SKKN gpt quy ve pt bac 2

Trường THCS Mỹ Thọ
Quyên

GV: Trần Thị Tố

A. MỞ ĐẦU
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Thực trạng của vấn đề đòi hỏi phải có giải pháp mới để giải quyết:
Qua thực tế nhiều năm giảng dạy bộ mơn Tốn lớp 9, bản thân tôi thấy một số
kiến thức trong sách giáo khoa tuy chỉ viết ngắn gọn trong một vài tiết lý thuyết và
luyện tập nhưng tầm quan trọng của nó là rất lớn. Những nội dung kiến thức đó xuất
hiện hầu hết trong các đề thi như: đề thi tuyển sinh vào lớp 10, các đề thi học sinh
giỏi các cấp, các đề kiểm tra học kì … Nội dung “phương trình quy về phương trình
bậc hai” khơng phải là ngoại lệ. Trong sách giáo khoa Toán 9, nội dung này chỉ được
giảng dạy trong 2 tiết với các dạng toán hết sức cơ bản như: phương trình trùng
phương, phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình tích. Nhưng trong các đề kiểm
tra, các đề thi các cấp thì nội dung đề thi không chỉ dừng lại ở các dạng cơ bản nêu
trên mà có thể mở rộng ra các dạng phương trình khác khó hơn, phức tạp hơn mà vẫn
quy về phương trình bậc hai để giải được.
Qua khảo sát học sinh tại trường THCS Phước Mỹ – Quy Nhơn – Bình Định,
nơi tơi đang cơng tác, bản thân tơi nhận thấy có rất ít học sinh tự mình nghiên cứu
thêm các tài liệu tham khảo để nắm bắt thêm các dạng tốn mở rộng và nâng cao, vì
thế khả năng vận dụng kiến thức cơ bản để giải các bài tập mở rộng của học sinh còn
lúng túng, nhiều hạn chế. Đặc biệt, học sinh chưa biết cách trình bày hoặc áp dụng
kiến thức có liên quan một cách khơng linh hoạt và thiếu sáng tạo. Hơn thế nữa, nội
dung “phương trình quy về phương trình bậc hai” là phần kiến thức trọng tâm của
chương trình mơn Tốn lớp 9, vì thế có nhiều tác giả đã viết nhiều tài liệu về vấn đề
này với nhiều dạng toán mở rộng, nhiều bài tập đa dạng và phong phú. Tuy nhiên qua
nghiên cứu đề tài này, tôi nhận thấy các tác giả viết các dạng bài còn tản mạn, nằm
trong nhiều tài liệu khác nhau. Điều này làm cho học sinh vốn đã ít tự tìm tịi, nghiên
cứu lại càng gặp khó khăn trong việc hệ thống, bao quát kiến thức.

Việc có một đề tài, một tài liệu hệ thống khá đầy đủ các dạng toán từ cơ bản đến
mở rộng, nâng cao về nội dung “Phương trình quy về phương trình bậc hai” là một
nhu cầu cần thiết.
2. Ý nghĩa và tác dụng của giải pháp mới:
a. Ý nghĩa:
a.1) Đối với giáo viên: Đề tài này giúp giáo viên có cơ hội tìm hiểu, học hỏi
thêm các dạng tốn trong chương trình tốn THCS về giải các phương trình quy về
phương trình bậc hai.
a.2) Đối với học sinh: Đề tài này giúp học sinh có cơ hội làm quen với các dạng
toán THCS từ cơ bản đến mở rộng và nâng cao về nội dung: “Phương trình quy về
phương trình bậc 2”. Rèn luyện kĩ năng giải tốn nhanh, chính xác, trình bày khoa

SKKN –Phương trình quy về phương trình bậc 2.

Trang: 1


Trường THCS Mỹ Thọ
Quyên

GV: Trần Thị Tố

học cho học sinh qua đó phục vụ tốt cho việc học tập và tham gia các kỳ thi các cấp
liên quan đến nội dung: “Phương trình quy về phương trình bậc 2”
b. Tác dụng:
Với những giải pháp mới trong việc đưa các dạng tốn từ đơn giản đến phức tạp
về “phương trình quy về phương trình bậc hai” vào giải tốn đã đem lại hiệu quả cao
về chất lượng dạy và học của giáo viên và học sinh, nâng cao được chất lượng các bài
kiểm tra hay các bài thi học sinh giỏi các cấp.
3. Phạm vi nghiên cứu của đề tài:

+ Nghiên cứu các phương pháp dạy học toán ở trường THCS.
+ Nghiên cứu về phương trình bậc hai, cách giải phương trình bậc hai và cách
giải các phương trình quy về phương trình bậc hai.
+ Nghiên cứu nội dung sách giáo khoa đại số 9
+ Nghiên cứu các tài liệu tham khảo và các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
toán trên mạng internet.
+ Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy, qua học hỏi đồng nghiệp.
II. PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH:
1. Cơ sở lí luận và thực tiễn có tính định hướng cho việc nghiên cứu, tìm giải pháp
của đề tài:
1.1) Cơ sở lí luận:
- Như chúng ta đã biết, ngày nay việc dạy học không chỉ đơn thuần là truyền đạt
kiến thức cho học sinh một cách khô khan theo lối truyền thụ một chiều (thầy nói –
trị nghe, thầy đọc – trị chép), mà chúng ta cần phát huy tính tích cực, tự học và sáng
tạo của học sinh, giáo viên chỉ là người hướng dẫn để học sinh tự phát hiện và chiếm
lĩnh tri thức. Điều đó càng thơi thúc giáo viên cần phải cố gắng nghiên cứu, tìm tịi
các dạng tốn mới, các kiến thức mới có liên quan với kiến thức trong chương trình
học để hướng dẫn cho học sinh.
- Xuất phát từ các dạng toán phức tạp cấp trung học cơ sở liên quan đến
“phương trình quy về phương trình bậc hai”
1.2) Cơ sở thực tiễn:
- Từ yêu cầu thực tế của các kì kiểm tra, các cuộc thi học sinh giỏi các cấp có
các bài tập liên quan đến phương trình quy về phương trình bậc hai nhưng ở dạng mở
rộng và nâng cao chứ khơng dừng lại ở các dạng tốn đơn giản như trong sách giáo
khoa.
- Nhu cầu về tài liệu đầy đủ và hệ thống để phục vụ cho việc giảng dạy và ôn thi
học sinh giỏi các cấp, ôn thi tuyển vào 10.

SKKN –Phương trình quy về phương trình bậc 2.

