nhất.. có đáy ABCD là hình chữ nhật. Lấy M, N lần lượt trên các SB, .. 1. Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC tại P. Tính tỷ số 2. Tính thể tích hình chóp. và. là hình bình hành.. để cho diện tích của tứ giác. SD sao cho:. đến mặt phẳng. .. theo thể tích V của hình chóp. ..

(68) Bai 28 : Cho góc tam diện vuông Oxyz. Trên Ox, Oy, Oz lấy lần lượt các điểm A, B, C có . 1. Chứng minh rằng tam giác ABC có 3 góc nhọn. 2. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Hãy tính OH theo a, b, c. 2. Chứng minh rằng bình phương diện tích của tam giác ABC bằng tổng bình phương diện tích các mặt còn lại của tứ diện . Bai 30 : Cho khối lăng trụ tam giác Khoảng cách giữa cạnh và mặt Tính thể tích khối lăng trụ. mà mặt bên bằng 7.. có diện tích bằng 4.. .. Bai 31: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh SB vuông góc với đáy (ABC). Qua B kẻ BH vuông góc với SA, BK vuông góc với SC. Chứng minh SC vuông góc với (BHK) và tính diện tích tam giác BHK biết rằng và . Bai 32: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh bằng a. Giả sử M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh A'D', D'C', C'C, AA'. 1. Chứng minh rằng 4 điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một mặt phẳng. Tính chu vi của tứ giác MNPQ theo a. 2. Tính diện tích của tứ giác MNPQ theo a. Bai 33: Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. 1. Giả sử I là một điểm thay đổi ở trên cạnh CD. Hãy xác định vị trí của I để diện tích tam giác IAB là nhỏ nhất. 2. Giả sử M là một điểm thuộc cạnh AB. Qua điểm M dựng mặt phẳng song song với AC và BD. Mặt phẳng này cắt các cạnh AD, DC, CB lần lượt tại N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì? Hãy xác định vị trí của M để diện tích tứ giác MNPQ là lớn nhất. Bai 34: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABCD là hình chữ nhật với: bên của hình chóp bằng nhau và bằng .. . Các cạnh. a) Tính thể tích của hình chóp S.ABCD. b) Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, SC, SD. Chứng minh rằng SN vuông góc với mặt phẳng (MEF). c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD). Bai 35: Cho tứ diện O.ABC có cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và . Kí hiệu K, M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Gọi E là điểm đối xứng của O qua K và I là giao điểm của CE với mặt phẳng (OMN). a) Chứng minh rằng: CE vuông góc với mặt phẳng (OMN)..

(69) b) Tính diện tích của tứ giác OMIN theo a. Bai 36: cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh bằng a. Mặt bên SAB là tam giác đều; SCD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Tính các cạnh của tam giác SIJ và chứng minh rằng SI vuông (SCD), SJ vuông (SAB). b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. Chứng minh rằng SH vuông AC. c) Gọi M là điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM vuông SA. Tính AM theo a. Bai 37: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a; đáy.. và vuông góc với. a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). b) Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC). Bai 38: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a , SA = a và vuông góc với đáy. Gọi M.N là trung điểm AB và AC. a) Tính cosin góc giữa 2 mặt phẳng (SAC) và (SBC) . b) Tính cosin góc giữa 2 mặt phẳng (SMN) và (SBC) . Bai 39: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB = a ; AD = 2a . Tam giác SAB vuông cân tại A . M điểm trên cạnh AD ( M khác A và B ) . Mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng (SAB) cắt BC ; SC ; SD lần lượt tại N;P;Q . a) Chứng minh rằng MNPQ là hình thang vuông . b) Đặt AM = x . Tính diện tích hình thang MNPQ theo a ; x Bai 40: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O , SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi I, M theo thứ tự là trung điểm của SC, AB. a) Tính khoảng cách từ I đến CM. b) Tính khoảng cách từ S đến CM. Bài 41: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD) ; SC = 2a. Hai điểm M, N lần lượt thuộc SB và SD sao cho (AMN) cắt SC tại P .. . Mặt phẳng. Tính thể tích hình chóp S.MANP theo a Bài 42: Trong mặt phẳng (P) , cho một hình vuông ABCD có cạnh bằng a. S là một điểm bất kì nằm trên đường thẳng At vuông góc với mặt phẳng (P) tại A..

(70) Gọi M, N lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh CB , CD và đặt CM = m, CN = n. Tìm một biểu thức liên hệ giữa m và n để các mặt phẳng (SMA) và (SAN) tạo với nhau một góc . Bài 43: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = 2a, AA' = a : 1. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AD' và B'C'. 2. Gọi M là điểm chia đoạn AD theo tỉ số AM / MD = 3. Hãy tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( AB'C). 3. Tính thể tích tứ diện A.B'D'C'. Bài 44: Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn C bán kính a, chiều cao đỉnh S, đáy là một đa giác lồi ngoại tiếp C.. ; và cho hình chóp. 1. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp ( mặt cầu ở bên trong hình chóp, tiếp xúc với đáy và với các mặt bên của hình chóp ). 2. Biết thể tích khối chóp bằng 4 lần thể tích khối nón, hãy tính diện tích toàn phần của hình chóp. Bài 46: Cho góc tam diện vuông Oxyz. Trên Ox, Oy, Oz lấy lần lượt các điểm A, B, C có OA = a, OB = b, OC = c ( a, b, c > 0). 1. Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn. 2. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Hãy tính OH theo a, b, c. 3. Chứng minh rằng bình phương diện tích tam giác ABC bằng tổng bình phương diện tích các mặt còn lại của tứ diện O.ABC Bài 48: Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a với A (0 ; 0; 0) , B (a; 0 ; 0) , D (0 ; a; 0) và đỉnh S (0; 0; a). Gọi M là trung điểm của đoạn SA, hãy tính : 1. Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (CDM). 2. Góc giữa đường thẳng SB và DM..

(71)

Day du cac dang toan LTDH

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về