Trang: 2


Trường THCS Mỹ Thọ
Quyên

GV: Trần Thị Tố

- Nhu cầu của học sinh, đặc biệt là học sinh khá giỏi được tìm tịi, học hỏi để
nâng cao kiến thức ngày càng nhiều.
- Trong SGK đại số 9 đã đưa ra cho học sinh một số dạng phương trình quy về
phương trình bậc hai như: phương trình trùng phương, phương trình chứa ẩn ở mẫu,
phương trình tích, đặt ẩn phụ, song nhìn chung mức độ yêu cầu về loại này chỉ dừng
lại ở mức độ nhận biết và thông hiểu hoặc vận dụng cấp thấp, như thế chỉ phù hợp với
đối tượng học sinh đại trà, còn với các em học sinh ở các lớp chuyên, lớp chọn nếu
dừng lại ở yêu cầu trên thì chưa đủ, vì vậy cũng cần hệ thống, phân loại và giới thiệu
đầy đủ với các em về mảng kiến thức “Phương trình quy về phương trình bậc hai”.
2. Các biện pháp tiến hành, thời gian tạo ra giải pháp:
2.1). Các biện pháp tiến hành:
2.1.1) Biện pháp 1:
+ Trước khi thực hiện đề tài, tiến hành khảo sát học sinh lớp 9 năm học 2013 –
2014 bằng cách cho học sinh làm bài kiểm tra để biết kết quả, mức độ nắm bắt kiến
thức của học sinh về dạng tốn: phương trình quy về phương trình bậc hai. Qua đó
tiến hành nghiên cứu và hồn chỉnh đề tài rồi áp dụng đề tài này trong việc bồi dưỡng
học sinh giỏi toán tại trường THCS Phước Mỹ – Quy Nhơn – Bình Định trong năm
học 2014 – 2015, sau khi bồi dưỡng xong cũng cho học sinh làm bài kiểm tra để có
kết quả đối chiếu, để thấy được hiệu quả của đề tài.
2.1.2) Biện pháp 2:
+ Tìm hiểu nội dung dạy học mơn Tốn THCS, nghiên cứu kỹ các sách, tạp chí,
các tài liệu tham khảo có liên quan đến dạng tốn: “phương trình quy về phương trình

bậc hai”.
+ Khai thác các tư liệu trên mạng internet từ đó làm cơ sở để chọn ra phương
pháp và các dạng bài tập phù hợp.
2.1.3) Biện pháp 3:
+ Học hỏi các đồng nghiệp về các vấn đề liên quan đến đề tài và khảo sát, điều
tra để nắm bắt thực trạng của vấn đề này từ đó tổ chức, hướng dẫn học sinh nắm được
nội dung và cách giải các dạng tốn về phương trình quy về phương trình bậc hai.
2.1.4) Biện pháp 4:
+ Rèn luyện cho học sinh các dạng bài tập cơ bản qua đó giúp học sinh nắm
chắc cách giải các dạng tốn về phương trình quy về phương trình bậc hai.
2.2) Thời gian tạo ra giải pháp:
- Cuối năm học 2014 – 2015: cho 50 em học sinh của năm học 2014 – 2015 làm
bài kiểm tra để khảo sát sự nắm bắt của học sinh về nội dung phương trình quy về
phương trình bậc hai.

SKKN –Phương trình quy về phương trình bậc 2.

Trang: 3


Trường THCS Mỹ Thọ
Quyên

GV: Trần Thị Tố

- Từ cuối năm học 2014 – 2015 đến cuối năm học 2015 – 2016: nghiên cứu đề
tài và hoàn thành đề tài.
- Cuối năm học 2015 – 2016: cho 50 học sinh của năm học 2015 – 2016 làm
bài kiểm tra lại (cùng đề kiểm tra hồi cuối năm học 2014 – 2015) để khảo sát lại sự
nắm bắt kiến thức của học sinh sau khi thực hiện đề tài, qua đó thấy rõ hơn hiệu quả

của đề tài.
- Từ cuối năm học 2015 – 2016 đến tháng 6 năm học 2016 – 2017: hoàn thiện
đề tài.

B. NỘI DUNG
I. MỤC TIÊU:
- Nhiệm vụ chính của đề tài này là nghiên cứu và chọn ra các dạng phương trình
quy về phương trình bậc hai một cách có hệ thống từ cơ bản đến mở rộng và nâng cao
nhằm:
+ Giúp cho học sinh dễ dàng bao quát và nắm chắc kiến thức, từ đó học sinh sẽ
tự tin hơn, vận dụng các kiến thức một cách linh hoạt hơn để giải các bài tập từ cơ
bản đến phức tạp, qua đó rèn cho học sinh kĩ năng thành thạo trong giải toán nhằm
phục vụ tốt cho việc học tập hoặc trong thi cử.
+ Giúp cho học sinh hứng thú, u thích mơn học, ham tìm tịi, ham học hỏi
hơn.
+ Giúp cho giáo viên có được nguồn tài liệu khá đầy đủ và hệ thống về dạng
tốn này để phục vụ tốt cho cơng tác giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi.
II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI:
1. Thuyết minh tính mới:
+ Ngồi việc hệ thống nội dung “phương trình quy về phương trình bậc hai”
trong sách giáo khoa toán 9, đề tài này cịn bổ sung khá nhiều dạng tốn thường gặp
trong các đợt kiểm tra, thi học sinh giỏi các cấp ở cấp THCS liên quan đến “phương
trình quy về phương trình bậc hai”.
+ Đề tài này có sự phân loại các dạng tốn, mỗi dạng tốn đều củng cố phần lí
thuyết, phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập tự luyện nhằm giúp học sinh dễ
dàng nắm bắt kiến thức và vận dụng vào giải các bài tập tương tự và nâng cao.

* NỘI DUNG CỤ THỂ:
1.1) Phương trình bậc hai một ẩn và cách giải :
1.1.1) Định nghĩa:

SKKN –Phương trình quy về phương trình bậc 2.

Trang: 4


Trường THCS Mỹ Thọ
Quyên

GV: Trần Thị Tố

+ Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng tổng qt: ax 2 + bx + c
=0 (trong đó x là ẩn; a, b, c là các hệ số; a 0)
+ Nghiệm của một phương trình bậc hai là những giá trị của ẩn số mà khi thay
vào vế trái của phương trình ta được giá trị của hai vế bằng 0.
1.1.2) Giải và biện luận phương trình bậc hai :
Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a # 0) và biệt thức   b2  4ac
+ Nếu   0thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1 

+ Nếu   0thì phương trình có nghiệm kép: x1 =x2 =-

b
2a

-b+ 
-b- 
; x2 
2a
2a

+ Nếu   0 thì phương trình vơ nghiệm.
* Khi b chẵn, hay b = 2b’. Khi đó ta kí hiệu :  '  b '2  ac .
=>   4 '
- Ta có cơng thức nghiệm thu gọn như sau:
b '   '
b'   '
+ Nếu  '  0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: x1 
; x2 
a

+ Nếu  '  0 thì phương trình (1) có nghiệm kép : x1  x 2 

a

b'
a

+ Nếu  '  0 thì phương trình (1) vơ nghiệm
* Chú ý: Nếu phương trình ax2  bx  c  0 (a �0) có a và c trái dấu tức là a.c < 0
thì   b2  4ac  0. Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt.
* Đối với một số phương trình bậc hai đơn giản (với hệ số ngun) trong trường
hợp phương trình có nghiệm (  �0) ta có thể dùng định lý Viet để nhẩm nghiệm của
phương trình.
* Định lý Vi-et
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có nghiệm là : x1; x2 (  0) thì:
x1 + x2 =

b
c

; x1 . x2 =
a
a

* Trường hợp đặc biệt:
+ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là: x1 = 1; x2 =

c
a

+ Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là: x1 = - 1; x2 = -

SKKN –Phương trình quy về phương trình bậc 2.

c
a

Trang: 5


Trường THCS Mỹ Thọ
Quyên

GV: Trần Thị Tố

* Nhờ định lý Viet ta có thể khảo sát về tính chất các nghiệm của phương trình
bậc hai :
+ Phương trình bậc hai có hai nghiệm cùng dấu khi:
�
b 2  4ac �0

 �0
�
�
hay �c
�
�x1.x2  0
� 0
�a

+ Phương trình bậc hai có hai nghiệm dương khi
�
�
b 2  4ac �0
� �0
�
�
�c
hay �  0
�x1.x2  0
�x  x  0
�a
�1 2
�b
0
�
�a

+ Phương trình có hai nghiệm cùng âm khi:
�
�

b 2  4ac �0

�
0
�
�
�
�c
hay �  0
�x1.x2  0
�x  x  0
�a
�1 2
�b
0
�
�a

+ Phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu khi:

c
0
a

�c
0
�
�x1.x2  0
�a
hay �

+ Phương trình có hai nghiệm đối nhau khi: �
�x1  x2  0
�b  0
�a

+ Phương trình có hai nghiệm trái dấu nhưng nghiệm số dương có giá trị tuyệt
�c
0
�
x
.
x

0
�1 2
�a
hay �
đối lớn hơn khi: �
�x1  x2  0
�b  0
�a

+ Phương trình có hai nghiệm trái dấu nhưng nghiệm số âm có trị tuyệt đối lớn
�c
0
�
�x1.x2  0
�a
hay
hơn khi: �

�
�x1  x2  0
�b  0
�a

SKKN –Phương trình quy về phương trình bậc 2.

Trang: 6


Trường THCS Mỹ Thọ
Quyên

GV: Trần Thị Tố

*) Nhờ định lý Viet, ta có thể tính được tổng (hoặc hiệu) các luỹ thừa bậc n hai
n

n

nghiệm của phương trình: x 1 �x2 (với n  Z )
Ví dụ: Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1; x2 thì:
x12  x22  ( x1  x2 )2  2 x1 x2  (

b 2
c b 2  2ac
)  2. 
a
a
a2

x13  x23  ( x1  x2 )3  ( x1  x2 ) x1 x2  (
x14  x24  ( x12  x22 ) 2  2( x1 x2 )  (

b 3 b c
b
bc
)  .  ( )3  2
a
a a
a
a

b 2  2ac 2
c
)  2( ) 2
a
a

1.2) Các phương trình quy về phương trình bậc hai:
Trong chương trình mơn Tốn THCS ta thường gặp một số dạng phương trình
quy về phương trình bậc hai sau:
1.2.1) Phương trình chứa ẩn ở mẫu:
Phương trình chứa ẩn ở mẫu là những phương trình có ẩn nằm ở mẫu thức của
phương trình.
a) Cách giải:
+ Bước 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình.
+ Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức.
+ Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được.
+ Bước 4. Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn

ĐKXĐ, các giá trị thỏa mãn ĐKXĐ là nghiệm của phương trình đã cho.
b) Ví dụ cơ bản:
b.1) Ví dụ 1: Giải phương trình:

2
1
x4


 0 (1)
x  4 x( x  2) x ( x  2)
2

Giải:
ĐKXĐ: x �0; x ��2
(1)  2x – (x + 2) + (x – 4)(x – 2) = 0
 x2 – 5x + 6 = 0
x=3Vx=2
Đối chiếu ĐKXĐ => x = 3.
Vậy phương trình có một nghiệm là x = 3.
* Nhận xét: Khi giải loại này cần phải so sánh các giá trị tìm được của ẩn với
ĐKXĐ trước khi kết luận về nghiệm của phương trình.
SKKN –Phương trình quy về phương trình bậc 2.

Trang: 7


Trường THCS Mỹ Thọ
Qun
b.2) Ví dụ 2: Giải phương trình:

GV: Trần Thị Tố
1
1
1
1
 2
 2
 (2)
x  9 x  20 x  11x  30 x  13x  42 18
2

Giải:
(2) �

1
1
1
1



( x  4)( x  5) ( x  5)( x  6) ( x  6)( x  7) 18

ĐKXĐ: x � 4; x � 5; x � 6; x � 7
Với ĐKXĐ trên ta có:
1
1
1
1




( x  4)( x  5) ( x  5)( x  6) ( x  6)( x  7) 18
1
1
1
1
1
1
1
�






( x  4) ( x  5) ( x  5) ( x  6) ( x  6) ( x  7) 18
1
1
1
�


( x  4) ( x  7) 18
� 18( x  7)  18( x  4)  ( x  7)( x  4)
� x 2  11x  26  0
� x  2 V x   13

Đối chiếu ĐKXĐ => x = 2 V x = -13.
Vậy phương trình có một nghiệm là x = 3; x = -13.
b.3) Ví dụ 3: Giải và biện luận theo a và , phương trình:

x
x

 2 (3)
x a x b

Giải:
ĐKXĐ:

x �a; x �b

Khi đó: (3)  x(x – b) + x(x – a) = 2(x – a)(x – b)
 (a + b)x = 2ab (*)
+ Nếu a # - b => Phương trình (3) có nghiệm duy nhất x 

2ab
a b

+ Nếu a = - b thì (*)  0x = - a2
Trường hợp a = b = 0 => phương trình (*) khơng xác định.
Trường hợp a # 0 (b # 0) => Phương trình (*) vơ nghiệm.
Vậy Nếu a # - b thì phương trình (3) có nghiệm là x 

2ab
.
a b

Nếu a = b = 0 thì phương trình (3) khơng xác định.
Nếu a = - b và a # 0 phương trình (3) vơ nghiệm.

SKKN –Phương trình quy về phương trình bậc 2.

Trang: 8


Trường THCS Mỹ Thọ
Quyên

GV: Trần Thị Tố

c) Các ví dụ mở rộng và nâng cao:
Các bài tập mở rộng và nâng cao dạng phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
thường phải kết hợp với việc đặt ẩn phụ. Nếu không đặt ẩn phụ, sau khi đưa về dạng
nguyên, nhiều khi ta phải giải các phương trình bậc cao khá phức tạp. Sau đây là một
số dạng dạng bài tập thường gặp:
c.1) Dạng bài tập chia cả tử và mẫu của phân thức cho x # 0:
Ví dụ: Giải phương trình:

4x
3x
 2
1 (1)
4 x  8 x  7 4 x  10 x  7
2

Giải:

ĐKXĐ: Với mọi x �R . Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình. Chia
cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho x �0 được
4
7
4x  8 
x



3
7
4 x  10 
x

1

7
x

Đặt 4x   y phương trình trở thành

4
3

1
y  8 y  10

ĐKXĐ: y �8; y �10
4
3


1 (2)
y  8 y  10

 4(y - 10) + 3(y - 8) = (y - 8)(y - 10)
 7y – 64 = y2 – 18y +80
 y2 – 25y +144 = 0
  b 2  4ac  (25)2  4.1.144  49
   0

Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt: y1 = 16; y2 = 9 (thỏa mãn điều kiện)
7
x

Với y1 = 16  4 x   16  4x2 – 16x + 7 = 0
7
1
 '  36 => phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1  ; x2 
2
2
7
x

Với y2 = 9  4 x   9  4x2 – 9x + 7 = 0
 '  31 0 => phương trình vơ nghiệm.
7
2

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: x1  ; x2 

1
2

SKKN –Phương trình quy về phương trình bậc 2.

Trang: 9


Trường THCS Mỹ Thọ
Quyên

GV: Trần Thị Tố

c.2) Dạng bài tập thêm cùng một biểu thức vào hai vế để tạo thành bình
phương đúng:
Ví dụ: Giải phương trình: x 2 

4 x2
 5 (1)
( x  2) 2

(Đề thi HSG Thành phố Quy

Nhơn năm học 2004-2005)
Giải:
Điều kiện: x �-2. Thêm 2.x.

2x
vào hai vế được:
x2

2x 2
4 x2
x2 2
4 x2
(x 
)  5
�(
) 
 5 0
x2
( x  2)
x2
( x  2)

Đặt

x2
 y , ta được y2 + 4y – 5 = 0
x2

Có a + b + c = 1 + 4 + (-5) = 0 => phương trình có hai nghiệm phân biệt là: y 1= 1; y2
= -5.
+ Với y1= 1 

x2
 1  x2 – x – 2 = 0
x2

Có a – b + c = 1 –(– 1) + (– 2) = 0 => phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x1= -1;

x2 = 2 (*)
+ Với y2= -5 

x2
  5  x2 + 5x + 10 = 0
x2

có    15  0 => phương trình vơ nghiệm (**)
Từ (*) và (**) => phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là: x1= -1; x2 = 2.
c.3) Dạng bài tập đặt hai ẩn phụ rồi tìm liên hệ giữa chúng:
2

2

x2  4
�x  2 � �x  2 �
0
Ví dụ: Giải phương trình: 20 �
� 5 �
� 48. 2
x 1
�x  1 � �x  1 �

(1)

Giải:
Điều kiện: x ��1 . Đặt

x2
x2

 y;
 z , ta được: 20y2 – 5z2 + 48yz = 0 (2)
x 1
x 1

+ Nếu z = 0 thì y = 0, loại
y

2

y

��
��
+ Nếu z �0, chia hai vế phương trình (2) cho z2 được: 20 � � 48 � � 5  0
z
z
��

Đặt

��

y
 a , ta được: 20.a2 + 48.a – 5 = 0 (3)
z

SKKN –Phương trình quy về phương trình bậc 2.
10

Trang:


Trường THCS Mỹ Thọ
Quyên
Giải phương trình (3) ta được a1 
+ Với a 

GV: Trần Thị Tố
1
5
; a2  
10
2

1
y 1
x2
x2
�  � z  10 y �
10.
10
z 10
x 1
x 1

 (x+2)(x+1) = 10(x-2)(x-1)
 3x2 – 11x + 6 = 0
  49  0 , phương trình có hai nghiệm phân biệt: x 1 = 3; x2 =

2
(Thỏa mãn điều
3

kiện) (4)
+ Với a 

5
y 5
x2
x2
�  �  5 z  y � 5.
 2.
2
z 2
x 1
x 1

 -5.(x+2)(x+1) = 2.(x-2)(x-1)
 7x2 + 9x + 14 = 0
   311 0 , phương trình vơ nghiệm. (5)

Kết hợp (4) và (5) ta được
phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: x1 = 3; x2 =

2
3

d) Bài tập tự luyện:
Giải các phương trình sau:

a)

2x
7x
 2
1
3x  x  2 3x  5 x  2
2

c) x 2 

4 x2
 12
( x  2)2
2

2

2
�x  2 � �x  2 � 5 x  4

4
3

2

2x
13 x
 2
6

2 x  5x  3 2x  x  3
2

d) x 2 

0
e) �
� �
� . 2
�x  1 � �x  1 � 2 x  1

g)

b)

2 x  3 x  8 x  12



25 x 2
 11
( x  5) 2
2

2

�x  1 � �x  12 � 40

f) � � �
�

� x � �x  2 � 9

1
4
1


0
2
x  4 2x  7x  6 2x  3
2

1.2.2) Phương trình tích:
a) Cách giải
Để giải một phương trình tích ta thường phải biến đổi vế trái của phương trình
thành nhân tử gồm tích của những đa thức bậc nhất hoặc bậc hai, cịn vế phải bằng 0.
Sau đó áp dụng tính chất:

SKKN –Phương trình quy về phương trình bậc 2.
11

Trang:


Trường THCS Mỹ Thọ
Quyên

GV: Trần Thị Tố

A(x).B(x).C(x) = 0  A(x) = 0 hoặc B(x) = 0 hoặc C(x) = 0 để giải (trong đó

A(x), B(x), C(x) là các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai. Muốn vậy học sinh cần có kỹ
năng phân tích đa thức thành nhân tử.
* Chú ý: Trong dạng giải phương trình tích này thì vế trái của phương trình
chúng ta vẫn thường gặp những đa thức bậc ba, khi đó ta cần phân tích đa thức bậc ba
ở vế trái thành nhân tử để đưa phương trình về dạng phương trình tích. Khi đó, ta có
một hệ thống hai phương trình bao gồm một phương trình bậc nhất và một phương
trình bậc hai.
- Ta cần chú ý tới các tính chất sau của phương trình bậc ba ax 3+bx2+cx+d=0
trong q trình phân tích:
+ Nếu a + b + c + d = 0 thì trong các nghiệm của phương trình ban đầu sẽ có
một nghiệm là x = 1.
+ Nếu a – b + c – d = 0 thì trong các nghiệm của phương trình ban đầu sẽ có
một nghiệm là: x = - 1.
+ Với phương trình bậc ba có các hệ số ngun, nếu có nghiệm ngun thì
nghiệm ngun đó phải là ước số của hạng tử tự do d (theo định lý về sự tồn tại
nghiệm nguyên của phương trình với hệ số nguyên), hay khi các hệ số a, b, c, d của
đa thức bậc ba đơn giản ta vẫn có thể nhẩm nghiệm để thấy rằng x = a (a là một số) là
một nghiệm của phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0.
Đặc biệt khi biết trước x=a (a là một số) là một nghiệm của phương trình
ax +bx2+cx+d=0 ta có thể phân tích vế trái của phương trình thành nhân tử để giải
như sau:
3

ax3 + bx2 + cx + d = 0  (x-a). M(x) = 0  (x-a) = 0 hoặc M(x) = 0 (trong đó
M(x) là một đa thức bậc hai).
b) Ví dụ cơ bản:
Ví dụ: Giải phương trình x3 – 5x2 + x + 7 = 0 (1)
Giải
(1)

 (x3 + 1) – (5x2 – 5) + (x + 1) = 0
 (x + 1)(x2 – x + 1) – 5(x2 – 1) + (x + 1) = 0
 (x + 1)(x2 – x + 1 – 5x + 5 + 1) = 0
 (x + 1)(x2 - 6x + 7) = 0
 x+1=0

(*)

Hoặc x2 – 6x + 7 = 0(**)
Phương trình (*) ta được nghiệm x= - 1
Phương trình (**) ta được nghiệm x  3 � 2
SKKN –Phương trình quy về phương trình bậc 2.
12

Trang:


Trường THCS Mỹ Thọ
Quyên

GV: Trần Thị Tố

Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S=

 1; 3 

2; 3  2



* Nhận xét: Ở cách giải trên, khi phân tích vế trái thành nhân tử ta đã dùng các
phương pháp tách hạng tử, nhóm hạng tử kết hợp với việc dùng hằng đẳng thức và
đặt nhân tử chung. Tuy nhiên ở đây chúng ta nhận thấy phương trình x 3 – 5x2 + x + 7
= 0 (1) có các hệ số thỏa mãn a – b + c – d = 1 – (- 5) + 1 – 7 = 0 nên phương trình
(1) sẽ có một nghiệm là x = - 1 và được phân tích thành nhân tử như sau:
x3 – 5x2 + x + 7 = 0 (1)
x   1 �
.M  x   0 .
�
�
�

 (x+1). M(x) = 0
Muốn tìm M(x) ta thực hiện phép chia đa thức x 3 – 5x2 + x + 7 cho (x+1) ta vẫn
được kết quả phân tích:
x3 – 5x2 + x + 7 = 0 (1)
(x+1)(x2 – 6x + 7) = 0 và tiếp tục giải như trên.



c) Các ví dụ mở rộng và nâng cao:
c.1) Ví dụ 1: Giải phương trình x3  x  2  0 (1)
Giải
Ta thấy x =

2 là một nghiệm của phương trình (1) nên:







 x  2 x2  2 x  1  0

(1)

�
x 2 0

 �2

(*)

x  2 x  1  0 (**)
�

Giải phương trình (*) được x =

2

Phương trình (**) có  = -2 < 0 => phương trình vơ nghiệm.
Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là: S 

 2

c.2) Ví dụ 2: Giải phương trình: x3 + 2x2 + 2 2 x + 2 2 = 0 (2)
Giải
(2)

 ( x3+ 2 2 ) + (2x2 + 2 2 x) = 0
 (x + 2 )(x2 - 2 x +2) + 2x(x +
 (x +

2
2 )(x -

 (x +

2
2 )(x + (2 -

2)=0

2 x +2 + 2x) = 0
2 )x +2) = 0

 (x + 2 ) = 0 hoặc (x2 + (2 -

2 )x +2) = 0.

SKKN –Phương trình quy về phương trình bậc 2.
13

Trang:


Trường THCS Mỹ Thọ
Quyên
Phương trình (x +

GV: Trần Thị Tố

2 ) = 0 có nghiệm x =  2

Phương trình (x2 + (2 -

2 )x +2) = 0 vô nghiệm (vì   0 ).

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là x =  2
d) Bài tập tự luyện:
1) Giải các phương trình sau:
a) x3 – x2 – 4x + 4 = 0

b) x3 – 3x2 + x + 1 = 0

c) x3 + 2x – 5 3 = 0

d) (x - 2)3 + (x + 1)3 = 8x3 – 1

2) Giải và biện luận theo a, b phương trình:
x3 - (2a + 1)x2 + (a2 + 2a - b)x - (a2 - b) = 0.
1.2.3) Những phương trình bậc cao quy về phương trình bậc hai:
1.2.3.1) Phương trình trùng phương
Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: ax 4 + bx2 + c = 0. Trong
đó: x là ẩn số; a, b, c là các hệ số, a 0
a) Cách giải:
Với loại phương trình này khi giải ta thường dùng phép đặt ẩn phụ x 2=t 0. Từ
đó ta có một phương trình bậc hai trung gian: at 2 + bt + c = 0, giải phương trình bậc
hai trung gian này rồi sau đó trả biến x 2 = t (Nếu những giá trị của t tìm được thoả

mãn t 0), ta sẽ tìm được nghiệm số của phương trình ban đầu.
b) Các ví dụ cơ bản:
Ví dụ: Giải phương trình: x4 – 13x2 + 36 = 0 (1)
Giải:
Đặt x2 = t (ĐK: t  0), phương trình (1) trở thành: t2 – 13t + 36 = 0
Giải phương trình t2 – 13t + 36 = 0 ta được t1 = 9; t2 = 4 (TMĐK)
+ Với t1 = 9 => x = �3
+ Với t2 = 4 => x = �2
Vậy phương trình (1) có bốn nghiệm là: S = x = �3 ; x = �2
c) Các ví dụ mở rộng và nâng cao:
Ví dụ : Cho phương trình x4 – (3m + 14)x2 + (4m+12)(2 – m) = 0 (1) (m là
tham số). Định m để phương trình trên có 4 nghiệm phân biệt.
Giải:
Đặt x2 = t (ĐK: t 0). Khi đó :
SKKN –Phương trình quy về phương trình bậc 2.
14

Trang:


Trường THCS Mỹ Thọ
Quyên

GV: Trần Thị Tố

(1)  t2 – (3m + 14)t + (4m + 12)(2 – m) = 0

(2)

Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) phải có

2 nghiệm dương phân biệt
 0 �
25(m  2) 2  0
�
m � 2
�
�
�
� �P  0 � �
(4m  12)(2  m)  0 � �
3  m  2
�
�S  0
�
3m  14  0
�
�

Vậy giá trị m phải tìm là : - 3 < m < 2 và m # - 2
* Nhận xét:
Biện luận về số nghiệm của phương trình trùng phương:
ax4 + bx2 + c = 0

(a 0 ) ta có nhận xét:

* Phương trình vơ nghiệm khi:
+ Hoặc phương trình bậc hai trung gian vơ nghiệm: (  <0)
�
� �0
�

�c
+ Hoặc phương trình bậc hai có hai nghiệm cùng âm xảy ra khi: �  0
�a
�b
0
�
�a

* Phương trình trùng phương có hai nghiệm khi:
0
�
�
+ Phương trình bậc hai trung gian có nghiệm kép dương xảy ra khi: �b
0
�
�2a

+ Hoặc phương trình bậc hai trung gian có hai nghiệm, trong đó có nghiệm
dương, một nghiệm âm. Điều này xảy ra khi

c
0
a

* Phương trình có 3 nghiệm (2 nghiệm đơn, 1 nghiệm kép x = 0) điều này xảy ra khi
b
 0 . Muốn vậy ta phải có:
at + bt + c = 0 có hai nghiệm t1 = 0; t2 =
a
2

Khi đó nghiệm của phương trình trùng phương là: x = 0; x =  

c0
�
�
�b
0
�
�a

b
a

+ Phương trình có 4 nghiệm đơn (phân biệt) khi phương trình bậc hai trung gian
có hai nghiệm dương phân biệt. Khi đó nghiệm của phương trình trùng phương là hai
cặp số đối nhau, khác nhau.
SKKN –Phương trình quy về phương trình bậc 2.
15

Trang:


Trường THCS Mỹ Thọ
Quyên

GV: Trần Thị Tố

+ Nếu phương trình bậc hai trung gian có nghiệm kép t = 0 (xảy ra khi b = c =0)
thì phương trình có nghiệm x = 0 (đây là 4 nghiệm trùng nhau).

+ Khi nói đến nghiệm số của phương trình trùng phương là số lẻ thì trong đó
phải có nghiệm số kép.
d) Bài tập tự luyện:
1) Giải các phương trình sau:
a) 12x4 – 5x2 + 30 = 0
c) a

 x
3

4

  a  1

 x
3

b) x4 – x2 – 6 = 0
2

 2a  1  0 (a là hằng số)

2) Tìm a để phương trình ax4 + x2 +1 = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
1.2.3.2) Phương trình dạng: (x+a)4 + (x+b)4 = c
(Trong đó x là ẩn, a,b,c là các hệ số)
a) Cách giải:
Ta biến đổi t = x +

a b
2

ab
�
xa  t 
�
�
2
tức là: �
�x  b  t  a  b
�
2

Phương trình đã cho trở thành
2

4

a b 2
a b
2t + 12 
 t  2
  c 0 (*)
 2 
 2 
4

(Đây là phương trình trùng phương ẩn t - ta đã biết cách giải) => Giải phương trình
(*) tìm nghiệm t sau đó thay giá trị của t vào t = x +

a b

để tìm x.
2

b) Các ví dụ cơ bản:
b.1) Ví dụ 1: Giải phương trình:  x  1   x  3  32 (1)
4

4

Giải:
Đặt t = x +

1  3
� t  x 1
2

=>

x–1 =t–2

và

x+3 =t+2

Khi đó (1)  (t – 2)4 + (t + 2)4 = 32
SKKN –Phương trình quy về phương trình bậc 2.
16

Trang:

Trường THCS Mỹ Thọ
Quyên

GV: Trần Thị Tố

 t4 – 8t3 + 24t2 – 32t + 16 + t4 + 8t3 + 24t2 + 32t + 16 = 32
 2t4 + 48t2 = 0
 2t2(t2 + 24) = 0
Phương trình có nghiệm kép t = 0.
 x+3=2
 x=-1

Vậy phương trình (1) có nghiệm kép x = - 1.
* Nhận xét: Bằng phép đổi biến t = x +

a b
ta đưa được phương trình
2

(x+a)4+(x+b)4=c về một phương trình trùng phương (trung gian) có dạng tổng quát:
t4 + Bt2 + C = 0. Qua phép biến đổi t2 = X (với x 0 ) Ta đưa được phương trình về một
phương trình bậc hai trung gian: X2 + BX + C = 0.
* Số nghiệm của phương trình (x + a) 4 + (x + b)4 = c phụ thuộc vào số nghiệm của
phương trình bậc hai trung gian X2 + BX + C = 0
+ Nếu phương trình bậc hai trung gian vơ nghiệm hoặc chỉ có nghiệm âm thì
phương trình trùng phương t 4 +Bt + C=0 vô nghiệm và do đó phương trình đầu vơ
nghiệm.
+ Nếu phương trình bậc hai trung gian có nghiệm khơng âm X 0 thì phương trình
đầu có nghiệm:

x = t0 -

a b
ở đó
2

�
t0  X 0
�
�
t0   X 0
�

Lưu ý rằng số nghiệm của phương trình ban đầu phụ thuộc vào số nghiệm của
phương trình trùng phương và do đó phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình bậc
hai trung gian.
Như vậy: Nếu phương trình bậc hai trung gian X2 + BX + C = 0
+ Vơ nghiệm hoặc chỉ có cả 2 nghiệm âm thì phương trình đầu vơ nghiệm.
+ Nếu phương trình bậc hai trung gian có một nghiệm dương, một nghiệm âm
thì phương trình đầu có hai nghiệm phân biệt.
+ Nếu phương trình bậc trung gian có cả hai nghiệm dương (phân biệt) thì
phương trình đầu có 4 nghiệm phân biệt.
+ Nếu phương trình bậc hai trung gian có một nghiệm dương và một nghiệm
bằng 0 thì phương trình dầu có 3 nghiệm
+ Nếu phương trình bậc hai trung gian có một nghiệm kép dương thì phương
trình đầu có hai nghiệm kép phân biệt.
SKKN –Phương trình quy về phương trình bậc 2.
17

Trang:

Trường THCS Mỹ Thọ
Quyên

GV: Trần Thị Tố

c) Bài tập tự luyện:
Giải các phương trình sau:
a) (x+2)4 + (x+8)4 = 272
c) (x+3)4 + (x+5)4 = 2

b) (x+2)4 + (x+4)4 = 82
d)  x  2    x  6   82
4

4

1.2.3.3) Phương trình dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=m.
Trong đó 4 hệ số a; b; c; d chia làm hai cặp, mỗi cặp 2 số có tổng bằng nhau,
chẳng hạn: a + d = b + c
a) Cách giải:
Nhóm (x + a) với (x + d); (x + b) với (x + c)
Khai triển tích đó đưa về phương trình dạng:
x2 + (a + d)x + ad
Do a + d = b + c nên ta đặt x2 + (a + d)x + k = t (k có thể là ad hoặc bc, hoặc tuỳ ý).
Khi đó, ta sẽ đưa được phương trình về dạng:
At2 + Bt +C =0 (A=1)
Giải phương trình này ta tìm được nghiệm của t (khi phương trình có nghiệm).
Giải tiếp phương trình: x2 + (a + d)x + ad = t ta sẽ có kết luận về nghiệm của phương

trình ban đầu.
Nếu phương trình bậc hai trung gian vơ nghiệm thì đương nhiên phương trình
ban đầu vơ nghiệm.
b) Các ví dụ cơ bản:
b.1) Ví dụ 1: Giải phương trình: (x+2)(x+3)(x–7)(x–8) = 144

(1)

Giải:
Ta thấy 2 + (– 7) = 3 + (– 8) = – 5
(1)

  ( x  2)( x  7)   ( x  3)( x  8)   144
 (x2 – 5x – 14)(x2 – 5x – 24) =144 (*)
Đặt t = x2 – 5x – 19

Khi đó: (*)  (t – 5)(t + 5) = 144
 t2 – 25 = 144
 t = �13
+ Với t = 13 thay vào x2 – 5x – 19 = t
Ta có x2 – 5x – 32 = 0
SKKN –Phương trình quy về phương trình bậc 2.
18

Trang:


Trường THCS Mỹ Thọ
Quyên

GV: Trần Thị Tố

Ta có   153
Phương trình có nghiệm là: x1=

5  153
2

; x2 =

5  153
2

+ Với t = - 13 thay vào x2 – 5x – 19 = t
Ta có x2 – 5x – 6 = 0
Phương trình có nghiệm là: x3 = - 1 ; x4 = 6.
Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm là:

5  153 5  153
;
; - 1 ; 6.
2
2

* Nhận xét:
Với loại phương trình có dạng trên, nếu khai triển vế trái được phương trình
bậc 4 đầy đủ  ta sẽ khó giải bởi học sinh THCS chưa học. Bằng việc nhóm hợp lý
2 đơi hệ số, khai triển biến đổi trong mỗi nhóm ta sẽ đưa được về phương trình bậc
hai trung gian.
+ Nếu phương trình bậc hai trung gian vơ nghiệm  phương trình ban đầu vơ

nghiệm.
+ Khi giải phương trình bậc hai trung gian (ẩn t) sau khi giải tìm được giá trị ta
trả biến và giải phương trình bậc hai theo ẩn x, thì nghiệm của phương trình này (nếu
có) là nghiệm của phương trình đầu.
c) Bài tập tự luyện:
Giải các phương trình:
a) x(x-1)(x+1)(x+2) = 3

b) (4x+3)2(x+1)(2x+1) = 810

c) (x+1)(x+7)(x–2)(x+4) = 19

d) (x+4)(x+5) (x+7)(x+8) = 4

e) (x+5)(x+6)(x+8)(x+9) = 40
1.2.3.4) Phương trình hồi quy:
a) Cách giải:
Dạng tổng quát: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0

(1)
2

e �d �
Trong đó x là ẩn số,a;b;c;d;e là hệ số; a 0 và  � � với e 0
a �b �

+ Vì e 0 nên x = 0 khơng phải là nghiệm của phương trình (1) chia cả hai vế
của phương trình (I) cho x2 ta được phương trình tương đương
ax2 + bx + c +

d
e
 2 0 (II)
x x

SKKN –Phương trình quy về phương trình bậc 2.
19

Trang:


Trường THCS Mỹ Thọ
Quyên

GV: Trần Thị Tố

Nhóm

� 2 e �� d�
ax  2 � �
bx  � c  0
�
x �� x�
�

Hay

e � � d �
�
a. �x 2  2 � b �x  � c  0

� ax � � bx �

Đổi biến: x+

d
d2
d
d2 e
t  x 2  2 2  2. t 2 (do 2  )
bx
b
a
b x
b

x2

Nên

e
2d
t 2 
2
b
ax

Ta có phương trình:




2
at 

2d 
  bt  c 0
b 

Ta được phương trình trung gian: at2 + bt + c Giải phương trình at2 + bt + c phương trình x +

2ad
=0
b

2ad
= 0 tìm được nghiệm (sau trả biến và giải
b

d
 t Sau đó ta biện luận về nghiệm của phương trình (1)
bx

b) Các ví dụ cơ bản:
Ví dụ: Giải phương trình x4 – 3x3 – 6x2 + 3x + 1 = 0 (1)
Giải:
Vì x = 0 khơng là nghiệm của phương trình
Chia 2 vế của phương trình (1) cho x2 ta được:
3 1
(1) � x 2  3 x  6   2  0
x x

1
1
� ( x 2  2 )  3( x  )  6  0 (*)
x
x

1
x

Đặt x   t

(*)  t2 – 3t – 4 = 0
Nghiệm của phương trình là : t1 = - 1; t2 = 4
1
x

+ Với t1 = - 1 ta có x   1 (x 0 )
 x2 + x – 1 = 0
Nghiệm của phương trình là: x 

1 � 5
thoả mãn (x 0 )
2

1
x

+ Với t2 = 4 ta có x   4 (x 0 )
SKKN –Phương trình quy về phương trình bậc 2.
20

Trang:


Trường THCS Mỹ Thọ
Quyên

GV: Trần Thị Tố

 x2 – 4x – 1 = 0
Nghiệm của phương trình là: x  2 � 5 thoả mãn (x 0 )
Vậy nghiệm của phương trình (1) là :

1 � 5
; 2� 5
2

c) Bài tập tự luyện:
Giải các phương trình:
a) x4 – 3x3 + 3x +1 = 0

b) x4 + 3x3 – 14x2 – 6x + 4 = 0

c) 2x4 – 21x3 + 74x2 – 105x + 50 = 0
1.2.3.5) Phương trình đối xứng:
a) Cách giải:
Dạng tổng quát: ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0

(1)

Trong đó x là ẩn số,a; b; c là hệ số; a 0
+ Vì a 0 nên x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1) nên ta chia cả
hai vế của phương trình (1) cho x2 ta được phương trình tương đương
b
x

ax2 + bx + c + 

Đặt:
Nên

(II)

� 2 a �� b�
bx  � c  0
�ax  2 � �
x �� x�
�

Nhóm
Hay

a
0
x2

�
�

2

a �x 

1 � � 1�
� b �x  � c  0
x2 � � x �

t  x
x2 

1
1
� t 2  x2  2  2
x
x

(ĐK: t �2 )

1
 t2  2
x2

Ta có phương trình: a.(t2 – 2) + bt + c = 0 (2)
Giải phương trình (2) tìm được nghiệm t, đối chiếu ĐK chọn giá trị t thỏa mãn
1
x

sau đó thay t  x  để tìm nghiệm x của phương trình (1)
b) Các ví dụ cơ bản:
Ví dụ: Giải phương trình x4 – 2x3 – x2 – 2x + 1 = 0 (1)
Giải:

Ta thấy x = 0 khơng phải là nghiệm của phương trình (1) nên chia cả hai vế cho
x ta được phương trình tương đương:
2

SKKN –Phương trình quy về phương trình bậc 2.
21

Trang:


Trường THCS Mỹ Thọ
Quyên
(1)  x2 – 2x – 1 –
�
�

 �x 2 
Đặt x 

GV: Trần Thị Tố

2 1

0
x x2

1 � � 1�
� 2 �x  � 1  0 (*)
x2 � � x �

1
1
t (ĐK: t �2 ) => x 2  2 t 2  2
x
x

Khi đó (*)  t2 – 2 – 2t – 1 = 0
 t2 – 2t – 3 = 0
Phương trình có nghiệm là:

t1 = - 1 (không thỏa mãn ĐK) => loại
t2 = 3 (thỏa mãn ĐK)

1
x

Với t2 = 3 => x   3 � x 2  3x  1  0
Phương trình có nghiệm là: x 

3� 5
2

Vậy phương trình (1) có nghiệm là:

3� 5
2

* Nhận xét:
+ Giải phương trình đối xứng: bằng phép biến đổi tương đương và đổi biến đưa
về phương trình bậc hai trung gian. Giải rồi trả biến tìm nghiệm của phương trình đối

xứng ban đầu.
+ về số nghiệm của phương trình đối xứng:
- Nếu phương trình bậc hai trung gian vơ nghiệm  phương trình đầu vơ nghiệm.
- Nếu phương trình bậc hai trung gian có nghiệm t1, t2 nhưng các phương trình
x

d
d
t1 ; x 
t 2 vơ nghiệm  phương trình đầu cũng vơ nghiệm.
bx
bx

- Nếu các phương trình x 

d
t1 ;
bx

x

d
t 2 có bao nhiêu nghiệm thì phương
bx

trình đầu có bấy nhiêu nghiệm.
c) Bài tập tự luyện:
Giải các phương trình:
a) x4 – 7x3 + 14x2 – 7x + 1 = 0
c) 2x4 + 3x3 - 16x2 + 3x + 2 = 0

c) x4 – 10x3 + 26x2 – 10x + 1 = 0
d) x4 + x3 – 4x2 + x + 1 = 0

1.2.3.6) Phương trình dạng: a �
�f  x  �
� bf  x   c  0 (1)
2

SKKN –Phương trình quy về phương trình bậc 2.
22

Trang:


Trường THCS Mỹ Thọ
Quyên

GV: Trần Thị Tố

(Trong đó a 0 ; f(x) là đa thức của biến x, x là ẩn của phương trình)
a) Cách giải:
- Tìm tập xác định của phương trình bằng phép đổi biến f(x) = t
- Đưa phương trình về dạng: at2 + bt + c = 0 (2)
- Nếu phương trình (2) có nghiệm t = t0, ta giải tiếp phương trình f(x) = t0

(*)

- Nghiệm của phương trình (*) thoả mãn điều kiện)  là nghiệm của phương
trình đã cho.

b) Các ví dụ cơ bản:
b.1) Ví dụ 1: Giải phương trình: x4 – 4x3 + 8x – 5 = 0

(1)

Giải:
Ta có (1)  (x2 – 2x)2 – 4(x2 – 2x) – 5 = 0 (2)
Đặt t = x2 – 2x. (ĐK : 1 + t �0 => t �- 1)
(2)  t2 – 4t – 5 = 0  t = - 1 V t = 5 (thỏa mãn ĐK)
+ Với t = - 1 ta có: x2 – 2x = - 1  x2 – 2x + 1 = 0  x = 1.
+ Với t = 5 ta có: x2 – 2x = 5  x2 – 2x – 5 = 0  x = 1 +

6 Vx=1–

6

Vậy nghiệm của phương trình (1) là : 1 ; 1 + 6 ; 1 – 6
b.2) Ví dụ 2:
Giải phương trình: (x2 – 4x + 5)2 – (x – 1)(x – 3) = 4 (1)
Giải:
(1)  (x2 – 4x + 5)2 – (x2 – 4x + 3) – 4 = 0 (2)
Đặt t = x2 – 4x + 5 (ĐK : t – 1 �0 => t �1)
(2)

 t2 – (t – 2) – 4 = 0
 t2 – t – 2 = 0

Phương trình có nghiệm là : t1 = - 1 (khơng thỏa mãn ĐK); t2 = 2 (thỏa mãn ĐK).
Với t = 2 ta có : x2 – 4x + 5 = 2  x2 – 4x + 3 = 0
Phương trình có nghiệm là : x1 = 1; x2 = 3.

Vậy nghiệm của phương trình (1) là: x1 = 1; x2 = 3.
d) Bài tập tự luyện:
Giải các phương trình:
a) 4(x2 – x + 1)3 = 27(x2 – x)2

b) (x2 + 1)2 + (x + 2)(3x2 – 4x – 5) = 0

SKKN –Phương trình quy về phương trình bậc 2.
23

Trang:


Trường THCS Mỹ Thọ
Quyên

GV: Trần Thị Tố

c) x6 - 9x3 + 8 = 0

d) x4 + 6x3 + 5x2 - 12x + 3 = 0

1.2.3.7) Phương trình vơ tỷ:
Dạng thường gặp:

1) a f ( x) M

(M là hằng số hoặc đa thức)

2) af(x) + b g ( x) c

a) cách giải:
- Khi giải phương trình vơ tỷ ta cần chủ ý tìm TXĐ của phương trình.
- Tiến hành giải:
* Dùng phương pháp nâng lên lũy thừa:
+ Cô lập căn thức, rồi bình phương hai vế để khử căn bậc hai.
(ĐK hai vế của phương trình khơng âm)
+ Sử dụng định nghĩa căn thức bậc n (n chẵn)
2k

f ( x)  g ( x)



f(x)=  g ( x) 2 k

(1)

g(x) 0

(2)

* Dùng phương pháp đặt ẩn phụ:
+ Nhận định số nghiệm của phương trình:
Phương trình vơ nghiệm nếu phương trình bậc hai trung gian vơ nghiệm.
Phương trình vơ nghiệm nếu nghiệm của phương trình bậc hai trung gian khơng
thoả mãn điều kiện của phương trình đầu.
Phương trình có nghiệm nếu nghiệm của phương trình bậc hai trung gian thuộc
TXĐ của phương trình đầu.
b) Các ví dụ cơ bản:
b.1) Ví dụ 1:

Giải phương trình 3  2 x  3  x

(1)

Giải:
3
2

ĐKXĐ: của phương trình là 2x – 3 �0 => x �
Tách riêng căn thức ở một vể ta được:

2x  3  x  3

Ta phải có thêm ĐK: x – 3 �0 => x �3
Với ĐK (4) thì (3)

(2)
(3)
(4)

 2x – 3 = (x – 3)2
 2x – 3 = x2 – 6x + 9

SKKN –Phương trình quy về phương trình bậc 2.
24

Trang:


Trường THCS Mỹ Thọ

Quyên

GV: Trần Thị Tố
 x2 – 8x + 12 = 0

Phương trình có nghiệm là: x1 = 2 (khơng TMĐK (4)); x2 = 6 (TMĐK)
Vậy phương trình (1) có một nghiệm là: x = 6.
* Nhận xét:
- Nếu không đặt ĐK ở (3) ta sẽ sai lầm khi nhận x = 2 là nghiệm.
- Có thể bình phương 2 vế của (1) ngay từ đầu với ĐK 2x – 3 �0, tuy nhiên
cách giải này không ngắn gọn bằng cách tách riêng căn thức ở mỗi vế.
b.2) Ví dụ 2:

Giải phương trình:

x2 - 4x = 8 x  1 (1)

Giải:
�x �1
�x -1 �0
�
�۳��
x �4
ĐK: �2
�x - 4x �0
��
x �0
��

x 4

Bình phương 2 vế của (1) ta được: x4 – 8x3 + 16x2 = 64(x – 1)
 x4 – 8x3 + 8x2 + 8x2 – 64x – 64 = 0
 x2(x2 – 8x + 8) + 8(x2 – 8x + 8) = 0
 (x2 + 8) (x2 – 8x + 8) = 0
 (x2 – 8x + 8) = 0 (vì x2 +8 > 0)
Nghiệm của phương trình là:

x1 = 4 - 2 2 (không TMĐK) => loại
x2 = 4 + 2 2 (TMĐK)

Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 4 + 2 2
c) Bài tập tự luyện:
Giải các phương trình:
x  1  5 x 1  3x  2

a) 2x + x  3 16

b)

c) 3 2 x  1  3 x  1

d) x =

x7  1

1.2.4) Những phương trình đặc biệt:
a) Các ví dụ cơ bản:
a.1) Ví dụ 1: Giải phương trình:

3x  2
x

 2 (1)
x
3x  2

Giải:

SKKN –Phương trình quy về phương trình bậc 2.
25

Trang: